Az alábbi feladatok a közötti zárószigorlat írásbeli dolgozatok feladatai,

Átírás

1 Az alábbi feladatok a közötti zárószigorlat írásbeli dolgozatok feladatai, ömlesztve. 1. Mit értünk azon, hogy a b (mod m)? 2. Mit tud a végtelen mértani sor konvergenciájáról és összegérõl? 3. Definiálja a binomiális eloszlást. 4. (a) Írja fel a tízes számrendszerbeli 2010 számot hármas számrendszerben. (b) Írja fel a hármas számrendszerbeli 2010 számot tízes számrendszerben. 5. Mely p prímekre lesz p + 7 is prím? 6. Egy háromszöget tükrözünk a súlypontjára. Hogyan aránylik a két háromszög metszetének területe az eredeti háromszög területéhez? 7. Ábrázolja az f(x) := 3x+4 4x+5 függvény grafikonját. Jellemezze a függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, korlátosság). 8. Adjon meg bijekciót a valós számok halmaza és a (0, ) intervallum pontjai között. 9. Hány részhalmaza van egy n elemû halmaznak? 10. Egy (szabályos) kockát ismételten feldobunk. Mennyi a valószínûsége annak, hogy éppen a negyedik dobásnál dobunk elõször négyest? 11. Mit értünk egy determináns i-edik sora szerinti kifejtésén? 12. Mit jelent az, hogy egy f függvény egy J intervallumon egyenletesen folytonos? 13. Definiálja két véletlen változó korrelációját. 14. Irreducibilis-e az x 3 +x 2 5x+3 polinom a racionális számtest fölött? 15. Ábrázolja az x 1 x x+1 törtlineáris függvény grafikonját, és jellemezze a függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, folytonosság, korlátosság). 16. Adjon meg olyan függvényt, amely értelmezve van R-en, de csak a 0 pontban folytonos. 17. Elválasztja-e a 2x y+3 = 0 egyenletû egyenes az A( 2,1) és a B(1,1) pontokat? 18. Mennyi a számossága a végtelen 0-1 sorozatok halmazának? 19. Hány (nem szükségszerûen értelmes) anagrammája van a KOMBINATORIKA szónak? 20. A P(A B) feltételes valószínûség lehet-e (a) nagyobb, mint P(A)? (b) kisebb, mint P(A)? 21. Definiálja, hogy mit nevezünk algebrai, illetve transzcendens számnak. Adjon példát algebrai, illetve transzcendens számra.

2 22. Ábrázolja az x ( 1 2) x függvény inverzét. 23. Definiálja a teljes eseményrendszereket. 24. Mennyi lehet az R 3 vektortérben egy három vektorból álló vektorrendszer rangja? Adjon példát mindegyik lehetõségre. 25. Ábrázolja az x e x (1+x) függvény grafikonját, és jellemezze a függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, folytonosság, korlátosság). 26. Mondja ki a végtelen sorok konvergenciájára vonatkozó hányadoskritériumot. 27. Egy tetraéder csúcsai A(0, 1, 0), B(2, 1, 0), C(3, 0, 0) és D(0, 1, 4). Mekkora a súlypontját az A csúccsal összekötõ szakasz hossza? 28. Bizonyítsa be, hogy a racionális számok halmazának számossága megegyezik a pozitív egész számok halmazának számosságával. 29. Hány (nem szükségszerûen értelmes) anagrammája van az ABRAKADABRA szónak? 30. N termék közül M darab selejtes, N M darab hibátlan. Az N termékbõl egyszerre kimarkolva egy n elemû mintát, mennyi annak a p n,k valószínûsége, hogy k darab lesz a mintában selejtes? 31. Definiálja a lineáris leképezés fogalmát, valamint lineáris leképezés magját és képterét. 32. Fogalmazza meg a Newton Leibniz-tételt. 33. Definiálja a teljes eseményrendszer fogalmát. 34. Készítsen olyan háromváltozós ítéletkalkulusbeli formulát, amely akkor és csak akkor igaz, ha a benne elõforduló változók közül pontosan kettõ igaz. 35. Ábrázolja az x e x (1+x) függvény grafikonját, és jellemezze a függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, folytonosság, korlátosság). 36. Bontsa fel az a(8; 1) vektort a b(3; 2) vektorral párhuzamos és arra merõleges összetevõre. 37. Határozza meg az 1+ 3i komplex szám negyedik gyökeit. 38. Andi egy szabályos kockával dob, Bandi pedig két szabályos kockával. Mennyi a valószínûsége, hogy a Bandi által dobott két szám összege nem nagyobb az Andi által dobott számnál? 39. Adjon meg olyan sorozatot, amelynek végtelen sok torlódási pontja van. 40. Írja le a térképszínezési problémát. 41. Definiálja, mit értünk egy gráf egy komponensén. 42. Mondja ki a Bolzano Weierstrass-tételt számsorozatokra.

3 43. Definiálja véletlen változó szórását. 44. Adja meg a szitaformulát. 45. Készítsen olyan diszjunktív normálformát, amely ekvivalens a (p q) r formulával. 46. Vizsgálja meg a 4 2x függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás), és ábrázolja a függvény grafikonját. 47. Szerkesszen kört, amely érint két adott, egymást metszõ egyenest és átmegy egy adott ponton, mely nincsen rajta egyik egyenesen sem. 48. Mutasson példát olyan (a n ) n 1 és (b n ) n 1 sorozatokra, amelyekre (a) a n, de (a n ) n 1 nem monoton; (b) a n, b n 0 és a n b n ; (c) a n, b n 0 és a n b n 0; (d) a n, b n 0 és (a n b n ) n 1 korlátos, de nem konvergens termék közül 20 darab selejtes, 980 hibátlan. Az 1000 termékbõl egyenként, egymás után, visszatevéssel 50 darabot kiválasztva, mennyi annak a valószínûsége, hogy pontosan 1 darab lesz a mintában selejtes? 50. (a) Adja meg a valós számok additív csoportjában a 2 által generált részcsoportot. (b) Adja meg a pozitív valós számok multiplikatív csoportjában a 2 által generált részcsoportot. 51. Definiálja a fagráf fogalmát. 52. Adja meg a következõ definíciót: lim x a f(x) = A, ahol f : R R, és a,a R. 53. Definiálja az n, p paraméterû binomiális eloszlást. 54. Készítsen olyan teljes diszjunktív normálformát, amely ekvivalens a (p r) (q r) formulával. 55. Vizsgálja meg a e x2 függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás), és ábrázolja a függvény grafikonját. 56. Igaz-e, hogy ha egy sorozat konvergens, akkor mindig van legnagyobb eleme? 57. Írja fel a V(1, 1, 2. 2) Vandermonde-determinánst, és számolja ki az értékét. 58. Az a(6, 2, 3), b( 3, 6, 2) és c vektorok egy kockát feszítenek ki. Határozza meg a c vektor koordinátáit. 59. Egy kockával ismételten dobva mennyi a p n valószínûsége annak, hogy éppen azn-edik ismétlésnél dobunk elõször 6-ost? 60. Mondja ki a Cauchy-féle konvergencia-kritériumot számsorozatokra.

4 61. Definiálja azt, hogy egy f : R R függvénynek egy a R pontban helyi maximuma van. 62. Definiálja az összefüggõ gráf fogalmát. 63. Definiálja az (a, b) intervallumon egyenletes eloszlást. 64. Készítsen olyan teljes diszjunktív normálformát, amely ekvivalens a (p q) (p r) formulával. 65. Vizsgálja meg a sin ( 2x π 4) függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás), és ábrázolja a függvény grafikonját. 66. Határozza meg az x 3 +3x+2 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét. 67. Számítsa ki cot ( arcsin 1 5) pontos értékét. 68. Válasszuk ki az egységkocka három kitérõ élét. Mekkora területû az ezen élek felezõpontjai által meghatározott háromszög? 69. Lehet-e független két diszjunkt (egymást kizáró) A és B esemény? 70. Adja meg az e x függvény hatványsorát, és adja meg azt is, hogy ez a sor hol állítja elõ a függvényt. 71. Legyen a > 0. Hogyan értelmezhetõ a x, ha (a) x pozitív egész szám? (b) x negatív egész szám? (c) x racionális szám? (d) x irracionális szám? 72. Definiálja a páros gráf fogalmát. 73. Definiálja a λ > 0 paraméterû exponenciális eloszlást. 74. Döntse el, hogy tautológia-e a következõ formula: p ( q ( q p)). 75. Vizsgálja meg a tan ( π x 2) függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás), és ábrázolja a függvény grafikonját. 76. Legyen ϕ a térnek (azaz az R fölötti R 3 vektortérnek) azon lineáris transzformációja, mely minden vektorhoz hozzárendeli a Z tengelyre vonatkozó tükörképét. Adja meg ϕ mátrixát a standard bázisban. 77. Egy tetraéder csúcspontjai A(0, 1.0), B((2, 1, 0), C(3, 0, 0), D(0, 1, 4). Mekkora a súlypontját az A csúccsal összekötõ szakasz hossza? 78. Van-e olyan csoport, amelyben hatodrendû elem van, de harmadrendû elem nincsen?

5 79. Az alábbi állítások közül melyik igaz tetszõleges A és B esetén? (a) Ha A megszámlálható és B A, akkor B is megszámlálható. (b) Ha A megszámlálható és A B, akkor B is megszámlálható. 80. Hogy szól a váltakozó elõjelû sorokra vonatkozó Leibniz-kritérium? 81. Adja meg kanonikus alakban az 1 i 1+i komplex számot. 82. Adjon meg bijekciót a valós számok halmaza és a (0, ) intervallum pontjai között. 83. Adjon meg olyan f : R R függvényt, amely a 0 pontban egyszer differenciálható, de kétszer nem. 84. Irja fel (a) a tizes számrendszerbeli 2011 számot ötös számrendszerben; (b) a hármas számrendszerbeli 2011 számot tízes számrendszerben. 85. Vizsgálja meg a 1 x 2 függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját. 86. Egy háromszög A, B, C csúcsa körül rendre 2α, 2β, 2γ szögû forgatást végzünk (α, β, γ a háromszög szögei). Milyen transzformáció a három forgatás szorzata? 87. Számítsa ki az x+2 3 = 2y 3 = z+1 5 és x 3 3 = y+3 2 = z 5 egyenesek hajlásszögét. 88. Adja meg az (1+x) 1 függvény hatványsorát, és adja meg azt is, hogy ez a sor hol állítja elõ a függvényt. 89. Igaz-e a következõ két állítás? (a) Ha egy lineáris egyenletrendszernek több egyenlete van, mint ismeretlene, akkor nincs megoldása. (b) Ha egy lineáris egyenletrendszernek kevesebb egyenlete van, mint ismeretlene, akkor van megoldása. 90. Van-e olyan függvény, amely nem szigorúan monoton egy intevallumon, mégis van inverze? 91. Adja meg kanonikus alakban az 1+i 1 i komplex számot. 92. Adjon meg bijekciót az egész számok halmaza és a pozitív egész számok halmaza között. 93. Adjon meg olyan f : R R folytonos függvényt, amely végtelen sok pontban nem differenciálható. 94. Írja fel (a) a tizes számrendszerbeli 2011 számot négyes számrendszerben; (b) a négyes számrendszerbeli 2011 számot tízes számrendszerben.

6 95. Vizsgálja meg a 2x x 2 függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet, konvexitás), és ábrázolja a függvény grafikonját. 96. Definiálja, mit értünk egy gráf egy összefüggõ komponensén. 97. Határozza meg az x 3 +x 2 +x+1 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét. 98. Andi és Bandi egy-egy szabályos kockával dobnak. Mennyi a valószínûsége, hogy a Bandi által dobott szám nagyobb az Andi által dobott számnál? 99. Mennyi lehet az R 3 vektortérben egy három vektorból álló vektorrendszer rangja? Adjon példát mindegyik lehetõségre Elválasztja-e a 2x y+3 = 0 egyenletû egyenes az A( 2,1) és a B(1,1) pontokat? 101. Oldja meg az x 2 2ix 2 = 0 egyenletet a komplex számok körében Adjon meg bijekciót a valós számok halmaza és a pozitív valós számok halmaza között Adjon meg olyan f : R R függvényt, amely a 0 pontban kétszer differenciálható, de háromszor nem Igaz-e a következõ két állítás? (a) Ha egy lineáris egyenletrendszernek több egyenlete van, mint ismeretlene, akkor nincs megoldása. (b) Ha egy lineáris egyenletrendszernek kevesebb egyenlete van, mint ismeretlene, akkor van megoldása Vizsgálja meg a x(1 x) függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet, konvexitás), és ábrázolja a függvény grafikonját Adja meg az (1 x) 1 függvény hatványsorát, és adja meg azt is, hogy ez a sor hol állítja elõ a függvényt Határozza meg az x 3 x 2 +x 1 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét Andi és Bandi két-két szabályos érmével dobnak. Mennyi a valószínûsége, hogy Bandi több fejet dob mint Andi? 109. Egy háromszöget tükrözünk a súlypontjára. Hogyan aránylik a két háromszög metszetének területe az eredeti háromszög területéhez? 110. Adjon meg olyan sorozatot, amelynek pontosan három torlódási pontja van Definiálja a fagráf fogalmát Mikor mondjuk azt, hogy a g : R 3 R 2 leképezés lineáris? 113. Mondja ki a Cauchy-féle konvergenciakritériumot számsorozatokra Határozza meg a 1 komplex szám harmadik gyökeit.

7 115. Vizsgálja meg a ln x ln(1 x) függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet, konvexitás), és ábrázolja a függvény grafikonját Adja meg a valós számok additív csoportjában a {2, 3} részhalmaz által generált részcsoportot Mit ért az alatt, hogy az f : I R függvény az I intervallumon konkáv? 118. Melyik a valószínûbb: az, hogy egy szabályos érmével kétszer dobva legalább egyszer fej lesz, vagy pedig hogy két szabályos érmével négyszer dobva legalább egyszer mind a két érmén fej lesz? 119. Mekkora térfogatú az egységkocka lapjainak középpontjai által meghatározott oktaéder? 120. Tekintsünk egy f : R R függvényt. Tagadja a következõ állítást: minden K R számhoz létezik olyan L R, hogy minden x (L, ) esetén f(x) K" 121. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy társaságban mindig van két olyan ember, akiknek ugyanannyi ismerõse van Van-e olyan korlátos valós számsorozat, melynek nincsen sem legnagyobb, sem legkisebb eleme? 123. Definiálja azt, hogy egy f : R R függvénynek egy a R pontban helyi maximuma van Adja meg a 2+2 3i komplex szám negyedik gyökeit kanonikus alakban Vizsgálja meg a x függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet, konvexitás, folytonosság, differenciálhatóság), és ábrázolja a függvény grafikonját Adja meg a valós számok additív csoportjában a {2, 4} részhalmaz által generált részcsoportot Legyen a = (1,2,0), b = (1,0, 2), c = (1, 1,3). Írja fel a v = (2,0,8) vektort az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként Melyik a valószínûbb: az, hogy egy szabályos érmével háromszor dobva legalább egyszer fej lesz, vagy pedig hogy egy szabályos dobókockával háromszor dobva legalább egyszer páros szám lesz? 129. Mekkora térfogatú az egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder lapjainak középpontjai által meghatározott szabályos tetraéder? 130. Tekintsünk egy f : R R függvényt és a következõ állítást: minden K R számhoz létezik olyan x R hogy f(x) K". Tagadása-e ennek az az állítás, hogy minden K R számhoz létezik olyan x R hogy f(x) < K"? (Ha igen, akkor indokolja meg; ha nem, akkor cáfolja.)

8 131. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy társaságban mindig van két olyan ember, akiknek ugyanannyi ismerõse van Adjon példát nemkommutatív csoportra Mit tud a végtelen mértani sor konvergenciájáról és összegérõl? 134. Adja meg az x 2 +(3 i)x+4 3i = 0 egyenlet komplex gyökeit kanonikus alakban. 9 3x 135. Vizsgálja meg a függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet), x 2 és ábrázolja a függvény grafikonját Tudjuk, hogy a n b n és a n is konvergensek; igaz-e, hogy b n is szükségképpen konvergens? 137. Döntse el, hogy elõállítható-e a v = (2,0,8) vektor az a = (1,2,0) és b = (1,0, 2) vektorok lineáris kombinációjaként Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón, amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot, három találatunk lesz? 139. Mekkora területû az egységnyi területû szabályos hatszög élközéppontjai által meghatározott szabályos hatszög? 140. Tekintsünk egy f : R R függvényt és a következõ állítást: létezik olyan K R szám, hogy minden x R esetén f(x) K". Tagadása-e ennek az az állítás, hogy létezik olyan K R szám, hogy minden x R esetén f(x) < K"? (Ha igen, akkor indokolja meg; ha nem, akkor cáfolja.) 141. Irreducibilis-e az x 2 +1 polinom a komplex számtest fölött? 142. Mit jelent az, hogy egy f függvény egy J intervallumon egyenletesen folytonos? 143. Definiálja a lineáris leképezés fogalmát, valamint lineáris leképezés magját és képterét Vizsgálja meg a 2x 2 7x+6 x 2 3x+2 függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját Bontsa fel az a(8; 1) vektort a b(3; 2) vektorral párhuzamos és arra merõleges összetevõre Adjon meg olyan valós számsorozatot, amelynek végtelen sok torlódási pontja van Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) a kihúzott számok között kettõ páros és három páratlan van? 148. Mekkora területû az egységnyi területû szabályos nyolcszög élközéppontjai által meghatározott szabályos nyolcszög? 149. Formalizálja logikai eszközökkel az alábbi következtetési formát: Minden bogár rovar. A cserebogár egy bogár. Tehát a cserebogár rovar.

9 150. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy két színnel kiszínezett hat csúcsú teljes gráfban mindig van egyszínû háromszög Bontsa fel az x 3 +x 2 +x+1 polinomot irreducibilis polinomok szorzatára (a) a racionális számtest fölött; (b) a valós számtest fölött; (c) a komplex számtest fölött Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy két megszámlálhatóan végtelen halmaz (a) uniója megszámlálhatóan végtelen; (b) metszete megszámlálhatóan végtelen Egy kétjegyû számot háromszor egymás mellé írunk. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy az így kapott hatjegyû szám mindig osztható (a) 3-mal; (b) 7-tel; (c) 13-mal Adja meg az sinh(x) := ex e x 2 függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és értékkészletét Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy n elemû halmaznak ugyanannyi páros elemszámú részhalmaza van, mint amennyi páratlan elemszámú Adjon meg olyan függvényt, amely folytonos az (1, 2) intervallumon, és ott nem egyenletesen folytonos Az A és B játékosok a következõ játékot játsszák. Az A játékos feldob egy szabályos dobókockát és annyi forintot fizet B-nek, amennyi a dobás eredménye. A B játékos feldob egy szabályos érmét, és ha írást dobott, akkor 3x forintot fizet A-nak, ha pedig fejet dobott, akkor 4x forintot fizet A-nak. Mennyi legyen x, hogy a játék igazságos legyen (abban az értelemben, hogy A illetve B elõjeles nyereményének várható értéke 0)? 158. Mekkora területû az egységnyi területû szabályos hatszög minden második élközéppontja által meghatározott szabályos háromzög? 159. Adja meg az R fölötti R 3 vektortér standard bázisáról a (0,1,0), (0,0,1), (1,0,0) bázisára való áttérés mátrixát, és a fordított irányú áttérés mátrixát is Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy két színnel kiszínezett öt csúcsú teljes gráfban mindig van egyszínû háromszög Bontsa fel az x 4 x 2 2 polinomot irreducibilis polinomok szorzatára (a) a racionális számtest fölött;

10 (b) a valós számtest fölött; (c) a komplex számtest fölött Legyenek A és B megszámlálhatóan végtelen halmazok. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy (a) A\ B megszámlálhatóan végtelen; (b) A\B véges Egy háromjegyû számot kétszer egymás mellé írunk. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy az így kapott hatjegyû szám mindig osztható (a) 3-mal; (b) 7-tel; (c) 11-gyel; (d) 13-mal Adja meg az coth(x) := ex +e x függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és e x e x értékkészletét Határozza meg az 1+ 3i komplex szám negyedik gyökeit Adjon meg olyan függvényt, amely értelmezve van R-en, de csak a 0 pontban folytonos Egy szabályos dobókockával végzünk egy dobást. Jelölje A azt az eseményt, hogy az eredmény páros. Adjon meg olyan B 1 és B 2 eseményeket, hogy 168. Adja meg P(B 1 A) < P(B 1 ), P(B 2 A) > P(B 2 ). (a) a valós számok additív csoportjában a 3 által generált részcsoportot; által generált részcsopor- (b) a pozitív valós számok multiplikatív csoportjában az 1 2 tot Egy tetraéder csúcsai A(0, 1, 0), B(2, 1, 0), C(3, 0, 0) és D(0, 1, 4). Mekkora a súlypontját az A csúccsal összekötõ szakasz hossza? 170. Adja meg a szitaformulát Bontsa fel az x 4 x 2 6 polinomot irreducibilis polinomok szorzatára (a) a racionális számtest fölött; (b) a valós számtest fölött; (c) a komplex számtest fölött Legyenek A és B kontinuum számosságú halmazok. Mutasson példát olyan esetekre, amikor

11 (a) A B kontinuum számosságú; (b) A B megszámlálhatóan végtelen; (c) A B véges Bizonyítsa be, hogy osztható 7-tel Adja meg az tanh(x) := ex e x függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és e x +e x értékkészletét Határozza meg az 1 3i komplex szám negyedik gyökeit Adjon meg olyan függvényt, amely értelmezve van R-en, a 0 pontban csak egyszer, a többi pontban viszont kétszer differenciálható Egy szabályos dobókockával végzünk egy dobást. Jelölje A azt az eseményt, hogy az eredmény legalább 4. Adjon meg olyan B 1 és B 2 eseményeket, hogy 178. Adja meg P(B 1 A) < P(B 1 ), P(B 2 A) > P(B 2 ). (a) a valós számok additív csoportjában a 3 által generált részcsoportot; (b) a pozitív valós számok multiplikatív csoportjában az 1 által generált részcsoportot. Normálosztók-e ezek a részcsoportok? 179. Egy tetraéder csúcsai A(0, 1,0), B( 2, 1,0), C( 3,0,0) és D(0, 1,4). Mekkora a súlypontját az A csúccsal összekötõ szakasz hossza? 180. Írja le a binomiális tételt Határozza meg az f = x 3 +3x+2 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét Igaz-e a következõ állítás? Ha A és B olyan azonos méretû négyzetes mátrixok, hogy AB = 0, akkor A = 0 vagy B = Számítsa ki annak a tetraédernek a térfogatát, amelyet a koordinátasíkok és a 2x + 3y +6z 18 = 0 egyenletû sík határol Definiálja egy f : R k R típusú függvény A pontban való totális deriválhatóságának fogalmát Adja meg az ln(1 x) függvény hatványsorát a 0 pont körül, és adja meg azt is, hogy ez a sor hol állítja elõ a függvényt Bizonyítsa be, hogy az x 5 5x+2 függvénynek van három valós gyöke Bizonyítsa be, hogy tetszõleges pozitív m és n egész számokra ( ) ( ) ( ) ( ) n n+1 n+m n+m =. n n n n+1

12 188. Definiálja a fagráf fogalmát A (0, 1) intervallumban egyenletes eloszlás szerint, egymástól függetlenül választunk két pontot. Mennyi annak a valószínûsége, hogy a távolságuk kisebb, mint 1/3? 190. Definiálja a λ > 0 paraméterû Poisson-eloszlást Határozza meg az f = x 3 +3x+2 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét Írja föl az (x 2) 2 +(y+1) 2 +z 2 = 25 egyenletû gömböt a P = (5,2, 7) pontjában érintõ sík egyenletét Írjon föl olyan háromváltozós ítéletkalkulusbeli formulát, amely pontosan akkor igaz, ha legalább két változója igaz Adott síkon egy végtelen négyzetrács. Tekintsük az összes olyan szakaszt, melynek csúcsai rácspontok. Mekkora az ilyen szakaszok halmazának számossága? 195. Adja meg az f(x) := lg(sin2x) függvény értelmezési tartományát és értékkészletét Hat személy között kell kiosztanunk 1 almát és 3 egyforma körtét. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha egy személy több gyümölcsöt is kaphat? 197. Egy szabályos érmével dobunk. Az X valószínûségi változó értéke legyen 0 ha az eredmény írás, illetve 1, ha az eredmény fej. Adja meg X eloszlásfüggvényét Ábrázolja a következõ függvényeket: (a) arcsin(sin x) (b) sin(arcsin x) 199. Igazolja, hogy osztható 31-gyel Adjon meg olyan c számot, hogy a 2x+6y = c egyenletnek az egész számok körében (a) legfeljebb 2012 megoldása legyen; (b) legalább 2012 megoldása legyen Határozza meg az f = x 2 2x+2 C[x] polinom gyökeinek köbösszegét Írja föl az (x + 2) 2 + (y 1) 2 + z 2 = 25 egyenletû gömböt a P = ( 5, 2, 7) pontjában érintõ sík egyenletét Írjon föl olyan négyváltozós ítéletkalkulusbeli formulát, amely pontosan akkor igaz, ha (a) pontosan két változója igaz; (b) legfeljebb három változója igaz Tekintsük a háromdimenziós térben összes olyan szakaszt, melynek csúcsai racionális koordinátájúak. Mekkora az ilyen szakaszok halmazának számossága?

13 205. Adja meg az f(x) := ln(cos3x) függvény értelmezési tartományát és értékkészletét Hat személy között kell kiosztanunk 1 almát és 3 egyforma körtét. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha egy személy legfeljebb egy gyümölcsöt kaphat? 207. Andi egy szabályos kockával dob, Bandi pedig két szabályos kockával. Mennyi a valószínûsége, hogy a Bandi által dobott két szám összege nem nagyobb az Andi által dobott számnál? 208. Ábrázolja a következõ függvényeket: (a) arctan(tan x) (b) tan(arctan x) 209. Igazolja, hogy osztható 31-gyel (a) Írja fel a tízes számrendszerbeli 2012 számot hármas számrendszerben. (b) Írja fel a hármas számrendszerbeli 2012 számot tízes számrendszerben Bontsa fel az x 6 +2 polinomot irreducibilis polinomok szorzatára (a) a racionális számtest fölött; (b) a valós számtest fölött; (c) a komplex számtest fölött Az a(6, 2, 3), b( 3, 6, 2) és c vektorok egy kockát feszítenek ki. Határozza meg a c vektor koordinátáit Írjon föl olyan négyváltozós ítéletkalkulusbeli formulát, amely pontosan akkor igaz, ha (a) egyik változója sem igaz; (b) van olyan változója, mely nem igaz Meg lehet-e adni bijekciót a valós számok halmaza és az irracionális számok halmaza között? (Indokolja a választ.) 215. Mit jelent az, hogy az f n függvénysorozat egyenletesen konvergál az f függvényhez a J intervallumon? 216. Hét személy között kell kiosztanunk 1 almát, 2 egyforma narancsot és 3 egyforma körtét. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha egy személy legfeljebb egy narancsot kaphat? 217. Egy dobozban három fehér és négy piros golyó van. Összekeverés után kihúzunk két golyót visszatevés nélkül, és áttesszük azokat egy kalapba. Ezután összekeverés után kihúzunk egy golyót a kalapból. Mennyi a valószínûsége annak, hogy a kalapból kihúzott golyó piros? 218. Ábrázolja az f(x) := 3x+4 4x+5 függvény grafikonját. Jellemezze a függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, korlátosság). Mi az inverz függvény?

14 219. Igaz-e, hogy ha egy sorozat konvergens, akkor mindig van vagy legnagyobb, vagy legkisebb eleme? (Indokolja a választ.) 220. Osztható-e 3-mal a négyes számrendszerben felírt szám? 221. Határozza meg az f = x 5 2x 2 +2 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét Írja föl az (x+2) 2 +(y 1) 2 = 25 egyenletû kört a P = ( 5, 3) pontjában érintõ egyenes egyenletét Írjon föl olyan négyváltozós ítéletkalkulusbeli formulát, amely pontosan akkor igaz, ha (a) egyik változója sem igaz; (b) van olyan változója, mely nem igaz Meg lehet-e adni bijekciót a valós számok halmaza és az irracionális számok halmaza között? (Indokolja a választ.) 225. Mit jelent az, hogy egy f függvény egy J intervallumon egyenletesen folytonos? 226. Hét személy között kell kiosztanunk 1 almát, 2 egyforma narancsot és 3 egyforma körtét. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha egy személy legfeljebb egy gyümölcsöt kaphat? 227. Egy (szabályos) kockát ismételten feldobunk. Mennyi a valószínûsége annak, hogy éppen a hatodik dobásnál dobunk elõször hatost? 228. Ábrázolja az f(x) := 3x+4 4x+5 függvény grafikonját. Jellemezze a függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, korlátosság) Igaz-e, hogy ha egy sorozat konvergens, akkor mindig van vagy legnagyobb, vagy legkisebb eleme? 230. Mennyi a szám maradéka 31-gyel osztva? 231. Számítsa ki az x 2y+4z = 10 és az x 2y+4z = 31 egyenletû síkok távolságát! 232. Az a(6, 2, 3), b( 3, 6, 2) és c vektorok egy kockát feszítenek ki. Határozza meg a c vektor koordinátáit Írjon föl olyan négyváltozós ítéletkalkulusbeli formulát, amely pontosan akkor igaz, ha (a) egyik változója sem igaz; (b) van olyan változója, mely nem igaz Meg lehet-e adni bijekciót a valós számok halmaza és az irracionális számok halmaza között? (Indokolja a választ.) 235. Mit jelent az, hogy az f n függvénysorozat egyenletesen konvergál az f függvényhez a J intervallumon?

15 236. Hét személy között kell kiosztanunk 1 almát, 2 egyforma narancsot és 3 egyforma körtét. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha egy személy legfeljebb egy narancsot kaphat? 237. Egy dobozban három fehér és négy piros golyó van. Összekeverés után kihúzunk két golyót visszatevés nélkül, és áttesszük azokat egy kalapba. Ezután összekeverés után kihúzunk egy golyót a kalapból. Mennyi a valószínûsége annak, hogy a kalapból kihúzott golyó piros? 238. Ábrázolja az f(x) := 3x+4 4x+5 függvény grafikonját. Jellemezze a függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, korlátosság). Mi az inverz függvény? 239. Igaz-e, hogy ha egy sorozat konvergens, akkor mindig van vagy legnagyobb, vagy legkisebb eleme? (Indokolja a választ.) 240. Osztható-e 3-mal a négyes számrendszerben felírt szám? 241. Bontsa fel az x 4 x 2 6 polinomot irreducibilis polinomok szorzatára (a) a racionális számtest fölött; (b) a valós számtest fölött; (c) a komplex számtest fölött Legyenek A és B kontinuum számosságú halmazok. Mutasson példát olyan esetekre, amikor (a) A B kontinuum számosságú; (b) A B megszámlálhatóan végtelen; (c) A B véges Bizonyítsa be, hogy osztható 7-tel Adja meg az tanh(x) := ex e x függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és e x +e x értékkészletét Határozza meg az 1 3i komplex szám negyedik gyökeit Adjon meg olyan függvényt, amely értelmezve van R-en, a 0 pontban csak egyszer, a többi pontban viszont kétszer differenciálható Egy szabályos dobókockával végzünk egy dobást. Jelölje A azt az eseményt, hogy az eredmény legalább 4. Adjon meg olyan B 1 és B 2 eseményeket, hogy P(B 1 A) < P(B 1 ), P(B 2 A) > P(B 2 ) Adja meg (a) a valós számok additív csoportjában a 3 által generált részcsoportot;

16 (b) a pozitív valós számok multiplikatív csoportjában az 1 által generált részcsoportot. Normálosztók-e ezek a részcsoportok? 249. Egy tetraéder csúcsai A(0, 1,0), B( 2, 1,0), C( 3,0,0) és D(0, 1,4). Mekkora a súlypontját az A csúccsal összekötõ szakasz hossza? 250. Írja le a binomiális tételt Definiálja a lineáris leképezés fogalmát, valamint lineáris leképezés magját és képterét Fogalmazza meg a Newton Leibniz-tételt Definiálja a teljes eseményrendszer fogalmát Döntse el, hogy tautológia-e a következõ formula: p ( q ( q p)) Ábrázolja az x e x (1+x) függvény grafikonját, és jellemezze a függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, folytonosság, korlátosság) Bontsa fel az a(8; 1) vektort a b(3; 2) vektorral párhuzamos és arra merõleges összetevõre Határozza meg az x 3 +3x+2 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét Andi egy szabályos kockával dob, Bandi pedig két szabályos kockával. Mennyi a valószínûsége, hogy a Bandi által dobott két szám összege nem nagyobb az Andi által dobott számnál? 259. Adjon meg olyan sorozatot, amelynek végtelen sok torlódási pontja van Számítsa ki ctg ( arcsin 1 5) pontos értékét Adja meg kanonikus és trigonometrikus alakban az 1 i 1+i komplex számot Legyen ϕ a térnek (azaz az R fölötti R 3 vektortérnek) azon lineáris transzformációja, mely minden vektorhoz hozzárendeli a Z tengelyre vonatkozó tükörképét. Adja meg ϕ mátrixát a standard bázisban Van-e olyan csoport, amelyben hatodrendû elem van, de harmadrendû elem nincsen? 264. Definiálja a páros gráf fogalmát Vizsgálja meg a 1 x 2 függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet, differenciálhatóság), és ábrázolja a függvény grafikonját Definiálja azt, hogy egy f : R R függvénynek egy a R pontban helyi maximuma van Számítsa ki az x+2 3 = 2y 3 = z+1 5 és x 3 3 = y+3 2 = z 5 egyenesek hajlásszögét.

17 268. Adja meg az (1+x) 1 függvény hatványsorát, és adja meg azt is, hogy ez a sor hol állítja elõ a függvényt Igaz-e a következõ két állítás? (a) Ha egy lineáris egyenletrendszernek több egyenlete van, mint ismeretlene, akkor nincs megoldása. (b) Ha egy lineáris egyenletrendszernek kevesebb egyenlete van, mint ismeretlene, akkor van megoldása Van-e olyan függvény, amely nem szigorúan monoton egy intervallumon, mégis van inverze? 271. Oldja meg az x 4 +4 = 0 egyenletet a komplex számok körében Mikor mondjuk azt, hogy az R 3 vektortérbõl az R 2 vektortérbe vivõ g : R 3 R 2 leképezés lineáris? 273. Mondja ki a Cauchy-féle konvergenciakritériumot számsorozatokra Vizsgálja meg a ln x ln(1 x) függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet, konvexitás), és ábrázolja a függvény grafikonját Mit ért az alatt, hogy az f : I R függvény az I intervallumon konkáv? 276. Melyik a valószínûbb: az, hogy egy szabályos érmével kétszer dobva legalább egyszer fej lesz, vagy pedig hogy két szabályos érmével négyszer dobva legalább egyszer mind a két érmén fej lesz? 277. Mekkora térfogatú az egységkocka lapjainak középpontjai által meghatározott oktaéder? 278. Tekintsünk egy f : R R függvényt. Tagadja a következõ állítást: minden K R számhoz létezik olyan L R, hogy minden x L esetén f(x) K" 279. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy társaságban mindig van két olyan ember, akiknek ugyanannyi ismerõse van Van-e olyan korlátos valós számsorozat, melynek nincsen sem legnagyobb, sem legkisebb eleme? 281. Egy kétjegyû számot háromszor egymás mellé írunk. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy az így kapott hatjegyû szám mindig osztható (a) 3-mal; (b) 7-tel; (c) 13-mal Adja meg az ex e x 2 függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és értékkészletét.

18 283. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy n elemû halmaznak ugyanannyi páros elemszámú részhalmaza van, mint amennyi páratlan elemszámú Adjon meg olyan függvényt, amely folytonos az (1, 2) intervallumon, és ott nem egyenletesen folytonos Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) a kihúzott számok között kettõ páros és három páratlan van? 286. Mekkora területû az egységnyi területû szabályos hatszög minden második élközéppontja által meghatározott szabályos háromzög? 287. Adja meg az R fölötti R 3 vektortér standard bázisáról a (0,1,0), (0,0,1), (1,0,0) bázisára való áttérés mátrixát, és a fordított irányú áttérés mátrixát is Vizsgálja meg a 2x 2 7x+6 x 2 3x+2 függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját Bontsa fel az x 4 1 polinomot irreducibilis polinomok szorzatára (a) a racionális számtest fölött; (b) a valós számtest fölött; (c) a komplex számtest fölött Adjon példát nemkommutatív csoportra Egy háromjegyû számot kétszer egymás mellé írunk. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy az így kapott hatjegyû szám mindig osztható (a) 3-mal; (b) 7-tel; (c) 13-mal Adja meg az ex e x függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és e x +e x értékkészletét Tekintsük a háromdimenziós térben összes olyan szakaszt, melynek csúcsai racionális koordinátájúak. Mekkora az ilyen szakaszok halmazának számossága? 294. Igaz-e a következõ állítás? Ha A és B olyan azonos méretû négyzetes mátrixok, hogy AB = 0, akkor A = 0 vagy B = Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) nagyság szerint sorrendben húzzák ki a számokat? 296. Mekkora az egységnyi területû körbe írható szabályos háromszögbe írható kör területe? 297. Adja meg az R fölötti R 3 vektortér standard bázisáról a (0, 1,0), (0,0, 2), (1,0,0) bázisára való áttérés mátrixát, és a fordított irányú áttérés mátrixát is.

19 298. Vizsgálja meg a 1 x 2 függvényt (értelmezési tartomány, differenciálhtóság, monotonitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját Írja föl az (x + 2) 2 + (y 1) 2 + z 2 = 25 egyenletû gömböt a P = ( 5, 2, 7) pontjában érintõ sík egyenletét Adjon meg olyan f : R R függvényt, amely a 0 pontban egyszer differenciálható, de kétszer nem Egy négyjegyû számot kétszer egymás mellé írunk. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy az így kapott nyolcjegyû szám mindig osztható (a) 11-gyel; (b) 73-mal; (c) 137-tel Adja meg az ex +e x függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és e x e x értékkészletét Oldja meg az x 4 +4 = 0 egyenletet a komplex számok körében Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy legalább három fõs társaságban mindig van három olyan ember, akiknek ugyanannyi ismerõse van Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) mind az 5 kihúzott szám osztható 7-tel? 306. Mekkora az egységnyi területû szabályos háromszögbe írható körbe írható szabályos háromszög területe? 307. Legyen ϕ a térnek (azaz az R fölötti R 3 vektortérnek) azon lineáris transzformációja, mely minden vektorhoz hozzárendeli az X és Z tengelyek által meghatározott síkra vonatkozó tükörképét. Adja meg ϕ mátrixát a standard bázisban Vizsgálja meg a 3 1 x 3 függvényt (értelmezési tartomány, zérushelyek, differenciálhatóság, monotonitás, konvexitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját Van-e olyan csoport, amelyben másodrendû elem van, de harmadrendû elem nincsen? 310. Van-e olyan f : R R függvény, amely a 0 pontban (a) folytonos, de nem differenciálható; (b) differenciálható, de nem folytonos Egy négyjegyû számot kétszer egymás mellé írunk. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy az így kapott nyolcjegyû szám mindig osztható (a) 11-gyel; (b) 73-mal;

20 (c) 137-tel Adja meg az ex +e x függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és e x e x értékkészletét Oldja meg az x 4 +4 = 0 egyenletet a komplex számok körében Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy legalább három fõs társaságban mindig van három olyan ember, akiknek ugyanannyi ismerõse van Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) mind az 5 kihúzott szám osztható 7-tel? 316. Mekkora az egységnyi területû szabályos háromszögbe írható körbe írható szabályos háromszög területe? 317. Legyen ϕ a térnek (azaz az R fölötti R 3 vektortérnek) azon lineáris transzformációja, mely minden vektorhoz hozzárendeli az X és Z tengelyek által meghatározott síkra vonatkozó tükörképét. Adja meg ϕ mátrixát a standard bázisban Vizsgálja meg a 3 1 x 3 függvényt (értelmezési tartomány, zérushelyek, differenciálhatóság, monotonitás, konvexitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját Van-e olyan csoport, amelyben másodrendû elem van, de harmadrendû elem nincsen? 320. Van-e olyan f : R R függvény, amely a 0 pontban (a) folytonos, de nem differenciálható; (b) differenciálható, de nem folytonos Egy négyjegyû számot kétszer egymás mellé írunk. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy az így kapott nyolcjegyû szám mindig osztható (a) 11-gyel; (b) 73-mal; (c) 137-tel Adja meg az ex +e x függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és e x e x értékkészletét Oldja meg az x 4 +4 = 0 egyenletet a komplex számok körében Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy legalább három fõs társaságban mindig van három olyan ember, akiknek ugyanannyi ismerõse van Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) mind az 5 kihúzott szám osztható 7-tel? 326. Mekkora az egységnyi területû szabályos háromszögbe írható körbe írható szabályos háromszög területe?

21 327. Legyen ϕ a térnek (azaz az R fölötti R 3 vektortérnek) azon lineáris transzformációja, mely minden vektorhoz hozzárendeli az X és Z tengelyek által meghatározott síkra vonatkozó tükörképét. Adja meg ϕ mátrixát a standard bázisban Vizsgálja meg a 3 1 x 3 függvényt (értelmezési tartomány, zérushelyek, differenciálhatóság, monotonitás, konvexitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját Van-e olyan csoport, amelyben másodrendû elem van, de harmadrendû elem nincsen? 330. Van-e olyan f : R R függvény, amely a 0 pontban (a) folytonos, de nem differenciálható; (b) differenciálható, de nem folytonos Lehet-e két megszámlálhatóan végtelen halmaz (a) uniója véges; (b) metszete véges; (c) uniója megszámlálhatóan végtelen; (d) metszete megszámlálhatóan végtelen? 332. Adja meg az ex e x 2 függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és értékkészletét Oldja meg az x 4 7x 3 +14x 2 7x+1 = 0 egyenletet a komplex számok körében Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy két színnel kiszínezett öt csúcsú teljes gráfban mindig van egyszínû háromszög Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) az 5 kihúzott szám között van olyan, amit az elõzõ húzásnál is kihúztak? 336. Mekkora az egységnyi térfogatú kockába írható gömbbe írható kocka térfogata? 337. Vizsgálja meg a 1 x 2 függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet, differenciálhatóság), és ábrázolja a függvény grafikonját Számítsa ki az x+2 3 = 2y 3 = z+1 5 és x 3 3 = y+3 2 = z 5 egyenesek hajlásszögét Az egész számok additív csoportjában adja meg a {4, 6} halmaz által generált részcsoportot. Ciklikus-e ez a részcsoport? 340. Mit jelent az, hogy az f n függvénysorozat egyenletesen konvergál az f függvényhez a J intervallumon? 341. Bontsa fel az x 4 x 2 6 polinomot irreducibilis polinomok szorzatára (a) a racionális számtest fölött; (b) a valós számtest fölött;

22 (c) a komplex számtest fölött Legyenek A és B kontinuum számosságú halmazok. Mutasson példát olyan esetekre, amikor (a) A B kontinuum számosságú; (b) A B megszámlálhatóan végtelen; (c) A B véges Adja meg az ex +e x függvény inverzét, valamint az inverzfüggvény értelmezési tartományát és e x e x értékkészletét Fogalmazza meg a binomiális tételt Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) az 5 kihúzott szám között nincs olyan, amit az elõzõ húzásnál is kihúztak? 346. Igaz-e a következõ állítás? Ha A olyan négyzetes mátrix, hogy A 2 = 0, akkor A = Vizsgálja meg a 3 x 3 1 függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet, differenciálhatóság), és ábrázolja a függvény grafikonját Számítsa ki az x = y = z és x = y = z térbeli egyenesek hajlásszögét Az egész számok additív csoportjában adja meg a { 3, 6} halmaz által generált részcsoportot. Normálosztó ez a részcsoport? 350. Adja meg az e x függvény hatványsorát a 0 pont körül, és adja meg azt is, hogy ez a sor hol állítja elõ a függvényt Határozza meg az f = x 3 +x 3 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét Hány olyan kör van, amely érinti az x+y = 1 egyenletû egyenest és a két koordinátatengelyt? Írja föl egy ilyen érintõ kör egyenletét Ábrázolja a következõ függvényeket: (a) ln(e x ) (b) e lnx 354. Andi egy szabályos kockával dob, Bandi pedig két szabályos kockával. Mennyi a valószínûsége, hogy a Bandi által dobott két szám szorzata éppen annyi, mint az Andi által dobott szám? 355. Döntse el, hogy tautológia-e a következõ formula: p ( q ( q p)) Adjon meg olyan sorozatot, amelynek pontosan 2013 torlódási pontja van Vizsgálja meg az f(x) := 3x+4 függvényt (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, konvexitás), és ábrázolja a függvény grafikonját. Invertálható-e ez a 4x+5 függvény?

23 358. Számítsa ki ctg ( arcsin 1 5) pontos értékét Adja meg kanonikus és trigonometrikus alakban az 1 i 1+i komplex számot Definiálja a páros gráf fogalmát Írja föl az x + y + z = 1 egyenletû sík és a koordinátasíkok által meghatározott tetraéder köré írt gömb egyenletét Vizsgálja meg az x e x (1 + x) függvényt (értelmezési tartomány, monotonitás, értékkészlet, konvexitás), és ábrázolja a függvény grafikonját Melyik a valószínûbb: az, hogy egy szabályos dobókockával kétszer dobva legalább egyszer prím szám lesz az eredmény, vagy pedig hogy két szabályos dobókockával négyszer dobva legalább egyszer mind a két dobókockán prím szám lesz az eredmény? 364. Tekintsünk egy f : R R függvényt. Tagadja a következõ állítást: minden K R számhoz létezik olyan L R, hogy minden x L esetén f(x) K" 365. Oldja meg az x 4 +x 2 +1 = 0 egyenletet a komplex számok körében Adja meg az (1+x) 1 függvény hatványsorát, és adja meg azt is, hogy ez a sor hol állítja elõ a függvényt Van-e olyan harmadfokú valós polinom, amely az 1 értéket (a) sehol sem veszi fel? (b) pontosan egy helyen veszi fel? (c) pontosan két helyen veszi fel? (d) pontosan három helyen veszi fel? (e) pontosan négy helyen veszi fel? 368. Adjon meg bijekciót a (0,1) és a (0,1] intervallumok pontjai között Mutasson példát olyan (a n ) n 1 és (b n ) n 1 sorozatokra, amelyekre (a) a n, de (a n ) n 1 nem monoton; (b) a n, b n 0 és a n b n ; (c) a n, b n 0 és a n b n 0; (d) a n, b n 0 és (a n b n ) n 1 korlátos, de nem konvergens Mi a szám utolsó számjegye? 371. Írja föl az x+y = 1 egyenletû egyenes és a koordinátatengelyek által meghatározott háromszögbe írt kör egyenletét Vizsgálja meg a 3 1 x 3 függvényt (értelmezési tartomány, zérushelyek, differenciálhatóság, monotonitás, konvexitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját.

24 373. Melyik a valószínûbb: az, hogy két szabályos dobókockával kétszer dobva legalább egyszer mind a két dobókockán prím szám lesz az eredmény, vagy pedig hogy három szabályos dobókockával ötször dobva legalább egyszer mind a három dobókockán prím szám lesz az eredmény? 374. Tekintsünk egy f : R R függvényt. Tagadja a következõ állítást: létezik olyan K R szám, hogy bármely L R esetén lézetik olyan x L, melyre f(x) < K" 375. Egy négyjegyû számot kétszer egymás mellé írunk. Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy az így kapott nyolcjegyû szám mindig osztható (a) 11-gyel; (b) 73-mal; (c) 137-tel Számítsa ki az x+2 3 = 2y 3 = z+1 5 és x 3 3 = y+3 2 = z 5 térbeli egyenesek hajlásszögét Igazolja vagy cáfolja azt az állítást, hogy egy két színnel kiszínezett öt csúcsú teljes gráfban mindig van egyszínû háromszög Oldja meg az x 4 7x 3 +14x 2 7x+1 = 0 egyenletet a komplex számok körében Lehet-e két megszámlálhatóan végtelen halmaz (a) uniója véges; (b) metszete véges; (c) uniója megszámlálhatóan végtelen; (d) metszete megszámlálhatóan végtelen? 380. Van-e olyan f : R R függvény, amely a 0 pontban (a) folytonos, de nem differenciálható; (b) differenciálható, de nem folytonos Írja föl az x + y + z = 1 egyenletû sík és a koordinátasíkok által meghatározott tetraéder köré írt gömb egyenletét Vizsgálja meg a 3 x 3 1 függvényt (értelmezési tartomány, zérushelyek, differenciálhatóság, monotonitás, konvexitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját Adja meg az (1+x) 1 függvény hatványsorát, és adja meg azt is, hogy ez a sor hol állítja elõ a függvényt Van-e olyan másodfokú komplex polinom, amely az i értéket (a) sehol sem veszi fel? (b) pontosan egy helyen veszi fel? (c) pontosan két helyen veszi fel?

25 (d) pontosan három helyen veszi fel? 385. Adjon meg bijekciót a (0,1) és az R halmazok pontjai között Mutasson példát olyan (a n ) n 1 sorozatra, amelyre (a) a n 0, de tetszõleges k pozitív egész esetén (a n ) n k nem monoton; (b) a n és an n ; (c) a n és an 0; n ( (d) a n, ann ) korlátos, de nem konvergens. n Adjon meg olyan sorozatot, amelynek pontosan 2013 torlódási pontja van Adja meg kanonikus és trigonometrikus alakban az 1 i 1+i komplex számot Határozza meg az f = x 2 +ix 1 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét Andi két szabályos kockával dob, Bandi pedig három szabályos kockával. Mennyi a valószínûsége annak, hogy az öt dobott szám mind különbözõ? 391. Mekkora az egységnyi területû négyzetbe írható körbe írható szabályos háromszög területe? 392. Vizsgálja meg a 5 1 x 3 függvényt (értelmezési tartomány, zérushelyek, differenciálhatóság, monotonitás, konvexitás, értékkészlet), és ábrázolja a függvény grafikonját Van-e olyan csoport, amelyben másodrendû és harmadrendû elem is van? 394. Igaz-e a következõ állítás? Ha A és B olyan négyzetes mátrixok, hogy AB = 0, akkor A = 0 vagy B = Döntse el, hogy tautológia-e a következõ formula: p ( q ( q p)) Mutasson példát olyan (a n ) n 1 sorozatra, amelyre (a) a n 0, de tetszõleges k pozitív egész esetén (a n ) n k nem monoton; (b) a n és an n 3 ; (c) a n és an 0; n 2 ) (d) a n, korlátos, de nem konvergens. ( an n 4 n Adja meg az e x függvény hatványsorát a 0 pont körül, és adja meg azt is, hogy ez a sor hol állítja elõ a függvényt Adja meg kanonikus és trigonometrikus alakban az 1+i 1 i komplex számot Határozza meg az f = x 4 1 C[x] polinom gyökeinek négyzetösszegét Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) az 5 kihúzott szám között 2 páros és 3 páratlan lesz?

26 401. Egy síkbeli ABCD négyszög oldalainak felezõpontjai legyenek rendre E, F, G, H. Bizonyítsa be, hogy az EG és az F H szakaszok felezik egymást Számítsa ki sin(arctg(3)) pontos értékét Igazolja vagy cáfolja a következõ állítást: A (p (q r)) és a (p q) (p r) állítások ekvivalensek Igazolja vagy cáfolja a következõ állítást: Ha A olyan esemény, melyre 0 < P(A) < 1, akkor tetszõleges B esemény esetén P(B A)+P(B A) = Határozza meg az f : R R, f(x) := sin(x) + cos(x) függvény értékkészletét. Vázlatosan ábrázolja a függvényt Adja meg az f(x) := x 6 + x 5 x 3 3x 2 2x 2 és a g(x) := x 5 2x 3 x polinomok legnagyobb közös osztóját Az y = 1 x hiperbola ( a, 1 a) pontjában húzott érintõ és a koordinátatengelyek egy háromszöget határoznak meg. Mekkora a területe? 408. Adjon példát a) nemkommutatív csoportra; b) zérusosztós gyûrûre Egy részeg matróz a számegyenesen hol jobbra, hol balra lép egy egységnyit az origóból indulva, véletlenszerûen, egyenlõ valószínûséggel lépve jobbra vagy balra. Mi a valószínûsége annak, hogy 16 lépés után éppen a +6 pontban lesz? 410. Adjon meg olyan halmazt, amelynek számossága nagyobb, mint a kontinuum Bergengóciában 3 és 5 dukátos pénzérmék vannak. Igazolja, hogy ezekkel bármilyen (egész dukátnyi) összeget ki lehet fizetni Az alábbi állítások közül melyik igaz tetszõleges A és B halmazok esetén? (a) Ha A megszámlálható és B A, akkor B is megszámlálható. (b) Ha A megszámlálható és A B, akkor B is megszámlálható Adja meg az 4+2x f(x) := 1 2x függvény értelmezési tarományát és értékkészletét Igazolja vagy cáfolja a következõ állítást: Ha A olyan esemény, melyre 0 < P(A) < 1, akkor tetszõleges B esemény esetén P(B A)+P(B A) = Mutasson példát olyan háromszögekre, amelyek két-két oldala és egy szögük megegyezik, de a háromszögek nem hasonlóak Adjon példát olyan (végtelen) számtani sorozatra, amelyikben nincsen négyzetszám.

27 417. Igaz-e, hogy ha f folytonos a (0, 1) nyitott intervallumon, akkor ott felveszi a szélsõértékei? 418. Számítsa ki a P(10,11,12) pontnak az x+2y + z = 7 egyenletû síkra vonatkozó merõleges vetületét Két szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínûsége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy a dobott számok összege páratlan? 420. Definiálja a páros gráf fogalmát Mekkora az egységnyi térfogatú gömbbe írható kockába írható gömb térfogata? 422. Van-e olyan csoport, amelyben van másodrendû elem, de nincs harmadrendû elem? 423. Igaz-e, hogy (a) ha az a 2 n sorozat konvergens, akkor az a n sorozat is az? (b) ha az a 2 n sorozat konvergens, akkor az a n sorozat is az? 424. Az alábbi állítások közül melyik igaz tetszõleges A és B halmazok esetén? (a) Ha A megszámlálható és B A, akkor B is megszámlálható. (b) Ha A kontinuum számosságú és B A, akkor B is kontinuum számosságú. (c) Ha A megszámlálható és A B, akkor B is megszámlálható Adja meg az 4+2x f(x) := 1 2x függvény értelmezési tartományát és értékkészletét Adjon példát olyan (végtelen) számtani sorozatra, mely egész számokból áll, és nincsen benne négyzetszám Igaz-e, hogy ha f folytonos a [0, 1) intervallumon, akkor ott felveszi a szélsõértékeit? 428. Definiálja a páros gráf fogalmát Számítsa ki sin(arctg(3)) pontos értékét Mennyi a valószínûsége, hogy a hagyományos lottón (amelynél a 90 számból húznak ki 5 számot) két egymás utáni húzáson ugyanazt az 5 számot húzzák ki? 431. Mekkora az egységnyi térfogatú gömbbe írható kockába írható gömb térfogata? 432. Van-e olyan csoport, amelyben van másodrendû elem, de nincs harmadrendû elem? 433. Igaz-e, hogy (a) ha az a 2 n sorozat konvergens, akkor az a n sorozat is az? (b) ha az a 2 n sorozat konvergens, akkor az a n sorozat is az?