Dirac-tétel. Ha az n( 3) pontú G egyszerű gráfban minden pont foka legalább n/2, akkor G tartalmaz Hamilton-kört.
|
|
|
- Albert Pataki
- 3 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Dirac-tétel. Ha az n( 3) pontú G egyszerű gráfban minden pont foka legalább n/, akkor G tartalmaz Hamilton-kört.
2 Dirac-tétel. Ha az n( 3) pontú G egyszerű gráfban minden pont foka legalább n/, akkor G tartalmaz Hamilton-kört. Megjegyzések. 1. Ez NEM akkor és csak akkor állítás! éldál a C n kör-gráf mtatja (nagy n-re), hogy akkor is lehet Hamilton-kör egy gráfban, ha a fokok jóval kisebbek n/-nél.
3 Dirac-tétel. Ha az n( 3) pontú G egyszerű gráfban minden pont foka legalább n/, akkor G tartalmaz Hamilton-kört. Megjegyzések. 1. Ez NEM akkor és csak akkor állítás! éldál a C n kör-gráf mtatja (nagy n-re), hogy akkor is lehet Hamilton-kör egy gráfban, ha a fokok jóval kisebbek n/-nél. /a. Nyilván nem lenne igaz a tétel, ha nem követelnénk meg G- ről, hogy egyszerű legyen. Ha megengedünk hrokéleket / párhzamos éleket, akkor még az összefüggőség sem következik óriási fokszámokból sem.
4 Dirac-tétel. Ha az n( 3) pontú G egyszerű gráfban minden pont foka legalább n/, akkor G tartalmaz Hamilton-kört. Megjegyzések. 1. Ez NEM akkor és csak akkor állítás! éldál a C n kör-gráf mtatja (nagy n-re), hogy akkor is lehet Hamilton-kör egy gráfban, ha a fokok jóval kisebbek n/-nél. /a. Nyilván nem lenne igaz a tétel, ha nem követelnénk meg G- ről, hogy egyszerű legyen. Ha megengedünk hrokéleket / párhzamos éleket, akkor még az összefüggőség sem következik óriási fokszámokból sem. /b. A V 3 feltétel sem hagyható el: K -ben minden pont foka legalább V /, de nincs a gráfban Hamilton-kör. K
5 Dirac-tétel. Ha az n( 3) pontú G egyszerű gráfban minden pont foka legalább n/, akkor G tartalmaz Hamilton-kört. Megjegyzések. 1. Ez NEM akkor és csak akkor állítás! éldál a C n kör-gráf mtatja (nagy n-re), hogy akkor is lehet Hamilton-kör egy gráfban, ha a fokok jóval kisebbek n/-nél. /a. Nyilván nem lenne igaz a tétel, ha nem követelnénk meg G- ről, hogy egyszerű legyen. Ha megengedünk hrokéleket / párhzamos éleket, akkor még az összefüggőség sem következik óriási fokszámokból sem. /b. A V 3 feltétel sem hagyható el: K -ben minden pont foka legalább V /, de nincs a gráfban Hamilton-kör. /c. Az n/ korlát nem javítható (csökkenthető) a tételben, ezt példál a K n/ K n/ gráf mtatja (páros n-re).
6 Bizonyítás. Legyen V (G) = n. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:
7 Bizonyítás. Legyen V (G) = n. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út: Megmtatjk, hogy G minden olyan útja, ami nem Hamilton-út, növelhető (található nála 1 éllel hosszabb út). Így egy tetszőleges útból példál egy élből kiindlva ezen növelésekkel előbb-tóbb Hamilton-úthoz jtnk. pontú út 3 pontú út 4 pontú út n pontú út (= Ham.-út)
8 Bizonyítás. Legyen V (G) = n. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út: Megmtatjk, hogy G minden olyan útja, ami nem Hamilton-út, növelhető (található nála 1 éllel hosszabb út). Így egy tetszőleges útból példál egy élből kiindlva ezen növelésekkel előbb-tóbb Hamilton-úthoz jtnk. Vegyünk G-ben egy tetszőleges tat, ami nem Hamilton-út. v
9 Bizonyítás. Legyen V (G) = n. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út: Megmtatjk, hogy G minden olyan útja, ami nem Hamilton-út, növelhető (található nála 1 éllel hosszabb út). Így egy tetszőleges útból példál egy élből kiindlva ezen növelésekkel előbb-tóbb Hamilton-úthoz jtnk. Vegyünk G-ben egy tetszőleges tat, ami nem Hamilton-út. 1. eset ( mohó útnövelés ): Ha a út v végpontjából vezet él -n kívüli pontba, akkor ezt a külső pontot (az összekötő éllel együtt) -hez hozzávéve hosszabb tat kapnk. v x
10 Bizonyítás. Legyen V (G) = n. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út: Megmtatjk, hogy G minden olyan útja, ami nem Hamilton-út, növelhető (található nála 1 éllel hosszabb út). Így egy tetszőleges útból példál egy élből kiindlva ezen növelésekkel előbb-tóbb Hamilton-úthoz jtnk. Vegyünk G-ben egy tetszőleges tat, ami nem Hamilton-út. 1. eset ( mohó útnövelés ): Ha a út v végpontjából vezet él -n kívüli pontba, akkor ezt a külső pontot (az összekötő éllel együtt) -hez hozzávéve hosszabb tat kapnk. ' x v
11 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w 1 w w 3 w d v
12 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w 1 w w 3 w d Ezen az ábrán több olyan -ból indló tat is látnk, amely gyanazokat a pontokat járja be, mint (így gyanolyan hosszú is): v minden w i szomszédjára az w i v w i út ilyen, ahol w i a w i tán következő pont -n v irányába (lásd ábra). v
13 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w 1 w' 1 w 3 w d Ezen az ábrán több olyan -ból indló tat is látnk, amely gyanazokat a pontokat járja be, mint (így gyanolyan hosszú is): v minden w i szomszédjára az w i v w i út ilyen, ahol w i a w i tán következő pont -n v irányába (lásd ábra). v
14 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w 1 w w' w 3 w d Ezen az ábrán több olyan -ból indló tat is látnk, amely gyanazokat a pontokat járja be, mint (így gyanolyan hosszú is): v minden w i szomszédjára az w i v w i út ilyen, ahol w i a w i tán következő pont -n v irányába (lásd ábra). v
15 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w 1 w w 3 w' 3 w d Ezen az ábrán több olyan -ból indló tat is látnk, amely gyanazokat a pontokat járja be, mint (így gyanolyan hosszú is): v minden w i szomszédjára az w i v w i út ilyen, ahol w i a w i tán következő pont -n v irányába (lásd ábra). v
16 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w 1 w w 3 w d w d ' Ezen az ábrán több olyan -ból indló tat is látnk, amely gyanazokat a pontokat járja be, mint (így gyanolyan hosszú is): v minden w i szomszédjára az w i v w i út ilyen, ahol w i a w i tán következő pont -n v irányába (lásd ábra).
17 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w 1 w w 3 w d w d ' Ezen az ábrán több olyan -ból indló tat is látnk, amely gyanazokat a pontokat járja be, mint (így gyanolyan hosszú is): v minden w i szomszédjára az w i v w i út ilyen, ahol w i a w i tán következő pont -n v irányába (lásd ábra). Ezeket az takat a későbbiekben úgy fogjk emlegetni, hogy csavart tak. ( maga is egy csavart út.)
18 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w' 1 w' w' 3 w' d = v d(v) darab csavart út van, d(v) különböző végponttal: w 1,..., w d
19 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w' 1 w' w' 3 w' d = v d(v) darab csavart út van, d(v) különböző végponttal: w 1,..., w d (Ebben a bizonyításban olyankor használjk G egyszerűségét, amikor megállapítjk, hogy a szomszédok száma = fokszám. Ezt nem hangsúlyozzk többet.)
20 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w' 1 w' w' 3 w' d = v d(v) darab csavart út van, d(v) különböző végponttal: w 1,..., w d d(v) n/ = Ez legalább n/ csavart út, illetve végpont. (Az ábrán ez nem teljesül, ezt nem szemlélteti.)
21 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w' 1 w' w' 3 w' d = v d(v) darab csavart út van, d(v) különböző végponttal: w 1,..., w d d(v) n/ = Ez legalább n/ csavart út, illetve végpont. A lényeg: E sok csavart út közül valamelyik már meghosszabbítható egy külső pontba az 1. esetben látott módon.
22 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w' 1 w' w' 3 w' d = v x Ehhez vegyünk egy tetszőleges -n kívüli x pontot G-ben. ( nem Hamilton-út, így ilyen x van.)láttk, hogy a w i csavartút-végpontok száma legalább n/, és feltételeinkből x foka is legalább n/, ezért x biztosan össze van kötve valamely w k végponttal.
23 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w' 1 w' k w' 3 w' d = v Ehhez vegyünk egy tetszőleges -n kívüli x pontot G-ben. Láttk, hogy a w i csavart-út-végpontok száma legalább n/, és feltételeinkből x foka is legalább n/, ezért x biztosan össze van kötve valamely w k végponttal. A w k -be vezető csavart tat x-be meghosszabbítva egy -nél (1 éllel) hosszabb tat kapnk. x
24 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... w' 1 w' k w' 3 w' d = v Ehhez vegyünk egy tetszőleges -n kívüli x pontot G-ben. Láttk, hogy a w i csavart-út-végpontok száma legalább n/, és feltételeinkből x foka is legalább n/, ezért x biztosan össze van kötve valamely w k végponttal. A w k -be vezető csavart tat x-be meghosszabbítva egy -nél (1 éllel) hosszabb tat kapnk. indoklása: Ahhoz, hogy a w i végpontok, x szomszédai és x cspa különböző pontok legyenek, legalább n/ + n/ + 1 = n + 1 pont kellene. ' x
25 Bizonyítás. 1. Először belátjk, hogy G-ben van Hamilton-út:. eset ( csavart útnövelés ): Ha v összes szomszédja -n van... d(v) n/ d(x) n/ x szomszédai: d(x) pont A csavart tak w' i végpontjai: d(v) pont Ehhez vegyünk egy tetszőleges -n kívüli x pontot G-ben. Láttk, hogy a w i csavart-út-végpontok száma legalább n/, és feltételeinkből x foka is legalább n/, ezért x biztosan össze van kötve valamely w k végponttal. A w k -be vezető csavart tat x-be meghosszabbítva egy -nél (1 éllel) hosszabb tat kapnk. indoklása: Ahhoz, hogy a w i végpontok, x szomszédai és x cspa különböző pontok legyenek, legalább n/ + n/ + 1 = n + 1 pont kellene. x
26 Bizonyítás.. G-ben van Hamilton-kör is.
27 Bizonyítás.. G-ben van Hamilton-kör is. Az eddigiekből már tdjk, hogy G-ben van egy Hamilton-út. w 1 w w 3 w d v tartalmazza G összes pontját, így v szomszédai -n vannak. (Újrahasznosítjk az előző ábrát és jelöléseket, de ez egy másik eset!)
28 Bizonyítás.. G-ben van Hamilton-kör is. Az eddigiekből már tdjk, hogy G-ben van egy Hamilton-út. w 1 w' 1 w 3 w d v tartalmazza G összes pontját, így v szomszédai -n vannak. (Újrahasznosítjk az előző ábrát és jelöléseket, de ez egy másik eset!) csavarásai most d(v) n/ darab -ból indló, cspa különböző végpontú Hamilton-tat adnak G-ben.
29 Bizonyítás.. G-ben van Hamilton-kör is. Az eddigiekből már tdjk, hogy G-ben van egy Hamilton-út. w 1 w w' w 3 w d v tartalmazza G összes pontját, így v szomszédai -n vannak. (Újrahasznosítjk az előző ábrát és jelöléseket, de ez egy másik eset!) csavarásai most d(v) n/ darab -ból indló, cspa különböző végpontú Hamilton-tat adnak G-ben.
30 Bizonyítás.. G-ben van Hamilton-kör is. Az eddigiekből már tdjk, hogy G-ben van egy Hamilton-út. w 1 w w 3 w' 3 w d v tartalmazza G összes pontját, így v szomszédai -n vannak. (Újrahasznosítjk az előző ábrát és jelöléseket, de ez egy másik eset!) csavarásai most d(v) n/ darab -ból indló, cspa különböző végpontú Hamilton-tat adnak G-ben.
31 Bizonyítás.. G-ben van Hamilton-kör is. Az eddigiekből már tdjk, hogy G-ben van egy Hamilton-út. w 1 w w 3 w d w d ' tartalmazza G összes pontját, így v szomszédai -n vannak. (Újrahasznosítjk az előző ábrát és jelöléseket, de ez egy másik eset!) csavarásai most d(v) n/ darab -ból indló, cspa különböző végpontú Hamilton-tat adnak G-ben.
32 Bizonyítás.. G-ben van Hamilton-kör is. Az eddigiekből már tdjk, hogy G-ben van egy Hamilton-út. w' 1 w' w' 3 w' d = v tartalmazza G összes pontját, így v szomszédai -n vannak. (Újrahasznosítjk az előző ábrát és jelöléseket, de ez egy másik eset!) csavarásai most d(v) n/ darab -ból indló, cspa különböző végpontú Hamilton-tat adnak G-ben.
33 Bizonyítás.. G-ben van Hamilton-kör is. Az eddigiekből már tdjk, hogy G-ben van egy Hamilton-út. w' 1 w' w' k w' d = v csavarásai most d(v) n/ darab -ból indló, cspa különböző végpontú Hamilton-tat adnak G-ben. Mivel d() n/, ezért -ból vezet él valamelyik csavart Hamilton-út w k végpontjába. (Az indoklás gyanaz, mint előbb, csak x helyett -val.) Ez az w k él a megfelelő csavart Hamilton-tat Hamilton-körré zárja be. (Mivel n 3, az w k él nem a csavart Hamilton-út éle, tényleg körré zárja azt be.)
34 Bizonyítás.. G-ben van Hamilton-kör is. Az eddigiekből már tdjk, hogy G-ben van egy Hamilton-út. w' 1 w' w' k w' d = v csavarásai most d(v) n/ darab -ból indló, cspa különböző végpontú Hamilton-tat adnak G-ben. Mivel d() n/, ezért -ból vezet él valamelyik csavart Hamilton-út w k végpontjába. (Az indoklás gyanaz, mint előbb, csak x helyett -val.) Ez az w k él a megfelelő csavart Hamilton-tat Hamilton-körré zárja be. (Mivel n 3, az w k él nem a csavart Hamilton-út éle, tényleg körré zárja azt be.)
35 Megjegyzés. A bizonyítás alapján egy gyors algoritms is készíthető egy Hamilton-kör megtalálására, amennyiben a gráfnkra teljesülnek a Dirac-tétel feltételei.
36 Megjegyzés. A bizonyítás alapján egy gyors algoritms is készíthető egy Hamilton-kör megtalálására, amennyiben a gráfnkra teljesülnek a Dirac-tétel feltételei. Egy általánosítás. A bizonyítás kielemzése azt mtatja, hogy a minden fokszám legalább n/ feltételt mindig csak arra használtk, hogy bizonyos számnkra fontos x, v pontpárokra elmondhassk, hogy d(x) + d(v) n. A csavart tak w' i végpontjai: d(v) pont x szomszédai: d(x) pont x
37 Megjegyzés. A bizonyítás alapján egy gyors algoritms is készíthető egy Hamilton-kör megtalálására, amennyiben a gráfnkra teljesülnek a Dirac-tétel feltételei. Egy általánosítás. A bizonyítás kielemzése azt mtatja, hogy a minden fokszám legalább n/ feltételt mindig csak arra használtk, hogy bizonyos számnkra fontos x, v pontpárokra elmondhassk, hogy d(x) + d(v) n. A még részletesebb analízis (és a Hamilton-körös. rész apró ésszerűsítése) azt adja, hogy a fenti egyenlőtlenséget elég nem összekötött pontpárokra tdnnk ahhoz, hogy működjön a bizonyítás. Ebből adódik a Dirac-tétel következő általánosítása: A csavart tak w' i végpontjai: d(v) pont x szomszédai: d(x) pont x
38 Megjegyzés. A bizonyítás alapján egy gyors algoritms is készíthető egy Hamilton-kör megtalálására, amennyiben a gráfnkra teljesülnek a Dirac-tétel feltételei. Egy általánosítás. A bizonyítás kielemzése azt mtatja, hogy a minden fokszám legalább n/ feltételt mindig csak arra használtk, hogy bizonyos számnkra fontos x, v pontpárokra elmondhassk, hogy d(x) + d(v) n. A még részletesebb analízis (és a Hamilton-körös. rész apró ésszerűsítése) azt adja, hogy a fenti egyenlőtlenséget elég nem összekötött pontpárokra tdnnk ahhoz, hogy működjön a bizonyítás. Ebből adódik a Dirac-tétel következő általánosítása: Ore-tétel. Ha az n( 3) pontú G egyszerű gráfban bármely két nem összekötött csúcs fokszámának összege legalább n, akkor G tartalmaz Hamilton-kört.
39 Megjegyzés. A bizonyítás alapján egy gyors algoritms is készíthető egy Hamilton-kör megtalálására, amennyiben a gráfnkra teljesülnek a Dirac-tétel feltételei. Egy általánosítás. A bizonyítás kielemzése azt mtatja, hogy a minden fokszám legalább n/ feltételt mindig csak arra használtk, hogy bizonyos számnkra fontos x, v pontpárokra elmondhassk, hogy d(x) + d(v) n. A még részletesebb analízis (és a Hamilton-körös. rész apró ésszerűsítése) azt adja, hogy a fenti egyenlőtlenséget elég nem összekötött pontpárokra tdnnk ahhoz, hogy működjön a bizonyítás. Ebből adódik a Dirac-tétel következő általánosítása: Ore-tétel. Ha az n( 3) pontú G egyszerű gráfban bármely két nem összekötött csúcs fokszámának összege legalább n, akkor G tartalmaz Hamilton-kört. Megjegyzés. Az Ore-tételből következik a Dirac-tétel.
HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (
HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör Teljes gráf: Páros gráf, teljes páros gráf és Hamilton kör/út Hamilton kör: Minden csúcson áthaladó kör Hamilton kör Forrás: (http://www.math.klte.hur/~tujanyi/komb_j/k_win_doc/g0603.doc
HAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út
SÍKBA RAJZOLHATÓ GRÁFOK ld. előadás diasorozat SZÍNEZÉS: ld. előadás diasorozat PÉLDA: Reguláris 5 gráf színezése 4 színnel Juhász, PPKE ITK, 007: http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/juhasz_5_foku_graf.bmp
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
SzA II. gyakorlat, szeptember 18.
SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Ramsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
Hamilton-út, Hamilton-kör-1
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Hamilton-út, Hamilton-kör Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. A Hamilton-út/kör fogalma Az Euler-vonal olyan vonal volt, amley hossza eléri
Gráfelméleti alapfogalmak-1
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
Alapfogalmak II. Def.: Egy gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely pontjába eljuthatunk egy úton.
lapfogalmak II Nézzük meg mégegyszer a königsbergi séták problémáját! város lakói vasárnaponként szerettek sétálni a szigeteken. Felvetődött a kérdés, hogy hogyan lehetne olyan sétát tenni a városban,
SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.
SzA X/XI. gyakorlat, 2013. november 14/19. Színezünk és rajzolunk Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Mennyi a következő gráfok kromatikus száma: C 4, C 5, K 2,4, alábbi 2 gráf χ(c 4 ) = 2, páros hosszú
EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF
Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,
Gráfelméleti alapfogalmak
KOMBINATORIKA GYAKORLAT osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2014. 1. Feladat. Az alábbiakban egy-egy egyszerű gráfot definiálunk. Rajzoljuk
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Síkbarajzolható gráfok Április 26.
Síkbarajzolható gráfok 2017. Április 26. Síkgráfok Egy gráf síkgráf=síkba rajzolható gráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. Ha egy gráf lerajzolható a síkba,
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
Hamilton kör keresése speciális gráfokban
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kulik Imre Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Hamilton kör keresése speciális gráfokban Szakdolgozat Témavezető: Vesztergombi Katalin, Egyetemi
Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2. előadás
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G
Schnyder-címkézések és alkalmazásaik
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Horváth Vanda Matematika BSc Schnyder-címkézések és alkalmazásaik Szakdolgozat Témavezető: Pap Júlia, tudományos segédmunkatárs Operációkutatási Tanszék
GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K
KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára Klikkek gráfokban Előadó: Hajnal Péter 2017 1. Az alapkérdés Emlékeztetünk egy a gráfok színezésénél tárgyalt fontos fogalomra: Definíció. Egy G gráfban
A zsebrádiótól Turán tételéig
Jegyzetek egy matekóráról Lejegyezte és kiegészítésekkel ellátta: Meszéna Balázs A katedrán: Pataki János A gráfokat rengeteg életszagú példa megoldásában tudjuk segítségül hívni. Erre nézzünk egy példát:
ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból
Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból (A szakirány, 2015-2016 tavaszi félév) A számonkérés során ezeknek a definícióknak, tételkimondásoknak az alapos megértését is számon kérjük. A példakérdések
Példa Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.
Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb
Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3
Síkgráfok Kuratowski-tétel: egy gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható gráf, ha nincs olyan részgráfja, ami a K 5 -el, vagy a K 3,3 -altopologikusan izomorf (homeomorf). Euler síkgráfokra vonatkozó
Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Háromszögek fedése két körrel
SZTE Bolyai Intézet, Geometria Tanszék 2010. április 24. Motiváció Jól ismert a kerületi szögek tétele, vagy más megfogalmazásban a látókörív tétel. Motiváció A tételből a következő állítás adódik: Motiváció
Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)
Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik
Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME
Séta, út, vonal, kör
KOMBINATORIKA GYAKORLAT osztatlan matematika tanár hallgatók számára Séta, út, vonal, kör Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2014. 1. Feladat. Legyen G egy gráf. Az a, b pontokra azt mondjuk, hogy a-ból elérhető
Gráfokról 5-8. osztályosoknak Erdős Gábor, Nagykanizsa
Kistérségi tehetséggondozás Gráfokról 5-8. osztályosoknak Erdős Gábor, Nagykanizsa Az iskolai tananyagban csak a középiskolában esik szó gráfokról, holott véleményem szerint egyszerű fogalomról van szó.
Gráfelmélet jegyzet 2. előadás
Gráfelmélet jegyzet 2. előadás Készítette: Kovács Ede . Fák Tétel. : A következők ekvivalensek a T gráfra: (i) T összefüggő, e E. T e már nem összefüggő (ii) T összefüggő és körmentes. (iii) x, y V T!
Síkbarajzolható gráfok, duális gráf
Síkbarajzolható gráfok, duális gráf Papp László BME November 8, 2018 Gráfok lerajzolása Definíció: Egy G gráf diagramján a gráf olyan lerajzolását értjük ahol a csúcsok különböző síkbeli pontok, illetve
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Példa Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.
Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb
Feladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?
Alap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
Gráfalgoritmusok ismétlés ősz
Gráfalgoritmusok ismétlés 2017. ősz Gráfok ábrázolása Egy G = (V, E) gráf ábrázolására alapvetően két módszert szoktak használni: szomszédsági listákat, illetve szomszédsági mátrixot. A G = (V, E) gráf
Gráfelméleti alapfogalmak
KOMBINATORIKA GYAKORLAT osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2018 1. Feladat. Az alábbiakban egy-egy egyszerű gráfot definiálunk. Rajzoljuk
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:
5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.
5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan
1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2010.03.2. 1. Jelölje B n azt a gráfot, melynek csúcsai az n hosszúságú 0 1 sorozatok, két sorozat akkor és csak akkor van összekötve éllel, ha pontosan egy vagy két helyen különböznek. Adjuk
Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. I. B. 137/b március 16.
Bevezetés a Számításelméletbe II. 6. előadás Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tsz. I. B. 7/b sali@cs.bme.hu 004 március 6. A kritikus út
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
III. Gráfok. 1. Irányítatlan gráfok:
III. Gráfok 1. Irányítatlan gráfok: Jelölés: G=(X,U), X a csomópontok halmaza, U az élek halmaza X={1,2,3,4,5,6}, U={[1,2], [1,4], [1,6], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,5],[5,6]} Értelmezések: 1. Fokszám:
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?
! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig
Csima Judit november 15.
Adatbáziskezelés Normalizálás Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 2017. november 15. Csima Judit Adatbáziskezelés Normalizálás 1 / 26 Normalizálás Tétel Tetszõleges (R,
Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Alapfogalmak. Ha a gráf valamely két csúcsát egynél több él köti össze, akkor azt többszörös élnek nevezzük.
