A BSc-képzés szakdolgozati témái

Átírás

1 A BSc-képzés szakdolgozati témái Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék 2018/ Topologikus és variációs módszerek alkalmazása a dierenciálegyenletek elméletében (a téma Témavezet : Simon Péter A téma rövid leírása: A szakdolgozat célja a topologikus és/vagy variációs módszerek alapjainak megismerése, valamint ezek alkalmazása parciális és közönséges dierenciálegyenletekre vonatkozó peremérték problémák megoldása létezésének bizonyítására. [1] Drábek, Pavel, and Jaroslav Milota, Methods of nonlinear analysis: applications to dierential equations. Springer Science & Business Media, Neuronhálózatok modellezése dierenciálegyenletekkel Témavezet : Simon Péter A téma rövid leírása: A szakdolgozat célja neuronhálózatokon az aktivitás terjedésének modellezése dierenciálegyenletekkel, valamint a kapott modellek matematikai vizsgálata. A hallgató feladata egyrészt a folyamatra felírt különböz dierenciálegyenletrendszerek megértése és felírása az irodalom alapján, másrészt a modellek numerikus és elméleti vizsgálata a dierenciálegyenletek vizsgálatának eszközeivel. [1] Ermentrout, B., Terman, D.H., Foundations of Mathematical Neuroscience, Berlin: Springer, [2] Terman, D.H., Ahn, S., Wang, X., Just, W., Reducing neuronal networks to discrete dynamics, Physica D: Nonlinear Phenomena, 237(3), (2008). [3] Dayan, Peter, and Laurence F. Abbott, Theoretical neuroscience, Cambridge, MA: MIT Press, Közönséges dierenciálegyenletek megoldása Richardson-extrapolációval (a téma Témavezet : Havasi Ágnes A téma rövid leírása: A dolgozat célja a közönséges dierenciálegyenletek numerikus megoldásának pontosságát javító Richardson-extrapolációs módszer elemz bemutatása. Valamely hagyományos, p-ed rendben konvergens numerikus módszert a Richardsonextrapolációval kombinálva új módszert nyerünk, amely megfelel feltételek teljesülése 1

2 esetén (p+1)-ed rendben lesz konvergens. Lehetséges vizsgálandó kérdés az új módszer abszolút stabilitása különböz mögöttes módszerek esetén. Érdekes lehet egy általánosítás, a többpontos Richardson-extrapoláció bemutatása és vizsgálata is. Az eredményeket Matlab-programok segítségével illusztráljuk. [1] U. M. Asher, L. R. Petzold, Computer Methods for Ordinary Dierential Equations and Dierential-Algebraic Equations (1997) [2] I. Faragó, R. Horváth, Numerikus módszerek (2011). 4. Végtelen sorok, szorzatok (a téma A téma rövid leírása: Érdekes végtelen sorok és szorzatok vizsgálata. [1] Laczkovich-T. Sós, Analízis I-II. [2] Szász Pál: A dierenciál- és integrálszámítás elemei I-II. [3] Monthly-cikkek. 5. Görbék rektikálhatósága és ívhossza (a téma A téma rövid leírása: Görbék rektikálhatósága és ívhossza deníciókkal, tételekkel, bizonyítással és példákkal, ellenpéldákkal. [1] Szász Pál: A dierenciál- és integrálszámítás elemei I. [2] Gyemidovics, Matematikai analízis feladatgy jtemény. 6. Kompartment-modell alkalmazása antigén-antitest reakciók vizsgálatára (a téma A téma rövid leírása: A feladat a reakció modellezése kompartment-modellel, annak vizsgálata és számítógépes szimulációja. [1] Tóth-Simon, Dierenciálegyenlek [2] immunológiai cikkek. 7. Antigén-antitest reakciók modellezése dierenciálegyenletekkel (a téma már foglalt) A téma rövid leírása: A feladat a reakció modellezése homogén antitest-koncentráció mellett, annak vizsgálata és számítógépes szimulációja. [1] Tóth-Simon, Dierenciálegyenlek [2] immunológiai cikkek. 2

3 8. Darboux egy problémájától a diszkrét Fourier-transzformációig Témavezet : Besenyei Ádám A téma rövid leírása: A napjainkban széles kör alkalmazásokra lelt diszkrét Fouriertranszformáció eljárását már Darboux 1878-ban bevetette egy geometriai probléma megoldásában, s t Gauss 1802-ben egy csillagászati számítás során a Gyors Fourier Transzformáció egy kezdetleges változatára támaszkodott. A hallgató feladata (például) az említett el zményekb l kiindulva a diszkrét Fourier-transzformáció matematikai hátterének és alkalmazásainak bemutatása. Az elmélet iránt érdekl d k akár egészen a véges Abel-csoportokon vett Fourier-transzformáció felé is elkalandozhatnak. [1] I. J. Schoenberg, The nite Fourier series and elementary geometry, Amer. Math. Monthly, 57, [2] E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis I, Princeton University Press, [3] A. Terras, Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, Cambridge University Press, Iterációs módszerek stacionárius reakció-diúziós egyenletre (a téma Témavezet : Karátson János A téma rövid leírása: Reakció-diúziós folyamatok stacionárius állapotait olyan elliptikus parciális dierenciálegyenletek írják le, melyek diúziós f részükben lineárisak, a reakcióra nézve nemlineárisak. A dolgozat célja el bb egy ilyen, a fentieken belül autokatalitikus feladatosztály megoldhatóságának (azaz a megoldás létezésének és egyértelm ségének) levezetése, majd a numerikus megoldás vizsgálata. Utóbbiban végeselemes diszkretizációt követ en egyszer és Newton-típusú iterációkat hasonlítunk össze. [1] Diaz, J. I.: Nonlinear Partial Dierential Equations and Free Boundaries. Vol. 1: Elliptic Equations, Pitman Advanced Publishing Program [2] D. J. Estep, M. G. Larson, R. D. Williams, Estimating the error of numerical solutions of systems of reaction-diusion equations, Mem. Amer. Math. Soc. 146 (2000), no [3] Karátson J.: Numerikus funkcionálanalízis, Typotex, [4] Faragó I., Karátson J.: Numerical Solution of Nonlinear Elliptic Problems Via Preconditioning Operators, Advances in Computation: Theory and Practice, Nova Science Publishers, New York, Késleltetést tartalmazó dierenciálegyenletek, azok alkalmazása és numerikus megoldása (a téma Témavezet : Csomós Petra -, elemz matematikus 11. Válogatott fejezetek a közönséges dierenciálegyenletek megoldási módszereib l (a téma 3

4 Témavezet : Csomós Petra -, elemz matematikus 12. Reakciókinetikai modellek bizonytalanságanalízise (a téma Témavezet : Valkó Éva -, elemz matematikus 13. Numerikus módszerek a kémiában (a téma Témavezet : Valkó Éva -, elemz matematikus 14. Hamilton-féle dierenciálegyenletek hatékony numerikus megoldása (a téma Témavezet : Izsák Ferenc A téma rövid leírása: A szakdolgozat célja áttekinteni azokat a hatékony módszereket, amelyeket Hamilton-féle dierenciálegyenletek hatékony numerikus megoldására javasoltak. Az irodalmi áttekintésen és a felhasznált fogalmak megértésén túl egy konkrét feladat esetében valamelyik klasszikus módszerrel kell az egyenlet numerikus megoldását elvégezni. [1] Hairer, E., Lubich Ch., Wanner, G., Geometric Numerical Integration, Berlin: Springer, [2] Leimkuhler, B., Reich, S., Simulating Hamiltonian Dynamics Cambridge: Cambridge University Press, Runge-Kutta módszerek implementálása és alkalmazásai (a téma Témavezet : Fekete Imre A téma rövid leírása: A szakdolgozó feladata az alapvet x lépésköz Runge-Kutta módszerek implementálása és alkalmazása különböz tudományágbeli feladatokra. Alapvet változó lépésköz stratégiák feldolgozása és demonstrálása egyszer példákon keresztül [1] alapján. [1] E. Hairer, S. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Dierential Equations I, Nonsti Problems, Springer, Numerikus értékkészlet Témavezet : Tarcsay Zsigmond A téma rövid leírása: Banach-algebrában egy elem spektruma kizárólag az algebrai struktúrától és nem pedig magától a normától függ. A numerikus értékkészlet ezzel szemben 4

5 egy olyan részhalmaza az alaptestnek, amely a algebrai és a norma struktúrát egyaránt tükrözi. A szakdolgozat célja a numerikus értékkészlettel kapcsolatos leglényegesebb eredmények bemutatása. [1] F.F. Bonsall, J. Duncan, Numerical ranges of operators on normed spaces and elements of normed agebras, Cambridge University press [2] K.E. Gustafson, D.K.M Rao, Numerical range, Springer Verlag Ajánlott szakirányok: matematikus 17. SIR típusú járványterjedés modellezése Témavezet : Nagy Noémi A téma rövid leírása: A dolgozat célja különböz struktúrájú hálózatokon SIR típusú járványterjedés modellezése. A feladat egyrészt a különböz gráfstruktúrákon zajló betegségterjedés összehasonlítása szimuláció segítségével, másrészt a folyamatra felírt közelít dierenciálegyenlet-rendszerek megértése, illetve a szimuláció és a közelít modellek összehasonlítása különböz paraméterértékek mellett. [1] M.J. Keeling, K.T.D. Eames, Networks and epidemic models, J. Roy. Soc. Interface 2 (2005), [2] Kiss, I.Z., Miller, C.J., Simon, P.L., Mathematics of network epidemics: from exact to approximate models, Springer, [3] Nagy Noémi, Hálózati folyamatok modellezése dierenciálegyenletekkel, doktori értekezés, Ajánlott szakirányok: elemz, alkalmazott matematikus 18. Sztochasztikus folyamatok mean eld közelítése Témavezet : Kunszenti-Kovács Dávid A téma rövid leírása: A szakdolgozat célja bizonyos sztochasztikus folyamatok várható értékére felírt közelít dierenciálegyenletek levezetése, valamint ezen közelítés pontosságának becslése. A dolgozat részét képezi Kurtz erre vonatkozó klasszikus eredményének feldolgozása, és alkalmazása néhány speciális folyamatra. [1] T. G. Kurtz, Solutions of ordinary dierential equations as limits of pure jump Markov processes, J. Appl. Prob. 7(1970), [2] S. N. Ethier, T. G. Kurtz, Markov processes. Characterization and convergence, John Wiley & Sons, Inc., USA, [3] A. Bátkai, I. Z. Kiss, E. Sikolya, P. L. Simon, Dierential equation approximations of stochastic network processes: an operator semigroup approach, Netw. Heter. Media 7(2012), [4] B. Armbruster, A simple and general proof for the convergence of Markov processes to their mean-eld limits, (2016), arxiv: