MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Szöveges példák

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Szöveges példák A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! ) Panni és Kati elvállalta, hogy a szövegszerkesztővel legépelik Dani szakdolgozatát. A két lány együttes munkával munkaóra alatt végezne a gépeléssel. Kedden reggel 8 órakor kezdett Panni a munkához, Kati 0 órakor fogott hozzá. Megállás nélkül ki-ki egyenletes sebességgel dolgozott kedden 4 óráig, ekkor a kézirat 40%-ával végeztek, és abbahagyták a munkát. a) Hány óra alatt gépelné le Panni, illetve Kati a teljes szakdolgozatot (állandó munkatempót, és megszakítás nélküli munkát feltételezve)? (9 pont) Szerdán reggel egyszerre kezdtek 9 órakor a gépeléshez, és együtt egyszerre fejezték be. Szerdán Panni fél óra ebédszünetet tartott, Kati pedig a délelőtti munkáját egy órányi időtartamra megszakította. b) Hány órakor végeztek a lányok a munkával szerdán? (7 pont) a) Jelölje azt az időt órában, amennyi idő alatt Panni egyedül begépelte volna a kéziratot, y pedig azt, amennyi alatt Kati végezte volna el ugyanezt a munkát egyedül. Panni szerdán t órát fordított gépelésre. Foglaljuk táblázatba a szövegből kiolvasható adatokat: Panni Kati A teljes munka elvégzése (h) y óra alatti teljesítmény y Gépelésre fordított idő (h) kedden együtt A táblázat helyes kitöltése (3 pont) Mindezekből tudhatjuk A munka elvállalásakor y a keddi nap végén 4 y 5 A két egyenletből: 30 óra és A feladat feltételeinek megfelelően Panni 30 óra, Kati 0 óra alatt végzett volna egyedül a munkával. y 0 óra 4

2 b) Szerdán Panni t, Kati t órát gépelt Szerda délután, a munka befejezésekor t t Ebből Panni fél órát ebédelt, így a gépelésre fordított 7,5 óra 8 óra munkaidőre változik. Kati szerdán órát gépelt, és egy órával több (vagyis 8) volt a munkaideje. Szerdán 9 órakor kezdtek, és mindketten 8 óra munkaidő után fejezték be a gépelést, vagyis 7 órára lettek készen a kézirattal. Összesen: pont t 7,5 óra 7,5 0,5 7 ) A világhírű GAMMA együttes magyarországi koncertkörútja során öt vidéki városban lépett fel. Az alábbi táblázat tartalmazza a körút néhány üzleti adatát. város fizető nézők bevétel a jegyeladásból egy jegy ára (Ft) száma (ezer Ft) Debrecen Győr Kecskemét 00 7 Miskolc Pécs a) A koncertturné során melyik városban adták el a legtöbb jegyet? (3 pont) b) Mennyi volt az összes eladott jegy átlagos ára? (4 pont) Bea elment Budapesten a GAMMA együttes koncertjére, és becslése szerint ember hallgatta a zenét. Peti Prágában volt az együttes koncertjén, ahol a nézők számát 0000 főre becsülte. A GAMMA együttes menedzsere, aki ismerte a tényleges nézőszámokat, elárulta, hogy: - Budapesten a tényleges nézőszám nem tér el 0%-nál többel a Bea által adott becsléstől - Peti becslése nem tér el 0%-nál többel a tényleges prágai nézőszámtól c) Mekkora a budapesti nézőszám és a prágai nézőszám közötti eltérés lehetséges legnagyobb értéke, a kerekítés szabályainak megfelelően ezer főre kerekítve? ( pont) d) A fenti adatok ismeretében előfordulhatott-e, hogy Budapesten és Prágában ugyanannyi ember volt a GAMMA együttes koncertjén? (3 pont)

3 a) A kitöltött táblázat: város fizető nézők száma egy jegy ára (Ft) bevétel a jegyeladásból (ezer Ft) Debrecen Győr Kecskemét Miskolc Pécs Kecskeméten 390, Pécsett 850 fizető néző volt A legtöbb fizető néző Kecskeméten volt b) Az öt városban összesen 5850 fizető néző volt Miskolcon a jegyeladásból 4955 ezer Ft bevétel származott Az öt városban az összes bevétel 797 ezer Ft volt Az átlagos jegyár Ft volt 5850 c) Bea becslése fő, ennek 0%-a 5000 fő. Ha a tényleges nézőszám Budapesten b, akkor Peti becslése 0000 fő, ennek 0%-a 000 fő. Ha a tényleges nézőszám Prágában p, ennek a 0%-a 0,p, akkor 0,9 0000, Innen A legnagyobb eltérés akkor van a két nézőszám között, ha fő A nézőszámok közötti lehetséges legnagyobb eltérés ezresekre kerekített értéke ezer fő d) A b-re kapott és p-re kapott reláció miatt az azonos b és p értékeket a és az intervallumok közös egész elemei adják Tehát, ha mindkét nézőszám ugyanazon eleme az p b p p. Ekkor az eltérés ;55000 b p 5454; p b és 5454;55000 intervallumnak Mindezekből következik, hogy lehetséges, hogy a két fővárosban azonos számú néző hallgatta a GAMMA együttest. Összesen: pont

4 3) Az érett szilva tömegének kb. 5%-a mag közepe. A kimagozott szilva átlagosan 90% vizet és ún. szárazanyagot tartalmaz. A szilva aszalásakor a szárítási technológia során addig vonunk el vizet a kimagozott szilvából, amíg a megmaradt tömegének csak az 5%-a lesz víz, a többi a változatlan szárazanyag-tartalom. Az így kapott terméket nevezzük aszalt szilvának. a) A fentiek figyelembevételével mutassa meg, hogy 0 kg leszedett szilvából kg aszalt szilva állítható elő! ( pont) Az aszalt szilva kilóját 400 Ft-ért, a nyers szilvát pedig 0 Ft-ért lehet értékesíteni. b) Kovács úr szilvatermésének felét nyersen, másik felét pedig aszalt szilvaként adta el. Hány kg volt Kovács úr szilvatermése, ha a nyers és az aszalt szilvából összesen 8000 Ft bevételhez jutott? (3 pont) A piacon egy pénteki napon összesen 70 kg szilvát adtak el. Ez a mennyiség az alábbi kördiagram szerint oszlik meg az A, B, C és D fajták között. c) Átlagosan mennyit fizettek a vevők egy kilogrammért az adott napon, ha az egyes fajták ára: A- 0 Ft/kg B- 00 Ft/kg C- 30 Ft/kg D- 0 Ft/kg (7 pont) a) 0 kg leszedett szilvából kimagozás után 9,5 kg szilva lesz A 9,5 kg kimagozott szilvából 90% víz, míg 0%, azaz 0,95 kg a szárazanyagtartalom A 0 kg nyers szilvából készült aszalt szilvában ez a 0,95 kg a feltétel szerint a tömeg 95%-a, hiszen csak 5%-a víz. Tehát keressük, hogy hány kg-nak a 95%-a lesz 0,95 kg. Így adódik a 00%- ra kg. Azaz 0 kg szilvából valóban mindössze kg aszalt szilva lesz. b) Ha kg volt a termése, akkor a feltétel szerint: 0 0, kg

5 c) A: B: C: D: rész (300 kg) rész (80 kg) rész (3 kg) Az átlagár súlyozott közép: rész (04 kg) (4 pont) 85,7 Tehát az átlagár kb. 85 Ft. Összesen: pont 4) Egy üzletben háromféle palackozott ecet van a polcon: db 0%-os, 8 db 5%-os és 5 db 0%-os. Mindegyiket azonos csomagolásban, literes kiszerelésben árulják. a) Hány százalékos ecetet kapnánk, ha a polcon lévő összes ecetet összeöntenénk? (3 pont) Kázmér elképzelése az, hogy egy palack ecet árát az üres palack árából, a tömény ecet valamint a tiszta víz literenként árából kalkulálják ki. b) Az üres palack ára 30 Ft, a tömény ecet literje 500 Ft, a tiszta víz literje 0 Ft. Mennyibe kerülne a három különböző töménységű palackozott ecet az üzletben, ha a fogyasztói ár a Kázmér elképzelése szerint kalkulált ár 0%-a? (A fogyasztói árat a végén kerekítik egész forintra.) (5 pont) Kázmér felírta a literes palackok bolti árait: a 0%-os ecet 44 Ft, a 5%-os 50 Ft, a 0%-os 5 Ft. c) Ha ezeket az árakat a b) részben leírtak szerint kalkulálták, akkor ki lehet-e mindezekből számítani az üres palack, a tömény ecet és a tiszta víz árát? (8 pont) a) A liter 0%-os ecet tömény tartalma:, liter, a 8 liter 5%-os eceté is, liter, az 5 liter 0%-osé pedig liter. Az összehasonlítás utáni 5 liter keverékben a tömény ecet 3,4 liter. 3,4 3,5 Ezért a keverék 3,% -os 5 00

6 b) Ha a palackban a tömény ecet mennyisége a, a tiszta vízé b (liter), Kázmér számolása szerint egy palack ára forint ami a 0%-os palackesetén a 5%-os palack estén a 0%-os palack esetén, 500a 0b 30, 500 0, 0 0, Ft, 500 0,5 0 0, , 500 0, 0 0,8 30 Ft Ft c) Kázmér kalkulációja alapján a kereskedelmi árrés nélkül megállapított árak a 0%-os palack esetén 0 Ft, a 5%-os palackra 5 Ft, a 0%-osra pedig 30 Ft Jelölje a palack árát forintban p, a tömény ecet literjének árát t és a víz literjének árát v. Felírhatók az alábbi egyenletek: () p 0, t 0,9 v 0 () (3) A ()-() egyenletekből kapjuk, hogy 0,05 t 0,05 v 5 Ugyanezt kapjuk a (3)-() egyenletekből A három egyenlet tehát nem független egymástól. A p, t és v egyértelmű értékeinek megállapítása ezekből az adatokból nem lehetséges Összesen: pont p 0,5 t 0,85 v 5 p 0, t 0,8 v 30 5) Egy áruházban egy mosóport négyféle kiszerelésben árusítanak. Az első kiszerelés 50%-kal drágább a harmadiknál, és 0%-kal kevesebb mosópor van benne, mint a másodikban. A második 50%-kal több mosóport tartalmaz, mint a harmadik, és 5%-kal többe kerül, mint az első. a) Az első három kiszerelés közül melyikben a legalacsonyabb a mosópor egységára? (3 pont) A negyedik fajta kiszerelést úgy állították össze, hogy annak dobozán a feltüntetett egységár megegyezett az első három kiszerelés átlagos egységárával. b) Ha a legolcsóbb kiszerelésű dobozon 00 Ft egységárat tüntettek fel, akkor hány forint egységár szerepel a negyedik fajta dobozon?(3 pont) a).. 3.,5,5 ár,5,875 tömeg egységár ár tömeg,5 0,8y, y,5, y,5y y,875,5 y y ( pont),5,5 y y Tehát a harmadik kiszerelés egységára a legalacsonyabb b) Ha a legolcsóbb kiszerelés egységára 00 Ft, a másik kettőé ennek a 5%-a, azaz Ft

7 A három kiszerelés átlagos egységára: A negyedik kiszerelésen 700 Ft egységár szerepel 3 Összesen: pont ) Egy egyetem hallgatójának tanulmányi lapjáról összesítették az angol és német nyelvvizsgák számát. Kiderült, hogy a német nyelvvizsgával nem rendelkezők 70%-ának, a német nyelvvizsgával rendelkezők 30%-ának nincs angol nyelvvizsgája. Az angol nyelvvizsgával nem rendelkezők 0%-ának nyelvvizsgája sincs. a) Ezek közül a hallgatók közül hányan rendelkeznek angol és hányan német nyelvvizsgával? ( pont) b) A hallgatók hány százaléka rendelkezett angol és német nyelvvizsgák mindegyikével? (4 pont) a) Szemléltessük a feltételeket ábrával, ahol a hallgatók közül főnek nincs német nyelvvizsgája és főnek van német nyelvvizsgája, nincs német van német nyelvvizsgája nyelvvizsgája ( fő) nincs angol nincs sem német, sem van német, de nincs nyelvvizsgája angol nyelvvizsgája angol nyelvvizsgája van angol nyelvvizsgája nincs német, de van német és angol angol nyelvvizsgája nyelvvizsgája is van A feladat helyes értelmezése (komplementer halmazok) A feladat feltétele alapján az fő 70%-ának, vagyis 0,7 főnek nincs sem német, sem angol nyelvvizsgája és a fő 30%-ának vagyis főnek van német, de nincs angol 0580 nyelvvizsgája 0580 Tehát nincs angol nyelvvizsgája 374 0,4 főnek Így a feladat feltétele szerint a 0, 374 0, ,7 0, ,4 főnek nincs sem német, sem angol nyelvvizsgája fő 0%-ának, vagyis Innen 0,7 0, 374 0,4 A német nyelvvizsgával rendelkezők száma: fő Nincs angol nyelvvizsgája 374 0, főnek Van angol nyelvvizsgája főnek

8 b) A német vizsgával rendelkezők 440 fő 30%-a, (vagyis 93 fő) nem vizsgázott angolból vagyis a német nyelvvizsgával rendelkezők 70%-a angolból is vizsgázott, ezek száma 4508 fő ,4 A hallgatók 4,%-ának van angolból és németből is vizsgája Összesen: pont 7) Egy város sportklubjának 40 fős tagságát felnőttek és diákok alkotják. A tagság 55%-a sportol rendszeresen. A rendszeresen sportoló tagok számának és a sportklub teljes taglétszámának az aránya 8 -szor akkora, mint a rendszeresen sportoló felnőttek számának aránya a felnőtt klubtagok számához viszonyítva. A rendszeresen sportolók aránya a felnőtt tagságban fele akkora, mint amekkora ez az arány a diákok között. Hány felnőtt és hány diák tagja van ennek a sportklubnak? (3 pont) Jelölje f a sportklub felnőtt tagjainak számát. Ekkor a diákok száma a sportklubban 40 f. A rendszeresen sportolók száma 40-nek a az 55%-a, 0, fő. A rendszeresen sportolók aránya a teljes tagságban 0,55. Ennek a része, vagyis 8 0,55 0,4 8 -ed a rendszeresen sportolók aránya a felnőttek között. A rendszeresen sportolók aránya a diákok között ennek az arányszámnak a kétszerese, vagyis 0,8 A rendszeresen sportoló felnőttek száma 0,4 f A rendszeresen sportoló diákok száma 0,8 40 f A rendszeresen sportolók száma e két létszám összege: 0,4 f 0,8 40 f 35 Innen és 40 f 40 A felnőtt tagok száma 400, a diákok száma 40 Ellenőrzés Összesen: 3 pont f 400

9 8) A nyomda egy plakátot példányban állít elő. A költségeket csak a nyomtatáshoz felhasznált nyomólemezek (klisék) darabszámának változtatásával tudják befolyásolni. Egy nyomólemez 500 Ft-ba kerül, és a nyomólemezek mindegyikével óránként 00 plakát készül. A nyomólemezek árán felül, a lemezek számától függetlenül, minden nyomtatásra fordított munkaóra további nyomdának. A ráfordított idő és az erre az időre jutó költség egyenesen arányos. a) Mennyi a nyomólemezek árának és a nyomtatásra fordított munkaórák miatt fellépő költségek összege, ha a kinyomtatásához nyomólemezt használnak? (4 pont) b) A plakát kinyomtatását a nyomda a legkisebb költséggel akarja megoldani. Hány nyomólemezt kell ekkor használnia? Mennyi ebben az esetben a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege? ( pont) Ft költséget jelent a plakát a) nyomólemez óránként 000 plakát elkészítését tesz lehetővé ezért a teljes mennyiséghez óra szükséges A nyomólemezek előállítási költsége és a munkaidő további költségének összege: Ft b) Ha a nyomda darab nyomólemezt használ, akkor ennek a költsége 500 Az darab lemezzel óránként 00 darab plakát készül el, ezért a 4400 darab kinyomtatásához és ez további 5,7 0 A két költség összege forint, K 5, órát vesz igénybe, ahol pozitív egész Tekintsük a pozitív valós számok halmazán a K utasítása szerint értelmezett függvényt Az így megadott K függvény minimumár keressük. A K függvény deriválható 5,7 0 és minden 0 esetén K 500. A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy K 0 5, , innen 304 Annak igazolása, hogy az 7,5 0 K 3 Azaz 48 nyomólemez alkalmazása esetén lesz minimális a költség 48, mert 0 48 (abszolút) minimumhely:

10 48 darab nyomólemez alkalmazása esetén a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege: Ft K Összesen: pont 9) Egy 0-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt 00%-nak vesszük, akkor Budapesten az átlagfizetés 3,%, az átlagos árszínvonal pedig 70,9%. (Az árszínvonal számításához áru és szolgáltatás árát hasonlították össze.) Feltételezve, hogy az idézet megállapításai igazak, válaszoljon az alábbi kérdésekre! a) Ha Budapesten az átlagfizetés 50 ezer forint, akkor hány dollár ($) a havi átlagfizetés New York-ban, 90 forint/dollár ($) árfolyammal számolva? Válaszát egész dollárra kerekítve adja meg! (4 pont) b) Ha a New York-i havi átlagfizetésből egy bizonyos termékből 00 kgot vásárolhatunk New York-ban, akkor körülbelül hány kg-ot vásárolhatunk ugyanebből a termékből a budapesti havi átlagfizetésből Budapesten? (Feltehetjük, hogy a termék egységára 70,9%-a a termék New York-i egységárának.) (7 pont) a) első megoldás: A New York-i átlagfizetés ( 35593) forint, ami ,3 90 0, $-nak felel meg. második megoldás röviden Ft megfelel átlagfizetésnek, amely így 789, , $. dollárnak. Ez 3,%-a a New York-is b) New Yorkban 3345$-ért 00 kg vehető, tehát kg ára 33,45 $ Budapesten kg árut ennek 70,9%-áért lehet vásárolni, azaz 33,45 0,709 3,7 $-ért. Ez megfelel 33,45 0, A budapesti átlagfizetésből ennyi pénzért 33,3 kg terméket lehet vásárolni. Ft-nak ,45 0, Összesen: pont

11 0) A TOJÁS farmon átlagosan 0000 tyúkot tartanak. Ezek egy év alatt mintegy,0 millió tojást tojnak. A tenyésztők azt tapasztalták, hogy valószínűleg a zsúfoltság csökkenése miatt ha a tyúkok számát 4%-kal csökkentik, akkor az egy tojóra jutó átlagos tojástermelés 8%-kal nő. a) A tyúkok számának 4%-os csökkentése után, mennyi lett a tojásfarmon az évi termelés? (5 pont) Az a tapasztalat, hogy a tyúkok számának p%-kal történő csökkenése p%-kal növeli az egy tyúkra vonatkozó tojásmennyiséget, csak p 30 esetén érvényes. b) Hány százalékkal csökkentették tavaly a tyúkok számát, ha ezzel évi 8%-os termelésnövekedést értek elegy év alatt? ( pont) a) A tyúkok számát 4%-kal csökkentve ,9 900 tyúk lesz az tojóra jutó tojástermelés Tehát az évi termelés azaz 8090,8 0, 0,08 37, 0000, ,9, b) A keresett százalékot p-vel jelölve lett. Tehát az évi termelés,8 millió tojás p 30 csökkentve adódik, hogy számuk Az tojóra jutó termelés A szöveg szerint Azaz, 0 p p lett, a tyúkok számát p%-kal p, 0 p 0000, 0,08 p p, Az egyenlet mindkét oldalát 0000-el beszorozva 00 p 00 p 0800 A szorzás elvégzése után: p p 0800 Rendezés után: másodfokú egyenlethez jutunk Ennek megoldásai: 40 és 0 Mivel Ellenőrizve, ha a 9000-re csökkentett létszám esetén 0%-kal nő az egy p 50p p 30, így csak 0 lehet a megoldás tyúkra jutó tojásmennyiség, azaz, 0,08, 0, 0000 lesz, ekkor az évi termelés. Tehát 0%-kal kell csökkenteni a tyúkok számát. Összesen: pont

