Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék
|
|
- Bence Fodor
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Nyolcadik fejezet
2 Tartalom V. esettanulmány 1 V. esettanulmány Csődelőrejelzés 2 Általános gondolatok 3 becslése és jellemzése
3 Csődelőrejelzés Csődmodellezési adatbázis Mérlegadataikkal adott cégek alkotják a mintánkat feladat megmondani, hogy melyik fog valamilyen vizsgált időhorizonton belül csődbe menni A demonstráció kedvéért egyszerűsítünk: a mérlegadat csak két (fiktív) változót jelent: nyereség és adósság Mindkettő kis egész szám, jelzi a megfelelő (nyilván fiktív) jellemzőt Eredményváltozó: csődbe ment-e a cég ténylegesen (ugye a mintában lévő megfigyelési egységekre ismerjük az eredményváltozó tényleges értékét ez itt múltbeli) Súlyozott adatbázis, n = 50 összesen (A gyakorlaton valós mérlegadatokkal fogunk dolgozni, ez most szemléltető)
4 Az adatbázis madártávlatból Csődelőrejelzés
5 Általános gondolatok Az osztályozási feladat Kvalitatív változó eredményváltozó pozíciójában Itt a feladat tehát egy csődbe megy-e vagy sem jellegű változó modellezése Ez bináris változó mint az eddig tárgyalt dummy változók, csak ezúttal eredményváltozóként Jelent ez módosulást? (Hiszen például magyarázó változóként mindegy volt, hogy egy változó bináris, az OLS-t nem zavarta, hogy történetesen csak 0 és 1 értékeket vesz csak fel) Most drasztikusan más a helyzet: Y nem modellezhető OLS-sel
6 OLS és a bináris eredményváltozó Általános gondolatok Az osztályozási feladat Matematikai részletekbe nem megyünk bele Intuitíve: gondoljatok arra, hogy az OLS elvileg bármilyen értéket becsülhet és között egy ilyen hogyan lenne értelmezhető egy csődbe megy-e vagy sem kérdés válaszaként?! De: mégis lineáris struktúrában fogjuk megoldani a problémát... csak trükkösebben alkalmazzuk: bináris Y helyett egy transzformált változóra
7 A mostani feladat általánosabban Általános gondolatok Az osztályozási feladat Tegyük fel, hogy elkészült a bináris Y -ra adott modellünk, és azt előrejelzésre használjuk Vegyük észre, hogy az Y szerinti érték egyfajta csoporttagságot jelent: becsődölő, működő Az előrejelzés ebben a kontextusban lényegében besorolás egy csoportba! Tehát mégegyszer: a megfigyelési egység két csoport valamelyikébe tartozik, mi a csoporttagságával összefüggő adatok alapján tippeljük meg a csoporttagságot Ezt a feladatot általában osztályozásnak (klasszifikáció) nevezik
8 Az osztályozási feladat Általános gondolatok Az osztályozási feladat A klasszifikáció hatalmas gyakorlati jelentőségű feladat: melyik cég megy csődbe (a mérlegadatai alapján), melyik beteg fog meghalni (a laboreredmények alapján), melyik család vállal 2-nél több gyereket (demográfiai adatok alapján), kit vesznek fel adott munkahelyre (egyéni jellemzők alapján) stb. stb. Ennek legelemibb eszközét fogjuk most tárgyalni Ezen kívül könyvtárnyi további módszer van, melyek a gépi tanulás, még általánosabban a mesterséges intelligencia területéhez tartoznak (az adatbányászat is gyakran vizsgál ilyen problémákat)
9 A feladat átalakítása becslése és jellemzése Hogy a kérdést a magyarázó változók lineáris kombinációjával tudjuk kezelni, áttérünk más változóra Az egységes terminológia kedvéért az Y = 1 kimenetetet siker -nek, az Y = 0-t kudarc -nak nevezzük Először is: nem a siker Y tényét, hanem annak P X feltételes valószínűségét fogjuk modellezni Az alsó index értelme: a siker valószínűsége, feltéve, hogy a magyarázó változók X értékűek (Most inkább csak jelölési egyszerűsítésként egy magyarázó változót feltételezünk, többre teljesen hasonlóan minta X vektor lenne) Azaz precízen: P X = P (Y = 1 X) Ezzel a {0, 1} változó helyett egy [0, 1]-on lévőt kell modellezni
