Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE"

Átírás

1 Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

2 Szerzõk: IRÓNÉ FÜLE ZSUZSANNA középiskolai tanár DR. SZEDERKÉNYI ANTALNÉ ny. gyakorlóiskolai vezetõtanár

3 Tartalom. TERMÉSZETES SZÁMOK, RACIONÁLIS SZÁMOK.... ALGERAI KIFEJEZÉSEK EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK.... SÍKGEOMETRIA I HALMAZOK, KOMINATORIKA LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK SÍKGEOMETRIA II STATISZTIKA, VALÓSZÍNÛSÉG TÉRGEOMETRIA... 8

4 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Természetes számok, racionális számok. A racionális számok alakjai. a) = : = 0, b) = : = 0, - c) = µ : = µ0, d) 7 = = 7 : 7», e) = µ0 : 8 = µ, f) - = - = µ : 8 = µ, g) = : 0 = 0, h) = µ : 8 = µ0, 0 8. a) 0, = = 0 b) c), = = 00 0 d) e) -, = - = - f) 0 0, = = 000 8, = + 0, = + = - 0, = - = - 00 g) 9, = + 09, = + 9 0, = + 9 = + = 9 h) 87 -, 87 = - = a) b), c) - d), 9. a) igaz b) igaz c) igaz d) hamis e) igaz. a) µ ª < 0 b) 0 < ª c) ª < µ d) ª >. a) 0,7 > b) 0,9 < d) - > µ0, 7. a), ; = =, ; =, ;, növekvõ sorrend:, <, <, eredeti számokkal:, < <, =, =, 0 b) 0, ; = 0, ; = 0, ; 0, növekvõ sorrend: 0, < 0, < 0, < 0, eredeti számokkal: 0, < < < 0, 0,. 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7

5 c) -0, ; - = -0, ; - = -0, ; -0, növekvõ sorrend: - 0, < - 0, < - 0, < -0, eredeti számokkal: - 0, < - < - < -0, 0,. 0,7 0, 0, 0, 0, 0, 0 d) - -, ; = - = -, ; - = -, ; -, növekvõ sorrend: µ, < µ, < µ, eredeti számokkal: -, = - < - < -, =,, 0 e) - 0, ; = 0, ; - = -0, ; -0, növekvõ sorrend: - 0, < - 0, < - 0, < 0, 0,. 0, 0, 0, 0 0, 0, eredeti számokkal: - 0, < - < - 0, < f), ; - = - = -, ; =, ; -, növekvõ sorrend: µ, < µ, <, <, eredeti számokkal: - < -, <, <,, =, 0 8. = 0, es számjegy a tizedes vesszõ után a harmadik, kilencedik, tizenötödik... helyen áll. 9. a) -es számjegy b) -es számjegy c) 8-as számjegy 0. a) -as b) 7-es c) 8-as d) -es. Anna: óra =, óra; ori: óra = 0,8 óra; Kati: 8 perc =, óra; 8 Eszter: óra =, óra A célbaérés sorrendje: ori Anna Eszter Kati. a) 9 ; = b) 7 ; =

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) ; = 0. G (0; ) H (µ; 0) I (0; µ) J (8; 0). A tört értéke akkor lesz a legnagyobb, ha a számkártyákból a számlálóba a lehetõ legnagyobb, a nevezõbe a lehetõ legkisebb számot rakják. A tört értéke akkor lesz a legkisebb, ha a számlálóba kerül a lehetõ legkisebb, a nevezõbe a lehetõ legnagyobb kétjegyû szám kerül. Rejtvény: Legnagyobb: : ( : : : : : 7 : 8 : 9) = 9070 Legkisebb: ( : : : : : : 7 : 8) : 9 = 0, Mûveletek racionális számokkal. a) b) µ ( µ ) = µ (µ) = µ (µ) = 9 c) d) e) Ê ˆ Ë = + -, - ( - 9) =, - =, -, = Ê ˆ Ë = - Ê + ˆ Ë = - = - = - = - = - Ê ˆ + 0 Ë = + Ê - ˆ Ë = + Ê 0 - ˆ, Ë 0 = = + 0 Ê ˆ - Á = - 0 = 0 Ë 7 = + Ê ˆ - 7 Á = + (- ) = - Ë f). a) b) c) d) - Ê ˆ + + Ë + = - Ê Ë + ˆ + = = = - 9 Ê ˆ Ë = = 0 Ê ˆ Ë = = 0 Ê ˆ Ë = , Ê Ë =- 0 ˆ = - = - = - = - = - 9

7 e) f). a) b) (- Ê ˆ ) - ( ) Ë - = - Ê Ë - ˆ - = Ê Ë - ˆ - = Ê Ë - Ê Ë - 0 0, ˆ Ê Ë, - ˆ 0 = Ê - ˆ Ë 0 Ê 0 - ˆ Ë 0 = Ê Ë0 - ˆ = - + = ( - ) ( ) ( ) + =- Ê ˆ - + Ë Ê Ë - ˆ = Ê Ë - + ˆ Ê Ë - ˆ = Ê Ë - ˆ = ˆ - 8 =- 8 = 0 0 = 00 c) d) È - - Ê ˆ Ë - Î Í Ê ˆ - Ë = Ê Ë ˆ Ê Ë - 9ˆ = Ê Ë - ˆ : 9 Ê 9ˆ Ë - = 9 Ê ˆ - : Ë Ê - Ë. a) A negyedik napon: b) A nyolcadik napon: 7ˆ 8 7 = 9 Ê 0 - ˆ Ë 0 Ê - ˆ Ë 7 = 9 0 Ê - ˆ Ë 7 = = = = = c) Látjuk, hogy négynaponta résznyi méz fogy el. 9 Folytatva a gondolatmenetet: Morgónak a. napon -ed, azaz csupor méze lesz, ez a. napon elfogy. Mivel a. napon = csupor mézet szerez, ebbõl kétszer 9 (vagyis a 7. és 8. napon) tud csupornyit enni, de a 9. napra már nem jut egy rendes adagnyi.. Egy nap alatt megépítik a vár részét (az éjszakai leomlást is beleszámítva), így a 90 nap szükséges a felépítéshez. Ê ˆ. Például: - Ë = = a) 0 A = < = b) c) 0 A = < = d) A = < = A =- > = a) Ê ˆ Ê ˆ 0 Ë -, + 0 : Ë -, + = ( 0, - ) : ( 0, , ) ( 0, ) : (-0, ) = = b) Ê ˆ Ê ˆ 0 8 Ë -, +, 0 8 : Ë -, +, = ( 0, - ) : ( 0, - - 0, ) ( 07, ):( -0, 7) = = 7

8 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) Ê - 0+ ˆ Ê Ë ˆ, : Ë, = ( 0, -):( 0, , ) ( - 0, ):( - 0, ) = d) 9. a) Ñ+ = b) Ò: = 0, c) 07, Ó - d) = 0. a) b) c) d) Ê ˆ Ê ˆ 0 Ë -, + 0 : Ë -, + = ( - ) : ( 07, - - 0, ) ( - ) : ( - 0, ) = : =. rész = km - = : = : = 0 = : Ê ˆ - Ë =- 9 = + : = + = 9 + = rész az egész út Þ km = km = km. rész + rész = rész Összes versenyzõ: Karcsi az összes versenyzõ része Tehát összesen fõ indult. Karcsi harmadikként ért célba.. a) vagy b) Rejtvény: a) pl.: = b) pl.: 9 = : = Az út hossza: vagy rész rész 70 Cél 9 Ð: = 0 Ê ˆ Ë - + Ê + ˆ Ë = km = rész rész c) pl.: Ê ˆ Ë - 0 : = 8

9 . Arányos következtetések (emlékeztetõ). a) cm a térképen a valóságban cm = 000 m = km -ször akkora távolság km = 7 km b) cm a térképen a valóságban km km km = A térképen cm lesz a távolság.. Térképen: cm Valóságban: 0 km = m = cm : = : a) Egyenes arány b) Egyenes arány c) Egyiksem d) Egyik sem e) Egyenes arány. h 00 km egyenes arányosság h 00 = 0 km 8, egyenes arányosság 8, h 0 km 8, = 00 km 00 km-t tesz meg 8, h alatt.. 70 adaghoz 0, kg hús 7 egyenes arányosság 0 adaghoz 0, kg 7 =, kg 0 egyenes arányosság 00 adaghoz, kg 0 = kg 00 adaghoz kg hús szükséges.. 0 kg-hoz 0 db doboz egyenes arányosság 0 kg-hoz 0 db = 00 db 0 kg szõlõt 00 db dobozba csomagolunk. 7. db 7 dl-es üvegbe összesen 7 = 7 dl gyümölcslét töltöttek. Ha üveg, dles, akkor 7, = db, dl-es üvegre van szükség (fordított arányosság). km 8. I. sebessége: 000 h km km II. sebessége: 000 = 00 h h Az I. repülõ h alatt 000 km-t tesz meg, akkor h alatt 000 km-t. Ezt a 000 km-t km a 00 sebességgel száguldó repülõ h alatt teszi meg, hiszen ez a repülõ h alatt h csak 00 km-t megy. 9

10 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE perc alatt 0 (l) 0 egyenes arányosság 0 perc alatt 0 (l) 0 = 00 (l) perc alatt (l) 00 (l) 00 = 8 perc 8 perc alatt telik meg másik csapból. kacsához 0 kg 0 egyenes arányosság 0 kacsához 0 kg 0 = 00 kg kacsához 0 kg egyenes arányosság kacsához 0 kg = 0 kg 0 kacsa felhízlalásához 0 kg-mal több kukorica szükséges.. gyerek óra 80 db egyenes arányosság gyerek óra 80 db = db egyenes arányosság gyerek óra db = 9 db egyenes arányosság gyerek óra 9 db = 9 db egyenes arányosság gyerek óra 9 db = 88 db gyerek óra alatt 88 db szendvicset tud elkészíteni.. egér sajt nap fordított arányosság egér sajt = nap fordított arányosság egér sajt =, nap egyenes arányosság egér 0 sajt, =,8 nap egérnek 0 sajt,8 napra elegendõ.. András alázs Csaba db db 0 db összesen: 9 db szendvics osztoztak db db db András db, alázs db szendvicset adott át Csabának, aki ezért ezek arányában fizetett a fiúknak. 0 Ft : arányban osztva. 0 Ft µ 00 Ft. Csaba Andrásnak 0 Ft-ot, alázsnak 00 Ft-ot fizetett. 0

11 . x x + = x = = 7 = 7 7 7,. t = 00 a + ö ö = 0 a + 0, m m = 0 a + 0, k k = 8 a Visszafelé helyettesítésekkel: m = 0 a + 0, 8 a = a ö = 0 a + 0, a = a t = 00 a + a = a táltos aranyat ér. perc alatt melegítik fel együtt a bojlerben a vizet. Rejtvény: Nem lehet tudni, mivel a hét napjai és a között, hogy fúj-e a szél, nincs matematikai összefüggés.. Százalékszámítás (emlékeztetõ) a) 00 - = = 98 b) c) = 00-0 = 00-0 = 0 00 = 0 = 0. a) 000, = 00,-szeresére b) 0,8-szeresére c) -szorosára d),-szeresére e) -szeresére f) 0,00-szeresére. a) 00, = 70 b) = 0 c) 00 0, = 0 d) 00 0 = 0. a) 00%-ra (00%-kal nõ) b) 0%-ra (0%-kal csökken) c) 0%-ra (0%-kal nõ) d) 00%-ra (00%-kal nõ) e) 0%-ra (80%-kal csökken) f) %-ra (%-kal nõ)

12 . a),-szorosára b) 0,9-szeresére. a) 0%-kal nõtt b) %-kal nõtt SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 7. Medve: 0 0 =, %-kal nõtt a tömege Elefánt: 0 0 =,»,7%-kal (kb.) nõtt a tömege A medvebocs nõtt jobban. 8. Összesen: 000 fõ Férfi 80% Nõ 0% Átlagosan 000 fõ a férfi. 9. Döntõben szereplõ csapatok szurkolói: , = 00 db- 00 db Szervezõk: ,0 = 70 db ajnokság csapatai: , = 0 db Nemzetközi Labdarúgó Szövetség: , = 000 db Ismert személyiségek: 000 db (VIP) , = fõ hoz szendvicset az iskolába ,8 = 000 fõ. a) Elsõ változás: 000,08 = 080 Ft Második változás: 080 0,9 = 99, Ft Összesen: 99, 000 = 0,99 99,%-os most, azaz 0,%-kal csökkent az ár. b) Elsõ változás: 000 0,9 = 90 Ft Második változás: 90,07 = 99, Ft Összesen: 99, 000 = 0,99 99,%-os most az áru, azaz 0,9%-kal csökkent az ár.. Fenyõ Tölgy 0% 80% Tölgynek a negyede, azaz %-a a fenyõk száma.. 00 kg + 00 kg = 00 kg -szörösére nõ. Eredeti Új +0% 0 cm 0 cm, = cm a) K= 0 cm = 0 cm K = cm = cm 0 =, 0%-kal nõtt a kerülete b) T = 0 cm 0 cm = 00 cm T = cm cm = cm 00 =, %-kal nõtt a területe

13 . Eredeti Új Egyik oldal: 0 cm 0 cm 0,8 = 8, cm Másik oldal: 0 cm 0 cm, = cm a) K= (0 cm + 0 cm) = 0 cm K = ( cm + 8, cm) = cm 0 =,0 %-kal nõtt a kerülete b) T = 0 cm 0 cm = 00 cm T = cm 8, cm = 9, cm 9, 00 = 0,977,%-kal csökkent a területe. a) 9 versenyen indult b) kb. 0,% c),% d). helyezés ( db). helyezés ( db). helyezés ( db). helyezés ( db). helyezés ( db) 7. a) b) Eredmény Fõ % Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem vizsgázott 7 0,.,.,. 0,.,. c) % Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem vizsgázott 0%,%,%. Jeles Jó Közepes,%,%,% Elégséges Elégtelen Nem vizsgázott 8. a) Jeles: 0% Jó:, % Közepes:, % Elégséges: 0% Elégtelen:, % Nem írt:, % 0%,% 7% 0%,% 7% Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem írt b) Átlag: 90 8 ª,

14 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 9. = (x + 0,7x) =,x x = cm Egyik oldal: cm (Vagy: Következtetéssel: A félkerület cm. Az egyik oldal 00%, a másik 7% Þ cm az 7% Þ akkor a 00% cm.) Másik oldal: 9 cm T = cm 9 cm = 08 cm 0. a) 0 km-en 7 (l) 00 km-en 7 (l) 0 = 70 (l) b) 0 km-en 7 (l) 0 km-en 7 (l) = 8 (l) 0% Összes üzemanyag 00% 8 (l) = 0 (l). Az eredeti ár: x. A 0% leszállítás utáni ár: 0,9 x, ekkor a haszon:,08 x. Kérdés: Mekkora a haszon x eladási árnál?,08 0,9 =, Þ 0% volt a leszállítás elõtt a haszon.., =, = = 0 -nek hány %-a a? Rejtvény: A gyorshajtók reciproka 80 : = = = Æ 80% Æ 00 -et 0%-kal kell csökkenteni -része nem %-a az összes autósnak. = = 00, =, % 0. Kamatszámítás. Gazdálkodj okosan!. a) 0 000,07 = Ft b) [(0 000,07),07],07 = 0, Ft c) 0, : =,0,%-kal növekedett az összeg.. a) 0,0 = 0,kg b). nap végén

15 . év múlva ,97 = 9700 Ft év múlva ,97 = 909 Ft év múlva 909 0,97 = 9,7 Ft év múlva 97 0,97 = 88,98 Ft év múlva 88 0,97 = 887, Ft. x,0 = x» 9 08 Ft. [(x,0),0],0 = x» 7 77 Ft. a) {[(0 000,0),0],0},0 = Ft b) 0 év múlva: Ft (Kerekített értékek.) 0 év múlva: 7 Ft 0 év múlva: 0 Ft 07 év múlva: 07 Ft 08 év múlva: 77 Ft 09 év múlva: Ft 0 év múlva: 89 Ft év múlva: 7 0 Ft év múlva: 7 98 Ft év múlva: 8 8 Ft év múlva: Ft év múlva: Ft , = 000 Ft-ot kell visszafizetni , = 000 Ft-ba fog ténylegesen kerülni a gép ,00,00 = 0 0, Ft. Ebbõl Józsi mindenképpen kifizet legalább 00 Ft-ot, így marad neki 0 00, Ft-ja. Nem érdemes erre az idõre a pénzét bankba tennie. 0. a) év múlva: 0 000,0 = 000 Ft év múlva: ( ),0 = 00 Ft év múlva: ( ),0 = 0, Ft év múlva: ( ,),0 = 90, Ft-ja lesz négy év múlva. b). év végén Ákosnak 90, Ft-ja van, miután itt már nem takarékoskodik, csak bent tartja pénzét a bankban: {[(90,,0),0],0},0 = 008, Ft-ja lesz. Rejtvény: 0%-ában csak a vezetõ ült az autóban. Ennek 0%-nak a 7%-ában vezette férfi. Vagyis: 0, 0,7 = 0, % Az összes személyautó %-ában utazott pontosan férfi.

16 . A hatványozás SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) = = 9 b) = = c) 7 = = d) 0 = = e) = = f) = = g) 8 = = 09 h) 000 = 000. a) kettõ a hatodikon b) három az ötödiken c) 0, nulla egész egytized a harmadikon d) (µ) mínusz négy a negyediken e) öt a hatodikon f) 7 hét a negyediken. 9 =. a) b) c) d) e) f) 807. a) = ; = ; = 8; = = < < b) = 8; = 9; (µ) = µ8; (µ) = 9 (µ) < < = (µ) c) = ; ( ) = ; ( ) = ; = < = ( ) < ( ) d) = ; Ê ˆ Ë = ; Ê ˆ Ë = ; ( ) = Ê ˆ Ë < Ê ˆ Ë < = ( ). a) 0 00 > b) 00 0 < 0 0 c) 0 00 < A = Ê ˆ = < = = Ë 9 8. = 8, (µ) = ; µ = µ; (µ) = µ µ < (µ) < (µ) < 9. a) Legkisebb: ; ; ; Legnagyobb: b) -féle c) = = = < < < = < < < = < < < < 0. a) Legkisebb: = = = = = Legnagyobb: b) > c) -féle d) 8-féle

17 . 00-ban: ben: 000 0,88 = 00 faj 00-ben: 00 0,88 = 87 faj 00-ban: 87 0,88 = 07 faj 007-ben: 07 0,88 = 998 faj 008-ban: 998 0,88 = 8 faj 009-ben: 9 0,88 = faj 00-ben: 0,88 = 0 faj. 0 perc elteltével: 0 = 0 h = 0 perc elteltével: 0 Nem lehetséges, hogy egy baktériumból osztódással óra elteltével 0 db legyen, mivel közben el is pusztul valamennyi.. a) 7%-os az éves kamat b)» 0 Ft-ot (0,7 Ft) c) 0 000,08» 89 Ft-ot. a) 0 = = = = 8 = = = 7 = 8 8 = 9 = A. hatvány 8-ra, a 0. hatvány -re, a 0. hatvány -ra, 007-dik hatvány 8-ra végzõdik. A szabályt a -es maradék adja, a kitevõ -gyel osztva mennyi maradékot ad. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. b) = = 9 = 7 = 8 = = 79 7 = 87 8 = 9 = 9 8 A. hatvány 7-re, a 0. hatvány 9-re, a 0. hatvány -re, a 007-dik hatvány 7-re végzõdik. A szabályt a kitevõk -es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. 7

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) = = = = = 0 = 09 7 = 8 8 = 9 = A. hatvány -re, a 0. hatvány -ra, a 0. hatvány -ra, a 007-dik hatvány -re végzõdik. A szabályt a kitevõk -es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. d) = = = = 9 = 777 ármely kitevõ esetén az eredmény -ra végzõdik. Rejtvény: ( ) = = ( ) = = ( ) = ( ) 7. Mûveletek azonos alapú hatványokkal. a) b) c) d) 9 e) 8 f). a) µ = µ b) µ = µ c) = d) µ = µ8 e) µ 7 = µ8 f) (µ) =. a) = 7 b) = c) 7 = 9 d) = e) 9 = 9 f) 0, = 0,000. A = ; = µ; C = ; D = µ = D < A = C. a) 7 < b) > c) 7 > µ(7 ) d) =. a) = 09 b) = c) d) 0, 0 e) 0 f) a) b) c) d) µ7 e) 0, f) 0 8

19 Rejtvény: x = Y = Z x = 8 x = Ô x = Ô A százlábúnak 8 lába nem fáj. 8. Mûveletek azonos kitevõjû hatványokkal. a) = 7 b) 0 = c) = d) = a) b) c) d) a) b) Ê ˆ Ë = Ê ˆ Ë = = Ê 7 8 ˆ 00 = Ë c) d). a) b) Ê ˆ - = Ê ˆ - Ë 7 Ë Ê ˆ 8 = Ê ˆ 78 = Ë Ë = ( ) = ( ) = = = 79 9 ( ) = ( ) = = = c) Ê 7 Ë Á ˆ = Ê Ë Á ˆ 7 9 = = 79 d) Ê Ë Á ˆ = Ê Ë Á ˆ = Ê ( ) Á Ë ˆ 0 7 = Ê Ë Á ˆ = ( ) =. a) ( ) < ( ) < b) ( ) < ( ) ( 7 ) = < ( ) = 8 9

20 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) Ê Ë Á ( ) > - d) ( -) > µ. A = = (µ) 9 = 9 C = µ (µ) = µ( ) = µ( ) D = C < < A < D 7. a) Ó = b) Ò = c) Ð = d) Ñ = 8. a) Õ = b) Õ = 8 c) Õ = d) Õ = 9. A = 8 = C = ( ) = (( ) ) = ( ) = ( ) = = A < C < ra végzõdõ szám ˆ < ( ) (( ) ) -ra végzõdõ szám (A 00 egymás utáni hatványainak eredményében észrevehetõ szabályosságból állapítható meg, a kitevõk -es maradékából.) 8-ra és -ra végzõdõ szám összege -re fog végzõdni. Vagy: = = ( + 00 ). a) + = ; ( + ) = ; (µ) + (µ) = µ (µ) +(µ) < + < ( + ) b) + = 97; ( + ) = ; (µ) + (µ) = 97 + = (µ) +(µ) < ( + ) c) + = 7; ( + ) = ; (µ) + (µ) = (µ) +(µ) < + < ( + ). Mivel a különbözõ jelek helyén azonos számok is állhatnak, ezért a megoldások: ( ) = ( ) = 8 a) Legkisebb: Ô = Ö = ( ) = ( ) = 8 ( ) = = ( ) = Legnagyobb: Ô = Ö = Ø 8-ra végz. 00 Ø -ra végz. 0

21 7 7 b) Legkisebb: 7 = Számlálóba a lehetõ legkisebb kitevõt írjuk, a nevezõbe pedig a legnagyobbat. 7 7 Legnagyobb: 7 = A számlálóba a legnagyobb hatványkitevõt írjuk, a nevezõbe pedig a legkisebbet. c) Legkisebb: = Ô = Ö = Legnagyobb: = 7 Ô = Ö = d) Legkisebb: ( ) = Ô = Ö = Legnagyobb: ( ) = 9 Ô = Ö = Rejtvény: A legnagyobb szám: () = 9. Prímszámvadászat. A 007 összetett szám és páratlan. Páratlan számot egy páros és egy páratlan összegeként kaphatunk. Ha egy szám páros, akkor osztható kettõvel, azaz nem prím, kivéve a kettõt. Ha az egyik prímszám a lenne, akkor a másik szám a 00, ez pedig nem prím szám. Tehát nem írható fel a 007 két prímszám összegeként.. a) 0-nél kisebb prímek: ; ; ; 7 Lehetséges szorzatok -et hozzáadva: + = 7 + = 7 + = + = 7 + = 7 + = különbözõ számot kapunk. b) Az eredmények közül prímek: 7;. a) = 7 b) 70 = c) 00 = d) 7 =. a) (; ) = b) (8; 0) = 8 c) (; ) = = d) (; 0) =. a) [; 8] = = b) [8; 0] = = 0 c) [; ] = = 0 d) [; ] = =. a) ( ; ) = = [ ; ] = = 0 b) (7 ; 7 ) = 7 [7 ; 7 ] = 7 = 9 08 c) ( 7 ; 7 ) = 7 = 9 [ 7 ; 7 ] = 7 = 8 7

22 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE d) ( 7; 7 ) = 7 = [ 7; 7 ] = 7 = ( ) 7. a) = = b) 0 ( ) 0 ( ) c) = = d) 00 ( ) ( ) = ( ) 7 = 7 ( 7) = ( 7) = 0 8. a) b) c) 8 + = 7 + = + = = + = = + = 0 = + = = d) + = + = + = Relatív prímek: (; 7); (7; 0); (7; 0); (; 0); (; ) 0. [; 0] = = 0 Indulástól számítva 0 perc, azaz óra múlva, reggel órakor indulnak ismét el egyszerre a buszok.. [; ] = A két hajó az indulástól számítva hónap múlva indul el ismét együtt a kikötõbõl.. [; 8] = [; 8] = [; 8] = [; 8] =. (x; ) = [x; ] = x = = 0. a) ( y ; x ) = z x = y = z = b) [ x ; y ] = z x = y = z =. ( ; x) = Legkisebb kétjegyû szám: 8 Legnagyobb kétjegyû szám:

23 Rejtvény: Legidõsebb: 7 éves Középsõ: éves Legfiatalabb: éves 0. Nagyon nagy számok. a) db százas b), 0 = 0 = E + Sz + t + 0 e c) 8,87 0 = 887 = 8 TE + 8 E + 7 sz + t + e d), 0 = = SZE + TE + E + sz + t + e. a) =, 0 b) 00 =, 0 c), =, 0 d), =, 0. a) 0 0 = 0 b), 0 =, 0 c), 0 =, 0 7 d) 0 0 = 0 e) millió =, 0 7. a) 7797 =, b) c) Egy személy rekordja:,0 0 Csapatrekord:, d),7 0 db Város Tokió Mexikóváros New York. a) 0 =, 0 b) 0 9 =, 0 0 c) 0 7 =, 0 8 d) 0 0 =, 0. a) 0 b) 0 c) 0, 0 = 0 d), 0 7. a) = 0 8 =, 0 9 b) (8 0 ) ( 0 ) = 0 Ország Elõvárosokkal Elõvárosok nélkül Japán Mexikó USA,97 0 7,9 0 7, , 0 8,89 0 8,897 0

