Ökonometria BSc Gyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz

Átírás

1 Ökonometria BSc Gyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz 1 Egy vállalatnál megvizsgálták 20 üzletkötő éves teljesítményét és prémiumát A megfigyelt eredményeket, és a belőlük számolt regressziós részeredményeket az alábbi táblázatban foglaljuk össze: eladott termékek (db/év) (X) prémium (ezer Ft/év) (Y ) számítási részeredmények Xi Y i = X = 46, Ȳ = 104 X 2 i = Y 2 i = (Yi Ŷi) 2 = 722 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg, hogy a teljesítmény hány százalékban magyarázza a prémium szóródását! c) Vizsgálja meg a prémium teljesítményre vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze az eredményt! d) Adjon 95%-os konfidencia intervallumot a 45 üzletet kötő dolgozó várható prémiumának nagyságára! 2 Egy New England székhelyű légitársaság 15 repülőjegy értékesítéssel foglalkozó irodájában megvizsgálták, hogy hogyan befolyásolja a reklámkiadás nagysága a repülőjegy értékesítésből származó bevétel alakulását Az adott év egyik hónapjára vonatkozó adatokat (mindkettő ezer dollárban mérve), és a belőlük számolt regressziós részeredményeket az alábbi táblázatban foglaljuk össze: értékesítés (ezer dollár, Y ) reklámkiadás (ezer dollár, X) számítási részeredmények 79,3 2,5 200,1 5,5 (Xi X)(Y i Ȳ ) = 2291, 5 (Xi X) 2 = 87, 5 146,0 5,2 (Yi Ȳ )2 = ,7 7,6 X = 5, 5, Ȳ = 169 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg, hogy a reklámkiadás hány százalékban magyarázza a bevétel szóródását! c) Határozza meg a bevétel reklámkiadásra vonatkozó rugalmasságát 5000 dolláros reklámkiadás esetén, majd vizsgálja meg a bevétel reklámkiadásra vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten is! Értelmezze az eredményt! d) Adjon 95%-os konfidencia intervallumot a 6000 dolláros reklámkiadáshoz tartozó értékesítés várható bevételének nagyságára! 1

2 3 NEW!!! Egy egyéni vállalkozó fő tevékenységi körében szállítmányozással foglalkozik Munkájának elemzése során 10 véletlenszerűen kiválasztott fuvar alapján vizsgálta, hogy van-e kapcsolat a szállítás időtartama és a távolsága közt Néhány megfigyelést és a regressziós részeredményeket az alábbi táblázat foglalja össze: szállítási idő (perc, Y ) szállítási távolság (km, X) számítási részeredmények (Xi X)(Y i Ȳ ) = 1248 (Xi X) 2 = (Yi Ȳ )2 = X = 15, Ȳ = 27 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg, hogy a távolság hány százalékban magyarázza a szállítási idő szóródását! c) Határozza meg a becslés abszolút hibáját, valamint a becsült paraméterek standard hibáit! d) Számítsa ki a szállítási idő távolságra vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! e) Adjon 95%-os konfidencia intervallumot a meredekségi együttható becslésére! f) Becsülje meg a 12 km távolságra történő szállítások átlagos idejét 95%-os biztonsági szinten! Forrás: Kvantitatív módszerek példatár, BME NEW!!! A gazdasági fejlettség elemzése során megvizsgálták a gépjárművek számának és a GDPnek a kapcsolatát az EU 27 országáben Néhány megfigyelést és a regressziós részeredményeket az alábbi táblázat foglalja össze: ország ezer lakosra jutó autók egy főre jutó GDP számítási részeredmények (db, Y ) (ezer dollár, X) Auszria ,677 Belgium ,984 (Xi X)(Y i Ȳ ) = , 2 (Xi X) 2 = 5372, 16 Szlovákia ,205 (Yi Ȳ )2 = Szlovénia ,203 Ȳ = 452, 5, X = 31, 45 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg a determinációs együtthatót, és értelmezze a kapott eredményt! c) Számítsa ki az autók számának GDP-re vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! d) Tesztelje 95%-os megbízhatósággal a meredekségi együttható becslésének relevanciáját! 2

3 5 Tekintsük az S t = α + βy t + u t összefüggést az egy főre eső megtakarítások S t (jövedelem mínusz fogyasztás) és az egy főre eső jövedelem Y t között, mindkettő folyó dollárban adott Az Egyesült Államokra vonatkozó 36 éves adat felhasználásával a következő becsült modellt kaptuk (A zárójelben szereplő értékek a becslések sztenderd hibái): Ŝ t = (151105) (0011) Y t R 2 = 0538 s e = a) Mi a β együttható közgazdasági értelmezése? b) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra és miért? A valós előjelek egyeznek-e az előzetes elképzeléseivel? Amennyiben ellentmondás van, tud magyarázatot adni rá? c) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? d) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, továbbá a nullhipotézis elvetésének kritériumát Mit állapít meg? e) Tegyük fel, hogy dollár helyett száz dollárban mérjük a megtakarításokat és a jövedelmeket Hogy változik a korábbi táblázat? f) A fenti eredmények a Ramanathan könyv D) függelékében bemutatott DATA3-6 fájl használatával ellenőrizhetőek Az adatbázis ugyanezen a néven a Gretl saját adatbázisai közt is elérhető Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és ellenőrizze a fenti eredményeket a számítógép segítségével is! 6 Ön egy életbiztosító társaságnak dolgozik, és egy igazgatói értekezletre készül Közgazdász múltja azt súgja, hogy az életbiztosításban lekötött vagyont (lins, Y ) legjobban a jövedelem jelzi előre Összegyűjti a fontos adatokat (családi életbiztosítás és családi jövedelem, mindkettő ezer dollárban) és elemezni kívánja kapcsolatukat egy, az életbiztosításban lekötött vagyon és a jövedelem (X) közötti regresszió becslésével A Gretl programmal készített regressziós eredmények az alábbiak: Model 1: OLS, using observations 1 20 Dependent variable: lins Coefficient Std Error t-ratio p-value const 6, , , , jovedelem 3, , , ,0000 Mean of dep var SD of dep variable Error Sum of Sq (ESS) Std Err of Resid R-squared 0985 Adjusted R-squared 0984 F -statistic (1, 18) Prob F > is <

4 a) El kell magyaráznia a regresszió eredményeit, és mivel az igazgatótanács nem élvezi e kurzus elvégzésének előnyeit, egyszerű szavakkal is le kell tudnia írnia, mi történt Magyarázza meg, mit jelentenek a következők (ne csak a számokat ismertesse, hanem mutassa be, hogy a kapott értékek pontosan mit jelentenek a probléma szempontjából): (1) A konstans együttható (α) (2) A jövedelem együtthatója (β) (3) Az ˆα + ˆβx 0 érték néhány tetszőleges x 0 -ra (4) Az illeszkedés jóságát mérő R 2 determinációs együttható értéke b) Az egyik menedzser azzal érvel, hogy a piaci hüvelykujjszabály szerint az embereknek öt dollár életbiztosításuk van a jövedelmük minden egyes dollárjára Egy másik azt mondja, hogy ez valószínűtlen, ez a szám túl magas Meg szeretné vizsgálni ezt a véleménykülönbséget (1) Milyen null- és alternatív hipotézist használna ezen feltételezések megkülönböztetésére? (2) Tesztelje a hipotézist 5%-os elsőfajú hibát használva (3) Számolja ki és értelmezze a próba tesztstatisztikáit (4) Készítsen 95%-os konfidencia-intervallumot a jövedelem együtthatójának becslésére 7 A következő adófüggvényt az 50 amerikai állam és Washington szövetségi főváros keresztmetszeti adatainak felhasználásával becsülték T ax = 0221 (0087) (<00001) Income n = 51 R 2 = 0997 ˆσ = 0687, ahol Tax az összes befizetett adó, az Income pedig a teljes jövedelem, mindkettő milliárd dollárban mérve A zárójelben lévő számok az adott változó együtthatójának szignifikanciáját tesztelő statisztikából számolt p-értékek a) A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az előzetes elképzeléseivel? Magyarázza meg! b) Hogyan értelmezné a jövedelem együtthatóját? c) Fogalmazza meg a null- és alternatív hipotézist, amit a fönt megadott p-értékkel tesztelhet Szignifikánsak-e az együtthatók 5%-os szinten? Igazolja válaszát! d) A fenti eredmények a Ramanathan könyv D) függelékében bemutatott DATA3-4 fájl használatával ellenőrizhetőek Az adatbázis ugyanezen a néven a Gretl saját adatbázisai közt is elérhető Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és ellenőrizze a fenti eredményeket a számítógép segítségével is! 8 Egy cég építkezéseknél használt szigetelőanyagot gyárt A szigetelő keresletére felírt egyszerű modell Q t = α + βp t + u t, ahol Q t adott hónapban leszállított szigetőanyag mennyisége gallonban mérve, és P t a szigetelőanyag gallononkénti ára dollárban A modellt 89 hónap adatainak felhasználásával becsültük, keresztmetszeti adatként tekintve rájuk A következő táblázat a számítógépes output egy részlete (az adatok a Ramanathan könyv DATA3-5 adatbázisában találhatóak meg) 4

5 Model 1: OLS, using observations 1 89 Dependent variable: Q Coefficient Std Error const 5962, , P -381, , Error Sum of Sq (ESS) e+08 Std Err of Resid R-squared 0132 Adjusted R-squared 0122 a) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra, és miért? A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az elvárásaival? b) Mi az ár együtthatójának értelmezése? Írja le, mennyivel változik a kereslet, amikor a gallononkénti ár megnő egy dollárral c) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? d) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szignifikancia szinten szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? e) Véleménye szerint megfelelő a modell? Mit gondol, milyen más változókat kellene a modellbe fölvenni? 9 Egy gépkocsi fenntartási költségeinek következő két modelljét becsültük: E t = α 1 + β 1 Age t + ε 1,t E t = α 2 + β 2 Miles t + ε 2,t ahol E a kumulált fenntartási költség (az üzemagyag nélkül) dollárban, a Miles változó a megtett út kumulált mennyisége (ezer mérföldben), az Age változó pedig a jármű életkorát jelöli hetekben mérve A két modellt 57 elemű minta felhasználásával becsültük A futási eredményeket az alábbi táblázatok foglalják össze: Model A: OLS, using observations 1 57 Dependent variable: E Coefficient Std Error t-ratio p-value const -625, , , ,0000 Age 7, , , ,0000 Error Sum of Sq (ESS) e + 06 Std Err of Resid R-squared 0900 Model B: OLS, using observations 1 57 Dependent variable: E 5

6 Coefficient Std Error t-ratio p-value const -796, , , ,0000 Miles 53, , , ,0000 Error Sum of Sq (ESS) e + 07 Std Err of Resid R-squared 0858 a) Milyen előjelet vár β 1 -re és β 2 -re? A megfigyelt előjelek megfelelnek-e várakozásainak? b) Melyik modellt gondolja "jobbnak" a kettő közül? Fogalmazza meg az alkalmazott kritériumot c) A jobbnak ítélt modellben a t-statisztikák segítségével végezzen el a megfelelő próbákat az együtthatók szignifikanciájának tesztelésére Ne felejtse el felírni a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztika eloszlását, beleértve a szabadságfokot, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát Mit állapít meg? d) Az A modellben tegyük fel, hogy az Age változót hetek helyett napokban mértük Írja át a táblázatot ennek megfelelően e) A fenti eredmények a Ramanathan könyv D) függelékében bemutatott DATA3-7 fájl használatával ellenőrizhetőek Az adatbázis ugyanezen a néven a Gretl saját adatbázisai közt is elérhető Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és ellenőrizze a fenti eredményeket a számítógép segítségével is! 10 NEW!!! Különböző egyetemek 222 professzorának fizetési adatainak (ezer dollárban, Y ) és a PhD fokozat megszerzése óta eltelt évek számának (X) kapcsolatát vizsgáltuk az alábbi kétváltozós lineáris regressziós modell segítségével: SALARY t = α + β Y EARS t + ε t, t = 1,, 222 A futási eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze: Model 1: OLS, using observations Dependent variable: SALARY Coefficient Std Error t-ratio p-value const YEARS Mean dependent var SD dependent var Sum squared resid SE of regression R Adjusted R F (1, 220) P-value(F ) 182e 29 a) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra, és miért? A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az elvárásaival? Értelmezze az együtthatókra kapott becsléseket! b) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? c) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szignifikancia szinten szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? 6

7 d) Mit tesztel a futási eredmények táblázatának utolsó sorában szereplő F (1, 220) érték? Fogalmazza meg null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikát, eloszlását és a szabadságfokokat, valamint a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? e) Vizsgálja meg annak következményeit, ha a fizetést ezer dollár helyett dollárban mérnénk! f) Állapítsa meg a fizetéseknek a tapasztalatszerzésre vonatkozó rugalmasságát a PhD megszerzése óta eltelt 10 éves időtáv viszonylatában (azaz X t = 10 esetén)! 11 NEW!!! A fogyasztói elmélet széles körben használt összefüggése az Engel-görbe, amely egy adott jószágra való kiadások és egy egyén vagy család jövedelme között állít fel összefüggést A Ramanathan könyv DATA3-14 adatbázisa a teljes jövedelemre (income, X) és a belföldi utazási kiadásokra (exptrav, Y ) vonatkozó adatokat tartalmazza az 50 amerikai államra és Washingtonra vonatkozóan Mindkét változót milliárd dollárban mérték A futási eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze: Model 2: OLS, using observations 1 51 Dependent variable: exptrav Coefficient Std Error t-ratio p-value const income Mean dependent var SD dependent var Sum squared resid SE of regression R Adjusted R F (1, 49) P-value(F ) 470e 22 a) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra, és miért? A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az elvárásaival? Értelmezze az együtthatókra kapott becsléseket! b) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? c) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szignifikancia szinten szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? d) Mit tesztel a futási eredmények táblázatának utolsó sorában szereplő F (1, 49) érték? Fogalmazza meg null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikát, eloszlását és a szabadságfokokat, valamint a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? e) Be kell-e vonni más változókat is a modellbe? Ha igen, melyek azok? Válaszait indokolja! f) Állapítsa meg az utazásra fordított kiadások jövedelemre vonatkozó rugalmasságát 3 milliárd dolláros jövedelemszint esetén! 12 NEW!!! Használt lakások eladási árainak (millió forint, Y ) alakulását vizsgáljuk a lakás alapterületének (m 2, X) függvényében Egy 100 elemű minta alapján az alábbi futási eredményeket kaptuk: 7

8 Model 1: OLS, using observations Dependent variable: eladasiar Coefficient Std Error t-ratio p-value const alapterulet Mean dependent var SD dependent var Sum squared resid SE of regression R Adjusted R F (1, 98) P-value(F ) 879e 25 a) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra, és miért? A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az elvárásaival? Értelmezze az együtthatókra kapott becsléseket! b) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? c) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szignifikancia szinten szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? d) Mit tesztel a futási eredmények táblázatának utolsó sorában szereplő Fogalmazza meg nullés alternatív hipotézist, a tesztstatisztikát, eloszlását és a szabadságfokokat, valamint a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg?fogalmazza meg null- és alternatív hipotézist, és ismertesse következtetéseit! e) Be kell-e vonni más változókat is a modellbe? Ha igen, melyek azok? Válaszait indokolja! f) Állapítsa meg az eladási ár alapterületre vonatkozó rugalmasságát egy 40 millió forintos lakás esetén! 13 Egy politikai kampányban részt vevő munkatárs a V t = α + βp t + ε t modellt becsülte t = 1, 2,, 22 esetén, ahol V t a szavazáson megjelentek száma a t szavazókerületben, és P t a szavazókerület népessége Amikor az eredményeket nyomtatták, a nyomtató meghibásodott, szétmázolva néhány eredményt A megadott információk ismeretében töltse ki a hiányzó részleteket Együttható Becslés Sztenderd hiba t-hányados ˆα ˆβ ESS=30596 P =54478 s 2 V =31954 s 2 P =92591 R 2 = s 2 e= V = 8

9 14 Aggregált személyi jövedelem (X) és egészségügyi kiadások (Y ) kapcsolatát modelleztük az Y t = α + βx t + ε t modellel, ahol t = 1, 2,, 51 Amikor az eredményeket nyomtatták, a nyomtató meghibásodott, szétmázolva néhány eredményt A megadott információk ismeretében töltse ki a hiányzó részleteket Együttható Becslés Sztenderd hiba t-hányados ˆα ˆβ ESS= X=1051 TSS= Ȳ = R 2 = s e =1742 F (1, 49)= 15 Bruttó jövedelmek (milliárd dollár, X) és adók (milliárd dollár, Y ) kapcsolatát modelleztük az Egyesült államok összes államában, beleértve a szövetségi fővárost, Washingtont is A becsült modell Y t = α + βx t + ε t alakú, ahol t = 1, 2,, 51 Amikor az eredményeket nyomtatták, a nyomtató meghibásodott, szétmázolva néhány eredményt A megadott információk ismeretében töltse ki a hiányzó részleteket Együttható Becslés Sztenderd hiba t-hányados ˆα ˆβ ESS=2315 X=7055 TSS= Ȳ = R 2 = s e = F (1, 49)= 9

10 Megoldások 1 a) α = 43, 05, β = 1, 325, azaz Y t = 43, , 325 X t a becsült modell β = 1, 325 azt jelenti, hogy a teljesítmény egységnyi változásával az éves prémium átlagosan 1325 forinttal változik b) R 2 = 0, 887, azaz a teljesítmény 88, 7%-ban magyarázza a prémium mintabeli szóródását c) 0, 586, azaz a teljesítmény 1%-os növekedése 0586%-os átlagos növekedést jelent a prémiumban d) X = 45 esetén Ŷ = 102, 67 Mivel s e = 6, 33 és s Y = 6, 49, így CI: (88, 2; 117, 15) 2 a) α = 24, 96, β = 26, 19, azaz Y t = 24, , 19 X t a becsült modell β = 26, 19 azt jelenti, hogy a reklámkiadás egységnyi (ezer dolláros) növelésével a bevétel átlagosan dollárral növekedik b) R 2 = 0, 669, azaz a reklámkiadás 66, 9%-ban magyarázza a bevétel mintabeli szóródását A feladat megoldása során fel kell használni az alábbi összefüggést: RSS = n (Ŷt Ȳ )2 = t=1 n (ˆα + ˆβX t Ȳ )2 = t=1 n (Ȳ ˆβ X + ˆβX t Ȳ )2 = t=1 n ˆβ 2 (X t X) 2 = t=1 = ˆβ 2 S xx = S2 xy S Sxx 2 xx = S2 xy S xx c) 0, 839 a rugalmasság X = 5 esetén A reklámkiadás 1%-os növekedése 0, 839%-os átlagos növekedést jelent a bevételben Átlagos szinten ugyanez: 0, 852 d) X = 6 esetén Ŷ = 182, 1 CI: (75, 55; 288, 65) 3 a) α = 4, 395, β = 1, 507, azaz Y t = 4, , 507 X t a becsült modell β = 1, 507 azt jelenti, hogy a távolság egységnyi (1 km) növelésével a szállítási idő átlagosan 1, 5 perccel növekedik b) R 2 = 0, 937, azaz a távolság 93, 7%-ban magyarázza az idő mintabeli szóródását A feladat megoldása során fel kell használni előző feladat megoldásában felírt RSS mutatóra vonatkozó összefüggést c) s e = 3, 96, sˆα = 2, 416, s ˆβ = 0, 138 d) 0, 837 a rugalmasság az átlagos szinten, azaz a távolság 1%-os növelése 0, 837%-os átlagos növekedést jelent a szállítási időben e) CI: [1, 188; 1, 825] f) X = 12 esetén Ŷ = 22, 48, és s Ŷ = 1, 319, így CI: (19, 44; 25, 52) 4 a) α = 311, 9, β = 4, 47, azaz Y t = 311, 9 + 4, 47 X t a becsült modell β = 4, 47 azt jelenti, hogy a GDP egységnyi (ezer dollár) növelésével az ezer főre jutó autók száma átlagosan 4, 47 darabbal növekszik b) R 2 = 0, 427, azaz a GDP 42, 7%-ban magyarázza az autók mintabeli szóródását A feladat megoldása során fel kell használni előző feladat megoldásában felírt RSS mutatóra vonatkozó összefüggést c) 0, 31 a rugalmasság az átlagos szinten, azaz a GDP 1%-os növelése 0, 31%-os átlagos növekedést jelent az autók darabszámában 10

11 d) s ˆβ = 1, 034, t = 4,47 1,034 = 4, 32 > t = 2, 06, azaz a becslés releváns, szignifikánsan nem nulla az értéke 5 a) β a megtakarítási határhajlandóság, azaz a várható átlagos változás az egy főre jutó megtakarításban akkor, ha a jövedelem egy dollárral nő b) α < 0, hiszen 0 jövedelem mellett is van kiadása a háztartásnak β > 0, növekvő jövedelem mellett várhatóan növekednek a megtakarítások is β esetén a becslés ezzel egyezik, α esetén viszont nem, ez hibás modellspecifikációra utal c) R 2 = 0, 538 közepesen jó illeszkedés A jövedelem a megtakarítás mintabeli szóródásának 53, 8%-át magyarázza d) H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a konstansra hasonlóan β esetén t = 0, 067/0, 011 = 6, 09 > t 34(0, 995) = 2, 704, tehát β szignifikánsan nem nulla, α esetén t = 2, 54 < 2, 704, azaz α szignifikánsan nulla e) A tengelymetszet a századrészére változik, a meredekség változatlan marad, R 2 változatlan, s e a századrészére változik 6 a) A konstans együttható azt jelenti, hogy 0 jövedelem mellett átlagosan mennyi a családok életbiztosításban tartott pénze A jövedelem együtthatója azt jelenti, hogy a jövedelem egységnyi megváltozása mekkora változást okoz az életbiztosítási megtakarítás átlagos értékében Adott X 0 mellett az ˆα+ ˆβX 0 érték az ezen X 0 értékhez tartozó, a modell által becsült életbiztosítási összeg átlagos értékét jelöli R 2 azt mutatja meg, hogy a jövedelem 98, 4 szátalékban magyarázza az életbiztosítás mintabeli szóródását b) H 0 : β = 5, H 1 : β < 5 t = 3,88 5 0,11 = 10, 18, t = 2, 101, így H 0 elvetve CI: (3, 65; 4, 11) 7 a) β > 0 egybevág a feltételezésekkel A konstansnak nincs értelmezése b) A jövedelem növekedésével nő a befizetett adó átlagos mennyisége is c) H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a konstansra hasonlóan β szignifikáns, mert a p-értéke 5 százalék alatt van, α nem szignifikáns 8 a) β < 0 és α 0 A kereslet csökken az ár növekedésével, α nem értelmezhető b) A keresletben bekövetkező változás akkor, ha az ár egységnyivel változik Ha a gallononkénti ár 1 dollárral nő, akkor az átlagos kereslet 381 gallonnal csökken c) Rossz, mert alacsony az R 2 szóródásának Az ár csak 13, 2%-át tudja magyarázni a kereslet mintabeli d) H 0 : β = 0, H 1 : β 0, konstansra hasonlóan t β = 3, 64, t α = 6, 24, t 87 (0, 995) = 2, 64, így mindkét nullhipotézis elvetve e) Nem Új házak építése, útépítések, stb 9 a) Pozitívakat, hiszen a korral és a megtett út növekedésével nőnek a fenntartási költségek b) Az "A" modellt, magasabb az R 2, kisebb az ESS mutató értéke is c) t β = 22, 24, t α = 6, 009, t 55 (0, 995) = 2, így mindkét nullhipotézis elvetve, szignifikánsak az együtthatók d) Konstans változatlan, β a hetedrészére változik Hibáik ugyanígy Hibatag, t hányados, p-érték, R 2 nem változik 11

12 10 a) α > 0, hiszen ez a PhD megszerzése utáni átlagos kezdőfizetésnek felel meg, ami egy fix kiiknduló fizetés β > 0, mert azt reméljük, hogy az évek múlásával nő a fizetés A kezdőfizetés α = dollár, innen minden évben átlagosan 1491 dollárral nő az éves fizetés b) R 2 = 0, 439 gyenge illeszkedés, a évek múlása 43, 9%-ban magyarázza a fizetések mintabeli szóródását c) A p-értékek alapján mindkét együttható szignifikánsan nem nulla A hipotéziseket, tesztstatisztikákat, stb lásd a korábbi feladatokban d) A regressziósfüggvény relevanciáját teszteli ANOVA teszttel H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a p-érték alapján elvetjük a nullhipotézist, azaz modellünk releváns e) Mindkét együttható ezerszeresére változik R 2 változatlan, t-statisztika változatlan, hibák ezerszeresükre változnak f) rugalmasság= 0, 222, azaz az évek 1%-os növekedése a fizetések 0, 222%-os átlagos növekedését eredményezik 11 a) Pozitív mindkettő Nulla jövedelem mellett is költünk utazásra (nyilván nem releváns eset, így a konstans értelmezésétől most eltekinthetünk), a jövedelem növekedése pedig pozitívan hat az utazásra fordított összegre, méghozzá 1 milliárd dolláros jövedelem növekedés átlagosan dollár növekedést okoz a belföldi utazásokra fordított összegben b) R 2 = 0, 853 jó illeszkedés, a jövedelem 85, 3%-ban magyarázza a kiadások mintabeli szóródását c) A p-értékek alapján a konstans szignifikánsan nulla, míg a meredekségi együttható szignifikánsan nem nulla A hipotéziseket, tesztstatisztikákat, stb lásd a korábbi feladatokban d) A regressziófüggvény relevanciáját teszteli ANOVA teszttel H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a p-érték alapján elvetjük a nullhipotézist, azaz modellünk releváns e) Érdemes bevonni új változókat is, pl népesség, munkanélküliségi ráta, stb (számos lehetőség felsorolható, az olvasóra bízzuk) f) rugalmasság= 0, 25, azaz a jövedelem 1%-os növekedése a kiadások 0, 25%-os átlagos növekedését eredményezik 12 a) Konstansnak nincs releváns értelmezése, β pedig az alapterület függvényében mutatja az árváltozást Nyilván pozitív előjelet várunk erre, és ezt igazolja is a becslés Az alapterület 1 m 2 növekedése átlagosan forintos árdrágulást jelent b) R 2 = 0, 661 közepes illeszkedés Az alapterület 66, 1%-ban magyarázza a kínálati ár mintabeli szóródását c) A p-értékek alapján a konstans szignifikánsan nulla, míg a meredekségi együttható szignifikánsan nem nulla A hipotéziseket, tesztstatisztikákat, stb lásd a korábbi feladatokban d) A regressziófüggvény relevanciáját teszteli ANOVA teszttel H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a p-érték alapján elvetjük a nullhipotézist, azaz modellünk releváns e) Igen, szobák száma, emelet, tájolás, stb f) Y = 40 esetén a modell szerint X = 105, 84, így a rugalmasság= 1, 012, azaz a terület 1%-os növekedése az ár 1, 012%-os átlagos növekedését eredményezi 12

13 13 α szenderd hibája sˆα = ˆα/t = 1, 741 β esetén t = 0, 137/0, 028 = 4, 893 V = ˆα + ˆβ P = 33, 497 Mivel T SS = (V t V ) 2 = (n 1)s 2 V = 21 31, 954 = 671, 034, így R2 = 1 ESS/T SS = 0, 544, és s 2 e = ESS/(n 2) = 15, α szenderd hibája sˆα = ˆα/t = 0, 319 β esetén ˆβ = 72, 27 0, = 0, 142 Ȳ = ˆα+ ˆβ X = 15, 25 ESS = s 2 e (n 2) = 148, 7 R 2 = 1 ESS/T SS = 0, 99, F (1, 49) = 49 0, 99/0, 01 = ˆα = 0221 β esetén s ˆβ = 0142/1217 = Ȳ = ˆα+ ˆβ X = s e = ESS/(n 2) = 0687 R 2 = 1 ESS/T SS = 0, 997, F (1, 49) = 49 0, 997/0, 003 = 16284, 3 13