3. Az ítéletlogika szemantikája
|
|
- Ede Szilágyi
- 2 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 3. Az ítéletlogika szemantikája (4.2) 3.1 Formula és jelentése minden ítéletváltozó ( V v ) ha A JFF akkor A JFF ha A,B JFF akkor (A B) JFF minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával. Egyszerű állítás Összetett állítás interpretáció { i, h } { i, h } Boole-értékelés Formula jelentése mindig igazságérték! 3.2 Formula változószáma Formulában szereplő ítéletváltozók száma 3.3 Formula bázisa Ítéletváltozók halmazának egy rögzített sorrendje. 3.4 Interpretáció I: V v { i, h } 3.5 L0-beli formulák I interpretációbeli Boole-értékelése B I : L0 {i,h} függvény: 1. ha A prímformula, akkor BI(A) legyen I(A) 2. BI( A) legyen BI(A) 3. BI(A B) legyen BI(A) BI(B) stb.
2 3.6 Egy adott bázishoz tartozó összes interpretáció megadásának módjai a) szemantikus fa b) igazságtábla Szemantikus fa Legyenek X 1, X 2,, X n logikai változók. Az X 1, X 2,, X n összes interpretációját tartalmazó bináris teljes szemantikus fa, egy olyan n szintű bináris fa, melyben a szintek és a logikai változók közt 1-1 egyértelmű megfeleltetés van. Teljes fa: a fa az összes lehetséges leképezést tartalmazza. Bináris fa: a fa mindig 2-felé ágazik. Az X i -hez rendelt szinten az élpárokban az egyik élhez X i, a másikhoz X i címkét írunk. Egy ág egy interpretáció. Példa: Írjunk az A B C A formulához tartozó szemantikus fát! G A A A 1 A 2 B B B B B 1 B 2 B 3 B 4 C C C C C C C C C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 (1) Alaptípus Igazságtábla Egy n változós formula igazságtáblája egy olyan n+1 oszlopból és 2 n sorból álló táblázat, melynek elemei igazságértékek: 1-n-ig az i. oszlop fejlécében a formula i. bázisváltozója van az (n+1). oszlopban maga a formula van az egyes sorok az összes lehetséges interpretáció szisztematikus felsorolását tartalmazzák az (n+1). oszlop a formula Boole-értékét tartalmazza. (2) Kiterjesztett igazságtábla Olyan igazságtábla, mely ki vannak bővítve az egyes részformuláknak megfelelő oszlopokkal. Példa: A ( B C) A B C B B C A ( B C) i i i h i i i i h h h h
3 i h i i i i i h h i i i h i i h i i h i h h h i h h i i i i h h h i i i (3) Kiterjesztett egyszerűen A kiterjesztett igazságtábla egy olyan egyszerűsítése, melyben csak az egyes logikai jeleknek ill. ítélet változóknak megfelelő oszlopok vannak, és minden logikai jel alá a hatáskörébe tartozó részformula igazság értéke kerül bejegyzésre (ahol ő a fő logikai összekötő jel). Példa: A ( B C) A ( B C) i i h i i i i i h i i I. MOHÓ kiértékelési mód - mechanikusan II. LUSTA kiértékelési mód - egyes dolgokat felesleges kiértékelni - ha C igaz, akkor B-t nem kell kiértékelni - ha A hamis, akkor az implikáció mindig igaz. ig 2. csoport 3.7 Formula igazságtáblájának értelmezése b: { i, h } n { i, h } b igaz halmaza ( A i ) -{ i, h } n azon részhalmaza, melyhez b az igaz értéket rendeli. b hamis halmaza - { i, h } n azon részhalmaza, melyhez b a hamis értéket rendeli. Példa: A ( B C) A i = { (i,i,i);(i,h,i);(i,h,h);(h,i,i);(h,i,h);(h,h,i);(h,h,h) } A h = { (i,i,h) } A 2 halmaz diszjunkt! Házi feladat: Írd fel a következő formulák igazságtábláját és i/h halmazát! (1) ((A B) B) A (2) (A B) A D
4 3.8 Az igazságértékelés függvény A i : A A i A h : A A h A i / A h megadása a gyakorlatban az igazságértékelés fával történik. Az igazságérétkelés fát a szerkezeti fa segítségével állítjuk elő: gyökér: a formula maga és i/h halmaz keresése gyerekek: a formula közvetlen részformulái a következő formában. a) ( A) i b) ( A) h a) (A B) i b) (A B) h A h A i A i A h B h a) (A B) i b) (A B) h B i a) (A B) i b) (A B) h A i B i A h A h B i A i B h B h Megjegyzés: léteznek ellentmondásos ágak és fák is! Példa: Határozzuk meg az X Y Z X formula jelentését igazságértékeléssel! (X Y Z X) i (X) h (Y Z X) i A i X Y Z (Y Z) i (Y) i ( X) i (X) h h i i h - -
5 (Z) i (X Y Z X) h (X) i A h (Y Z X) h (Y Z) h X Y Z i h - i - h ( X) h (Y) h (Z) h (X) i (X) i Házi feladat: Adjuk meg szerkezeti fa (igazságértékelés fa) segítségével ((P Q) (P (Q P))) h (azaz a formula hamis feltételét) ( (P (Q P)) (P R)) h (azaz a formula hamis feltételét)
6 4. Ítéletlogikai törvények (4.3) 4.1 Tautológia, kielégíthetőség, kielégíthetetlenség Legyen I: L o egy interpretációja, A egy L o beli formula. I kielégíti A-t (I = o A), ha B I (A)=igaz I modellje A-nak, ha B I (A)=igaz A kielégíthető: ha L o -nak van olyan I interpretációja, melyre I = o A. kielégíthetetlen: ha A-nak nincs modellje. tautológia: - ha L o minden I interpretációjára I = o A. - ha A kielégíthetetlen. 1) Kielégíthetőség eldöntése: a. igazságtáblával Ha van olyan sor A igazságtáblájában, ahol a Boole-értéke i. b. igazságértékelés fával Ha A i nem üres, azaz (A) i fában nem minden ág ellentmondásos. 2) Kielégíthetetlenség eldöntése: a. igazságtáblával Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke h. b. igazságértékelés fával Ha (A) i fában minden ág ellentmondásos, tehát A i üres. 3) Tautológia tulajdonság eldöntése: a. igazságtáblával Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke i. b. igazságértékelés fával Ha (A) h fa minden ága ellentmondásos, tehát A h üres. Házi feladat: Igazolja, hogy az alábbi formula kielégíthető: A=((P Q) (Q P)) - igazságtáblával - igazságértékelés fával Ha kielégíthető, akkor adjon meg egy a formulát kielégítő interpretációt! 4.2 igazságkiértékelés Jelentése: egy formulában szereplő ítéletváltozók rögzített -igazságkiértékelése mellett keressük a formula helyettesítési értékét. Jelölések: kielégíti A-t: = o A A kielégíthető : = o A A azonosan igaz : = o A A kielégíthetetlen: nem létezik, hogy = o A
7 Példa: (X Y Z X) i fa alapján döntsük el, hogy a formula helyettesítési értéke a = ( h, i, i ) igazságkiértékelés esetében az ( X, Y, Z ) bázist használva mi lesz. (A) i A i (X) h (Y Z X) i X Y Z h - - (Y Z) i (Y) i (Z) i ( X) i (X) h - i i h - - Mivel A i -ben van illeszkedő ág, így az A formula helyettesítési értéke a megadott helyen: igaz.
8 4.3 Formulahalmazok Egy = { F 1,..., F n } formulahalmaz kielégíthető: ha van L o -beli I /, hogy I = o { F 1,..., F n }, tehát I = o F 1 és... és I = o F n. I modellje a formulahalmaznak, ha I kielégíti -t. kielégíthetetlen: ha -nak nincs modellje. TÉTEL: Bármely I-re I = o { F 1,..., F n } I = o F 1... F n. Példa: Bizonyítsuk be, hogy a = { A B, A B} formulahalmaz kielégíthető! a) igazságtáblával: van olyan sor, ahol minden formulája igaz. A B A B A B i i i i i h i h h i i i h h h i b) igazságértékeléssel: ((A B) (A B)) i nem minden ága ellentmondásos. ((A B) (A B)) i (A B) i (A B) i (A) i (B) i (A) h (B) i (A) h (B) i Házi feladat: Bizonyítsuk be, hogy = { P Q, P Q } formulahalmaz kielégíthetetlen, és a = { Q Q, R (R Q) } formulahalmaz azonosan igaz.
9 4.4 Kielégíthetőségi tulajdonságok kapcsolata 4.5 Nevezetes Ítéletlogikai törvények
10
11 4.6 Tautológikusan ekvivalens formulák
12
13 1. Szemantikus következményfogalom Definíció:Tautológikus következmény ( formula hamaznak a B formula ): = o B, ha I: I = o, akkor I = o B ( vagyis minden modellje B-nek is modellje ). Speciális esetek: - B tautológia: -nak következménye B - kielégíthetetlen: nem beszélünk következmény fogalomról.
14
15 Lemma 1: I: I = o { A 1,..., A n } I = o A 1... A n Lemma 2: { A 1,..., A n } = o B A 1... A n B kielégíthetetlen 5.1 Helyes Következtetési formák Def.: Az ( { A 1,..., A n }, B ) helyes következtetési forma, ha { A 1,..., A n } kielégíthető és { A 1,..., A n } tautológikus következménye B.
16 Példa: Bizonyítsuk be, hogy az ( { A B, A }, B ) helyes következtetési forma! a) igazságtábla: van = (A B) A-t kielégítő sor ( Lemma 1 ). A B A B A - B következmény i i i i i * I i h h i h h h i i h h I h h i h h h b) lusta kiértékelés A feltételformula I(A)=i Mivel A B feltételformula és I(A)=i I(B)=i, tehát van -t kielégítő interpretáció. És B következmény, hiszen minden -t kielégítő I-re: I(B)=i. c) igazságértékelés: van -t kielégítő interpretáció és B következmény, tehát helyes a következtetési forma. ((A B) A) i (A B) i (A) i (A) h x (B) i
17 5.2 Visszafele következtetés Lemma 2: { A1,..., An } =o B A1... An B kielégíthetetlen
18 5.3 Előre Következtetés Legszűkebb következmény:
19
20 Hf.: Tk. 85. o feladat a), b) MÓDSZER( def. ) - igazságtábla ( Tk. 77. old. ) - lusta kiértékelés ( Tk. 77. old. ) - igazságértékelés ( Tk. 78. old. ) VISSZAKÖVETKEZTETÉS 1) def. szerint a. igazságtábla b. lusta kiértékelés c. igazságértékelés 2) tétel szerint ( Lemma 2 ) a. igazságtábla ( Tk. 83. old. ) b. lusta kiértékelés ( Tk. 83. old. ) c. igazságértékelés ( Tk. 84. old. ) ELŐREKÖVETKEZTETÉS( tétel ) - igazságtábla ( Tk. 85. old. ) - lusta kiértékelés ( Tk. 85. old. ) - igazságértékelés
21
Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1
2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz
ö ö ü ü ű ö Í ö ö ö ű Í ü ű ö ö ö ü ű ö ö ö ö ö Í ű ű ü ü Ó ű ö ö É ü ö ö ö ü ü É ö ü ö Á ü Á ű ü ű ű ű ű Í ÍÁ ü ö ö ö ü ü ü É ü ü Á ö ü ü ö ö ű ü ö ü ü ü ö ü ü ü ö ü ü ü ö ö ü ű ö ű ü ö ü ü ö ű ü Í ü
Í ű Á Á ű ü ü ü ű Í ü ü ü ü Í ű ű ü ü ű ü ü ű ü Í Í É Á Á Á É Á Ö Á Á Á ü É Ó Á Á Á Á É É Á ű É É Á ű ű Á Í Á Í É Á Á Á Á Á Á Ó Á ű ű ü ű ű ű ű ű ü ű Ó ü ű ü ü ű ü ű Í Í ü ű ü ü ü ü ü ű ü ű ü ü ü ü ü ű
ó ö ó Í Í Ó Í Á Í Í Í Ó Ú ó Í Ó ó Ó ó Í Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ó Á Ó Ó ó ö ó Ú Í Í Ó Ó Ó Í Ó Ú É Í Í Í Ú Ó ő Í Í Ó Ó Ú Ó Ó ó Í ó Á Ó Ó Ó ó ó Í Ó Ó Ó Ó Ó Í Ú Í Í É ö Ó Ó Í Ó Ú Ó Ú Ó Ö Í Í Ú Ó Ó ó Ű Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó
Logika és számításelmélet. 2011/11 11
(Logika rész) Logika és számításelmélet. 2011/11 11 1. előadás 1. Bevezető rész Logika (és a matematikai logika) tárgya Logika (és a matematikai logika) tárgya az emberi gondolkodás vizsgálata. A gondolkodás
Matematikai logika. Nagy Károly 2009
Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű
A matematika alapjai. Nagy Károly 2014
A matematika alapjai előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen
Véletlenített algoritmusok. 4. előadás
Véletlenített algoritmusok 4. előadás Tartalomjegyzék: elfoglalási probléma, születésnap probléma, kupongyűjtő probléma, stabil házassági feladat, Chernoff korlát (példák), forgalomirányítási probléma.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését
Bizonytalanság Valószín ség Bayes szabály. Bizonytalanság. November 5, 2009. Bizonytalanság
November 5, 2009 i következtetés Legyen az A t akció az, hogy t perccel a repül gép indulása el tt indulunk otthonról. Kérdés, hogy A t végrehajtásával kiérünk-e id ben? Problemák: 1. hiányos ismeret (utak
Válasz Szőnyi Tamásnak az Optimális térlefedő kódok kutatása című doktori értekezés opponensi bírálatára
Válasz Szőnyi Tamásnak az Optimális térlefedő kódok kutatása című doktori értekezés opponensi bírálatára Mindenekelőtt szeretném megköszönni Szőnyi Tamásnak, az MTA doktorának a támogató véleményét. Kérdést
A logikai következmény
Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.
FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +
Matematikai logika Arisztotelész Organon logika feladata Leibniz Boole De Morgan Frege dedukció indukció kijelentésnek
Matematikai logika A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezd dött. Maga a logika szó is görög eredet, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Kialakulása ahhoz köthet, hogy már
Mesterséges intelligencia 1 előadások
VÁRTERÉSZ MAGDA Mesterséges intelligencia 1 előadások 2006/07-es tanév Tartalomjegyzék 1. A problémareprezentáció 4 1.1. Az állapottér-reprezentáció.................................................. 5
Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés
Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a
Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin
Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad
Logika nyelvészeknek, 11. óra A kvantifikáció kezelése a klasszikus és az általánosított kvantifikációelméletben
Logika nyelvészeknek, 11. óra A kvantifikáció kezelése a klasszikus és az általánosított kvantifikációelméletben I. A kvantifikáció a klasszikus Frege-féle kvantifikációelméletben A kvantifikáció klasszikus
Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
Ü űá É Í ő Ö Ö Ü ú Ú Ó í ű Ó ű Ó Ó ú Ú Ü Ő í Ó Ó ő Ó Ö Ó Ü ő ű Ó ö í ú í Ü Ő ú Ó Ó Á Ú ú Í Ü ö í ö ö Ö ú ú í í í í ö í ú ú Ú Ú í Í ö ö ö ő ú ö í Ö ú ú ű í ő ő ő ő í ő ö í Í í í ö í ú í ö í í í ö ő ö í
Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László
MATEMATIKAI LOGIKA A gondolkodás tudománya Diszkrét matematika Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey,
ü Á Ú Á Á Ü Á Á ú ú ü ú ű Á Ö Ö Ü Ó Í Í Ó Á Á Á Á Á Á ü ű ú ú ü ú ú ű ú Í ú ú ű Ó Í ü ú ü ű ü Í Í ú Í Í ű Í Ö ü ű ü Í Í ú ú ű ü ú Í ü Í ú ú ű ü Á Ü Á Á Ü ű Á ü ű ú ü ú Á ü ü ű ú Ü Ü ü ü ú ű ú Á ű ÍÁ ü
ú É ú ü ú ü ü ú ú ú Í ü ü ü Í ű ü ü ü ü ü ü ü ű ű ü ü ü Í ű ü ú ü ü ú ú ú É Á Á É Á Ő Á Á Á Á É ü Á É ú ú Ó É É Á Í Á ú ü Ó Á Á ú ü ü Á É Á Ó ú ü ú Í ú ú ú ű Í Í ű ú ú ú Í ü Í ü ü ű ú ú ű Í ü ú ú Í ú ú
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László.
MATEMATIKAI A gondolkodás tudománya Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey, Tarski, Ramsey, Russel,
I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
Á Á É ö Ö í í í í ú ü ü í ö ú í ö í ö ö í Á ú ö í í ú í Í í ö ü í í í ö ö ö í ö ű ú ű ú ö ü ö ö ö ö í Ó í ö ö ö ö ö í í ü í ö í í ü ü í ö í í í ö ü í í í í ü ú í í í í íí ü É í ö í ö É ű í ü É í í ű Ü
Mérési sorozatok tanulságai
Kovács Tibor - Reményi Tibor Mérési sorozatok tanulságai A cikkben olyan valós eszközökkel ténylegesen végrehajtott mérési sorozatokat mutatunk be, amelyek arra szolgálhatnak, hogy helyesen vegyük fel
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
EGY ÖTLET. A Venn-diagram és a logikai szita alkalmazásai
XXII/1 2. szám, 2014. máj. EGY ÖTLET A Venn-diagram és a logikai szita alkalmazásai Tuzson Zoltán Az ábráknak nemcsak a geometriában van fontos szerepük, hanem a legkülönbözőbb feladatok megoldásában is
ó Á á á ő Á Í ő Á ő á ő ő Á ó Í í Í Í Á ő Í Í Ö ó á Ü é ő á ö á é ő ő í á í Ö á á Ú í á ő á á á á ü é ó á á ú í ó é é é á í á á ü ö ö á á á á é ö á ő á á ő á á ú é ö á ú ú é ö á ú ú é ö á ú ú á
Programozás I. Metódusok C#-ban Egyszerű programozási tételek. Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu
Programozás I. 3. előadás Tömbök a C#-ban Metódusok C#-ban Egyszerű programozási tételek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Szoftvertechnológia
Programozás nyelvek a közoktatásban 2. előadás
Programozás nyelvek a közoktatásban 2. előadás Prolog feladattípusok Ha valamiből csak egy megoldás kell: egy_szülő(x) ha szülő(x) és!. Ha valamiből az összes megoldás kell: összes_szülő ha szülő(a) és
Geometriai axiómarendszerek és modellek
Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Halmazok
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!
Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk
Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések
Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.
Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
PROGRAMOZÁS MÓDSZERTANI ALAPJAI I. TÉTELEK ÉS DEFINÍCIÓK
PROGRAMOZÁS MÓDSZERTANI ALAPJAI I. TÉTELEK ÉS DEFINÍCIÓK Szerkesztette: Bókay Csongor 2012 tavaszi félév Az esetleges hibákat kérlek a csongor@csongorbokay.com címen jelezd! Utolsó módosítás: 2012. június
Adatok szűrése, rendezése
Adatok szűrése, rendezése Célkitűzések Szűrést kifejező lekérdezések végrehajtása A lekérdezés eredményének rendezése &változó használata isql*plus-ban futási időben megadható feltételek céljából A lista
ő ő ű í ú ő ü ö Í ü ÍÜ ő ú Ü í Á Á Á ÍÉ í ő ü í Ü ö Í í ő ö ő ű í ú Á Á ő Ü ű í Í ö Ö Ö Í í Á í ö í ö Ü ö ö É Í í íí ö Éí Í Í Ó í ő Í ö Ú Ú ö ö ú ö Í Á ö ö ő ö Í ő ű í ö ú Á Á Í Ü ÍíÍ í ő É í í í Ú ú í
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
AZ ÚJGENERÁCIÓS TANKÖNYVEK
A Nemzeti Alaptantervhez illeszkedő tankönyv-, taneszköz-, és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése TÁMOP-3.1.2-B/13-2013-0001 AZ ÚJGENERÁCIÓS TANKÖNYVEK Kojanitz László szakmai vezető A projekt célja
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag
Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 15 18 év összeszámolási módszerek (permutáció, variáció, kombináció) sorozatok rekurzív megadása
Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra
Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató
Induktív következtetés. Deduktív következtetés. Induktív és deduktív következtetések. Induktív és deduktív következtetések 02/03/2015
(1) Daninak jövőre a szociológiát vagy az antropológiát kell felvennie. Mivel (2) mindig a lazábbat választja, és (3) a szociológia jövőre laza lesz, mert (4) dr. Laza adja elő, (5) nem kétséges, melyiket
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint
COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET
COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET 5. osztály 2015/2016. tanév Készítette: Tóth Mária 1 Tananyagbeosztás Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Témakörök:
Juhász Tibor. Lineáris algebra
Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY Heti 4 óra Évi 148 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató 1 / 5 I. Az általános iskolai ismeretek ismétlése 1. óra: Műveletek
2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok
Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer
BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI. Takács Viola
BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI Takács Viola Iskolakultúra könyvek 20. Sorozatszerkesztõ: Géczi János Szerkesztõ: Sz. Molnár Szilvia BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI TAKÁCS VIOLA iskolakultúra
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Í Í Í Í Ó Í Í Í Í É Í Ú ű É Á ű ű Ú É ű ű ű É Í É Á Í Í Ő Á É Ú ű Í Í ű Í Á Í Ü Á Á Í Í Í Í Í ű Í ű Ü Í ű ű É Á É Ú Á Ö Í Á ű ű Á É É Í Í Í Í ű É ű ű Á ű ű É É É ű Ü Í É Í ű Á É É Í Í Í ű Ö Ö Í Á É Í Ü
Contents. 1 Bevezetés 11
2 Contents I Fogalmi háttér 9 1 Bevezetés 11 2 Mesterséges Intelligencia háttér 15 2.1 Intelligencia és intelligens viselkedés............ 15 2.2 Turing teszt......................... 16 2.3 Az emberi
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Sallai Gyöngyi 2011. február 15. 1. Eldöntő Turing-gépek Emlékeztető. L Σ nyelv pontosan
Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ
MIKROÖKONÓMI I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. PREFERENCIÁK, HSZNOSSÁG 2. RÉSZ Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június tananyagot
Név:... Kód:... 1. LEVÉL INFORMATIKA TEHETSÉGGONDOZÁS 2011
Név:... Kód:... Szeretettel üdvözlünk Benneteket abból az alkalomból, hogy az informatika tehetséggondozás első levelét olvassátok. A tehetséggondozással az a célunk, hogy egy kicsit megmutassuk, hogy
JOGSZABÁLY. LI. ÉVFOLYAM, 15. SZÁM Ára: 693 Ft 2007. JÚNIUS 5. TARTALOM. 1. (1) A rendelet hatálya fenntartótól függetlenül
LI. ÉVFOLYAM, 15. SZÁM Ára: 693 Ft 2007. JÚNIUS 5. oldal JOGSZABÁLY 24/2007. (IV. 2.) OKM rendelet a közoktatás minõségbiztosításáról és minõségfejlesztésérõl szóló 3/2002. (II. 15.) OM rendelet módosításáról...
Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas
Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László
Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.
Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A
Virtualizációs Technológiák Bevezetés Kovács Ákos Forrás, BME-VIK Virtualizációs technológiák https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/vimiav89/
Virtualizációs Technológiák Bevezetés Kovács Ákos Forrás, BME-VIK Virtualizációs technológiák https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/vimiav89/ Mi is az a Virtualizáció? Az erőforrások elvonatkoztatása az
MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei: PLM3309
PREŞCOLAR (ÎN LIMBA MAGHIARĂ, LA SATU MARE) EXTENSIA UNIVERSITARĂ: SATU MARE ANUL UNIVERSITAR: 2015/2016 SEMESTRUL: I. MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei:
10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M
10. É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T 2 0 0 6 példaválaszokkal Hány órából áll egy hét? Válasz: A feleletválasztós
Információelmélet Szemináriumi gyakorlatok
Információelmélet Szemináriumi gyakorlatok. feladat. Adott az alábbi diszkrét valószínűségi változó: ( ) a b c d X = Számítsuk ki az entróiáját: H(X ) =?. feladat. Adott az alábbi diszkrét valószínűségi
Űrlap önkormányzati támogatás elszámolásához
Űrlap önkormányzati támogatás elszámolásához szociális, egészségügyi ellátást, illetve foglalkoztatást végző szervezetek támogatása Csak a vastag keretben lévő rovatokat kérjük kitölteni! Támogatott szervezet
MATEMATIKAI PARADOXONOK
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR MATEMATIKAI PARADOXONOK BSc MATEMATIKA SZAKDOLGOZAT TANÁRI SZAKIRÁNY Készítette: Hajnal Anna Témavezető: Korándi József BUDAPEST, 2015 Tartalomjegyzék
A szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
Csatorna: Jelölések:... 2 Megjegyzés:... 2 műveletei:... 2 Tulajdonságai: split: Definíció:... 4 Létezik-e split?... 4 MUX...
Tartalom Csatorna:... 2 Jelölések:... 2 Megjegyzés:... 2 műveletei:... 2 Tulajdonságai:... 3 split:... 4 Definíció:... 4 Létezik-e split?... 4 MUX... 4 Feltételek:... 4 Program specifikáció:... 5 Program:...
Útmutató a szakdolgozat megírásához
Semmelweis Egyetem Egyetemi Gyógyszertár Gyógyszerügyi Szervezési Intézet Útmutató a szakdolgozat megírásához A Gyógyszertárvezetés, -üzemeltetés, a Kórházi-klinikai szakgyógyszerészet, a Gyógyszerészi
Szakmai zárójelentés
Szakmai zárójelentés A csoporttechnológia (Group Technology = GT) elvi és módszertani alapjaihoz, valamint a kapcsolódó módszerek informatikai alkalmazásaihoz kötődő kutatómunkával a Miskolci Egyetem Alkalmazott
A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006
A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány
Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus
Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
Erd os-szekeres-t ıpus u t etelek konvex lemezekre
Erdős-Szekeres-típusú tételek konvex lemezekre Fejes Tóth Gábor, Rényi Intézet f(n) a legkisebb természetes szám, amelyre teljesül, hogy bármely f(n) általános helyzetű pont között a síkon van n, amelyek
1. Lineáris leképezések
Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2
Mesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Valószínűségi hálók - alapok Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade A szükséges
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
Halmazok-előadás vázlat
Halmazok-előadás vázlat Naiv halmazelmélet:. Mi a halmaz? Mit jelent, hogy valami eleme a halmaznak? Igaz-e, hogy a halmaz elemei valamilyen kapcsolatban állnak egymással? Jelölés: a A azt jelenti, hogy
II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }
II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa
I/A. Az alkalmazottak adatai
A 2011. évi CCIV. törvény 3. melléklete alapján I. A felsőoktatási intézményekben nyilvántartott és kezelt személyes és különleges adatok I/A. Az alkalmazottak adatai a) név, nem, születési név, születési
1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik
1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van
ő í í ü í ö ú í ö ú ö í ú ő í Ó ő ü í Í ö ö Í í í í í Í í ű ő ö í ő ö ö íá í íí í ő ö ő Í ö Ó ö ö ü ö ö ö ő É í í Í ő ő ő ő ő ő ő ő ö ú ő ú ú ő ö ö ú ú ö ú í ő Ó ö ő Í í ü í ö ú ő ö ő ú ő í ő ö ü Í í ö
Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás
Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 8. PROGRAM
Fejlesztési követelmények, kompetenciák
1. témakör: Év eleji ismétlés Szept. 1. hét 1. Ismétlés Számok és műveletek 0 20-ig 2. hét Ismétlés Számok és műveletek 0 20-ig 3. Ismétlés Számok és műveletek 0 20-ig Ismerkedés a tankönyvvel, a feladatgyűjteménnyel,
Készítette: Fegyverneki Sándor. Miskolci Egyetem, 2002.
INFORMÁCIÓELMÉLET Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2002. i TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés 2. Az információmennyiség 6 3. Az I-divergencia 3 3. Információ és bizonytalanság
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Tómács Tibor. Matematikai statisztika
Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly
Í Á É ö Ö Í í ö ű ú Í í í ó Ö í ü ö ö ó ú í ó ó Á í í ö í í ó í ú í Á ó ó ö ö ó ö ö í ó í ó ö ö ö í í ö ü ú í ó ö í í ö í ü ú í ö ö ö ü ű ö í ö ó í ó í ó ó í ö ó Í í ö ö ó í í ó í ü í ö ó í ö ü ü ö ö í
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.
Időtervek: III./2. Hálóterv (CPM) időelemzése
Faicsiné Adorján Edit Időtervek: III./2. Hálóterv (CPM) időelemzése A követelménymodul megnevezése: Építőipari kivitelezés tervezése A követelménymodul száma: 0688-06 A tartalomelem azonosító száma és