Mértékegységek átváltása
|
|
- Csilla Veresné
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Szabó Péter Imre SZTE Kísérleti Fizika Tanszék 208 Az alábbiakban feltételezzük, hogy az Olvasó kézügyesség szinten ismeri a törteket. Hatványozás Megjegyzés: csak a mértékegység átváltáshoz szükséges alapokat nézzük. A hatványozás nem más, mint egy egyszer sített jelölés: Deníció: Legyen x pozitív szám, n pedig pozitív egész szám. Sok-sok darab x-et összeszorzunk, és az eredményt szeretnénk röviden leírni: x } x x {{... x} = x n n db Ebben az n számot kitev nek, x-et pedig hatványalapnak Példák: nevezzük = = = = 0 9 (a továbbiakban a pont csak a tagolást segíti, az egyesnél kisebb helyiértékek el tt a magyar szabályok szerint tizedesvesszžt fogunk használni) = = = , avagy x } x {{... x} y y... y z }{{}} z {{... z} = x m y n z p m db n db p db 2 5 = 32
2 ( ) 3 = 0 0 x = x 0 0 = 000 = 0,00 Az alább alkalmazott gondolatmenet és a magabiztosan bizonyításoknak nevezett ujjgyakorlatok végig azt az elvet követik, hogy a fenti formalizmust és egy egyszer szabályt szeretnénk megtartani, kib víteni. Célunk nem más, mint a mértékegységek átváltásához szükséges formalizmust ismertetni, néhány példával gyakorolni. Végig az egyszer ségre törekszünk, néhány matematikai kérdést, buktatót nagylelk en elhallgatunk. Remélhet leg els éves gyógyszerész hallgatóim közül többen is fel fognak fedezni ilyesmit. A válaszok megtalálhatóak a megfelel középiskolai matematika tankönyvben. További gyakorlásra pedig ajánlom a középiskolai feladatgy jteményeket. Nagyon sokat segíthet, ha gondolkodás nélkül tudjuk, hogy mi, melyik a kitev. A továbbiakban m veleteket fogunk végezni hatványalakokkal, például vagy x α /x β. Látni fogjuk, hogy a hatványalakokkal végzett m velet lefordítható egy, a kitev vel végzett m - veletre (az el bbi két példában a hatványalakkal végzett m velet a szorzás és az osztás volt, ezeknél szükséges az is, hogy a hatványalap ugyanaz legyen, azaz mindegyikben a 2-t vagy x-et emeljük valamely hatványra). S t, egy szamárvezet t is meg tudunk majd állapítani, amit el re is bocsájtunk. Állítsunk fel egy er sorrendet a m veletek között. Leggyengébb az összeadás és a kivonás. Ezeknél er sebb a szorzás és az osztás. Ha egy gyereket megkérdeznénk, azt mondaná: az összeadás és a szorzás növel, a kivonás és az osztás csökkent (mgj: ez nem igaz, mert lehet például egynél kisebb számmal is szorozni, és ez csökkenthet, de hallgassunk az egyszer világképünkre). A szorzás-osztásnál pedig er sebb lesz a hatványozás, amire érzésb l mondhatjuk hogy növel: például 0 második hatványa már 00, vagy gondoljunk csak a problémák hatványozottan jelennek meg kifejezésre, melynek jelentése hogy sokkal-sokkal több gonddal kell szembenéznünk. Látni fogjuk, hogy a hatványozás csökkent párja a gyökvonás. És az ígért szabály a következ módon fogalmazható meg: ha egy hatvánnyal (például x α -val) m veletet végzek (például szorzom, ami növel), az eredmény könnyen megkapható, ha a kitev k között egy eggyel gyengébb, szintén növel m veletet végzek. Példával: ha x α -t szorzom x β -val, azaz x α x β -t számolom ki, a szorzást az er sorrendben gyengébb m veletre, az összeadásra kell kicserélnem, de a kitev k között kell elvégeznem. Tehát az eredmény x α+β. Remélhet leg ez a szabály az érzésb l történ megfogalmazásának és egyszer ségének köszönhet en sokáig emlékezetes marad. (Megjegyzés: körülbelül az el bbi példa az alapja a logarlécnek, mely a számológépek tömeges elterjedése el tt segítette a szorzást, osztást.) Egy folyton kiegészül táblázatban fogjuk követni, hogy mely m veleteket tudjuk már elvégezni. Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 2
3 Állítás: x m x n = x m+n Érthet, hiszen x m x n = x } x {{... x} m db x x... x }{{} n db = x } x {{... x} = x m+n m+n db Példák: = 0 6 = (egymillió) (x m y n ) (x p y q ) = (x } x {{... x} y y... y) (x }{{}} x {{... x} y y... y) = }{{} m db n db p db q db = x } x {{... x} y y... y = x }{{} y n+q m+p db n+q db (x m y n ) (x p z q ) = x m+p y n z q ( ) 3 ( ) 2 ( ) 5 = = = = = 0,0000 FONTOS (és értelemszer en látszik is), hogy csak azonos hatványalap esetén tudjuk elvégezni a m veletet, azaz például x m y n esetén nem. Összefoglalva: Képlet M velet megnevezése Kitev kkel végzend m velet, eredmény x m x n hatványalak szorzása kitev k összeadása, x m+n = = 3 9 = 9683?? kitev k kivonása, x m n?? kitev szorzása, x m n?? kitev osztása, x m/n Állítás: Érthet, hiszen x m x n = xm n x m x = (x x... x) n }{{} m db / (x x... x) }{{} n db = } x x {{... x} = x m n m n db Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 3
4 Példák: 0 5 /0 2 = 0 3 = 000 xm y n x p y q = xm p y n q xm y n z k x p y q = x m p y n q z k 7 2 /7 = 7 2 /7 = 7 = 7 Mi van, ha az el bbinél, azaz x m /x n kérdésnél n nagyobb mint m? Akkor m n negatív, tehát a kitev negatív! Ezt kell értelmeznünk. És szeretnénk, ha az eddigi szabály, mely szerint a kitev ket ki kell vonni, továbbra is érvényes lenne. Így új szabályt sem kellene bevezetnünk, és a felszabaduló energiánkat fordíthatnánk a labor mérésre való felkészülésre. De ehhez el ször nézzünk egy másik kérdést: Állítás: x 0 = Bizonyítás: Szorozzuk mindkét oldalt x-szel, és használjuk ki hogy x = x. x 0 =? x 0 x = x 0 x = x 0+ = x = x Tehát ha x 0 -t szoroztuk x-szel, az eredmény x. Mely számot x-szel szorozva kapjuk eredményre hogy x? Természetesen az. Tehát x 0 =. Állítás: Legyen m pozitív szám, tehát m negatív. Ekkor: x m = x m Bizonyítás: Az új szabályt vessük alá próbának. Alakítsuk át az -et, majd alkalmazzuk az új szabályt, és ha végül visszakapjuk az -et, akkor stimmt. = xm x m = xm x m = most írjuk be a vadonat új szabályunkat = xm x m = x m m = x 0 = A szabály kiállta a próbát. Összegezve, a kitev t eddig (mint számot, és az el jelét gyelembe véve) összeadtuk/kivontuk. Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 4
5 Példák: 0 3 = 0 3 = 000 = 0, = 0 2 = 0 2 = 00 = 0, = = = (0,) 3 = (0,) = 3 0,00 = 000 * ( 3 = 0) = 0 3 = xm y n z k x p y q t r = x m p y n q z k t r = 6 3 Összefoglalva: Képlet M velet megnevezése Kitev kkel végzend m velet, eredmény x m x n hatványalak szorzása kitev k összeadása, x m+n = = 3 9 = 9683 x m /x n hatványalak osztása kitev k kivonása, x m n 3 5 / /3 2 = = 35 2 = 3 3 = = 3 2 = 9?? kitev szorzása, x m n?? kitev osztása, x m/n Most lépjünk eggyel magasabb szintre a m veletekben. A kitev ket már összeadtuk, kivontuk, most pedig szorozni fogjuk. Ha egy hatványt további hatványra emelünk (nem az eddigiek, amikor két hatványt szoroztunk össze): Állítás: (x m ) α = x m α, például (2 3 ) 4 = = 2 2 Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 5
6 Bizonyítás: (tegyük fel α pozitív) (x m ) α = x m x m... x m }{{} α db = x } x {{... x} = x m α m α db = (x x... x) (x x... x)... (x x... x) }{{}}{{}}{{} m db m db m db } {{ } α db zárójeles egység Ha alfa negatív, ugyanez a szabály, bizonyítását az Olvasóra bízzuk gyakorlásképpen. Példák: (0 2 ) 3 = = 0 6 = = 3 (0 3 ) = 0 ( 3) ( ) = 0 3 = 000, ezt hasonlítsuk össze a korábban *-gal jelölt példával (4. oldal) (0 2 ) 3 = 0 ( 2) 3 = 0 6 = / (0 2 ) 3 = 0 2 ( 3) = 0 6 = / (0 2 ) 3 = 0 ( 2) ( 3) = 0 6 = (8 4 ) 3 = ((2 3 ) 4 ) 3 = (2 2 ) 3 = 2 36 = /2 36 (0,) 3 = (0 ) 3 = 0 ( ) ( 3) = 0 3 = 000, ezt hasonlítsuk össze a korábban *-gal jelölt példával (4. oldal) Tehát a kitev ket összeszorozzuk (az el jelre gyelve). Összegezve: Képlet M velet megnevezése Kitev kkel végzend m velet, eredmény x m x n hatványalak szorzása kitev k összeadása, x m+n = = 3 9 = 9683 x m /x n hatványalak osztása kitev k kivonása, x m n 3 5 / /3 2 = = 35 2 = 3 3 = = 3 2 = 9 (x m ) n hatványalak hatványozása kitev k összeszorzása, x m n (2 3 ) = 2 2 = 4096 (2 3 ) ( 4) = 2 2 = /4096 0,000244?? kitev osztása, x m/n Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 6
7 Még egy m velet vár alkalmazásra: a kitev osztása. Mint Doktor Bubó: kérem a következ t. Eddig a kitev csak egész szám lehetett (de lehetett pozitív, nulla vagy negatív). Következ : tört kitev. Legyen n egész szám, tehát n egy szokásos tört. Állítás: x n = n x Bizonyítás: Emeljük az egészet az n-edik hatványra: (x n ) n = x n n = x n n = x = x Tehát x n az a szám, amit ha n-edik hatványra emelünk, megkapjuk x-et. Tudjuk, hogy ez a szám deníció szerint n x. Példák: 25 0,5 = = 25 = 25 = ,25 = 40 8 = 8 40, ,25 = (6 2 ) 8 = = 6 4 = 4 6, ,25 = (0 8 ) 4 = = 0 2 = 00 0, 0,5 = 0, 2 = 0, 2 = (0, ) 2 = 0 2 = 0 3, = = ,538 Képlet M velet megnevezése Kitev kkel végzend m velet, eredmény x m x n hatványalak szorzása kitev k összeadása, x m+n = = 3 9 = 9683 x m /x n hatványalak osztása kitev k kivonása, x m n 3 5 / /3 2 = = 35 2 = 3 3 = = 3 2 = 9 (x m ) n hatványalak hatványozása (egész kitev vel) kitev k összeszorzása, x m n (2 3 ) = 2 2 = 4096 (x m ) n = (x) m n hatványozás tört kitev vel, kitev osztása, x m/n = n x m (x m ) n = (x) m n ami megfelel a gyökvonásnak kitev osztása, x m/n = n x m = 2 6 = 6 = 4 3 0,4 3 0,4 = = 3 ( 2 5 ) = (3 2 ) 5 = 5 9 Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 7
8 Jól látszik a bevezet ben írt szabály. Állítsunk fel egy er sorrendet a m veletek között. Leggyengébb az összeadás és a kivonás. Ezeknél er sebb a szorzás és az osztás. Ezeknél pedig még er sebb a hatványozás és a gyökvonás. Érzésb l mondjuk hogy ezen párok közül az els növel, a második csökkent (ismét felhívjuk a gyelmet ennek a mondásnak a gyengeségére). A szabály a következ módon fogalmazható meg: ha egy hatvánnyal (például x α -val) m veletet végzek (például szorzom, ami növel), az eredmény könnyen megkapható, ha a kitev k között egy eggyel gyengébb, szintén növel m veletet végzek. Példával: ha x α -t szorzom x β -val, azaz x α x β -t számolom ki, a szorzást az er sorrendben gyengébb m veletre, az összeadásra kell kicserélnem, de az összeadást a kitev k között kell elvégeznem. Tehát az eredmény x α+β. Vagy pedig ha x α -t hatványozom a β-adik hatványra, azaz (x α ) β -t számolom ki, az eredmény x α β. De FONTOS, HOGY A HATVÁNYALAPNAK MINDIG UGYANANNAK KELL LENNIE! Deníció: Normálalaknak nevezzük egy szám következ alakját: (egy és tíz közötti szám) szorozva (0 valamely hatványa), például 52 normálalakja 5, normálalakja, az Avogadro-szám körülbelül 6, , normálalakja 4, Hasznos lehet egy tetsz legesen nagy vagy kicsi szám könny kiolvasására, nagyságrendjének szemléltetésére. Például számoljuk ki hogy egy TB-os merevlemez hány bájtos, írjuk le ezt sima számként és normálalakban is. A legegyszer bben felfogható az TB, de ha kb-ban adnánk meg, már a normálalak lenne a legszemléletesebb. A zikában van olyan mértékegység, melyb l egységnyi az rengeteg. Ilyen például a Farád, a kapacitás mértékegysége. Tipikus értékek például a pikofarád is és a mikrofarád is. Érdekesség, hogy a millifarádot inkább 000 mikrofarádnak szokás mondani. Tehát ha valaminek a kapacitása 0, F, akkor azt írjuk inkább 2,7 0 9 F-nak, de még inkább 2,7nF-nak. Jól látható, hogy melyik írásmódban könny megkülönböztetni ezt a 0, F-tól (azaz 2,7 0 8 F-tól, azaz 27nF-tól). Ez utóbbit jelölést fogjuk a következ fejezetben megismerni. Most hogy már tudjuk, hogy a hatvány nem is olyan hitvány, a következ kben alkalmazni is fogjuk a mértékegységeknél. Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 8
9 A mértékegységekkel sokan egyáltalán nem foglalkoznak - és ezt nagyon hibásan teszik. Például ha egy almát kérünk a zöldségesnél, nem mindegy hogy egy darab almát, egy kiló almát, egy mázsa almát vagy egy mol almát ( darabot) kapunk. Vagy például egy egyenletben az egyik oldalon a mértékegység méter, a másikon pedig kilogramm, akkor azt kapjuk hogy valami olyan hosszú mint amilyen nehéz. Ezt legfeljebb a zika laborra lehet mondani, másra nem. Prexumok Nagyságrendi (azaz például tízszeres vagy ezerszeres) különbséget jelölnek. 0 valamely hatványát röviden, egy bet vel jelöljük. A jobb oldali táblázatban nem szerepelnek a centi, deci és deka el tagok. Jól látható, hogy ekkor minden egyes lépés három nagyságrendet, azaz ezret, 0 3 -t jelöl. Név Jelölés Érték femto f 0 5 piko p 0 2 nano n 0 9 mikro µ 0 6 milli m 0 3 centi c 0 2 deci d 0 deka dk 0 (!) kilo k 0 3 mega M 0 6 giga G 0 9 terra T 0 2 Név Jelölés Érték femto f 0 5 piko p 0 2 nano n 0 9 mikro µ 0 6 milli m 0 3 kilo k 0 3 mega M 0 6 giga G 0 9 terra T 0 2 Ezeket tehetjük mértékegységek elé (és a mértékegységet úgymond szorozzák). Például mg azt jelenti, hogy 0 3 g, azaz 0,00g. Akár az is mondhatnánk, hogy mtonna = = 0 3 tonna = kg = kg. Ez alól kivételt képez az informatika, ahol egyéb okokból kb = 024B. De jól ismert az a vicc, hogy két informatikus beszélget: - Kérlek, adj kölcsön ezer forintot! - Tudod mit, legyen inkább 024, hogy kerek legyen. Ezeket a prexumokat jól használhatjuk számolásra. Például Ohm törvényét véve, mely annyira közismert, hogy csak a képletet nézzük: R = U/I. Ebben R alapmértékegysége (Ω), U alapmértékegysége (V), I alapmértékegysége pedig (A), tehát Ω = V A. Például kv ma = 0 3 V 0 3 A = 06 V A = 06 Ω = MΩ, Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 9
10 vagy 22 mv ma = V 0 3 A = 22 V A = 22Ω. Az utóbbiban egyszer sítettünk 0 3 -nal. Egy lépés megspórolható, mert már a millivel, azaz m-vel is egyszer síthettünk volna (tényleg, mert a milli azt jelenti hogy szorozva nal, és törtben a szorzó tényez kkel lehet egyszer síteni). Azzal viszont vigyáznunk kell, hogy ha SI alapegységekben számolunk, abban az alapegység a méter, a kilogramm (és nem a gramm), a másodperc és az amper. A következ példában legyen a mértékegység hossz szorozva tömeggel: 28km mg = 2,8 0 3 m 0 3 g = 2,8m g, ez utóbbiban célszer a méter és a gramm közé szorzásjelet tenni, hogy ne lehessen milligrammnak nézni. Egy gyógyszer koncentrációja 2,5 g dm 3. Ez azt jelenti, hogy köbdeciméterenként 2,5 gramm kell bele. Számoljuk ki, hány grammot kell tenni egy 75 milliliteres edénybe. Ehhez már rég tudjuk, hogy dm 3 majdnem pontosan egyenl literrel. Most vegyük ezeket egyenl nek. Tehát a koncentráció 2,5 g dm 3 = 2,5g l Most váltsuk át a litert milliliterré. Tudjuk hogy l = 0 3 ml = 000ml. Tehát 2,5 g l = 2,5 g 0 3 ml =, g ml =, g ml = 0,025 g ml Tehát milliliterenként 0,025g kell bele. Ugyanis a per milliliter úgy fordítható le, hogy milliliterenként. Gondoljunk csak egy autó fogyasztására: ha az 6 liter, akkor 00 kilométerenként 6 liter benzin kell hozzá. És ha milliliterenként 0,025g kell bele, akkor 75 00km milliliterbe 75 0,025g = 0,9375g kell. Most számítsuk ki kicsit máshogy. Folytassuk onnan hogy a koncentráció 0,025 g ml. Nekünk az kell hogy 75 milliliterbe mennyi kell, az autó fogyasztásának példájára azt keressük hogy hány gramm per 75 milliliter. Tehát ha a törtet b vítem 75-tel: 0,025 g ml 75g = 0,025 75ml = 0,9375 g 75ml, tehát 75 milliliterenként 0,9375g kell bele (reményeinknek megfelel en ez megegyezik az el z módszerrel kapott eredménnyel. Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 0
11 Végül írjuk át ezt normálalakba: 0,9375g = 9,375 0 g. Számoljuk ki, hogy 0,02mm 2 hány km 2. Tudjuk, hogy mm = 0 3 m = 0 3 (0 3 km) = = 0 6 km. Emeljük négyzetre: (mm) 2 = (mm) (mm) = 2 mm 2 = mm 2, másrészt = = (0 6 km) 2 = 0 2 km 2. Tehát ha mm 2 = 0 2 km 2, akkor 0,02mm 2 =,2 0 2 mm2 = =, km 2 =,2 0 4 km 2. Az Olvasó gyakorlatképpen ellen rizze le, hogy 0,02mm 2 tényleg,2 0 0 km 2 -e. Egy amerikai autó fogyasztása 0,06 gallon mérföldenként. Váltsuk át ezt számunkra könnyen értelmezhet vé. amerikai gallon 3,79l, mérföld 609m =,609km. Tehát így is írhatom 0,06 gallon 3,79l = 0,06 mérföld,609km = 0,4 l km l l = 4, =,4 0 00km 00km = 0,4 00l 00km = Javasoljuk, hogy az Olvasó az el bbi példa mintájára számítsa ki úgy is, hogy ha kilométerenként 0,4l, akkor 00 kilométerenként hány liter. Most nézzünk egy sok tagút. km mg 0,0834 perc 2 5µl =? Mm g perc óra l Egyrészt km = 0 3 m és Mm = 0 6 m. Tehát km = 0 3 Mm. Ezt könnyen ellen rizhetjük: osszuk el egymással a kett t, az eredmény km Mm = 03 m 0 6 m = 0 3, ezt átrendezve km = 0 3 Mm = 0 3 Mm. Másrészt mg = 0 3 g. Javasoljuk, hogy gyakorlásképpen az Olvasó most is és a továbbiakban is végezze el az el bbi ellen rzést. Továbbá perc 2 = perc perc = perc 60 óra = 6 0 perc óra. Végül 5µl =, l =,5 0 5 l. Összerakva mindet: km mg 0,0834 perc 2 5µl = 0, Mm 0 3 g 6 0 perc óra,5 0 5 l = = 8, Mm g /,5 perc óra l = 33,36 Mm g perc óra l = = 3,336 0 Mm g perc óra l Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208
12 (Megjegyzés: hogy létezik-e bármi, aminek ez a mértékegysége, nem könny kérdés.) Javasoljuk, hogy az Olvasó úgy is végezze el az átváltást, hogy a végs mértékegységben a számlálóban 8g, a nevez ben 3óra szerepel (útmutatás: b vítsük a törtet 8-cal és 3-mal). Tehát a feladat: km mg 0,0834 perc 2 5µl =? Mm 8g perc 3óra l Felhívjuk a gyelmet, hogy ezek a prexumok nagyságrendeket jelölnek, és sok esetben a lépés három nagyságrend, azaz ezres szorzó! Ezek a nagyságrendek roppant módon lényegesek. Például az, hogy egy gyógyszer ne legyen véletlenül tízszer töményebb vagy hígabb, legalább olyan fontos, mint hogy valaki pofont kap, 0 pofont kap vagy 000 pofont kap. Végül feltennénk egy nyelvészeti kérdést: a szlengben a hat kiló a hatszázat jelöli, pedig a kilo az ezerszeres. Hogy ez miért így alakult ki, várjuk a megfejtéseket. Az eddigi legjobb szerint egy hentes terjeszthette el, akinél az egy kiló az száz dekát jelent. Az SI rendszer Az SI rendszerben alapesetben a hosszt méterben (nem pedig centiméterben vagy angol mérföldben), a tömeget kilogrammban (gyelem, nem grammban), az id t másodpercben, az áramer sséget Amperben, az anyagmennyiséget molban, a h mérsékletet Kelvinben mérjük. Ezek az alapegységek. Legtöbbjük a hétköznapokban is használatos, és könnyen felfogható mennyiséget jelöl (ellentétben például a megaméterrel, vagy például a hétköznapi távolságokhoz képest sokkal távolságokkal dolgozó csillagászatban alkalmazott parsec hosszegységgel szemben). Vannak származtatott egységek is. Például az er t Newtonban szoktuk mérni. Tudjuk, hogy er = tömeg gyorsulás. A tömeg alap mértékegysége kg, a gyorsulásé m/s 2. Tehát az er alap mértékegysége kg m lenne, ezt nevezzük Newtonnak. Tehát N = kg m ( s 2 s 2 természetesen 23,45N = 23,45 kg m ). Néhány közismert származtatott egység: s 2 er N (Newton) feszültség V (Volt) munka J (Joule) ellenállás Ω (Ohm) teljesítmény W (Watt) kapacitás F (Farád) Ezek elé is lehet prexumokat tenni, például mv, kw, de ezek az alap származtatott Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 2
13 mennyiségek. Fizika iránt érdekl d Olvasónak javasoljuk, hogy fejezze ki mindegyiket SI alapegységekben. Sokszor igaz a következ szabály: ha egy képletben mindent SI alapegységben adunk meg, akkor a végeredményt vagy egyszer SI alapmennyiségben, vagy pedig egyszer származtatott egységben kapjuk meg. Erre egy példa: tudjuk, hogy az elektromos áram teljesítménye = feszültség áramer sség. Legyen az áramer sség 3mA, a feszültség 0,2V. Ezeket átváltjuk alap (vagy származtatott) egységekbe:,3 0 2 A és 2 0 V. Így a teljesítményt alap származtatott egységben fogjuk megkapni, tehát Wattban. Tehát a teljesítmény: P = = U I = 2 0 V,3 0 2 A = 2,6 0 3 V A = 2,6 0 3 W. Persze ezzel óvatosan kell bánni: könny összekeverni, hogy a sebesség alkalmazandó egysége km/h vagy m/s (az utóbbi). Vagy például a kg/mol egység használata esetén az el tte álló szám feltehet en több nagyságrenddel kisebb -nél. Gyakorló példák Az eredményt normálalakban és, amennyiben értelmesen leírható, tizedestört alakban is adja meg. Használjon tizedesvesszžt, a pontot csak tagolásra alkalmazza! El ször váltsa át a szokásos prexumokkal rendelkez SI alapegységekbe vagy származtatott egységekbe (tehát csak m, kg, s, A, mol, V, Ω, J, W szerepeljen benne, km vagy mg ne de a o C-t most kivételesen hagyjuk meg), majd az egyéb prexumokat tartalmazó egységekbe is.. Egy kocka oldaléle 432mm. Hány cm, km, µm az oldaléle? Adja meg SI alapegységben is. Adja meg a felszínét, térfogatát mindegyik egységben (számolja ki külön-külön mindegyikben, majd eredményét ellen rizze az eredmények egyenl ségével). 2. 2,345 kg dm 3 =? SI-ben =? kg m 3 =? g dm µm 4 =? SI-ben =? nm ,34 kg Mmol =? SI-ben =? g mol J 5. 0,0083 g oc =? SI-ben =? kj kg oc 6. 3,5kV 5,7A mm =? SI-ben =? Ω mm (alkalmazzuk: V = Ω A) 7. 3,4 km2 s 3 =? SI-ben =? µm 2 perc 3 (alkalmazzuk: Joule = Watt másod- kj 8. 0,0002 s dm =? SI-ben =? W 3 nm 3 perc) Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 3
