A mérési bizonytalanság

Save this PDF as:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A mérési bizonytalanság"

Átírás

1 NEMZETI AKKREDITÁLÓ TESTÜLET Nemzeti Akkreditálási Rendszer A mérési bizonytalanság meghatározása kalibrálásnál NAR-EA-4/0 1. kiadás 003. január

2 EA Európai Akkreditálási Együttmûködés EA-4-0 Referencia kiadvány EA-4/0 A mérési bizonytalanság meghatározása kalibrálásnál CÉL: Ennek a dokumentumnak a célja a mérési bizonytalanság meghatározási módjának egységesítése az EA-ban, az akkreditált kalibrálólaboratóriumok által kiadott bizonyítványokban közlendõ mérési bizonytalanság meghatározásának módjára vonatkozó, az EAL-R1 általános követelményeit kiegészítõ különleges követelmények meghatározása, valamint annak az elõsegítése, hogy az akkreditáló szervezetek egységesen állapítsák meg az általuk akkreditált kalibrálólaboratóriumok legjobb mérési képességét. Mivel az ebben a dokumentumban lefektetett szabályok megfelelnek a szabványosítással és a metrológiával foglalkozó hét nemzetközi szervezet által kiadott Útmutató a mérési bizonytalanság meghatározásához címû kiadványban foglaltaknak, az EA 4/0 /85 oldal

3 bevezetése ugyancsak elõ fogja segíteni az európai mérési eredmények általános elfogadását. Szerzõ Ennek a dokumentumnak a tervezetét az EAL. bizottsága (Kalibrálási és Vizsgálati Tevékenységek) megbízásából a WECC Doc dokumentum felülvizsgálatára létrehozott EAL munkacsoport dolgozta ki. Ez a dokumentum a WECC Doc dokumentum részletes átdolgozása, amelyet a továbbiakban felvált. Hivatalos nyelv A szöveg más nyelvre is lefordítható. A hivatalos változat az angol nyelvû. Másolási jog A szöveg szerzõi joga az EA-t illeti. A szöveg viszonteladás céljából nem sokszorosítható. További információk Jelen dokumentummal kapcsolatban további információkért forduljon tagországuk EA-beli képviselõjéhez. A tagok jegyzékét megtalálhatja a web-oldalon 3/85 oldal

4 TARTALOM 1. BEVEZETÉS 4. ÁTTEKINTÉS ÉS MEGHATÁROZÁSOK 5 3. A BEMENETI BECSÜLT ÉRTÉKEK MÉRÉSI BIZONY- TALANSÁGÁNAK MEGHATÁROZÁSA 7 4. KIMENETI BECSÜLT ÉRTÉK STANDARD BIZONY- TALANSÁGÁNAK KISZÁMÍTÁSA KITERJESZTETT MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG A MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG KÖZLÉSE A KALIBRÁLÁSI BIZONYÍTVÁNYOKBAN A MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG KISZÁMÍTÁSÁNAK LÉPÉSEI IRODALOM 16 A FÜGGELÉK 17 B FÜGGELÉK 19 C FÜGGELÉK D FÜGGELÉK 3 E FÜGGELÉK 6 1. KIEGÉSZÍTÉS 8. KIEGÉSZÍTÉS 53 4/85 oldal

5 1. BEVEZETÉS EA Ez a dokumentum a kalibrálás mérési bizonytalansága meghatározásának és a kalibrálási bizonyítványokban történõ közlésének elveit és követelményeit rögzíti. Az eljárás általános formában van kifejtve, hogy minden kalibrálási területre alkalmazható legyen. Az információ könnyebb hasznosítása érdekében egyes szakterületeken szükséges lehet a jelen elõírások kiegészítése csak a szakterületre vonatkozó ajánlásokkal. A különbözõ szakterületek közötti összhang biztosítása érdekében az ilyen ajánlások kidolgozásakor a jelen dokumentumban rögzített általános elveket kell követni. 1. A jelen dokumentumban ismertetett eljárás összhangban van a BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP és az OIML nevében elõször 1993-ban publikált "Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement" útmutatóval, 1. irodalom. Míg azonban az 1 dokumentum olyan általános szabályokat határoz meg a mérési bizonytalanság meghatározására, amelyek a legtöbb fizikai mennyiség mérése esetén használhatók, addig ez a dokumentum olyan módszerre összpontosít, amely jobban illeszkedik a kalibrálólaboratóriumokban végzett mérésekhez, egyértelmû és egyeztetett módszert ad a mérési bizonytalanság meghatározására és közlésére. A dokumentum a következõ területekkel foglalkozik: a dokumentum szempontjából fontos meghatározások, módszerek a bemeneti mennyiségek mérési bizonytalanságának meghatározásához, a kimeneti és a bemeneti mennyiségek mérési bizonytalanságai közötti összefüggés, a kimeneti mennyiség kiterjesztett mérési bizonytalansága, a mérési bizonytalanság közlése, a mérési bizonytalanság kiszámításának részletes eljárása. Az ismertetett módszer különbözõ mérési feladatok esetén és különbözõ mérési területeken való alkalmazását a kiegészítésekben megadott példák mutatják majd. A mérési bizonytalanság meghatározásával számos olyan EA(L) dokumentum is foglalkozik, amely kalibrálási eljárásokhoz ad útmutatást, és e dokumentumok egy része az adott szakterületre vonatkozó kidolgozott példákat tartalmaz. 1.3 Az EA(L) dokumentumokban a legjobb mérési képesség (ami mindig egy meghatározott konkrét mennyiségre, a mérendõre vonatkozik) úgy van meghatározva, mint az a legkisebb mérési bizonytalanság, amit a laboratórium akkreditált mérési területén el tud érni, amikor a mennyiség egységének illetve egy vagy több ismert értékének meghatározására, megvalósítására, fenntartására vagy reprodukálására szolgáló közel ideális etalon, vagy az adott mennyiség mérésére tervezett közel ideális mérõeszköz többé kevésbé rutinszerû kalibrálását végzi. Egy akkreditált kalibráló laboratórium legjobb mérési képessége minõsítésének a jelen dokumentumban leírt módszereken és általában tapasztalati bizonyítékokon kell alapulnia, és azt rendszerint tapasztalati bizonyítéknak kell alátámasztania vagy megerõsítenie. A legjobb mérési 5/85 oldal

6 képesség minõsítéséhez az akkreditáló szervezetek részére az A függelék további magyarázatot tartalmaz.. ÁTTEKINTÉS ÉS MEGHATÁROZÁSOK Megjegyzés: A dokumentum szövegében a törzsszöveg szempontjából különösen fontos fogalmak vastag betûvel vannak szedve ott, ahol elõször megjelennek. Ezek meghatározását, az irodalmi forrás megjelölésével együtt, a B függelék tartalmazza..1 Egy mérési eredmény csak akkor teljes, ha tartalmazza mind a mérendõ mennyiségnek tulajdonított értéket, mind az ehhez az értékhez tartozó mérési bizonytalanságot. Ez a dokumentum az összes nem pontosan ismert mennyiséget véletlen változónak tekinti, beleértve azokat a befolyásoló mennyiségeket is, amelyek hatással lehetnek a mért értékre.. A mérési bizonytalanság a mérési eredményhez társított paraméter, amely a mérendõ mennyiségnek megalapozottan tulajdonítható értékek szóródását jellemzi. irodalom. Ebben a dokumentumban a bizonytalanság a mérési bizonytalanság helyett használt rövid alak, ha a rövidítés nem okozhat félreértést. A tipikus mérési bizonytalanságok egy listáját a C függelék tartalmazza..3 A mérendõ mennyiségek a mérés tárgyát képezõ tényleges mennyiségek. Kalibrálás esetén általában az egyetlen Y mérendõ vagy kimenõ mennyiség több i 1,,..,N X bemeneti mennyiség függvénye az i Y f X, X,..., X ) (.1) ( i, N összefüggésnek megfelelõen. A mérési eljárást és a kiértékelési módszert az f modell-függvény képviseli. Leírja, hogy az Y kimenõ mennyiség értéke hogyan adódik az X i bemenõ mennyiségek értékébõl. Az esetek többségében ez egy analitikus kifejezés, de lehet ilyen összefüggések csoportja, amely a rendszeres hatásokra alkalmazott korrekciós tagokat és korrekciós tényezõket tartalmaz, és ezért olyan összetettebb kapcsolatra vezet, amely egyértelmûen nem írható le egyetlen függvénnyel. Lehet továbbá, hogy kísérleti úton vagy csak számítási algoritmusként van meghatározva, vagy f lehet mindezek kombinációja is..4 Értékük és bizonytalanságuk meghatározásának módjától függõen az X i bemeneti mennyiségek két csoportba oszthatók: (a) azokra a mennyiségekre, amelyek értékét és a hozzájuk tartozó bizonytalanságot közvetlenül az adott mérésbõl határozták meg. Ezek az értékek származhatnak például egyetlen leolvasásból, ismételt leolvasásokból vagy tapasztalaton alapuló döntésekbõl. Tartalmazhatják az eszközök leolvasási korrekcióit, a befolyásoló mennyiségek miatti korrekciókat, amilyen például a környezeti hõmérséklet, légnyomás, nedvességtartalom (b) azokra a mennyiségekre, amelyek becslései és a hozzájuk tartozó bizonytalanságok az adott mérés esetén külsõ forrásból származnak. Ilyen 6/85 oldal