24 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) = = 8,0 0 d) 8 0 µ 0 = = 7,9 0 e) 8. a) 0, 0 = 0, 0 7 =,0 0 8 b), 0 0 = 0 7 c) d) 9. a) 000 =, 0 b) 800 =,8 0 c) 700 =,7 0 d) = 8, 0 0. a) ( 0, 0 ) = 0 =,7 0 b) (8 0 ) = 09 0 =, c) d) Ê 000ˆ Ë 00 Ê 000ˆ Ë 0. a) km = 8 0 km =,8 0 7 km b) km = km =, km c), km =,9 0 9 =,9 0 0 km d),9 0 0 = 9, km = 9,08 0 km. magasság = M = mm T = 00 km = 0 mm V = M T alap = mm 0 mm = 0 mm = 0 8 dm = 0 8 (l). a) Fény s alatt km-t tesz meg, év alatt 9,08 0 km-t,, év alatt, 9,08 0 km = 9,7 0 km = =,97 0 km-re van ez a csillag a Földtõl. km b) v = h s =,97 0 km s, 97 0 km t = = = 0, = 7, 7 00 v km h h h Az út 7,7 0 0 h-ig tartana. = 0 = 8 0 =, 8 0 = 0 7 = 80 = ( 8 0) = 09 0 =, 09 0 = 00 = 8 0

25 Rejtvény: ember karfesztávolsága kb., m Föld egyenlítõi kerülete kb. 00,79 km =, km =, m, m/, m»,7 0 7 = fõ Megközelítõleg,7 millió ember tudná körülölelni a Földet.. Vegyes feladatok. 7 + =. a) b) c) d) 0 = 0, = 0, = 08, = 0, < < < a) b) c) d) 7 Ê 0 ˆ 7 - Ë = -, 0 Ê0 ˆ : Ë = : - = - = 9-9 = 008 Ê ˆ - - : Ë = + = + = 7 7 = = Ê 7 ˆ - - Ë = = a) Ñ = b) Ó = c) Ò = µ0, d) Ð = 0,. a) (8, (l) +, (l)) (l) = 7,7 db db csupor lesz tele, a tizennyolcadikba (l) = (l) méz kerül. Az utolsó 0 7 csupor részéig telik meg. 0

26 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) b) c) d) < < 0 = < - < > 9 0, 0, < , < - > = 9 = 7. a) Ò = 8 Ó = 8 Ñ = 7 8 b) Ò =- 8 Ó =- 8 Ñ =- 8 c) Ò = Ó = Ñ = d) Ò =- Ó =- 0 Ñ = = 0 Az -ös számhoz áll a legközelebb = = = 0, 9. nap= óra alatt -ét szétosztotta. Hátra van még az -e, amihez óra szükséges. Az egész zsákot 8 óra alatt osztotta szét.

27 0. a) 79,+0,8 kj =, kj b),8+7+, kj = 0, kj c) 0,8+908 kj =,8 kj. Arányos téglalapok Y = X Æ X = Y X = Y Y = Y része. 9 arány 0 dl. dl szörphöz kell 9 dl vizet adni. dl szörp van az üvegben.. téglalap X. téglalap Y. 8 fõ nap 8 óra/nap 8 : 8 fordított arány fõ nap,8 óra/nap : fordított arány fõ nap óra/nap órát kell naponta dolgozniuk, hogy elkészüljenek.. kendermagos tyúk nap 0 dkg mag kendermagos tyúk nap 0 dkg mag kendermagos tyúk nap 0 dkg = dkg magot eszik meg. gyöngytyúk nap 0 dkg mag gyöngytyúk nap 0 dkg mag gyöngytyúk nap 0 dkg = dkg magot eszik. + + = = dkg-ot esznek meg.. Felnõtt: 000-nek 8%-a: 000 0,8 = 00 fõ Férfi: 00-nak 0%-a: 00 0, = 0 fõ 0 fõ férfi volt az elõadáson.. 0 db 00 Ft db 00 0 = 0 Ft Árleszállítás után: db 0 0,8 Ft = 8 Ft 00 8 = db-ot vehetnénk az árleszállítás után. db-bal többet. 7. 0%-os kamat évente 000 Ft vissza 0 000,,,, = 000 Ft = 000 Ft = Ft Akkor járunk jobban, ha 0%-os kamatra bankba tesszük a pénzt, így év után Ftunk lesz, míg ha évente 000 Ft-ot kapunk vissza, csak 000 Ft-unk lesz. X Y 7

28 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. a) b) c) d) nincs a kártyák között ilyen e) 7 9. Nem igaz, például:,,.. 0. Legkisebb: µ0. a) Ò = b) Ó = 9 c) Ð = d) Ô =. = = D = F. a) b) c) d) A = Ê ˆ Ë C = Ê ˆ Ë E G = Ê - Ë = Ê - Ë. a) Egy sorban, oszlopban, átlóban a hatványkitevõk összege vagy nagyobb legyen. Több megoldás lehetséges. b) Lásd a) c) A kitevõk összege 0 vagy nagyobb legyen a) b) c) Ò ˆ ˆ = < D = Ê ˆ Ë 7 = - < F = Ê ˆ - Ë = < H = Ê ˆ 8 Ë 9 = < = = = = = Ò 7 9 Ò Ò= 7. [8; ] = s múlva ugatnak egyszerre. Ò = 7. [0; 8] = 0 0 s múlva hallhatjuk újra, hogy a két csepp egyszerre csapódik be. 7. a) 7, 0 9 t = 7, 0 kg b) 8 7, 0 kg = 9,78 0 kg =,978 0 kg Ò = 8

29 . Algebrai kifejezések. Algebrai kifejezés. a) x+ b) x c) x µ x d) e) µx f). y + x a felsoroltak közül nincs megfelelõ szakasz x + y a) a megfelelõ szakasz x + y c) a megfelelõ szakasz x + y b) a megfelelõ szakasz x + y d) a megfelelõ szakasz x + y e) a megfelelõ szakasz. a) p + q b) p + pq c) p q d) (p + q). A.;.; C.; D.; E.. a) 8 s + b b) b s + 8. k µ 0,k = 0,7k Ft-ba kerül a kabát. 7. f k 0 8. a) x m b) x m µ y ü 9. k a b dl üdítõ jut egy pohárba. k - a 0. A szárak hossza:.. a) Kati most háromszor annyi idõs, mint amennyi Matyi volt b évvel ezelõtt. Hány évesek most? b) Kálmán most kétszer annyi idõs, mint amennyi d évvel ezelõtt Peti volt. Most hány évesek?. a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a b = b a (a b) c = a (b c) Rejtvény: x 9

30 . ehelyettesítés SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) Vegyük észre, hogy = F és C = E. a = helyettesítés esetén A = 8 = C = µ D = µ8 E = µ F = a = µ helyettesítés esetén A = = µ C = D = µ E = F = µ a =, helyettesítés esetén A =, = µ, C =, D = µ, E =, F = µ, a = helyettesítés esetén A = = - C = D = - E = F = - b) Vegyük észre, hogy A = E és C = F. b = helyettesítés esetén A = = C = D = E = F = b = µ helyettesítés esetén A = µ = C = µ D = µ E = µ F = µ b = helyettesítés esetén A = 8 = C = D = E = 8 F = b = helyettesítés esetén 9 A = = C = D = E = F =. x µ, µ µ µ0, 0 0,, xµ µ9, µ8 µ µ, µ µ0,, µ x x µ x µ 8 µ µ 7 µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ0, µ 0 µ 0

31 y 8 7 x a) x+ y =, x + y = x µ y = 0, µ = µ7, x y = b) a µb + = = - - = - 7 b µ a µ = µa + b + = µb µaµ = 0. Az a b µ algebrai kifejezés a = 0 és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ. Az a b µ algebrai kifejezés a = µ0, és b = helyen vett helyettesítési értéke 0 µ, = - - = Az a b µ algebrai kifejezés a = és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ,.. 9 ( -) - = - - = - Az a + b µ algebrai kifejezés a = 0 és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ. Az a + b µ algebrai kifejezés a = µ0, és b = helyen vett helyettesítési értéke 0,. Az a + b µ algebrai kifejezés a = és b = µ helyen vett helyettesítési értéke µ, ( - ) - = - = - = - Az aµb algebrai kifejezés a = 0 és b = µ helyen vett helyettesítési értéke. Az a µ b algebrai kifejezés a = µ0, és b = helyen vett helyettesítési értéke 0 µ0,. Ê ˆ - Ë 0 - = = - 0

32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Az aµb algebrai kifejezés a = és b = µ helyen vett helyettesítési értéke,.. a) 0 b) 7 c) 97 d) 7. A víz 00 C-on forr, ez Fahrenheit-fok, és 0 C-on fagy meg, ez Fahrenheit-fok = + = = Þ k + t 8. a) x µ µ 0, 0 0, y µ µ µ 0 b) y = x µ c) 9. a + ; a 0. µ x; (µx) ; x;. a) b) c) µ d) 0 e) 9 f) g). a ÁÑ b = (a + b) ÁÑ 0, =, ÁÑ (µ,) = µ (µ) ÁÑ = µ, ÁÑ, =,. Háromféle lehet µ, 0,. 8 ilyen szám képezhetõ. Összegük. Rejtvény: A 7 házban összesen 9 macska megevett egeret. egér megevett 0 kalászt, melyekben összesen volt 807 szem. Ezek a számok a 7 hatványai = 9 07 x

33 . Mûveleti sorrend. a) 0 Ê x ˆ + Ë - 0 b) Ê00 Ë x ˆ + -. Vonjunk ki az y számból -et! Szorozzuk meg a számot -vel! Szorozzuk meg a számot -mal! Szorozzuk meg -tal! Vonjuk ki az -bõl! Adjunk hozzá -et! Adjunk hozzá -at! Osszuk el -mal! Vonjuk ki az -bõl! x +. a) - b),8 c) Szorozzuk meg a számot -mal! Adjunk hozzá -t! Osszuk el -tel! Vonjunk ki belõle -ot!. x µ µ µ0,. µ µ, 0, x µ x µ + + x µ + µ0,7 0, 0 µ0, 0,. 0, 0, ( ( ( (. C) és E) Ê p ˆ - r. a) + b) (q µ ) + 7 c) d) Ë 9 7. a) az a szám kétszeresébõl levonunk -et b) a b-nél -mal nagyobb számot elosztjuk kettõvel c) a c-nél -mal nagyobb számot szorozzuk -tel d) a d szám felét levonjuk az -bõl e) az e számot kivonjuk az -bõl, majd a különbséget kivonjuk a -bõl 8. n db 0 forintos 0 n forint, és ugyanennyit kell fizetni 0 darab n forintos áruért. 9. a) A= C és = F b) A = C és = E és D = F c) A = D és = E és C = F s + s 7 0. a) (x + ) b) x ( + ) c) (x + ) d) + (x )

34 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Rejtvény: a + a + a µaµa= a (a µa) a+ a = a vagy a a a a a= a vagy a a a a a= a. Egytagú és többtagú algebrai kifejezések. a) x+ y + z = 0, x y z = µ b) x + y + z = = + = = = x y z = 0 0 c) x + y + z = µ x y z =. a) a + bc kéttagú algebrai kifejezés b) (a + ) (b + ) egytagú algebrai kifejezés. a) b) 7 = 8 c) d) Egytagú: b); többtagú: a) c) d).. Egytagú algebrai kifejezések: ) C) D) E) G). a) ( + x) ( + y); x ( + y); (x + ) y ( + x) y ( + x + ) y (x + + y) xy b) x + y + x + + y ( + x) + y x + y + xy. a) többtagú: 0k + p b) többtagú: 7q µ p m c) egytagú: d) egytagú: 0u a) p + q b) p µ q c) p + q 7 d) (p + q) e) p q f) p - q g) p h) p q i),p + (µ)q

35 8. a) b) µ c) d) e) f) µ g) h) 7 9. a) xy; xy; µ x y; (7 µ )xy; yx b) x z; xz; 0zx; xz; µ7zx c) x; µ7x; µ x; 9x; 8x d) xyz; x yz; x (µ7)yz; zyx; µzyx 0. A) ab ) ab C) b a D) b a E) ba F) ab G) ab H) a b. a) n + t b) k + t + a c) x + y µ z. a) ; ; ; ; 9; 8 b) ; ; ; ; ; 0; ; 0 c) ; ; ; ; ; 8; ; ; d) ; ; Minden algebrai kifejezés osztható az m és n természetes számokkal is. Rejtvény: Ilyen tulajdonságú a következõ egyenlet: + = + + = +. Összevonás egynemû kifejezések. a) 0 80 b) 80 c) 80 d) 0 e) f) a) 998 b) 999 c) 00 d) (µ007). a) b) 989 c) 0 d). n (7 + ) = 7 n + n =7 n. g + t + g + m + g + m + t = 7g + m + t. a) a b) b c) c d) µd 7. a) x b) y c) z d) d 0 8. A) ) C) E) 9. a) x + x + y + y = x + 8y b) x + x + µ 7 = x µ c) xy + xy µ x µ y = xy µ x µ y d) 7x µ x + x + x µ = x +7x µ 0. C) a kakukktojás. a) a µ + a + = a + b) b µ µ b + = b + c) c c + = c - d) 0,8d µ 0,7 +,d µ 0, = d µ

36 . A) = D) C) = F) SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Ez az 998, hiszen valamely szám duplájából levonva a számot visszakapom az eredetit.. x - x - x = 7 A hónap. hetéig elköltötte a novemberi zsebpénzének a zsebpénzének 8 része. Ezek szerint marad elegendõ pénze, hogy megvegye a könyvet.. A gondolt szám tízszerese lesz egyenlõ 80-nal. Zsolti a 8-ra gondolt. részét. Megmaradt a. A kapott szám: 0c + c =c, ami biztosan osztható ; ; ; 8; ; c; c; c; 8c; c. 7. a) x +( µ x) = µ x b) µy + (µy µ ) = µy µ c) (z + ) µ z = z + d) ( µ x) + x = + x e) y µ (y + ) = µ f) z µ ( µ z) = z µ g) x + µ (µ + x) = x + h) µ (µx µ ) + x = + x i) µ(y µ ) + y µ = y + j) + (z µ ) µ ( µ z)= µ + z Rejtvény: 8 = > = 8 8 x - 7x - x 8x 8 = = x aµ b+c aµc a+b a+ bµ c a aµb+c aµb a+c aµc+b. Egytagú algebrai kifejezések szorzása, osztása. a) (, ) =9 b) q(,p) =,p q c) q(r p) = q r p. a) Négyféle téglalapot kaphatunk. b) A területe mindegyik téglalapnak azonos. c) Az a és b oldalú téglalap területe T = ab

37 . a) A terület a négyszeresére növekszik. b) A terület a hatszorosára növekszik. c) A terület változatlan marad. d) Hatod részére csökken a terület.. a) x b) x 7 c) µxy d) x. a) 0ab b) µ8ab c) 9ab d),ab. a) 7. b) (x y) = xy; ( x) y = xy; ( x) ( y) = 9xy 8. a) x b) µ0x c) x d) x 0 b 9. a) a b) µ c) µc d) µd 0. a) b) µ c) µb d) µc ab e) f) a. a) Közös tényezõ:. b) Közös tényezõ:. c) Közös tényezõik: x és az. d) Közös tényezõik: és az x.. a) x b) µ8y c) 0v d) z. a) -mal b) 0-zel c) -gyel d) µ-vel 7

38 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) A térfogata a nyolcszorosára növekszik. b) A térfogata a nyolcadrészére csökken. c) A térfogata a kétszeresére növekszik. d) A térfogata a felére csökken.. a) b) c) x ( y) 8 x y 8 8xy = = = xy (-y) ( x) ( -) y x = = xy 0, x ( x) x x x x = = = x. A) = ); D) = E) a a ac ab A) ) C) D) E) bc bc b c Rejtvény: szorosára változtatjuk vagy részére csökkentjük. ab c 7. Kéttagú algebrai kifejezés szorzása egytagúval. Kétféleképpen számolhatunk:. módszer: Egy családi csomagban + joghurt van összecsomagolva, így összesen ( + ) db-ot vásárolunk.. módszer: Összesen db banános és db epres joghurtot vásárolunk.. a) (8x + 8y) 0 takarmányt kell rendelni. b) (zx + zy) 0 = z(x + y) 0 = 0zx + 0zy takarmányt kell rendelni.. A z zacskóban zn narancsos, zm málnás és zc citromos ízû gumicukor van. Összesen: zn + zm + zc = z (n + m + c) cukor van a zacskókban.. Pontosan annyi víz fér még bele, amennyi abba az akváriumba tölthetõ, melynek alaplapja egy a és b oldalhosszúságú téglalap, és magassága m µ h cm.. a) a (b + c) Kis és nagy alakú füzetet vásárol Dorka az írószer boltban. Mindkét fajta füzetbõl a darabra van szüksége az iskolában. A nagy füzetek b Ft-ba, a kis füzetek c Ft-ba kerülnek. Hány forintot fizet? b) a (b µ c) Jázmin b darab könyvet kölcsönzött ki a könyvtárból. Ma visszavitte azokat, de kiderült, hogy csak c könyv kölcsönzési határideje nem járt le, és a többi után késedelmi díjat kell fizetnie, könyvenként a Ft-ot. Milyen összegû büntetést fog fizetni? 8

39 . a) (x + ) = x + 0 b) (µ) (x + ) = µx + (µ) = µx µ c) (y µ ) = 0y µ d) x ( µ x) = x µ x e) (µy) (y µ ) = µy µ(µy) = µy + y f) x (x µ y) = x µ xy g) y(xy + y) = xy + 8y h) xy(x + y ) = x y + xy 7. a) x + = x + b) c) x + - = - x - = - x + - ˆ Ë d) Így is lehet: x + Ê x ˆ c) - =- + Ë =- x - =- x + Ê - ˆ Ë x - Ê - ˆ d) - =- Ë =- Ê Ë Á - ˆ x x =- + x x - 8 x = + (-) x - - x - = = + (-x) 8. a) ( + x) = + x = x + b) (y + ) 7 = 7y + 7 = 7 + y 7 c) ( + b) a= a + ba = ab + a 9. T = (a + 8) b = ab + 8b T = ( + x) y = y + xy T = (b + c) = b + c Rejtvény: A szöveg utasításait követve a következõ algebrai kifejezéshez jutunk. Jelölje a születési dátumot 9xy. v. z. {[(0z + ) + v] + } + xy = 0000z + 00v + xy +00 Ahol xy jelöli azt a kétjegyû számot, ami a születési év két utolsó számjegyébõl áll. Pl.: Ha 99. október -én születtél, akkor a végeredmény lesz. Vonjuk le ebbõl a 00-t. 09-ot kapunk. Válasszuk el ponttal egymástól a számjegyeket kettesével a következõ módon: Ez a születési dátumod angolul vagy németül, hiszen ezeken a nyelveken fordított sorrendben írjuk a napok, hónapok és évek számát. 9

40 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. Kiemelés. A) =. ) =. C) =. D)-nek nincs párja.. a) 8x + = x + = (x + ) b) x µ 0 = x µ = (x µ ) c) x + y = 7 x + 7 y = 7 (x + y) d) 9x + = x + = (x + ) e) µ x = µ x = ( µ x) f) µx µ 9 = µx µ = µ (x + ) g) h). a) A kakukktojás az x µ. A többi összeget kiemeléssel szorzattá alakítva mindegyikben közös tényezõ lesz a x µ. b) A kakukktojás a y + 0x. A többi összeget kiemeléssel szorzattá alakítva mindegyikben közös tényezõ lesz a x + y.. a) b) c) d) x + = x + = ( x + ) x - = x - = ( x - ) a + = 8b + ( b + ) ( b + ) b + = = = c - ( c - ) ( c - ) c - = = = d + d +. a) m + n alakban írható fel a két szám összege. m + n = m + n = (m + n) Az összeg egy természetes szám háromszorosa, tehát osztható -mal. b) m + n alakban írható fel a két szám összege. m + n = m + 7n = (m + 7n) Az összeg egy természetes szám hatszorosa, tehát osztható -tal. c) m µ 8n = m µ n = (m µ n) A különbség egy természetes szám hatszorosa, tehát osztható -tal. d) 0m µ n = m µ n = (m µ n) A különbség egy természetes szám tizenötszöröse, tehát osztható -tel. 0 ( a + ) ( a + ) = = ( a + ) ( d + ) ( d + ) d + = = = ( d + ) ( d + ) d +

41 . a) a + b = (a + b) b) ab + bc + ac = (ab + bc + ac) 7. A feladat utasításait követve a következõ algebrai kifejezés írja le, mi történik a gondolt számmal. Jelöje x a gondolt számot. x + + x - = x Ha a tört számlálójában elvégezzük az összevonást, egyszerûsíthetünk -mal. x + - = ( x + ) - = x + - = Eredményül azt a számot kaptuk, amire Kristóf gondolt. x 8. ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) a + b + c ( a + b + c) ( a + b+ c) = = = a + b + c a + b + c a + b + c a + b+ c = 9. A 8. feladat alapján könnyen belátható, hogy a ; és összege a három keresett szám összegének kétszeresével egyenlõ. (a + b) + (b + c) + (c + a) = a + b + c = (a + b + c) A három szám összege 9. Rejtvény: Jelölje a a bal kezedben lévõ érmék számát, akkor a maradék a jobb kezedben 9 µ a darab. A kijelölt szorzásokat elvégezve az alábbi algebrai kifejezés írja le az érmék számát. a + (9 µ a) = a + µ a = µ a Arra következtethetünk, hogy az eredmény éppen az eredetileg a bal kezedben lévõ érmék számával kevesebb -nél, vagyis -bõl az eredményt levonva kapjuk, hogy a bal kezedben mennyi érmét tartasz. 9. Vegyes feladatok. a) x + y b) x y c) x µ y d) e) (x µ y) f) + x y. c - e tábla marad a második nap után.. nap. nap x + y c µ e marad c µ e marad

42 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A d diák menetjegye oda-vissza d 0. t Ft-ba kerül 0%-os kedvezménnyel. A kedvezményes jegyre jogosult f felnõtt menetjegye oda-vissza f 0. t Ft-ba kerül. Az n fõs társaságból n µ f µ d fõ teljes árú jeggyel utazik, ezen jegyek összesen (n µ f µ d) t Ft-ba kerülnek. (d 0, t + f 0, t + (n µ f µ d) t + n h) Ft-ot fizetnek összesen.. a) 0, b) 0 c) 8, d),. a) + (x x + ) = ( + x x) + = + (x x) + ; ( + x) x + ; + x (x + ); b) ( y) µ y + = ( y µ y) + ; (y µ y + ); (y µ y) + ; y µ (y + ); c) ( z + z) + = z + ( z) + = ( z) + z + = z + ( z + ) (z + ) z + ; (z + z) + ; (z + z + ); z + (z + ). A dobott számok összegének lehetséges legkisebb értéke: + = 7 7. A dobott számok összegének lehetséges legnagyobb értéke: + = 8 È Ê ˆ Î Í Ë - È - Ê Ë - ˆ Î Í - = È Ê 0 Ë - ˆ Î Í ÈÊ 8 Ë - 0ˆ Î Í = Ê 8 ˆ = - - Ë - Ê ˆ Ë = 0 = megoldás: [a µ(b µ c)] µ [(a µb) µ c] = [a µb + c] µ [a µb µ c] = a µb + c µa+ b + c = = c = = 8. Mindegyik esetben végtelen sok megoldás van. Pl.: a) b) c) a 0,a a a 0,a a a a 0,a 0,7a d) e) a a a a a a a a 9. a) xµ + x + x + = x b) y µ + y µ + y + y + + y + = y

43 0. a) K= 8a T = a b) K = 0a T = a c) K = b + a + c T = b (b + a) + a c. a) V= a b) V = a + a = a c) V= b (b + a) a+ a c = a b + a b + a c. a) µb, mert a három másik szorzat csak együtthatójában különbözik egymástól. b) ab, mert a másik négy kifejezés többtagú algebrai kifejezés. c) xy, mert a másik négy kifejezés többtagú algebrai kifejezés. d) xy, mert a többi kifejezés együtthatója. e) (8z), mert a többi kifejezésben a z együtthatója.. a) b). a) a + a + a(a + ) b) b b b. b ( + b). a) a + + (a µ) = b) b µ (b + ) + = = a + + a µ = a µ = b µ b µ + = b + c) c + µ (c µ ) = c + µ c + = c + d + ( d + ) d) d + = d + = d + d + = d + e e - e + ( e - ) e + e - e - e) + = = = f + f - f + - ( f - ) f + - f + f) - = = = =. a) K= ( + p) + 8 vagy K = (8 + p) + T = 8 ( + p) vagy T = (8 + p) b) K = (8 µ q) + vagy K = ( µ q) + 8 T = (8 µ q) vagy T = 8 ( µ q) c) K = p + 8p T = 8p p = 8p d) K = p + 8q vagy K = 8p + q T = 8p q = p 8q = 8p q 7. a) -szeresére b) -szeresére c) -szeresére d) -szorosára 8. (s t) v = (v s) t szótagból áll a vers. Lásd József Attila Kedves Jocó! címû versét. 9. ); C); F); G); H); J); I) 0. ); D); E); F); G); I) Ê + ˆ, Ë

44 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 0. a) hamis b) igaz c) hamis f. ceruza Ft, ezért g Ft-ba g f gc : = db ceruza kerül. c c f. A három szorzótényezõt, amiket te választasz meg, rendre összeszorzom, majd a két osztóval elosztva kapok egy eredményt, jelölje ezt a szám Az elsõ öt mûvelet, amit a gondolt számmal elvégzel, helyettesíthetõ az a számmal való szorzással. Ha ezután a hatodik lépésben elosztod a gondolt számmal, újra visszakapod az elsõ öt mûvelet eredményét, azaz a-t. Miután hozzáadod a gondolt számot, könnyen következtethetek a kapott érték alapján az eredetileg gondolt számra, csak le kell vonnom az eredménybõl az a-t.. a) (0 + 7) t = 7t km-t tesznek meg együtt. Ê ˆ b) + Ë részét ássák fel együtt. 9 t

45 . Egyenletek, egyenlõtlenségek. Hogyan oldjunk meg feladatokat!. Zs + D = D Zs = D + D + + D = Zs Zs D + D = D =, kg. Zs =, + =, kg újságot gyûjtött.. nap = óra óra µ ór 0 perc = 8 óra 0 perc Ennek a fele lesz a nappal idejének hossza, vagyis 9 óra 0 perc. Mivel a nap 7 óra perckor kell, akkor 7 óra perc + 9 óra 0 perc = óra perckor nyugszik.. Menetjegy ára csak odaútra: m Helyjegy ára: h m + h = 800 m + h = 00 h m = h Tehát m + h = 00 így is írható m h h = 00 h + h = 700 Þ h = 0 Ft m = 00 Ft Helyjegy nélküli vonaton oda-vissza 00 Ft-ért utaznánk. D + V. = D = V + 0 D + V = 88 V V = 88 V + V = 8 V = 9 D = 9 Vác 9; Debrecen 9 pontot gyûjtött.. Kristóf: ( + ) = 7 Kristóf 7 éves.. Anna Zsuzsi x db x db x + x = 8 x = Zsuzsinak db, Annának db ötöse van. V D 0

46 7. Ha Csaba x percig volt pályán, akkor álint x percig. 90 = 0 perc. álint 0 percig; Csaba 0 percig játszott. 0. percben történt a csere. 8. áfonyalekvár mogyorókrém üveg ára: x Ft üveg ára: x Ft üveg ára: x Ft üveg ára: x Ft x + 9x = 00 x = 0 üveg áfonyalekvár 0 Ft, üveg mogyorókrém 90 Ft. 9. év = nap Hátralévõ napok x 00 földi nap telt el. Eltelt napok µ x x = µ x x = 0. Arany Ezüst ronz x x x + x + 0 x + x + x + x + 0 = 80 x = Arany: 90 fõ Ezüst: fõ ronz: 7 fõ. 7x µ 8 = 8 x = A gondolt szám a... születésnapján: x +. születésnapján: x + +,. születésnapján: x + +, +, µ = 7 x = 0 A. születésnapján az elõzõ évi 0 cm-nél cm-rel volt magasabb, azaz cm.. 0% = rész Róka Influenzában elpusztult 0 db = összes csirke része fi része: 80 : = 0 db. 80 összes csirke: x db maradék rész: influenza rész 0 db túlélõ rész Þ rész = 0 0 db A róka elvitt 0 db-ot. a) 0 db b) 80 db c) 0 db d) 00 db SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

47 . evétel: maradék CD eladás bevétel része rész: internet mill. dollár turné A CD eladás utáni maradék része = millió dollár. Þ Internetbõl millió dollár. Þ CD eladás: = dollar evétel: = dollar A zenekar bevétele millió dollár volt..,x = µ 000 x = Nagy úr Ft-ot keres. x 0. > + x = + x = x = Júniusban átlagosan mm csapadék hullott. 7. Én most: éves 0 év múlva: = 8 éves voltam, amikor az apám éves korkülönbség: év Az apa most: + = 70 éves 0 év múlva az apa 80 éves. x 8. > + + x = 0 A színésznõ most 0 éves x = 8 x = 0 Egy margarin tömege 0 dkg. év 0. = K = K N + K = K + N = K + a) banán kiwit ér. b) Ha N = K +, de = K, akkor N = K N = K tehát egy kiwi fél narancsot ér. év része = 0 év év A színésznõ életkora 0 év 0 év 7

48 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Rejtvény:. Hogyan születnek az egyenletek?. Gábor: x µ = 0 x = x = 8 alázs: (x + ) = 8 x + = 8 x = Eszter: (x + 8) µ = (x + 8) = 8 x + 8 = 8 x = 90 µ 8 = 7. a) x = x = x = b) x µ = 8 x = 8 + x = 7 c) 0, x = 9 x = 9 0, x = 8 d) x + 7 = µ7 x = µ7 µ 7 x = µ e) 9x + = 9x = µ 9x = 99 x = 99 9 x = f) 8x µ = 99 8x = x = 0 x = 0 8 x = g) x + 7 = x = µ 7 x = µ x = µ x = µ h) 8 = x + x = 8 µ x = x = x = 7 i), +,x = 9,x = 9 µ,,x =, x =,, x = j) (x + ) = 7 x + = 7 x + = 9 x = 9 µ x = x = x = 8 k) (x µ ) + = ( x - ) = - x - = x = + x = l) (x µ 7) µ = 7 ( x - 7) = 7+ x - 7 = 0 x = + 7 x = 0 x = x + x + m) - = - =- + x + = x + = 9 x = 9 µ x = 7 x - x - n) - = = + x = x = x = 7 x - x - = x = + 7x - 7x - 7x - o) + = 0 = 0 - = 8 7x µ = 8 7x µ = 7x = 8 x = 8 7 x = 9 = 90 8

49 . A versenyzõ tömege: x kg. x µ 8 = 87 Þ x = x = x = x = 8 A versenyzõ tömege 8 kg.. a) x + x + = x = µ x = x = x = b) x µ µ x = 7 x = 7 + x = 7 x = 7 x = c) x + µ x x = x + = x = µ x = x = x = d) x µ x µ + x + 8 = 9 x + = 9 x = 9 µ x = 88 x = 88 x =. Karcsi gólyalábai: x cm; Karcsi x cm magas. x + x = 0 x =, Gólyalábak hossza:, cm Karcsi magassága: 7, cm. A túra hossza rész 0 km rész = 0 km Þ rész = km Þ A túra teljes hossza: km. 7. Vidor x Tudor x Szende x Szundi x Þ x + x + x + x + x + x + = Hapci x 0x = 0 Kuka x x = Morgó Szundi db palacsintát evett. 8. Citrom Vanília x µ x x µ + x = 07 x = 8 Vanília: 8 gombóc. Citrom: gombóc. 9. Napóleon Wellington lücher x fõ x fõ 000 fõ x x = x = Napóleon serege: fõ. Wellington serege: fõ. 9

50 0. x µ = 7 x = 8 Katinka oldotta meg helyesen az egyenletet.. a) µ ( + x) = - ( + x) = - + x = x = x = µ x = µ b) [ + (x µ )] µ 0 = c) d) + (x µ ) = ( x - ) = - (x µ ) = x - = x µ = x = + x = = x x + = 8 x = x - 7 = x = 8 x = 8 x µ 7 = x = + 7. a) Pl.: Egy szám -szereséhez -t adtam, így -ot kaptam. Melyik ez a szám? x + = x = 7 b) Gondoltam egy számot, elvettem belõle -at, a különbséget elosztottam -tal és hozzáadtam -hez, így -ot kaptam. Melyik számra gondoltam? x - + = x = c) Egy számhoz hozzáadtam a -szeresét, -szorosát, -szeresét, majd kivontam az eredménybõl -t, így 8-at kaptam. Melyik ez a szám? x + x + x + x µ = 8 x = Rejtvény: pl.: x µ µ x µ x = 0 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE = x + = 8 x = x - 7 = x [ + ( x - )] = + 0 x + = x + = 8 8 x - 7 = 8 x = - 8 x ( x - ) = x + = 8 = - 8 x = = 8 x - 7 = 0

51 . Mérlegelv I.. dkg 0, kg 0, kg 0, kg 00 kg = dkg = 7 dkg zacskó cukorka + dkg = 7 dkg Mindkét oldalról vegyünk el dkg-mot. zacskó cukorka = 7 dkg zacskó cukorka = 8 dkg. a) x+ = /µ b) x + 80 = 007 /µ80 x = 9 x = 77 c) x + = /µ d) + x = /µ e) + x = 0 /µ x = µ x = x = µ f) 7 = x + /µ g) x +, =, /µ, h) 0, + x =,0 /µ0, = x x = 0,8 x = 0,8. a) xµ = 9 /+ b) x µ = 9 /+ c) x µ 8 = µ /+8 x = x = x = d) µ + x = /+ e) µ + x = 0 /+ f) 9 = x µ /+ x = 9 x = = x g) x µ, = µ /+, h) µ, + x = 0, /+, x =, x =,8. a) x = / b) 8x = 9 / 8 c) 8x = / 8 x = x = x = d) 000x = / 000 e) x = 0 / f) x = µ x = 80 x = 0 x = µ g) µx = 7 / µ h) µx = µ8 / µ x = µ8 x = + x x x x. a) = 8 / b) = / 8 c) = / 9 d) = / 8 9 x = x = x = 9 x = e) x = 8 / f) x = / g) x = µ9 / 7 x = 8 = h) µ x = / µ 7 7 x = Ê 7 ˆ - Á =- Ë x = = x =-9 =-

52 . a) x + = /µ b) x + 7 = /µ7 c) + x = /µ x = / x = / x = 0 / x = x = x = d) x µ = /+ e) x µ 0 = 0 /+0 x = / x = 0 / x = x = f) 9 µ x = 7 /µ9 g) = 0x µ /+ µx = 8 / (µ) 0 = 0x / 0 x = µ = x h) 9 = + x /µ i) 8 = µ x /µ = x / = µx / (µ) 9 = x µ = x j) x + = /µ k) x µ = /+ x SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE = / x = / x = x = fi 8 l) µ x = 0 /µ µ x = µ / µ x =- Ê ˆ Ë - = a) x = x + 8 /µx b) x = x + /µx c) x + 7 = 0x /µx x = 8 x = / 7 = 9x / 9 x = = x d) x = x + /µx e) x = x µ /µx f) + x = 7x /µx x = / x = µ / = x / x = 7 x = µ = x g) x = 9 - x /+x h) x = - x /+x i) µ x = x /+x x = 9 / x = / = x / x = x = 9 = x 8. a) x + = x + 7 /µx b) x + = x + 9 /µx c) x + 8 = x + /µx x + = 7 /µ x + = 9 /µ x + 8 = /µ8 x = / x = / x = x = x = d) x µ = x + /µx e) x + = x µ 8 /µx f) x µ = x µ /µx x µ = /+ = x µ 8 /+8 µ = x µ /+ x = 9 = x / 8 = x / = x = x

53 g) x µ = µ x /+x h) x + = µ x /+x x µ = /+ x + = /µ x = / x = 0 / x = x = i) 8 µ x = + x /+x 8 = + 0x /µ = 0x / 0 x = = 0 9. házszámunk: x x < 8x 8 x + 8 = 8x /µx 8 = x / = x 0. gondolt szám: x x > x 9 x µ 9 = x /µx µ9 = x / x = µ Ell.: a szám -szerese: µ a szám -szerese: µ µ < µ 9. Soklábú Állat lábainak száma: x. Még Több Lábú állat lábainak száma: y. x + 0 = y 7x µ = y x + 0 = 7x µ /µx 0 = x µ /+ = x / 8 = x Soklábú Állat lábai száma: 8 db Még Több Lábú lábai száma: 0 db Rejtvény: A futballcsapat fõbõl áll. a + b x + y = = a + b x =0 = 0 Különbség: y = Þ éves a kiállított játékos.

54 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Mérlegelv II.. a) x µ + x + = b) + 9x µ 0 + x = 0 9x µ = /+ x µ = 0 /+ 9x = 7 / 9 x = / x = x = = c) x + + x + x µ = x + /ö.v. d) x µ µ x + 9 = 7 µ x /ö.v. 0x µ = x + /µx 7 µ x = 7 µ x /µ7 8x µ = /+ µx = µx /+x 8x = / 8 x = 0 / x = x = 0 e) x µ µ x = x + + x µ /ö.v. µ µ x = x µ 9 /+x µ = 7x µ 9 /+9 = 7x / 7 = x f) x µ x µ 9 = x + 8 µ x + /ö.v. 0x µ 7 = µx + /+x x µ 7 = /+7 x = / x =. µ x = 8 µ x /+x = 8 µ x /µ8 µ = µx / (µ), = x. 9x µ = 8 + x /µx x µ = 8 /+ x = / x =. Egy aranyrúd tömege: x kg. Aladár Elemér Jonatán x x x + x x + x + x + x =,8 x =, kg Egy aranyrúd tömege, kg.. Széchenyi atthyány x + x x + + x = 99 x = atthyány Lajos: éves volt. Széchenyi István: 7 éves volt.

55 . n oldalas legyen a novella. n + n + 8 = 0 /µ8 n = n = oldalas x x 7. a) + = b) x - x = x + x = / x - x = /ö.v. x = 90 / x = 8 x = / x = x = c) x x x x x + + = 8 /k.n. d) + = - /k.n. 0x x x x x /ö.v. / - x + + = 8 + = x x = 8 / = /+ x = x = 0 8. x = x x =, kcal Egy zsemle energiatartalma, kcal. 9. x x = x + x + 0 = x /k.n. /ö.v. 7x x / - 7 x + 0 = x 0 = / x = 0 = 8 8-as számú házban lakom = x 8 = x /

56 0. a) (x + ) µ x = b) x + ( µ x) = c) ( µ x) + = x µ µ x = /µ x + µ x = /ö.v. 0 µ x = x µ /+x µx = / (µ) µ x = /µ 0 = x µ /+ x = µ µx = / (µ) = x / x = µ = x d) µ (x + ) = x µ /z.bontás e) 000 µ (x + ) = 000 /µ000 µ x µ = x µ /ö.v. µ(x + ) = µ000 / (µ) µ x = x µ /+x x + = 000 /µ = x µ /+ x = 998 = x / = x f) 8x µ (x µ ) = µ (x µ ) /+(x µ ) 8x = / 8 x =. 7. évfolyam száma: x fõ. Aggtelek Hortobágy Veszprém Nem szavazott x x x x + x + x + = x x = 80 fõ A hetedik évfolyam 80 fõs. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. rigi Erika Pisti Zoli kg 7 kg 9 kg kg kg... x Ft x 7x 9x (x µ ) x + 7x + 9x + (x µ ) = 8 x = 7 Ft kg dinnye 7 Ft-ba került.. a) (x + ) + x = b) x + (x µ ) = 0 x + + x = /ö.v. x + x µ = 0 /+ x + = /µ x = / x = / x = x = = c) (x µ ) = (x + ) d) 9( µ x) = (x µ ) x µ = x + /µx 9 µ 9x = x µ 8 /+9x x µ = /+ 9 = x µ 8 /+8 x = 0 7 = x / = 7 = x

57 e) (x µ ) = (x µ ) f) ( µ x) = (x µ ) x µ = x µ /µx µ 0x = x µ /+0x x µ = µ /+ = x µ /+ x = 8 / 0 = x / x = x =. a) (x + ) µ 8 = (x µ ) µ x b) ( µ x) + = x µ x + µ 8 = x µ µ x /ö.v. µ x + = x µ x µ = x µ /µx 9 µ x = x µ /+x µ = x µ /+ 9 = 7x µ /+ 9 = x = 7x / 7 = x c) µ (x µ ) = (x µ ) µ x /z.b. d) (x µ ) µ (x µ ) = x + 9 /z.b. µ x + = xµ µ x /ö.v. x µ 9 µ x + 8 = x + 9 /ö.v. µ x = x µ /+x x µ = x + 9 /µx = 8x µ /+ x µ = 9 /+ 8 = 8x / 8 x = 0 = x. Áron Gergõ x Megmaradt pénz: - 00 < x + 00 Ê x ˆ - 00 x 00 Ë = + x = 00 Áron és Gergõ 00 Ft-ot kaptak külön-külön.. rokkoli Gomba x µ x x µ, = ( µ x) rokkoli: x = 0, kg Gomba:, kg 7. Ha Levente 00 Ft-tal kevesebbet visz, akkor Sanyinak kétszer annyi pénze van, mint Leventének. Vagyis: Sanyi pénze: (x µ 00). Zsuzsi Levente Sanyi x x (x µ 00) x + x + (x µ 00) = 00 x + x µ 00 = 00 /+00 x = 000 / x = 00 Levente: 00 Ft Zsuzsi 00 Ft Sanyi 800 Ft 0 = x 7

58 8. Anglia Új-Zéland Olaszország Skócia x + Angliából felírva: ; x x x + 0 x = + / x = x /µx x = / x = 08 Új-Zéland = 09 pontot szerzett. Rejtvény: Tanár Apa x évvel ezelõtt µ x 8( µ x) µ x = ( µ x) Most 8( µ x) 8( µ x) µ x = ( µ x) /+x 8( µ x) = ( µ x) + x /µ( µ x) ( µ x) = x 0 µ x = x /+x 0 = x x = 8 7 Apa most: 8 ( - 9) = éves.. Amit nem szabad elfelejteni: az egyenlet alaphalmaza. x ÎN 0 + SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE x + x + 7 x + a) = / b) = / c) =- / x + = /µ x + 7 = /µ7 x µ = µ8 /+ x = 0 ÎN x = µ ÏN x = µ ÏN x - x - - x d) = 8 / e) = / f) =-7 / x + = /µ x µ = 0 /+ µ x = µ /µ x = / x = / µx = µ / (µ) x = ÎN x = ÏN = x ÎN 8

59 . x ÎQ x - x x a) + = /µ b) - = /+ c) + = 8 /µ x - x x =- / = / = / x µ = µ /+ x + 7 = /µ7 µ x = /µ x = µ ÎQ x = 7 / µx = / (µ) x = 7 ÏQ x = - ÎQ d) x - x - - x + = x / e) + x = - / f) - x = / x µ + 8 = x x µ + x = µ /+ µ x µ x = 0 x + = x /µx x = µ / µ 7x = 0 /µ = x / x = µ ÎQ µ7x = / (µ7) = x ÏQ x = - 7 ÎQ. x ÏQ; x > x - x x + x + a) + = / b) + = / (x µ ) + x = x + + (x + ) = 0 /z.b. 9x µ + x = /+ x + + x + = 0 /ö.v. x = 8 / x + 8 = 0 /µ8 x = 7 ÎQ x > x = / x = ÎQ x > c) x - x - x + 7 x - + = x / 0 d) - = x - 7 / (x µ ) + (x µ ) = 0x /z.b. 7(x + 7) µ (x µ ) = x µ /z.b. 0x µ + x µ = 0x /ö.v. 7x + 9 µ x + = x µ /ö.v. x µ 7 = 0x /µx x + = x µ /µx µ7 = x / = x µ /+ - 7 = x ÎQ de x >/ = x / nem megoldás. Az iskola énekkara: x fõ. Szoprán Alt Mezzo 0 x = x = x 00 0 x x + x + = x 0 = x ÎQ x > megoldás x =, nem megoldás, mivel x-szel a gyerekek számát jelöltük és ez csak pozitív egész szám lehet. = 9

60 . Hugi fogainak száma: x. Öcsi Hugi µ x x ( µ x) < + x x ( µ x) + = x = nem megoldás, mivel egy embernek nem lehet db foga.. elgium Magyarország Észtország 0 + x + x 0 + x x 0 + x + x - = 900 x = 0 00 dollár Magyarország egy fõre jutó GDP-je 0 00 dollár volt Diák Felnõtt délelõtt: x + 70 x Þ x x = 0 x = 0 du. y + 70 y Þ y y = (x; y ÎZ + ) y = y = 7, Nem kaphatunk törtet. 8. Marci és a cukorgyár Háry Péter ékaember x + x < x + x = x = Marci és a cukorgyár címû film bevétele,8 millió dollár, a Háry Péter címû film bevétele 9 millió dollár volt. 9. a) lábú lábú 8 µ x x (8 µ x) + x = x = db szék Nincs megoldás, mert minden széken ült valaki, így fõnek kellene a teremben lenni a tanárral együtt. b) (8 µ x) + x = 7 x = µ9 nem lehetséges, mivel darabszám nem lehet negatív. Rejtvény: + 9 (x µ ) + x = A bal oldali összeg minden tagja -mal osztható, így a bal oldali összegnek is oszthatónak kellene lennie -mal, de a nem osztható -mal. 0 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 7 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

61 . Mikor érdemes egyenleteket használni?. A fiúk száma -gyel több a lányokénál. Lányok: x fõ; fiúk: x + fõ. Gabinak kétszer annyi fiútestvére van, mint lánytestvére. A testvérei száma: lány fiú x µ < x + (x µ ) = x + x = Þ x + = A családban lány- és fiúgyermek van.. x µ 700 = 700 µ x x = 0 db 0 db juha van a juhásznak.. Apa Fiú x x x µ > x µ x µ = (x µ ) x = 8 Az apa éves, a fiú 8 éves... x + 07, x + 8= x 7 x = 0 0-an jelentek meg az ügyeleten, ebbõl 0-at benntartottak kivizsgáláson, hazaengedtek 9-t. 8. évf. db 7. évf.. évf.. évf. tanár db db 8 db. megoldás: Az újságok száma: x db. megvette maradt 8. o. x x 7. o. x = x x - x = x. o. x - x = x 0 x 0 0. o. x = x 0 x - x = 0 0 x 80 az iskolaújság száma.

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL Tizedes törtek írása, olvasása, összehasonlítása 7. a) Két egész hét tized; kilenc tized; három egész huszonnégy század; hetvenkét század; öt egész száztizenkét ezred; ötszázhetvenegy

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

A KITŰZÖTT FELADATOK MEGOLDÁSAI

A KITŰZÖTT FELADATOK MEGOLDÁSAI Sokszínű matematika 7. évfolyam A KITŰZÖTT FELADATOK MEGOLDÁSAI munkaanyag A * az egész dokumentumban a szorzás jelét helyettesíti! .o. /. : 0, b) : 0, c) : 0, d) 7 7 : 7,87 7 7 e) 0 0 : 8, 8 f) : 8, 8

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

szöveges feladatok (2. osztály) 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen?

szöveges feladatok (2. osztály) 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen? 1. Marika vett 8 kacsát, 7 lovat, 9 tyúkot és 3 szamarat a vásárban. Hány állatott vett összesen? 2. Péter vett 3 dm gatyagumit, de nem volt elég, ezért vissza ment a boltba és vett még 21 cm-t. Hány cm-t

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenlőtlenségek 07.o./. Vác: 9 pont 07o./2. napot dolgoztak Dorka keresete: 000 Zsófi keresete: 200 000+200 = 000 2200 = 000 = 5 5 napot dolgoztak. 07.o./. Arany Ezüst Bronz 2 2++0 Arany:

Részletesebben

ÅÌ ¹ ÄÌ ÐÑ Ð Ø Þ Ì Ò Þ ÃÙØ Ø ÓÔÓÖØ Ì ÓÖØÙ ÓÑ ÒÝÓ ÑÙÒ Ø Ö Î Ñ Ö Ø ØÙ Ó Ú ÒØÙÑØ Ö ÐÑ Ð Ø Ò ÅÌ Ó ØÓÖ ÖØ Þ ÒÝ ØÚ ¾¼¼ º ÖÙ Ö ¾ Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø ÀÓÖÚ ÞØÓ ØÓØØ Þ È ÐÐ Ä Þ ØÓÒ Þ Ò Ø ØÑÓÒ Ó Ñ Ò ÞÓ Ò Ò Ð Ð Þ ÑÙÒ

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

MATEMATIKA A. feladatlapok. 2. évfolyam. 2. félév

MATEMATIKA A. feladatlapok. 2. évfolyam. 2. félév MATEMATIKA A feladatlapok. évfolyam. félév A kiadvány KHF/3993-18/008. engedélyszámon 008.08.18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor Szakközépiskola 9. évfolyam I/1 gyakorló feladatsor 1. Adott az A={1,,3,4,5,6} és a B={1,3,5,7,9} halmaz. Adjuk meg elemeinek felsorolásával az AUB és az A\B halmazokat!. Számítsuk ki a 40 és 560 legnagyobb

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Név:. Dátum: 2013... 01a-1

Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Ezeket a szorzásokat a fejben, szorzótábla nélkül végezze el! 1. Mennyi 3 és 3 szorzata?.. 2. Mennyi 4 és 3 szorzata?.. 3. Mennyi 4 és 4 szorzata?.. 4. Mennyi 5 és 3 szorzata?..

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 3. évfolyam Diák mérőlapok A kiadvány KHF/3992-8/2008. engedélyszámon 2008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? A 36 dióból 27 Annáé

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. Írd le számokkal! Hat, tizenhat,,hatvan, hatvanhat, ötven, száz, tizenhét, húsz nyolcvankettı, nyolcvanöt. 2. Tedd ki a vagy = jelet! 38 40 2 42 50+4

Részletesebben

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege Jármezei Tamás Egységnyi térfogatú anyag tömege Mérünk és számolunk 211 FELADATGYŰJTEMÉNY AZ ÁLTALÁNOS ISKOLA 3 6. ÉVFOLYAMA SZÁMÁRA Jedlik-verseny I. forduló 3 4. o.: 1 5. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat

Részletesebben

Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 1x 4 0 Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ) Számítsa ki a 1 és 75 számok mértani közepét! A mértani

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy okresného kola maďarský preklad 35. ročník, školský rok 2013/2014 KATEGÓRIA P 3

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy okresného kola maďarský preklad 35. ročník, školský rok 2013/2014 KATEGÓRIA P 3 KATEGÓRIA P 3 1. Misi két csomag rágógumiért 4 eurót fizetne. Írjátok le, hogy hány eurót fog Misi fizetni, ha mindhárom testvérének egy-egy csomag, saját magának pedig két csomag rágógumit vett! 2. Írjátok

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

Az oszlopdiagram kinézhet például úgy, mint a bal oldali ábra. 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2. Kategória busz teherautó furgon személyautó összesen

Az oszlopdiagram kinézhet például úgy, mint a bal oldali ábra. 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2. Kategória busz teherautó furgon személyautó összesen STATISZTIKA 9.7. STATISZTIKA Az adatok ábrázolása megoldások wx76 Az oszlopdiagram kinézhet például úgy, mint a bal oldali ábra. Napi futásteljesítmény Almafajták megtett kilométerek 9 7 6 hétfô kedd szerda

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím SG-s csoport Pontszám 2016. január 16. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Á Á Á Ó ő ő ő í ő ö í ő ő ó í ó í ö ú ű í ó í ö ö őí ö ö ó í ő Á Á ö ö ű ö ö ö ö ö í ö ő ő ö ö í ő ö Ö Ú É Á őí í ö ö ö ö ö ő ö ő ő Ó ú ö ö ó Á ö ö ö í ö í ö í ű ö ö ű ö É ö ú ö í ö ú ű ö ű ö ö ő ű Ö ő

Részletesebben

ö í ő ő ő ö ö ö ö ö ő ő í ű ő ő ő ő ő í ű ő ő ő ű í ű ó ő ő ó ú ő ő ó ó í ó ö ö ö ő ő ő ő ú ú ó ö ö ő ő ű ö ö ú ó ó ó ö ú ő ó ö ő ő ö ő í ö ö í ő ö ő ö ő ö ú ő í ő ő ö ú ű ő ő ő ő í ö ö í í ú í ö ó ő ö

Részletesebben

Ó É Í ű ö ö ű í ö ö ö ö ö ö ö í ö ú ö í í ö í í í í ű ö í ö í ú Á Í Ó Á í ö ö ö ö ö ú Ú ö í í í ö ű ö ú ö Ú É É ö ú ö ö ú í í ú ú í ú ú í É ö É ö ú ú ú ö ú ö ú í É ö ö ö ö ö ö ú ö ö ú ú Á í ú ö Í ö í ö

Részletesebben

Í ö Í ú Ú ö É Ú É Í Ó Ó ö ö ö Ö ú ú ú É Í É Í Ó Ú ö ö Ú É Í Ö ú ö ú ú Ö ú ű Í Ó ú Í ú Í Á É Í Ó Ö ö ú Ú Ö ö Ú É Í Ó É Í ú ű Í Í öé ö Í Í ú ú ű ö Í ú ű ö ú É ű ú ú Á ú Ö ú ú ö ö ú ű ú ö ö ö ö ú ű ú ö ú

Részletesebben

ú ű Í Í Ó ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ű Í ű ú ú ú Í ú ú ú É Ó Á Á Á É Á Á Á ú ű Á Á Á É ú É Á ű Á ű Á Á Á Á Á ú ú Á ú É Á É ű ű ú ű ú ű Í ű ú ú ú É Í É Í ú ú ű ú Í ú Í ű ű ú ű Í ú ú ú ú ű ú ú ú ű

Részletesebben

ű ű ű É Ü ű ű ű Ö Ü Ö ű Ö Ú Ö ű ű ű Á ű ű Á É ű Ú ű Ó ű É Ó É ű ű É ű ű ű Á ű ű ű ű Ö Ö É Ú Í ű Ó ű Ö ű Ö Ö Ö Ö Ö ű ű ű ű ű Ö É É Á Á É Ö Ö É Ú Á ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű Ő ű Á ű

Részletesebben

ű Ó ú ú ú ú ú Ö Ö ú Á Ú ű ú ú Ú É ú ú Ö Ö Ű ú ú ú ű ú É ű ú É ú ú ú ű ű ű ú ű ú ű ú ű ű ú ű ű ú ú Á ú É ű ú ú ű ú Ü ű ú ú ű ű ú ú ú ú Ö Ö Ú ú ú ú ú ú ú ú ű É ú ú ú ű ú ú ű ú ú ú É Í ú ű ú ú ú ú ű ű É ú

Részletesebben

í Í Ő í Ü ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó Ó Á Ó Ü í í ó í Ó Ü í Ó Ó í ó ó ő ő í Ó í Í í Ő í ó í Ó ö ó ó Ö ó ó Á Á ó Á ó É ő í í ő í Í í í í í ó ó ó í Ó Á ö Ö í í É Ő Á ó Á Á É Í É ó í ő í ő Ó ó ó í ó ő ó ó í ó ő Ó ő í

Részletesebben

Á Á Ö Á Ó Ü ü Á Ó Á Á Á ú É É É É É É Á Á Ó Á Ó Ó Á Ö Ó Á Ó Á Á Ó Á Ú Ö Ö Á Ö Á Á Á É Á Á Á Á Á Á Á Á É Ó É Á Ó É Ó Á Ó É Ó É Á Ó Ö Ö Á Ó ö ö ú Ö Á É Ó Ú Á Á Ú Ó Ó Ó Á Á Á Á Ú Á É Á Á ö Á Í Á Á É Í

Részletesebben

ö É ú Á Á Á Á Á É ü É É Á É ö Ő Ó Á Ő Ó Ó Í Ó Á ö Á Á Á Á Á É ÁÉ Á Á Á É É Ú É Á Á Á É É Á Á Á Ö Ö É É É É É É ú Á É É Ó Á Ó Í Ó Á Á Á ú Á ö É É É É É ő Á Ú Í É Á ö Á É Í É Ő Ó Ó Á É Í Á É É ö É Á Ő Ó

Részletesebben

Á Ú ő ú Ö ó ó ó ő ő ó Ö ő ú ó Ö ú ú ó Ü ú ó ó ó ó ű ó ó Í ú ő É É ő ő ű Ü ő ú ó ő ó ú ú ó ó ó Ö ú ő ú ő ú ő Ö ő Ü ő ó ó ó Ö ú ő ó ó Í Á É É É Á Á É É ó ú ó ő ó ó ó ó Ó ó ű ő ű ó É ú ó Ö ő ú ó Á É Á Í ó

Részletesebben

ö ö Ö Ü ó í ö Ö ó ó ó ó í í ö ö ö í Ü Ü ö ö í í ó ö í ó ó ó ú ű ó ó ó ó ó ó ó ó ö ö í ó ó í ó ö ű ö ö ö í ú ú ó ó Ö ö ú ű ö í ó ó í í ú ö ö í ú ű ó ó ó ó ó ó ö ó í ú ű í í í ó ó ó ó í ó ó í ú ö ű í ö ó

Részletesebben

Ü ú ő ó ö Ö ó ó ő Ö ú ő ö ó ő ó ö ö ú ó ő ö ö ő ő ö ó ú ő ö ö ő ó ö ó ö ö ö ó ó ö ó ó ú ú ö ő ú ö ó ó ó ö ö ö ö ú ö Ü Á ú ő É ó ő ö ú ő ő ő ú Ö ú ó ó ó ó ú ő ó ö ő ó Ü ú ő ő ö Ü ó ő ó Á Á Ü ő ö ö Ü ö ö

Részletesebben

Í ö ö É Í ö ú ú Í ö Ö ú ö ú ú Ú ö ú Ö ú ú ú ú ú Ó ö ö ú ú ú Á ú Á ú ö Ú ö Ó ú Ú ö ö ö ú ö ö Á Í ö ö ú ö Í ö ö ö ö É ö ű ö Í ö ö ű ö É Á ö ö ö ö ú Í ö ö ú ö ö ú É Á Í ú ö ö ö ö Í Í ú Í Í Í É Í ű Í Í Í Í

Részletesebben

ő ö Ö ő í í ő ó ő í ó ő ő Ö Ö ő ö í í ö ö í ő ő í í í í ő Ü í ö ö í ű ó ö Í í ö ó í Ü Ü É í ő ö í ő Ö Ö ő í í í Á ő ő í ő ő ö ö ö ö ó ö Ö í í ó ő Ü í ó ó ő ó ő ó ó í ó ö ó Ó í í í Ö í ő ö ö ö ó í ő ő í

Részletesebben

Ú Á É í ő í ó ó ó í ö í ö ö ö í ö ö ö ö ö Ú ö ó ö ö ö í ö í ő ö í í ő ö ú ö ó ö í Á í ó ő ú í ő ő ú í í ó ő í ó ó í í ő ó ó ó ő ó ó ő ü í ü ó ü ő ó ő ó ü í ó í ő É ö ö ö ő ü ő óí ö ű ö ü ó ö ö ő í ó í

Részletesebben

ú ó ó ó ó ó ú ó í í ó í ú í ó í ú ó ű ú í Á ó í ó ó ó ó í í ó í í ó ó ó ó í ú ó ó í í í ó í ó í Ó Ö í ó ó ű í ó Ő ű í ó í í ó ű ű ú í ú í ó í ó í ó í í í í ó ú ó í ó í í Ő ű í ó í ó í ű ó ó ű ó ó ű í ó

Részletesebben

Ö Ú Á É É Í Á Ü Á É Ö Ö ő Ö Ö Ö É Ó Ö Ö Ó Ö Ö Ö Á Ű É É Ó Ó Ó Ö Ó ő Í ő Ó Ö Ö Ö Í Ö Ú Ó Ó Ó Ö Ö Ó Ó Í Í ö ú ö ű ö Á ö Í ő Á ö ü ö ö ü ö ü ö Ú ö Ö Ö Ö ő ő ő Ó ő ö Ö ÍÍ Ö Í Ö Ö Í Ö Ö Í Í ő Ö ö ő ő ú ö ü

Részletesebben

á á Á Á É É ÉÉ ú í Á Á É ö É Á Á á á é á é á Ű é á á é ő á á á é ú ő ő é á ó é é á í á ó á é ő é á á á é ó í á á ü é é á é á á é á á ó é é ö é Ü Ö Ö á á é é í é ú á ö é ö é é á á é á á é é ő á ő ő á é

Részletesebben

Ó Ú Ö É Ö Á Ú Ó É Ö É É Ö Á Á É ö ü ö í ö ö ő ó ö ö ő ő ö ó ö ű ő ő ö ö ű ö í ő í ű ö ü ű ö ó ö í ó í ű ó ű ö ő Á Á í ú ő ö ö í ó ú ó ú ó ú ó ú ó í ó í í ó ö ö Ö í ó ő ú ő ó ú Ö ű ő ö ö Á Á Ó ó í ó ó ö

Részletesebben

Á Á Ő É Íő á á ö Í á Í ó ó ó á á á á á ó ö ő á ő ő á á ú á ó á á ő á ó á á ó ö ö á Á ő ó á ő á ö ó á ú Í É á Í á á ó á É á á Í ö á á á ó Í ő á ó á á ú á ó á ó ó ó ú á ú á ű á ű á ó ű á á ő á á Í á ó á

Részletesebben

í á í ö ö ö é ú é ö é ö ü é ö é é é á é á ü á ó á é Íí ő ő é ü é á á á ó ó ú ö é áíű ő ő é ö ó é í é é é á á é í á á ó é á ó é ü á é é Í í é ü ő ő é á é ü ú ó á é ű ő é ő ő ö ű ő ő á á á á í é é é á á

Részletesebben

Í ű é ó ú Á ö ő ö é é é á é é ó ú ő ö é ó é á é é é é é é é ó á É É ü ő é é ó á á í á ó á é á ó á é é ü ó é ü ö ó ú ö é ö á ű á í é é é ü é é é ö á á á é ó é é ü á ü á á ú á á á á é é é é ü é é é ó é á

Részletesebben

Á Á É ö ó ö ü ó ú ű ö ú ó ü ö ü ú ú ö ö ű Ü ö ö ű í ó ű í í Ö í ű ű í ű ű í Í í ó ű Ű ű í Ö Ö Á Á Ű ú ö Ő ű ü í Ö í Ő ű ű Ú ó Ö ű í ö ű í ü ö ü ö É ö ö ű ü í Ú í í ö Ő ó ó Ö ó í Í ö ö ó Ö ű ó Í í í ö ö

Részletesebben

Á Í Á ü É ó ü ÍÉ ó ü ü ó Á ü ó ö ö ó ú ü ü É ú ü ó ó ó ü ü ü É ó ö ö ö ú ü ü ü ö ö ö É É ú ó ö ó ó ő É ö ö ó ó ú ü ó ó Á É ó ó ü ó É ó ó ü ó ó ó ó óű Á ü óű ú ü ú ü ü ú ü ú ü ú ü ö ü ü ó ó ü ó ó ű ü ü

Részletesebben

Á Á É ó ú ó ő ö ü ő ó ó ö ö ö ő ó ó ó ő ö ü ő ó É Á ő ó ö É ó ú ö ű ú ó ú ö ő ó ú ó ó ó ó ú Ú ő ú ó ü ó ü É ő ő ő Ö ő ö Á ó ö ó ö ó ö ó Á ő ö Í ó ő ó ó ó ő ő ó ü ó ó ó ö ö ó ö Á ü ú ó ő ő ó ó ü ó É Ö Á

Részletesebben

ű ö ú É Í Á ü É ó ű ö ú ú ő ó ó ö Í ő ó ó ó ó ó ö ó ő őí ö í ö ő ö ő Á Á É őí ő ü őí ü Á ó Á í í ó Á ó ó í ó ó ő Á É ö Ú ő ü Ö ó ö ó ö ö í Á ö ő ő ó ó ó ó ö í í í ú ó í ö ö ő ő ő Ö ő í ö ó ó ö í ö ö ő

Részletesebben

í ő ü í ú É ó ő ő ö í ó Í ú í ő ü í ú ü ő ó ó ő ő ő ő ó ö ö ü ö ö ó ö ó í ö ö í ő Ö Ö Ö ő ó ő ő ő ö ő Í ó ő ó Ó ő ó ö ö ú ú ö ö ú ö í ő Á Ö ő ő ó í ő ü í ú ü ő ő ő ő ő ó ö ú Ö ú ú í ö í ó ó Ö ö ő ö ó ú

Részletesebben

ó Ö Ö ü Í Í ó ü í ó í í ü Í ü ü í ó í ú ó í ó í ó ó ü í Á Á í Ó É í Ó ó Ó í Í í í ó í ó Í ó ü ü Ö ü ó í Ó ű Ó ó ó ü í ó í í Ó ú ó ó ó ó ü í ü Í Í ú í Í Ó ó í ü üó ó ü ó í ó ú í ü í Ó Í í Í í ó ó Á ó ó

Részletesebben

ő Ö ő í í ó ó ó ú ő ó ó ü ő ö ő ő ó ó ü ó í ő ö ö ö ó ő ó ö ö ő ó ó ó ó ö É ó ó ű ö ü ő ó ó ú ó í ó ő ó ó ő ú ó í í í ó í í ő ó ó ő ü É É Á Á É É ó ő ö ő ő ő ő ö ő ő ö ő ő ő ü ó í ö ó ó ő ú ő ó í ő ö ő

Részletesebben

Á ö í Ö ó í ö ú ó ü ö ö í í ö ö Í ö ö ö ö í ö í ó ö í í É Á Ó í ú íí Ó É Ű ó ó ű ó ú É É ó í ü í ó ó í ű ó ö ó í ó ű í ó ö ó ú í í ü Á ú í ö í ó ú ö ó ó í í ó í í ü ö ú ű ú ü ó ó í í ü ö ú Í ó ó ó í ü

Részletesebben

ó Ö ü Ö ü í ó ó ü í ó í í í ó í ú ú í í ó í Ú ü í ü Á ü í ú ó ó ó ó ü ü ü Ö í Ü í ü É ó ü ó í í ó í í ú ó ü ó í ó í ü É í í ü ü Ö í Ö ü ó í ó ó ó Á ó ü í Á ó ú ú ú ó ó í ü ü Ö Ö ü Ó í í í ó ó ó ü í ó ú

Részletesebben

Á Á Ő Í É É ó É ü ö í ő ő ő ű ő ó ő á ü á á á ó á á ő É ó ó ü á á á ó ó í á Á ó ű ő ó ü ö ó ö ö ő ö ó ú á á öó ő ó öí ő á í á ő á ö ö ó ö ő ű ö á ú ö ó ó ó á ü ö ö ü ó ö ó í ö ü á í á á í Í ü í íí ö í

Részletesebben

Ó Ú ü ü ó í ó í ó ó Ó É Ü Ö ü ü Ö ü ó í ó ü Ö ü ü Á ó ó Á ó ó Ö Ö ó í ü í ü Ö ű ű ü Ö ó ó í Ó ó ó Ö Ó Ö Ó ó ú í ü Ö í ó í í ó ü Ö Ö í Ó Ó Ó ó í Ö í ó í ü ó ó ó Ö ó í ű ó í ó ű ú ü ó Ó í í ó ó í ú ü ű ű

Részletesebben

ó á í á á ő ű á á ö ű á ó í ő á ő í á ó á í í Í á ő ű á á ő á ö í ő á á á á á ó ö ó á ó á ó ó ó ö á á ö ű á ó í ö í á á É ő ö íí á ö í á á ö á ó ő ó ö á á á á ö á ő á ó á ö í á ó ü ó á ó ö á ó ű ö í ü

Részletesebben

É Ó É É É Ó É Ú Á Á É É ó É Á Á ó É Á Á É ú É Á Á ó ő ü ő ü ő ó ó óú ö ó ó ó í ő ő ő í í ő ú ő ű ö ü ö ú ü ő ö ő ü ó ő ő í ö ő í ú ü ő ö í ő ő ü ő ó ú ó ő ö ú ű ö ő ó ú ü ó ó ü ó ő ó ő ő ő óó í ő ú ó ő

Részletesebben

Á ú ó ú ó őí ö ó ő ő ö ű ú ő ó ű ú ö ö ő ő ö ó ü ö ü ü ó ö ő ö ő ő ü ö ö ü ő ó ö ö ó ő ö ó ó ö ö ö ő ő ö ó ő ő ö ó ő ó ő ő ú ő ó ú ó ő ő ó ö ű ö ó ő ő ö ö ó ő ü ö ő ő ó ó ü ó ö ü ö ö ú ő ő Á ő ő ő ő ő

Részletesebben

Á Ö É Ö Á É Ü É é ü é é ö é ö é ö é é é ö Í ó ó ó ö ü é ó ó ó é ó ó ó é ö é é é ó é é é ö Í ó ú Íü é ö é é é ö ö ö é é ü é é ö é é ó ü é ó ú é ü é ü é ó ó ó é é é ö é é ó ó é ü ó é é ö é é é é Í ó ó Í

Részletesebben

ö ó ü ö ó ü í ó ó É ó ö ö ó ó ó ö ö ü É ü í ü ó í ö í ó ü ú ü ú Á Ó í ó í ö ö ó ó ó í ö ö í ó ó ó í ü ó É ó ó ó í É ú ü ö ű ó ó í ó ú Ó ú ó ó ö ö ú í ú ű ö í ó ű ü ü í ü ü í ó ü í ó í Á ó ó ú ó í ó ö ö

Részletesebben

É Ő É ö ó ó Ó Ö Ó ő ő ő ő ó ó ő ő ó ü ő ó ó ü ö ö Ó ó í í ú ó í ú ó í ü í ő ó ő ő í ö ü í Ó ó í ú ó í ú ó í ü ó ő ö ő ú ö ű ü ő ő í ó í ó í ő ó ő íü ö í ő ő ű ő ú ö ő ö ó ö ó ó ö ö ő ó ó ö ő ő ü ó ö ű

Részletesebben

ö ó ö ó ő ö ú ő í ó É Ü ü ó ó í ö ö ó Á ő ö ó ő í ü ú ö ö í ó ó í ö ó ó Ő Ű í ö ó ü ü ó ő ó ő ő ó í ó ó ó ó ú ó ö ó ö ö ö ó ü ó ü íő ó ó ó í ó ö ö ó ö í ő ű ú ö ö ó ü ú ó ő ó ó í ö ő ő í í ö ö í ó ő ó

Részletesebben

ő ö ő Ö ő ü ó ő ő ő ú ó ő ó ó ü ő ő í É ö ó í ó ó ú í í í ő ó í ö í ü ö ő ö ü ó ö ü ó Á ó ö í ó ó ú ó ó í ó ö ó ü í ő ú í ő ö í ő Á Á ő ő ő í í ő í ő í ó í ó ú ő ő ó ö ő ó í ő ö ő ő ü ó ö í ü ó ö í ö ő

Részletesebben

ű í ö ű ö ű í ö í í ö ó ó ü ó ó ö ó ö ó ó ó ó ó Á ó ó ö ö ö ö ú ö ö ü ú í ö ü í ó í ű í íö ö ö ö ü ó ű ö ó ú ó ö ó ű ű ó ó ö ö ö ü ü ó ó ö ú É ö ö ö ö í ö ó ó ö ú í ö í ó ö ö ó í ó ü ü ü í ó í ö ö ó ü

Részletesebben

ő ü ö í é é é é ő ő ő í ő ő ő ó é é é é ü ö é é ő é í ő ó ó é ü ö ő é é é í é ö é ű ö é éé ő ü é éé ő é ó í í é é í ú é é ö í é é é é é é ú é é é ú é í ó ű ö ő ö ó ü ő ó ö é é é é é éü ö ű é é ü ő ó é

Részletesebben

Ö É É É É Á ü é ü ö ó é é ú é ő ú ö ö é ú é ő é í é é ó ü ü ó é ő í ó ó ű é é é é ő é é é ó ő ö ő ö ó ú ó é é ű í é ó ó é é é é é é é ő ó é é ő é ó é é öü ő é é é é ó é ő é ö é é í é ó ő ó é é é ü ó ú

Részletesebben

Ű Ő É É Á É Ö Á É É Í É É ö ő Ö ő ö ü ó ő ű ő ű ű ő ú ó ü ő Ü ő ö ö ő ö ő ő ő ö ó ő ö ú ó ó ó ö ö ő ő ű ü ü ő ü ü ü ü ü ó ü ő ő ő ö ő ú ü ő ö ö ő ő ó ú ö ö ö ó ö ó Ü ő ő ö ő ó ó Ü ő ó ő ú ó ő ő ö ő

Részletesebben

ő ű ő ö é ö é é ő ü é é ö ü ó Ó Ö é ü é ö é Ö é ő ü é ű ő é é ö ó é Á é ő é é ő í ő ö ö ö ű ö é ő ő ő é ü é é í ő é ő ú é ő ó ó é í é ő ü é ü ó ü é ő ü é ő ü ö ő ü ü í é ü ő ő ö é Á é ő é é ő ü ő ő é é

Részletesebben

í ú ő ö ö í ö ö ö ó ó ú Ó ó í ó ó ú ó ü í í ö í ú ú í ó í ő ú ö ó í í ó ö ő ó í ó í ó í ó ó ú ü ő ó ó í í ő í ú í ó ő ö ö ő ó ó ö Á ö ó ó ű ó ó ó ó í ö ó ö ú ó ó ó ó ü ö ö ű ú ö Ó ü ü í Á ó í ö ő ő í É

Részletesebben

É É Á Í ü ó ó ö ö ó ó ó ű ö ü í ü ü ü ó ó ó ö ó ó Í ö ó Í Á Á É Á í Í ö ó ó ü ó í ö ö ü ö ü ö í í Í í ü í í ó ó í ö í ö ö ó í ö ö í ó ö ö í ú ö ü ö ó ü ó É í ö ü ö í ó ó ö í ó ö ó ó ó ö ü ö ó ó í ö Í ö

Részletesebben

Á Ö É É É É Í Ü Ő Ü Ő É ó ő ó ó ű í ó ő í í ó ö ö ö ú ú ü í ü ü ő ő ü ú Á ő ú ú í ó Ü ö ő í ő ú ö ó ú ö Ö í í ó í í ő í ü í Á Ö Ö í ü ü ő Ü ő ú ő ú Ő ü ő ú Ú ő í ő ó ű í ő ó ő ú ö ő ü Ü ő ú ő ő ő ó ö Ő

Részletesebben

É Á í Á Á É Í É É É É Á í ó ö ö ü ú íű ö ö ö ő ö ö ö ö ű ó ő ó ö ö ú í ó ö ő ó ő ó ó ó Á ó í ő í í í ö ü ó ö ő ő ó ó ű öó ó ö í ó ö ö ú ú í ü ó ó ö ö ö ó ö ó ó ó í í ó ó ö ó ő ö í ű ó ü í ö ü ö íí ö ü

Részletesebben

Á Á ü ö Ő é ü ö é é é ü ö ö ö ó ü ü ü é ü ö ö é Á ö ö ö é é é é é í é í ó é ó é ó ó ö ü ö í é ü ü é ö ü í ö é é ü é ó é ö é é ü é é ü é ü ü ü é ö ü é é ü ö ö ó ö ó í üí ö é é Á ú ö é é ü ú ó ö ó ö í í

Részletesebben

É ü Ó É É ö É Á Ó Á É É ö É ü ü ű ö ű ö Á Á ö ő Á ő Á Á Ó ü ö ö ő ű ú ú ő ő ú ú ö ö ű ő ú ü ü ö Ó Á ö ü ö ö ü ő őü ö ö ö ő ű ő ö ö ő ő ö ú ö ö ö ú ö ú ű ö ő ö ö ö Ó ö ö ü ö ö ü ö Í ö ö ö ő ű ú ú ő ő ú

Részletesebben

Á í Á É í ü ő ö ö ó ó ó ö ó ő ő ö í ó ő ő ő ó í Á í ü ő í ó ő í ő ő ő ő ű ő ú ó ő í ő ő ó ó ő ó ü ó ö ő ő í ő ő ö ő ő í ő ő í ő í ű ő ó ü ő í ő í ő í ü ü í ő ő ö ö ü ó ú ó ú ű ő ö ö í í ú ű ö í ő ű ő Ú

Részletesebben

ö Ü Á Á Á Á Á Á É ö ü Á Á Á ö Á Í É Á Á ö ü ő ú ő ü ö ü ő ö ü ö ü í Á í ö ö ü í Ö ú ö ö ü ő Ö Ü Ö í í ö ö ö í í ú ö ő ü ü É ő É ő Á Á Á É É ü ű ö ő ű ú ú Á Á Á É É ü í ü ö í í í í ü ö ö ő Ö Ö í ü ö í í

Részletesebben

ó Á Á É ó ó ó ó ű ó ó ú ó ó ú ü ó ó ó ü ó ó ó ó ó ó ü Í ű ó ű ú ü ű ó É ó ű ó ó ű ó ü ű ó ó ü ü ó ó ó ó Í ü ó ó ü ó ű ú ó ó ó ü ó ü ú ű ó ú Í Ú ű Í Ö ó Á Á Á Á É Á Á Á É ó ó ó ó ú ó ó ü ü ó ü ó ó ó ó ó

Részletesebben

Ú ó ó É ó ó Ü ű Ü Ö Ö ő ő Ú ó Ü ó ő ű ő Ú ó ő Í ó Í ő ő ő ö ó ú ö ő ú ó ő ő Ü ö ö Ú ó Ú ó ó Ü ő ő ő Í ú ó ő ő ó ő ó Ö ő ó Ü Ü ű ó Ú ú ú Ü ő ő ő ú ó ú ó Ü Í ó Ü ó Ú ő Ö ö ö ö ű Ü ű ó ő Ú ó ö ó ő ó ú ú ő

Részletesebben

Á Á ó ó ő ó ü ó ó ó ó ó ő ó Á ó Í Í ő ő É Á ó ó ó ó Á ő É ó ő ő ő ő ü ó ő Ö Ö Ö ő ó ő ó ő ő ő ú ő Á Ö É ó ó ő ó Á ő ó ő ő ő ő ó Ö ú ú ú ű ó ó ő ó ú ú ő ó ü ó ó Ö ú ű ó ű ü ű ü ű ű ü ű ü Ö ó ő ó ú ő ó ó

Részletesebben

Á Ö Ö Ö Á Í Ó ö Ö ü ö Ö ü ö Ö ü ö ü ö Ö ü ö üé ö Ö ü Ö ü ö ö ö ö í ö ö ö Ö Ü í Ó ö Ö ü ö Ö ü ö Ö ü ö Ö ü Ó ö Ö ü í Ö ü ö Ö ü ö Ö ü ű í ö ö ö Ó ö ö ö ö ű ö ö ü ö í ö ű ö ö ü ű ö ö ö ö Ó ü ö ö ü ö ö ö ű

Részletesebben

É Ö É Ö Á Ü Ü ö ü ö Ö ü ó Ö ö í ü ü ü í ó ó ó Á ö ö Ö í ü ü ü í ü ü ö ü ü ó í í ó ö í í ü í ö Í ó Ó ü ó ó ó í ö ó ö ó ó í ó ü ó Ó ö Á ö ü ó í ö ó ó í í ö í ó ö ö í ö ö ü ü í ó ö ó í ú í ö ó ö ö ű ú í ü

Részletesebben

Í Í ú ú ü Í ű Á ú ü ü Á Ú Ó Á ü ü ü Í ü ú ú ú ú ú ü Í ú ü ü Á ú ű ü ü ú Í ü Á ű ü ü É Á ü ü ü Á ü Á Á ü ü Á Ö ü Ö ű Ú Í ú ú Ö Ö Ú ú ü Í Ö ű Ö Ü ú Ö ü Í ü Ü Ö ü É Ö ű Ü ú Á ü ű ű Í Í ű Í ú ú Ó Í É Í Á ü

Részletesebben