10 A feladat további átalakítása becslése és jellemzése Ez persze még mindig kevés, ezért újabb transzformációt alkalmazunk Odds (esélyhányados): a siker valószínűsége a kudarc valószínűségéhez viszonyítva A kudarc feltételes valószínűségét jelöljük Q X = 1 P X -szel Ekkor odds X = P X = P X Q X 1 P X És fordítva (megoldva ezt P X -re): P X = P X 1 = P X (1 P X ) + P X = = P X /Q X 1 + P X /Q X = odds X 1 + odds X P X Q X + P X =
11 És még egy átalakítás becslése és jellemzése Az odds már a [0, ) intervallumon van Majdnem jó, egy utolsó trükk: bevezetjük a logit fogalmát, mint log-odds: logit X = ln odds X És ez már a (, )-n van (és szimmetrikusabbá is tettük a siker és kudarc eloszlását rajta)! Na, ezt fogjuk lineáris struktúrával modellezni! logit X = α + βx A módszer neve: logit regresszió, vagy logisztikus regresszió
12 A logisztikus regresszió visszafejtése becslése és jellemzése Játszuk el mindezt visszafelé, feltéve, hogy α és β már ismert: logit X = α + βx odds X = e α+βx P X = eα+βx 1 + e α+βx... tehát α és β ismeretében egyszerű algebrai műveletekkel kapjuk a siker valószínűségeit És az utolsó lépés: hogy becsüljük α-t és β-t (ill. általában β-kat)? Sajnos az OLS ahogy már mondtuk nem jó, új módszer kell: maximum likelihood (ML) becslés
13 Pár szó általában az ről becslése és jellemzése Legegyszerűbb eset: egyetlen sokasági paraméter becslése mintából (pl. sokasági várhatóérték) Alapötlet: ha tudnánk, hogy mennyi a sokasági paraméter értéke, meg tudnánk mondani minden egyes mintára, hogy mekkora valószínűséggel kapjuk épp azt a mintát véletlen mintavétel eredményeképp Mit jelent az, hogy mekkora valószínűséggel kapjuk a mintát? legegyszerűbb függetlenség feltételezésével: ekkor a konkrét (kezünkben lévő) minta megkapásának valószínűsége az egyes mintaelemek megkapásának valószínűségeinek szorzata Például, ha 3 elemű x mintát veszünk, melyek elemei 0,5, 2, 0,2, akkor P (X = x) = P (X 1 = 0,5) P (X 2 = 2) P (X 3 = 0,2)
14 Pár szó általában az ről becslése és jellemzése Ennyi pontosítás után rendben vagyunk, gondolhatnánk, hiszen ha ismernénk a sokasági paraméter értékét (az egyetlen dolgot, ami ismeretlen volt!), akkor azt valóban meg tudnánk mondani, hogy mekkora valószínűséggel kapunk egy adott elemet De valójában a kérdés így pontatlan: folytonos sokaság esetén minden mintaelem valószínűsége nulla (P (X = x) = 0, pl. P (X 1 = 0,5) = 0 a pdf folytonossági pontjában!) Ötlet: ne is törődjünk ezzel az apró bökkenővel, használjuk akkor is a sűrűségfüggvény helyettesítési értékét a valószínűség gyanánt (intuitív indoklás: a pont, pl. itt a 0,5 kis környezetébe esés valószínűsége arányos ezzel az értékkel) Itt már a valószínűséget idézőjelbe kellett tennünk (a pdf helyettesítési értéke nem valószínűség, pl. simán lehet 1-nél nagyobb is!), ezért inkább új szót használunk rá: likelihood
15 A likelihoodról V. esettanulmány becslése és jellemzése Nézzünk erre egy példát: 3 elemű minta standard normális eloszlásból; mekkora a valószínűsége, hogy a 3 elem 0,5, 2, 0,2? Nulla! (Ugyebár... ) És a likelihoodja? L (x) = f X (0,5) f X (2) f X ( 0,2), ahol X N (0, 1) és ezért f X (x) = φ 0,1 (x), ahol φ a normális eloszlás pdf-e Figyelem, ez a szorzat felírás (általában: L (x) = n i=1 f X (x i )) csak fae esetre működik, nyilván Világos, hogy a 3, 2,8, 3,5 mintának sokkal kisebb a likelihood-ja N (3, 1) sokasági eloszlást feltételezve (tehát ha f X (x) = φ 3,1 (x)) akkor persze épp fordítva
16 Az V. esettanulmány becslése és jellemzése És most fordítsuk meg a logikát: csak a mintát ismerjük, de a sokasági paramétert nem Minden sokasági paraméterhez meg tudjuk mondani, hogy fennállása esetén mekkora likelihood-ú, hogy épp azt az adott mintát kapjuk Ha tippelnünk kellene, akkor tippeljük azt, hogy az a sokasági paraméter áll fenn, ami mellett ez a likelihood a maximális! (Totálisan egybevág a józan paraszti ésszel.) Ennyi, ez a maximum likelihood (ML) becslés!
17 LR modell becslése V. esettanulmány becslése és jellemzése Minden α, β-hoz meghatározható a minta (itt: adatbázisunk) likelihood-ja (precízen: adott α, β mellett mekkora likelihood-dal jött volna ki a mintánk) Ezt fogjuk α, β-ban maximalizálni Kérdés: hogyan kapjuk a minta likelihood-ját? Annyira nem nehéz, hiszen egy mintaelemre a kijövetelének valószínűsége P X (ha az eredményváltozója 1), Q X (ha eredményváltozója 0), mely P X és Q X értékek kiszámíthatóak α, β-hoz (már láttuk) Már csak az egész mintára (nem egyes mintaelemekre) kell kiszámítani, itt függetlenség feltételezésével élünk
18 Az egész minta likelihoodja becslése és jellemzése
19 A becslési feladat V. esettanulmány becslése és jellemzése Az egész minta likelihood-ja tehát: L (α, β) = Ezzel a megoldandó feladat: P X,i Q X,i Y i =1 Y i =0 max L (α, β) α,β E helyett a gyakorlatban inkább a vele ekvivalens min 2 ln L (α, β) α,β feladatot oldjuk meg (nem csak numerikus okokból) Ennek megoldása szolgáltatja a LR modell paramétereinek becslését
20 Elemzés V. esettanulmány becslése és jellemzése Értelmezzük az együtthatókat: odds X+1 odds X = eα+β(x+1) e α+βx = eα+βx+β e α+βx = eα+βx e β e α+βx = eβ Ezért az e β -kat is meg szokták adni a programok ( exp. coeff ) Marginális hatás: dp X dx j = βp X Q X
21 Előrejelzés V. esettanulmány becslése és jellemzése Még egy megfontolást kell tenni: csak csődvalószínűséget kaptunk... de az előrejelzésben konkrét kimenet kell! Mikor soroljuk becsődölőbe? Ha ez a valószínűség 0,5-nél nagyobb? 0,1-nél? 0,99-nél...? Jelölje ezt a határt C (cut-off point, cut value): Ŷ = 1 : P X > C Ekkor különböző C-khez különböző konkrét klasszifikációk
22 C hatása a klasszifikációra becslése és jellemzése
23 A klasszifikáció jóságának mérése becslése és jellemzése Legalapvetőbb eszköz a klasszifikációs mátrix: Pred Y 1 0 Obs. Y Főátlóban a helyes osztályozások, ezek aránya a helyes osztályozási ráta (itt = 0,88) Mellékátlóban: első- és másodfajú hibák (specificitás, szenzitivitás) Gondoljuk végig, hogyan változik ezek aránya C növelésére, ill. csökkentésére
24 becslése és jellemzése C megválasztása a klasszifikációs mátrix alapján Ha tudjuk, hogy az egyes hibák milyen költséget jelentenek, akkor analitikusan választhatunk optimális C-t Veszteség-mátrix: ,2-0,2 Ezzel az előző klasszifikációs mátrix költsége: , ( 0,2) = 5,6 Azt a C-t választjuk, aminél ez minimális! (Ez nem becslési feladat)
25 Modelljellemzés pszeudo-r 2 mutatóval becslése és jellemzése Az OLS-nél látott R 2 -hez hasonló elvű ( hol járunk az úton? ) mutató szeretnénk LR-re is Az ESS helyett itt a 2 ln L jellemzi a modellt Mi a tökéletes modell? P X = 1 ha Y = 1 és Q X = 1 ha Y = 0 mennyi ennek a likelihoodja? Épp 1, 2 ln L = 0 Az üres semmilyen magyarázó változót nem tartalmazó modell 2 ln L-je analitikusan meghatározható (analóg a helyzet az OLS-sel) Az alapján a McFadden-féle pszeudo-r 2 : R 2 = ( 2 ln L null) ( 2 ln L targy ) 2 ln L null
26 Modellszelekció V. esettanulmány becslése és jellemzése Nested modellszelekció, H 0 : β q+1 = β q+2 =... = β q+m = 0 Ha nagy mintánk van, akkor rendkívül kényelmesen vizsgálható egy új próbakészítési elvvel, az ún. likelihood-hányados (LR) elven konstruált teszttel: ( 2 ln L ) H0 ( 2 ln L ) H1 χ 2 m Üres modelltől való szignifikáns különbözés tesztelése: függetlenségvizsgálat (szeretjük a H 1 -et) Szaturált modelltől van szignifikáns különbözés tesztelése: illeszkedésvizsgálat (szeretjük a H 0 -t)
Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék
Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Nyolcadik fejezet Tartalom V. esettanulmány 1 V. esettanulmány Csődelőrejelzés 2 Általános gondolatok 3 becslése
Részletesebben6. előadás - Regressziószámítás II.
6. előadás - Regressziószámítás II. 2016. október 10. 6. előadás 1 / 30 Specifikációs hibák A magyarázó- és eredményváltozók kiválasztásának alapja: szakirányú elmélet, mögöttes viselkedés ismerete, múltbeli
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regresszió 3.
Többváltozós lineáris regresszió 3. Orlovits Zsanett 2018. október 10. Alapok Kérdés: hogyan szerepeltethetünk egy minőségi (nominális) tulajdonságot (pl. férfi/nő, egészséges/beteg, szezonális hatások,
RészletesebbenA többváltozós lineáris regresszió III. Főkomponens-analízis
A többváltozós lineáris regresszió III. 6-7. előadás Nominális változók a lineáris modellben 2017. október 10-17. 6-7. előadás A többváltozós lineáris regresszió III., Alapok Többváltozós lineáris regresszió
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenBevezetés az ökonometriába
Bevezetés az ökonometriába Többváltozós regresszió: nemlineáris modellek Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Hetedik előadás, 2010. november 10.
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
RészletesebbenBevezetés az ökonometriába
Bevezetés az ökonometriába Többváltozós lineáris regresszió: modellspecifikáció, interakció Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Ötödik előadás,
RészletesebbenLogisztikus regresszió
Logisztikus regresszió 9. előadás Kvantitatív statisztikai módszerek Dr. Szilágyi Roland Függő változó (y) Nem metrikus Metri kus Gazdaságtudományi Kar Független változó () Nem metrikus Metrikus Kereszttábla
RészletesebbenLogisztikus regresszió október 27.
Logisztikus regresszió 2017. október 27. Néhány példa Mi a valószínűsége egy adott betegségnek a páciens bizonyos megfigyelt jellemzői (pl. nem, életkor, laboreredmények, BMI stb.) alapján? Mely genetikai
RészletesebbenLogisztikus regresszió
Logisztikus regresszió Kvantitatív statisztikai módszerek Dr. Szilágyi Roland Függő változó (y) Nem metrikus Metri kus Gazdaságtudományi Kar Független változó (x) Nem metrikus Metrikus Kereszttábla elemzés
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenLOGIT-REGRESSZIÓ a függő változó: névleges vagy sorrendi skála
LOGIT-REGRESSZIÓ a függő változó: névleges vagy sorrendi skála a független változó: névleges vagy sorrendi vagy folytonos skála BIOMETRIA2_NEMPARAMÉTERES_5 1 Y: visszafizeti-e a hitelt x: fizetés (életkor)
RészletesebbenStatisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
RészletesebbenÖkonometria. Dummy változók használata. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Hetedik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék
Dummy változók használata Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Hetedik fejezet Tartalom IV. esettanulmány 1 IV. esettanulmány Uniós országok munkanélkülisége
RészletesebbenBevezetés az ökonometriába
Bevezetés az ökonometriába Többváltozós lineáris regresszió: mintavételi vonatkozások és modelljellemzés Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Harmadik
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenRegressziós vizsgálatok
Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenLeast Squares becslés
Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás
RészletesebbenHeckman modell. Szelekciós modellek alkalmazásai.
Heckman modell. Szelekciós modellek alkalmazásai. Mikroökonometria, 12. hét Bíró Anikó A tananyag a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítvány támogatásával készült
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
Részletesebbenbiometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
RészletesebbenHipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás
STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H
RészletesebbenSTATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése
4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 6.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések 6. MSTE6 modul Regressziószámítás: kétváltozós lineáris és nemlineáris regresszió, többváltozós
RészletesebbenLineáris regressziós modellek 1
Lineáris regressziós modellek 1 Ispány Márton és Jeszenszky Péter 2016. szeptember 19. 1 Az ábrák C.M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning c. könyvéből származnak. Tartalom Bevezető példák
RészletesebbenLineáris regressziószámítás 1. - kétváltozós eset
Lineáris regressziószámítás 1. - kétváltozós eset Orlovits Zsanett 2019. február 6. Adatbázis - részlet eredmény- és magyarázó jellegű változók Cél: egy eredményváltozó alakulásának jellemzése a magyarázó
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból
RészletesebbenMódszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!
BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenAdatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei
Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió
SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás
Részletesebben1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
RészletesebbenNemlineáris modellek
Ferenci Tamás tamas.ferenci@medstat.hu 2018. február 7. Tartalom 1 2 3 4 A marginális hatás fogalma Marginális hatás: a magyarázó változó kis növelésének hatására mekkora az eredményváltozó egységnyi magyarázóváltozó-növelésre
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenGVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet
GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 6.
Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenLoss Distribution Approach
Modeling operational risk using the Loss Distribution Approach Tartalom»Szabályozói környezet»modellezési struktúra»eseményszám eloszlás»káreloszlás»aggregált veszteségek»további problémák 2 Szabályozói
RészletesebbenMatematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája
Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 6.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
RészletesebbenHipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok
STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris
RészletesebbenA Statisztika alapjai
A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati
Részletesebben6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.
6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás
RészletesebbenBevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus
Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze. Célja: - a sokaságot
RészletesebbenFoglalkoztatási modul
Foglalkoztatási modul Tóth Krisztián Országos Nyugdíjbiztosítási Főigazgatóság A mikroszimulációs nyugdíjmodellek felhasználása Workshop ONYF, 2014. május 27. Bevezetés Miért is fontos ez a modul? Mert
RészletesebbenMesterséges Intelligencia I.
Mesterséges Intelligencia I. 10. elıadás (2008. november 10.) Készítette: Romhányi Anita (ROANAAT.SZE) - 1 - Statisztikai tanulás (Megfigyelések alapján történı bizonytalan következetésnek tekintjük a
RészletesebbenEloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok
Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Regresszió Túlélésanalízis
SZDT-09 p. 1/36 Biometria az orvosi gyakorlatban Regresszió Túlélésanalízis Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Logisztikus regresszió
RészletesebbenBevezetés a hipotézisvizsgálatokba
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -
RészletesebbenGyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz 2. Nemlineáris regresszió
Gyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz 2. Nemlineáris regresszió 1. A fizetés (Y, órabér dollárban) és iskolázottság (X, elvégzett iskolai év) közti kapcsolatot vizsgáljuk az Y t α + β X 2 t +
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
RészletesebbenDiagnosztika és előrejelzés
2018. november 28. A diagnosztika feladata A modelldiagnosztika alapfeladatai: A modellillesztés jóságának vizsgálata (idősoros adatok esetén, a regressziónál már tanultuk), a reziduumok fehérzaj voltának
RészletesebbenSegítség az outputok értelmezéséhez
Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró
RészletesebbenKét diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat
Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi
RészletesebbenA leíró statisztikák
A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az
RészletesebbenBevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,
Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.
RészletesebbenMérési hibák 2006.10.04. 1
Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség
Részletesebben5. előadás - Regressziószámítás
5. előadás - Regressziószámítás 2016. október 3. 5. előadás 1 / 18 Kétváltozós eset A modell: Y i = α + βx i + u i, i = 1,..., T, ahol X i független u i -től minden i esetén, (u i ) pedig i.i.d. sorozat
RészletesebbenBAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.
BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési hibák súlya és szerepe a mérési eredményben A mérési hibák csoportosítása A hiba rendűsége Mérési bizonytalanság Standard és kiterjesztett
Részletesebbenegyetemi jegyzet Meskó Balázs
egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.
RészletesebbenTöbb valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció
Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...
Részletesebben2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!
GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az
Részletesebben1. Ismétlés Utóbbi előadások áttekintése IV. esettanulmány Uniós országok munkanélkülisége... 1
Tartalom Tartalomjegyzék 1. Ismétlés 1 1.1. Utóbbi előadások áttekintése.................................. 1 2. IV. esettanulmány 1 2.1. Uniós országok munkanélkülisége................................
RészletesebbenStatisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb
RészletesebbenOsztályozás, regresszió. Nagyméretű adathalmazok kezelése Tatai Márton
Osztályozás, regresszió Nagyméretű adathalmazok kezelése Tatai Márton Osztályozási algoritmusok Osztályozás Diszkrét értékkészletű, ismeretlen attribútumok értékének meghatározása ismert attribútumok értéke
RészletesebbenStatisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
Részletesebbeny ij = µ + α i + e ij
Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai
RészletesebbenKÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA
ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak
RészletesebbenStatisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat
Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs
RészletesebbenTartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE
Tartalomjegyzék 5 Tartalomjegyzék Előszó I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE 1. fejezet: Kontrollált kísérletek 21 1. A Salk-oltás kipróbálása 21 2. A porta-cava sönt 25 3. Történeti kontrollok 27 4. Összefoglalás
RészletesebbenDiszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok
Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok
RészletesebbenLineáris regresszió vizsgálata resampling eljárással
Lineáris regresszió vizsgálata resampling eljárással Dolgozatomban az European Social Survey (ESS) harmadik hullámának adatait fogom felhasználni, melyben a teljes nemzetközi lekérdezés feldolgozásra került,
Részletesebben11. Matematikai statisztika
11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó
RészletesebbenStatisztikai alapok. Leíró statisztika Lineáris módszerek a statisztikában
Statisztikai alapok Leíró statisztika Lineáris módszerek a statisztikában Tudományosan és statisztikailag tesztelhető állítások? A keserűcsokoládé finomabb, mint a tejcsoki. A patkány a legrondább állat,
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenKutatásmódszertan és prezentációkészítés
Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I
RészletesebbenI. LABOR -Mesterséges neuron
I. LABOR -Mesterséges neuron A GYAKORLAT CÉLJA: A mesterséges neuron struktúrájának az ismertetése, neuronhálókkal kapcsolatos elemek, alapfogalmak bemutatása, aktivációs függvénytípusok szemléltetése,
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenVIZSGADOLGOZAT. I. PÉLDÁK (60 pont)
VIZSGADOLGOZAT (100 pont) A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékűek! I. PÉLDÁK (60 pont) 1. példa (13 pont) Az egyik budapesti könyvtárban az olvasókból vett 400 elemű minta alapján a következőket
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Racionalitás: a hasznosság és a döntés Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade
RészletesebbenSTATISZTIKA. Fogalom. A standard lineáris regressziós modell mátrixalgebrai jelölése. A standard lineáris modell. Eredménytáblázat
Fogalom STATISZTIKA 8 Előadás Többszörös lineáris regresszió Egy jelenség vizsgálata során általában az adott jelenséget több tényező befolyásolja, vagyis többnyire nem elegendő a kétváltozós modell elemzése
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Valószínűségi hálók - következtetés Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade Következtetés
RészletesebbenELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június
GAZDASÁGSTATISZTIKA GAZDASÁGSTATISZTIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenDiverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,
Részletesebben