Módszertani hozzájárulás

Átírás

1 dc_39_ Módszertani hozzájárulás a szegénység többváltozós statisztikai méréséhez MTA Doktori értekezés Hajdu Ottó Budapest, 0.

2 Hajdu Ottó dc_39_ Tartalomjegyzék Bevezetés A szegénység statisztikai mérésének operacionalizálása A kompozit szemléletű egydimenziós szegénységi index A Fuzzy szemléletű, többdimenziós szegénységi index A relatív deprivációs szegénységi index A deprivációs függvény A szegénység depriváció-érzékeny mértéke A reprezentatív szegény jövedelmének meghatározása Relatív depriváció a szegények körében....5 Deprivációs hányad típusú Q mértékek....6 A szegénység deprivációs hányad típusú mértéke A deprivációs hányad transzferérzékenysége Aszimmetria a szegények körében A depriváció-averzió gamma-eloszlású becslése A Lorenz-görbe aszimmetriája Általánosított variancia egyenlőtlenség és szegénység A Theil pszeudo R A Theil kovariancia felbontás Az általánosított Theil variancia A Theil variancia csoportközi felbontása A kiterjesztett Theil mátrix Magyar háztartások példája Theil variancia szegénységi mértékek A relatív deprivációs szegénységi küszöb rétegspecifikus becslése Egzakt logisztikus regresszió a szegénységi prediktorok szelektálásában Az előrejelző modell Hipotézisvizsgálat Egzakt paraméterbecslés Empirikus példák A feltétel nélküli aszimptotikus MLE becslés nem létezik Az egzakt és aszimptotikus p-értékek különbözősége A rétegspecifikus tengelymetszetek kiszűrése Ellentmondó teszt eredmények... 67

3 dc_39_ MTA doktori értekezés 6. A szegénységmérés SEM modelljei A szegénység, depriváció, társadalmi kirekesztés strukturális kapcsolata Strukturális egyenletek path-modellje Identifikálás, paraméterbecslés Illeszkedésvizsgálat, modellszelekció Nemcentralitás-szempontú illeszkedésvizsgálat Heurisztikus goodness-of-fit indexek Egy kiterjesztett modell Konfirmatív SEM alkalmazások A korrelálatlanság hipotézise a faktormodellben A multitrait - multimethod hipotézis tesztelése Heteroszkedaszticitás a SEM mérési modelljében A küszöb alá csúszás kockázatának korrespondencia ábrázolása A korrespondencia-koordináták tulajdonságai Illeszkedésvizsgálat Többszörös korrespondencia analízis (MCA) A szegénység, lecsúszás, stabilitás CA kontrasztja... 3 Összefoglalás Irodalom

4 Hajdu Ottó dc_39_ BEVEZETÉS Történelmi alkalom volt, hogy az 990. évben a Szerző összefoglalást adhatott elsőként - a hazai tudományos módszertani érdeklődés számára a Statisztikai Szemlében (Hajdu: 990) majd a kandidátusi értekezésében (Hajdu: 99) - a nemzetközi szegénységi irodalom addigi statisztikai, módszertani eredményeiről. Jelen értekezés a Szerző ezt követő új eredményeit, a területhez tett hozzájárulásait mutatja be. A disszertáció statisztikai témájú és módszertani érdeklődésű. A cél a szegénység és - hozzá kapcsolódóan - a depriváció és kirekesztés jelenségek társadalmi szintű mérésével kapcsolatos statisztikai módszertani kérdések felvetése, megválaszolása. A szegénység számos vetületben van jelen, ezért az alkalmazott módszertani megközelítés többdimenziós. Bár a kérdések főként a jövedelmi szegénység tekintetében fogalmazódnak meg, de egyéb dimenziókkal való kapcsolatukban pl. a fogyasztás, kiadás, vagyoni helyzet - is tárgyalásra kerülnek. Továbbá, tekintet nélkül a dimenziók számára akár az egydimenziós esetben is a mérés megvalósítása, technikája alapvetően többváltozós jellegű. Megfigyelési egységként az egyén, vagy a háztartás szerepel az éppen tárgyalt módszertani tartalomnak megfelelően. A szegényvolt klasszifikálása alapvetően objektív probléma, de szubjektív kérdéseket is felvet, melyek más társadalmi jelenségek - így a relatív depriváció és a társadalmi kirekesztés mérésének az igényéhez is elvezetnek, ahol a mérést célszerű az Igen/Nem elhatárolás helyett fuzzy jellegű alapokra helyezni. Az értekezés kétféle tartalomban ad eredményeket:. egyfelől új formulákat és elveket dolgoz ki, diszkutálja és javasolja alkalmazásra,. másfelől új statisztikai problémákat vet fel, melyek megoldását többváltozós statisztikai módszerek megfelelő alkalmazására vezeti vissza. A tárgyalt módszertanok összefoglaló bemutatása az értekezés járulékos eredménye. Az értekezés ezért két részre tagolódik. Az alapkutatások a. és 3., az alkalmazások pedig a 4-7. fejezetekben szerepelnek. Az első fejezet tartalmazza azon fogalmak tömör áttekintését, melyek az alapkutatási eredmények érdekében szükségesek. Később, különösen a standard többváltozós statisztikai eljárások kapcsán diszkriminancia analízis, kvantilis és logisztikus regresszió, latens változók, korrespondencia analízis az alapok ismeretét az értekezés feltételezi. 4

5 dc_39_ MTA doktori értekezés Az értekezés az újonnan javasolt mérőszámok viselkedésének a vizsgálatához modell példákat alkalmaz. Ahol az eredmények valósághű nagyságrendje érdekes, ott empirikus számítások szerepelnek. Az egyes fejezetek tartalma rendre a következő.. A szegénységmérés operacionalizálása. Ismerteti azon fogalmakat, formulákat, melyek a mérés módszertanának megértését és továbbvitelét megalapozzák.. A relatív depriváció mérése, és a mérés eredményének beépítése a szegénységi indexbe. Ennek során az értekezés bevezet egy új relatív deprivációs elvet, diszkutálja, majd az új elvnek megfelelő relatív deprivációs mérőszámokat javasol, végül egy olyan új szegénységi index konstrukciót javasol, mely érzékeny a relatív deprivációban történt elmozdulásokra is. A fejezet a relatív deprivációval szembeni averzió mérése során felveti a szegénységi küszöb alatti sokaság aszimmetrikus volta értelmezésének és mérésének szükségét, amit jelen értekezés a gamma eloszlású változó hatványozására és a Lorenz-görbe alakjának a jellemzésére vezet vissza. 3. Az egyenlőtlenség-mérés egy új, általánosított variancia megalapozású módszerének a kidolgozása, definiálása, diszkutálása, majd annak a csoportközi dekompozícióban, végül a szegénység mérésében történő alkalmazása. 4. Kvantilis regresszió alkalmazása a szegénységi küszöb rétegspecifikus becslésében. Ennek során prediktor jellegű rétegképző ismérvek függvényében becsüljük az adott rétegben várható alsó és felső decilis értékét, mint szegénységi, vagy gazdagsági küszöböt. E relatív megközelítésben bármely rendű kvantilis értéke becsülhető. 5. A logisztikus regresszió alkalmazásának kismintás problémái. A szegény vagy nem szegény mivolt Igen/Nem jellegű klasszifikálása problematikus. Valaki kevésbé, más pedig inkább szegény, illetve kevésbé érzi magát szegénynek, más pedig inkább. E fuzzy megközelítés érvényesítését szolgálja a logisztikus regresszió módszere. 6. A SEM (Structural Equation Modelling) kauzalitási modell alkalmazása a szegénységdepriváció-kirekesztés strukturális rendszerben. A modell ezen latens változók között az ok-okozati irányultságokat hipotézisként kezeli, teszteli, majd becsli a strukturális koefficienseket. A hipotézisek tesztelésének kimenete a megfelelő empirikus manifeszt változók kiválasztásán alapul. 7. Korrespondencia analízis alkalmazása a szegénységi kockázattal (küszöb alá csúszással) asszociáló változók és a kategóriák egymással való megfeleléseinek a feltárásában. Az értekezés önálló eredményei a fejezetek szerint haladva - a következők...fejezet: Az irodalomban ismert szegénységi mérőszámok bemutatása, a kompozit szegénységi index szerkesztési elveinek keretbe foglalása. (Hajdu: 997a)..fejezet: A regresszív jövedelmi transzfer hatásának vizsgálata a relatív depriváció egyéni és társadalmi szintű fokára, és erre érzékeny új deprivációs mutatók megadása, kidolgozása. (Hajdu: 996, 999) 3..fejezet: Új szegénységi mutató konstrukció definiálása, mely érzékeny a szegények körében mért relatív deprivációs változásokra. (Hajdu: 997b, 999) 4..fejezet: A deprivációs averzió becslése a gamma-eloszlású jövedelem hatványkitevő paramétere alapján. (Hajdu: 008) 5

6 Hajdu Ottó dc_39_ 5..fejezet: A Lorenz-görbe aszimmetriájának mint a szegénységi mérték egy faktoraként való - értelmezése és mérése. (Hajdu: 004c) 6. 3.fejezet: Egy új, csoporthatásokra dezaggregálható, információelméleti megalapozású egyenlőtlenségi módszer kidolgozása. Elsőként a Pályázó MTA doktori értekezésében publikálva fejezet: Az új redundancia alapú egyenlőtlenségi módszer alkalmazása a szegénység mérésében. Elsőként a Pályázó MTA doktori értekezésében publikálva fejezet: Rétegzett sokaság esetén a réteg-specifikus deprivációs küszöb rétegen belüli becslése kvantilis regresszió alkalmazásával, a rétegképző változók értékei függvényében. Elsőként a Pályázó MTA doktori értekezésében publikálva fejezet: Rétegzés esetén a küszöbalatti kismintás esetből adódó becslési és tesztelési problémák egzakt mintavételi módszerrel való kezelése - a logisztikus regresszió prediktor változóinak a szelektálása során. (Hajdu: 004b, 006) 0. 6.fejezet: A szegénység-depriváció-kirekesztettség kauzalitási rendszer tesztelése a SEM (Structural Equation Modelling) modell MIMIC (Multiple Indicator Multiple Cause) módszerének alkalmazásával. (Hajdu: 009). 6.fejezet: Háztartások jövedelmezőségének, kiadási hajlandóságának és fogyasztási színvonalának vizsgálata különböző méretdefiníciók mellett az MTMM (Multitrait- Multimethod) modell alapján, a CFA (konfirmatív faktoranalízis) alkalmazásával. (Hajdu: 004a). 6.fejezet: A SEM módszer ADF (Asymptotically Distribution Free) becslésének az alkalmazása a homoszkedaszticitási hipotézis tesztelésére a hibafaktorok kovariancia mátrixára vonatkozóan a faktormodellben. (Hajdu: 004d) 3. 7.fejezet: Diszkretizált változók kategóriáinak az elhelyezése a prediktív térképen, a szegénységi küszöb alá süllyedésre utaló, asszociáló kategóriákat kereső modellben, a többszörös korrespondencia analízis alkalmazásával. (Hajdu: 00) Az új formulák verifikálását szolgáló számítások a Szerző önálló programozási eredményei. Egyébként standard statisztikai programcsomagok kerültek alkalmazásra. Végül fölhívjuk a figyelmet, hogy bár a jelölésrendszer törekszik a konzisztenciára, az egyes fejezetek saját jelölésrendszert alkalmaznak. 6

7 dc_39_ MTA doktori értekezés. A SZEGÉNYSÉG STATISZTIKAI MÉRÉSÉNEK OPERACIONALIZÁLÁSA A társadalmi szegénység fokának megadásakor alapvető mozzanat a szegények arányának, és a szegénység eloszlásának a vizsgálata. Az eloszlás egy jellemzője a centrális tendenciának a szegénységi küszöbhöz való viszonya, a szegénység intenzitása. Másfelől - úttörő munkájában Sen(976) hívta fel a figyelmet - hogy a szegénység mérésekor figyelmet kell szentelnünk a szegények körében értelmezett szóródás mértékének is. A szóródását első megközelítésben kézenfekvő egyenlőtlenségként kezelni, és mérni.. A KOMPOZIT SZEMLÉLETŰ EGYDIMENZIÓS SZEGÉNYSÉGI INDEX A szegénység társadalmi szintű mérésének első lépéseként elhatároljuk a szegények körét a nem szegényektől, majd a szegényekről rendelkezésre álló információt aggregáljuk egy P kompozit index értékében. Tekintsük az n tagú társadalom jövedelmi vektorát, melyben a rögzített z szegénységi küszöb alá eső q számú személyt szegényként, a többi (n-q) számú egyént pedig mint nem szegényt klasszifikáljuk: Z Z... Z < z Z Z... Z. (.) q q+ q+ n A szegénységi mérték kalkulálása előbb egy identifikálási, majd egy aggregálási lépést foglal magában. Identifikálás Az identifikálás alapvető kérdései, melyek eltérő klasszifikációra vezethetnek, az alábbiak. A megfigyelés egysége A megfigyelés egysége lehet az egyén, a háztartás, vagy a család. A család és a háztartás nem esik mindig egybe, és a családon, háztartáson belül élhetnek szegényként azért, hogy mások a küszöb fölött éljenek. A családon, háztartáson belüli egyenlőtlenség jelentős is lehet. Bár a szegénységet egyéni szinten értelmezzük, empirikusan a háztartások tekintetében mérjük. A hiány tárgya Kérdés, hogy milyen jellegű szükséglet, jószág tekintetében szegény a társadalom egy tagja. Jövedelmi szegény, fogyasztásában szegény, küszöb alatti kiadású, vagy nincs vagyona. Lehet egy alulfogyasztó a fogyasztásában küszöb alatti, miközben jövedelme küszöb feletti, de vagyonát felélve, vagy hitelből fedezve fogyaszthat küszöb felett, bár a jövedelme küszöb alatti. A kiadás lehet a fogyasztás proxy változója, de értelemszerűen nem esik azzal egybe. 7

8 Hajdu Ottó dc_39_ A vetítési alap Az összehasonlíthatóság érdekében a háztartás fogyasztói létszámának a megadásakor az ekvivalencia skála lehet a taglétszám, vagy a fogyasztási egység. Egyféle fogyasztási egység séma például az első felnőtt egység, minden további felnőtt 0.7 egység, a 6 év alatti gyerekek pedig 0.5 egységet képviselnek. Az elhatárolás A szegényvolt megítélése történhet objektív küszöb alapján. A küszöb megállapítására abszolút és relatív módszerek is kínálkoznak. Relatív módszer pl. az alsó decilis értékének az alkalmazása, vagy a medián jövedelem adott százaléka. Ezzel szemben az abszolút módszer egy minimális fogyasztói kosár költségének a kalkulálásán alapul. Valamely módszer szerint a szegénység megszüntethető a társadalomban, míg más módszer szerint nem. Szubjektív ítélet szerint szegénynek érezheti magát valaki a környezete viszonylatában, ha relatív értelemben deprivált valamely jószág tekintetében. Ez az érzés jelentkezik, ha nem bír a jószággal, de másokat lát akik rendelkeznek vele, szeretné a jószágot, és megvalósíthatónak tartja a birtoklását. Végül egy kényszerű kirekesztés elszenvedése valamely társadalmi funkcionalitásból is a szegénysorba jutás irányába mutathat. A városi vagy vidéki lét, a nemhez való tartozás, fizikai vagy mentális fogyatékosság kizárnak bizonyos lehetőségekből, és a szegényvolt okozói lehetnek. A core-axiómák Az alábbi axiómák alapvető elvárásokat támasztanak a P szegénységi indexszel szemben: Fókusz: a szegénységi index érzéketlen a nem szegények jövedelmeiben történt változásokra. Monotonitás: egy küszöb alatti személy jövedelmének a csökkenése c.p. a szegénységi index értékét növeli. Szimmetria: a szegénységi index értéke invariáns a társadalom tagjainak a sorrendjére a jövedelmi eloszlásban. Ismétlés invariancia: egy társadalom többszöri ismétlésével a szegénységi index értéke nem változik. Folytonosság: a küszöbközeli jövedelmi változások csak kismértékű változást okoznak a szegénységi index értékében. Emelkedő küszöb: a küszöb szint emelésével a szegénységi index értéke nő. Regresszív transzfer: a szegények körében történő regresszív, de statusőrző transzfer (mind a szegényebb adó, mind a gazdagabb kapó a transzfer után is szegény marad) hatására a P-index értéke nő. Transzferérzékenység: a szegénységi index transzferérzékeny, ha a szegények körében történő regresszív, de statusőrző transzfer hatására az értéke nő, és ez a növekmény a transzfert adó szegényebb jövedelmének a csökkenésével növekvő. Alcsoport konzisztencia: szegmentált társadalomban egy alcsoport szegénységi értékének a növekedése hatására c.p. a globális szegénységi index is nő. 8

9 dc_39_ MTA doktori értekezés Aggregálás A kompozit P indexben való aggregálás érdekében a fókusz axiómának megfelelendő - a jövedelmeket a z küszöb szinten felülről cenzoráljuk. A censored jövedelmi eloszlás a társadalom minden tagjára értelmezett: { i } ( ) Z c = min Z, z, i =,,..., n (.) i ahol a küszöb fölött lévők jövedelmeit magával a küszöbbel helyettesítjük. Részletesen írva: {...,,..., q } c Z = Z Z Z z z z (.3) Az aggregálási lépésben az egyedi szegénységi résekben lévő, az egyedi depriváltság fokát leíró g = z Z c (.4) i poverty-gap információt tömörítjük a kompozit P indexbe. A küszöbszintet egységnyiként kezelve a normalizált szegénységi rés i g z i c Zi = = r i =,,..., n i z ( ) (.5) ahol a rés értéke a nemszegények körében zéró. Követelmény, hogy P növekvőleg reagáljon az alábbi faktorok c.p. növekedésére: Head-count ratio, mint a szegénység kiterjedtsége: H = q (.6) n Income-gap ratio, mint a szegénység intenzitása: I W Z (.) = W z (.7) ahol Z W (.) a reprezentatív jövedelmi szint, mellyel mindenki jövedelmét helyettesítve az aktuális eloszlásban, az eloszlás W társadalmi jóléti szintje változatlan marad. A reprezentatív jövedelem megfelelő W(.) jóléti függvény választás mellett transzferérzékeny, de ha a jóléti függvény speciálisan az átlagos jövedelem, akkor I érzéketlen a jövedelmi transzferre a szegények körében, és ekkor ennek hangsúlyozására a W alsó indexet elhagyjuk. 9

10 Hajdu Ottó dc_39_ Welfare-gap ratio, mint jóléti veszteség: W I W(.) = W( z) (.8) ahol (.) a vizsgált, aktuális eloszlást jelöli. Inequality, mint az Egyenlőtlenség intenzitása: 0 E (.) (.9) Elvárás, hogy Min legyen P értéke, ha nincsenek szegények a társadalomban, és Max értékkel jelezze, ha mindenki jövedelme zéró. A Min és Max értékeket a (0;) határokba konvertálva: 0 P (.0) Ésszerű normalizálási követelmény, hogy ha minden szegény jövedelme egyenlő, akkor a H arány és a küszöb alatti átlagos jövedelmi szint együtt elegendő információt tartalmaz: HI q z Z n z = z (.) A HI mutató a normalizált szegénységi érték, mely a küszöböt mindenkinek biztosító alap azon hányada, mellyel minden szegényt a küszöb szintjére lehetne emelni, tehát a szegénység (statikusan, c.p.) eliminálható lenne. Kompozit szegénységi indexet a cenzorált censored, vagy a csonkolt truncated eloszláson szerkeszthetünk. Mivel a teljes népesség cenzorált eloszlása implicite tartalmazza a szegények létszámarányát, ezért esetében a H mutató explicit beépítése a formulába nem szükségszerű. A csonkolt eloszlás a küszöb fölötti jövedelmeket elhagyja az eloszlásból, tehát a H mutató számítása és beépítése a P index formulájába elengedhetetlen. A szegénységi mérőszámok konstrukciós elveit az.. tábla foglalja össze. A csonkolt eloszláson mérve a szegénységet, a Sen-index átalakítása nyomán a P index alábbi konstrukciós elvei rajzolódnak ki. A normalizáltság, és a (0,) intervallumra való normáltság nem elengedhetetlen követelmények. A z alsó index arra utal, hogy az illető mértéket a küszöb alatt számítottuk. 0

11 dc_39_ MTA doktori értekezés. tábla Szegénységi mérőszámok konstruálása Norm Definíció i i ( i ) súly f rés (, ) z Átlag H HI E E z c Egyenlőtlenségi: E ( Z ) Inflált: HI + E ( rés ) Etikai: HI W Jövedelmi rés-arány: Jóléti veszteség: W I I W A szegénységi indexhez felhasznált eloszlás Csonkolt Cenzorált Sen, Thon, Kakwani, Foster et al., abszolút g réssel Robusztus (Gini, mértani) Blackorby et al. (Atkinson, számtani) Sen (Gini, számtani) Clark et al. (Atkinson), Sen (Gini) g abszolút rés Blackorby et al., Sen * A jobb alsó index az átlagszámításban alkalmazott súlyt jelöli. A súlyozott szegénységi rések elve: Sen-Shorrocks-Thon (SST), relatív r réssel Takayama (Gini) SST (Gini) r relatív rés Clark et al., Hagenaars Chakravarty, Foster et al., Watts, Hagenaars,3 A Sen-index az abszolút szegénységi rések súlyozott, normálizált összege, ahol a súlyok a megfelelő rangszámok, és a normalizálási faktor biztosítja, hogy S=H I, ha zéró az egyenlőtlenség a küszöb alatt: q S = q i gi ( q ) + + nz i = w (.) Itt változtatható a súlyrendszer, és változtatható a normalizálási alap. Az átlagos egyenlőtlenségi rés elv: A HI W mértékben I W a totális egyenlőtlenség felső határának, és a szegény jövedelmek Gini indexének a súlyozott átlaga az I és az (-I) súlyok alkalmazásával: i S = H I + I Gini ( ) ( ) Z z q q+ (.3) Cserélhető a Gini formula, és alkalmazható az abszolút és a relatív rések egyenlőtlenségére is.

12 Hajdu Ottó dc_39_ Az egyenlőtlenséggel inflált HI elv: Az (+Gini) inflátor faktor nyújtja a Sen-index HIIF elvű megfogalmazását, ahol a HI inflátor faktor a g abszolút szegénységi rések Gini indexének a hatásával inflál. ( ( )) g S = H I + Gini (.4) Változtatható az egyenlőtlenség mérőszáma, és annak argumentuma is. Az I W jóléti rés HI W etikai elve: S = H Z z ( w) z (.5) Most a társadalmi jóléti függvény a szegény jövedelmek w rangszámokkal súlyozott számtani átlaga, és ennek a z küszöbtől való relatív elmaradása a jóléti veszteség. Változtatási lehetőség a jóléti függvény w súlyának, és formulájának a cseréje. A H és HI határok átlaga: Ha q elegendően magas, akkor a Sen-index az ( ) S H Gini + H I Gini (.6) ( Z ) ( Z ) z formában is írható. Ebben az értelmezésben S a szegénység H felső határának és HI alsó határának a súlyozott átlaga, súlyként az egyenlőtlenséget és komplementerét használva. Itt is cserélhető a Gini-formula. Bár a Sen-index elveket alapoz meg, lényeges axiómáknak nem tesz eleget. Ezek rendre: ismétlés invariancia, alcsoport konzisztencia, regresszív transzfer, folytonosság, érzékenység a transzfer helyére. Az axiómáknak való megfelelést szolgálja a Sen-Shorrocks-Thon (SST) index kidolgozása, mely átvezet a cenzorált jövedelmi eloszlás alkalmazásához. A cenzorált eloszláson mérve a szegénységet, a következő elveket emeljük ki. Az átlagos relatív rés elv Az SST index a teljes cenzorált Z c eloszláson a relatív szegénységi rések súlyozott átlaga, súlyként az első (n-) páratlan számokat alkalmazva. Ezzel a transzfer, folytonossági és ismétlés invariancia axiómák teljesülnek: z

13 dc_39_ MTA doktori értekezés n c SST( Z ) = ( n i+ ) r (.7) i n i= Az SST index felírható multiplikatív módon, az inflált HI elv alapján is: ( ) c ( ) ( r) SST Z = HI + Gini (.8) Az inflátor faktorban a cenzorált jövedelmek relatív szegénységi réseinek Gini indexe kap helyet. A Dalton-féle jóléti veszteség A veszteség mértéke a küszöbszint viszonylatában: c ( ) ( ) q ( ) ( ) ( ) ( ) i i= nu( z) U Z nu z U Z n q U z D= = U z q q U( Z ) i U( Z ) i = H n = i= U( z) q i= U( z) (.9) ahol U(.) hasznosságot mér. Additív módon csoporthatásokra bontható viszonyszám. A mutató értéke a hasznossági függvény aktuális megválasztásán múlik, amely birtokában az ismert indexek rendre:. Chakravarty:. Foster et al.: 3. Watts: 4. Clark et al.: 5. Hagenaars: C ( q ) ( / ) ( < e< ) h = i= i n (.0) F q ( ) [ / ] ( α α = 0) i= i n (.) q W = z Z (.) i= n ( ln ln ) i CHU β = Z z z n β i= i (.3) n ( ) ( { }) ( β< ) / min, q ln( Z ) i Hag = i= n ln( z) (.4) 3

14 Hajdu Ottó dc_39_ A cenzorált jövedelmek egyenlőtlenségi mértéke Végül a szegénységi index Takayama-féle számítási módja a szegénység mértékét a cenzorált jövedelmek Gini egyenlőtlenségeként definiálja. A Gini-index helyett más formulát véve más P indexekhez jutunk.. A FUZZY SZEMLÉLETŰ, TÖBBDIMENZIÓS SZEGÉNYSÉGI INDEX A társadalom tagjai egyidejűleg több dimenzióban is lehetnek szegények, és szegénységük nem az Igen/Nem bináris módon klasszifikálandó, hanem egy latens, szegénységi tengelyen való helyzettel jellemzett, ahol valaki inkább vagy kevésbé tehát fuzzy (talán) szegény. A probléma egyféle megközelítését ismerteti a fejezet. A vizsgált dimenziók az F,F,,F k fogyasztások, melyekben az egyéni fogyasztások értékei i=,,,n fogyasztó esetén: melyek súlyai rendre: (,,...,,..., ) x = x x x x (.5) i i i ij ik (,,..., j,..., k) w= w w w w (.6) A µ ún. tagsági függvény a j fogyasztás tekintetében három pozíciót különböztet meg az m j küszöb rögzítésével:. Biztosan szegény j tekintetében: ( x ) x 0, µ = = (.7) j ij ij. Lehetséges (fuzzy) szegény j tekintetében: θ j m x µ = < < j ij ( x ) 0 x m, j ij ij j m j (.8) 3. Biztosan nem szegény j tekintetében: ( ) 0 µ x = x m (.9) j ij ij j Az átfogó, többdimenziós, fuzzy szegénységi index az individuális fuzzy-score értékek átlaga, amely score értékekben az egyes fogyasztások rendre w j súllyal szerepelnek: n k P X w x n i = j = (, µ ) = j µ j( ij) (.30) 4

15 dc_39_ MTA doktori értekezés A társadalmi kirekesztés mérése Kirekesztés alatt most azt értjük, hogy valaki valamilyen társadalmi funkcionalitásban nem vehet részt. A többdimenziós fuzzy szemléletben itt a fogyasztás helyére a funkció lép, és a tagsági függvény bináris, Igen/Nem kimenetű. Az egyéni kirekesztettségi profil ahol (,,...,,..., ) x = x x x x (.3) i i i ij ik x ij : kirekesztett = 0 : résztvevő (.3) Az egyéni deprivációs score k (.33) D = w x = w i j ij j j= j Fi A deprivációs score ismeretében a kompozit társadalmi kirekesztettségi indexek különböző formulái / θ θ θ Exc= D i = H D i n q i D i D / θ (.34) illetve az ún. Gini-súlyozással ExcGini= D n i+ n i( ) (.35) i D Az értekezés hozzájárulása a szegénység és egyenlőtlenség mérése módszertanához a fenti keret tükrében értelmezendő. 5

16 Hajdu Ottó dc_39_. A RELATÍV DEPRIVÁCIÓS SZEGÉNYSÉGI INDEX A szegénység társadalmi fokának megadásakor a szegények H aránya alapvető információ. A másik meghatározó faktor a szegények jövedelmi eloszlása. A jövedelmi eloszlás helyzeti jellemzője a küszöb alatti közepes jövedelmi szint, illetve annak a szegénységi küszöbhöz való viszonya, a szóródási jellemző pedig rendszerint valamely egyenlőtlenségi mérték. Az eloszlásfüggő jellemzők eredője az I W mérték. A szegények jövedelmei színvonalának és különbségeinek a jellemzésére az egyenlőtlenség mellett kézenfekvően a relatív depriváció is kínálkozik. Jelen fejezet egy olyan szegénységi mérőszám konstrukciós elvet javasol, mely a szegénységi mértékben a relatív depriváció fokára is reagál. A relatív depriváció tárgya bármely jószág lehet. A relatív depriváció két hatás eredőjeként alakul. Az egyik a depriváció érzete, a másik pedig annak relatív megítélése. Egy adott jószág tekintetében deprivált személy Runciman-féle kritériumai (mint korábban):. nem rendelkezik az illető jószággal,. más személyeket lát, akik ezen jószág birtokában vannak, 3. birtokolni akarja ezt a jószágot, 4. megvalósíthatónak tartja, hogy e jószág birtokába jusson. A depriváció érzetét az () és (3) kritériumok, míg a koncepció relatív voltát a () és (4) kritériumok adják. Szemben az egyenlőtlenséggel, a relatív deprivációs megközelítés magában foglalja, hogy az emberek inkább a társadalom adott csoportjaihoz, és nem a társadalom egészéhez viszonyítják magukat. Azon egyének körét, akikhez i viszonyítja magát, i referencia csoportjának nevezzük. A relatív depriváció tárgya egy konkrét jövedelmi szint is lehet. Ekkor az Y i jövedelemmel bíró személy deprivált mindazon referencia személyekkel szemben, akiknek a jövedelme nagyobb mint Y i. E tényt az i j J Z < Z (.) i i j reláció jelzi, ahol J i az i referencia csoportját jelöli. A referencia csoportba nem tartozókkal szembeni depriváltság definíció szerint zérus. 6

17 dc_39_ MTA doktori értekezés Realitás, hogy az egyenlőtlenséget növelő regresszív transzfer nyomán a relatív depriváció egyéni mértéke (érzete) csökkenhet a referencia csoportokhoz való viszonyok módosulása szerint. Egy kompozit deprivációs metrika a csökkentő hatásokat is figyelembe veszi, melyek eredőjeként a globális depriváció kevésbé emelkedik, vagy - konstrukciójától függően, adott esetben csökkenhet is. Célunk olyan P szegénységi index megadása, mely a relatív depriváció csökkenését a küszöb alatt, mint szegénységet csökkentő faktort kezeli. A küszöb alatt kétféle deprivácót értelmezünk:. a küszöbbel szemben,. a többi szegénnyel szemben érzett depriváltságot.. A DEPRIVÁCIÓS FÜGGVÉNY Tekintsük a z szegénységi küszöb alatti q tagú társadalom egyedeinek a jövedelmeit, ahol az egyes jövedelmek nemcsökkenő sorba rendezve követik egymást Z Z... Z q (.) Az i deprivációs függvényét a Z j referencia jövedelem viszonylatában úgy definiáljuk, hogy. magasabb referencia jövedelemmel szemben magasabb legyen a depriváltság érzete,. a határdepriváltság a jövedelmi szint növekedésével csökkenjen, 3. a határdepriváció csökkenése a jövedelmi szint növekedésével egyre nagyobb legyen. A relatív depriváció mérésére az alábbiakban két megközelítést alkalmazunk:. A Q deprivációs hányad elvet,. a Delta kommunalitás elvet. A Q elv szerint az i szegény deprivációs hányada a Z j referencia jövedelem tekintetében r Zi Q = Z < Z Z j Q ij i j r ij = 0 egyébként r (.3) ahol r deprivációs averzió paraméter, növekvő értékkel a szegényebb szegény depriváltságát hangsúlyozva. 7

18 Hajdu Ottó dc_39_ Pozitív depriváció csak gazdagabbal szemben jelentkezik, értéke egyébként zéró. A Q ij típusú depriváció zéró Z jövedelmek esetén is értelmezett, számítható. Q jelentése r= esetén: a referencia jövedelem ekkora hányada (százaléka) hiányzik ahhoz, hogy a referencia személy tekintetében a depriváltság megszűnjön. Másik megközelítésben a depriváció fokát a ( ij ) r r δ = Q (.4) ij delta mutatóval is mérhetjük mindaddig, míg a tört értelmezve van. Delta jelentése az r= esetben a referencia jövedelem szintje, ha a deprivált jövedelem. Itt a deprivációs hányad Q ij (.5) komplementere kommunalitás értelmű, mert i ilyen hányadban eliminálta a j deprivációt.. A SZEGÉNYSÉG DEPRIVÁCIÓ-ÉRZÉKENY MÉRTÉKE Definiáljuk a P=HI W típusú szegénységi indexet úgy, hogy az Ι W küszöbalattiság faktort a küszöb és a reprezentatív deprivált szegény jövedelme közötti deprivációs réssel mérjük:. előbb a reprezentatív szegény jövedelmét kalkuláljuk, mely a küszöbbel szembeni globális deprivációt reprezentálja,. ebből kapjuk a reprezentatív deprivált szegény jövedelmét, mely a szegények egymás közötti globális deprivációját reprezentálja. A fenti szegénységi index konstrukciója ahol. ẑ : a reprezentatív szegény jövedelmi szintje, ˆ( ) P = H z (.6). : a reprezentatív deprivált szegény deprivációja: akivel szemben senki sem deprivált, reprezentálja a gazdagabb szegénnyel szembeni deprivációt, kétfős redukcióban, 3. a reprezentatív deprivált szegény jövedelme a reprezentatív szegényéből való részesedés: ˆz ( ) (.7) 4. végül a reprezentatív deprivált szegény deprivációs szegénységi - rése: 8

19 dc_39_ MTA doktori értekezés ˆ( ) z (.8) Minél tágabb a deprivációs rés, annál magasabb a P szegénységi index, mely láthatóan. értelmezve van a zéró jövedelmekre,. normált: 0 P, 3. érzékeny a regresszív transzfer relatív deprivációt csökkentő faktoraira is, 4. transzferérzékenysége a ẑ és a metrikák megválasztásán múlik. Például, ha a küszöb alattiak aránya 30%, a küszöbbel szembeni depriváció átlagosan 50%, és a szegények egymással szembeni depriváltsága globálisan 40%, akkor a szegénységi index értéke: ( ( )( )) P = = 0. (.9).3 A REPREZENTATÍV SZEGÉNY JÖVEDELMÉNEK MEGHATÁROZÁSA Deprivációs jövedelmi hányad megközelítésben Q-elven - a Z jövedelmek r= deprivációi a z küszöb viszonylatában, rendre Z Z... Z q z z z (.0) ahol Z i /z=-q i a jövedelem küszöbbel szembeni kommunalitását adja, komplementere pedig azt adja, hogy a küszöb mennyi hányada hiányzik az i jövedelem küszöb szintre emeléséhez. Alacsonyabb kommunalitás értelemszerűen magasabb deprivációt eredményez. Legyen most az átlagos depriváció a küszöbbel szemben ( r) Q z q = q i= r r Z i z (.) Ebben a megközelítésben a reprezentatív szegény jövedelme ( ) ( ) ˆ z r r = Q (.) Q z Speciálisan ( ) z a kommunalitások számtani átlaga. ˆQ 9

20 Hajdu Ottó dc_39_ Másik megközelítésben, a reprezentatív szegény jövedelme - a kommunalitások r-rendű momentumára alapozva ( r) ˆ = δ q z Qi q i= ( ) r r (.3) Ekkor speciálisan ( ) z a kommunalitások számtani, ˆδ ( ) ˆz pedig a kommunalitások harmonikus átlaga. Mivel a harmonikus átlag kisebb (nem nagyobb) mint az aritmetikai átlag, ezért c.p. ( ) ˆz alkalmazása praktikusan magasabb fokú szegénységet jelez, mint δ δ ( ) z alkalmazása. A harmonikus átlagolás alkalmazása esetén - értelmét tekintve a z= küszöbbel szemben vett egyedi ˆδ... Q Q Q q (.4) deprivációk aritmetikai átlaga szerepel a harmonikus átlag nevezőjében. Modellpélda Illusztrálva a reprezentatív szegény jövedelmének a kalkulálását, tekintsük a szegények egy q=30 fős körét, Z=[,, 3,, 8, 9, 30] jövedelmeikkel, z=35 küszöb rögzítése mellett. Ekkor r= averzió mellett, alapesetben: a kommunalitások: (-Q)=[0.09, 0.057, 0.086,, 0.800, 0.89, 0.857], a deprivációs hányadok: Q=[0.97, 0.943, 0.94,, 0.00, 0.7, 0.43], a reciprok kommunalitások pedig: /(-Q)=[35, 7.5,.667,,.5,.07,.67]. Ebből, most már r=. averzió mellett:. a kommunalitások r=. paraméteres átlaga: ,. a deprivációs hányadok r=. paraméteres átlaga: , 3. a reciprok kommunalitások r=. paraméteres átlaga: Innen a reprezentatív szegénység jövedelme: 4. a kommunalitások r=. paraméteres átlagával: , 5. a deprivációs hányadok r=. paraméteres átlagával: ( ) = , 6. a reciprok kommunalitások r=. paraméteres átlagával: / =

21 dc_39_ MTA doktori értekezés.4 RELATÍV DEPRIVÁCIÓ A SZEGÉNYEK KÖRÉBEN Hajtsunk végre egy regresszív transzfert a P szegényebb szegénytől a gazdagabb R szegény felé úgy, hogy ami jövedelmet a szegényebb elveszt, azt a gazdagabb kapja, és mind a ketten a küszöb alatt maradnak. A transzfer a populációt két csoportra bontja: a transzfer által nem érintett, és a transzfert adó P donor, és a transzfert kapó R címzett egyének kétfős csoportjára. Azok körén belül, akiknek a jövedelmét a transzfer nem érinti, mind az egyenlőtlenség, mind a relatív depriváció foka változatlan marad, ugyanakkor a donor P és a címzett R között mind az egyenlőtlenség, mind a relatív depriváció foka növekszik. A transzfer egyenlőtlenségi hatását tekintve, a két csoport közötti egyenlőtlenség esetünkben változatlan marad, mivel a transzfer az érintett P és R személyek jövedelmeinek az összegét változatlanul hagyja. Lévén az egyenlőtlenség az átlagos csoporton belüli, és a csoportközi egyenlőtlenség eredője, a regresszív transzfer nyomán a teljes populációban az egyenlőtlenség foka növekszik. Nem egyértelmű a helyzet a relatív depriváció érzete esetében, mikor a donort és a címzettet a transzfer által érintetlen jövedelmek tulajdonosaival hasonlítjuk össze. Ekkor ugyanis mind a donor és a címzett által, mind a velük szemben érzett depriváltság mértéke változik. E változások eredőjére természetesen az is befolyással van, hogy a transzfer eredményeként megváltozik-e a referencia csoportok struktúrája. Tekintsünk el a referencia csoportok megváltozásától: a donor jövedelme nem süllyed nála szegényebbé alá, a címzetté pedig nem emelkedik nála gazdagabbé fölé. Ekkor a P donorral szemben, és a címzett R által érzett depriváltságok csökkennek, viszont a címzettel szemben, illetve a donor által érzett deprivációk nőnek. E hatások eredőjeként egy regresszív transzfer nyomán a relatív depriváció foka várhatóan nő, de csökkenhet is. Vegyük végül, hogy a transzferrel P nála szegényebb alá, vagy R nála gazdagabb fölé kerül a jövedelmi rangsorban, amivel vagy a donor referencia csoportja bővül, vagy a címzetté szűkül. Akik bekerülnek P referencia csoportjába, megszűnik a P szegénnyel szembeni és megjelenik P velük szembeni deprivációja. Ezzel megjelenik azok R szegénnyel szembeni deprivációja, akik kiesnek R referencia csoportjából, miközben eltűnik R velük szemben érzett depriváltsága. Látható tehát, hogy a jövedelmi transzfer deprivációt növelő vagy csökkentő hatása attól is függ, hogy a transzfer után a jövedelmi rangsorban P mennyivel kerül lejjebb, és R mennyivel feljebb.

22 Hajdu Ottó dc_39_.5 DEPRIVÁCIÓS HÁNYAD TÍPUSÚ Q MÉRTÉKEK Az alább definiált Q mértékek elvi alapja azonos, lényegileg az átlagolásuk vetítési alapjában különböznek. A Zéró deprivációs hányad Első megközelítésben legyen az i szegény relatív minden más szegénnyel szembeni átlagos - depriváltsági értéke: ( r) Q 0i q = Q q j= r ij (.5) Ez az egyéni mérték az átlagolás során a zéró deprivációk számát is tartalmazza. Ezt jelzi a 0 alsó index, és erre utal a mutató megnevezése is. Ebből az átfogó kompozit, paraméteres Q 0 index az egyéni depriváltságok átlaga q ( r) ( r) Q = 0 Q0 q i i= (.6) Láthatóan ( r) 0 Q < (.7) 0 A Q 0 depriváció zéró, ha minden szegény jövedelme egyenlő, és (q-)/q az értéke pszeudo egyenlőség esetén: A pszeudo egyenlőség szituációja, mikor csak egyvalaki jövedelme különbözik az összes többi egymással egyenlő jövedelemtől: ha az eltérés extrém, akkor az egyenlőség kisebb, ha kevésbé extrém, akkor magasabb. Ebből következően Q 0 értéke akkor is zéró közeli, ha egyvalaki birtokolja a teljes jövedelmet és mindenki más jövedelme zéró. A Q 0 index a szegények körét virtuálisan két főre redukálja, ahol a szegényebb személy a gazdagabb jövedelem 00Q 0 százalékával szemben deprivált. A Pozitív deprivációs hányad Második megközelítésben legyen az i szegény (átlagos) relatív depriváltsági értéke r averzió mellett

23 dc_39_ MTA doktori értekezés ( r) Q i ( r) Q i = q i q j= Q r ij = 0 q = 0 i (.8) ahol q i az i szegény által érzett pozitív deprivációk száma. Ily módon a kompozit pozitív Q az egyéni depriváltságok átlaga q ( r) ( r) Q = Q q i i= (.9) Most a határok ( r) 0 Q q q (.0) ahol zéró a depriváció, ha minden szegény jövedelme egyenlő, és (q-)/q mikor perfekt az egyenlőtlenség (pszeudo egyenlőség) a szegények között. Adott r averzió mellett a reláció szükségszerűen teljesül. A Globális deprivációs hányad ( r) ( r) Q Q (.) 0 Harmadikként vezessük be a globális deprivációs hányad mutatót, mely a Q ij deprivációs hányadosokat minden pozitív deprivációs viszonyban átlagolja, tekintet nélkül arra, hogy kihez tartozik: ( r) Q q q r = Q ij i= j= NQ r (.) ahol N Q a pozitív deprivációk száma, minden páronkénti viszonylatot figyelembe véve. Míg Q az egyéni Q i pozitív deprivációs hányadok súlyozatlan, addig Q a súlyozott számtani átlaga. 3

24 Hajdu Ottó dc_39_ Modellpélda A szegények q=30 fős körének Z=[,, 3,, 8, 9, 30] jövedelmeit vizsgáló modell példát folytatva, r=. averzió mellett: q. (.) (.) Q = Q = = 0 q i i= 30 (.3) majd q. (.) (.) Q = Q = = q i i= 30 (.4) végül. (.) Q = ( ) = (.5) 30 9 Számítási módjából adódóan a deprivációs hányad típusú indexek között ez utóbbi értéke a legmagasabb. A szegényebb szegények a gazdagabb szegényekkel szemben rendre 6.73%, % és % hányadot nem tudtak eliminálni attól függően, hogy a zéró deprivációk hatását miként vesszük figyelembe az átlagolás során..6 A SZEGÉNYSÉG DEPRIVÁCIÓS HÁNYAD TÍPUSÚ MÉRTÉKE A különböző deprivációs hányadokat felhasználva, a deprivációs P szegénységi index értékei rendre a következők. A reprezentatív szegény jövedelem mellett, különböző deprivációs hányadokra: ( ( )) P = = (.6) ( ( )) P = = 0.47 (.7) ( ( )) P = = 0.90 (.8) A reprezentatív szegény jövedelem mellett, különböző deprivációs hányadokra: 4

25 dc_39_ ( ( )) MTA doktori értekezés P = = (.9) ( ( )) P = = (.30) ( ( )) P = = 0.35 (.3) A 0.05 reprezentatív szegény jövedelem mellett, különböző deprivációs hányadokra: ( ( )) P = = 0.55 (.3) ( ( )) P = = (.33) ( ( )) P = = (.34).7 A DEPRIVÁCIÓS HÁNYAD TRANSZFERÉRZÉKENYSÉGE Az alábbiakban azt vizsgáljuk, hogy a globális deprivációs hányad milyen körülmények között csökkenhet egy regresszív transzfer hatására - az egyszerűség kedvéért - r= averzió mellett. Tekintsük a Z =[, 4, 0, 0, 35] jövedelmi eloszlást, melyre ( ) Q = 0.75, valamint a Z =[, 4, 0, 34, 35] eloszlást, melyre ( ) Q = Módosítsuk az eloszlásokat különböző d nagyságú transzferekkel, a tulajdonosok valamennyi párosítását tekintve. A transzferált eloszlások deprivációs hányadait Z esetén a.. tábla, Z esetén pedig a.. tábla közli. A táblákban a deprivációs hányadok d növelése mellett addig kerültek kiszámításra, míg a donor jövedelme nem vált negatívvá, és aláhúzás határolja el d azon tartományát, amely mellett a jövedelmi rangsor változatlan marad. Közben kiemelten jelenik meg azon kritikus d c érték, mely a deprivációs hányadnak a d=0 eredeti állapothoz képest magasabb értékét az alacsonyabbtól elválasztja. A.. és.. táblák eredményei alapján az alábbi tendenciák rajzolódnak ki. Mindaddig, míg a transzfer a jövedelmi rangsort változatlanul hagyja: 5

26 Hajdu Ottó dc_39_. Ha a donornál nincsenek szegényebbek a jövedelmi rangsorban, akkor a deprivációs hányad értéke a transzfer növekedésével együtt minden esetben nő, de a növekedés annál csekélyebb mértékű, minél közelebb van a rangsorban a donor a címzetthez.. Ha a donor nem a legszegényebb, akkor a deprivációs hányad csökkenése is lehetséges, mégpedig kétféle módon. Egyrészt úgy, hogy d fokozatos növelésével először a deprivációs hányad is nő, majd elérve egy maximumot, attól kezdve csökken a d=0 eredeti állapothoz tartozó szintre, majd az eredeti állapothoz képest is csökken. Ez a helyzet pl. a.. táblában (P,R)=(,3),(,4),(,5) transzfer pozícióknál a d<=3 tartományon, a (P,R)=(3,4),(3,5) relációkban a d<=6 tartományon, végül a (P,R)=(4,5) párosításban a d<=0 tartományon. Másrészt a deprivációs hányad a d=0 szintről indulva, d növelésével rögtön elkezdhet csökkenni. Ez történik a.. táblában a (P,R)=(3,4), d<= tartományon. 3. Minél közelebb van a rangsorban a donor a címzetthez, annál szélesebb d azon tartománya, amelyre a deprivációs hányad értéke az eredeti állapothoz képest csökken. 4. Mikor a transzfer nagysága miatt a tulajdonosok rangpozíciója megváltozik, a deprivációs hányad növekedése és csökkenése d függvényében váltogathatja egymást, tehát a csökkenés a transzfer nagyságának több tartományán is bekövetkezhet. Ezt tapasztaljuk a.. táblában a (P,R)=(3,4) párosításban, a d>=8 tartományon. Mint látható, adott jövedelmi helyzetben egy d mértékű regresszív transzfer hatására a relatív depriváció globális mértéke csökkenhet, és a deprivációs hányad mutató ezt érzékeli. Kiindulásként megállapítjuk, hogy ha a donornál nincsenek szegényebbek, akkor a donorral szemben nem léphet fel deprivációs csökkenés, miközben a címzett által érzett deprivációs csökkenést kiegyenlíti a donor által a címzett referencia csoportjával szembeni növekedés, tehát a deprivációs hányad értéke biztosan nő ez esetben, függetlenül a címzett pozíciójától. Ha viszont vannak depriváltak a donorral szemben, akkor a deprivációs hányad változásának irányát és mértékét mozgató tényezők a következők:. a transzfer d mértéke,. P és R rangpozíciói a jövedelmi rangsorban, 3. P és R jövedelmeinek az egymáshoz való viszonya. Részleteiben (lásd Hajdu:996):. Rögzített P és R szegények közötti d transzfer mellett, a deprivációs hányad változásának az irányát a Z P és Z R jövedelmek egymáshoz való viszonya szabályozza, mert adottnak véve a Z P jövedelmi szintet, a Z R jövedelem kisebb/nagyobb viszonya - a deprivációs hányad változás iránya szempontjából kritikus Z Rc érték tekintetében - az irányt esetlegesen átválthatja. 6

27 dc_39_ MTA doktori értekezés a. Legyen a donor eliminációs egyenlege definíció szerint: a donor irányában eliminált deprivációk egyenlege a donor által eliminált deprivációkkal szemben, kivéve az összehasonlításból a címzett referencia csoportját. b. Ha a donor eliminációs egyenlege nem pozitív, akkor Z R értéke közömbös a változás iránya szempontjából: a változás irányát most csak d mértéke dönti el. c. Ha a donor eliminációs egyenlege pozitív, akkor Z R Z Rc esetén a deprivációs hányad alacsonyabb a transzfer előtti szintnél, és d növelésével gyorsuló ütemben csökkenő, amíg a transzfer nem okoz rangpozíció változást. d. Ha a donor eliminációs egyenlege pozitív, de Z R <Z Rc, akkor a deprivációs hányad változásának az iránya a transzfer d mértékének a kritikus d c szinthez való kisebb vagy nagyobb viszonyától függ.. Mikor a deprivációs jövedelmi hányad a transzfer nyomán alacsonyabb az eredeti szintjénél, d növelése a relatív depriváció fokát tovább csökkenti. 3. A transzfer d méretének a hatása a d c kritikus értékhez való viszonyának a függvénye: d<d c esetén d növelése előbb növeli, majd csökkenti a relatív depriváció fokát, míg d>=d c esetén d növelése egyértelműen csökkenti azt. 4. A transzfer által nem érintettek oldaláról - rögzített d transzfer mellett a deprivációs hányad csökkenését növeli, ha minél több olyan személy van, aki a donorral szemben deprivált, ha e személyek minél kevésbé depriváltak a donorral szemben, és ha a donor és címzett szomszédos helyet foglalnak el a jövedelmi rangsorban. 5. A transzfer által nem érintettek oldaláról - rögzített d transzfer mellett a deprivációs hányad csökkenését növeli a donor jövedelmének csökkenése, és a címzett jövedelmének a növekedése, c.p. 6. Ha a transzfer nagysága a referencia csoportok struktúrájának a megváltozását eredményezi, akkor minél nagyobb transzfer mellett következik ez be, annál inkább a relatív depriváció fokának a növekedése várható. Mindazonáltal, ha a regresszív transzfer deprivációt csökkentő faktorai esetleg enyhén túl is szárnyalják a növelő faktorokat, ez várhatóan csak tompítja a szegénységi index növekedését a transzfer nyomán, mert a reprezentatív küszöb a súlyozási mód megfelelő megválasztása mellett biztosan csökken. 7

28 Hajdu Ottó dc_39_. tábla: A regresszív transzfer hatása a Q () indexre Z esetén Z = [, 4, 0, 0, 35]: Q () = 0.75 A transzfert adó és kapó személyek (P_R ) d 3 _4 _5 _3 _4 _5 3_4 3_5 4_

29 dc_39_ MTA doktori értekezés. tábla: A regresszív transzfer hatása a Q () indexre Z esetén Z = [, 4, 0, 34, 35]: Q () = A transzfert adó és kapó személyek (P_R ) d 3 _4 _5 _3 _4 _5 3_4 3_5 4_

30 Hajdu Ottó dc_39_.8 ASZIMMETRIA A SZEGÉNYEK KÖRÉBEN A küszöb alatti eloszlásban nem csak a helyzet és a szóródási mérték a szegénységi jellemzők, hanem az eloszlás aszimmetriája is. Az alábbiakban az aszimmetria hatást jellemezzük kétféle irányból:. Előbb a szegények eloszlását közelítjük a balra modális gamma-eloszlás módosításával,. majd az átlagalattiság hatását vizsgáljuk a Lorenz-görbe aszimmetriájának a mérésével..8. A DEPRIVÁCIÓ-AVERZIÓ GAMMA-ELOSZLÁSÚ BECSLÉSE Az eloszlás ferdesége, kurtozisa, szegénységi jellemzők. Zéró közeli modális jövedelem értelemszerűen magasabb szegénységi averziót okoz a küszöb alatt, mint a küszöbhöz közelebbi módusz. A depriváció-averzió becslésére a gamma eloszlást alkalmazzuk, hatvány paraméterrel bővítve. A jövedelmi struktúra matematikai eloszlással történő megadása az információsűrítés eszköze. A specifikálásakor becsüljük az eloszlás paramétereit, jellemezzük a mintához való illeszkedését, és kiválasztjuk a megfelelő függvénytípust. Bemutatjuk, hogy adott jövedelmi változó megfelelő transzformálása (esetünkben hatványozása) útján olyan mesterséges változó nyerhető, melynek valamely nevezetes elméleti valószínűség eloszlása - most a gamma eloszlás - alkalmazása révén az eloszlás lefutása (sűrűségfüggvénye) rugalmasan alakítható, így egy empirikus jövedelmi eloszláshoz jobban illeszthető. Továbblépési irányok tehát a transzformáció és az elméleti eloszlás alkalmas megválasztása. Legyen az X folytonos véletlen változó sűrűségfüggvénye f(.), eloszlásfüggvénye pedig F(.). Tekintsük az / r = ( > 0) Y X r változó g(.) sűrűség és G(.) eloszlás függvényét ( ) = Pr ( < ) = Pr ( < r r ) = ( ) G x Y x X x F x (.35) ahonnan r r r ( ) = ( ) = ' ( ) = ( ) g x G x F x r x f x (.36) Legyen X>0 gamma-eloszlású α > 0 alakparaméterrel és β > 0 helyzetparaméterrel f ( x) x e x α β α ( ) = β Γ α (.37) 30

31 dc_39_ MTA doktori értekezés Ekkor az Y transzformált változó sűrűségfüggvénye az x helyen (behelyettesítés és összevonás után) ahol a teljes gamma-függvény r α x r r β g x = x e (.38) β Γ α ( ) α ( ) α x Γ ( α ) = x e dx (.39) 0 és (Γ(α)=( α-)!=( α-) Γ(α ) ha α integer. A.. ábrán három gamma-eloszlás szerepel, r=.05, r= és r=0.95 kitevőkkel, Alfa= és Béta=00 paraméterek rögzítése mellett. Az r-averzió növekedésével a módusz csökken, a csúcsosság nő, a szóródás pedig csökken. Az r= esethez képest az eloszlásfüggvény értéke az x jövedelmi szinten az r> vagy r< relációnak megfelelően nagyobb, vagy kisebb.. ábra Gamma(r)-likelihoodok Alfa=, Béta=00 mellett Gamma sűrűségfüggvények r = r =.00 Likelihood r = X A momentumok tekintetében az X változó r. momentuma definíció szerint ( ) E X r r Γ α + r = β ( ) Γ α ( ) (.40) 3