Egy kéttámaszú tartó lehajlásáról

Átírás

1 Egy kéttámaszú tartó ehajásáró Az aábbiakban egy egyszerű vagy annak tűnő feadatta fogakozunk Látni fogjuk hogy itt a átszat csa Most tekintsük az ábrát! ábra Ez egy kéttámaszú gerendát ábrázo meyet a tengeyére merőeges hatásvonaú két koncentrát erő terhe A feadat: a tartó tetszőeges keresztmetszetében meghatározni annak behajását A nyírásnak a ehajásra gyakorot hatását itt ehanyagojuk A kijeöt feadat a Sziárdságtan egy aapfeadata így azt gondohatjuk hogy ez egy erágott csont Nos a heyzet nem egészen ez ugyanis egy doog átaában beszéni vaamirő és más doog azt konkrét feadatra akamazni Hogy mit értünk ez aatt az mindjárt kiderü Az Ovasó erősítse meg magát éekben mert hosszú esz az út! Az aapképetek evezetése A szakirodaom szerint többfée megodási módszert is kidogoztak esetünkre Mi a egegyszerűbb ietve annak átszó úton induunk e: a rugamas szá diffe - renciáegyenetének feírásáva és annak hagyományos módon történő integráásáva dogozunk [ ] Ehhez tekintsük a ábrát is! ábra

2 Az ejárás aapegyenete [ ] : M ( x) EI v ''( x) ( ) aho: ~ M( x ): a hajítónyomaték értéke az x koordinátájú keresztmetszetben ~ EI: a keresztmetszet hajítómerevsége ami itt áandó a hossz mentén ~ v ( x ): a rúd görbüetének közeítő kifejezése Az ( ) képetben a negatív eőjeet az magyarázza hogy pozitív hajítónyomatékhoz negatív görbüet tartozik ahogyan azt a ábra meékábrája is szeméteti Minthogy a hajítónyomatéki függvényt a koncentrát erők határozzák meg ezért a szakaszhatárok is ennek megfeeően aakunak: I szakasz: I II szakasz: c xii c III szakasz: c x 0 x c ( / ) ( / ) ( / ) III Látjuk hogy mindegyik szakaszhoz tartozó heykoordináta ugyanonnan mérődik A hajítónyomatéki függvények: M ( xi ) A xi M ( xii ) A xii P ( xii c ) ( ) M ( xiii ) A xiii P ( xiii c ) P ( xiii c ) Most ( ) és ( ) - ma a megodandó egyenetek: EI v ''( x ) A x I I ( ) ( ) ( ) EI v ''( xii ) A xii P xii c EI v ''( xiii ) A xiii P xiii c P xiii c ( 4 ) Az A reakció meghatározására feírjuk az egyensúyi egyeneteket: M 0 B P c P c A c B P P c + ( 5 ) Foytatva: F y 0 P P A B + 0 ( )

3 A P + P B ( 7 ) Majd ( 5 ) és ( 7 ) - te: c c A P + P ( 8 ) Most ( 4 / ) és ( 8 ) - ca: ( ) EI v ''( x ) A P x + P c ( 9 / ) II II ezután ( 4 / ) és ( 8 ) - ca: EI v ''( x ) A x P x c P x c ( ) ( ) ( ) III III III III x A P P + P c + P c III ( ) EI v ''( x ) A P P x + P c + P c ( 9 / ) III III Összegyűjtve az utóbbi eredményeket: EI v ''( x ) A x I I ( ) II ( ) EI v ''( xii ) A P x + P c EI v ''( xiii ) A P P xiii P c P c + + ( 0 ) Most egyszer integráva ( 0 ) egyeneteit: A EI v '( xi ) xi + C A P EI v '( xii ) xii + P c xii + D ( ) A P P EI v '( xiii ) xiii + ( P c + P c ) xiii + E Újabb integráássa ( ) - bő:

4 4 A EI v( xi ) xi + C xi + C A P P c EI v( xii ) xii + xii + D xii + D ( ) A P P P c + P c EI v( xiii ) xiii + xiii + E xiii + E A ( ) képetekben szerepő darab integráási áandó meghatározásához darab fetétei egyenetre van szükség Ezek az aábbiak: v( xi 0) 0 v( x ) 0 v( x c ) v( x c ) III I II II III I II II III v( x c ) v( x c ) v '( x c ) v '( x c ) v '( x c ) v '( x c ) Most ( / ) és ( F / ) - gye: A EI v( xi 0) 0 + C 0 + C 0 C 0 ( F ) C 0 ( ) Majd ( / ) és ( F / ) - ve: A P P P c + P c EI v( xiii ) + + E + E 0 P c P c A P P E E ( 4 ) Ezután ( / ) ( / ) és ( F / ) - ma: A EI v( xi c ) c + C c + C A P P c EI v( xii c ) c + c + D c + D

5 5 A A P P c c + C c + C c + c + D c + D P P c C c + C c + c + D c + D P c ( C D ) c ( D C ) + ( 5 ) Most ( / ) ( / ) és ( F / 4 ) - gye: A P P c EI v( xii c ) c + c + D c + D A P P P c + P c EI v( xiii c ) c + c + E c + E A P P c A P P P c + P c c + c + D c + D c + c + E c + E P P c D c + D c + c + E c + E P c D c + D + E c + E P c ( D E ) c ( E D ) + ( ) Majd ( / ) ( / ) és ( F / 5 ) - te: A EI v '( xi c ) c + C A P EI v '( xii c ) c + P c + D A A P c + C c + P c + D P C c + P c + D P c C + D

6 P c C D ( 7 ) Ezután ( / ) ( / ) és ( F / ) - te: A P EI v '( xii c) c + P c c + D A P P EI v '( xiii c ) c + ( P c + P c ) c + E A P A P P c + P c c + D c + ( P c + P c ) c + E P c P c c + D + ( P c + P c ) c + E P c D + P c + E P c D + E P c ( D E ) ( 8 ) Most összefogajuk részeredményeinket: C 0 P c + P c A P P E E + + P c ( C D ) c ( D C ) + P c ( D E ) c ( E D ) + P c C D P c ( D E ) ( 9 )

7 7 A ( 9 ) képetsor darab egyenet a darab ismeretenre ezt az egyenetrendszert a egegyszerűbben kiküszöböésse odjuk meg Eőször ( 9 / ) és ( 9 / 5 ) - te: P c ( C D ) c ( D C ) + P c P c c ( D C ) + P c C D P c P c P c ( D C ) P c ( D C ) ( 0 ) majd ( 9 / ) - et is érvényesítve ( 0 ) - ban: D P c ( ) Ezután ( 9 / 4 ) és ( 9 / ) - ta: P c ( D E ) c ( E D ) + P c P c c ( E D ) + P c ( D E ) P c P c ( E D ) + P c P c ( E D ) P c ( E D ) ( ) Most ( ) - bő: P c E D + ( )

8 8 majd ( ) és ( ) - ma: E P c P c + ( 4 ) Ezután ( 9 / ) és ( 4 ) aapján: P c + P c A P P P c P c E P c P c P c + P c A P P E P c P c P c + P c A P P E P c P c P c + P c A P P E ( 5 ) Most ( 9 / ) P c D + E ( ) majd ( 5 ) és ( ) - bó: P c P c P c P c + P c A P P D ( 7 ) Ezután ( 9 / 5 ) és ( 7 ) - bő: P c C D + ( 8 ) végü ( 7 ) és ( 8 ) - ca: P c P c P c P c P c + P c A P P C ( 9 )

9 9 Ismét összefogajuk részeredményeinket: P c P c P c P c P c + P c A P P C C 0 P c P c P c P c + P c A P P D D E E P c P c P c P c + P c A P P P c P c + ( 0 ) Most ( 8 ) segítségéve A - t kiküszöböjük ( 0 ) - bó és átaakítjuk a C D E áandók képeteit: c c c c A P P P P P + P A P P c c P + P P c + P c ( ) A P P ( P c + P c ) ( ) Majd ( 0 / ) és ( ) - gye: P c P c P c P c P c + P c C ( P c + P c ) P c P c P c P c P c + P c P c P c P c P c P c P c + ( * )