Alapfogalmak A gráfelmélet a matematika tudományának viszonylag fiatal részterülete. Az első gráfelméleti probléma a XVIII. sz. elején lépett fel ennek megoldása Euler nevéhez fűződik. A Königsberg (mai
ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
Diszkrét matematika alapfogalmak
2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix
DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ
DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ B szakirány 2014 június Tartalom 1. Fák definíciója ekvivalens jellemzései... 3 2. Hamilton-kör Euler-vonal... 4 3. Feszítőfa és vágás... 6 4. Címkézett
Gál Attila Péter. Reguláris és erősen reguláris gráfok
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gál Attila Péter Reguláris és erősen reguláris gráfok BSc Szakdolgozat Témavezető: Szőnyi Tamás egyetemi tanár Számítógéptudományi Tanszék Budapest,
Javító és majdnem javító utak
Javító és majdnem javító utak deficites Hall-tétel alapján elméletileg meghatározhatjuk, hogy egy G = (, ; E) páros gráfban mekkora a legnagyobb párosítás mérete. Ehhez azonban első ránézésre az összes
24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.
2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.
Fazakas Tünde: Ramsey tételéről
Fazakas Tünde Ramsey tételéről: a tétel előkészítése és alkalmazása (Készült a H533_003 továbbképzés záródolgozataként, Schultz János, Mike János és Ábrahám Gábor előadásához) Budapest, 2013. május 18.
Algoritmuselmélet 7. előadás
Algoritmuselmélet 7. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 11. ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 1 Múltkori
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 1. Diszkrét matematika 2. 5. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. október 12. Diszkrét matematika
Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára. 3. Feladatsor
Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára 3. Feladatsor Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2011. november 2-ától 1. Párosítások gráfokban 1.1. Alapok 1. Feladat. (i) Bizonyítsuk be, hogy
HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás
HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás HÁLÓZAT informálisan Hálózat Irányított gráf Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) kapacitása Spec csúcsok: Forrás (Source): a kiindulási pont csak ki élek Nyelő
10. Előadás P[M E ] = H
![10. Előadás P[M E ] = H](/thumbs/62/47161470.jpg "10. Előadás P[M E ] = H")
HALMAZRENDSZEREK 10. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2010. április 20. Halmazrendszerek színezése Egy halmazrendszer csúcshalmazának színezése jó
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés
Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet
Speciális gráfelméleti témák
Speciális gráfelméleti témák 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2017. január 16. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29.
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2010. november 29. 1. Gráfok metszési száma z előadás a metszési szám nevű gráfparaméterről szól. Ez
1. Gráfelmélet alapfogalmai
1. Gráfelmélet alapfogalmai Definíció: A gráf pontok és az őket összekötő élek együttese. Megjegyzés: A gráf pontjait szögpontoknak, illetve csúcsoknak is nevezzük. Ha a gráf élei irányítottak, irányított
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
Gráfelméleti feladatok programozóknak
Gráfelméleti feladatok programozóknak Nagy-György Judit 1. Lehet-e egy gráf fokszámsorozata 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6? 2. Lehet-e egyszer gráf fokszámsorozata (a) 3, 3, 4, 4, 6? (b) 0, 1, 2, 2, 2,
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA A megoldandó feladatok, problémák modellezése során sokszor gráfokat alkalmazunk. A gráf fogalmát a matematikából ismertnek vehetjük. A modellezés során a gráfok több változata is
Egybevágósági transzformációk
Egybevágósági transzformációk Párhuzamos eltolás Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (9. osztály) Helybenhagyás Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Párhuzamos
Dénes Tamás matematikus-kriptográfus
Dénes Tamás matematiks-kriptográfs email: tdenest@freemail.h omplementer prímszita és alkalmazása a prímszámok számának becslésére ABSTRACT A címbeli komplementer kifejezés azt jelzi hogy a szokásossal
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév Kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév Kezdők I II. kategória II. forduló Kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy kört
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN
PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN CSIKVÁRI PÉTER Kivonat. Ebben a jegyzetben bebizonyítjuk Bondy és Simonovits következő tételét. Ha egy n csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz C k kört akkor az éleinek száma