A modellezés elmélete és gyakorlata Prof. Szűcs Ervin jegyzete ( és Dr. Szigeti Gyula alapján
|
|
- Viktória Lakatosné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A modellezés elmélete és gyakorlata Prof. Szűcs Ervin jegyzete ( és Dr. Szigeti Gyula alapján Dr. Szentesi Péter Molekuláris Biológus kurzus 2009.
2 Előszó 1. Gondolkodásunk tudatosan vagy ösztönösen modellekre épül. Az egyes szaktudományok is lényegében az objektív világ meghatározott szempontok szerinti modelljei. A modellezett-modell viszonyanem csak hasonlóságot, hanem különbözőséget is jelent. Fontos szerepe van a tanulás folyamatában is a hasonlóságnak. Ne feledjük Szent-Györgyi Albert szavait: A diák csak akkor tud megérteni egy új fogalmat, egy új jelenséget, ha hasonlítani tudja valamilyen általa már ismert fogalomhoz, jelenséghez és azt is megérti, hogy az új miben különbözik a már ismert régi -től. Ezt az utat követi a műszaki, a természet- és a társadalomtudományok kutatója is. A már ismerttel való megegyezésből indul ki a vizsgálat és a már ismerttől való eltérés felismerése, az ellentmondás feloldására törekvés váltja ki az új ismeretet (fölfedezést, találmányt).
3 Előszó 2. A világ megismerésének forrása a tapasztalat, de csak a tapasztalat nem elegendő. [ A tudomány kísérlet arra, hogy a kaotikus, sokfajta érzéki tapasztalatot valamilyen egységes gondolatrendszerrel összefüggésbe hozza. Albert Einstein] A végtelen sok tulajdonsággal rendelkező egyedi események általános, tömör jellemzését az ún. matematikai modell adja. Az összetett jelenségek, folyamatok esetén igen gyakran nem lehet egzakt matematikai megoldásra jutnunk. Szükség van arra, hogy méréssel határozzuk meg a folyamat jellemzői közötti összefüggéseket. Ilyenkor válik nélkülözhetetlenné a hasonlósági módszer.
4 A hasonlósági módszer A folyamatjellemzők nagy száma miatt szinte végtelen sok változat mérése látszik szükségesnek. A hasonlósági módszer választ ad: 1. Milyen jellemzőket kell mérni? 2. A mérési eredményeket milyen formában kell feldolgozni, hogy azok más rendszereknél is felhasználhatók legyenek? 3. Hogyan lehet laboratóriumi vagy félüzemi mérésekből következtetni az adott üzemi viszonyokra? A rendszerek hasonlóságának szemlélete, a közös (általános érvényű) tulajdonságok felismerése megkönnyíti a tanulást, tanítást, tájékozódást és egyben a különféle szakterületek közötti kommunikációt is.
5 A modell fogalma A tudomány nem próbál magyarázni, alig is próbál interpretálni, a tudomány főként modelleket állít fel. Neumann János Mit értünk modellen? a latin modus, modulus szó mértéket, módot, módozatot jelent A mindennapi életben azonban ennél jóval szélesebb körű az értelmezése. A modell szóval jelölik például azt a rendszert, amely egy másik rendszerben (a modellezettben) végbemenő jelenséghez hasonló jelenséget valósít meg; 1. egyes termékek mintáit (ruhamodell, gépmodell); 2. közlekedési eszközök kicsinyített másolatát (pl. Matchbox); 3. épületek geometriailag hű kisebbítését, makett; 4. az olyan szemléltető eszközöket, amelyek valamely nagyon nagy (vagy nagyon kicsiny) objektum oktatási bemutatására szolgálnak (pl. a hidrogénatom modellje, vagy a planetárium). Értelmezésünk szerint a modell mindig csak valamihez viszonyítva modell, és ebbe a viszonyításba nemcsak a szempontok (mi szerint?), hanem a hierarchia szint (milyen mélységig?) is beleértendő.
6 Mi is akkor a modell? Minden modell információt adó rendszer [de nem minden információt adó rendszer modell!] A modell tehát rendszer: 1. célja az emberi megismerési folyamat elősegítése, újabb ismeretek szerzése; 2. egymással kölcsönhatásban lévő részekből (a modell elemeiből) összeálló (összeállított) szerves egész; 3. meghatározott környezetével (az ún. modellezettel) hasonlósági összefüggésben van, nélküle nem is értelmezhető.
7 A hasonlóság szerepe az emberi gondolkodásban A hasonlóság fogalma az emberi gondolkodásban rendkívül fontos helyet foglal el. Szigorúan véve a világ minden jelensége (minden rendszere) különbözik egymástól, nem lehet két azonosat találni közöttük. De ugyanaz a rendszer sem azonos önmagával, ha két különböző időpontban vizsgáljuk. Ebből arra a következtetésre lehetne jutni, hogy a végtelen sok, egymástól különböző jelenség megismerése lehetetlen. Valójában ez is lenne a helyzet, ha az ember csak arra törekedne, hogy egyegy jelenséget teljességében írjon le. Az emberi gondolkodás alapja azonban az általánosítás, az absztrakció. Az ember a világ megfigyelése során igyekszik felismerni az egyes jelenségek közös tulajdonságait. Még erősebb az absztrakció a fogalmak megalkotása során, a fogalomalkotás nem más, mint halmazba rendezés. A fogalom egyben a halmaz elemeinek közös tulajdonságát is jelenti.
8 Hasonlóság Halmazba rendezni kétféleképpen lehet: 1. felsorolni az adott halmazba tartozó elemeket, vagy 2. rögzíteni azokat a kritériumokat, amelyek alapján bármiről eldönthető, hogy a halmazba tartozik vagy sem. Különféle dolgoknak (jelenségeknek) lehetnek közös tulajdonságaik és eszerint egy halmazba tartoznak. Különféle dolgok (jelenségek) lehetnek egymáshoz hasonlók. Ebből következik, hogy értelmetlen dolog általában hasonlóságról beszélni, mindig hozzá kell tenni: milyen szempont (ill. milyen tulajdonságok) szerinti hasonlóságról van szó. Nem mindig szükséges (általában nem is lehetséges) a modellezés során a vizsgált halmaz elemeinek valamennyi tulajdonságát figyelembe venni. A súlyosabb tévedések elkerülése érdekében ezért mindig rögzíteni kell azt az állapotteret, amelyre a hasonlóságot értelmezzük.
9 Analógia 1. Az analógiának az emberi gondolkodásban mindig is kitüntetett szerepe volt. A klasszikus fizika megalkotói számos példát mutattak erre. Csak vázlatosan: 1. Kepler szinte vallomásszerűen kinyilvánítja, hogy különösen szeretem a hasonlóságot, a természet titkainak legfőbb tanítóját.[ Igaz, egyes analógiái ma már mosolyt fakasztanak, mint pl. az, hogy a bolygók saját mozgásra képesek, mint az élőlények, tehát lelkük van.] 2. Descartes az élőlényeket is mechanikai (gép) analógiával magyarázza (pl. az idegek kötelek, amelyek harangot szólaltatnak meg). Mai szemmel naivnak tűnő hasonlatai pozitív szerepet is játszottak, gondoljunk csak a szem és a távcső analógiájára, a biológiai minta alapján készített technikai eszközre. 3. Newton vizsgálatait arra az axiómájára alapozza, hogy a természet hasonló jelenségeinek hasonló okai vannak. Korának optikája két egymással akkor ellentétes analógiára, a fény és a testek, illetve a fény és a hang hasonlatosságára épült. 4. Gyakran használták a folyadékáramlás szemléletességét. Ennek analógiájára magyarázta Ohm az elektromos áramot, Fourier a hőáramot. A különféle fluidumok elmélete hosszú időn keresztül uralta a természettudományokat. 5. Maxwell már tudatában volt a folyadékáram és az elektromos áram különbözőségének és előbbit csak az utóbbi szemléltetésére használta. Egyértelműen kijelentette, hogy fizikai analógián két tudományterület törvényei közötti olyan részleges (!!!) hasonlóságot értek, amelynek alapján az egyik a másiknak illusztrációja lesz.
10 Analógia 2. Az utóbbi évszázad során a természettudomány minden területén alapelvvé vált az analógiák kutatása, a különféle jelenségek közös törvényeinek kutatása. Egységes elmélettel magyarázhatók (ma már) a különféle rezgések, legyen az elektromágneses hullám, valamely gép vagy hang rezgése. A statisztikus fizika módszerei egyaránt alkalmazhatók különféle (nagy elemszámú) rendszerek leírására. Néhány éve a fizikai analógiák a biológiai evolúció modellezésében is segítenek. A korábban különbözőnek tekintett energetikai kölcsönhatások Lars Onsager nyomán az energodinamika egységes módszerével tárgyalhatók. Folytathatnánk tovább a példák egész sorával, a kvantumfizika eredményeivel, a térelmélet egységesítésével. De ilyen analógiás irányzatoknak kell tekintenünk a különféle interdiszciplináris törekvéseket is (pl. a kibernetikát vagy az ún. rendszerelméletet). A tudomány nemcsak felhasználja az analógiákat, hanem foglalkozik a jelenségek hasonlósági feltételének megfogalmazásával is. A XX. században a jelenségek hasonlóságával foglalkozó tudomány két irányban fejlődött tovább: egyenletanalízis: a jelenségek matematikai leírása, dimenzióanalízis: az adott jelenséget jellemző változók dimenziójának analízisére épült. Az egyenletanalízis irányzata vezetett el a hasonlósági módszer mai értelmezéséhez.
11 A hasonlósági reláció 1. A modell és a modellezett közötti kapcsolat hasonlósági reláció. Az előbbiek szerint a modell és a modellezett mindig csak valamilyen meghatározott szempontból hasonló, más szempontok szerint viszont különböző. Így a modell mindig csak részleges lehet. Az ún. teljes modell (olyan, ami minden szempontból hasonló) csak egy van: maga a modellezett. A minden szempontból hasonlóság ugyanis azonosságot jelent. Ennek nagyon leegyszerűsített, de szemléletes bemutatására tekintsük a 4 betűs (értelmes) magyar szavak halmazát. Értelmezzünk ezen a halmazon egy relációt, amely azokat a szavakat köti össze, melyek legfeljebb csak egy betűben különböznek egymástól. Ez a reláció reflexív és szimmetrikus. Tekinthető-e ez (az előbbiek során felsorolt követelményeknek eleget tevő) hasonlósági relációnak? Például: a HOLD -HORD -MORD -MARD -MARS szavak közötti láncban a szomszéd párok között fennáll az előbbi reláció. De: ez a reláció nyilvánvalóan nem tranzitív, s így a lánc elején álló HOLD és a végén lévő MARS szavak már egy betűjükben sem egyeznek meg.
12 A hasonlósági reláció 2. Lehet-e hasonlóságnak tekinteni azt a relációt, amelynek páronkénti alkalmazásával eljutunk a teljes különbözőségig? A hasonlósági reláció esetében ilyen lánc-torzulásnak nem szabad előfordulnia. Ezért pontosabban kell fogalmaznunk: nem elegendő megjelölni, hogy legfeljebb csak egy betűben különbözik, hiszen így nem rögzítettük a betű helyét. Az egyes szavakat ugyanis az jellemzi, hogy melyik helyen milyen betű áll. A különböző helyek különböző jellemzőket jelentenek. A négybetűs szavaknak négy jellemzőjük van, úgy tekinthetők, mint négy tulajdonsággal rendelkező elemek. A tulajdonság: hányadik betű a szóban. A tulajdonság értéke: melyik betű (ezen a helyen!). A hasonlósági feltétel csak úgy fogalmazható meg, ha megmondjuk, hogy mely hely(ek)en álló betű(k)ben különbözhet két szó. Így az előbbi feltételt így kell megfogalmazni: hasonlónak nevezünk két szót, ha (például) csak az első betűjében különbözik. Ilyen értelmezésben a HOLT - FOLT -VOLT - BOLT szavak egymáshoz hasonlóak. Könnyen belátható, hogy az így definiált reláció már tranzitív is, tehát ekvivalencia reláció.
13 Az ekvivalencia reláció A hasonlósági relációnak tehát ki kell elégítenie az ekvivalencia reláció követelményeit. Ellenkező esetben eljuthatunk odáig, hogy a modellezett modelljének a modellje már nem modellje a modellezettnek! A hasonlósági szempontokat tehát egy adott feladat (modellezés) esetén előre rögzíteni kell. De hogy melyek ezek a szempontok, az mindig a feladat jellegétől, vagyis attól függ, hogy a modellnek miben kell hasonlónak lennie a modellezetthez. A hasonlósági szempontok főbb típusai: 1. szerkezeti (vagy strukturális) 2. működési (vagy funkcionális) és 3. formai (vagy geometriai, tágabb értelemben: topológiai) hasonlóság. Ugyanazon rendszerhez a struktúra vagy a geometria vagy a funkció szerint más-más rendszerek hasonlóak: a strukturális, a funkcionális és a geometriai hasonlóság halmazai egymásnak nem részhalmazai. Lehet két rendszer geometriailag hasonló (pl. egy gépkocsi és annak makettje), anélkül, hogy funkcionálisan hasonlók legyenek. Lehet két rendszer funkcionálisan hasonló (pl. egy hőcserélő és annak villamos modellje), anélkül, hogy geometriailag hasonlók legyenek.
14 A modellek csoportosítása 1. A modellépítés még a nagyon egzakt tudományok területén is magas fokú kreatív tevékenységnek számít, művészetnek, nem pedig kész eredményeket felhasználó folyamatnak (Quade) A modellek csoportosításának kiterjedt irodalma van. Még ha csak a technikai rendszerek modelljeit akarnánk felsorolni, akkor is megoldhatatlan feladatra vállalkoznánk. Gondoljunk csak arra: hányféle technikai rendszer van.
15 A modellek csoportosítása 2.
16 Csoportosítási módok
17 Rendszertípusok 1. Közgazdasági rendszerek: nemzetközi kereskedelem és gazdaság, nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás, ágazati és ipari tervezés. Emberi és társadalmi rendszerek: népesség, városi és regionális tervezés, fejlesztés és vezetés, lakáshelyzet, oktatás, képzés, egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása), társadalmi és jóléti szolgáltatások, munkaerőképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások, igazságszolgáltatás. Erőforrások és környezeti rendszerek: ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat, vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat, éghajlat, környezet, ökológia, mezőgazdaság, beleértve az erdőgazdaságot és állattenyésztést. Ipari rendszerek: kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat), tervezés és irányítás, termelés és elosztás, energiaágazat, petrolkémia, elektronika, szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülőgép), élelmiszerelosztás, textil - és ruházati ipar, nukleáris energia. Biológiai rendszerek: elemi biológiai rendszerek, humán biológia és pszichológia, bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése.
18 Rendszertípusok 2. Információs és számítógép rendszerek: távközlési és számítógépes hálózatok, információtárolás és - visszakeresés, számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás, vezetési információs rendszerek. Külön csoport az ún. integrált rendszerek: mezőgazdaság - élelmiszer - népesség, energia - környezet - ipar, ipar - környezet - egészségügy, területi ipari komplexumok, globális és regionális rendszerek. A felsoroltak szinte kivétel nélkül részben vagy egészben a technikai rendszerek közé tartoznak. Mindegyikükhöz többféle modell is rendelhető.
19 A fontosabb anyagi modellek A geometriai modell az eredeti formáját, térbeli elhelyezkedését tükrözi. Az ilyen jellegű geometriai modelleket helyesebb makettnek nevezni. A geometriai modellt is felhasználják a műszaki életben, elsősorban a tervezésben. Bonyolult elrendezésű építmények, gyárak vagy gépcsoportok térbeli elhelyezkedését előbb geometriai modellen készítik el. Az ilyen modellezést térbeli tervezésnek is nevezik. A fizikai modell az eredetivel megegyező fizikai természetű jelenséget megvalósító rendszer. Már többször utaltunk arra, hogy az eredeti és a modell hasonlóságának feltétele, hogy matematikai leírásuk (dimenzió nélküli matematikai modelljük) megegyezzen. Az eredetinek azonban nem minden vonatkozása, tulajdonsága fejezhető ki - jelenlegi ismereteink szerint - matematikai formában. Ha nem tudjuk a modellezettben végbemenő folyamatok minden (az adott szempontok szerint) lényeges összefüggését egzakt matematikai formában megfogalmazni, akkor csak az eredeti folyamatot szabad a modellben is megválasztani. A természetes modell a természetben már meglevő objektum, amelyet különleges változtatás nélkül felhasználnak más objektumok tulajdonságainak meghatározásához. Természetes modellnek tarthatjuk a természetben végbemenő folyamatok és jelenségek adatainak általánosítását (a hasonlósági módszer segítségével, a megfelelő kritériumok alapján). De a természeti jelenségek egyszerű megfigyelése is modellezésnek tekinthető, ha a tapasztalatokat felhasználjuk akár természeti, akár technikai folyamatok előrejelzésére. Valamilyen tárgy azzal válik modellé, hogy az ember funkciót ad neki. (Az ember egyes biológiai funkcióinak vizsgálatakor gyakran állatok a modellek.)
20 A gondolati (eszmei) modellek Az emberi logika termékei. Módszerüket, formájukat illetően szubjektívek, de tartalmukat nézve objektívek. Nélkülözhetetlen elemei a megismerés folyamatának. Kétféle eszmei modellfajtát különböztetünk meg. 1. A fogalmi modell a közvetlen, érzéki tapasztalatok feldolgozása az absztrakt gondolkodás segítségével. Feladata a kísérletek, tapasztalatok értelmezése, a hipotézisek ellenőrzése, illetve újabb hipotézisek alkotása. Jelentős eszköze a gondolati kísérlet. Ennek során ismert természettörvények felhasználásával megalkotott fogalmi modellünket gondolatban meghatározott körülmények közé helyezzük és végigvezetjük várható viselkedését. Ilyen gondolati kísérletnek kell megelőznie minden tényleges kísérletet, ha el akarjuk kerülni, hogy durva hibákat kövessünk el. 2. A jelképes modellek is az empíria (vagy a kísérlet) adatait illetve feladatait fogalmazzák meg, de valamilyen jelrendszerben. A mérési eredmények rendszerint táblázat, grafikus ábrázolás vagy szám- (jel-) rendszer formájában adottak. Ezek közvetlenül a tudományos feldolgozás, általánosítás céljára alkalmatlanok. Van egy kínai közmondás: Egy kép felér szóval. Az előbbi kínai közmondást átalakítva: Egy egyenlet felér képpel.
21 Jelrendszerek A társadalom nem lehet meg jelrendszerek nélkül. 1 képmás, 2 geometriai, 3 metafora szimbolikus, 4 ikon, 5 szöveg, 6 jelkép index, 7 lenyomat, 8 művészi A verbális jelkészlettel szemben a matematikai jelekkel való leírás - amikor az egyáltalában lehetséges - egyértelmű és ellentmondásmentes. A rendszerek hasonlóságának definíciójából következik, hogy a rendszerek modelljeit is célszerű a matematikai modellek szerint csoportosítani. A matematikai modell alakja szerinti csoportosítás elvonatkoztat a konkrét jelenségtől, de éppen ez segíti elő, hogy egy-egy feladat megoldásához a legkülönfélébb jelenségek tanulmányozásából szerzett ismereteket felhasználhassuk.
22 Számítógépes modellek 1.
23 Számítógépes modellek 2. Külön említjük a modellek körében a számítógépeket. Felhasználásuk modellezési feladatokra a mikroelektronika és a számítástudomány fejlődésének köszönhetően egyre szélesebb körökben terjed. A számítógép széles körű - így modellként való - felhasználását az teszi lehetővé, hogy algoritmikus gép: vele bármilyen algoritmizálható feladat megoldható amennyiben ismerjük egy folyamat menetének algoritmusát, abból (elvben) megalkotható a számítógépes program, amelynek futtatásával az univerzális számítógép az adott folyamat modelljévé válik. A számítógépes modellezést szokás (számítógépes) szimulációnak is nevezni.
24 Számítógépes szimuláció 1. numerikus, amelynek során a modellezett kvantitatív jellemzőit, illetve azok változását határozhatjuk meg. Ez lehet a mérési, megfigyelési, statisztikai adatok feldolgozása (értékelése), a matematikai modellből kialakított számítási modell megoldása vagy - a kísérletekkel összekapcsolva - a mérési folyamat irányítása; ikonikus, amelynek során a modellezett rendszer formájára, szerkezeti kapcsolataira kapunk vizuálisan megfigyelhető információkat. Speciális terület az ipari formatervezés, de ide sorolható az új konstrukciók formájának és szerkezetének kialakítása, illetve előzetes ellenőrzése; verbális, amellyel a modellezett rendszer szavakban kifejezhető kapcsolatait tárjuk fel; akusztikai, amellyel bizonyos hanghatásokat ellenőrizhetjük illetve változtathatjuk. Ilyen lehetőségeket is felhasznál a művészet, pl. elektronikus zene komponálására, régi hangfelvételek feljavítására, de fontos eszköz a zajvédelmi berendezések kialakítása, termek akusztikai tervezése során; a művész eszközként használja a számítógépet, képi vagy zenei alkotások létrehozására, s így itt már szigorúan véve nem algoritmikus, hanem intuitív folyamatról van szó.
25 Számítógépes szimuláció 2. Fontos szerepe van a számítógépes szimulációknak a nem minden lépésükben algoritmizálható problémák (ilyenek pl. a különféle társadalmi jelenségek) vizsgálatában. A gép-ember kapcsolat interaktívitása lehetővé teszi, hogy a nem algoritmizálható csomópontokban az emberi közbeavatkozástól függően folytassa tovább a gép az algoritmust. Így a döntést igénylő lépéseket az ember teszi meg, és a szimuláció során előre ellenőrizheti döntésének várható következményeit, (szükség esetén) más döntési variációk hatását is vizsgálhatja. Ne feledjük azonban, hogy a legfejlettebb számítógép csak segíti és nem helyettesíti az embert. A kvantitatív modell is csak a rendszer tulajdonságainak egy részéről tájékoztathat. Ezért a számítógépes modellezés is legfeljebb csak döntés-előkészítő lehet.
26 Szakértői rendszerek, a heurisztikus modell Az utóbbi időkben egyre jelentősebb szerepe van a döntés-előkészítésben a számítógépnek. A mesterséges intelligencia (rövidítve AI, az angol Artificial Intelligence névből) kutatások eredményei alapján hozták létre az ún. szakértői (expert) rendszereket. Ezek a rendszerek az emberi döntéshozó folyamatot szimulálják (modellezik) számítógépen. interaktív kommunikáció a rendszer részei: 1. adatbázis (adatbank) - adatok (tényeket, összefüggéseket), - ha-->akkor szabályok (heurisztikus következtetéseket) 2. következtetőmű - a kiindulási adatokból a szabályok összekapcsolásával valamilyen (a témára vonatkozó) következtetésre jut A problémamegoldás módszere: keresés, de a deduktív rendszerekkel szemben nem pusztán formállogikai következtetésekkel, hanem ún. heurisztikus vezérléssel: - a beépített szabályok révén a legvalószínűbb megoldások irányában keres, - a következtetésekben tapasztalati tényeket is figyelembe vesz és minden következtetést az ember számára elfogadható formában magyaráz meg. - Amennyiben a fölhasználó a választ nem fogadja el, további kérdéseket tehet fel. A szakértői rendszer a tapasztalatokra épül (nem helyettesíti, hanem kiegészíti az emberi okoskodást).
27 Orvosi szakértői rendszerek A szakértői rendszerek között az egyik legelterjedtebb az orvosi. Ebben az adatbank a betegségek tüneteit (mérhető jellemzőket, pl. vérnyomás, testhőmérséklet, pulzus és szubjektív - a beteg által érzett - érzéseket) tartalmazza, valamint ezen tünetek összefüggéseit. A következtetőmű abban segít, hogy bizonyos tünetcsoportok alapján a lehetséges diagnózisokat az orvos megtalálja. Mint minden szakértői rendszer, az orvosi is mindig több választ (itt: diagnózis változatot) ad meg; ezek közül kell a probléma megoldónak (itt: az orvosnak) kiválasztania a szerinte megfelelőt. Ezek után a lehetséges terápia változatokra is javaslatot ad a rendszer.
28 A modellezés módszere Velünk született tulajdonságunk, hogy a dolgok kutatását ismertebbekből kiindulva folytassuk a kevésbé ismertek irányába. (Dante)
29 Feladat és probléma Az alkotó emberi tevékenység feladata az állapotváltoztatás, amelynek során egy rendszert valamely meglévő (az igényeknek nem megfelelő) kezdeti állapotból egy (célszerűbb) végállapotba kell eljuttatni. Azon lépések egymás utáni sorozata, amely a kezdeti és a végállapotot összeköti: a megoldás útja. A kezdeti állapotban mindig valamilyen feszültség van a meglévő lehetőségek és az igények között. A végállapotnak ezt a feszültséget kell feloldania. Megoldási út - általában - több is lehetséges, többféle módon lehet a kezdeti állapotból a célállapotba eljutni. Kétféle típust különböztetünk meg: Feladat, ha ismert a meglévő állapot, annak ellentmondásai, az igények és a lehetőségek közötti feszültség, (általában) a célállapot és (algoritmizált) a teljes megoldási út. Probléma, ha nincs (teljes) ismeretünk a meglévő helyzetről és/vagy a megoldás útjáról és/vagy a célállapotról.
30 A problémamegoldás folyamata A körfolyamat azt is jelenti, hogy minden megoldott probléma egyben - előbb-utóbb - egy új probléma forrása is. Tudományos módszeren az ismeretek szisztematikus megszerzésére alkalmazott eljárásokat értjük, amelyek a következő tényezőkön alapulnak: 1. a probléma felismerése és világos megfogalmazása, 2. az adatok összegyűjtése megfigyelés és - ha lehet - kísérletek útján, 3. a hipotézisek megfogalmazása logikus érvek útján, 4. a hipotézisek ellenőrzése (Selye János)
31 A megoldás útja A megoldás útja olyan gráffal szemléltethető, amelynek csúcsai események (a megoldás közbenső eredményei, döntési pontok), élei pedig tevékenységek (a megoldás útjának egyes szakaszai). Minden feladat- vagy problémamegoldás a helyzetelemzéssel kezdődik. Ennek során fel kell tárni a vizsgált rendszer jellemzőit, a meglévő állapot kritikus elemeit (az igények és a lehetőségek ellentmondásait, a feltételeket, a kötöttségeket stb.). Figyelmet kell fordítani egyes kvalitatív jellemzőkre is. A rendszerelemzés eredményeként létre kell hoznunk a vizsgált rendszer modelljét. A modellnek tükröznie kell nemcsak a vizsgált rendszer szerkezetét, folyamatait, hanem a meglévő állapot okozta feszültségeket is, amelyeket a megoldásnak fel kell oldania.
32 Feladattípusok 1. A rendszer matematikai leírása három fő részből áll: a rendszer belső tulajdonságait kifejező egyenletrendszer, az egyértelműségi feltételek, a matematikai modell megoldása (az input függvényében az állapot ill. az output változása). Amikor mindhárom részt ismerjük, teljes képünk van a rendszerről. Ilyen azonban sohasem fordul elő. (Csak a tudatlanság biztonsága okozhatja a mindent ismerünk érzését!) Problémák a matematikai modell mindig tartalmaz elhanyagolásokat, így a rendszer belső tulajdonságait csak részlegesen tükrözheti, az állandóan jelenlévő zavaró hatásokat nem ismerjük, s így összefüggéseink mindig valószínűségi jellegűek, a rendszerek szerkezete időben változhat, melynek következtében a folyamatok is változnak.
33 Feladattípusok 2. Feladat a rendszer transzformációs egyértelműségi Példa viselkedése tulajdonság feltételek (output) (input) Direkt? ismert adott mérés, minősítés Indirekt előírt adott? Tervezés, fejlesztés Induktív ismert? ismert Kutatás, irányítástechnika A feladatok egyfajta csoportosítását az egyszerű input-output modell alapján adhatjuk meg. Attól függően, hogy az bemenő jellemzők, a transzformáció, ill. az output közül melyik ismert vagy ismeretlen, megkülönböztetjük a direkt, az indirekt és az induktív feladatokat.
34 A direkt feladat Ismerjük a matematikai modellt és keressük annak megoldását. Ideális esetben: ismerjük a rendszert, annak minden (a vizsgálat szempontjából lényegesnek tartott) tulajdonságát, és valamennyi bemenő jellemzőjét. A feladat csak az, hogy ismereteket szerezzünk a rendszer viselkedéséről, arról, hogy a bemenő jellemzők nagyságának változása esetén milyen(ek) lesz(nek) a kimenő jellemző(k), a külső hatásokra hogyan fog válaszolni a rendszer. A technikában direkt feladat egy meglévő rendszer vizsgálata változó paraméterek mellett; annak meghatározása, hogy a bemenő jellemző(k) változ(tat)ásaira hogyan reagál a rendszer. Ilyen feladat pl. egy motor karakterisztikáinak a meghatározása. Szigorúan véve direkt feladat nem létezik. A külső hatások egy része ugyanis mint tudjuk sztochasztikus jellegű, nagyságuk előre nem ismeretes. Sohasem szabad elfeledkeznünk arról, hogy maga a rendszer szerkezete is sztochasztikus hatásoknak van kitéve, és ennek következtében még a transzfer is változhat; a matematikai modell mindig csak bizonyos elhanyagolások mellett tükrözi a rendszer (vizsgálat szempontjából) lényeges összefüggéseit.
35 Az indirekt feladat 1. Ismerjük a rendszer outputját és a benne végbemenő folyamatok törvényszerűségeit. Adott tehát egy rendszer, és az is rögzített, hogy milyen legyen annak viselkedése. Csak éppen azt nem tudjuk, hogy az adott rendszer ezt a viselkedést milyen bemenő jellemző(k) esetén produkálja. Meg kell határoznunk, hogy milyen legyen a rendszer geometriai kialakítása, szerkezete, hogyan módosítsuk a kívülről érkező hatásokat, milyen legyen a rendszer szigetelése, milyen tulajdonságú anyagi közeggel kell dolgoznunk, hogy előállíthassuk a rendszer előírt viselkedését. A technikában indirekt feladat egy új rendszer tervezése, amikor adott (előírt) a rendszer szükséges viselkedése, és azt kell meghatározni, hogy milyen formájú, anyagú, szerkezetű stb. legyen a rendszer és az előírt célokat a bemenő jellemző(k) milyen beállításával lehet elérni. Ilyen feladat pl. egy meglévő helyiség klimatizálásának tervezése, amikor előírt a helyiség légállapota és azt kell megadni, hogy milyen berendezéssel, irányítástechnikai eszközökkel, anyag- és energia-felhasználással lehet az előírt légállapotot biztosítani.
36 Az indirekt feladat 2. Szigorúan véve az indirekt típus már nem feladat, hanem probléma, hiszen valamilyen előírt viselkedést (outputot) általában sokféle (és előre nem mindig ismert) módon állíthatunk elő. A lehetséges és a célnak megfelelő módok közül egyéb, gyakran nem is számszerűsíthető kötöttségek, szempontok szerint kell kiválasztani a megfelelőket. Még nyilvánvalóbb, mint a direkt feladattípusnál, hogy a valóságban tiszta indirekt típus nem létezik. Az egyértelműségi feltételek egy része csak bizonyos határokon belül választható szabadon, más része (pl. a környezeti hatások) tőlünk függetlenek. Mégis közelítően indirekt feladatokat oldanak meg a rendszertervezők, a tervezőmérnökök, a kutatók, a gyártmányfejlesztők (általában mindazok, akiknek valamilyen előre megadott célt kell egy adott berendezéssel kielégíteni). Indirekt feladatok megoldására gyakran alkalmaznak próbálgatásos, heurisztikus módszereket. Ilyenkor valamilyen intuitiv meggondolással állítják be a bemenő jellemző(k) értékét, majd a kapott kimenő jellemző(k) értékelése (az előírt céltól való eltérés) figyelembevételével módosítják a bemenő jellemző(ke)t mindaddig, amíg a kimenő jellemző(k) a követelményeket ki nem elégíti(k). Az indirekt feladatok megoldását (is) segíti a kísérlettervezés módszere.
37 Az induktív feladat Jellemzi, hogy a rendszer transzformációs tulajdonságairól előzetes ismereteink nincsenek. Bonyolult rendszerek vizsgálatakor gyakran előfordul, hogy nem ismerjük a rendszer szerkezetét, a benne végbemenő folyamatokat; a rendszer belseje számunkra fekete doboz (black box). A vizsgálatok célja információt szerezni a rendszer viselkedéséről: (egyes mérésekből) következtetni a rendszer általános tulajdonságaira. Az egyesből az általánosra következtetést indukciónak nevezzük. A kapott eredményeket más, ismert rendszerekkel összevetve utólag (a posteriori) felismerhető, hogy vizsgált rendszerünk mely ismert rendszerhez hasonló. Ennek alapján következtethetünk a vizsgált rendszer belső felépítésére, azonosíthatjuk azt valamely ismert rendszer belső felépítésével. Az ilyen felismerő, azonosító tevékenységet identifikációnak nevezzük. Ennek alapján tekinthetjük e feladattípusokat identifikációs feladatnak is. Igen bonyolult rendszerek esetében azonban az előzetes információk nem elegendők ahhoz, hogy megbízható algoritmusokat lehessen kidolgozni. Ilyenkor kísérletsorozattal vizsgálják a bemenő jellemző(k) és a hozzá tartozó kimenő jellemző(k) változását, jól kidolgozott matematikai módszerekkel határozzák meg a bemenő jellemző(k) és a kimenő jellemző(k) közötti kapcsolat ún. empirikus függvényét. Itt különösen előnyős a kísérlettervezés módszerével dolgozni.
38 Feladattípusok megoldási folyamata
39 Megoldási módszerek A feladatok megoldási módszerei típusonként különböznek. A végső cél minden esetben az ún. működési összefüggés, amely a rendszer irányításához (illetve tervezéséhez, fejlesztéséhez) feltétlenül szükséges. Szükség van az egyértelműségi feltételek rögzítésére, a jól megszervezett kísérletekre, és a kapott megoldás értékelésére. Az értékelés szempontja: indirekt feladatoknál az optimumtól való távolság, direkt feladatoknál a hibaszázalék nagysága, induktív feladatoknál az összefüggő kísérleti adatok száma dönti el, hogy szükség van-e további kísérletekre. A feladatmegoldások egyik, de nem egyetlen módja a kísérlet. Valójában a matematikai és a kísérleti módszerek együttesével tudunk csak összetett feladatokat megoldani. A feladatmegoldások lehetséges típusai: az analitikus, a numerikus és a kísérleti módszer.
40 A megoldási módszerek folyamatábrája direkt feladattípus esetén
41 Analitikus módszer A feladatmegoldás legkevésbé költséges módja. Alkalmazásának feltétele mindössze az, hogy ismerjük a rendszer matematikai modelljét, és létezzen ennek zárt formában előállított megoldása az adott egyértelműségi feltételek mellett. Ezek szerint magától értetődőnek látszik, hogy az analitikus megoldást tekintsük az optimális módszernek. A legtöbb rendszer azonban annyira bonyolult, hogy a felírt matematikai modell közvetlenül nem integrálható, vagy csak olyan egyszerűsítésekkel, amelyek - miatt megfelelő kísérleti tapasztalatok nélkül - a megoldást már nem tekinthetjük megbízhatónak. Csak az előzetes matematikai elemzés adhat támpontot ahhoz, hogy (a kísérleti megoldás során) milyen empirikus függvénytípust keressünk a függő és független változók közötti kapcsolatra.
42 Összefoglalva az analitikus megoldás legfontosabb lépései: 1. a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, 2. a matematikai modell megalkotása, 3. a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára, 4. a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, 5. a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, 6. a megoldás ellenőrzése.
43 Numerikus módszer Ezek olyan eljárások, amelyek során a rendszer matematikai modelljét numerikus számításokkal oldjuk meg. A módszer lényege, hogy a differenciálást vagy az integrálást algebrai összefüggésekkel helyettesítjük, és az ezekkel végzett műveletek eredményeképpen kapjuk a megoldást. A numerikus megoldás megbízhatósága természetesen függ a matematikai modell megbízhatóságától. Minél kisebb intervallumokkal dolgozunk, annál több függvényértékkel számolunk, és ezzel csökkenthetjük a diszkretizálásból eredő hibát. Ugyanakkor azonban növeljük a számítások mennyiségét, amivel megnő a számítások ideje és költsége is. Numerikus módszereket hosszú idő óta alkalmaz a tudomány és a gyakorlat, de elterjedésüket a kielégítő pontossághoz szükséges számítási műveletek nagy száma sokáig akadályozta. Gondoljuk meg, hogy egy viszonylag durva, pl as felosztású négyzetrács esetében lineáris egyenletet kell szimultán megoldani. Lényeges változást csak a számítógépek elterjedése hozott, különösen azóta, amióta a RAM a személyi számítógépeknél megabyte, a professzionális számítógépeknél gigabyte nagyságrendű, és másodpercenként több millió műveletet képesek elvégezni. A számítógép természetesen nem gondolkodik, és nem mér helyettünk, csak az algoritmizálható tevékenységben nyújthat segítséget. A legtöbb feladat megoldásánál a kísérletekre mindig szükség lesz, ezért a számítógép-technika sohasem válhat a feladatmegoldások egyetlen eszközévé.
44 Összefoglalva a numerikus megoldás legfontosabb lépései: 1. a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, 2. a matematikai modell megalkotása, 3. a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás), 4. a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, 5. a blokkséma összeállítása, 6. a számítási modell megoldását adó program megírása, 7. és annak futtatása, 8. a megoldás ellenőrzése.
45 Kísérleti megoldás Ezek olyan eljárások, amelyek során mérésekkel kapunk információt a rendszer viselkedéséről. Ne feledjük azonban, hogy a mérés önmagában még nem kísérlet. (A kísérlet - mindig! - előzetes elméleti megfontolás után kialakított elgondolás, hipotézis mérésekkel való ellenőrzése.) A kísérlet feladata lehet: a rendszer viselkedésének vizsgálata, (DIREKT) a rendszer válaszfüggvényének ill. az ún. kimeneti egyenletének (INDUKTÍV) a rendszer-működés optimális tartományának (INDIREKT) értékének meghatározása A kísérlet is megoldási módszer. Feladata: a rendszer bemenő jellemzői, állapota és kimenő jellemzői közötti kapcsolat, vagy e kapcsolat egyes paramétereinek meghatározása. Ilyen értelemben funkciója megegyezik az analitikus és a numerikus módszerek funkciójával. Van azonban egy lényeges sajátossága: Az analitikus és a numerikus megoldások eredménye pontszerű: a független változó meghatározott értékeihez a függő változó meghatározott értékeit egyértelműen rendeli hozzá. Ezzel szemben a kísérleti megoldás eredménye (a kísérletek során elkerülhetetlenül bekövetkező hibák, a sztochasztikus hatások miatt) foltszerű: a független változó meghatározott értékeihez a független változó valamilyen sávját rendeli. Ezt szem előtt kell tartani mind a kísérletek előkészítése, mind a mérési adatok értékelése során.
46 A kísérleti tevékenység főbb területei 1. megfigyelés, 2. kutatás-fejlesztés, 3. rutinvizsgálatok és 4. bemutatás-szemléltetés. Az egyszerű megfigyelésnél az ember a tőle függetlenül végbemenő folyamatokat regisztrálja. (Szigorúan véve ez nem is tekinthető kísérletnek.) A kutatás-fejlesztés során előzetesen elemezni kell a lehetséges hatásokat, össze kell gyűjteni korábbi kísérletek tapasztalatait, a témára vonatkozó irodalmi adatokat és - mindenek előtt - a vizsgált folyamatra vonatkozó újabb tudományos ismereteket. Ezek alapján kell (a kísérlet megkezdése előtt!) hipotézist alkotni, amelyet a kísérletekkel kell ellenőrizni. A kísérlet persze nem igazolja az elméleti megfontolásokat, csak azt, hogy e megfontolások nem hamisak. A kutatásban különösen fontos az intuíció, az analógiák felismerése, a megszokott sémáktól való eltérés bátorsága, amelynek azonban széles körű és mélyreható tudományos ismeretekre kell támaszkodnia. Ellenkező esetben a tudatlanság bátorsága értelmetlen, sőt veszélyes kísérletezgetésekhez vezethet. Bármilyen típusú legyen a kísérlet, annak megkezdése előtt a lehető legpontosabban meg kell fogalmazni a feladatot. Az előkészítéshez nem elegendő az intuíció, a nagy gyakorlati tapasztalatokon alapuló szubjektív ítélet, az ún. műszaki érzék. Előre tudnunk kell, hogy mely jellemzőket hányszor kell mérnünk. A kísérletek lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a bemenő és a kimenő jellemzők közötti függvénykapcsolatot olyan esetben is, amikor a matematikai modell matematikai módszerrel nem oldható meg. A hasonlósági módszeren alapuló modellkísérlet információt ad olyan rendszerekről is, amelyek közvetlen mérése igen nehéz vagy éppen lehetetlen.
47 Összefoglalva a kísérleti megoldás legfontosabb lépései: 1. a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, 2. a matematikai modell megalkotása, 3. a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasztása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében, 4. a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása, 5. a kísérletek lefolytatása és 6. értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, 7. a megoldás ellenőrzése.
48 A megoldási módszerek legfontosabb jellemzői Lépés Analitikus Kísérleti Numerikus 1. A feladat verbális megfogalmazása 2. A matematikai modell megalkotása 3. Transzformáció megoldásra Hasonlósági transzformáció Diszkretizálás alkalmas formára 4. A megoldás egymás utáni A kísérleti terv összeállítása Algoritmus és lépéseinek rögzítése blokkséma 5. A megoldást jelentő Kísérletek és azok értékelése Gépi program összefüggés meghatározása futtatása, eredménye 6. A megoldás ellenőrzése
49 Összetett módszerek A megoldási módszerek előbbi hármas csoportosítása a valóságban nem diszjunkt területeket jelöl. Ezeket a módszereket általában együtt kell alkalmazni. A kísérlek során minden esetben a mérési adatokból számításokkal határozzuk meg az empirikus összefüggéseket. Az aktív kísérleti terveknél számítógép segítségével értékelhetjük a közbeeső mérési eredményeket és határozhatjuk meg a következő beállítások értékeit. Az empirikus függvény típusának kiválasztására az analitikus módszerekkel kapott összefüggések adnak támpontot. Fordítva is igaz: az analitikus (és a numerikus) megoldás esetében is szükség van olyan kísérleti adatokra, amelyek például a vezetési tényező értékére adnak felvilágosítást. Összességében tehát a három módszer együttesen jelenti a megoldás lehetséges útját, és legfeljebb csak arról beszélhetünk, hogy egyik vagy másik módszernek egy adott megoldás esetében kiemelkedő szerepe van.
50 A modellezés célja A modellezés nyomai fellelhetők már az ókorban is. Amennyire a régészeti leletekből meg tudjuk ítélni, a kezdeti modellek elsősorban szemléltetési vagy kultikus célokat szolgáltak. Ilyennek tekinthetjük a barlangrajzokat, egyes használati eszközök (pl. szekerek) kicsinyített mását, sírokban talált szobrokat stb. Az újkori történelemben tulajdonképpen Galileitől számíthatjuk az elméletileg is megalapozott modellezés kialakulását. Azonban mindaddig, amíg a hasonlósági módszert matematikailag szabatos formában nem dolgozták ki, az összetett, bonyolult feladatok megoldására a modellezést nem lehetett használni. A hasonlósági módszer alapján kialakított modellezés lehetővé teszi nemcsak a méretarányok változtatását, de az eredetitől eltérő munkaközeg felhasználását, sőt egyik jelenségcsoport helyettesítését egy másikkal. A modellezés - az előbbiek szerint - valamely jelenség helyettesítése egy másikkal az eredeti jelenség tanulmányozása vagy bemutatása céljából. Valamely folyamatot akkor ismerünk, ha előre meg tudjuk mondani, hogy az egyértelműségi feltételek különböző értékei mellett milyen lesz a fizikai változók eloszlása a rendszeren belül, illetve a rendszer reakciója.
51 A modellezés fejlődése Kezdetben a modell csak szemléltető funkciót látott el, gyakran helyettesítette vagy kiegészítette a tervrajzokat. Statikus modellek. A következő szakasz, amikor a modellt meglevő berendezések hiányosságainak kijavítására használják. Ezek már dinamikus modellek. A kutatótól inkább a hasonlósági módszer bizonyítását, a modell használhatóságának igazolását várják, és nem annyira kutatási segédeszköznek, mint inkább tudományos játék -nak tekintik a modellezést. A harmadik, fejlettebb szakasz, amikor a modellezés előnyét egyértelműen elismerik. Megkezdődik a modellezés ipari felhasználása új, még meg nem lévő rendszerek előzetes ellenőrzésére. Napjainkban a modellezés már szerves részét képezi nemcsak az ipari termelésnek, hanem a gazdaságirányításnak is. A tervező a modell segítségével dolgozza ki és tökéletesíti a rendszert és annak egyes részeit. A kutatás során az egyes hipotéziseket kísérleti úton először a modellen ellenőrzik. Az egyes termelési vagy társadalmi előírások változtatásának hatását először modellen próbálják ki. Az orvostudományban széleskörűen használják az állatkísérleteket, mind a biológiai mechanizmusok, mind a gyógyszerek hatásainak előzetes modellezésére. A számítógép nyújtotta lehetőségek felhasználásával döntési modelleken vizsgálják egyes megoldási változatok várható hatását.
52 Modelltechnika A modelltechnika azon eszközök és eljárások összessége, amelyek segítségével egy rendszert egy hozzá hasonló rendszerrel helyettesítünk, és annak vizsgálatából következtetünk az eredetiben végbemenő folyamatokra. A modelltechnikára is érvényes a technika négy alapelve: 1. A célorientáltság magától értetődő, hiszen céltalan modell nem létezhet. A modell használatának célja valamely feladat (vagy probléma) megoldása. 2. A tervszerűség érvényesül a modell kialakításában, a modellkísérletek előkészítésében és végrehajtásában. 3. A gazdaságosság elve kétféleképpen is összefügg a modelltechnikával: az új technikai rendszerek előzetes modellezése mind a kivitel, mind az üzemeltetés várható nehézségeit és ezen keresztül költségeit csökkentheti. Ez a modellezés eredményével elérhető gazdaságosság a modellezés folyamatának gazdaságossága viszont olyan eszközök és eljárások megválasztását jelenti, amelyek a modellezés költségeit csökkentik. 4. A szervezés természetesen itt is hozzá tartozik a munka előkészítéséhez és elvégzéséhez. A modelltechnikában még a tervezés fázisát is megelőzik egyes szervezési feladatok. Már a tervezési szakaszban gondolnunk kell arra, hogy a kísérletek során kapott mérési adatokat milyen módon fogjuk feldolgozni.
53 Modelljellemzők megválasztásának szabadsága A matematikai modell már egyben a felhasználható modelltípusokra is felvilágosítást ad. Ezek köréből kell kiválasztani a kísérleti objektumot. Hogy éppen milyen berendezést választunk, az többek között függ a felhasználható anyagi eszközöktől és időtől, a meglevő (ill. beszerezhető) laboratóriumi felszereléstől stb. Ezek összessége dönti el, hogy milyen berendezést lehet és szükséges felhasználni, illetve, hogy milyenek legyenek e berendezés fő méretei. Mindenekelőtt azt kell meghatározni, hogy hány dimenziós modell szükséges a kísérletek lefolytatásához. Egyes esetekben még térbeli feladatok is leképezhetők egy- vagy kétdimenziós modellre. Ezután a hasonlósági kritériumok számértékeinek megvalósításához szükséges feltételeket kell megvizsgálni. A kritériumok bizonyos szabadságot engednek meg a modelljellemzők megválasztásában.
54 A számítógépes és a kísérleti megoldás összekapcsolása
A modellezés elmélete és gyakorlata, 2009. Molekuláris biológus képzés, DE OEC, Élettani Intézet
1. Általános bevezetés a biológiai folyamatok matematikai modellezéséről. Vezérfonalak, általános elvek, modellalkotás, számítógépes adaptáció és tesztelés Prof. Szűcs Ervin jegyzete alapján (http://web.axelero.hu/eszucs7/szucs.htm)
RészletesebbenA MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK
1. Elemző módszerek A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK Ebben a fejezetben röviden összefoglaljuk azokat a módszereket, amelyekkel a technikai, technológiai és üzemeltetési rendszerek megbízhatósági elemzései
RészletesebbenKutatói pályára felkészítı akadémiai ismeretek modul
Kutatói pályára felkészítı akadémiai ismeretek modul Környezetgazdálkodás Modellezés, mint módszer bemutatása KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI AGRÁRMÉRNÖK MSC Modellek általános jellemzıi I. Modell definíciója, hasonlóság
RészletesebbenOPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN)
OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN) Fábos Róbert 1 Alapvető elvárás a logisztika területeinek szereplői (termelő, szolgáltató, megrendelő, stb.)
Részletesebben3.1. Alapelvek. Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés
3. A GYÁRTERVEZÉS ALAPJAI A gyártervezési folyamat bemutatását fontosnak tartottuk, mert a gyártórendszer-tervezés (amely folyamattervezés) része a gyártervezési feladatkörnek (objektumorientált tervezés),
RészletesebbenMATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
RészletesebbenHelyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
RészletesebbenIFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika
IFJÚSÁG-NEVELÉS Nevelés, gondolkodás, matematika Érdeklődéssel olvastam a Korunk 1970. novemberi számában Édouard Labin cikkét: Miért érthetetlen a matematika? Egyetértek a cikk megállapításaival, a vázolt
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI
A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja
RészletesebbenSzakmai zárójelentés
Szakmai zárójelentés A csoporttechnológia (Group Technology = GT) elvi és módszertani alapjaihoz, valamint a kapcsolódó módszerek informatikai alkalmazásaihoz kötődő kutatómunkával a Miskolci Egyetem Alkalmazott
RészletesebbenTERMÉK FEJLESZTÉS PANDUR BÉLA TERMÉK TERVEZÉSE
TERMÉK TERVEZÉSE A termék fogalma: Tevékenységek, vagy folyamatok eredménye /folyamat szemlélet /. (Minden terméknek értelmezhető, amely gazdasági potenciált közvetít /közgazdász szemlélet /.) Az ISO 8402
RészletesebbenMATEMATIKA A és B variáció
MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy
RészletesebbenBírálat. Farkas András
Bírálat Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával (Appraisal and Development of Transportation Systems Using Multiple Criteria Decision
RészletesebbenMatematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
RészletesebbenA Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Négy évfolyamos gimnázium Informatika Készítette: a gimnázium reál munkaközössége 2015. Tartalomjegyzék Alapvetés...3 Egyéb kötelező direktívák:...6 Informatika
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
RészletesebbenMATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
Részletesebbenértelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják
A Baktay Ervin Gimnázium alap matematika tanterve a 6 évfolyamos gimnáziumi osztályok számára 7. 8. 9. 10. 11. 12. heti óraszám 3 cs. 3 cs. 3 cs. 4 4 4 éves óraszám 108 108 108 144 144 120 (cs.: csoportbontásban)
RészletesebbenHELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok
HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
RészletesebbenSzámsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás
12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat
RészletesebbenEMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
RészletesebbenMatematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok
Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
RészletesebbenHELYI TANTERV MATEMATIKA GIMNÁZIUMI OSZTÁLYOK
HELYI TANTERV MATEMATIKA GIMNÁZIUMI OSZTÁLYOK 1 MATEMATIKA (4+4+4+4) Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
RészletesebbenMatematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1
Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
RészletesebbenMatematika helyi tanterv,5 8. évfolyam
Matematika helyi tanterv - bevezetés Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam A kerettanterv B változatának évfolyamonkénti bontása Bevezető Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson
Részletesebben5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenA Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
Részletesebben1 Rendszer alapok. 1.1 Alapfogalmak
ÉRTÉKTEREMTŐ FOLYAM ATOK MENEDZSMENTJE II. RENDSZEREK ÉS FOLYAMATOK TARTALOMJEGYZÉK 1 Rendszer alapok 1.1 Alapfogalmak 1.2 A rendszerek csoportosítása 1.3 Rendszerek működése 1.4 Rendszerek leírása, modellezése,
RészletesebbenApor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.
1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy
RészletesebbenMatematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
RészletesebbenMatematika. 5-8. évfolyam. tantárgy 2013.
Matematika tantárgy 5-8. évfolyam 2013. Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről
RészletesebbenMEGHATÁROZOTT FÖLDRAJZI TÉRSÉGEKBEN ELHELYEZKEDŐ LOKÁLIS TEREPFELSZÍNI ANOMÁLIÁK, OBJEKTUMOK FELDERÍTÉSE TÉRINFORMATIKAI RENDSZER SEGÍTSÉGÉVEL
MEGHATÁROZOTT FÖLDRAJZI TÉRSÉGEKBEN ELHELYEZKEDŐ LOKÁLIS TEREPFELSZÍNI ANOMÁLIÁK, OBJEKTUMOK FELDERÍTÉSE TÉRINFORMATIKAI RENDSZER SEGÍTSÉGÉVEL Dr. Winkler Gusztáv, Dr. Juhász Attila A következőkben leírt
RészletesebbenA közlekedés társadalmi költségei és azok általános és közlekedési módtól függő hazai sajátosságai
Dr. Tánczos Lászlóné - Dr. Bokor Zoltán A közlekedés társadalmi költségei és azok általános és közlekedési módtól függő hazai sajátosságai Az EU több kutatási programja foglalkozik a közlekedés társadalmi
RészletesebbenAz áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
RészletesebbenEMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
Részletesebben6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE
6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,
Részletesebben(Közlemények) AZ EURÓPAI UNIÓ INTÉZMÉNYEITŐL ÉS SZERVEITŐL SZÁRMAZÓ KÖZLEMÉNYEK BIZOTTSÁG
2009.5.9. Az Európai Unió Hivatalos Lapja C 107/1 II (Közlemények) AZ EURÓPAI UNIÓ INTÉZMÉNYEITŐL ÉS SZERVEITŐL SZÁRMAZÓ KÖZLEMÉNYEK BIZOTTSÁG A Bizottság Közleménye Italok csomagolása, betétdíjas rendszerek
Részletesebbenértelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják
Helyi tanterv matematika általános iskola 5-8. évf. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
RészletesebbenSZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR RENDSZERELEMZÉS I.
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR RENDSZERELEMZÉS I. Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás és a mű bővített, vagy rövidített változatának kiadási jogát is. A Szerző előzetes írásbeli
Részletesebbenkülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenVári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004
Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4
RészletesebbenMatematika. 5. 8. évfolyam
Matematika 5. 8. évfolyam 5. 6. évfolyam Éves órakeret: 148 Heti óraszám: 4 Témakörök Óraszámok Gondolkodási és megismerési módszerek folyamatos Számtan, algebra 65 Összefüggések, függvények, sorozatok
RészletesebbenJOGSZABÁLY. LI. ÉVFOLYAM, 15. SZÁM Ára: 693 Ft 2007. JÚNIUS 5. TARTALOM. 1. (1) A rendelet hatálya fenntartótól függetlenül
LI. ÉVFOLYAM, 15. SZÁM Ára: 693 Ft 2007. JÚNIUS 5. oldal JOGSZABÁLY 24/2007. (IV. 2.) OKM rendelet a közoktatás minõségbiztosításáról és minõségfejlesztésérõl szóló 3/2002. (II. 15.) OM rendelet módosításáról...
RészletesebbenEGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ
EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ MODELLEZÉS Brodszky Valentin, Jelics-Popa Nóra, Péntek Márta BCE Közszolgálati Tanszék A tananyag a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0003 "Képzés- és tartalomfejlesztés a Budapesti
Részletesebbenképességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenFRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ
FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS A fraktálok olyan
RészletesebbenA foglalkoztatottság és a munkanélküliség szerkezetét befolyásoló társadalmi-területi tényezők
Forray R. Katalin Híves Tamás A foglalkoztatottság és a munkanélküliség szerkezetét befolyásoló társadalmi-területi tényezők Az OFA/6341/26 sz. kutatási összefoglaló Budapest, 2008. március 31. Oktatáskutató
RészletesebbenNemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA
ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenMegjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001
Megjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001 A területi lehatárolások statisztikai következményei A területi lehatárolások statisztikai következményeinek megközelítése
RészletesebbenMŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010
MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Nyíregyháza, 2010. május 19. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága
RészletesebbenElektronikus közhiteles nyilvántartások Megvalósítási tanulmány
eegészség Program 27. Projekt Elektronikus közhiteles nyilvántartások Megvalósítási tanulmány Készítette: Szentgáli Ádám (Stubenvoll Bt.) 1.1 Budapest, 2004 szeptember 30 Tartalom I. Az EKNY adatbank,
RészletesebbenElméleti összefoglalók dr. Kovács Péter
Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...
RészletesebbenMinőségérték. A modellezés céljának meghat. Rendszer elemzés. Módszer kiválasztása. Modell megfelelőség elemzés. Működés szimuláció
Minőségérték. Műszaki minőségérték növelésére alkalmas módszerek: Cél: a termék teljes életciklusa során az előre látható, vagy feltételezett követelmények, teljes körű és kiegyensúlyozott kielégítése.
RészletesebbenDOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS
ZRÍNYI MIKLÓS NEMZETVÉDELMI EGYETEM BOLYAI JÁNOS KATONAI MŰSZAKI KAR Katonai Műszaki Doktori Iskola Alapítva: 2002 évben Alapító: Prof. Solymosi József DSc. DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS Tibenszkyné Fórika Krisztina
RészletesebbenA szárazmegmunkálás folyamatjellemzőinek és a megmunkált felület minőségének vizsgálata keményesztergálásnál
1 A szárazmegmunkálás folyamatjellemzőinek és a megmunkált felület minőségének vizsgálata keményesztergálásnál A keményesztergálás, amelynél a forgácsolás 55 HRC-nél keményebb acélon, néhány ezred vagy
RészletesebbenTERMELÉSMENEDZSMENT. Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára. Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár 2006.
Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás Mezőtúr TERMELÉSMENEDZSMENT Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár Mezőtúr 6.
RészletesebbenMATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam
BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag
RészletesebbenGyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY
Gyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: Bartháné Jáger Ottília, Holndonnerné Zátonyi Katalin, Krivánné Czirba Zsuzsanna, Migléczi Lászlóné MISKOLC 2015 Összesített
RészletesebbenTerület- és térségmarketing. /Elméleti jegyzet/
Terület- és térségmarketing /Elméleti jegyzet/ Terület- és térségmarketing /Elméleti jegyzet/ Szerző: Nagyné Molnár Melinda Szent István Egyetem Szerkesztő: Nagyné Molnár Melinda Lektor: Szakály Zoltán
RészletesebbenDöntéstámogató módszerek és rendszerek. /Elméleti jegyzet/
Döntéstámogató módszerek és rendszerek /Elméleti jegyzet/ 0 Döntéstámogató módszerek és rendszerek /Elméleti jegyzet/ Szerző: Balogh Péter Debreceni Egyetem Gazdálkodástudományi és Vidékfejlesztési Kar
RészletesebbenOktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet
RészletesebbenKövetkezõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk
1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek
RészletesebbenAntreter Ferenc. Termelési-logisztikai rendszerek tervezése és teljesítményének mérése
Antreter Ferenc Termelési-logisztikai rendszerek tervezése és teljesítményének mérése Doktori értekezés Témavezetők: Dr. Várlaki Péter egyetemi tanár Széchenyi István Egyetem, Műszaki Tudományi Kar, Logisztikai
RészletesebbenKutatói pályára felkészítő akadémiai ismeretek modul
Kutatói pályára felkészítő akadémiai ismeretek modul Környezetgazdálkodás Modellezés, mint módszer bemutatása KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI AGRÁRMÉRNÖK MSC Modellek csoportosítása I. 11. lecke Rendszertípusok
Részletesebben(összevont laboratóriumi tananyag I.) Szerzők: az ELTE Természettudományi Kar oktatói. Szerkesztette: Havancsák Károly
FIZIKAI MÉRÉSEK (összevont laboratóriumi tananyag I.) Szerzők: az ELTE Természettudományi Kar oktatói Szerkesztette: Havancsák Károly Lektorálta: Kemény Tamás ELTE 2013 Tartalomjegyzék 1. Amit már az elején
RészletesebbenFiáth Attila Nagy Balázs Tóth Péter Dóczi Szilvia Dinya Mariann
Fiáth Attila Nagy Balázs Tóth Péter Dóczi Szilvia Dinya Mariann Egységes kockázatkezelési módszertan kialakítása a villamosenergia-ipari átviteli rendszerirányító társaságnál A felelős vállalatirányítás
RészletesebbenGeodézia 4. Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert
Geodézia 4. Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert Geodézia 4.: Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert Lektor: Homolya, András Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
RészletesebbenMATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények
MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,
RészletesebbenApor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3.
1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3. alapján 1-4. évfolyam 2 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja,
RészletesebbenParciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
Részletesebbenkülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Részletesebbenkülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson amatematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenMATEMATIKA 1-2.osztály
MATEMATIKA 1-2.osztály A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkább ki tudják választani
Részletesebbenhogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenINFORMATIKA. 6 évfolyamos osztály
INFORMATIKA Az informatika tantárgy ismeretkörei, fejlesztési területei hozzájárulnak ahhoz, hogy a tanuló az információs társadalom aktív tagjává válhasson. Az informatikai eszközök használata olyan eszköztudást
RészletesebbenMATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenInformatika-érettségi_emelt 11.-12. évfolyam Informatika
11. évfolyam A tanév célja a középszintű érettségire való felkészítés, az emelt szintű érettségire való felkészülésnek a megalapozása. A középszintű érettségi elősegíti az eligazodást és a munkába állást
RészletesebbenA racionális és irracionális döntések mechanizmusai. Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész. Wigner MTA Fizikai Kutatóintézet. duplapluszjo.blogspot.
A racionális és irracionális döntések mechanizmusai Gáspár Merse Előd fizikus és bűvész Wigner MTA Fizikai Kutatóintézet komputációs rendszerszintű idegtudomány csoport duplapluszjo.blogspot.hu érzékelés
Részletesebben15. BESZÉD ÉS GONDOLKODÁS
15. BESZÉD ÉS GONDOLKODÁS 1. A filozófiának, a nyelvészetnek és a pszichológiának évszázadok óta visszatérô kérdése, hogy milyen a kapcsolat gondolkodás vagy általában a megismerési folyamatok és nyelv,
RészletesebbenVargha András PSZICHOLÓGIAI STATISZTIKA DIÓHÉJBAN 1. X.1. táblázat: Egy iskolai bizonyítvány. Magyar irodalom. Biológia Földrajz
Megjelent: Vargha A. (7). Pszichológiai statisztika dióhéjban. In: Czigler I. és Oláh A. (szerk.), Találkozás a pszichológiával. Osiris Kiadó, Budapest, 7-46. Mi az, hogy statisztika? Vargha András PSZICHOLÓGIAI
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Székely Csaba. Agrár-gazdaságtan 8. AGAT8 modul. Vállalati tervezés és fejlesztés
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Székely Csaba Agrár-gazdaságtan 8. AGAT8 modul Vállalati tervezés és fejlesztés SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló
RészletesebbenHelyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február
Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes
RészletesebbenMISKOLC MJV ENERGETIKAI KONCEPCIÓJA
MISKOLC MJV ENERGETIKAI KONCEPCIÓJA REV.0. Munkaszám: 7795 Budapest, 2002 július Tartalomjegyzék Vezetői összefoglaló...4 Bevezetés...11 Néhány szó a városról...12 A város energetikája számokban: energiamérleg...13
Részletesebben3 Hogyan határozzuk meg az innováció szükségszerűségét egy üzleti probléma esetén
3 Hogyan határozzuk meg az innováció szükségszerűségét egy üzleti probléma esetén 3.1 A Black Box eljárás Kulcsszavak: Black Box, Kísérleti stratégia, Elosztás, Határérték, A döntéshozatali tábla tesztje
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenBIOLÓGIA EGÉSZSÉGTAN HELYI TANTERVE
Károlyi Mihály Két Tanítási Nyelvű Közgazdasági Szakközépiskola A Károlyi Mihály Két Tanítási Nyelvű Közgazdasági Szakközépiskola BIOLÓGIA EGÉSZSÉGTAN HELYI TANTERVE a 10-12. évfolyamok számára közgazdaság
RészletesebbenAdatbázisok I 2012.05.11. Adatmodellek komponensei. Adatbázis modellek típusai. Adatbázisrendszer-specifikus tervezés
Adatbázisok I Szemantikai adatmodellek Szendrői Etelka PTE-PMMK Rendszer és Szoftvertechnológiai Tanszék szendroi@pmmk.pte.hu Adatmodellek komponensei Adatmodell: matematikai formalizmus, mely a valóság
RészletesebbenA 2011 2013. évi integritásfelmérések céljai, módszertana és eredményei
Szatmári János Kakatics Lili Szabó Zoltán Gyula A 2011 2013. évi integritásfelmérések céljai, módszertana és eredményei Összefoglaló: Az Állami Számvevőszék 2013-ban már harmadik alkalommal mérte fel a
RészletesebbenII. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }
II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon
RészletesebbenA Nyíregyházi Szakképzési Centrum Pedagógiai Programja 2015.
A Nyíregyházi Szakképzési Centrum Pedagógiai Programja 2015. 1. Nevelési program 1.1 Az iskolában folyó nevelő-oktató munka pedagógiai alapelvei, céljai, feladatai, eszközei, eljárásai A Nyíregyházi Szakképző
RészletesebbenDoktori munka. Solymosi József: NUKLEÁRIS KÖRNYEZETELLENŐRZŐ MÉRŐRENDSZEREK. Alkotás leírása
Doktori munka Solymosi József: NUKLEÁRIS KÖRNYEZETELLENŐRZŐ MÉRŐRENDSZEREK Alkotás leírása Budapest, 1990. 2 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A doktori munka célja az egyéni eredmény bemutatása. Feltétlenül hangsúlyoznom
RészletesebbenMATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
Részletesebben9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.
9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok
Részletesebbenreális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenMesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)
Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai,
RészletesebbenIttfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat.
1 Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat. A statisztika tanulásához a legtöbb infomrációkat az előadásokon és számítógépes
RészletesebbenF. Dárdai Ágnes Kaposi József
FDÆrdai`-KaposiJ_ProblØmaorientÆlt.qxp 2008.07.03. 6:02 Page 353 353 F. Dárdai Ágnes Kaposi József A PROBLÉMAORIENTÁLT TÖRTÉNELEMTANÍTÁS ÉS A FEJLESZTÕFELADATOK BEVEZETÉS A 20. század második feléhez,
RészletesebbenHELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam
HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,
RészletesebbenHalmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,
Részletesebben2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK
2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK A fejezet célja azoknak a módszereknek a bemutatása, amelyekkel adatokat gyűjthetünk annak érdekében, hogy kérdéseinkre választ kapjunk. Megvizsgáljuk azokat a feltételeket is,
Részletesebben