10 0 tovább aakítva: c c c c C P c + P c c c c c P c + P c + c c + c c P c P c P c P c C ( + c c ) ( + c c ) ( ) Most ( 8 ) és ( * ) - bó: P c c c c c P c D C P c + P c c c c P c + P c c + + c c P c P c ( * ) P c P c D ( + c ) ( + c c ) ( ) Majd ( 9 / ) és ( *) - ga: P c c c c P c E D P c + P c c c c + c + P c + P c P c P c P c P c E ( + c ) ( + c ) ( 4 )

11 Most összefogajuk eredményeinket: P c P c C ( + c c ) + ( + c c ) C 0 P c P c D ( + c ) + ( + c c ) P c D P c P c E ( + c ) + ( + c ) P c P c E + ( 5 ) A ( 5 ) képetek közvetenü a bemenő adatokkaettek kifejezve Most írjuk fe a rugamas szá végső egyeneteit! ( / ) ( 8 ) ( 5 / ) és ( 5 / ) - ve: A c c EI v( xi ) xi + C xi + C P + P xi P c P c ( + c c ) + ( + c c ) xi + 0 innen az I szakasz behajásának egyenete: v( xi ) P c ( + c c ) + P c ( + c c ) xi c c P + P xi Majd ( / ) ( 8 ) ( 5 / ) és ( 5 / 4 ) - gye: ( )

12 A P P c EI v( xii ) xii + xii + D xii + D c c P c II II P + P P x x + P c P c P c ( + c ) + ( + c c ) xii + c c P P x + P c + x II II P c P c P c ( + c ) + ( + c c ) xii + c c P c EI v( xii ) P + P xii xii + P c P c P c ( + c ) + ( + c c ) xii + majd ebbő a II szakasz behajásának egyenete: c c P c v( xii ) P P xii xii + E I P c + P c ( + c ) + P c ( + c c ) xii ( 7 ) Ezután ( ) ( ) ( 5 / 5 ) és ( 5 / ) - ta: A P P P c + P c EI v( xiii ) xiii + xiii + E xiii + E P c + P c P c + P c xiii + xiii P c P c P c P c ( + c ) + ( + c ) xiii + +

13 P c + P c P c + P c EI v( xiii ) xiii + xiii P c P c P c P c ( + c ) + ( + c ) xiii + + ebbő pedig a III szakasz behajásának egyenete: P c + P c P c + P c v( xiii ) xiii xiii + E I + P c ( + c ) + P c ( + c ) xiii ( P c P c ) + ( 8 ) Most jöhetnek az eenőrzések ( F ) szerint Ezt itt már nem részetezzük Evégzése ajánott mert eredményeképpen kényemesebb képetaakok áhatnak eő vaamint a megnyugtató érzés hogy nem követtünk e durva számoási hibát Mi itt az eenőrzésnek azt a közvetett útját mutatjuk meg hogy képeteinket speciáis esetekre akamazzuk és megnézzük hogy az eredmények egyeznek - e a szakiroda - mi eredményekke Behajás az erők hatásvonaában Az aapképetek akamazásai Minthogy a II szakasz végpontjairó van szó így ( / ) szerint eegendő a ( 7 ) képet hasznáata a) Behajás a P erő hatásvonaában: c c P c v( xii c ) P P c c + E I P c + P c ( + c ) + P c ( + c c ) c

14 4 c c c 4 P c v( xii c ) P P + c P c P c + ( + c ) + ( + c c ) ( 9 ) b) Behajás a P erő hatásvonaában: c c P c v( xii c ) P P c c + E I P c + P c ( + c ) + P c ( + c c ) c c c c P c P c v( xii c) P P c + c P c P c + ( + c ) + ( + c c ) ( 40 ) A P P P 0 eset vizsgáata Ekkor a ( ) ( 7 ) ( 8 ) egyenetekke és P 0 - va: P c c v( xi ) ( + c c ) xi P xi c P c P c P c v( xii ) P xii xii + ( + c ) xii E I P c P c P c P c v( xiii ) xiii xiii + ( + c ) xiii E I ( 4* ) Errő rögtön átható hogy a és a sor ugyanaz ez azt jeenti hogy nincs szükség a III szakasz megküönböztetésére ahogyan az a ábrán is átható Így az acímbei terheési eset behajás - egyenetei ( 4* ) és P P c c - ve:

15 5 ábra P c c v( xi ) ( + c c) xi P xi c P c P c P c v( xii ) P xii xii + ( + c ) xii E I ( 4 ) A ( 4 / ) képet megfeeője a szakirodaomban [ ] : ( ) Fbx y x ( b x ) EI ( ) Most ( 4 / ) - en átaakításokat végzünk hogy kiderüjön egyezése a ( ) képette P c c v( xi ) ( + c c) xi P xi P c c ( + c c) xi P xi P c ( + c c) xi ( c) x I E I P ( c) c ( + c ) c xi xi c P ( c) xi c ( + c c) xi c tehát a kérdés: P ( c) x? I c ( ) Fbx c c x ( I b x ) E I + c (? ) EI

16 Jeöésbei megfeetetések: P F ( c ) b x I x Ezekke (? ) ba odaa: F b x b v( x) + ( b) ( b) x b (?? ) Most vegyük észre hogy (? ) jobb odaa akkor egyenő (?? ) jobb odaáva ha fenná hogy b + ( b) ( b) b b (??? ) Azonos átaakításokka: b + ( b) ( b) ( b) ( + b) b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + b b b + b + b b b + b + b b b + b b + b b + b ( ) b + b b b + b b b + b b + b b + b b + b azaz (??? ) azonosság így az (? ) szerinti egyenőség fenná Eszerint eredményünk tartamiag egyezik a szakirodaombó vett eredménnye A P P P P eset vizsgáata Ekkor a ( ) ( 7 ) ( 8 ) egyenetekke és P P P - ve kapjuk ( 4 ) - t Annak érdekében hogy a szakirodaomban taát képetekke összevessük ezt egy további speciaizációt hajtunk végre ( 4 ) - n az aábbi váasztássa: c a c + c c a (! )

17 7 P v( x ) I c ( c c ) c ( c c ) xi E I P c c + xi P c c P c v( xii ) xii xii + E I P + P c c ( + c ) + c ( c c ) + xii P ( c + c ) P ( c + c ) v( xiii ) xiii xiii + E I P + c ( + c ) + c ( + c ) xiii E I P ( c + c ) ( 4 ) A mondott speciáis esetet a 4 ábra szeméteti 4 ábra Most ( 4 / ) és (! ) képetekke:

18 8 { ( ) ( ) ( ) ( ) } P v( xi ) a + a a + a + a a xi E I P a a + xi ~ ( % ) - ban a kapcsos zárójees tényezőt átaakítva: a ( + a a) + ( a) + ( a) ( a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + a + a a a + a a a ( ) ( ) ( ) + a a + a a a ( ) + a a + a a + a + a a a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) + a a + a a + a a + a + a a + a + a + a a a + a a + a a a ~ ( % ) - ban a szögetes zárójeet átaakítva: a a a a majd ezen részeredményeket ( % ) - ba téve: P P v( xi ) ( a a ) xi xi P P ( a a ) xi xi P xi ( a a xi ) E I ( % ) P xi v( xi ) ( a a xi ) E I ( 4 )

19 9 A ( 4 ) eredmény megegyezik a [ ] - ban feet megfeeő eredménnye Ezután nézzük a II szakasz egyeneteit! A ( 4 / ) és (! ) képetekke: P a a P a v( xii ) xii xii + E I { ( ) ( ) ( ) ( ) } P P a + a + a + a + a a xii ( %% ) ~ ( %% ) - ban a nagy szögetes záróje átaakítása: a a a a + 0 ~ ( %% ) - ban a kapcsos záróje átaakítása az eőző eredményt is fehasznáva: a ( + a ) + ( a) + ( a) ( a) a így (%%) aakja ezekke: P a P P a v( xii ) xii + a xii E I P a P a ( xii + xii a ) ( xii xii a ) P a v( xii ) ( xii xii a ) E I ( 44 ) Ez is egyezik [ ] - bei megfeeőjéve A további számításokat így pédáu a v ( x ) képetek feírását a szésőérték - heyek meghatározását most már az érdekődő Ovasóra bízzuk Megjegyzések: M A [ ] műben az itt evégzett munkáva kapcsoatban arró írnak hogy Két vagy több koncentrát erő tehát három vagy több szakasz esetén pedig hat vagy még enné is több áandóva dogozni gyakoratiag eheteten Itt áttuk hogy gyakoratiag ehetséges bár igencsak munkaigényes

20 0 M A tan - és szakkönyvek kerüik a sok képet feírását ezért is arra bíztatják ovasóikat hogy az addigi eredmények variáásáva odják meg feadataikat Ez a heyzet pédáu a ( 4 / ) képet esetében is errő azt írja [ ] hogy A második rúdszakasz y ( x ) egyenetét feeseges feírni mert itt is hasznáhatjuk az eső szakaszra evezetett függvényt ha b heyébe a - t írunk és x - et a jobb odai rúdvégtő számítjuk Ezze kapcsoatban idekívánkozik hogy a számítógépes ábrázoáshoz ( is ) minden - képpen fe ke írni a rugamas szá tejes egyenetét amit taán nem pont egy tan - könyvben keene megspóroni M A ( 44 ) képette kapcsoatos észrevéteünk hogy a [ ] forrásmunka ehhez az a x ( * ) tartományt jeöi meg a képet működési tartományaként Emékeztetünk itt arra hogy ( / ) és (! ) - nek megfeeően itt érvényes még a c xii c c a a xii a (!! ) c a átaánosabb korátozó fetéte is Itt bizonyára a szimmetria miatt vették a ( * ) tarto - mányt M4 A szakirodaom arra is bíztatja a fehasznáóit hogy az itteni ineárisan rugamas esetben akamazzák a szuperpozíció evét Ezze kapcsoatos azon észrevéteünk hogy ennek során eég könnyű ekeveredni az egymásba ágyazódó tartományokban Ennek részetesebb végiggondoását is az Ovasóra bízzuk M5 Az M megjegyzésben emített idézet szerzője arra hegyezte ki mondanivaóját hogy az ittenihez hasonó p: koncentrát erőkke terhet kéttámaszú tartóná vi - szonyag sok terheési szakasz esetén a egkényemesebb ehet az egységfüggvények ( e ) akamazása Ezze kapcsoatos észrevéteünk hogy híres abszoút kompetens és mértékadó szerzők sem nagyon erőtetik az ( e ) - témát heyette más megodási mód - szerekhez foyamodnak Ez a heyzet [ ] - ná is M A behajási aap - differenciáegyenetek integráásának itteni módját tudatosan váasztottuk a szakirodaomban megszokottó kissé etérőre M7 Lehajási egyeneteink még más akamazásokat is támogathatnak Az érdekődő Ovasónak ajánjuk ezen akamazások részetes federítését!

21 Irodaom: [ ] Muttnyánszky Ádám: Sziárdságtan Műszaki Könyvkiadó Budapest 98 [ ] Peikán József: Sziárdságtan Tankönyvkiadó Budapest 97 [ ] Stephen P Timoshenko ~ James M Gere: Mechanics of Materias Van Nostrand Reinhod Company New York 97 Sződiget 0 ápriis Összeáította: Gagóczi Gyua mérnöktanár