12 ) Egy új típusú sorsjegyből 5 millió darab készült, egy sorsjegy ára 00 Ft. Minden egyes sorsjegyen vagy a Nyert vagy a Nem nyert felirat található, és a nyertes sorsjegyen feltüntetik a nyertes szelvény tulajdonosa által felvehető összeget is. A gyártás során a mellékelt táblázat szerinti eloszlásban készült el az 5 millió sorsjegy. a) Ha minden sorsjegyet eladnának és a nyertesek minden nyereményt felvennének, akkor mekkora lenne a sorsjegyek eladásából származó bevétel és a kifizetett nyeremény különbözete? (3 pont) b) Aki a kibocsátás után az első sorsjegyet megveszi, mekkora valószínűséggel nyer a sorsjegy áránál többet? (4 pont) c) Számítsa ki, hogy ebben a szerencsejátékban az első sorsjegyet megvásárló személy nyereségének mennyi a várható értéke! (A a) A bevétel: nyereség várható értékének kiszámításához nemcsak a megnyerhető összeget, hanem a sorsjegy árát is figyelembe kell venni.) (4 pont) Ft A kifizetett nyeremény: , Ft Tehát a különbözet 400 millió Ft b) Az 5 millió sorsjegy bármelyikét egyenlő valószínűséggel húzhatjuk A kedvező esetek száma Tehát a keresett valószínűség: p 0, 5 0 c) A felvehető nyeremény várható értéke: , A nyereség várható értéke tehát 0 Ft Ft (3 pont) Összesen: pont

13 ) Aranyékszerek készítésekor az aranyat mindig ötvözik valamilyen másik fémmel. A karát az aranyötvözet finomságát jelöli. Egy aranyötvözet karátos, ha az ötvözet teljes tömegének k aranyötvözet tömegének 4 része arany. 4 része arany, a k karátos Kata örökölt a nagymamájától egy 7 grammos, 8 karátos aranyláncot. Ebből két darab 4 karátos karikagyűrűt szeretne csináltatni. a) Legfeljebb hány gramm lehet a két gyűrű együttes tömege, ha aranytartalmuk összesen sem több mint az aranylánc aranytartalma? (4 pont) b) Kata végül két olyan gyűrűt készíttetett, amelyek együttes tömege gramm. (A megmaradó 4 karátos aranyötvözetet törtaranyként visszakapta.) Az elkészült két karikagyűrű tekinthető két lyukas hengernek, amelyek szélessége (a lyukas hengerek magassága) megegyezik. Az egyik gyűrű belső átmérője 7 mm, és mindenhol,5 mm vastag, a másik gyűrű belső átmérője 9,8 mm, vastagsága pedig mindenhol, mm. Hány mm a gyűrűk szélessége, ha a készítésükhöz használt 4 g karátos aranyötvözet sűrűsége 5? (0 pont) cm 3 Válaszait egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! a) A 7 gramm 8 karátos ékszer aranytartalma gramm 4 karátos ékszer aranytartalma: Ebből 8 7,75 4 4,75 4 (gramm). (gramm).,8, így a két gyűrű együttes tömege legfeljebb,9 gramm. b) A két gyűrű térfogatának összege m V,07 cm 0,7 mm Egy gyűrű térfogata két henger térfogatának különbsége. Az egyik gyűrű belső sugara 8,5 mm, külső sugara 0 mm, és ha a keresett szélesség, akkor V 0 8,5 87, (mm 3 ). A másik gyűrű belső sugara 9,9 mm, külső sugara,5 mm, így (mm 3 ) V,5 9,9 07, V V V, azaz 0,7 87, 07,. Ebből A gyűrűk szélessége 5,5 mm. Összesen: 4 pont 5,48 mm..