Mechanikai rezgések, rezonancia

Átírás

1 Mechanikai rezgések, rezonancia előadás I. éves orvostanhallgatóknak Maróti Péter 0. szept. 4.

2 Felkészülés Előadás anyaga (lásd az intézet honlapjára felkerülő segédanyagokat) Minden tudás annyit ér, amennyit belőle alkalmazni tud. probléma- ill. feladatmegoldás fontos: kérem, hogy aktivizálja magát a szemináriumi foglalkozásokon. jánlott olvasnivalók Budó Á.: Kísérleti Fizika, Tankönyvkiadó, Budapest 965. Holics L.: Fizika,. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 986. Damjanovich S, Fidy J, és Szöllősi J.: Orvosi biofizika, Medicina, Budapest, 005. Fercher.F.: Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 999. Maróti P. Biomechanika, Doktori (PhD)-kurzusok fizikából (szerk.: Hevesi I.), 99-37, Szegedi Egyetemi Kiadó, Szeged, 0. Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JTEPress Szeged (több kiadás). Maróti P. és Tandori J.: Biofizikai feladatok, JTEPress, Szeged 996. Maróti P., Berkes I. és Tölgyesi F.: Biophysics Problems. tetbook with answers, kadémiai Kiadó, Budapest 998.

3 kárhol meglököm, az egész test (mint a miskolci kocsonya) rezegni kezd. z emberi test mechanikai rezgései, sajátfrekvenciái és helyettesítő mechanikai modelljei, (Voigttestek), amelyek hálózatot képeznek. Voigt-test: párhuzamosan kötött rugó és csillapítás.

4 z emberi testben felléphetnek - saját (rezonancia) rezgések, amelyek az alacsony frekvenciák tartományába esnek és - kényszerrezgések, amelyeket külső (periodikus) kényszer vált ki, és rezonanciába (együttrezgésbe) kerülhetnek a sajátrezgésekkel. rezgő testrészek mechanikai csatolásban állnak egymással. Rugalmas (elasztikus) és csillapító (viszkoelasztikus) elemek kapcsolódnak bonyolult hálózattá. Ezeknek fontos orvosi, egészségügyi következményei vannak. lapvető fontosságú a fizikai alapok (definíciók, törvények, összefüggések) megértése, hogy ezekre támaszkodva tudjon az orvos - diagnosztizálni, - hatékony terápiát alkalmazni és - mérnökökkel (legalább) szót érteni.

5 mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a szív ritmikus mozgása

6 Mechanikai rezgések okozta panaszok fejfájás beszédbeli nehézségek állkapocs-fájdalmak mellkasi fájdalmak légzési nehézségek hasi fájdalmak derékfájás székelési inger vizelési inger J.R. Cameron és J.G. Skofronick, 978

7 mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, kopogtatás (percussio) és hallgatózás (auscultatio) L. uenbrugger már 76-ben bevezette az orvosi vizsgálatokba a beteg kopogtatásának (perkusszió) módszerét, amelynek során a rezgésbe hozott szövetrészek sajátrezgéseiből (intenzitás és hangmagasság) lehet kóros elváltozásokra következtetnie a gyakorlott és érzékenyített hallású orvosnak. z ő nevéhez kötődik a kopogtatás (percussio) és a hallgatózás (auscultatio) eljárásainak meghonosítása, mely a belgyógyászat mai napig használt diagnosztikai módszere.

8 mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a tremor tremor valamely testrész, leggyakrabban a felső végtag akarattól független, ritmikus, oszcilláló mozgása. Klinikai megjelenése alapján több mint tízféle tremor különíthető el, a leggyakoribb a fiziológiás, a fokozott fiziológiás, az essentiális (ET), és a Parkinson-betegségben (PT) megjelenő tremor. z egyes tremorok frekvenciatartománya karakterisztikus, de egymást átfedhetik: < 4 Hz a cerebellaris és Holmes-tremor, 4 6 Hz közé esik a PT 80%-a, az ET-ok 50%-a, 6 - Hz physiológiás tremor, az essentialis tremorok 50%-a, a Parkinson-kórban megjelenő tremor 0%-a és > Hz az orthostaticus tremor.

9 mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, intervenciós radiológia, lithotripsia Endoszkópos retrográd kolangiopankreatográfia. Nagyméretű kő a ductus choledochusban. ductus choledochus kő az intraendoszkópos mechanikus litotriptor kosarában. Kőzúzás intraendoszkópos mechanikus litotriptorral. kosár megkisebbedett.

10 z összezúzandó kő a fókuszban Piezoelektromos lithotriptor Lökéshullámok Piezoelektromos elemek (kristályok) gömbfelület mentén elrendezve lökéshullámok időbeli lefutása a lithotriptorban. nyomás nagyon rövid (kb. 30 ns) idő alatt hatalmas értékre (kb. 40 MPa) emelkedik, amelynek a kő nem tud ellenállni, és elporlad.

11 mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, lézeres szemműtétek, KO Ha lézerrel szaruhártya-szobrászatot (ablációt) végeznek el, elkerülhetetlenül nagy intenzitású mechanikai lökések (hullámok) keletkeznek, és verődnek vissza a szem belsejének zárt üregében, amelyek az egészségre károsak lehetnek (erről szívesen elfeledkeznek a dobja el a szemüvegét program munkatársai). Hasonló rezgéssel, ill. az ezzel együttjáró lökéshullám hatásaival kell számolni a koponyába zárt, alapvetően folyékony halmazállapotú agyban, amikor kivülről mechanikai behatás (tartós rázkódás (pl. munkagépen), vagy hirtelen ütés (baleset, ökölvívásban KO)) éri.

12 mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, csont-, porc-, ízületi sérülések felugró, majd a talajra visszaérkező sportoló (pl. kosár- és kézilabdázó) testében (csillapodó) rezgések ébrednek, amelyek igénybe veszik az emberi test tartó- és mozgatószerkezeteit. z chilles-ín krónikus túlterhelése szalag-sérülések a térdízület megcsavarodásával és oldalra billenésével, esetleg ugrásból nyújtott térddel való érkezéskor, túlfeszüléssel következik be leggyakrabban. Fáradásos törés következik be, ha lábszárcsontokra ható erők meghaladják a csontok teherbírását, így állományukban repedés keletkezik.

13 mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, munkaegészségügy 0-8 khz frekvenciájú mechanikai rezgések a test szöveteit, alacsonyabb frekvenciák esetén pedig az egész testet rezgési állapotba kényszerítik (pl. pneumatikus munkagépek, járművek rezgései, amelyeket a padlózat is közvetít). Ezek hatásai: látási zavarok, szövetelváltozások, ideg- és érzészavarok, csont- és ízületi károsodások. mechanikai rezgések között különösen rombolóak és súlyos károsodáshoz vezetnek az infrarezgések (0-6 Hz). Külső mechanikai rezgéseknek (légkalapácsnak) kitett kőtörők első szisztematikus orvosi vizsgálatait. Hamilton végezte 98-ban. rezgéseknek kitett munkavállalóknál egészségi és biztonsági kockázatokat jelent a a) kéz/kar rezgése: különösen érrendszeri, csont-, izom-, ízületi, illetve idegrendszeri elváltozásokat okozhat (a napi megengedett epozíciós határérték napi 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva, négyzetes középértékben (rms-ben) mérve 5 m/s (/005. (VI. 4.) EüM rendelet), b) az egész testre ható rezgés: gerincelváltozások léphetnek fel (a napi megengedett epozíciós határérték 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva,5 m/s ).

14 mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, természetgyógyászat, ezotéria biorezonancia, lökéshullám terápia, stb. Nem kell szükségszerűen azt a látszatot kelteni, hogy értjük mi van a megfigyelések hátterében. Őszintébb azt mondani, hogy - nem ismerjük a hatásmechanizmusokat, de - kizárhatunk bizonyos fizikai elveken alapuló értelmezéseket.

15 Definíciók. Szigorú (matematikai) értelemben rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai jelenséget, amely az idővel szakaszosan (periodikusan) ismétlődik. g( t) g( t T) Itt g(t) a fizikai mennyiségnek a t-edik időpontban felvett értékét jelenti. periódusidő (rezgésidő, T) az a legkisebb időtartam, amelynek elmúltával a fizikai mennyiség ismét ugyanezt az értéket veszi fel. reciprokát frekvenciának hívjuk: f = /T, dimenziója /idő, mértékegysége /s = Hz. Tágabb értelemben rezgésről beszélünk akkor is, ha a fizikai mennyiségnek időbeli ismétléses jellege felismerhető. Pl. a csillapított rezgés szigorúan nem periodikus, mégis a rezgések közé soroljuk (ha a csillapítás az aperiodikus határeset alatti). Felosztások. g(t) függvény konkrét matematikai alakja szerint sokféle rezgés lehet. Harmonikus rezgés (szinuszrezgés): g( t) sin( t ) nharmonikus rezgések: a fizikai mennyiség egyidejűleg véges (lásd pl. Lissajous-görbéket) vagy végtelen sok (lásd a Fourier-tételt) harmonikus rezgést végez. Típikus példák a relaációs (fűrészfog) rezgések. Szabad és kényszerített rezgések

16 Harmonikus rezgő mozgás Kinematikai leírás. hely-idő összefüggésből indulunk ki, és ebből leszármaztathatók más mennyiségek is. kitérés (helykoordináta): sin( t ) sebesség: v d dt cos( t ) legnagyobb a kezdőponton való áthaladás pillanataiban (t = 0, T/, T,...) és zérus a fordulópontokban (t = T/4, 3T/4,...). gyorsulás: a dv dt sin( t ) a kitéréssel arányos, és ezzel ellentétes irányú, vagyis mindig a kezdőpont felé mutat.

17 Harmonikus rezgő mozgás Dinamikai leírás. mozgás gyorsulás-idő függvényét behelyettesítjük a dinamika alapegyenletébe (Newton II. törvényébe): F m a m k direkciós (irányító) erő: k m m T harmonikus rezgő mozgás rezgésideje: T m k

18 harmonikus rezgő mozgást végző test energiája z erőtér konzervatív, a teljes mechanikai energia megmarad: E összes mv k m állandó

19 Feladatok harmonikus rezgőmozgásra. Egy vízen úszó fahasábot egy kissé lenyomjuk, majd magára hagyjuk. Határozzuk meg a fel-le mozgó fadarab rezgésidejét!. négykerekű vasúti kocsik rugói a síncsatlakozásoknál kapott lökések következtében rezgésbe jönnek. rugók N erő hatására,6 μm-t nyomódnak össze, a kocsi tömege tonna, a síndarabok hossza 8 m. Milyen menetsebesség esetén legnagyobb a rugók kirezgése (a kocsi zötykölődése )? kg tömegű bedobó kosárlabdázó felugrásnál a tömegközéppontját m magasra emeli, a talajra való visszaérkezésekor a sebességét 0 cm (rugalmas landolás) ill. cm (tehetetlen, krumplis-zsák -szerű esés) hosszú úton fékezi le. Mekkora átlagos erő ébred testének tartószerkezetében? 4. középfül csontjainak (kalapács-üllő-kengyel) szerepét egy olyan modell-lel közelítjük, amelyben az m = mg tömegű csontocskákat egy k = 7 N/m és egy k = 7, N/m direkciós erejű rugóval a dobhártyához ill. az ovális ablakhoz erősítjük. Mekkora lesz a frekvenciája ennek a rendszernek?

