9. A feladat elemzése

Átírás

1 1 9. A feladat elemzése Tekintve, hogy az MMP 70 év előtti első publikációja óta erről a feladatról számos egymásnak ellentmondó elmélet látott napvilágot, érdemes a feladat elemzésekor a főbb irányzatokat egymás mellé helyezni. A) Kezdjük a sort a napjainkban is elfogadott félgömb felszíne elméletnél. Talán ez a legrégebbi, de egyúttal a legújabb hivatalos fordítás is. Megoldó képletét S. W. Williams összefoglalva: A = 2d ( 8 / 9 ) ( 8 / 9 ) d-ben határozta meg, ahol a d a harmadik sorban megadott számmal, a 4½- lel azonos. Tehát a buffalói professzor egy jellemzővel rendelkező idomot számít. Matematikailag helyes a levezetése, csakúgy, mint W. W Struve és Gillings esetében is az volt, mégis több összeférhetetlenség cáfolja ezt a megközelítést: 1. A kosár szabályos hieratikus jelét, a követő t -t, valamint az ID jelét hiba másként olvasni, valamilyen idom rajzának tekinteni. 2. A kosár jele szignifikánsan különbözik a félgömb hieratikus rajzától. Miért nem rajzolta írnokunk a félgömböt félkörnek? (Ez utalna, mint metszet, a félgömbre.) A KOSÁR NEM FÉLGÖMB. 3. Hiányzik az egyik leglényegesebb magyarázat, annak megvilágítása, hogy miért kellene a d, azaz az átmérő kétszeresével kezdeni a számolást. A 6. sorban a levegőből pottyant a 9-es szám az ölükbe. Hiányzik a 2 x 4 ½ = = 9, esetleg a 9 másfajta magyarázata. 4. Az 5-6. sor fordítása is erősen kétséges, különös tekintettel a hiányzó részekre. A hivatalos fordítások egyik gyengéje az, hogy pontosan ezekkel a hiányzó jelekkel akarják meghatározni az idom formáját. Más szóval nincs ellenőrzés, a szükségnek megfelelően bármi leírható, bármi belefér a kiegészítésbe. Struve esetében az s négyszögletes jele, valamint a tojás került ide. B) T. Eric Peet elveti Struve fordítását, helyette két újabb variánssal áll elő. A már korábban említett dolgozatában hivatkozik arra, hogy a méret r, esetünkben l (23) jel nem áll tapasztalata szerint egyedül, de biztosan nem elsőként, mint valamilyen méret meghatározója. Mindig megelőzi valamilyen másik adat. Kopaszfejű tanárunk a 14. feladatot valóban a csonka gúla leírásával kezdi: mérj magadnak csonka gúlát, aminek a magassága Ennek analógiájaként érthetetlen a nbt m tp-r r 4 1/2 m ad olvasat. Peet szerint itt másik adatnak, másik paraméternek is kell lennie. A 4,5 mint hosszméret, csak a második adatot jelentené, az elsőt viszont a tp-r csoport képezné. 1

2 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata thus restoring the reading nbt < nt x > m tp-r r 4 1 / 2 m ad, a basket (?) of x in mouth and 4 1 / 2 in ad, where ad, whatever it may means, is the name of the second dimension given, just as tp-r is of the first Szerinte az első variáns a félkör felszíne lenne, hátránya, hogy tanárunk ebben az esetben először a diaméterrel, másodszor viszont a rádiusszal számolt volna. Nagyon valószínűtlen. Ha 4,5 = r, akkor d x ( 8 / 9 ) 2 x r = a félkör területével. 2. A második, matematikailag szintén korrekt levezetése a félhenger palástjának a felszínéhez vezetett. Ha 4,5 = d, valamint ugyanez a 4,5 = m is, akkor 2d x ( 8 / 9 ) 2 x m = félhenger palástja. 3. Mint ezek után várható, Peet elveti a kosár olvasatot. 4. A nbt ebben az esetben sem tekinthető másnak, mint kosárnak, még akkor sem, ha ilyen nagynevű egyiptológus állítja az ellenkezőjét. 5. T. Peet, B. Gunn, F. Hoffmann és O. Neugebauer elvetette a tojás teóriát, helyette az elfogadhatóbb k jelet helyezték a sérülés helyére. Ez a variáns közelebb jár az igazsághoz, hibája az, hogy ugyanazt a számot igyekszik két jellemzőbe belepréselni. Pedig Peet járt legközelebb az igazsághoz! Megjegyezzük, hogy Scott Williams napjainkban megtalálta a nagyság olvasatát, lásd magnitude fordítását (megjegyezzük, hogy a pontos olvasat az egység szót eredményezi). Eleinte érthetetlen volt számunkra, hogy a nyilvánvaló fejnagyságot ezek után miért nem fedezte fel, lásd tp-r olvasatát. Végül is a félgömb felszínénél Williams sem jutott tovább. F. Hoffmann elemzése valóban előrelépést jelentett az eredeti fordításokhoz képest, de T.E. Peethez hasonlóan ő is ragaszkodik ugyanahhoz a nagysághoz. Így a félhenger palástjának számításánál megakadt. Fejtegetésében tisztán látja, hogy a félgömb elmélet elvethető, ám ugyanakkor Peet félkör számítását is helyteleníti, mert bizonyítottnak látja a térbeli idom jelenlétét. Kár, hogy nem tudott magyarul. Az ismeretlen idomot óvatosan nem is nevezi meg, hanem csak a hieroglifás átírásával jelöli. További értékelés helyett álljon itt dolgozatának zárószava: Ich sehe somit keinen Grund, an der schon von Peet vorgetragen Deutung der nb.t im Moskauer Mathematischen Papyrus als Halbzylinder zu zweifeln. 2 (Friedhelm 1.tehát helyreállítva az olvasatot: nbt < nt x > m tp-r r 4 1 / 2 m ad, ahol valaminek a kosarat (?) a szájában és a 4½ ad-ban vagy mindabban, amit az jelenthet, adja a második dimenziót, éppen úgy hogyan a tp-r az elsőt jelenti. 2 Így nincs okom, hogy kételkedjem az MMP nbt jeleinek fél-cilinder értelmezésében, amelyet Peet terjesztett elő.

3 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata Hoffmann : Die Aufgabe 10 des Moscauer mathematischen Papyrus. Zeitschrift für Ägyptische Sprache Band 123, 1996, Heft 1.) C) Ide kívánkozik az előzőekben már részletesen tárgyalt, általunk egyedül helyesnek ítélt megoldás is, melynek itt csak a képletét mellékeljük: V = d² x ( 8 / 9 ) 2 x m ahol d = fej-egység = 3 tenyér, és m = 4,5 tenyér. Így V = 3 tenyér x 3 tenyér x ( 8 / 9 ) 2 x 4,5 tenyér = 32 tenyér Összefoglalók Az alábbiakban található rövid összefoglalások szükségességét a tárgyalás, az elemzés más irányú tematikája, szerkezete magyarázza. Itt a már több helyen is kifejtett új fogalmakat, kérdéseket kötöttük egy csokorba. A. A fej egysége/nagysága Példánk kardinális jellemzője a fej egysége/nagysága. Az első megközelítésben semmi érdekeset nem látunk rajta, csupán magyarul kellett elolvasni az idevonatkozó jeleket, és belátni azt, hogy a tp-r, azaz ma így mondanánk: a fejméret valójában már az idom jellemzője, és nem szükséges az utána következő r 4,5 -et ide visszavetíteni (amint azt Peet tette). Szerepe mégis jóval nagyobb, mint az az első pillanatban sejthető volna. Induljunk ki az egyszerű, ősi földművesember gondolatvilágából. Néhány szerszámon, használati tárgyon kívül legjobb esetben is csak a saját állataival rendelkezhetett, sőt kereket sem gyártott, mert a sivatag homokjában használhatatlan volt a kocsi. Épületeit többnyire szögletesre készítette. Számára nem nagyon volt más példa a kör megértéséhez, mint az, amit a körülötte lévő használati tárgyakon talált, amit kénytelen volt maga készíteni, valamint mindaz, amit magán tudhatott. A kosár feneke kör alakú lehetett, de ez a kör számolásánál nem szolgálhatott egységként. Valami mást, valami magától érthetődőt, valami olyasmit kellett keresnie, ami mindig kéznél van. Nos, egy valami valóban eleget tett a fenti feltételeknek. Hérodotosz szerint az írástudók, a papok kétnaponta leborotválták hajukat, így szembetűnő volt fejük kerek formája. Mértékegységeiket is a testük különböző részeiből vezették le: közismert tény, hogy szinte napjainkig

4 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata a hüvelyk, az arasz, az öl, a láb stb. mértékegységként szerepelt. Ebbe a sorba illeszkedik a fej, pontosabban a fej nagysága, mérete is. Mindezek mellett, ez állandóan kéznél volt, sőt mérni is lehetett. Mindig az átmérővel számoltak, mert egyszerűen azt tudták könnyebben mérni. A sugár már nem volt közvetlenül mérhető, úgy tűnik, hogy ez a fogalom túl elvont volt számukra. Tenyerüket ráhelyezték a mérendő tárgyra, a másik fejére, és így határozták meg annak nagyságát, ujjakban vagy tenyérben. Ha visszafelé számolunk, akkor könnyen beláthatjuk, hogy ez volt a gondolatmenetük alapja. Komoly hibát követnénk el, ha lebecsülnénk őseinket. Sokkal ügyesebbek, gyakorlatiasabbak voltak, mint az a fentiekből következne, csak a számolásuk nem a mai értelemben vett, elvont alapokon nyugodott. A fej profilban (Gardiner) méret alatt az arc hieroglifájával is jelzett méretét értették, s a felszín, a fedőlap, a terület, de elsősorban a kör területének jelzésére, számolására használták. Mérésük szerint az így kapott kör átmérője 3 tenyér széles volt. Ez a méret így önmagában a levegőben lóg, de meglepő eredményre jutunk, ha pontosítjuk. R. Hannig már többször idézett szótárában a mértékegységek között megtalálhatjuk az ujj és a tenyér méretét. 1 ujj = kb. 1,85 cm. 1 tenyér = 4 ujj = kb. 7,4 cm. Függőleges fejméret = 3 tenyér = kb. 22,2 cm. (Ez utóbbi méret, a vertex gnathion median saggitális síkban, függőlegesen mért legrövidebb távolsága értelemszerűen tőlünk származik, számítását lásd Az egyiptomi πe fejezetben. A Martin féle rendszerben az általunk függőleges fejméretnek nevezett méreteket nem tüntetik fel, erre nem találunk adatokat. A teljes fejmagasságot csak két méret házasításából lehetne megközelíteni: porion bregma(?) és a gnathion sp.n.inferior-anterior méreteinek összeadásával.) Elképzelhető variáns a vízszintes fejméret = 2,25 tenyér = kb. 16,65 cm (ez a méret az antropológiából közismert, M-1-es nagyságnak felel meg, pontosítva a glabella opisthocranion median saggitális síkban mért távolsága. (Rudolf Martin: Lehrbuch der Antropologie.) Itt szeretnénk rámutatni arra is, hogy ez a méret a valóságban a legkisebb fejméretet sem közelíti meg a középeurópai méretek váltakoznak mm között, gyakorlati értéke ezért erősen kérdéses. Az egységnyi kör kerületének számításánál viszont elképzelhető létjogosultsága. Lásd P = 4 x d x πe). Nos, ez volt az egységnyi méretből, a fej-nagyságból levezett egyiptomi kör számolásának alapja. Számolása az ősi módszerrel másképpen történt, mint ma azt elvárnánk, mi több, az egyiptomi πe sem azonos a Ludolf van Ceulen féle számmal.

5 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata B. Az egyiptomi πe Ez az elnevezés magában hordja a π nevet, de nem teljesen azonos azzal. A π mai értéke egy végtelenbe nyúló tört szám, amelyből számunkra csupán az egész szám melletti első két tizedes az érdekes. Mindenki előtt ismert értéke: 3,14. Nem úgy az egyiptomi π e esetében. Számukra ez valami varázsszám lehetett, ezzel kellett a kört számolniuk. Eleinte nem is volt egységes sem az értéke, sem a számolási menete. Lényegében erről szól az MMP 10. feladata. Természetesen ragyogóan használták πe változatukat, sőt nagyon jól megközelítették a π mai értékét is, de nem mondhatjuk, hogy elméleti síkon ismerték volna ennek hátterét. Ők felszín/kör menetet jártak, ami példánk alapján az átmérő, a d 2 szorzását jelentette ( 8 / 9 ) 2 -nel. Ha a rádiusszal számoltak volna, nem kapták volna meg a kívánt körfelszín értékét, mert a πe megközelítően a mai érték negyed része volt. A továbbiakban számolni kellett ezzel a csökkentett értékkel, illetve a számolásuk folyamán valaminek a négyszeresét kellett venniük ahhoz, hogy matematikailag helyes eredményhez juthassanak. Ez a valami rendre a sugár négyzete volt. Természetesen tanáraink ezt nem így látták, számukra, mint az mindjárt kiderül, a diaméter ismerete elégséges volt. Határozzuk meg először az egyiptomi πe értékét! Vajon melyiket? Valójában két értéket is ismerhettek, ezekhez három számolási menetet használtak. 1. A legősibb, tapasztalati úton meghatározott körfelszín-számolás valószínűleg valamilyen modell segítségével történhetett. A kör átmérőjével a kör köré négyszögletű keretet képezhettek, majd magát a kört és a sarkokat is vízzel kiöntötték. A szükséges víz mennyiségének aránya az előbbi sorrendben 7:2 volt. Ha az eredeti kör átmérőjét kilenc részre osztották, a köré képezett négyzet 9 x 9 részből, azaz 81 kis-négyzetből állt. Ebből 2 x 9 = 18 rész a körön kívül, a sarkokra esett, ezt tehát le kellet vonniuk a négyszög területéből, így kaphatták a keresett kör felszínét: = 63 (egység). Ezt a kör négyzetesítésének nevezhetjük. Alkalmasint más lehetőség is kínálkozott hasonló eredmény elérésére. Az előbb említett modell sarkai, a nyolcszögesített kör külső részei (lásd K. Vogel Vorgriechische Mathematik című dolgozatát, továbbá ábráit a Függelékeben), 4x4,5 négyzetet eredményeztek, ami a már ismert 18 egységnek felelt meg. Ezek alapján azt állíthatjuk, hogy a kör felszínét meglehetős pontossággal meghatározták. Hogy mennyire pontos volt ez a módszer, azt a következő modern számolás

6 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata bizonyítja: A = r²π π = A/r² = = 63/20,25 = 3,11. Az A = 63, r = 4,5 adatokkal számoltunk. Ezek alapján megállapíthatjuk, hogy a kör területét a fenti módszerrel, a mai értelemben vett 3,11-es π-vel számolták. 2. Másik modellt is készíthettek (lásd Függelék), ahol a vizsgált kört sok, pontosabban 64 koncentrikusan elhelyezett, kisméretű körből építették fel. A kör átmérője ezen a modellen mindenhol 9 kicsi kör volt. Tekintve, hogy ezeket a köröcskéket másképpen csoportosítva ismét négyzethez jutottak, 8 x 8 = 64, a továbbiakban így számoltak: vegyük el a vizsgált kör átmérőjéből az 1 / 9 -ét, esetünkben 9 1 = 8, majd az ezzel alkotott négyzet felületét egyszerű szorzással állapítsuk meg. 8 x 8 = 64. Ez szerepel az RMP 50. feladatában. Mindez természetesen sokkal bonyolultabb abban az esetben, ha az átmérő 9-cel történő osztása nem egész számot eredményezne, ami aztán a négyzetre emelésnél külön problémaként jelentkezik. (Részletes tárgyalását lásd A 9, mint állandó fejezetben). Nos, az eddigiek alapján megállapíthatjuk, hogy az így kezelt kör felszíne 64 egységnyi lett. Visszatérve az 1) pont alatti számolásunkhoz, π = A / r 2 = 64/ 20,25 = 3,16. Ez pontosabb eredménynek számít, mint az előzőekben számolt 3, Megjegyezzük, hogy számolási módszereik ellenőrzését ők nem tudták elvégezni, mindezt csak mai szemmel láthatjuk, mai ismereteinkkel azonosíthatjuk. Valószínűleg meg lehettek meggyőződve róla, hogy számolásuk pontos. 4. Fejlődést jelentett az RMP 48. feladatának számolása. Itt lépett be közvetlenül az egyiptomi πe. Konkrétan itt a ( 8 / 9 ) 2 -ről beszélünk. Az RMP szöveg nélküli feladatában egy durván nyolcszögesített kört láthatunk, négyszögletes keretben, benne a kör átmérőjére vonatkozó 9-cel. Alatta viszont két egyiptomi szorzótáblát találunk a 8-as, valamint a 9-es tábla formájában. Eredményként 64-et, illetve 81-et jelöl meg írójuk. Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy mind a 8, mind a 9 esetében a négyzetre emelés műveletét végezték el, más szóval ismerték a saját π-jüket. (A továbbiakban egyébként eltekintünk az RMP 48-as feladata furcsaságainak tárgyalásától.) Az MMP 10-es feladatában ezt a módszert mutatja be tanárunk, ( 8 / 9 ) 2 -tel szorozza be az egységnyi, fejméretű kör átmérőjének négyzetét, a 9-et. Nos, visszatérve a πe számolásához, láthatjuk, hogy ez ebben az esetben 64 / 81 jelentett, amit 4-gyel szorozva 256 / 81 = 3,16 eredményhez vezet. Magyarul πe = π/4- gyel, ha elfogadjuk a π értéket 3,16-nak. Az egyiptomi π e számolása így elég bonyolultnak látszik.

7 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata A valóságban mindez sokkal egyszerűbb volt. Egyszerűbb, mint ahogy azt az első pillanatban gondolhatnánk. Képzeljük magunkat az ő helyzetükbe. Ahhoz, hogy egyáltalán körről beszélhessenek, példájukban elő kellett venni egy kosarat. Ennek az alja, ha minden jól sikerült, jobbára kör alakú volt. Viszont ha félresikerült, vagy esetleg ez volt a szándékuk, akkor zavarba jöhettek volna a mai számítási módszerünkkel. Megállt volna itt a tudományuk? Hogyan számították volna ki az ellipszis felszínét, mert kis jóindulattal így nevezhetjük az ovális, lelapított kört? Nos, nézzük meg először, hogy hogyan számolja ki a mai ember az ellipszis területét. A = a x b x π, vagyis az ellipszis területe egyenlő a két féltengelynek és a ludolfi számnak a szorzatával. Magyarul: a hosszabb sugarat megszorozzuk a rövidebb sugárral, majd a π értékével. Őseink viszont nem számoltak, esetleg nem is tudtak a sugárral számolni. Ők sokkal egyszerűbben számoltak. Tenyerükkel megmérték a nagyobb átmérőt, majd az erre keresztbe eső kisebbet is, betűkkel kifejezve d 1 x d 2, majd szorzatukat megszorozták a Ludolf féle szám negyedével! Tehát számukra A = d 1 x d 2 x π e. Mindez az ellipszis felszínére vonatkozik, de! a kör ehhez képest nem jelentett eltérést, mert a kör nem más, mint egy túl jól sikerült ellipszis. A kör esetében ti. d 1 = d 2 -vel, azaz akárhogyan helyezte tenyerét, az átmérők azonosak voltak. Így a kör számolása számukra d x d x π e = d² π e. Ennél egyszerűbben nem lehet számolni. Összefoglalva azt láthatjuk, hogy csodálatos egyszerűséggel a kör helyett mindig ellipszist számoltak, a nehézkesen mérhető sugár helyett mindig a két átmérőt használták. Ehhez igazították a varázsszámukat, az egyiptomi π e -t, a ( 8 / 9 )²-t. Ezt a számot tehát az egyiptomi kör egyik állandójának tekintjük. C. Az egységnyi kör és a fejnagyság összefüggése. Az RMP négy, körrel foglalkozó példájának bennünket érintő vonatkozásai Példánkban egységnyi körnek a 3-as átmérőjű, fejméretű kört vettük. Ez a függőleges, 3 tenyeres arcméretünkből képezett kör. Területe A = r 2 π = 4 x (1,5) 2 x πe = 4 x 2,25 x ( 8 / 9 ) 2 = 9 x 64 / 81 = 7 1 / 9 ( tenyér 2 ). Vagy, most már egyiptomi módon számolva: A = d 2 π e = 3 x 3 x ( 8 / 9 ) 2 = 9 x 64 / 81 = = 7 1 / 9 (tenyér 2 ). Tekintve, hogy az MMP 10-es feladata a kör számolása terén nem az egyetlen ismert egyiptomi számolási módszer, összehasonlításképpen ide kívánkozik az RMP mind az öt, körrel foglalkozó feladata is (RMP ). Előre

8 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata bocsátjuk, hogy ezeknek a feladatoknak részletes tárgyalásával itt nem foglalkozunk, ezért az RMP fent jelzett példáiból csak a matematikai alapon bizonyítható számolási menetek körre vonatkozó részleteit vesszük át. Tekintve, hogy a 42-es példa a kör másik számolási módszerét tartalmazza, tárgyalását a fejezet végére tettük. (August Eisenlohr Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter, Papyrus Rhind des British Museum. Bővebben lásd a Függelékben.) Mesterünk a szakirodalom szerint Ahmesz három példájában ( ) első lépésként egy 9 részes körből indult ki, majd eljutva 8-hoz, azzal, illetve annak kozmetikázott változatával számolt tovább. Úgy is tekinthetjük, hogy a második lépés alapja a 8 volt. Az RMP körrel foglalkozó feladataiban a 9 nem d 2, hanem ugyanaz a 9, d-vel azonos. Abban az esetben, ha a kör átmérője ettől eltért, mint pl. az RMP 43. feladatában, ahol a diaméter 12 (Ahmesz érdekes módon a 6-os rádiuszt adta meg), első lépésként megint a 9-es kört vette alapul, képezett 8-at, és csak a második szorzásnál vette figyelembe az átmérő eltérő méretét. Így a 43-as feladatban nem a 8-at, hanem a 10 2 / 3 -ot emelte négyzetre. Van itt azért valami furcsaság. Ha a 9-től eltérő átmérővel számoltak, második lépésként 8-ról indultak el, és a szükségnek megfelelően hozzáadtak vagy levontak belőle 2 2 / 3 -t, illetve ennek többszörösét. A furcsaság ott van, hogy a 9-es átmérőjű körök az RMP alapkörének tekinthetők, ugyanakkor az MMP 10. feladatának köre a 3-as átmérővel, azaz a fejegységgel, az egységnyi körre enged következtetni (lásd a Fej nagysága fejezetet). Nézzük meg ezt a kérdést részleteiben is. A korábbiakból kiderült, hogy egy egységnyi kör átmérője 3 tenyér, felszíne pedig 7 1 / 9 tenyér 2 (mint az MMP 10. feladatában). A 7 1 / 9 nem más, mint ( 8 / 3 ) 2. Vagy esetleg másik törttel írva: (2 2 / 3 ) 2. Az RMP 43. feladata 6-os sugarú (!), azaz 12-es átmérőjű körről indul. (A 6- os sugár értékét a példa matematikai levezetése bizonyítja: 9 1 = 8; / 3 = = 10 2 / 3 ; 10 2 / 3 x 10 2 / 3 = / 9 = / 3 1 / 9. Vagy 113,77. Ez ennek a körnek a területe. Mai számolási módszerünkkel élve, figyelembe véve a π 3,16 értéket, r²π = 6 x 6 x 3,16 = 113,76-nak felel meg. Ergo a megadott 6-os érték a rádiusz.) Ez éppen egy egységnyi kör átmérőjével nagyobb, mint a másik három példában szokásos 9-es átmérőjű indulás. Az RMP 43. feladatának második lépésében a 8- hoz hozzáadták a harmadát, pontosabban 2 2 / 3 -ot, vagyis az előbb tárgyalt 8 / 3 -ot. Az így kapott 10 2 / 3 -ot emelték négyzetre.

9 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata Ha elméletben a 9-es átmérőjű, három fejméretes kör helyett csak két fejméretes körrel számolnánk (erre az RMP-ben nincs példa), átmérője 6 tenyér lenne, akkor a 8-ból le kellene vonni a 2 2 / 3 -ot, azaz 5 1 / 3 -t kellene négyzetre emelni. (Ebben az esetben a 6 tenyér átmérőjű kör területe 28 4 / 9 = 28 1 / 3 1 / 9 = 28,44. Mai számolásunk szerint 3 x 3 x 3,16 = 28,44.) Ebből az következik, hogy a 9-estől eltérő átmérőjű kör számolásánál második lépésként az alapkör értékét a szükségnek megfelelően az MMP fej-egységnyi kör jellemzőjével, a 2 2 / 3 -dal, illetve annak többszörösével (elméletben esetleg hányadaival is) korrigálták. Továbbiakban tapasztalhattuk, hogy az MMP 10. feladatának egységnyi köre az RMP körrel foglalkozó példáiban is mint legkisebb egység jelentkezik. Mindkét papirusz körrel kapcsolatos számolási menete, módszerét tekintve, azonos. Első lépcsőben, kiindulásképpen a 9-es számot használták, majd a második lépcsőben a 8-cal, illetve korrigált értékének négyzetre emelésével számoltak tovább. Ezzel a kör területének számolását befejezték. Az RMP MMP példáiban szereplő körök átmérőjének eltérése a 43. példa alapján mint a fentiekben láttuk az MMP egységkörével köthető össze, mérete 8 / 3, és ez azonos a fejnagyságból származó kör jellemzőjével. Szeretnénk megjegyezni, hogy az előbb tárgyalt esetekben a kör átmérője a hármas számrendszerbe illeszkedett. Ettől eltérő méret esetén elméletileg két utat követhettek. A fenti módszer alapján a 8 / 3 további osztásával bármely szám képezhető, a 8 kiegészítése így nem okozhatott nehézséget. Pl.: a 10-es átmérőjű kör esetében az alapkörhöz képest az átmérő nem hárommal növekedett, hanem csak eggyel, az egységnyi kör harmadával (9 + 1 = 10). Ennek értelmében a 8 / 3 -ot tovább kellett osztani hárommal. Az eredmény 8 / 3 : 3 = 8 / 9. Ezt a törtet hozzáadva a 8- hoz 8 8 / 9 -et kapunk. Négyzetre emelve az eredmény könnyen kiszámítható: 79 1 / 9. (Ellenőrzésképpen: 79,1111 : 3,1605 = 25,03, ami r 2 -nek felel meg r = 5-tel.) Egyébként Ahmesz így nem tudott számolni, számára a 8 / 9 = 2 / / / 18 volt. Négyzetre emelése számukra komoly feladat lehetett. Ahmesz bemutat az RMP 42. példájában egy másik, közvetlen módszert is, ahol a kör számítását nem a szokásos 9-ről indítja, hanem a mindenkori átmérőt kilencedeli. Az így kapott tört számot emelte aztán négyzetre. (Az RMP 42. példájában a 10-es egységű átmérőt kilencedelték, majd a 8 2 / / / 18 -ot emelték négyzetre. Pontosabban a mai értelemben véve nem tudtak négyzetre emelni, hanem valószínűleg kész számsorokkal dolgozhattak. Az eredménye ezek után a / / 324 lett! Könnyen belátható, hogy számukra így sokkal bonyolultabb volt számolni. Lásd még a Függelékben.) Tekintve, hogy Ahmesz is a másik, könnyebb módszert használja, a kör további tárgyalása során mi is eltekintünk a 42. feladat méltatásától.

10 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata Mivel a két papiruszról sem korban, sem távolságban nincsenek pontos adataink, elképzelhető, hogy az egyik számolási rendszer a másikat helyben és időben megelőzte, illetve egymás variánsai voltak. A RMP, valamint az MMP életkorát hivatalos források nagyjából azonosítják. Az MMP írásának idejét a Közép-birodalom korára teszik, az RMP viszont a hykszoszok uralma alatt született volna. Számunkra ez az időbeosztás egyelőre nem tekinthető bizonyítottnak. A két papirusz életkora esetleg jóval nagyobb eltérést is takarhat, így a közöttük vont hasonlatosságok, egyezések csak feltételesen fogadhatók el. Nyomatékosan szeretnénk arra is rámutatni, hogy az ebben a fejezetben tárgyalt magállapításaink csupán a fent említett hat példára támaszkodnak. Több ehhez hasonló feladat nem állt rendelkezésünkre. Ezért a nyilvánvaló logikai, matematikai egyezések ellenére sem állítjuk azt, hogy a kör ősi egyiptomi számolásával kapcsolatos fogalmakat, lehetőségeket kimerítettük, azaz megállapításaink általános érvényűek lennének. D. A 9, mint az egyiptomi körhöz tartozó állandó Tapasztalatunk szerint az egyiptomi kör legegyszerűbb számolási módszere a 9-es számról indult. Ez független volt attól, hogy a számolásra kerülő kör átmérője szintén kilenc volt-e, vagy ettől eltért. Lásd az RMP feladatait, d = 9, valamint az RMP 43. és az MMP 10. feladatát, ahol d = 12, illetve d = 3. Azt láttuk, hogy a kör számolásakor első lépésben a 9-et kilencedelték. Ez a lépés minden bizonnyal az egyiptomi πe használatára vezethető vissza. A gyakorlatban ez kitűnően bevált, mert a 9-et 8 / 9 -del szorozva egész számot, 8-at kaptak. Mint azt már a fentiekből láthattuk, ez a nyolc volt a későbbi számolásuk alapja. Eddigi ismereteink alapján azt mondhatjuk, hogy a kör egyiptomi számolásához elválaszthatatlanul hozzátartozott a 9-es szám, ezért ezt a számot az egyiptomi kör másik állandójának tekintjük. (Az előbbiekben láttuk azt is, hogy az egyik varázsszám a ( 8 / 9 ) 2 volt.) Az MMP fejtörést okozó 10. példájában a szakirodalom lázas igyekezettel kísérletezett a 9-es szám integrálásával. Láthattuk, hogy ezt a számot sok mindennek kinevezték, igyekeztek a diaméter valamilyen szorzatának elfogadtatni. Összehasonlították az RMP ide vonatkozó feladataival, és tapasztalva a diaméter eltéréseit, jobb híján megállapodtak a 2 x 4,5 d elfogadásában. Tekintve, hogy mesterünk nem ad ilyen irányú utasítást, ez a szorzat nem szerepel példájában, erősen kétséges e feltevés helyessége (lásd még az eddigi számítások bírálatát).

11 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata Tovább lépni csak akkor vált lehetségessé, amikor a fejmérettel és az abból levezethető egységnyi körrel megismerkedtünk. A fejnagyság nem azonos a 9-es számmal. A fejnagyság betű szerint fej-egység esetünkben hosszmérték, nagysága 3 tenyér. A 9-es szám csak a kör számolásához szükséges félkész termék, önmagában nem szorul magyarázatra, mert mint a kör állandójával, ezzel a számmal kellett számolniuk. A példákban csak annyiban bonyolódott a helyzet, hogy ez a félkész termék egyúttal, mint fizikai tartalommal rendelkező szám, valamilyen méretet közvetlenül is képviselhetett, illetve, mint az MMP 10. példájából kitűnik, a fejméretű egységkör átmérőjének a négyzetét t is jelenthette. Az MMP 10. feladata 2. sorában szereplő fej nagyság/egység olvasat a három tenyér átmérőjű körre utal, és nem a kilences számra. A 9-es szám nem csupán a fejméretű kör kiindulása, hanem minden kör vagy ellipszis alapszáma, következésképpen en senkinek sem kell magyaráznia jelenlétét az 5. sorban. Természetesen ez nem von le abból semmit, hogy esetünkben az ősi számolás szerint egyúttal 3 x 3 tenyér 2 -tel is azonos. A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy a szakirodalom által elfogadott 2 x 4,5 = 9 szorzat szükségtelen, nem létező műveletnek számít, ezért nincs a 10-es példában utalás erre. Sőt, már ezért sem lehetséges a 10. feladat 3. sorában magadott 4,5-ös méretet átmérőnek tekinteni. A 9-es szám gondolatköre ezzel még távolról sincs kimerítve, jelen ismereteink birtokában mégis úgy ítéljük meg, hogy ez a levezetés tiszta képet nyújtott az egyiptomi kör, jelen esetben a fejnagyságú, egységnyi kör számolásának a megértéséhez. E. A fej, a kosár és a nagyság olvasata és vizsgálata a magyar nyelvtan tükrében Az itt látható, jobbról számított első öt jel az MMP mind a 25 feladatában azonos. A cím szavait képezik, esetünkben az utolsó három jellel együtt nagyjából a.?. számolását jelentik.. Hogy miért nagyjából, ill. hogyan néz ki ez pontosan,

12 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata azt az itt következő fejtegetésben igyekszünk megvilágítani. (Az első feladatban nem láthatók ezek a jelek, igaz, hogy az nagyon töredékesen maradt ránk. Felmerült az a gondolat, hogy nem is képezett ez külön feladatot, csak a restaurálók mellékterméke volt!) Ebből a szempontból ez a papirusz eltér az RMP-től, ahol távolról sem ugyanazzal a szöveggel vezeti be Ahmesz, az RMP egykori írója, feladatait. Lévén, hogy mindkét példánkban ezek a jelek külön sorban is szerepelnek, úgy tekinthetjük, hogy ezt ősi mesterünk címnek szánta. A baloldali utolsó három jel a számolás tárgyát, a fenti képen is jól követhető kosár hieratikus írását tartalmazza. Elemzésünket kezdjük talán a címben szereplő első három jel vizsgálatával (a hieratikus jeleket szerkesztési nehézségek miatt hieroglifás alakjukban tárgyaljuk, de elemzésükkor az eredeti jelekre gondolunk). (1-3). Az első jel, Gardiner D 1 -es jele: általános meghatározásában head in profile. Érdekes módon az egyiptológusok közül senki sem olvassa fej-nek. Ha erről a jelről beszélnek, mindig a tp transzliterációt használják. A második jel az ideogramma függőleges jele Gardiner rendszerében Z 1 alatt stroke meghatározással szerepel, mindenki számára azt jelenti, hogy figyelj, itt az előző jel másik értékét, legtöbbször a képértékét kell olvasnod. A harmadik jel közvetlenül az ID jele alá esik, Gardiner N 35 -ös jele ripple of water meghatározású phon. n. Az egyiptológia n hangnak olvassa. Ha paleográfiai vizsgálat alá vesszük ezeket a jeleket, láthatjuk, hogy a hieratikus eredetin a fej jelét két vonallal írta ősünk, lásd a fenti képen, az ID jele összeér a szem/szám jelével (eredetileg ez is külön vonal lehetett, csak a következő szem jel szára sikerült valamivel hosszabbra, ezért érnek össze. A szem jele egyébként egy vonalnak tekinthető), alatta külön élesen látszik az n jele. Az első megközelítésben kissé furcsa egységet képeznek. A hieroglifás átíráskor az ID jele továbbra is az n fölé került, ugyanúgy, mint a hieratikus eredetiben, de elképzelhető az is, hogy a hieratikus írás jellegéből adódóan írnokunk nem tehette máshová az n jelet. Az előbbiekben közösen megtekintettük a fej hieratikus, két vonalból álló jelét, ennek alapján most megállapíthatjuk, hogy meglehetősen bonyolult lenne alá még tisztán kivehető újabb jelet írni. Lehet, hogy ez volt a furcsa írás oka. Ligatúrás változata eddig még nem ismert. Ha hieroglifás írással kellene ezt a csoportot írni, az n jele a fej jele alatt is állhatna.. Az ID jel a csoport mögé kerülne. Egyébként is szabályként fogadjuk el, hogy az ID jellel a szó lezártnak tekinthető, a jelek, a képzők és a ragok közé és a szótő közé esnek.

13 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata Rögtön megállapíthatjuk azt is, hogy az n jel nem véletlenül áll itt, valamilyen fontos szerepe van. Mindez számunkra azért érdekes, mert a szakirodalom több variációban is fordítja az első három jelet. Szerepel Peet szövegében mint Example, Struve szerint Berechnung, Gillings pedig a Method fordításban véli a helyes értékét megadni. Fejnek egyikük sem látja. Ugyancsak nem olvassák fejnek a második sorban sem (19-20 jelek), igaz, hogy itt már nem szerepel a fenti jelek egyike, az n jel. Így aztán nem kerülhetett sor a fejben számít, valamint a fej-nagysága fordításokra sem. Ha alaposabban elemezzük, látunk azért ebben is logikát. Említettük, hogy az első három jel a címben szerepel. Ha az egyiptológusok itt a fej olvasattal kezdenék fordításukat, akkor ez az n jel következtében ami az indirekt genitivus jele a szükséges fejnek a vagy a feje valaminek változást vonná maga után. A probléma az, hogy a birtok az ilyen szerkezetekben mindig a birtokos előtt áll. Lásd:, fordítása, ha hitelt adunk a szakirodalomnak: az erős istenek nak a Abydos, azaz Abydos nagyjai. (Ebben a közismert példában a birtokviszony többes számának jelét, a nw-edényt találjuk az n helyén.) Az eddigi fordításokra rányomta a bélyegét ez a birtokviszony. Elemzésükkor azt is láthatjuk, hogy mindenki igyekezett a számolást, valamint az ide vonatkozó igét felfedezni az első öt jelben. Végül is az MMP kifejezetten számolással foglalkozik. Struve fordítását vizsgálva kiderült, hogy a (4-5) jel a birtokos szerkezet birtoka, azaz a Form, a birtokosa a tp-nek, (1-2) jel, a fej, vagy fordításában a der Berechnung-nak. Nála a fej azonos a számolással? Ugyanakkor a forma szó főnév, így erősen kérdéses, hogy mennyire fér össze a határozottan igei természetű ir-t-tel. Megállapíthatjuk azt is, hogy a birtokviszonyt a szokásostól eltérően, hibásan fordítja. Form der Berechnung, azaz a számolás formája esetében tehát elől állna a birtokos és csak utána a birtok. Ez ellenkezik a szakirodalom szabályával. Peet fordítása nyelvtanilag korrektebb: Example of working out, példa a kidolgozásnak a Itt ismét az a probléma jelentkezett, hogy nem fejnek, hanem más tartalommal kellett olvasni. Peet példát lát benne, ugyanakkor az ir-t-ből főnevet kellett fabrikáljon. Lásd: working out. Hoffmann már nagyvonalúbban kezeli a cím fordítását, és megelégszik az egyszerű Berechnung der. szavakkal, ami viszont a birtokviszony eltolódására utal. A tárgyat is belevonja ebbe a szerkezetbe, ebből képezi a birtokost! Lásd: Berechnung der nb-t Korb. Azaz a nb-t kosár számolása. Ebben a sorban a csúcsnak Williams számít, aki az example of calculating fordítással az ir-t jeleket Nota Bene a számolás szó jelentésével ruházta fel. Lássuk még egyszer az előbb tárgyalt első öt jelet:.

14 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata Az eddigiekből kiderült, hogy a szakirodalom számára meglehetősen zavaró a birtokviszony, az indirekt genitivus jelenléte, ennek következtében a fej olvasata fel sem merülhetett. A birtokos szerkezetben nem szerepelhet ige. Sem a birtok, sem a birtokos nem tartozhat az ige szófajába, így az első öt jelből száműzni kellett a cselekvést. A fej szó ID-el ellátott közvetlen jelentését tekintve nem férhetett ebbe a címbe, mert ezen a helyen, értelemszerűen, csak a számolásra utaló jel állhat. Itt a szabályok szerint a birtok áll, pl.: example, method stb., és nem a fej. Tekintve, hogy ezek után a (4-5) jel csak a birtokos lehet, az itt szereplő igének át kellett alakulnia főnévvé. Lásd: kalkuláció, kidolgozás. Ha a fejet, a képértékének megfelelően, itt fejnek fordítanák, akkor mint birtok, a kalkuláció feje vagy a forma feje vagy ehhez hasonló lehetetlenségek jönnének ki. Ha az érvényes szabályokat felrúgva birtokosként állítanánk be (Struve), akkor viszont a cím válna nevetségessé a fejnek a számítása, kalkulációja stb. fordítás miatt. Itt nem a fejet, hanem az utána következő idomot kell kiszámolni. A fej szó sorsa ezzel megpecsételődött. A (19-20) jelek esetében is eldőlt a kérdés, bár ott már nem látható az indirekt genitivus jele. A számolás tárgya csak ez után következik. A 14-es feladat esetében egy trapéz rajza látható, ID jel nélkül. A 10-es példában viszont a nb-t jelek következnek. Ezt kell kiszámolni. Számunkra az n jel a helyragot jelenti. on/en/ön-t, vagy mint példánkban, a ban/ben-t. Ez utóbbi a b jellel több, mint az eredetin látható hieratikus egység. (Ha megtekintjük G. Möller gyűjteményében a 124. szám alatt felsorakoztatott b jeleket, hatalmas méretével választ ad arra is, hogy miért hiányzik a cím jelei közül.) Egyébként egyáltalán nem biztos, hogy a fejszámolást akkor is fejben számolással azonosították, nagyon is elképzelhető, hogy a fejen számolás jelentette ez előbb tárgyalt fogalmat. (A változatokat lásd később.) A (19-20) jelek a csupasz tövet jelentik, olvasatuk: fej. A mondatba is helyesen illeszkednek: mérj, ami fej nagyságú. A (4-5) jelek egyébként szervesen összefüggenek a fejen olvasattal. Kétségtelenül a második helyre az állítmány kívánkozik, és olvasatunkban tényleg egy igei állítmány következik. Számít: D 4 -es jelével, 554. oldal:. Rövid elemzésünket kezdjük ismét Gardiner iri, make, do, act, acquire, a számolás nincs közöttük. Egy sorral fölötte a példánkhoz hasonló jelek állnak, a különbség csupán az ID jel. Meghatározása: eye. Itt természetesen már nem áll transzliteráció rendelkezésünkre, mindenki a saját nyelvén olvassa a szem fogalmát. Az MMP soraiban sehol sem áll mögötte az ID jel. Mi is csak a csontjával használjuk. SZ-M. Hangzósítására már a részletes tárgyalása során

15 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata kitértünk, itt csak a végeredményt ismételjük meg: SZ-M Sze-M Szá-M. (Lásd szem-élek szám-olok. A szem/szám archaikus olvasatát az öröklött terminológia is magyarázza. ) Az eltérés az ottanihoz képest az, hogy az alá írott t jel társaságától eltekintve a szem jele itt egyedül áll. Ez a t jel azért sok mindenről árulkodik. Ha valaki az első három jelet fejnek olvassa, mi több megoldja, vagy lenyeli az n kérdését, akkor a hivatalos nyelvtan szerint az ige után mint szuffixum a személyes névmás valamelyik formája következne. (Gardiner nyelvtana a személyes névmás legalább három formáját különbözteti meg.) A t viszont nem szerepel egyik pronominális felsorolásban sem. Nos, ezek után a mai egyiptológia nyelvtani alapjaira hivatkozva a következő megállapítást tehetjük. A szaklapokban szereplő fordítások nem láthatták a fej jelében a fej fogalmát is, mert a birtokviszonyt jelző n hang miatt sem a birtokot, sem a birtokost nem lehetett igei formában elképzelni, így nem lehetett az első két jelet szabályosan, értelmét, de helyzetét tekintve sem fejnek olvasni, a szövegbe illeszteni. További bonyodalmat okozott az is, hogy az (5) jel, a t nem olvasható személyes névmásnak, a többi között már csak ezért sem lehett az előtte álló (4) jel ige. Így csak az a lehetőség maradt, hogy az indirekt genitívus szabályait figyelembe véve az ir+t névszósított igéből és az előttes fej + n = tp + n névszóból igei állítmány nélküli elfogadható címet állítsanak össze, esetünkben az általános alany segítségével. Vö. Peet: Example of working, vagy Struve német szavaival élve: Form der Berechnung. Ezek alapján a tp-n jelek értelme a Berechnung, illetve Example lett. Említésre érdemes az is, hogy a számolás valódi tárgyát képező idomot a német szövegek a halmozott birtokviszony formájába helyezik, lásd: Form der Berechnung des Pyramidestumpfes, bár Williams ezt az angol nyelv sajátossága alapján nem követi, lásd: example of calculating a.nbt. magyar fordításunkban is csak kettős birtokviszonnyal oldhatjuk meg ezt a kérdést. A címet képező utolsó három jel mind a mai napig találgatásokra ad okot. Olvasata az egyiptológia mai szabályi szerint egyértelmű, az ID jel előtt álló szabályos jeleket kosárnak, ill. nbt-nek kell olvasni. Megjegyezzük, hogy a jel korábban tárgyalt, eltérő interpretációját a számolás eredményét képező idom és a nb-t jelentését fedő kosár különbsége okozta. Más szóval nem olvashat senki a címben kosarat, illetve annak a számítását, ha végül is egy félgömb, vagy egy félhenger felszínét számolja ki. Ez a tény annyira zavaró volt, hogy Gillings aki Struve félgömb elméletét karolta ismételten fel a saját kútfőjén túlmenően, kénytelen volt teóriájának alátámasztására egy megbízható szakértő véleményét is kikérni. Erről így ír: A recognized authority on Middle Kingdom hieratic, Mr. T.G.H. James, Assis-tant Keeper of the Department of Egyptian Antiquities of

16 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata the British Museum, London, had earlier agreed to lend his services, and in November 1970 he wrote me as follows: I much prefer to take nbt as basket In addition I am not sure that the word tp-r means mouth or diameter. 3 Gillings láthatóan nem kapott egyértelműen zöld utat James úrtól. Áttekintve magyar nyelvű olvasatunkat, számunkra mindez másképpen fest. Az n jelet mi az on/en/ön helyhatározó raggal azonosíthatjuk, majd az előtte lévő fej rajzával összeolvasva a fejen olvasatot kapjuk. A következő két jel a számol ige 1. sz. 3. személyű alakjára mutat: számít. Sőt, közvetlenül a tárgyra is utal, mert ezek után meg kell mondanunk, hogy mit számít? A 14-es feladatban itt csak egy rajz, egy geometriai idom következik. Álló trapéz formájában érzékeltették a hasonló metszetű három dimenzióss idomot, a csonka gúlát. A rajz után tanárunk nem tette ki a tárgyeset ragját, sőt ID jelet sem tett. A rajz esetében ez szükségtelen is volt. A 10. feladatban viszont nem rajzolt semmilyen idomot! Egyszerűen a szokásos hieratikus jeleivel írta azt, hogy kosarat számít. Itt tehát a t jel a tárgyeset jelölésére elengedhetetlen volt, valamint a nb kosár olvasatához ki kellett tennie az ID hatalmas jelét is. Így nem lehet félreértés. (Bár az itt tárgyalt olvasatot, mint a lehetséges legvalószínűbbet megtartjuk, szeretnénk szólni a (4-5) jel olvasatának más variánsairól is. Az ir-t, illetve jr-t Közép-birodalmi értéket is felvehetnénk vizsgálataink sorába. Ez a transzliterációs érték egyébként, a számolási terminológián kívül, a JáR-aT olvasatunkkal lehetne azonos. Az érdekessége nem is a jelentéséből fejen járat hanem az ige módjából, a műveltetésből adódik. Ha ez az igemód érvényes lenne a számít olvasatunkra is, tehát a két t -s variáns állna a papiruszon, akkor a számíttat olvasattal tanárunk célját is egyértelműen meghatározhatnánk. Oktatás! Egyébként a JáRa-T, járat olvasatának lehetőségét semmi esetre sem szabad elvetnünk, annál is inkább, mert átvitt értelemben a fejszámolásra is utalhat. Eddig az ír-t olvasattal nem foglalkoztunk. Ennek részben az volt az oka, hogy a jel képértékével nincs közvetlen kapcsolata. A szem számtalan műveletet végezhet, de nem tartozik ezek közé az ír szavunk. A TESZ szerint az ír szó mindkét jelentésével az 1300-as években jelenik meg, az eddig tárgyalt szavakhoz képest elég későn. A jelzett idő előtt valószínűleg másik formában élt ez a tő. Lehetséges lenne a ró olvasat is? A rovásírás minden esetre ebbe az irányba mutat. Így azt sem lehet kizárni, hogy a (4-5) jel hangzósítása írat, ill. rovat lenne. Az itt felsorolt variánsok 3 A Közép-birodalom hierarchikus írása terén elismert szaktekintély, Mr. T.G.H. James, Assistant Keeper of the Department of Egyiptian Antiquities of the British Museum, London, segítségéről már korábban megállapodtunk, 1970 novemberében a következőket írja: inkább előnyben részesítem a nbt kosár fordítását ( a nbt vevését, mint kosár ), és hozzáfűzöm, hogy a tp-r száj, vagy átmérő jelentésében nem vagyok biztos.

17 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata eldöntését a jövő feladatának tekintjük, pontosabb adattokkal kellene rendelkeznünk az MMP életkoráról, az Új-birodalom szókincséről, hangtanáról. Megítélésünk szerint az olvasat értelmét az ige hajszálpontos meghatározása nem befolyásolja.) A fentiek alapján, a magyar nyelvtan szabályainak figyelembe vételével, az első sor olvasata: fejen számít kosarat lett. Olvasatunkhoz Gardiner három fontos jelét, mint ideogrammát, a fejet, D 1, a szemet, D 4 és a kosarat, V 30, a nemzetközi értékek alapján használtuk fel, de a mondatba illesztésük csak a magyar hangzósítás és a magyar nyelvtan segítségével sikerülhetett. Ez lehetett az oka annak is, hogy nyelvünk ismeretének hiányában az egyébként közismert jeleket ebben az értelemben a szakirodalom nem tehette egymás mellé. Példánk másik sarokpontja a fej-nagyságú olvasat (lásd a (19-22) jeleket). A fej olvasat jogosultságát itt is az ID jel magyarázza. A nagyság fogalmát részletes tárgyalásánál már elemeztük, levezetésére R. Labat gyűjteményét használtuk fel. Itt csupán a fej és a száj jelének ID-vel ellátott gardineri értékét szeretnénk megismételni:, lásd az Egyptian-English Vocabulary 577. oldalán: tp-r utterance; valaminek a kifejezése/kimondása. A fejméret olvasathoz szükséges lenne a direkt genitívus, a közvetlen birtokos szerkezet jelenléte. Lásd templomszolga, háztető stb. Ebben az esetben viszont az ID jel csak egyszer szerepelhetne, akkor is a végén kellene állnia. Egyébként a jel további meghatározásai között sehol sem szerepel az egység, a nagyság, sőt a Hoffmann által használt Öffnung, nyílás fogalom sem. Ez utóbbi jel tehát nem sorolható közvetlenül az evidens, nemzetközi jelek sorába, nem jelenti formája alapján a méret fogalmát. Zavarja a képet az is, hogy közvetlenül utána ismét ugyanez a jel szerepel, de most már az ID jel nélkül. Lásd:, azaz : l 4,5. Olvasata ezek alapján először az egység/nagyság, az ID jel nélküli változatában az öle magyar szavainkat eredményezte. Megjegyezzük, hogy a (21-22) jel olvasata közvetlenül az egység is lehetne, lásd Labat 1-es jelét. Példánk első, közvetlen magyar nyelvű olvasása után felmerült az a logikus kérdés, hogy a képértékeket figyelembe véve a szakirodalom hetven éven keresztül miért nem találta meg ezeket a látszólag kézenfekvő jellemzőket? Nos, a fentiekből nyilvánvaló, hogy ehhez először is szükségük lett volna a magyar nyelv egyik szógyökének ismeretére, a SzeM SZ-M SzáM hangzósítására, és ezt igeként kellett volna használni. Tudomásunk szerint nincs még egy nyelv, ahol ezt a két fogalmat azonos mássalhangzós vázzal rendelkező szavak képeznék. A

18 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata továbbiakban ismerni kellett volna a sumér/akkád ékírás 12. jelét is, valamint az azzal összefüggő il, él transzliterációt. R. Labat AZ = ÉL = ISTEN = EGY meghatározását. Az egység/nagyság fogalma ezekből vezethető le. Használni kellett volna az r jel Ó-birodalmi hangértékét, azaz az l hangot is, amit mi a száj + ID jel alapján olvasunk. Ismerni kellett volna az n jel másik jelentését is (on/en/ön) valamint a műveltetés t képzőjét, amelynek suffix helyzetével tisztában kellett volna lenni. Ezek hiányában csupán a szakirodalom szemantikai, morfológiai, grammatikai lehetőségeire támaszkodva lehetetlen volt tovább lépniük, így utólag nem látjuk reálisnak az előbb feltett, a jellemzők értelmezéséről szóló kérdést. Mégis, tegyük fel, hogy gondolatban kiszélesítjük az egyiptológia határait az általunk felsorolt jelek képértékének használatáig. Tegyük fel, hogy a szótani korrekciók esetleg csak logikai alapon is elvégezhetők lennének. A helyes olvasathoz azért valami nagyon fontos még akkor is hiányzik fog. Nem szorul magyarázatra, hogy csak a szavak egymás mellé helyezése nem elég a beszédhez. Szükséges valamilyen ragasztóanyag, a hozzátartozó nyelvtani rendszer is. Esetünkben a magyar nyelv nyelvtanának rendszere. F. További kutatást igényelnek Munkánk során teljes sötétségben tapogatódzunk. Nem áll ez irányú szakirodalom rendelkezésünkre. Az egyetlen kicsi lámpás a mi kezünkben világol. Lehetetlen, hogy ilyen körülmények között mindent helyesen lássunk, a részleteket, az összefüggéseket pontosan megítélhessük. Tévedések, kérdések nélkül nincs kutató, nincs ember! Ezek után a fennmaradó, megválaszolatlan gondolatainkat az alábbi kis csokorba foglaltuk össze: Mi az MMP pontos életkora? Az ellentmondás feloldása, miszerint a piramisépítők nagyobb matematikai tudással rendelkeztek volna, mint 1000 évvel későbbi utódaik. Valóban létezett-e valamilyen ősi irat papiruszunk keletkezésének idején, másolták-e ezeket a feladatokat? Nem teljesen világos, hogy miért használt tanárunk ilyen dedós módszert, miért részletezi elemi fokon a 8 / 9 -elés folyamatát, ugyanakkor rendelkezett pl. a csonka gúla megoldó képletével. Nem találtunk megnyugtató magyarázatot arra, hogy a hieratikus törtszám írásakor miért helyettesíthető tízes nagyságrendű eltolódással is a kívánt szám, lásd 1 / 6 és 1 / 18 sorozatos felcserélését a 6-os és 18-as szám jeleivel (lásd még az RMP 48. feladatát).

19 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata Valóban kortárs volt-e (esetleg csak megközelítőleg) tanárunk és a Rhindpapirusz írója? Azonos volt-e matematikai, geometriai ismeretük? Paleográfiai kérdéseinket az alább következő fejezetben tesszük fel. Mindazon olvasatok, ahol a szöveg részletes tárgyalása során erre külön is kitértünk, további egyeztetést, kutatást igényelnek. Munkánk során megismerkedtünk a bőség zavarával is. A mai magyar nyelv szókincse, csodálatos gazdagsága az akkoriaknak még nyilván nem állt rendelkezésére. Ezen túlmenően feltevésünk szerint kezdetben jóval kevesebb szóval írhattak, mint az utolsó évezredben. Így külön gondot kellett fordítanunk a fogalmak, cselekvések, tárgyak stb. hangzósítására. Számtalan esetben több variáns is létezik, amiből nehéz, esetenként mai tudásunkkal lehetetlen volt eldönteni, hogy melyik a helytálló (lásd: marha, irha, ruha). A bőség zavara. Ehhez járult természetesen a nyelv szokásos fejlődési folyamata is, amelynek következtében szavak koptak el, változtattak formát, illetve kaphattak új jelentést is. (Pl: az Új-birodalom idejére elkopott az Ú-zós ragozás.) Tekintve, hogy ez az ősi kultúra csak a szakirodalom eddigi fordításaiból ismert, nyilvánvaló archeológiai adatoktól, ránk maradt építményektől, képektől, tárgyaktól, festményektől stb. eltekintve az így alkotott kép nem megbízható. Használati tárgyaik, eszközeik nagy része, tevékenységük apró részletei, szokásaik, hitviláguk és a sort hosszan folytathatnánk számunkra eddig ismeretlenek maradtak, megfejtésre várnak, magyar nyelvű olvasatunknál ezért fokozott óvatossággal kell eljárnunk. Gondoljunk csak a nagy piramisok titkára, vagy a Nílus szabályozására, amelynek részleteit, építésének módját, tartamát, sőt idejét sem ismerjük. Ezek alapján beláthatjuk, hogy több évezred távlatából olvasatunk nem lehet minden részletében tökéletes. Csak további kutatómunkával, összehasonlításokkal, olvasatokkal csökkenthetjük ezt a hiányosságot. (Mai példával élve: ha valaki 4000 év múlva kiásná mostani kultúrrétegünket, akkor értetlenül állna majd ilyen fogalmak előtt, mint a közért, mozi, utazási iroda stb. Ugyancsak furcsállaná az ilyen kifejezéseket, mint képben lenni, hülyét kapni stb.) Az m hang nyomában A hieroglifás szöveg tárgyalása során többször utaltunk arra, hogy komoly zavarok tapasztalhatók az m hang körül. Mind írásmódja, mind láthatatlan jelenléte, sőt jelentésének sokrétűsége további kérdésekre adott okot. Írása látszólag tiszta képet nyújt, a bagoly madár jelenti az m hangot,. Nos, hieroglifás megjelenése valóban egyértelmű, hieratikus formája viszont annál kevésbé. Mondhatnánk azt is, hogy egyáltalán nem biztos a transzkribációja.

20 V. Az egyiptomi π e. Az MMP 10. feladata (Ebben a fejezetben a magyar átírás szavunk helyett a nemzetközi transzkribáció szót szándékosan használjuk. Célunk ezzel mondanivalónk pontosítása, a könnyen összekeverhető transzkribáció és transzliteráció megkülönböztetése.) Ha G. Möller 196-os jeleit alaposabban megvizsgáljuk, érdekes kalandban lehet részünk. A bagoly a hieroglifák között az egyetlen madár-jel, amelyik szembe néz velünk. A többi, csaknem 40 madár, kivétel nélkül oldalról látható. Hieratikus jelei legalább három, egymástól eltérő formát mutatnak. Talán a legcélszerűbb mindhármat egymás mellé helyezni: I. II. III. (Ezek a jelek G. Möller Hieratische Paläographie I. kötet 18. oldal 196/A-B soraiból származnak.) Mindhárom jel átírása ugyanazzal az egy hieroglifával történik, nevezetesen a fentiekben már megnevezett bagollyal. Ha a I. jelet összehasonlítjuk a II. jellel az összes többi madárjelhez hasonlóan közös vonásként formájuk a nagy L -re emlékeztet. Egyébként a megszólalásig hasonlít a w jelet hordozó fürj madár hieratikus jeléhez is lásd Möller 200-as jeleit csupán annyi a különbség, hogy az m írása esetén az L felső szárán a bagoly füleire emlékeztető dupla szakáll látható. Ez hiányzik a fürj hieratikus jeléből. Mindkét fenti jelünk két vonalból áll, lábuk, karmaik eltérnek egymástól. Az I. képen jól követhető a madár kapaszkodó karma, a II. jelzés írója már ezt a vonalat nem kanyarítja jele alá, értsd alatta: én így is készen vagyok. Fülei mindkettőnek a bagolyra utalnak, mégis eltér a jel befejező vonala. A III. jel Möller szerint Dasselbe Zeichen, abgekürzte Form. Tehát: ugyanaz a jel, rövid formában. Gyakorlatilag nem hasonlít sem a madárra, sem a hieratikus teljes megfelelőjére. Írása egy vonalból áll. A helyzet ott bonyolódik, hogy sem térben, sem időben nincs lehetőség szignifikáns elválasztásukra. Gyakran ugyanazon a papiruszon, esetleg ugyanabban a sorban/oszlopban ugyanaz a kéz használta mindhárom jelet. Megnyugtató válasz hiányában megkérdezzük: Valóban azonos transzkribációval, értelemmel rendelkeznek-e ezek a hieratikus jelek?