A BSc-képzés szakdolgozati témái

Átírás

1 A BSc-képzés szakdolgozati témái Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék 2017/ Topologikus és variációs módszerek alkalmazása a differenciálegyenletek elméletében (a téma már foglalt) Témavezető: Simon Péter A téma rövid leírása: A szakdolgozat célja a topologikus és/vagy variációs módszerek alapjainak megismerése, valamint ezek alkalmazása parciális és közönséges differenciálegyenletekre vonatkozó peremérték problémák megoldása létezésének bizonyítására. [1] Drábek, Pavel, and Jaroslav Milota, Methods of nonlinear analysis: applications to differential equations. Springer Science & Business Media, 2013., matematikus 2. Neuronhálózatok modellezése differenciálegyenletekkel (a téma már foglalt) Témavezető: Simon Péter A téma rövid leírása: A szakdolgozat célja neuronhálózatokon az aktivitás terjedésének modellezése differenciálegyenletekkel, valamint a kapott modellek matematikai vizsgálata. A hallgató feladata egyrészt a folyamatra felírt különböző differenciálegyenletrendszerek megértése és felírása az irodalom alapján, másrészt a modellek numerikus és elméleti vizsgálata a differenciálegyenletek vizsgálatának eszközeivel. [1] Ermentrout, B., Terman, D.H., Foundations of Mathematical Neuroscience, Berlin: Springer, [2] Terman, D.H., Ahn, S., Wang, X., Just, W., Reducing neuronal networks to discrete dynamics, Physica D: Nonlinear Phenomena, 237(3), (2008). [3] Dayan, Peter, and Laurence F. Abbott, Theoretical neuroscience, Cambridge, MA: MIT Press, *-algebrák és normált algebrák ábrázolásai, lokálisan kompakt csoportok ábrázolásai Témavezető: Szűcs Zsolt A téma rövid leírása: 1. Komplex és *-algebrák ábrázolásai normált és Hilbert-terekben: szimmetrikus Banach *-algebrák - C*-ekvivalens Banach *-algebrák; 1

2 2. Absztrakt harmonikus analízis: lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájának szimmetriája és C*-ekvivalenssége. A cél fenti témákhoz kapcsolódó eddigi eredmények bemutatása (a két említett téma összefügg), illetve ezek kapcsolatának tisztázása. (De a fenti általános elméletek bármely részelméletéről lehet szó). [1] Kristóf János: Topologikus vektorterek, Kompakt konvex halmazok, Normált algebrák, krja/analyse/a4.pdf [2] Kristóf János: Absztrakt harmonikus analízis, A topologikus integrálelmélet elemei, krja/analyse/a5.pdf [3] F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag, Berlin- Heidelberg-New York, 1973 [4] J. Dixmier: C*-algebras. North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford, 1977 [5] G. K. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups, Academic Press, London, New York, San Francisco, 1979 [6] T. W. Palmer: Banach Algebras and the General Theory of *-Algebras, Vol I-II Ajánlott szakirányok: matematikus 4. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása (a téma már foglalt) Témavezető: Havasi Ágnes A téma rövid leírása: A dolgozat célja a közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási módszereivel való ismerkedés, a véges különbséges módszerek főbb típusainak bemutatása, egy-egy kiválasztott módszercsalád jellemzése, a módszerek pontosságának növelése Richardson-extrapoláció alkalmazásával. Az eredményeket Matlab-programok segítségével illusztráljuk. [1] U. M. Asher, L. R. Petzold, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations (1997) [2] I. Faragó, R. Horváth, Numerikus módszerek (2011) Ajánlott szakirányok: elemző matematikus 5. Darboux egy problémájától a diszkrét Fourier-transzformációig Témavezető: Besenyei Ádám A téma rövid leírása: A napjainkban széles körű alkalmazásokra lelt diszkrét Fouriertranszformáció eljárását már Darboux 1878-ban bevetette egy geometriai probléma megoldásában, sőt Gauss 1802-ben egy csillagászati számítás során a Gyors Fourier Transzformáció egy kezdetleges változatára támaszkodott. A hallgató feladata (például) az említett előzményekből kiindulva a diszkrét Fourier-transzformáció matematikai hátterének és alkalmazásainak bemutatása. Az elmélet iránt érdeklődők akár egészen a véges Abel-csoportokon vett Fourier-transzformáció felé is elkalandozhatnak. [1] I. J. Schoenberg, The finite Fourier series and elementary geometry, Amer. Math. Monthly, 57, [2] E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis I, Princeton University Press, [3] A. Terras, Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, Cambridge University Press,

3 , matematikus 6. Iterációs módszerek stacionárius reakció-diffúziós egyenletre Témavezető: Karátson János A téma rövid leírása: Reakció-diffúziós folyamatok stacionárius állapotait olyan elliptikus parciális differenciálegyenletek írják le, melyek diffúziós főrészükben lineárisak, a reakcióra nézve nemlineárisak. A dolgozat célja előbb egy ilyen, a fentieken belül autokatalitikus feladatosztály megoldhatóságának (azaz a megoldás létezésének és egyértelműségének) levezetése, majd a numerikus megoldás vizsgálata. Utóbbiban végeselemes diszkretizációt követően egyszerű és Newton-típusú iterációkat hasonlítunk össze. [1] Diaz, J. I.: Nonlinear Partial Differential Equations and Free Boundaries. Vol. 1: Elliptic Equations, Pitman Advanced Publishing Program [2] D. J. Estep, M. G. Larson, R. D. Williams, Estimating the error of numerical solutions of systems of reaction-diffusion equations, Mem. Amer. Math. Soc. 146 (2000), no [3] Karátson J.: Numerikus funkcionálanalízis, Typotex, [4] Faragó I., Karátson J.: Numerical Solution of Nonlinear Elliptic Problems Via Preconditioning Operators, Advances in Computation: Theory and Practice, Nova Science Publishers, New York, Reprezentációs- és felbontási tételek pozitív elemekre Témavezető: Titkos Tamás A téma rövid leírása: A matematika számos területén találkozhatunk olyan leképezésekkel, amelyek bizonyos értelemben vett pozitivitási tulajdonsággal rendelkeznek. Gondolhatunk itt akár pozitív szemidefinit mátrixokra, korlátos pozitív operátorokra, (végesen additív) nemnegatív mértékekre, pozitív definit operátorfüggvényekre, és így tovább. Azon tételeket, amelyek egy pozitív elem (egy másikra vonatkozóan) reguláris és szinguláris részekre bonthatóságát garantálják, a mértékelméleti klasszikusra utalva Lebesgue típusú felbontásoknak, a reguláris rész alkalmas reprezentációját pedig Radon-Nikodym típusú tételeknek nevezik. A cél a témához kapcsolódó egy-egy eredmény bemutatása (legyen szó akár valamelyik Lebesgue-Radon-Nikodym tételről, vagy a felbukkanó regularitási és szingularitási fogalmak összehasonlításáról) a megfelelő szakirodalom feldolgozásával. [1] C. D. Aliprantis and O. Burkinshaw, Principles of Real Analysis, Academic Press Inc. (San Diego, 1998). [2] T. Ando, Lebesgue-type decomposition of positive operators, Acta. Sci. Math. (Szeged), 38 (1976), [3] T. Ando, W. Szymanski, Order Structure and Lebesgue Decomposition of Positive Definite Operator Functions, Indiana Univ. Math. J., 35 (1986), [4] S. Bochner and R. S. Phillips, Additive set functions and vector lattices, Ann. of Math., 42 (1941), [5] R. B. Darst, A decomposition of finitely additive set functions, J. Reine Angew. Math., 210 (1962),

4 [6] C. Fefferman, A Radon-Nikodym theorem for finitely additive set functions, Pacific J. Math., 23(1) (1967), [7] S. Gudder, A Radon-Nikodym theorem for * -algebras, Pacific J. Math., 80 (1) (1979), [8] S. Hassi, Z. Sebestyén and H. de Snoo, Lebesgue type decompositions for nonnegative forms, J. Funct. Anal., 257(12) (2009), [9] H. König, The Lebesgue decomposition theorem for arbitrary contents, Positivity, 10 (2006), [10] K. P. S. B. Rao, M. B. Rao, Theory of charges, Academic Press, [11] Z. Sebestyén, Zs. Tarcsay, T. Titkos, Lebesgue decomposition theorems, Acta Sci. Math. (Szeged), 79 (1-2) (2013), [12] B. Simon, A canonical decomposition for quadratic forms with applications to monotone convergence theorems, J. Funct. Anal., 28 (1978), [13] W. Szymanski, Positive forms and dilations, Trans Amer. Math., 301(2) (1987), [14] Zs. Tarcsay, Lebesgue decomposition for representable functionals on * -algebras, Glasgow Math. Journal, 58 (2016), [15] Zs. Tarcsay Radon-Nikodym theorems for nonnegative forms, measures and representable functionals, Complex Analysis and Operator Theory, 10 (2016), [16] T. Titkos, A simple proof of the Lebesgue decomposition theorem, Amer. Math Monthly, 122 (8) (2015), Ajánlott szakirányok: matematikus, alkalmazott matematikus 8. Approximáció függvényterekben (a téma már foglalt) Témavezető: Tarcsay Zsigmond A téma rövid leírása: A hallgató feladata függvényterekben néhány klasszikus approximációs tétel bemutatása, úgymint Stone-Weierstrass, Bernstein, Korovkin, stb., tételei. [1] Komornik Vilmos, Valós analízis előadások I-II., TypoTEX, 2003 [2] P.P. Korovkin, Linear Operators and Approximation Theory, Russian Monographs and Texts on advanced Mathematics and Physics, A Taylor-formula és alkalmazásai (a téma már foglalt) Témavezető: Pfeil Tamás - Ajánlott szakirányok: elemző matematikus 10. Runge-Kutta módszerek rendfeltételeiről (a téma már foglalt) Témavezető: Fekete Imre A téma rövid leírása: A szakdolgozó feladata elsősorban a Runge-Kutta típusú módszerek rendfeltételeinek meghatározására szolgáló két nagy módszer bemutatása. Nevezetesen az Albrecht-féle megközelítés [1], [2] és a Butcher-fa elmélet [3], [4] ismertetése, összehasonlítása és az előnyök bemutatása. Esetlegesen kitekintés többplépcsős többlépéses Runge-Kutta, lineáris többlépéses és általános lineáris módszerek rendfeltételeiről. 4

5 [1] P. Albrecht: A new theoretical approach to Runge-Kutta methods, SIAM J. Numer. Anal., Vol 24., No. 2 (1987)[2] P. Albrecht: The Runge-Kutta theory in a nutshell, SIAM J. Numer. Anal., Vol 33., No. 5, pp , (1996) [3] J. C. Butcher: Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, 3rd Edition, Wiley (2016) [4] E. Hairer, G. Wanner, S. P. Norsett: Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems, Springer-Verlag (1993) Ajánlott szakirányok: matematikus, alkalmazott matematikus, elemző matematikus 11. Sávos, stabil, ferdén szimmetrikus magasrendű térbeli diszkretizációs mátrixok Témavezető: Fekete Imre A téma rövid leírása: A diszkretizációs mátrixok fontos szerepet játszanak elsőrendű paciális differenciálegyenletek térbeli diszkretizációja során. Az [1], [2] cikkekben a szerzők sávos, stabil, ferdén szimmetrikus magasrendű térbeli diszkretizációs mátrixok megadására dolgoztak ki eljárást. A szakdolgozó feladata a cikkek és a megfelelő segédanyagok alapján a téma feldolgozása, megértése és azok részletes bemutatása példákon keresztül. [1] E. Hairer, A. Iserles: Banded, stable, skew-symmetric differentiation matrices of high order. IMA J. Numer. Anal. 37 (2017), no. 3, [2] E. Hairer, A. Iserles: Numerical Stability in the Presence of Variable Coefficients, Found Comput Math (2016) 16: Ajánlott szakirányok: matematikus, alkalmazott matematikus, elemző matematikus 12. Exponenciális integrátorok (a téma már foglalt) Témavezető: Csomós Petra -, elemző matematikus 13. A stabilitás szerepe a differenciálegyenletek numerikus megoldásában (a téma már foglalt) Témavezető: Csomós Petra -, elemző matematikus 5