20 Harmonikus rezgések összetevése lapelv: a rezgések egymástól FÜGGETLENÜL fejtik ki hatásukat, azaz, mintha a másik ott sem lenne.. Egy egyenesbe eső (egy irányú) rezgések összetevése. a) frekvenciák megegyeznek sin t sin( t ) z eredő rezgés az egyes rezgések algebrai összege: cos sin( t ) 0 0 tg sin0 cos Speciális esetek: - azonos fázisú rezgéseknél (együttrezgésnél, α 0 = 0) az amplitúdók összegződnek: = +, és az eredő fázis az összetevő rezgések fázisával egyezik meg α = 0. rezgések (ill. később látjuk, a hullámok interferencia révén) erősítik egymást. - ellentett fázisú rezgéseknél (α 0 = π) az amplitúdók kivonódnak: = és az eredő fázisa a nagyobb amplitúdójú rezgés fázisával egyezik meg. Ha =, akkor = 0, vagyis a rezgések kioltják egymást (hasonlóan, mint ahogy az ilyen hullámok teszik, lásd később a (fény)hullámok interferencia-jelenségeit). 0

21 Harmonikus rezgések összetevése b) frekvenciák különböznek: sin t sin( t ) z eredő rezgés most nem hozható sin( t ) 0 alakra, és ezért nem harmonikus rezgés, sőt általában nem is periodikus folyamat, csak akkor, ha a frekvenciák aránya (ω /ω ) racionális szám. Ekkor ω = n ω és ω = n ω (n és n relatív prím egész számok), és az sin( nt ) sin( nt 0) függvény értéke T = π/ω időközönként ismétlődik.

22 Harmonikus rezgések összetevése, a lebegés Legyenek megegyezőek az amplitúdók, közel megegyezőek a frekvenciák és nulla a fáziskülönbség! t t sin sin z eredő rezgés t t sin cos leb f f T lebegési idő leb f f f

23 Lebegés z eredő rezgés amplitúdója periodikusan, a lebegési frekvenciával (a két közel egyenlő frekvencia különbségével) változik, LÜKTET. lkalmazás: hangtan (pl. hangszerek hangolása, mert kis elhangolódás is észrevehető a lebegés jelensége miatt).

24 Egymásra merőleges rezgések összetevése, Lissajous-görbék frekvenciák megegyeznek. rezgés eredője általában elliptikus rezgés (ellipszisben poláros rezgés) frekvenciák különböznek. sint sin t a y Bsin( t ) y Bsin( t ) b

25 Példa: ellipszisben poláros rezgés ) sin( sin t B y t Kezdőfázis α y Görbe egyenlete Ábrázolás 0 o sin(ωt) B sin(ωt) 90 o sin(ωt) B cos(ωt) 80 o sin(ωt) -B sin(ωt) 70 o sin(ωt) -B cos(ωt) B y sin cos cos sin ) sin( t t t B y B y B y y y y y

26 Példa: ellipszisben poláros rezgés, bármely fázisszögre sint y Bsin( t ) Bsin t cos Bcos t sin z időt elimináljuk (sin ωt és cos ωt helyére kifejezéseit írjuk): y B cos sin y B y cos sin B y B cos y sin Ez egy másodrendű görbének, egy ellipszisnek az egyenlete. z,y koordináták csak véges, legfeljebb, ill. B értékeket vesznek fel. Két, egymásra merőleges, egyenlő frekvenciájú harmonikus rezgés eredője elliptikus rezgés. B z ellipszis és B oldalhosszúságú téglalapban fekszik, centruma a két rezgés kezdőpontjában van.

27 Rezgések felbontása harmonikus rezgésekre, Fourier tétele Fourier-féle tétel: ha g(t) az idő periodikus függvénye, azaz g( t) g( t T) akkor egy és csakis egyféleképp szinusz- és koszinusz-függvények összegére bontható, amelyben az összetevők (felharmonikusok) amplitúdói ( i és B i, i = 0,,,...) különbözőek és a frekvenciái egy alapfrekvencia (ω) egész számú sokszorosai: ω i = i ω (i =,,...): g(t) = 0 / + cosωt + cosωt B sinωt + B sinωt +... ahol az i és B i együtthatókat a következő integrálok határozzák meg: i T T 0 g( t)cos( it) dt B i T T 0 g( t)sin( it) dt ( i 0,,,3,...)

28 Példa Fourier-analízisre: négyszögrezgés ( t) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t...) 3 5 7

29 Csillapított rezgő mozgás Rugóerő: F = -k Súrlódási (fékező) erő: F = -η v

30 Voigt-test periodikus mozgása m 0 k m súrlódás kicsiny m d dt k d dt frekvenciát a csillapítás eltolja (a súrlódás csökkenti a frekvenciát): 0 mozgás csillapodó amplitúdójú rezgés: e t sin( t )

31 Voigt-test aperiodikus mozgása, κ > ω 0 súrlódás nagy z (t = 0) = 0 és v(t = 0)= v 0 kezdőfeltételekhez tartozó analitikai megoldás v 0 0 e sh t t 0 ahol sh () az ú.n. szinuszhiperbolikusz függvény: sh ep( ) ep( ) mozgás aperiodikus, mert a csillapítás (súrlódás) olyan nagy, hogy a rendszer csak az egyik irányban tér ki, és csak (elvileg) végtelen hosszú idő elteltével fogja az egyensúlyi helyzetét újra felvenni. Példa: nagy viszkozitású folyadékban (pl. mézben) kitérített inga mozgása.

32 Kényszerrezgések Ha a rendszerre tartósan egy külső, periodikusan változó ( gerjesztő ) erő is hat, akkor az kényszerrezgést fog végezni. hozzá tartozó mozgásegyenlet a csillapított rezgésnél megismert egyenletben kiegészül a periodikus gerjesztést kifejező erővel: m d dt k d dt F 0 sin t amelynek általános megoldása κ < ω 0 (kis csillapítás) esetében ( t) cos( t ) ae 0 / sin t 0 tg t ahol Periódikus tag (rezgés) Átmeneti, csillapodó tag, (elég hosszú) idővel eltűnik. F m

33 m csillapítás 0 k m Rezonancia mplitúdó Fázis Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb (nagyobb amplitúdójú) a rezonancia. Határesetben ez ú.n. rezonanciakatasztrófához vezethet. Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb a fázisváltás a rezonancia-frekvenciánál. Rezonanciánál π/ a fáziskülönbség a gerjesztés és a kényszermozgás között, azaz egyirányba esnek.

34 Feladatok csillapított rezgésre és rezonanciára. Írja fel a sorosan kapcsolt rugóra és csillapítóra erősített test mozgásegyenletét (Mawell-modell)!. Mi az oka a Lépést ne tarts! vezényszónak, amikor katonai menetoszlop hídon halad át? 3. belvárosi hídra egy szúnyog száll, és a lábával a rezonanciafrekvencián ütögeti a hidat. tapasztalat szerint a híd nem fog leszakadni, rezonancia-katasztrófa nem következik be. Miért?

35 Egyéb feladatok ) Egy gépkocsi tömege terheletlenül 800 kg. 5 személy (500 kg) beülésével a karosszéria 6 cm-t süllyed. Mennyi az autó rezgésideje üresen és utasokkal megterhelve? ) járást a Weber testvérek (836) a nem terhelt láb fizikai ingaként való viselkedéseként fogták fel, azaz ezen láb izomzatának teljes passzivitását tételezték fel a hátulról előre való lendítés során ( lógó láb koncepciója). Mekkora az s = 0,8 m lépéshossz esetén a járás sebessége, ha az l = m hosszúságú szabad lábat a csípő mint tengely körül mozgó fizikai ingának tekintjük? 3) Demonstráljuk számítógépes grafikai eljárásokkal a rezgések összetevésének fentebb tárgyalt elemi szabályait! Konstruáljunk egyszerűbb Lissajous-görbéket! 4) z egységnyi magasságú háromszög-rezgés Fourier-sora 8 ( t) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t Érzékeltessük ezt számítógépes grafikai eljárással (ami messze nem matematikai erejű bizonyíték, csak vizuális inspekció )....)