A MATLAB R programcsomag alkalmazása valószínűségszámítási és statisztikai feladatokhoz. Tóth László

Átírás

1 A MATLAB R programcsomag alkalmazása valószínűségszámítási és statisztikai feladatokhoz Tóth László

2 MATLAB R bevezető 1.

3 MATLAB R bevezető 2. Mátrix létrehozása és invertálása: >> A=[1 2; 3 4] A = >> inv(a) ans = Tömb feltöltése: >> s1=[1:10] s1 =

4 Binomiális eloszlás számítása 2. Jelölje X egy p valószínűségű A esemény bekövetkezéseinek számát. Ekkor X eloszlása binomiális: ( ) n p k = P(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0, 1,..., n. k p k -t értékét adja meg binopdf(k,n,p) a függvény. BINOPDF - Binomial probability density function Az eloszlásfüggvény F (x) = p k, 0 k x < x < értékét binocdf(x,n,p) adja meg (Binomial cumulative distribution function)

5 Binomiális eloszlás számítása 1. Az eloszlásfüggvény F 1 (s) 0 s 1 inverze bioinv(s,n,p). A várható értéket és a szórásnégyzetet [kozep,variacia]=binostat(n,p) adja meg. Hasonló függvények léteznek a fontos diszkrét és folytonos eloszlásokra. geopdf(k,p), hygepdf(k,n,m,n), nbinpdf(k,r,p), poissonpdf(k,lampda), unidpdf(k,n) betapdf(x,a,b), unifpdf(x,a,b), evpdf(x,mu,sigma), lognpdf(x,mu,sigma), raylpdf(x,c), wblpdf(x,a,b)

6 1. Példa Egy gyárban egy minőségellenőr napi 400 terméket vizsgál meg. Tudjuk, hogy a termékek a (gyártástechnológiákól adódóan 1%-ban hibásak. Mi a valószínűsége, hogy az ellenőr egy adott nap egy hibásat sem talál? Binomiális eloszlás, n = 400, p = 0.01, k = 0 paraméterekkel! >> p=binopdf(0,400,0.01) p =

7 2. Példa Hány hibás termék találása a legvalószínűbb? Megvizsgáljuk k összes szóbajöhető értékét, és ezek közül kiválasztjuk a legnagyobb valószínűségűt, és kiolvassuk a hozzájuk tartozó k-t. >> hibasak=0:400; >> y = binopdf(hibasak,400,.01); >> [x,i]=max(y); >> db=hibasak(i) db = 4

8 3. Példa Ha egy focicsapat egy idényben 90 mérkőzést játszik, és bármelyiken 50% a nyerési esély, mi a valószínűsége, hogy 55-nál több mérkőzést nyer? >> p2=1-binocdf(55,90,0.5) p2 = Az esetek túlnyomó többségében (98%) milyen intervallumban mozog a nyert mérkőzések száma? >> i=binoinv([ ],90,0.5) i = 34 56

9 Részlet a dokumentációból 1.

10 Hipergeometriai eloszlás - 4. Példa Hipergeometriai eloszlás sűrűségfüggvénye: ( K )( M K ) x p(x = x) = N x ( M N) Kiszámítása: p=hygecdf(x,m,k,n) Van 80 külsőre egyforma merevlemezünk, melyek közül 25 hibás. Ha kiválasztunk 15 darabot, mi a valószínűsége, hogy 0..5 hibás lesz köztük? >> p=hygepdf(0:5,80,25,15) p =

11 Eloszlások ábrázolása - 5. példa Generáljunk 500 elemű mintát n = 20, p = 0.3 paraméterű binomiális eloszlásból (úgy, hogy annak a véletlen kísérlettel való definiálását használjuk)! Ábrázoljuk együtt az empirikus és az elméleti eloszlást! >> X=rand(20,500); >> y=sum(x<0.3);[n,z]=hist(y,0:20); >> figure,bar(0:20,binopdf(0:20,20,0.3)), hold on; >> plot(z,n./500, r* );

12 >> X=rand(20,500); >> y=sum(x<0.3);[n,z]=hist(y,0:20); >> figure,bar(0:20,binopdf(0:20,20,0.3)), hold on; >> plot(z,n./500, r* );

13 Normális eloszlás - 6. Példa A µ várható értékű, σ szórású normális eloszlású X sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 ) ( σ 2π exp (x µ)2 2σ 2, < x < Ezen f (x) előállítása: normpdf(x,mu,sigma). Azonos várható értékű, különböző szórású normális eloszások előállítása: figure; % azonos varhato erteku normalis plot(-4:0.05:4,normpdf(-4:0.05:4,0,0.7), r- );hold on; plot(-4:0.05:4,normpdf(-4:0.05:4,0,1), g-- );hold on; plot(-4:0.05:4,normpdf(-4:0.05:4,0,1.5), k- );

14 Részlet a dokumentációból 2.

15 figure; % azonos varhato erteku normalis plot(-4:0.05:4,normpdf(-4:0.05:4,0,0.7), r- );hold on; plot(-4:0.05:4,normpdf(-4:0.05:4,0,1), g-- );hold on; plot(-4:0.05:4,normpdf(-4:0.05:4,0,1.5), k- );

16 Empirikus jellemzők számítása mintákból Szokásos jellemzők: mean,median,var,std, átlag, medián, várható érték, szórásnégyzet range,skewness,kurtosis,cov terjedelem, ferdeség, lapultság, kovariancia További jellemzők: iqr : empirikus kvartilisek távolsága (25% és 75%-os kvartilisek távolsága) prctile(x,p) : az X empirikus p-kvantilise, azaz azon mintaelem, amelynél a mintaelemek éppen p%-a kisebb-egyenlő. trimmean(x,p) : olyan számtani közép, melyben a minta alsó és felső (p/2)%-át nem vesszük figyelembe. corrcoef : empirikus korrelációs mátrix

17 7. Példa Generáljunk 299 elemű mintát a [ 1, 1] intervallumon egyenletes, valamint a (0, 1/ 3) paraméterű normális eloszlásból! Ezek elméleti várható értékei és szórásai megegyeznek. Az empirikus jellemzők egy része csak kicsit fog eltérni, viszont a két minta függetlensége miatt kicsi korrelációt kell kapnunk x=unifrnd(-1,1,299,1); y=normrnd(0,1/(sqrt(3)),299,1); z=[x y]; kozep=mean(z), csonkakozep=trimmean(z,10), medi=median(z), mertanikozep=geomean(abs(z)), variancia=var(z), szoras=std(z), interkvar=iqr(z), terjedelem=range(z), m4=moment(z,4), lapultsag=kurtosis(z), ferdeseg=skewness(z), alkvantilis=prctile(z,5), felkvantilis=prctile(z,95), kovariancia=cov(z), korrelacio=corrcoef(z)

18 Számított empirikus jellemzők 1. kozep = medi = csonkakozep = mertanikozep = variancia = szoras = terjedelem = interkvar =

19 Számított empirikus jellemzők 2. m4 = lapultsag = ferdeseg = alkvantilis = felkvantilis = kovariancia = korrelacio =

20 8. Példa - Statisztikai próbák 1. Legyen x 100 elemű minta standard normális eloszlásból, és y 100 elemű minta egyenletes eloszlásból úgy, hogy az elméleti várható értékek, illetve szórások megegyezzenek. Vizsgálódjunk 95%-os szinten! Ellenőrizzük Wilcoxon-féle rangösszeg próbával, hogy x és y azonos eloszlásból származik-e! >> x=normrnd(0,1,100,1); m=mean(x), s=std(x); >> y=unifrnd(-sqrt(3),sqrt(3),100,1); >> [pranksum,hranksum]=ranksum(x,y,0.05) pranksum = hranksum = 0 Láthatjuk, hogy a próba nem tudta megkülönböztetni a két eloszlást (a próba főleg eltolásra érzékeny).

21 9. Példa - Statisztikai próbák 2. Ellenőrizzük u próbával, hogy a H 0 : E(x) = 0 hipotézis igaz-e? [hztest,sigztest,ciztest]=ztest(x,0,1,0.05) hztest = 0 sigztest = ciztest = Az u próba a hipotézist elfogadta.

22 Előző példa folytatása Ábrázoljuk az u statisztika, valamint az alsó és felső kritikus értékek elhelyezkedését. u1=norminv(0.975,0,1); a=u1:0.02:4; figure; plot(-4:0.02:4, normpdf(-4:0.02:4,0,1), k- ); hold on; fill([-u1 -a],[0 normpdf(-a)], c ); fill([u1 a], [0 normpdf(a)], c ); u=m*sqrt(50); plot(u,0:0.025:0.5, k* );

23 A besatírozott részek mutatják, hogy hová kéne esnie ahhoz az u statisztikának, hogy 0.05 szinten elvessük H 0 -at.

24 10. Példa - Statisztikai próbák 3. Generáljunk egy új z mintát normális eloszlásból, és ellenőrizük kétmintás t-próbával, hogy a H 0 : E(x) = E(z) igaz-e? [httest2,sigttest2,cittest2]=ttest2(x,z,0.05) httest2 = 0 sigttest2 = cittest2 =

25 Szórásanalízis - egyszeres ANOVA Három különböző takarmány hatását mérték 9,6, illetve 8 kísérleti állaton. Egyetlen tényezőként a takarmányt vizsgáljuk, aminek 3 szintje van. x=... [ ]; szam=... [ ]; Az x vektorban tároljuk a tömegnövekedéseket A szam vektorban adjuk meg. hogy melyik mintalelem hányas számú takarmányhoz tartozik.

26 szor=[1 1 1]; for i=1:3 szor(i)=var(x(szam==i)); figure, hist(x(szam==i),3); figure, normplot(x(szam==i)); end; p=anova1(x, szam); Eredményül a fenti szorzófelbontó táblát kapjuk A {Prob>F}=p=.0002 az jelenti, hogy elvetjük a takarmányok egyforma hatását.

27 Boxplot is keletkezik, a szintek eltérő hatása innen is látszik.

28 Főkomponens analízis Generáljunk 1000 elemű mintát kétdimenziós normális eloszlásból, és ábrázoljuk a két főkomponenst! m=1000; D2=[4 1; 1 2]; X2=mvnrnd(zeros(2,1),D2,m); [Fi2,Fk2,Saj2,Hott2]=princomp(X2); v=zeros(2,301); figure; axis([ ]); hold on; plot(x2(:,1),x2(:,2), c. );hold on; for i=1:2 for j=1:2 v(j,:)=(0:fi2(j,i)/100:3*fi2(j,i))*sqrt(saj2(i)); end plot(v(1,:),v(2,:), b- ); hold on; end;

29

30 Főkomponens analízis folytatás Generáljuk adott szórásmátrixú 3-dimenziós normális eloszlásból 150 elemű mintát! Becsüljük a főkomponenseket a mintából! Az [Fi,Fk,Saj,Hott]=princomp(X) az X minta mátrix főirányait (Fi), főkomponenseit (Fk), sajátértékeit (Saj), és a Hotelling-féle T 2 statisztikát adja meg. A [pc,var,exlp]=pcacov(d) a megadott D elméleti szórásmátrix esetén számítja ki a főirányokat, a szórás mátrix sajátértékeit, és azt, hogy az egyes főkomponensek a szórás hány százalékát magyarázzák. A k főkomponens levonása utáni maradékot a maradek=pcares(x,k) adja meg.

31 >> n=150; a1=[1-1 1] ; >> a1=a1./sqrt(3); a2=[1 0-1] ; a2=a2./sqrt(2); >> a3=[1 2 1] ; a3=a3./sqrt(6); A=[a1 a2 a3]; >> D=A*diag([ ])*A ; X=mvnrnd(zeros(3,1),D,n); >> [Fi,Fk,Saj,Hott]=princomp(X); >> maradek=pcares(x,2); >> [pc,var,expl]=pcacov(d); Az eredményül kapott főirányok és sajátértékek: >> Fi = >> Saj =

32 pc = var = expl =

33 Irodalom MATLAB - Frissített kiadás Numerikus módszerek, grafika, statisztika, eszköztárak Stoyan Gisbert (szerk.) TypoTeX 2005, Alkalmazott matematika sorozat Statistical Analysis Techniques in Particle Physics: Fits, Density Estimation, and Supervised Learning Narsky / Porter Wiley-VCH Verlag GmbH, 2013 Probability, Statistics, and Random Processes for Engineers, 4e Stark / Woods Pearson Education Inc, 2012 Nonparametric Statistics with Applications to Science and Engineering Kvam / Vidakovic John Wiley & Sons, Inc. 2007

34 Köszönöm a figyelmet!