14 m / mg perc =? SI-ben =? km /2 3 kg s 2 óra kg 2 s ,004 mm 4 µmol =? SI-ben =? mg 2 s perc óra /6 µm 4 Mmol /6 Megoldások:. SI: m, m 2, m 3. Figyeljük meg a lépésközöket! Oldalél: 4,32m = 4, cm = 432,cm = 4, mm = 432mm = 4, µm = = µm = 4, km = 0,004.32km. Felszín:,2 0 2 m 2 = 2m 2 =,2 0 6 cm 2 = cm 2 =,2 0 8 mm 2 = =,2 0 4 µm 2 =,2 0 4 km 2 = 0,000.2km 2. Térfogat: 8,07 0 m 3 = 80,7m 3 = 8, cm 3 = cm 3 = 8, mm 3 = = 8, µm 3 = 8, km ,345 kg kg kg g =, = 2345 =, dm3 m3 m3 dm = 2345 g 3 dm, 3 SI:, kg kg = 2345 m3 m µm 4 = 5, nm 4 = 0, nm 4, SI: 5, m ,34 kg =,234 g 0 2 Mmol mol = 0,02.34 g mol, 5 kg kg SI:,234 0 = 0, mol mol J kj kj 5. 0,0083 g oc = 8,3 0 3 kg oc = 0,0083 kg oc, SI: 8,3 J kg oc 6. 3,5kV 5,7A mm = 6,4 02 Ω mm = 64 Ω mm, 7. 3,4 km2 23 µm2 = 7,34 0 s 3 perc, 3 m2 SI: 3,4 06 s 3 SI: 6,4 05 Ω m = Ω m = m2 s 3 kj 8. 0,0002 s dm = 2 kj s dm = 2 W nm, SI: 2 W 3 02 m = 200 W 3 m 3 m / mg perc =,58 km / kg s 2 óra = 580 km /2 m/2, SI:,39 kg s 2 0 óra kg s = 3 = 3,9 m/2 kg s 3 kg 2 s ,004 mm 4 µmol = mg2 s perc óra /6, = 0, mg2 s perc óra, µm 4 Mmol /6 µm 4 Mmol /6 SI: kg 2 s 3 m 4 mol /6 Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 4
Nemzetközi Mértékegységrendszer
Nemzetközi Mértékegységrendszer 1.óra A fizika tárgya, mérés, mértékegységek. Fűzisz Természet Fizika Mérés, mennyiség A testek, anyagok bizonyos tulajdonságait számszerűen megadó adatokat mennyiségnek
Komplex számok algebrai alakja
Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Függvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
A klasszikus mechanika alapjai
A klasszikus mechanika alapjai FIZIKA 9. Mozgások, állapotváltozások 2017. október 27. Tartalomjegyzék 1 Az SI egységek Az SI alapegységei Az SI előtagok Az SI származtatott mennyiségei 2 i alapfogalmak
Komplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
Határozott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
Mérés szerepe a mérnöki tudományokban Mértékegységrendszerek. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
Mérés szerepe a mérnöki tudományokban Mértékegységrendszerek Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem Alapinformációk a tantárgyról a tárgy oktatója: Dr. Berta Miklós Fizika és
Az SI mértékegység rendszer
Az SI mértékegység rendszer Az egyes fizikai mennyiségek közötti kapcsolatokat méréssel tudjuk meghatározni, de egy mennyiség méréséhez valamilyen rögzített értéket kell alapul választanunk. Ezt az alapul
10/10/2014 tema01_biolf_
1. Fizikai mennyiségek és mérésük Mérések és mértékegységek. Az SI-mértékrendszer, prefixumok. Alapvető mennyiségek mérése. a természet vizsgálata, számszerűsítés igénye modellek létrehozása: egyszerűsített
Hatvány gyök logaritmus
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY ALAPMÉRTÉKEGYSÉGEK A fizikában és a méréstudományban mértékegységeknek hívjuk azokat a méréshez használt egységeket,
Számtani alapok. - Alapmőveletek, anyaghányad számítás - Mértékegység-átváltások - Százalékszámítás - Átlagszámítás, súlyozott átlag TÉMAKÖR TARTALMA
Számtani alapok TÉMAKÖR TARTALMA - Alapmőveletek, anyaghányad számítás - Mértékegység-átváltások - Százalékszámítás - Átlagszámítás, súlyozott átlag ALAPMŐVELETEK A matematikai alapmőveletek az összeadás
: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;
. A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés
7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta
Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Hatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?
Az SI alapegysegei http://web.inc.bme.hu/fpf/kemszam/alapegysegek.html 1 of 2 10/23/2008 10:34 PM Az SI alapegységei 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. A hosszúság mértékegysége a méter (m). A méter a kripton-86-atom
Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
Értékes jegyek fogalma és használata. Forrás: Dr. Bajnóczy Gábor, BME, Vegyészmérnöki és Biomérnöki Kar Kémiai és Környezeti Folyamatmérnöki Tanszék
Értékes jegyek fogalma és használata Forrás: Dr. Bajnóczy Gábor, BME, Vegyészmérnöki és Biomérnöki Kar Kémiai és Környezeti Folyamatmérnöki Tanszék Értékes jegyek száma Az értékes jegyek számának meghatározását
Mérések szabványos egységekkel
MENNYISÉGEK, ECSLÉS, MÉRÉS Mérések szabványos egységekkel 5.2 Alapfeladat Mérések szabványos egységekkel 2. feladatcsomag a szabványos egységek ismeretének mélyítése mérések gyakorlása a megismert szabványos
Elemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!
Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!
Házi feladatok otthoni gyakorlásra I. Értékes jegyek, nagyságrend, kerekítés szabályai
Házi feladatok otthoni gyakorlásra I. Értékes jegyek, nagyságrend, kerekítés szabályai MINTAFELADATOK A/ Hány értékes jegyet tartalmaznak az alábbi számok? 87603,5 0,003690 Számoljuk meg a leírt számjegyeket
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,
Szorzás, osztás 1000-ig. A műveletek tulajdonságai 1. Hány pötty van Erika rajzán? Írj róla összeadást és szorzást is!
Szorzás, osztás 1000-ig. A műveletek tulajdonságai 1. Hány pötty van Erika rajzán? Írj róla összeadást és szorzást is! Ha a zöld vonalak mentén lévő pöttyöket adod össze, akkor 5+5+5=, vagy 3 =. Ha a piros
A NEMZETKÖZI MÉRTÉKEGYSÉG-RENDSZER (AZ SI)
A NEMZETKÖZI MÉRTÉKEGYSÉG-RENDSZER (AZ SI) A Nemzetközi Mértékegység-rendszer bevezetését, az erre épült törvényes mértékegységeket hazánkban a mérésügyről szóló 1991. évi XLV. törvény szabályozza. Az
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Amit tudnom kell ahhoz, hogy szakmai számításokat végezzek
Tolnainé Szabó Beáta Amit tudnom kell ahhoz, hogy szakmai számításokat végezzek A követelménymodul megnevezése: Gyártás előkészítése és befejezése A követelménymodul száma: 0510-06 A tartalomelem azonosító
Matematika. 1. évfolyam. I. félév
Matematika 1. évfolyam - Biztos számfogalom a 10-es számkörben - Egyjegyű szám fogalmának ismerete - Páros, páratlan fogalma - Sorszám helyes használata szóban - Növekvő, csökkenő számsorozatok felismerése
Matematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN
06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott
7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
1 m = 10 dm 1 dm 1 dm
Ho szúságmérés Hosszúságot kilométerrel, méterrel, deciméterrel, centiméterrel és milliméterrel mérhetünk. A mérés eredménye egy mennyiség 3 cm mérôszám mértékegység m = 0 dm dm dm cm dm dm = 0 cm cm dm
A nagyobb tömegű Peti 1,5 m-re ült a forgástengelytől. Összesen: 9p
Jedlik 9-10. o. reg feladat és megoldás 1) Egy 5 m hosszú libikókán hintázik Évi és Peti. A gyerekek tömege 30 kg és 50 kg. Egyikük a hinta végére ült. Milyen messze ült a másik gyerek a forgástengelytől,
Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus
Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,
352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
Pótvizsga anyaga 5. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Pótvizsga: beadandó feladatok 45 perces írásbeli szóbeli a megadott témakörökből
Pótvizsga anyaga 5. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Természetes számok: 0123 (TK 4-49.oldal) - tízes számrendszer helyi értékei alaki érték valódi érték - becslés kerekítés - alapműveletek:
3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
Általános Géptan I. SI mértékegységek és jelölésük
Általános Géptan I. 1. Előadás Dr. Fazekas Lajos SI mértékegységek és jelölésük Alapmennyiségek Jele Mértékegysége Jele hosszúság l méter m tömeg m kilogramm kg idő t másodperc s elektromos áramerősség
7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez
NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez Számadó László (Budapest) 1. Számold ki! a) 1 2 3 + 4 5 6 ; b) 1 2 3 + 4 5 6. 2 3 4 5 6 7 2 3 5 6 7 a) 1 2 3 4 2 3 4 +5
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
Értékelési útmutató az emelt szint írásbeli feladatsorhoz
Értékelési útmutató az emelt szint írásbeli feladatsorhoz 1. C 1 pont 2. B 1 pont 3. D 1 pont 4. B 1 pont 5. C 1 pont 6. A 1 pont 7. B 1 pont 8. D 1 pont 9. A 1 pont 10. B 1 pont 11. B 1 pont 12. B 1 pont
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
Typotex Kiadó. Bevezetés
Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
28. Nagy László Fizikaverseny Szalézi Szent Ferenc Gimnázium, Kazincbarcika február 28. március osztály
1. feladat a) A négyzet alakú vetítővászon egy oldalának hossza 1,2 m. Ahhoz, hogy a legnagyobb nagyításban is ráférjen a diafilm-kocka képe a vászonra, és teljes egészében látható legyen, ahhoz a 36 milliméteres
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!
Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Nagy Erika. Matekból Ötös. 5. osztályosoknak. www.matek.info
Nagy Erika Matekból Ötös 5. osztályosoknak www.matek.info 1 Készítette: Nagy Erika 2009 Javított kiadás 2010 MINDEN JOG FENNTARTVA! Jelen kiadványt vagy annak részeit tilos bármilyen eljárással (elektronikusan,
Melyik több? Egy szekrény súlya vagy egy papírlap tömege?
Melyik több? Egy szekrény súlya vagy egy papírlap tömege? Régi súly, hosszúság és űrmértékek Süsü: tátsd ki a szád! Három és fél akó. Mai mértékegységben 1 akó 41,97 liter és 85,6 liter közé esett. A bécsi
Nagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
Megoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255
TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...
4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.
1. Tekintse az oldalsó ábrát! a. Mekkora lesz a 4. sor téglalap mérete? b. Számítsa ki az ábrán látható három téglalap területösszegét! c. Mekkora lesz a 018. sorban a téglalap oldalai? d. Hány téglalapot
Nyitott mondatok tanítása
Nyitott mondatok tanítása Sok gondot szokott okozni a nyitott mondatok megoldása, ehhez szeretnék segítséget nyújtani. Már elsı osztályban foglalkozunk a nyitott mondatokkal. Ezt én a következıképpen oldottam
Oktatási Hivatal FIZIKA. I. kategória. A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 1. forduló. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 1. forduló FIZIKA I. kategória Javítási-értékelési útmutató 1. feladat. Kosárlabdázásról szóló m sorban hangzik el, hogy a
Felvételi, 2017 július -Alapképzés, fizika vizsga-
Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Marosvásárhelyi Kar Felvételi, 2017 július -Alapképzés, fizika vizsga- Minden tétel kötelező. Hivatalból 10 pont jár. Munkaidő 3 óra. I. Az alábbi kérdésekre adott
Debreceni Egyetem szaki kar Épít mérnöki tanszék
Debreceni Egyetem szaki kar Épít mérnöki tanszék 1. el adás Mértékegységek és alapm veletek 2011/12 tanév,1.félév Varga Zsolt Készült: Dr. Csepregi Szabolcs:Földmérési ismeretek c. jegyzete alapján,valamint
- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez
1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak
3. Az országos mérés-értékelés eredményei, évenként feltüntetve
3. Az országos mérés-értékelés eredményei, évenként feltüntetve 4. évfolyam-okév 2005/2006. tanév: Ebben a tanévben első alkalommal mértek a 4. évfolyamon különböző készségeket és ezek gyakorlottságát.
Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek
Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek 1. Hatványozás 2. Normálalak. Mértékegységek. Műveletek racionális számokkal (tört, tizedes tört) 5. Középpontos tükrözés 6.
Kedves Diákok! A feladatok legtöbbször egy pontot érnek. Ahol ettől eltérés van, azt külön jelöljük.
Kedves Diákok! Szeretettel köszöntünk Benneteket abból az alkalomból, hogy a Ceglédi Közgazdasági és Informatikai Szakközépiskola informatika tehetséggondozásának első levelét olvassátok! A tehetséggondozással
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Matematika (alsó tagozat)
Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára
Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez
Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu
Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14
Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális
értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)
Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket
Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18
Szöveges feladatok Életkori feladatok. Feladat. Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. év múlva az életkora évvel lesz kevesebb, mint a a akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? Megoldás.
Mennyiségek, mértékegységek nemzetközi rendszere
Ismerd meg Mennyiségek, mértékegységek nemzetközi rendszere 1. Alapmennyiségek. Származtatott mennyiségek A tudományok rohamos fejlődése szükségessé tette a mértékegységek elnevezésének és a jelrendszer
MATEMATIKA. 5 8. évfolyam
MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási