Gubancok. Hajnal Péter. SZTE, Bolyai Intézet

Átírás

1 Gubancok SZTE, Bolyai Intézet 2010

2 Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút.

3 Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. H 1,H 2,H 3,K 1,K 2,K 3

4 Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. H 1,H 2,H 3,K 1,K 2,K 3 Tervezhető-e kilenc út a házak és kutak közt,

5 Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. H 1,H 2,H 3,K 1,K 2,K 3 Tervezhető-e kilenc út a házak és kutak közt, H 1 K 1,H 1 K 2,H 1 K 3,H 2 K 1,H 2 K 2,H 2 K 3,H 3 K 1,H 3 K 2,H 3 K 3

6 Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. H 1,H 2,H 3,K 1,K 2,K 3 Tervezhető-e kilenc út a házak és kutak közt, H 1 K 1,H 1 K 2,H 1 K 3,H 2 K 1,H 2 K 2,H 2 K 3,H 3 K 1,H 3 K 2,H 3 K 3 hogy az utak csak közös végpontjukban találkozzanak?

7 Kezdeti észrevétel HA TERVEZHETŐ, AKKOR a bizonyítás egyszerű: fel kell mutatni egy tervrajzot

8 Kezdeti észrevétel HA TERVEZHETŐ, AKKOR a bizonyítás egyszerű: fel kell mutatni egy tervrajzot Csak rövid a bizonyítás! Hogy hogyan találjuk meg a tervrajzot, arról nem szóltunk.

9 Kezdeti észrevétel HA NEM TERVEZHETŐ, AKKOR A bizonyítás:???

10 Részfeladat Tervezzük meg a H 1 K 1,K 1 H 2,H 2 K 2,K 2 H 3,H 3 K 3,K 3 H 1 utakat.

11 Részfeladat Tervezzük meg a H 1 K 1,K 1 H 2,H 2 K 2,K 2 H 3,H 3 K 3,K 3 H 1 utakat. Vegyünk fel házakat/kutakat. Tervezzünk utakat.

12 Részfeladatmegoldása (folytatás) Tervezzük meg a H 1 K 1,K 1 H 2,H 2 K 2,K 2 H 3,H 3 K 3,K 3 H 1 utakat. Vegyünk fel házakat/kutakat. Tervezzünk utakat.

13 Részfeladat MÁSIK megoldása Egy másik jó tervrajz:

14 Lényeges (könnyen elhihető, nehezen bizonyítható) észrevétel Lényegében egyetlen megoldás van.

15 Lényeges (könnyen elhihető, nehezen bizonyítható) észrevétel Lényegében egyetlen megoldás van. Minden megoldás egyenértékű a következő STANDARD megoldással/lerajzolással:

16 Lényeges (könnyen elhihető, nehezen bizonyítható) észrevétel Lényegében egyetlen megoldás van. Minden megoldás egyenértékű a következő STANDARD megoldással/lerajzolással:

17 A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás.

18 A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás. INDIREKT bizonyítás.

19 A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás. INDIREKT bizonyítás. FELTEHETŐ, hogy a rész standard lerajzolásával kezdünk és próbáljuk a hiányzó három élt berajzolni.

20 A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás. INDIREKT bizonyítás. FELTEHETŐ, hogy a rész standard lerajzolásával kezdünk és próbáljuk a hiányzó három élt berajzolni. BELÜLre nem fér el két hiányzó él. KÍVÜLre sem.

21 A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás. INDIREKT bizonyítás. FELTEHETŐ, hogy a rész standard lerajzolásával kezdünk és próbáljuk a hiányzó három élt berajzolni. BELÜLre nem fér el két hiányzó él. KÍVÜLre sem. ELLENTMONDÁS.

22 A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz

23 A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf)

24 A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf) e = {u,v} olvasata: az u és v csúcsok szomszédosak e összeköti u-t és v-t u-nak v szomszédja u és v az e él két végpontja

25 A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf) e = {u,v} olvasata: az u és v csúcsok szomszédosak e összeköti u-t és v-t u-nak v szomszédja u és v az e él két végpontja Lerajzolás: csúcsok helyett pontok, élek helyett élgörbék

26 A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf) e = {u,v} olvasata: az u és v csúcsok szomszédosak e összeköti u-t és v-t u-nak v szomszédja u és v az e él két végpontja Lerajzolás: csúcsok helyett pontok, élek helyett élgörbék Szép lerajzolás: élgörbék nem metszik át egymást

27 A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf) e = {u,v} olvasata: az u és v csúcsok szomszédosak e összeköti u-t és v-t u-nak v szomszédja u és v az e él két végpontja Lerajzolás: csúcsok helyett pontok, élek helyett élgörbék Szép lerajzolás: élgörbék nem metszik át egymást Síkgráf: gráf, ami lerajzolható szépen

28 A gráfelmélet nyelve (folytatás) Kör egy gráfban: olyan része a gráfnak, ami lerajzolható úgy, hogy a megfelelő élgörbék egy egyszerű körvonallá olvadnak össze.

29 A gráfelmélet nyelve (folytatás) Kör egy gráfban: olyan része a gráfnak, ami lerajzolható úgy, hogy a megfelelő élgörbék egy egyszerű körvonallá olvadnak össze. Körgráf: egy kör és más semmi.

30 A gráfelmélet nyelve (folytatás) Kör egy gráfban: olyan része a gráfnak, ami lerajzolható úgy, hogy a megfelelő élgörbék egy egyszerű körvonallá olvadnak össze. Körgráf: egy kör és más semmi. Jelölés: C n (n pontú/élű gráf)

31 A gráfelmélet nyelve (folytatás) Jelölés: C n (n pontú/élű gráf)

32 Egy gráfelméleti tétel Euler tétele G egyszerű síkgráf. Ekkor E < 3 V.

33 Egy másik gráfelméleti tétel Fáry tétele (Fáry tétele) G egyszerű síkgráf. Ekkor G lerajzolható úgy is, hogy minden élgörbéje EGYENES SZAKASZ.

34 Conway-lerajzolás Definíció G egy lerajzolása Conway-lerajzolás, ha

35 Conway-lerajzolás Definíció G egy lerajzolása Conway-lerajzolás, ha összefutó élpárok élgörbéi nem talákoznak (csak a közös végpontjukban),

36 Conway-lerajzolás Definíció G egy lerajzolása Conway-lerajzolás, ha összefutó élpárok élgörbéi nem talákoznak (csak a közös végpontjukban), nem összefutó élpárok élgörbéi pontosan egyszer átmetszik egymást.

37 Conway-lerajzolás Definíció G egy lerajzolása Conway-lerajzolás, ha összefutó élpárok élgörbéi nem talákoznak (csak a közös végpontjukban), nem összefutó élpárok élgörbéi pontosan egyszer átmetszik egymást.

38 Gubancok Definíció G egyszerű gráf gubanc/thrackle, ha van Conway-lerajzolása.

39 Gubancok-e a körgráfok?

40 Gubancok-e a körgráfok? C 3 gubanc:

41 Gubancok-e a körgráfok? C 3 gubanc: C 5,C 7,C 9,C 11,... gubanc

42 Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) C 4

43 Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) C 4 NEM gubanc.

44 Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) C 4 NEM gubanc. C 6?

45 Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) C 4 NEM gubanc. C 6? IGEN.

46 Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) Tétel C l akkor és csak akkor gubanc, ha l NEM 4.

47 Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) Tétel C l akkor és csak akkor gubanc, ha l NEM 4. BIZONYÍTÁS:Ha C l gubanc akkor C l+2 is az:

48 Betoldás Egy G gráf és gubanc lerajzolása:

49 Betoldás (folyatás) A G gráf egy e élének (piros) kijelölése:

50 Betoldás (folyatás) e felosztása két új ponttal.

51 Betoldás (folyatás) A toldott gráf gubanc lerajzolása:

52 Ághajtás Egy G gráf és gubanc lerajzolása:

53 Ághajtás (folyatás) A G gráfból egy ág (piros e él) kihajtása:

54 Ághajtás (folytatás) Az ághajtott gráf gubanc lerajzolása:

55 Lovász László, Pach János, Szegedy Márió tétele A következő gráf nem gubanc.

56 Lovász László, Pach János, Szegedy Márió tétele A következő gráf nem gubanc. Meglepően nehéz.

57 Conway-sejtés Conway sejtése Legyen G egy gubanc. Ekkor E V.

58 Conway-sejtés Conway sejtése Legyen G egy gubanc. Ekkor E V. Miért gondolkozzak rajta?

59 Conway-sejtés Conway sejtése Legyen G egy gubanc. Ekkor E V. Miért gondolkozzak rajta? Első korrekt megoldó jutalma: 1000$ + világhír

60 Egyenes-gubancok Definíció Egy gubanc egyenes-gubanc, ha van olyan gubanc lerajzolása, ahol minden élgörbe egyenes.

61 Egyenes-gubancok Definíció Egy gubanc egyenes-gubanc, ha van olyan gubanc lerajzolása, ahol minden élgörbe egyenes. C 2l+1 egyenes-gubanc.

62 Egyenes-gubancok Definíció Egy gubanc egyenes-gubanc, ha van olyan gubanc lerajzolása, ahol minden élgörbe egyenes. C 2l+1 egyenes-gubanc. C 6 NEM egyenes-gubanc.

63 Egyenes-gubancokra igaz a Conway-sejtés Lemma Egy egyenes-gubanc minden legalább 3 fokú csúcsának van 1 fokú szomszédja.

64 Egyenes-gubancokra igaz a Conway-sejtés Lemma Egy egyenes-gubanc minden legalább 3 fokú csúcsának van 1 fokú szomszédja. Lemma átfogalmazva Egy egyenes-gubancban van 1 fokú csúcs vagy minden fokszám legfeljebb 2.

65 Egyenes-gubancokra igaz a Conway-sejtés Lemma Egy egyenes-gubanc minden legalább 3 fokú csúcsának van 1 fokú szomszédja. Lemma átfogalmazva Egy egyenes-gubancban van 1 fokú csúcs vagy minden fokszám legfeljebb 2. A SEJTÉS BIZONYÍTÁSA EGYENES GUBANCOKRA: Lemma alapján a pontszámra vonatkozó teljes indukció.

66 Legjobb felső becslés gubancok élszámára Tétel (Lovász László Pach János Szegedy Márió, G. Cairns Y. Nikolayevsky, R. Fulek Pach János) Ha G egy gubanc, akkor E V.

67 Hajrá Az 1000$-os díj még mindig érvényes.

68 Köszönöm a figyelmet.