7 mennyiségek a kalibrált etalonok vagy a tanúsított anyagminták értékei, vagy a kézikönyvekbõl származó adatok..5 A mérendõ Y mennyiség egy becslése az y-nal jelölt kimeneti becslés, amit a (.1) egyenletbõl kapunk, ha az X i bemeneti mennyiséget az x i bemeneti becsléssel helyettesítjük: y = f(x 1,x,,x N ) (.) Ez az összefüggés akkor érvényes, ha a bemeneti mennyiségek a modell szempontjából fontos összes hatásnak megfelelõen korrigált legjobb becslések. Ha nem így van, akkor a szükséges korrekciókat önálló bemenõ mennyiségekként kell figyelembe venni..6 Egy véletlen változó szóródásának jellemzõje az eloszlás varianciája vagy annak pozitív négyzetgyöke, a változó szórása. Az y mérési eredményhez vagy kimeneti becsléshez tartozó u(y)-nal jelölt standard mérési bizonytalanság az Y mérendõ mennyiség szórása. u(y)-t az X i bemenõ mennyiségek x i becsléseibõl és az ezekhez tartozó u(x i ) standard bizonytalanságokból lehet meghatározni. A becsléshez tartozó standard bizonytalanság mértékegysége azonos a becslés egységével. Egyes esetekben a mérés relatív standard bizonytalanságának alkalmazása célszerû, ami a becsléshez tartozó standard bizonytalanság és a becslés abszolút értékének hányadosa, és ezért dimenziótlan. Ez az elv nem használható, ha a becslés zérussal egyenlõ. 7/85 oldal

8 3 A BEMENETI BECSLÉSEK MÉRÉSI BIZONYTALANSÁGÁNAK MEGHATÁROZÁSA 3.1 Általános megfontolások A bemeneti becslésekhez tartozó mérési bizonytalanság vagy az A-típusú vagy a B-típusú értékelési módszerrel határozható meg. A standard bizonytalanság A- típusú meghatározása a mérési sorozat statisztikai elemzésével történõ meghatározás. Ebben az esetben a standard bizonytalanság a középérték tapasztalati szórása, a középértéket átlagolással vagy megfelelõ regresszió számítással kell meghatározni. A standard bizonytalanság B-típusú meghatározása a bizonytalanságnak más módon, nem a mérési sorozat statisztikai elemzésébõl következõ meghatározása. Ebben az esetben a standard bizonytalanság kiszámítása egyéb tudományos ismereteken alapul. Megjegyzés: A kalibrálások során ritkán bár, de elõfordul, hogy egy mennyiség összes lehetséges értéke egy határérték egyik oldalán helyezkedik el. Egy általánosan ismert ilyen eset az úgynevezett koszinusz hiba. Az ilyen speciális esetek kezelésére lásd az 1. irodalmat. 3. A standard bizonytalanság A típusú meghatározása 3..1 A standard bizonytalanságot akkor lehet az A-típusú eljárás szerint meghatározni, ha valamely bemenõ mennyiség értékére több független, azonos mérési körülmények között meghatározott észlelés áll rendelkezésre. Ha a mérési eljárás felbontása megfelelõ, akkor a kapott értékekben mindig van valamekkora érzékelhetõ szóródás. 3.. Legyen Q az X i ismételten mért bemeneti mennyiség. n statisztikailag független észlelés esetén (n 1) a Q mennyiség q becslése az egyes q j (j= 1... n) megfigyelt értékek számtani közepe vagy átlaga. q 1 n n j 1 q j (3.1) A q átlag becsléshez tartozó mérési bizonytalanságot a következõ módszerek valamelyikével kell meghatározni: (a) Az alapul vett valószínûség-eloszlás varianciájának becslése a q j értékek s (q) tapasztalati varianciája: s 1 n q) ( q j q) n 1 j 1 ( (3.) Ennek (pozitív) négyzetgyöke a tapasztalati szórás. A q számtani közép varianciájának legjobb becslése az átlag tapasztalati varianciája: s ( q) s ( q) n (3.3) 8/85 oldal

9 Ennek (pozitív) négyzetgyöke az átlag tapasztalati szórása. A q bemeneti becsléshez tartozó u(q ) standard bizonytalanság az átlag tapasztalati szórása: u(q ) = s(q ) (3.4) Figyelmeztetés: Általánosságban, ha az ismételt mérések n száma alacsony (n 10), akkor a (3.4) képlet szerint kifejezett standard bizonytalanság A- típusú meghatározásának megbízhatóságát ellenõrizni kell. Ha az észlelések száma nem növelhetõ, akkor meg kell fontolni a szövegben megadott más meghatározási módok alkalmazását. (b) Jól jellemzett és statisztikailag ellenõrzött mérések esetén azok szóródását a rendelkezésre álló s gyûjtött variancia jobban jellemzi, mint a korlátozott p számú megfigyelésbõl becsült szórás. Ha ilyen esetben a Q bemenõ mennyiség becslése a kisszámú független megfigyelésbõl meghatározott q számtani közép, akkor a középérték varianciája a (3.5) képlettel becsülhetõ: s s p ( q) (3.5) n A standard bizonytalanságot ebbõl a (3.4) képletnek megfelelõen kell levezetni. 3.3 A standard bizonytalanság B típusú meghatározása A standard bizonytalanság B típusú meghatározása az X i bemenõ mennyiség x i becsléséhez tartozó bizonytalanság olyan meghatározása, amely az észlelési sorozat statisztikai értékelésétõl eltérõ, más módszerrel történik. Az u(x i ) standard bizonytalanságot az X i mennyiség lehetséges változataira vonatkozó összes rendelkezésre álló információn alapuló tudományos megítéléssel lehet értékelni. Ebbe a kategóriába tartozó értékek származhatnak: korábbi mérések adataiból, a megfelelõ anyagok és eszközök viselkedésének és tulajdonságainak általános ismeretébõl, illetve az ezekre vonatkozó tapasztalatokból, a gyártói adatokból (specifikációkból), a kalibrálási és egyéb bizonyítványokban megadott adatokból, a kézikönyvi adatokhoz tartozó bizonytalanságokból A standard mérési bizonytalanság B típusú meghatározásához rendelkezésre álló információ megfelelõ felhasználásához/alkalmazásához tapasztalaton és széles körû ismereten alapuló józan megfontolás szükséges. Az ilyen tudást, képességet gyakorlattal lehet megszerezni. A standard bizonytalanság jól megalapozott B-típusú 9/85 oldal

10 meghatározása ugyanolyan megbízható lehet, mint a standard bizonytalanság A-típusú meghatározása, különösen olyan esetekben, amikor az A-típusú meghatározás viszonylag kevés számú, statisztikailag független megfigyelésen alapul. A következõ eseteket kell megkülönböztetni: (a) Ha X i mennyiségre csak egyetlen érték ismeretes, például egy mérési eredmény, egy elõzõ mérés eredménye, egy irodalomból származó referenciaérték vagy egy korrekciós érték, akkor x i -ként ezt az értéket kell használni. Az x i -hez tartozó u(x i ) standard bizonytalanságot kell elfogadni, ha azt megadták. Ellenkezõ esetben azt az egyértelmû bizonytalansági adatokból számítással kell meghatározni. Ilyen típusú adatok hiányában a bizonytalanságot tapasztalat alapján kell kiszámítani. (b) (c) Ha az elmélet vagy a tapasztalat alapján feltételezhetõ az X i mennyiség valószínûségi-eloszlása, akkor ennek az eloszlásnak a várható értékét kell az x i becslésének, és varianciája négyzetgyökét kell az x i -hez tartozó standard bizonytalanság u(x i ) becslésének tekinteni. Ha a X i mennyiségnek csak az a + és az a - felsõ és alsó határoló értéke becsülhetõ (pl. egy hõmérséklet-tartomány a mérõeszköz gyártási specifikációjában vagy egy automatikus adatsûrítésbõl eredõ kerekítési vagy levágási hiba), akkor e határok között az X i mennyiség egyenletes eloszlását kell feltételezni. A b) esetnek megfelelõen ez az 1 x i ( a a ) (3.6) becslésre és a hozzá társított 1 1 u ( x ) ( a a ) (3.7) i standard bizonytalanság négyzetéhez vezet. A határoló értékek különbségét aval jelölve a (3.7) képlet a következõ alakú lesz: 1 3 u ( x ) a (3.8) i Ha az X bemeneti mennyiségrõl nincs egyéb ismeret, csak a lehetséges határoló értékei, akkor az egyenletes eloszlás a nem megfelelõ ismeretszint miatt egy elfogadható valószínûségi leírás. De ha ismeretes, hogy a kérdéses mennyiség értékei a lehetséges tartomány közepén valószínûbbek, mint a tartomány határainak közelében, akkor a háromszög vagy a normális eloszlás jobb modell lehet. Ha a határoló értékekhez közelebbi értékek valószínûbbek, mint a tartomány közepére esõ értékek, akkor az U-alakú eloszlás megfelelõbb. 10/85 oldal

11 4 A KIMENETI BECSLÉS STANDARD BIZONYTALANSÁGÁNAK KISZÁMÍTÁSA 4.1 Korrelálatlan bemenõ mennyiségek esetén az y kimeneti becsléshez tartozó standard bizonytalanság négyzete N u ( y) u i ( y) (4.1) i1 Megjegyzés: Ritkán bár, de elõfordulhat a kalibrálások során, hogy a modellfüggvény erõsen nemlineáris vagy az érzékenységi együtthatók (lásd a (4.) és (4.3) egyenleteket) eltûnnek, és magasabb rendû tagokat is figyelembe kell venni a (4. 1) egyenletben. Az ilyen különleges esetek kezelésére vonatkozóan lásd az 1. irodalmat. Az u i (y) (i=1,,,n) mennyiség az x i bemeneti becslés által okozott bizonytalansági járulék az y kimeneti becslés standard bizonytalanságához. u y) c u( x ) (4.) i( i i ahol c i az x i bemeneti becsléshez tartozó érzékenységi együttható, ami az f modellfüggvény X i szerinti parciális deriváltjának értéke az x i bemeneti becslésnél meghatározva. c i f x i f X i X1 x1,..., X N x N (4.3) 4. A c i érzékenységi együttható leírja, hogy az x i bemeneti becslés változása hogyan hat az y kimeneti becslésre. Értéke vagy az f modellfüggvénybõl határozható meg a (4.3) egyenlettel vagy numerikus módszerekkel kell meghatározni, azaz úgy, hogy ki kell számítani a az y kimeneti becslésnek az x i bemeneti becslés +u(x i ) és -u(x i ) értékkel való megváltozása okozta megváltozását, és c i értékeként az y-ban bekövetkezett megváltozásnak és u(x i )-nek a hányadosát kell elfogadni. Sokszor célszerûbb lehet az y becslés változásának kísérleti meghatározása, például x i ± u(x i ) ismételt méréseibõl. 4.3 Míg u(x i ) mindig pozitív, addig a (4.) képletnek megfelelõen meghatározott u i (y) járulék a c i érzékenységi együttható elõjelétõl függõen lehet akár pozitív, akár negatív. Korrelált bemenõ mennyiségek esetén u i (y) elõjelét figyelembe kell venni, lásd a D függelék (D.4) egyenletét. 4.4 Ha az f modellfüggvény az X i bemeneti mennyiségek megfelelõ összege vagy különbsége, akkor N f ( X, X,..., X p X (4.4) 1 N ) i1 i i és a (.) egyenletnek megfelelõen, az y kimeneti becslés a bemeneti becslések megfelelõ összege vagy különbsége y N i1 p i x i (4.5) 11/85 oldal

12 ahol az érzékenységi együttható p i -vel egyenlõ, és a (4.1) egyenlet a következõképpen alakul át: N u ( y) p u ( ) (4.6) i1 i x i 4.5 Ha az f modellfüggvény az X i bemeneti mennyiségek szorzata vagy hányadosa, azaz N p f ( X, X,..., X c X i (4.7) 1 N ) i1 i akkor a kimeneti becslés a bemeneti becslések megfelelõ szorzata vagy hányadosa: y c N i1 p x i i (4.8) Ebben az esetben az érzékenységi együtthatók p i y/x i vel egyenlõk és a w(y)= u(y) / y és w(x i )= u(x i ) / x i relatív standard bizonytalanságot bevezetve a (4.1) egyenletbõl a (4.6) egyenlethez hasonló alak vezethetõ le: N w ( y) p w ( ) (4.9) i1 i x i 4.6. Az X i és X k bemeneti mennyiségek kovarianciáját is figyelembe kell venni bizonytalansági járulékként, ha azok valamilyen mértékig korreláltak, például ha valamilyen módon kölcsönösen függenek egymástól. Ennek módját lásd a D függelékben. A korrelációs hatás figyelembevételének lehetõsége a mérési folyamat ismeretétõl és a bemenõ mennyiségek kölcsönös függésének megítélésétõl függ. A bemenõ mennyiségek közötti korreláció elhanyagolása a standard mérési bizonytalanság helytelen meghatározásához vezethet Az X i és X k bemenõ mennyiségek becslései közötti kovariancia nullának tekinthetõ vagy elhanyagolható, ha (a) a bemeneti mennyiségek függetlenek, például azért, mert különbözõ független kísérletek során ismételten, de nem egyidejûleg figyelték meg azokat, vagy mert függetlenül végzett különbözõ meghatározások eredményei, vagy ha (b) az X i és X k bemeneti mennyiségek valamelyike állandónak tekinthetõ, vagy ha (c) az elemzések nem adnak az X i és X k bemeneti mennyiségek korrelációjára utaló információt. A korrelációk néha a modellfüggvény megfelelõ megválasztásával megszüntethetõk. 4.8 A méréshez tartozó bizonytalanság-elemzésnek (amit néha a mérési bizonytalanság listájának is neveznek) tartalmaznia kell az összes bizonytalanság-forrás felsorolását, az ezekhez tartozó standard mérési bizonytalanságokat és azok értékelésének a módját. Ismételt mérések esetén a mérések n számát is közölni kell. Az áttekinthetõség kedvéért ennek az elemzésnek az adatait célszerû táblázatos formában megadni. A táblázatban a mennyiségeket a fizikában alkalmazott megfelelõ X i szimbólumokkal 1/85 oldal

13 vagy más rövid azonosítóval kell jelölni. A táblázatnak ezek mindegyikére tartalmaznia kell az x i becsléseket, az ezekhez tartozó u (x i ) standard mérési bizonytalanságokat, a c i érzékenységi együtthatókat és a különbözõ u i (y) bizonytalansági járulékokat. A mérõszámok mellett a táblázatban a mértékegységeket is meg kell adni. 4.9 A 4.1 táblázat egy ilyen elrendezésre ad formai példát korrelálatlan bemeneti mennyiségek esetén. A táblázat jobb alsó sarkában a mérési eredményekhez tartozó u(y) standard mérési bizonytalanság, a jobb szélsõ oszlopban felsorolt bizonytalansági járulékok négyzetösszegébõl vont négyzetgyök áll. A szürke hátterû mezõket nem kell kitölteni. 4.1 Táblázat: A bizonytalanság elemzéshez használt mennyiségek, becslések, standard bizonytalanságok, érzékenységi együtthatók és bizonytalansági járulékok egy szabályos elrendezésének vázlata. Mennyiség Becslés Standard bizonytalansá g Érzékenységi együttható Bizonytalansági járulék X i x i u (x i ) c i u i (y) X1 x1 u (x1) c1 u1 (y) X x u (x ) c u (y)..... X N x N u (x N ) c N u N (y) Y y u (y) 13/85 oldal

14 5 KITERJESZTETT MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG EA Az EA(L) döntése szerint az EA(L) tagjai által akkreditált kalibráló laboratóriumoknak olyan U kiterjesztett mérési bizonytalanság-ot kell megadniuk, amely a kimenõ becslés u(y) standard bizonytalanságának egy k kiterjesztési tényezõ-vel megszorzott értéke y U ku (5.1) Ha a mérendõ mennyiségnek normális eloszlás (Gauss eloszlás) tulajdonítható és a kimeneti becsléshez tartozó standard bizonytalanság (értéke) eléggé megbízható, akkor a k = szabványos kiterjesztési tényezõt kell használni. A kiterjesztett bizonytalanság ilyenkor közelítõleg 95%-os megbízhatósági valószínûség-nek felel meg. Ezek a feltételek a kalibrálási tevékenység során elõforduló esetek többségében teljesülnek. 5. A normális eloszlásra vonatkozó feltételezés kísérletileg nem mindig igazolható egyszerûen. Olyan esetekben azonban, amikor több (pl. N 3 ), független mennyiségek "jól viselkedõ" eloszlásaiból, pl. normális vagy háromszög eloszlásból származó bizonytalanság összetevõ hasonló mértékben járul hozzá a kimeneti becslés bizonytalanságához, a központi határeloszlás feltételei teljesülnek, és feltételezhetõ, hogy a kimenõ mennyiség eloszlása jó közelítéssel normális. 5.3 A kimeneti becslésnek tulajdonított standard bizonytalanságot annak effektív szabadságfoka határozza meg (lásd az E függeléket). A megbízhatósági feltétel azonban mindig teljesül, ha egyetlen A-típusú meghatározás sem származik tíznél kevesebb ismételt mérésbõl (megfigyelésbõl). 5.4 Ha a fenti feltételek (normalitás vagy megfelelõ megbízhatóság) valamelyike nem teljesül, akkor a szabványos k = kiterjesztési tényezõ 95%-nál kisebb megbízhatósági valószínûségnek megfelelõ kiterjesztett bizonytalanságra vezethet. Ilyen esetekben, azért, hogy a közölt kiterjesztett bizonytalanság a normális eloszlás esetével azonos megbízhatósági valószínûségnek feleljen meg, az elõzõben ismertetettõl eltérõ eljárást kell alkalmazni. A közelítõleg azonos megbízhatósági valószínûség alkalmazása feltétlenül szükséges az ugyanazon mennyiségre vonatkozó két mérési eredmény összehasonlításakor, például laboratóriumok közötti összehasonlítások eredményeinek kiértékelésekor vagy a specifikációnak való megfelelés értékelésekor. 5.5 Még a normális eloszlás feltételezhetõsége esetén is elõfordulhat, hogy a kimeneti becsléshez társított standard bizonytalanság értéke nem elég megbízható. Ilyen esetekben, ha az ismételt mérések n számának növelése vagy az A-típusú helyett a B- típusú értékelés alkalmazása nem lehetséges, akkor az E függelékben megadott módszert kell használni. 5.6 Az összes többi esetben, amikor tehát a normális eloszlásra vonatkozó feltételezés nem igazolható, a kimeneti becslés aktuális valószínûség-eloszlására vonatkozó információ alapján olyan k kiterjesztési tényezõt kell használni, amely közelítõleg 95%-os megbízhatósági valószínûségnek felel meg. 14/85 oldal

15 6. A MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG MEGADÁSA A KALIBRÁLÁSI BIZONYÍTVÁNYBAN 6.1 A kalibrálási bizonyítványban a teljes mérési eredményt, tehát a mérendõ mennyiség értékének y becslését és az ehhez társított U mérési bizonytalanságot ( y ± U ) formában kell közölni. Ehhez egy, általában a következõ tartalmú magyarázó megjegyzést kell fûzni: A közölt kiterjesztett mérési bizonytalanság a standard bizonytalanság k = -vel szorzott értéke, ami normális eloszlás esetén közelítõleg 95%-os megbízhatósági valószínûségnek felel meg. A standard bizonytalanság meghatározása az EA-4/0 kiadványának megfelelõen történt. 6. Az E Függelékben megadott eljárás alkalmazása esetén a szükséges megjegyzés szövege a következõ: A közölt kiterjesztett mérési bizonytalanság a standard bizonytalanság k = XX -vel szorzott értéke, ami veff = YY effektív szabadságfok esetén közelítõleg 95%-os megbízhatósági valószínûségnek felel meg. A standard bizonytalanság meghatározása az EA-4/0 kiadványnak megfelelõen történt. 6.3 A mérési bizonytalanság legfeljebb két értékes jegyre adható meg. A mérési eredmény számértékét a végleges értékelés végén a mérési bizonytalanság utolsó értékes jegyével azonos helyi értékig kell kerekíteni. Ezeknél a kerekítéseknél a kerekítés általános szabályait kell használni (a kerekítésre vonatkozó további információt az ISO 31-0:199, B függeléke tartalmaz). Ha a szokásos kerekítési eljárás a mérési bizonytalanság 5%-nál nagyobb csökkenését eredményezné, akkor felfelé kell kerekíteni. 15/85 oldal

16 7. A MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG KISZÁMÍTÁSÁNAK RÉSZLETES ELJÁRÁSA 7.1 A következõ rész útmutató a jelen dokumentum gyakorlati használatához (kidolgozott példák a kiegészítõ dokumentumokban találhatók). (a) A (.1) egyenletnek megfelelõen ki kell fejezni az Y mérendõ (kimeneti) mennyiségnek az X i bemeneti mennyiségektõl való függését. Két etalon közvetlen összehasonlítása esetén az egyenlet nagyon egyszerû, pl. Y = X 1 - X alakú lehet. (b) Meg kell határozni és el kell végezni az összes lényeges korrekciót. (c) A 4. fejezetnek megfelelõen fel kell sorolni, bizonytalanság elemzõ táblázat formájában, az összes bizonytalanság-forrást. (d) Ismételt mérések esetén a 3. szakasznak megfelelõen meg kell határozni az u ( q ) standard bizonytalanságot. (e) Egyedi értékek, pl. korábbi mérési eredmények, korrekciók vagy szakirodalmi adatok esetén el kell fogadni azok standard bizonytalanságát, ha az meg van adva, vagy ha a 3.. (a) bekezdésének megfelelõen kiszámítható. Figyelemmel kell lenni a bizonytalanság megadásának módjára. Ha nincs olyan adat, amelybõl az u (x i ) standard bizonytalanság levezethetõ lenne, akkor u (x i ) értékét tudományos vizsgálatok alapján kell meghatározni. (f) Olyan bemeneti mennyiségek esetén, amelyek valószínûség-eloszlása ismert vagy feltételezhetõ, a 3.3. (b) bekezdésnek megfelelõen kell kiszámítani a várható értéket és az u (x i ) standard bizonytalanságot. Ha csak az alsó és felsõ határok adottak vagy becsülhetõk, akkor az u (x i ) standard bizonytalanságot a 3.3. (c) bekezdésnek megfelelõen kell kiszámítani. (g) Mindegyik Xi bemeneti mennyiségre ki kell számítani a (4.) és a (4.3) egyenletnek megfelelõen azok u i (y) járulékát az x i bemeneti becslésekbõl származó kimeneti becsléshez társított bizonytalansághoz, és összegezni kell azok négyzeteit (4.1) egyenletnek megfelelõen, hogy megkapható legyen a mérendõ mennyiség u(y) standard bizonytalanságának a négyzete. Korrelált bemeneti mennyiségek esetén a D függelékben megadott eljárásnak megfelelõen kell eljárni. (h) Ki kell számítani a kimeneti becsléshez tartozó u (y) standard bizonytalanság és az 5 fejezetnek megfelelõen megválasztott k kiterjesztési tényezõ összeszorzásával az y érték kiterjesztett bizonytalanságát. (i) A kalibrálási bizonyítványban a 6. fejezetnek megfelelõen közölni kell a mérendõ mennyiség y becslését, a becsléshez tartozó U kiterjesztett bizonytalanságot és a k tényezõt. 16/85 oldal

17 8. IRODALOM 1 Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, first edition, 1993, módosítva és újra kiadva 1995-ben, International Organization for Standardization (Geneva, Svájc): Magyarul: Útmutató a mérési bizonytalanság kifejezéséhez, Országos Mérésügyi Hivatal; Budapest, International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology, második kiadás, 1993, International Organization for Standardization (Geneva, Svájc), Magyarul: Nemzetközi Metrológiai Értelmezõszótár, Mérésügyi Közlemények, 1995/; Magyar- Angol változat. OMH és MTA-MMSZ közös kiadás, International Standard ISO Statistics - Vocabulary and Symbols - Part 1: Probability and General Statistical Terms, elsõ kiadás, 1993, International Organization for Standardization (Geneva, Svájc) 17/85 oldal

18 A függelék Magyarázatok a legjobb mérési képesség értékeléséhez A1 A A3 A4 A5 A legjobb mérési képesség (vesd össze a fõ szöveg 1. fejezetével) a fizikai mennyiség, a kalibrálási módszer vagy a kalibrálandó mérõeszközfajta és a mérési tartomány mellett az egyik olyan jellemzõ, amellyel az akkreditált kalibrálólaboratórium tevékenységköre leírható. A legjobb mérési képességet általában az akkreditálás érvényességi körét meghatározó lista vagy az akkreditálási határozatot vagy okiratot kiegészítõ egyéb dokumentum tartalmazza. Esetenként mindkettõ is tartalmazhatja. A legjobb mérési képesség az akkreditáló szervezetek által rendszeresen kiadott nyilvántartásokban megtalálható egyik fontos információ, az akkreditált laboratóriumok által nyújtott szolgáltatások megrendelõi ennek alapján döntenek, hogy a laboratórium alkalmas-e egy adott kalibrálási munka elvégzésére a laboratóriumban vagy a helyszínen. A különbözõ kalibrálólaboratóriumok, különösen a különbözõ akkreditáló szervezetek által akkreditált laboratóriumok képességeinek összehasonlíthatóságához fontos a legjobb mérési képességre vonatkozó megállapítások összehangolása. A következõkben ennek elõsegítését szolgálja a fõ szövegben megadott meghatározáshoz fûzött néhány magyarázat. A "többé-kevésbé" rutinszerû kalibrálás azt jelenti, hogy a laboratórium ezt a képesség-szintet a szokásos tevékenysége során biztosítani tudja, amikor akkreditálásának megfelelõen mûködik. Természetesen elõfordulhatnak olyan esetek, amikor a laboratórium alapos vizsgálatokkal és további elõvigyázatossági intézkedések betartásával jobb teljesítményre is képes, ezekre azonban a legjobb mérési képesség meghatározása nem vonatkozik, kivéve azt az esetet, ha a laboratórium kimondott célja az, hogy tudományos vizsgálatokat végezzen (ilyenkor azonban ez válik a laboratórium "többé-kevésbé" rutinszerû kalibrálási tevékenységévé). A "közel ideális" jelzõ a meghatározásban azt jelenti, hogy a legjobb mérési képesség nem függhet a kalibrálandó eszköz jellemzõitõl. A "közel ideálisnak lenni" alapelgondolásban tehát az is benne foglaltatik, hogy a mérési bizonytalanságban nem lehet jelentõs a járuléka olyan fizikai hatásoknak, amelyek a kalibrálandó mérõeszköz tökéletlenségeinek róhatók fel. A "közel ideális" mérõeszköz a valóságban hozzáférhetõ. Ha azonban adott esetben megállapítást nyer, hogy még a legideálisabb mérõeszköz is hozzájárul a mérési bizonytalansághoz, akkor ezt a járulékot figyelembe kell venni a "legjobb mérési képesség" meghatározásakor, és közölni kell, hogy a legjobb mérési képesség az adott típusú mérõeszköz kalibrálására vonatkozik. A legjobb mérési képesség meghatározásának értelmezése szerint a laboratórium akkreditálásának keretében nem közölhet a "legjobb mérési képesség"-nél kisebb mérési bizonytalanságot. A laboratóriumnak a legjobb mérési képességnél nagyobb mérési bizonytalanságot kell megadnia, ha az adott kalibrálási eljárás jelentõs járulékot ad a mérési bizonytalansághoz. Tipikus ilyen járulék a kalibrálandó eszközbõl eredõ bizonytalanság. A tényleges mérési bizonytalanság sohasem lehet kisebb a legjobb mérési képességnél. A tényleges mérési bizonytalanság közlésekor a laboratóriumnak a jelen dokumentum elveit kell alkalmaznia. 18/85 oldal

19 A6 A7 A8 A9 A10 A11 EA-4-0 Az alaphelyzetnek megfelelõen a "legjobb mérési képesség" fogalma csak azokra az eredményekre értelmezhetõ, amelyekre a laboratórium igényelte az akkreditálást. Ilyen értelemben a kifejezés ügyviteli jellegû és nem feltétlenül jellemzi a laboratórium tényleges mûszaki teljesítõképességét. Egy laboratórium kérhet akkreditálást a mûszaki lehetõségeibõl következõnél nagyobb mérési bizonytalanságra is, ha belsõ érdekei úgy kívánják. Ilyen belsõ szempont lehet, ha a valós lehetõségeket belsõ igények megbízható kielégítésére kell fenntartani, pl. kutatási és fejlesztési tevékenységre vagy különleges megrendelõk részére végzett szolgáltatásokra. Az akkreditáló szervezet bármilyen szintû tevékenységre adhat akkreditálást, ha azt a kalibrálást a laboratórium el is tudja látni. (Ez nem csak a legjobb mérési képességre vonatkozik, hanem az akkreditálás érvényességi körét meghatározó minden jellemzõre.) A legjobb mérési képesség minõsítése az akkreditáló szervezet feladata. A legjobb mérési képességet meghatározó mérési bizonytalanság becslésének az elõzõ bekezdésben foglalt esettõl eltekintve a jelen dokumentumban meghatározott eljárás szerint kell történnie A legjobb mérési képességet a kalibrálási bizonyítványokban megadott módon kell megadni, azaz a kiterjesztett mérési bizonytalanság formájában, általában a k = kiterjesztési tényezõt használva. (Olyan kivételes esetekben, amikor a normális eloszlás nem tételezhetõ fel vagy amikor a minõsítés korlátozott adatokon alapul, a legjobb mérési képességet a közelítõleg 95%-os valószínûségnek megfelelõ kiterjesztési tényezõvel kell megadni. Lásd az ajánlás 5. fejezet-ét.) A legjobb mérési képesség meghatározásakor a mérési bizonytalansághoz jelentõsen hozzájáruló minden tényezõt figyelembe kell venni. Az idõ vagy bármely más mennyiség függvényében változó járulékok értékelése a szokásos mûködési körülmények között lehetséges változások határoló értékei alapján történhet. Ha például ismert, hogy az alkalmazott használati etalon driftel, akkor az etalontól származó mérési bizonytalanság becslésekor az egymást követõ kalibrálások közötti drift bizonytalansági járulékát is figyelembe kell venni. Egyes esetekben a mérési bizonytalanság kiegészítõ paraméterektõl is függhet, ilyen lehet például etalon ellenállás kalibrálásakor az alkalmazott feszültség frekvenciájától való függés. Az ilyen kiegészítõ paramétereket az adott fizikai mennyiséggel és a kiegészítõ paraméterre megállapított legjobb mérési képességgel együtt kell megadni. Ilyen esetekben sokszor a legjobb mérési képességet az adott paraméter függvényében lehet megadni. A legjobb mérési képességet általában számszerûen kell megadni. Ha a legjobb mérési képesség a mérendõ mennyiség (vagy valamely más paraméter) függvénye, akkor az összefüggést analitikus formában kell megadni, de ebben az esetben szemléletes lehet a megállapítás jelleggörbével való alátámasztása. Mindig egyértelmûnek kell lennie annak, hogy a legjobb mérési képesség abszolút vagy relatív értékkel van-e megadva. (A mértékegység megadása, mint szükséges magyarázat általában megfelelõ, de dimenziótlan mennyiségek esetén külön értelmezésre van szükség.) Bár az értékelésnek a jelen dokumentum eljárásain kell alapulnia, a fõ szöveg szerint az értékelést általában tapasztalati tényekkel kell megerõsíteni vagy alátámasztani. E követelmény értelmében az akkreditáló szervezet nem hagyatkozhat kizárólag a mérési bizonytalanság kiszámítására. Az értékelést megerõsítendõ, az akkreditáló szervezet felügyeletével vagy nevében végzett laboratóriumok közötti összehasonlítások is szükségesek. 19/85 oldal

20 B függelék A fontosabb fogalmak értelmezése B1 számtani közép, átlag (3 irodalom,.6 fogalma ) Az értékek összege osztva az értékek számával. B legjobb mérési képesség (1. fejezet) A legkisebb mérési bizonytalanság, amit a laboratórium az akkreditált mérési területén el tud érni, amikor a mennyiség egy vagy több ismert értékének meghatározására, megvalósítására, fenntartására vagy reprodukálására szolgáló közel ideális etalon, vagy az adott mennyiség mérésére tervezett, közel ideális mérõeszköz többé-kevésbé rutinszerû kalibrálását végzi. B3 korreláció ( [3] irodalom, 1.13 fogalma ) Két- vagy többváltozós valószínûség-eloszlás két vagy több véletlen változójának összefüggése. B4 korrelációs együttható ([1] irodalom, C.3.6 pont ) Két véletlen változó relatív kölcsönös függésének a mértéke; a kovarianciájuknak és a varianciájuk szorzatából vont pozitív négyzetgyöknek a hányadosa. B5 kovariancia ([1] irodalom, C.3.4 pont ) Két véletlen változó kölcsönös függésének a mértéke; a két változónak a saját várható értékétõl való eltérése szorzatának a várható értéke. B6 kiterjesztési tényezõ ([1] irodalom,.3.6 fogalma ) Szorzóként használt számtényezõ, mellyel a standard bizonytalanságból a kiterjesztett bizonytalanság nyerhetõ. B7 megbízhatósági valószínûség ([1] irodalom,.3.5 fogalom, 1. megjegyzés ) A mérendõ mennyiségnek mérési eredményként megalapozottan tulajdonítható értékek eloszlásának - általában nagy - hányada. B8 tapasztalati szórás ([] irodalom, 3.8 fogalom ) A tapasztalati variancia pozitív négyzetgyöke. B9 kiterjesztett bizonytalanság ([1] irodalom,.3.5 fogalom ) A mérési eredmény körüli olyan tartományt meghatározó mennyiség, amely tartományról várható, hogy a mérendõ mennyiségnek megalapozottan tulajdonítható értékek eloszlásának egy nagy hányadát magában foglalja. B10 tapasztalati variancia ([1] irodalom, 4.. pont ) Ugyanazon mennyiség n ismételt mérése során kapott észlelési sorozat szóródását jellemzõ, a (3.) egyenlettel meghatározott mennyiség. B11 bemeneti becslés ([1] irodalom, pont ) 0/85 oldal

21 A mérési eredmény meghatározásához használt bemenõ mennyiség értékének a becslése. B1 bemeneti mennyiség ([1] irodalom, 4.1. pont ) Olyan mennyiség, amelynek a mérendõ mennyiség függvénye, és amelyet a mérési eredmény meghatározási eljárása során figyelembe vettek. B13 mérendõ mennyiség ([] irodalom,.6 fogalom ) A mérés tárgyát képezõ konkrét mennyiség. B14 kimeneti becslés ([1] irodalom, pont ) A bementi becslésbõl a modellfüggvénnyel kiszámított mérési eredmény. B15 kimeneti mennyiség ([1] irodalom, 4.1. pont ) A mérési eredmény meghatározása során a mérendõ mennyiséget reprezentáló mennyiség. B16 gyûjtött variancia becslés ([1] irodalom, 4..4 pont ) Ugyanazon mérendõ mennyiség jól jellemzett, statisztikailag ellenõrzött méréseinek hosszú sorozatából meghatározott tapasztalati variancia becslés. B17 valószínûség-eloszlás ([3] irodalom, 1.3 fogalom ) Függvény, amely megadja annak a valószínûségét megadó függvény, hogy egy valószínûségi változó felvesz valamely adott értéket vagy egy adott értékkészlethez tartozik. B18 véletlen változó ([3] irodalom, 1. fogalom ) Olyan változó, amely egy meghatározott értékkészletbõl bármely értéket felvehet és amelyhez egy valószínûség-eloszlás rendelhetõ. B19 relatív standard mérési bizonytalanság ([1] irodalom, pont ) A standard mérési bizonytalanság osztva a mennyiség becsült értékével. B0 a bemeneti becsléshez tartozó érzékenységi együttható ([1] irodalom, pont ) A bementi mennyiség igen kicsi változása által a kimeneti mennyiségben keletkezõ igen kicsi változás osztva a bemeneti mennyiség igen kicsi változásával. B1 szórás ([3] irodalom, 1.3 fogalom ) A véletlen változó varianciájának pozitív négyzetgyöke. B standard mérési bizonytalanság ([1] irodalom,.3.1 pont ) A mérési bizonytalanság szórásként kifejezve. B3 A-típusú értékelési eljárás ([1] irodalom,.3. fogalom ) 1/85 oldal

22 A mérési bizonytalanság értékelésének az észlelési sorozatok statisztikai elemzésén alapuló módszere. B4 B típusú értékelési eljárás ([1] irodalom,.3. fogalom ) A mérési bizonytalanság értékelésének az észlelési sorozatok statisztikai elemzésétõl eltérõ, más módszere. B5 mérési bizonytalanság ([] irodalom, 3.9 fogalom ) A mérési eredményhez társított paraméter, mely a mérendõ mennyiségnek megalapozottan tulajdonítható értékek szóródását jellemzi. B6 variancia ([3] irodalom, 1. fogalom ) Egy véletlen változó és a várható értéke közötti eltérés négyzetének a várható értéke. /85 oldal

23 C függelék Mérési bizonytalanság források C1 A mérési eredmény bizonytalansága azt tükrözi, hogy a mérendõ mennyiségre vonatkozó ismeret nem teljes. A teljes ismerethez végtelen mennyiségû információra lenne szükség. A bizonytalansághoz hozzájáruló jelenségeket, amelyek miatt a mérési eredmény nem adható meg egyetlen értékkel, bizonytalansági forrásnak nevezik. A gyakorlatban a mérési bizonytalanságnak sok lehetséges forrása van [1] irodalom, ilyenek: (a) a mérendõ mennyiség hiányos meghatározása; (b) a mérendõ mennyiség meghatározásának nem tökéletes megvalósítása; (c) a nem reprezentatív mintavétel - a mért minta nem feltétlenül képviseli a meghatározott mérendõ mennyiséget; (d) a környezeti feltételek mérésre gyakorolt hatásainak nem tökéletes ismerete vagy a környezeti feltételek nem tökéletes mérése; (e) az analóg mérõeszköz leolvasásának a mérést végzõ személy által okozott torzítása; (f) a mûszer véges felbontása vagy küszöbérzékenysége; (g) az etalonok és az anyagminták pontatlan értékei; (h) az állandók, valamint más külsõ forrásokból nyert és az adategyszerûsítési algoritmusban alkalmazott együtthatók pontatlan értékei; (i) a mérési módszerben és eljárásban alkalmazott közelítések és feltételezések; (j) a látszólag azonos feltételek mellett megismételt észlelésben mutatkozó eltérések. C Ezek a források nem szükségszerûen függetlenek. Egyes források (a)-tól - (i)-ig hozzájárulhatnak a (j) forráshoz. 3/85 oldal

24 D függelék Korrelált bemenõ mennyiségek D1 Ha X i és X k két bemenõ mennyiségrõl ismert, hogy valamilyen mértékben korreláltak - például ha valamilyen módon függnek egymástól - akkor az x i és az x k becslésekhez társított,, i k u x x u x u x r x x i k i k i k (D.1) kovarianciát bizonytalansági járulékként figyelembe kell venni. A korreláció mértékét az r (x i,x k ) korrelációs együttható jellemzi (ahol i k és r 1 ). D Két különbözõ P és Q mennyiség n független és egyidejûen ismételt észlelése esetén az átlagokhoz tartozó p p q q n 1 s p, q j j (D.) n n 1 j1 kovariancia a (D.1) egyenletbõl r behelyettesítésével számítható. D3 A befolyásoló mennyiségek esetén bármilyen fokú korrelációnak a tapasztalaton kell alapulnia. Korreláció esetén a (4.1) egyenlet helyett vagy az N N 1 N i i i k i k i 1 i 1 k i 1 u y c u x c c u x, x (D.3) egyenletet kell használni ahol c i és c k a (4.3) egyenlettel definiált érzékenységi együtthatók, vagy az N N 1 N u y ui y ui yu k yrx i, xk (D.4) i1 i1 k i1 egyenletet, ahol u i (y) a (4.) egyenletnek megfelelõen az x i bemeneti becslés bizonytalanságából adódó bizonytalansági járulék az y kimeneti becslés értékében. Megjegyzendõ, hogy a (D.3) és a (D.4) egyenletekben a második összeg elõjele negatív is lehet. D4 A gyakorlatban a bemeneti mennyiségek gyakran korreláltak, mert értékük meghatározásához azonos referencia etalont, mérõeszközt, referenciaértéket, vagy akár nem elhanyagolható bizonytalanságú azonos mérési módszert használnak Az általánosság korlátozása nélkül tételezzük fel, hogy a két X 1 és X bemenõ mennyiség értékének x 1 és x becslései a Q l ( l = 1,,..., L ) független változók készletétõl függnek X X 1 g ( Q, Q,..., Q 1 1 g ( Q, Q,... Q ) 1 L L ) (D.5) 4/85 oldal

25 bár nem minden változónak kell szükségszerûen megjelennie mindkét függvényben. Az x 1 és x bemeneti becslések bizonyos mértékig akkor is korreláltak lehetnek, ha a q l ( l = 1,,..., L ) becslések korrelálatlanok. Ebben az esetben az x 1 és x becslések u (x 1,x ) kovarianciája u x, x L c c u q 1 l 1 1l l l (D.6) ahol c 1l és c l a g 1 és a g függvényekbõl a (4.3) egyenlethez hasonló módon meghatározott érzékenységi együtthatók. Mivel az összeghez csak azok a tagok járulnak hozzá, amelyeknél az érzékenységi együtthatók nem tûnnek el, a kovariancia nulla, ha a g 1 és a g függvényekben nincs közös változó. Az x 1 és az x becslésekhez tartozó korrelációs együtthatót a (D.1) és (D.6) egyenletekbõl kell meghatározni. D5 A következõ példa bemutatja a két, azonos referenciaetalonnal kalibrált mértéknek tulajdonított érték közötti korrelációt. A mérési feladat A Q s referenciaetalonnal két X 1 és X mérték került összehasonlításra olyan mérõeszközzel, amellyel az etalonok által reprodukált értékek z különbsége u(z) standard bizonytalansággal határozható meg. A referenciaetalon qs értéke u(qs) standard bizonytalansággal ismert. A matematikai modell Az x 1 és x becslések a referencia etalon q s értékétõl és a z 1 és z különbségektõl az x q z 1 s 1 módon függnek. x q z s (D.7) A standard bizonytalanságok és a kovarianciák A z 1, z és q s becslések feltételezhetõen korrelálatlanok, mivel értékeik független mérésekbõl adódtak. A standard bizonytalanságok a (4.4) egyenlet alapján, az x 1 és x becslésekhez tartozó kovariancia pedig a (D.6) egyenlet alapján lettek kiszámítva, és feltételezve, hogy u (z 1 ) = u (z ) = u (z) u u u x u u z 1 q s x u u z 1 q s x, x u 1 q s (D.8) Az eredményekbõl következõ korrelációs együttható 5/85 oldal

26 r u q s x, x 1 EA-4-0 (D.9) u q s u z Ennek értéke az u (q s ) és u (z) standard bizonytalanságok arányától függõen a tartományba esik. D6 D7 A (D.5) egyenletekkel leírt példa olyan eset, amikor a korreláció bevétele a standard bizonytalanság számításába elkerülhetõ lenne a modellfüggvény megfelelõ megválasztásával. A (D.5) transzformációs egyenletnek megfelelõen a modellfüggvénybe az eredeti X 1 és X változók helyére közvetlenül a független Q l változókat helyettesítve az új modellfüggvény már nem tartalmazza a korrelált X 1 és X változókat. Vannak azonban olyan esetek, amikor nem kerülhetõ el a két, X 1 és X bemenõ mennyiség korrelációja, például, ha a két bemenõ becslés, x 1 és x meghatározása ugyanazzal a mérõeszközzel vagy ugyanahhoz a referenciaetalonhoz viszonyítva történt, és nem állnak rendelkezésre független változóra vezetõ transzformációs egyenletek. Ha ezen túlmenõen a korreláció mértéke sem ismert pontosan, akkor célszerû lehet azt a standard mérési bizonytalanságra gyakorolt lehetséges legnagyobb hatásával jellemezni. Ha egyéb korrelációkat nem kell figyelembe venni, akkor ez u y y u y u y u 1 r (D.10) ahol ur (y) az összes többi, korrelálatlannak feltételezett bemenõ mennyiség hozzájárulása a standard bizonytalansághoz. Megjegyzés: A (D.10) egyenlet könnyen általánosítható két vagy több korrelált bemenõ mennyiséget tartalmazó egy vagy több csoport esetére. Ilyenkor a (D.10) egyenletbe az egyes korrelált mennyiségcsoportokból adódó algebrai (legrosszabb eseti) összeget kell behelyettesíteni. 6/85 oldal

27 E függelék Az effektív szabadságfokból meghatározott kiterjesztési tényezõ E1 E Meghatározott megbízhatósági valószínûséghez tartozó k kiterjesztési tényezõ értékének becsléséhez ismerni kell az y kimeneti becslés u(y) standard bizonytalanságának megbízhatóságát. Vagyis figyelembe kell venni, hogy u (y) milyen jól becsüli a mérési eredményekhez tartozó standard bizonytalanságot. Normális eloszlás szórásának becslése esetén a becslés megbízhatóságának jellemzõje a becslés szabadságfoka, ami a szórás alapját képezõ minta nagyságától függ. A kimeneti becsléshez tartozó standard bizonytalanság megbízhatóságának jellemzõje hasonló módon a v eff effektív szabadságfok, amit a különféle u i (y) bizonytalansági járulékok szabadságfokának megfelelõ kombinációjával lehet közelíteni. A központi határeloszlás tétel feltételeinek teljesülése esetén a megfelelõ k kiterjesztési tényezõ három lépésben számítható ki: (a) A 7. fejezetben leírt részletes eljárással meg kell határozni a kimeneti becsléshez tartozó standard bizonytalanságot. (b) A Welch-Statterthwaite képlettel meg kell határozni az u(y) kimeneti becsléshez tartozó v eff effektív szabadságfokot. u 4 ( y) (E.1) eff N u 4 y i ( ) i 1 i ahol az u i (y) ( i = 1,,... N ) tagok az x i bemeneti becslések bizonytalanságaiból származó standard bizonytalansági járulékok a (4.) egyenletnek megfelelõen meghatározott y kimeneti becslésben, feltételezve, hogy az x i becslések statisztikailag kölcsönösen függetlenek, v i pedig az u i (y) bizonytalansági járulék effektív szabadságfoka. A 3. alfejezetben leírt A-típusú értékelés eljárással meghatározott u( q ) standard bizonytalanság szabadságfoka v i = n - 1. Nehézkesebb effektív szabadságfokot tulajdonítani B-típusú meghatározásból következõ u(x i ) standard bizonytalanságnak. Általános gyakorlat azonban az ilyen értékeléseket olyan módon elvégezni, ami biztosítja, hogy ne történhessen alábecslés. Ha például a - és a + alsó és felsõ határokat rögzítik, akkor ezeket úgy kell megadni, hogy az adott mennyiség értéke nagyon kis valószínûséggel essen a határokon kívülre. Feltéve, hogy ezt a gyakorlatot követik, a B-típusú bizonytalanság-becsléssel meghatározott u(x i ) standard bizonytalanság szabadságfoka v i -nek tekinthetõ. (c) Ki kell választani a k kiterjesztési tényezõ értékét a jelen függelék E1 táblázatából. A táblázat a 95.45% valószínûséghez tartozó t-eloszláson alapul. Ha v eff nem egészszám, mint ahogyan az lenni szokott, akkor a megfelelõ v eff érték a törtrészek elhagyásával adódik. 7/85 oldal

28 E.1 Táblázat: Különbözõ v eff effektív szabadságfokokhoz tartozó k kiterjesztési tényezõk v eff k /85 oldal

29 1. KIEGÉSZÍTÉS Példák Tartalom S1 S S3 S4 S5 S6 S7 BEVEZETÉS 10 KG-OS ETALONSÚLY KALIBRÁLÁSA 10 k-os ETALON ELLENÁLLÁS KALIBRÁLÁSA 50 MM NÉVLEGES HOSSZÚSÁGÚ MÉRÕHASÁB KALIBRÁLÁSA N TÍPUSÚ HÕELEM KALIBRÁLÁSA C-N TELJESÍTMÉNY-ÉRZÉKELÕ KALIBRÁLÁSA 18 GHZ FREKVENCIÁN KOAXIÁLIS LÉPCSÕS OSZTÓ KALIBRÁLÁSA 30 DB BEÁLLÍTÁS MELLETT (INKREMENTÁLIS VESZTESÉG) 9/85 oldal

30 S1 BEVEZETÉS S1.1 A következõ példák azt a célt szolgálják, hogy demonstrálják a mérési bizonytalanság kiértékelésének módszerét. Megfelelõ modelleken alapuló tipikusabb és reprezentatívabb példákat a különféle területeken mûködõ szakértõ csoportok dolgozhatnak ki. Az itt közölt példák ettõl függetlenül általános útmutatást adnak a követendõ eljáráshoz. S1. A példák az EAL szakértõ csoportjai által készített tervezeteken alapulnak. Ezeket a tervezeteket egyszerûsítettük és harmonizáltuk annak érdekében, hogy a kalibrálás minden területén alkalmazhatók legyenek. Reméljük, hogy ez a példagyûjtemény hozzájárul a kiértékelési modell kialakítása részleteinek jobb megértéséhez és a bizonytalanság kiszámítási eljárás harmonizálásához, függetlenül attól, hogy melyik kalibrálási területrõl van szó. S1.3 A példákban adott eredmények és értékek nem kapcsolódnak kötelezõen alkalmazandó vagy elõnyben részesített követelményekhez. A laboratóriumnak magának kell meghatároznia a bizonytalanság összetevõket annak a modellfüggvénynek a segítségével, amelyet az általa végzett egyes kalibrálásokhoz alkalmaz, és amelynek alapján az általa kiadott jegyzõkönyvben vagy bizonyítványban megadja a kiszámított mérési bizonytalanságot. Az itt megadott példákban a kiterjesztési tényezõ k = értékére az 5. Fejezetben megadott feltételek érvényesek. S1.4 Az itt következõ példák megadásmódja az EAL-R dokumentumban ajánlott lépésrõllépésre eljárást követi, és a közös felépítése: a cím rövid leírása a mérési eljárás általános leírása az értékelési modell az alkalmazott jelölések jegyzékével a bemenõ adatok kibõvített listája a keletkezésük ill. eredetük rövid leírásával az észlelési eredmények listája és a statisztikai paraméterek értékelése a bizonytalanság-mérleg, táblázatos formában a kiterjesztett mérési bizonytalanság a mérés közölt teljes eredménye. S1.5 Az EAL-R-nek ezt az elsõ kiegészítését szándékaink szerint további kiegészítések fogják követni, amelyek a mérõeszközök kalibrálása mérési bizonytalanság számításának újabb példáival szolgálnak. Példák találhatók az EAL-nek a mérõeszközök különféle típusainak kalibrálására kidolgozott Útmutatóiban is. 30/85 oldal

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési hibák súlya és szerepe a mérési eredményben A mérési hibák csoportosítása A hiba rendűsége Mérési bizonytalanság Standard és kiterjesztett

Részletesebben

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói mérés Műveletek összessége, amelyek célja egy mennyiség értékének meghatározása. mérési

Részletesebben

Kalibrálás és mérési bizonytalanság. Drégelyi-Kiss Ágota I

Kalibrálás és mérési bizonytalanság. Drégelyi-Kiss Ágota I Kalibrálás és mérési bizonytalanság Drégelyi-Kiss Ágota I. 120. dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu Kalibrálás Azoknak a mőveleteknek az összessége, amelyekkel meghatározott feltételek mellett megállapítható

Részletesebben

Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész. Előadások (2.) 2011.

Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész. Előadások (2.) 2011. Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész Előadások (2.) 2011. 1 Méréstechnika előadás 2. 1. Mérési hibák 2. A hiba rendszáma 3. A mérési bizonytalanság 2 Mérési folyamat A mérési folyamat négy fő

Részletesebben

Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész 2011.

Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész 2011. Gyártástechnológia alapjai Méréstechnika rész 2011. 1 Kalibrálás 2 Kalibrálás A visszavezethetőség alapvető eszköze. Azoknak a műveleteknek az összessége, amelyekkel meghatározott feltételek mellett megállapítható

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Mérési bizonytalanság becslése (vizsgálólaboratóriumok munkája során)

Mérési bizonytalanság becslése (vizsgálólaboratóriumok munkája során) III. Roncsolásmentes Anyagvizsgáló Konferencia és Kiállítás Eger, 2003. április 7-11. Szóbeli előadás kézirat Előadó: Pintér László tudományos osztályvezető, Építésügyi Minőségellenőrző Innovációs Kht.

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

A leíró statisztikák

A leíró statisztikák A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az

Részletesebben

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési adatok feldolgozása A mérési eredmény megadása A mérés dokumentálása A vállalati mérőeszközök nyilvántartása 2 A mérés célja: egy

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

NEMZETI TESTÜLET. Nemzeti Akkreditálási Rendszer. Útmutató nem szabványos NAR-18-VIII. 2. kiadás. 2002. január

NEMZETI TESTÜLET. Nemzeti Akkreditálási Rendszer. Útmutató nem szabványos NAR-18-VIII. 2. kiadás. 2002. január NEMZETI AKKREDITÁLÓ TESTÜLET Nemzeti Akkreditálási Rendszer Útmutató nem szabványos kalibrálási eljárások tartalmára és felépítésére NAR-18-VIII 2. kiadás 2002. január 2 / 8 1. Bevezetés A NAT Metrológiai

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

A mérés. A mérés célja a mérendő mennyiség valódi értékének meghatározása. Ez a valóságban azt jelenti, hogy erre kell

A mérés. A mérés célja a mérendő mennyiség valódi értékének meghatározása. Ez a valóságban azt jelenti, hogy erre kell A mérés A mérés célja a mérendő mennyiség valódi értékének meghatározása. Ez a valóságban azt jelenti, hogy erre kell törekedni, minél közelebb kerülni a mérés során a valós mennyiség megismeréséhez. Mérési

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

etalon etalon (folytatás) Az etalonok és a kalibrálás általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói

etalon etalon (folytatás) Az etalonok és a kalibrálás általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói Etalonok, kalibrálás, rekalibrálás, visszavezethetőség, referencia eljárások Az etalonok és a kalibrálás általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói etalon Mérték, mérőeszköz, anyagminta vagy

Részletesebben

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis 1. feladat Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve 2. feladat Az iskola egy évfolyamába tartozó diákok átlagéletkora 15,8 év, standard deviációja 0,6 év. A 625 fős évfolyamból hány diák fiatalabb

Részletesebben

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András A kockázat fogalma A kockázat (def:) annak kifejezése, hogy valami nem kívánt hatással lesz a valaki/k értékeire, célkitűzésekre. A kockázat

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

4. A mérések pontosságának megítélése

4. A mérések pontosságának megítélése 4 A mérések pontosságának megítélése 41 A hibaterjedési törvény Ha egy F változót az x 1,x,x 3,,x r közvetlenül mért adatokból számítunk ki ( ) F = F x1, x, x3,, x r (41) bizonytalanságát a hibaterjedési

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

Regressziós vizsgálatok

Regressziós vizsgálatok Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban

Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Kontrol kártyák használata a laboratóriumi gyakorlatban Rikker Tamás tudományos igazgató WESSLING Közhasznú Nonprofit Kft. 2013. január 17. Kis történelem 1920-as években, a Bell Laboratórium telefonjainak

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5 MGS5 modul Hibaterjedési feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

2011. ÓE BGK Galla Jánosné,

2011. ÓE BGK Galla Jánosné, 2011. 1 A mérési folyamatok irányítása Mérésirányítási rendszer (a mérés szabályozási rendszere) A mérési folyamat megvalósítása, metrológiai megerősítés (konfirmálás) Igazolás (verifikálás) 2 A mérési

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

TESTLab KALIBRÁLÓ ÉS VIZSGÁLÓ LABORATÓRIUM AKKREDITÁLÁS

TESTLab KALIBRÁLÓ ÉS VIZSGÁLÓ LABORATÓRIUM AKKREDITÁLÁS TESTLab KALIBRÁLÓ ÉS VIZSGÁLÓ LABORATÓRIUM AKKREDITÁLÁS ACCREDITATION OF TESTLab CALIBRATION AND EXAMINATION LABORATORY XXXVIII. Sugárvédelmi Továbbképző Tanfolyam - 2013 - Hajdúszoboszló Eredet Laboratóriumi

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

Útmutató nem szabványos kalibrálási eljárások tartalmára és felépítésére

Útmutató nem szabványos kalibrálási eljárások tartalmára és felépítésére Nemzeti Akkreditálási Rendszer Útmutató nem szabványos kalibrálási eljárások NAR-18-VIII 1. kiadás 2016. április 2/9 1. Bevezetés A Nemzeti Akkreditáló Hatóság a laboratóriumok, a tanúsító és az ellenőrző

Részletesebben

NEMZETI TESTÜLET. Nemzeti Akkreditálási Rendszer. EA Útmutató mennyiségi vizsgálatok bizonytalanságának kifejezéséhez NAR-EA-4/16. 1.

NEMZETI TESTÜLET. Nemzeti Akkreditálási Rendszer. EA Útmutató mennyiségi vizsgálatok bizonytalanságának kifejezéséhez NAR-EA-4/16. 1. NEMZETI AKKREDITÁLÓ TESTÜLET Nemzeti Akkreditálási Rendszer EA Útmutató mennyiségi vizsgálatok bizonytalanságának kifejezéséhez NAR-EA-4/16 1. kiadás 2004. szeptember EA-4/16 EA útmutató a mennyiségi vizsgálatok

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

(Independence, dependence, random variables)

(Independence, dependence, random variables) Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,

Részletesebben

Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ)

Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ) Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ) KÉSZÍTETTE: DR. FÜVESI VIKTOR 2016. 10. Mai témáink o A hiba fogalma o Méréshatár és mérési tartomány M é r é s i h i b a o A hiba megadása o A hiba

Részletesebben

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x

Részletesebben

Előadások (1.) ÓE BGK Galla Jánosné, 2011.

Előadások (1.) ÓE BGK Galla Jánosné, 2011. Előadások (1.) 2011. 1 Metrológiai alapfogalmak Mérési módszerek Mérési folyamat Mértékegységek Etalonok 2 Metrológiai alapfogalmak 3 A mérendő (mérhető) mennyiség előírt hibahatárokon belüli meghatározása

Részletesebben

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE Tartalomjegyzék 5 Tartalomjegyzék Előszó I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE 1. fejezet: Kontrollált kísérletek 21 1. A Salk-oltás kipróbálása 21 2. A porta-cava sönt 25 3. Történeti kontrollok 27 4. Összefoglalás

Részletesebben

Vizsgálati jegyzőkönyvek általános felépítése

Vizsgálati jegyzőkönyvek általános felépítése Vizsgálati jegyzőkönyvek általános felépítése 1. Intézményi és személyi adatok 1. Megbízó intézmény neve és címe 2. Megbízó képviselőjének neve és beosztása 3. A vizsgáló intézmény illetve laboratórium

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.05. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

Minden mérésre vonatkozó minimumkérdések

Minden mérésre vonatkozó minimumkérdések Minden mérésre vonatkozó minimumkérdések 1) Definiálja a rendszeres hibát 2) Definiálja a véletlen hibát 3) Definiálja az abszolút hibát 4) Definiálja a relatív hibát 5) Hogyan lehet az abszolút-, és a

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij

y ij = µ + α i + e ij Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Milyen elvi mérési és számítási módszerrel lehet a Thevenin helyettesítő kép elemeit meghatározni?

Milyen elvi mérési és számítási módszerrel lehet a Thevenin helyettesítő kép elemeit meghatározni? 1. mérés Definiálja a korrekciót! Definiálja a mérés eredményét metrológiailag helyes formában! Definiálja a relatív formában megadott mérési hibát! Definiálja a rendszeres hibát! Definiálja a véletlen

Részletesebben

Peltier-elemek vizsgálata

Peltier-elemek vizsgálata Peltier-elemek vizsgálata Mérés helyszíne: Vegyész labor Mérés időpontja: 2012.02.20. 17:00-20:00 Mérés végrehatói: Budai Csaba Sánta Botond I. Seebeck együttható közvetlen kimérése Az adott P-N átmenetre

Részletesebben

Least Squares becslés

Least Squares becslés Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás

Részletesebben

Korrelációs kapcsolatok elemzése

Korrelációs kapcsolatok elemzése Korrelációs kapcsolatok elemzése 1. előadás Kvantitatív statisztikai módszerek Két változó közötti kapcsolat Független: Az X ismérv szerinti hovatartozás ismerete nem ad semmilyen többletinformációt az

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

Méréselmélet és mérőrendszerek

Méréselmélet és mérőrendszerek Méréselmélet és mérőrendszerek 6. ELŐADÁS KÉSZÍTETTE: DR. FÜVESI VIKTOR 2016. 10. Mai témáink o A hiba fogalma o Méréshatár és mérési tartomány M é r é s i h i b a o A hiba megadása o A hiba eredete o

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió)

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) Tartalom Változók kapcsolata Kétdimenziós minta (pontdiagram) Regressziós előrejelzés (predikció) Korreláció Tanuló Kétdimenziós minta Tanulással

Részletesebben

Mérési struktúrák

Mérési struktúrák Mérési struktúrák 2007.02.19. 1 Mérési struktúrák A mérés művelete: a mérendő jellemző és a szimbólum halmaz közötti leképezés megvalósítása jel- és rendszerelméleti aspektus mérési folyamat: a leképezést

Részletesebben

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 10. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Varianciaanalízis A különböző tényezők okozta szórás illetőleg szórásnégyzet összetevőire bontásán alapszik Segítségével egyszerre több mintát hasonlíthatunk

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

A 305/2011/EU Rendelet V. és III. mellékletében bekövetkezett változások. 2014. június 16-ig hatályos változat 2014. június 16-tól hatályos változat

A 305/2011/EU Rendelet V. és III. mellékletében bekövetkezett változások. 2014. június 16-ig hatályos változat 2014. június 16-tól hatályos változat A 305/2011/EU Rendelet V. és III. mellékletében bekövetkezett változások. 2014. június 16-ig hatályos változat 2014. június 16-tól hatályos változat V. melléklet A TELJESÍTMÉNY ÁLLANDÓSÁGÁNAK ÉRTÉKELÉSE

Részletesebben

ILAC POLITIKA A MÉRÉSI EREDMÉNYEK VISSZAVEZETHETŐSÉGÉRŐL ILAC-P10:01/2013 ILAC-P10:01/2013 ILAC POLITIKA A MÉRÉSI EREDMÉNYEK VISSZAVEZETHETŐSÉGÉRŐL

ILAC POLITIKA A MÉRÉSI EREDMÉNYEK VISSZAVEZETHETŐSÉGÉRŐL ILAC-P10:01/2013 ILAC-P10:01/2013 ILAC POLITIKA A MÉRÉSI EREDMÉNYEK VISSZAVEZETHETŐSÉGÉRŐL ILAC-P10:01/2013 1 ILAC Nemzetközi Laboratóriumakkreditálási Együttműködés Az ILAC a laboratóriumok és az ellenőrző szervek nemzetközi hatósága, melynek tagjai akkreditációs szervek és szervezetek a világ

Részletesebben

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Modern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása

Modern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.09.27. A mérés száma és címe: 2. Elemi töltés meghatározása Értékelés: A beadás dátuma: 2011.10.11. A mérést végezte: Kalas György Benjámin Németh Gergely

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor Három gyógytápszer elemzéséből az alábbi energia tartalom adatok származtak (kilokalória/adag egységben) Három gyógytápszer elemzésébô A B C 30 5 00 10

Részletesebben

KÖZLEKEDÉSÜZEMI ÉS KÖZLEKEDÉSGAZDASÁGI TANSZÉK. Prof. Dr. Tánczos Lászlóné 2015

KÖZLEKEDÉSÜZEMI ÉS KÖZLEKEDÉSGAZDASÁGI TANSZÉK. Prof. Dr. Tánczos Lászlóné 2015 KÖZLEKEDÉSÜZEMI ÉS KÖZLEKEDÉSGAZDASÁGI TANSZÉK Prof. Dr. Tánczos Lászlóné 2015 KÖZLEKEDÉSGAZDASÁGTAN BSc. I. KAMATOS KAMATSZÁMÍTÁS (jövőbeni érték számítása) C t = C 0 * (1 + i) t ahol C t a 0. évben ismert

Részletesebben

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1 Mérés és modellezés 2008.02.04. 1 Mérés és modellezés A mérnöki tevékenység alapeleme a mérés. A mérés célja valamely jelenség megismerése, vizsgálata. A mérés tervszerűen végzett tevékenység: azaz rögzíteni

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Mérés és modellezés 1

Mérés és modellezés 1 Mérés és modellezés 1 Mérés és modellezés A mérnöki tevékenység alapeleme a mérés. A mérés célja valamely jelenség megismerése, vizsgálata. A mérés tervszerűen végzett tevékenység: azaz rögzíteni kell

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben