Gazdasági példák alkalmazása a matematikatanításban

Átírás

1 Gazdasági példák alkalmazása a matematikatanításban Debrenti Edith Összefoglalás Azzal kapcsolatban, hogy a közgazdászok képzése során milyen tananyagot és tankönyveket használjunk, megoszlanak a vélemények. Egyes közgazdászok szerint a közgazdaság-tudomány elamerikanizálódott és a képzés során túlzott a matematika dominanciája (Csaba, 2013). Simonovits András szerint is ez így van, de hát ennek lehet a magyarázata az is, hogy az amerikai közgazdaságtan sikeresebben kombinálta az elméletet a gyakorlattal, mint európai társaik, és az amerikai tankönyvek zöme messze felülmúlja a magyar jegyzetek színvonalát (Simonovits, 2013). Szükség van arra, hogy a diákok minél több gyakorlati megközelítést lássanak, fontos, hogy a modellezés, a fogalmak gyakorlati alkalmazása is a tananyag szerves része legyen, annak ellenére, hogy a tartalmi részek és a rájuk fordítható idő nem nagyon engedi meg, hogy egy-egy alkalmazási vagy modellezési feladatban a diákok elmélyüljenek. Az elméletnek a gyakorlathoz való fűzése azért is hasznos, mert közelebb hozza a diákot a lényegbeli problémához és jobban felkelti az érdeklődését. A tanár sokkal jobban késztetheti a diákokat arra, hogy maguk számoljanak, kísérletezzenek, sejtéseket fogalmazzanak meg. A dolgozatom témája a statisztika néhány fejezetének probléma-központú megközelítése. Kulcsszavak: probléma-központú matematikatanítás, gazdasági matematika, közgazdasági modellek. JEL kódok: C60; C65; C69. Teaching of the mathematics based on examples taken from economics Abstract Opinions differ on the curriculum and textbooks to be used when teaching economists. Csaba Laszlo claims that economics has undergone Americanization and there is an over-dominance of mathematics in the training (Csaba, 2013). András Simonovits holds similar beliefs, however he explains this by the fact that American economics combinen theory and practice more successfully 1

2 than their European counterparts and the majority of American textbooks is far superior to the Hungarian standard notes (Simonovits, 2013). The students need to see more practical approach of the concepts. Modeling and the application of the theory should be part of the teaching material, although the main contents and the number of classes dedicated to them do not allow to thoroughly deepen into a type of application or modeling. To put the theory into practice is important because it gets the students close to the main point and it raises interest. The teacher can much more easier get the students make calculations on their own, make experiences or make speculations. The theme of the presentation is the problem-based teaching of some chapters of statistics. Keywords: problem- based learning of mathematics, mathematics in economics; basic economic models. JEL codes: C60; C65; C69 Bevezetés A gazdalkodási és közgazdasági alap- és mesterszakok tanterveiben számos matematikai tárgy szerepel, többek közt a valószínűségszámítás és a statisztika is. Szükség van arra, hogy a diákok minél több gyakorlati megközelítést lássanak, fontos, hogy a modellezés, a fogalmak gyakorlati alkalmazása is a tananyag szerves része legyen, annak ellenére, hogy a tartalmi részek és a rájuk fordítható idő nem nagyon engedi meg, hogy egyegy alkalmazási vagy modellezési feladatban a diákok elmélyüljenek. Az elméletnek a gyakorlathoz való fűzése azért is hasznos, mert közelebb hozza a diákot a lényegbeli problémához és jobban felkelti az érdeklődését. A tanár sokkal jobban késztetheti a diákokat arra, hogy maguk számoljanak, kísérletezzenek, sejtéseket fogalmazzanak meg. Ebben a munkában egy projektszerű, szemináriumon feldolgozott témát mutatok be, melyet közgazdasági szakos hallgatókkal közösen jártunk körül. A romániai gabonapiac, azon belül a búza és a kukorica, az emberiség számára a legfontosabb gabonafélék piaci helyzetét vizsgáltuk, összehasonlítva más országok empirikus kutatásinak eredményeivel is (Magyarország), továbbá vizsgáltuk az időben változó árvolatilitást is, hogyan alakult e két termék volatilitása január január között. Ehhez legelőször a két termékre vonatkozó leíró statisztikákat hasonlítottuk össze, majd a múltbéli adatokra támaszkodó történelmi volatilitás kiszámítása került sorra. A témát keresve, egy olyan kérdéskört szerettem volna találni, ami nemcsak a közgazdászokat, hanem fontossága miatt akár minden embert érinthet. A 2

3 legfontosabb élelmiszerünk a mindennapi kenyér. Az ötlethez évszámot keresve azt találtam, hogy a évről 2007-re drasztikus mértékben megnőttek az agrártermékek árai. Ilyen mértékű áremelkedés nem volt megfigyelhető az azt megelőző 25 évben. Ezt számtalan kutató próbálta megmagyarázni különféle vizsgálatok által. A közgazdászok a kialakulás okát keresték (Cooke és Robles, 2009), azokat a tényezőket, amik leginkább befolyásolták a drasztikus áremelkedést, míg mások azt vizsgálták (Gilbert és Morgan, 2010, Tothova, 2011), hogy a hirtelen bekövetkezett áremelkedés és csökkenés milyen hatással volt az agrártermékek árvolatilitására. Ez a nagymértékű áringadozás bizonytalanságot váltott ki a termelők viselkedésében is. Az elemzési időtartam, a január január közötti periódus adatait az Eurostat, a Román Statisztikai Hivatal (INSSE), valamint a magyarországi Statisztikai Hivatal honlapjáról (KSH) gyűjtöttük. Részben az adatok szűkössége miatt lett ez a periódus kiválasztva, másrészről meg az Európai Unióhoz való csatlakozás, valamint a gazdasági válság miatt is, ugyanis mindkét esemény megtalálható az adott intervallumban. A téma jelentőségét az is bizonyítja, hogy rendkívül sok kutatás készült az általunk vizsgált periódusban, főleg a as történésekkel kapcsolatban. Különböző kutatók különböző irányból közelítették meg az árvolatilitás kérdését. Voltak, akik a kiváltó okokra fókuszáltak, illetve voltak olyanok is, akik a megnövekedett volatilitás gyanújának alátámasztására kerestek bizonyítékokat. A témát egy kisebb projektnek fogva föl, a következő lépésekben dolgoztuk ki: 1.Románia mezőgazdasági áttekintése, gabonatermesztés: adatgyűjtés a különböző honlapokról (Eurostat, INSSE), ezt kapták házi feladatnak, órán rendszereztük az adatokat, táblázatokat, ábrákat készítettünk a rendelkezésünkre álló adatokból. 2. Leíró statisztikai mutatók számítása 3. Volatilitás fogalma, számítások 4. Összehasonlítás 5. Mit lehetne még számítani? Mezőgazdaság Románia mezőgazdaságának legfőbb terménye a búza és a kukorica. A kukoricát emberi étkezésre is felhasználják. Kukoricatermesztése Európában az elsők között van. Tavalyi adatok alapján az országos kukoricatermést 5,92 millió tonnára becsülik. Ez 2,72 millió hektár szántóföldön termett meg, tehát a hozam 2170 kg/ha. Az uniós átlag háromszor ekkora volt, 6150/ha. Az INS közleményéből kiderül, hogy az alacsony hozam ellenére Románia az EU-n belül a harmadik legnagyobb kukoricatermelő Franciaország és Olaszország 3

4 után. A búza esetében 5,19 millió tonnás termésről árulkodnak a statisztikák, ami 1,98 millió hektáron termett meg. Ez 2624 kg/hektáros hozamot eredményez, az uniós átlag kétszer ekkora, 5434 kg/ha. Románia tavalyi búzatermése az ötödik legnagyobb volt az EU-n belül. 1. ábra: A kukorica és a búza termelt mennyiségének alakulása Romániában kg/ha-ban kifejezve Forrás: A Román Statisztikai Hivatal adatai alapján Láthatjuk, az 1. táblázatból, hogy Romániában a mezőgazdasági üzemek száma folyamatosan csökken évről évre, míg a megművelt mezőgazdasági terület esetén növekedést figyelhetünk meg 2010-ben 2002-höz képest. Láthatjuk, hogy üzemenként egyre több terület kerül megművelésre. 1. táblázat: Mezőgazdasági üzemek száma Romániában 2002 és 2010 között Mértékegység Mezőgazdasági üzemek ezer száma összesen: Megművelt mezőgazdasági ezer hektár terület összesen A mezőgazdasági üzemek által művelt mezőgazdasági terület összesen ezer hektár Átlagosan megművelt hektár 3,11 3,5 3,45 terület üzemegységenként Forrás: A Recensământul general agricol 2010 adatai alapján A gabonaárak változásai Az elmúlt két évtized legjelentősebb eseménye a között bekövetkezett élelmiszer és terményár robbanása. Megfigyelhető, hogy ebben 4

5 az adott periódusban az egyes termékek árai akár a duplájára is nőttek. A három legfőbb ok, mely összekapcsolható a termékek árának a növekedésével: az időjárás, a kőolaj ára és a készletezési politika. 2. ábra: A kukorica és a búza árak alakulása 2004 január-2013 januárja között Romániában Forrás: A Román Statisztikai Hivatal adatai alapján A fenti ábrán megfigyelhetjük, hogy a kukorica és a búza árai nagymértékben együtt mozognak. Ahol az egyik emelkedik, ott a másik ára is nő. Leíró statisztikai mutatók számítása A leíró statisztikának az a szerepe, hogy átfogó képet adjon az adatsorunkról néhány alapvető jellemző megadásával. 2. táblázat: Statisztikai mutatók csoportosítása Numerikus mutatószám Helyzeti mutatók Számított mutatók Középérték mutató Módusz, Medián Átlagok (számtani, mértani, qvadratikus) Szóródási mutató Terjedelem, IQR Szórás, variancia, relatív szórás Forrás: Tóthné, Mindegyik középérték mutató azt próbálja reprezentálni, hogy hol csoportosulnak az értékek, míg a szóródási mutatók azt határozzák meg, hogy ezen elhelyezkedési pont körül mennyire szorosan vagy szétszórtan helyezkednek el a vizsgált értékek. A leíró statisztika alkalmazása előtt az alapfogalmakat újra átvettük: a minta elemszáma (n), maximum (a legnagyobb előforduló számérték), minimum (a legkisebb előforduló számérték), mintaterjedelem (a maximum és a minimum különbsége), számtani átlag (az értékek összege, osztva az elemszámmal), variancia, tapasztalati szórásnégyzet (az adatoknak az átlagtól való négyzetes eltéréseinek átlaga), szórás, tapasztalati szórás (a variancia négyzetgyöke), variációs koefficiens, vagy relatív hiba (a szórás százalékos aránya az 5

6 átlaghoz viszonyítva), Medián (a rendezett minta közepén van), Módusz (a leggyakrabban előforduló érték), Kvartilisek (az alsó kvartilis a legkisebb és a medián között középen elhelyezkedő adat számértéke a rendezett mintában, a felső kvartilis hasonlóan a medián és a legnagyobb érték között van középen, a kvartilisek mutatják a ferdeséget). A szóródás kifejezésére leggyakrabban használt mérőszám a szórás. A szórás az egyes értékek számtani átlagtól vett eltéréseinek négyzetes átlaga, vagyis megmutatja, hogy az ismérvértékek mennyivel térnek el átlagosan az átlagtól. Az alapsokaság elemeinek eltérését mutatja a minta egészének számtani átlagától, azaz =. A tapasztalati szórás képlete tehát:. Vannak olyan esetek, amikor nem tudjuk meghatározni a szórást. Olyankor a szórást egy mintából becsüljük. A becsült szórás, más néven korrigált tapasztalati szórás meghatározásához a következő képletet használjuk: A szórás értéke függ adataink mértékegységétől, csak azonos mértékegységben kifejezett adathalmazok hasonlíthatók össze. Ahhoz, hogy különböző mértékegységet használó adatsorokat hasonlíthassunk össze, meg kell szüntetnünk az eltérő dimenziók problémáját Ezt a célt szolgálja a relatív szórás, a variációs együttható, mely a szóródás egyik mérőszáma, amely a minta szórását (s) a minta átlagához ( ) viszonyítja. Képlete: V =, illetve V = 100 (%). A relatív szórás mértékegység nélküli szám, megmutatja, hogy a minta értékei mennyire szóródnak átlagértékükhöz képest. Mivel pozitív adatokra alkalmazzuk és adott mintára, ezért V < 1. Létjogosultsága eltérő nagyságrendű adatokat tartalmazó, illetve különböző mértékegységű minták szórásának, illetve szóródásának összehasonlításában van. A relatív szórás eltünteti az átlagok esetleges nagy eltéréséből fakadó hatást is. A korrelációs együttható két különböző adatsor változói közötti kapcsolat szorosságának a mérésére szolgáló legfontosabb mennyiség, értéke 0 és 1 között lehet. Adathalmazunk leíró statisztika adatait összefoglalja a 3. táblázat, mivel havi megfigyeléssel rendelkezünk, ezért összesen 109 darab megfigyelésünk van (2004. január és január között). Jól látható, hogy a búza és a kukorica 6

7 értékek esetén nem figyelhető meg jelentős különbség, a korreláció értéke is ezt bizonyítja, ami 0,908 tehát nagyobb, mint 0,9 ezért azt mondhatjuk, hogy nagyon magas a korreláció értéke, a két termék ára között erős függő kapcsolat van. Ha összehasonlítjuk a termékek árainak átlagát és mediánját, akkor láthatjuk, hogy a búza esetén a medián kisebb, mint az átlag és ez arra enged következtetni, hogy nagyobb spike hatások voltak felfelé, mint lefelé, ezáltal tudott az átlag feljebb kúszni a mediánnál. A kukorica esetén az átlag és a medián megegyezik. 3.táblázat: Leíró statisztikai összefoglaló lej/kg Búza Kukorica Minta elemszáma Átlag Minimum Maximum Medián Módusz Szórás Relatív szórás 37.28% 35.44% Korreláció Forrás: Román Statisztikai Hivatal adatai alapján Volatilitás A volatilitást legelőször a pénzügyi piacokon alkalmazták, a mezőgazdasági piacokon lezajló folyamatok megértésében is fontos szerepet játszik, a piaci árak változékonyságának vizsgálatát jelenti. A volatilitás az árak alakulásának irányától függetlenül megadja egy adott időszakra, hogy milyen gyorsan, vagy lassan mozog, változik a piac, azaz az árfolyamok ingadozásának mértékét tükröző jelzőszám. Nagy volatilitású piac, termék az, amelynek árfolyama, értéke ingadozó, ellentétes irányú, hirtelen mozgások jellemzik. Minél nagyobb a volatilitás, annál nagyobb az árfolyamkockázat. Az alacsony volatilitás kiszámíthatóságot jelent, míg a magas volatilitás nagyfokú nyereséget, vagy veszteséget okozhat a befektetőknek. Az elmúlt években magas volatilitás volt jellemző az élelmiszer alapanyagokra. A volatilitást a kormányok szeretnék minimum szinten tartani, mert az árutermékek árváltozásai kihatnak a kereskedelmi egyensúlyukra. 7

8 A legtöbb definíció az alábbihoz hasonlóképpen határozza meg a volatilitást: egy részvény, vagy piac árfolyamának változására vonatkozik. Ha egy részvény, vagy piac árfolyama rövid időszakon belül nagymértékben növekszik és csökken, akkor nagy volatilitásúnak nevezzük. Számos helyen említésre kerül úgy is, mint az értékpapírok árának változékonyságát valamint árkockázatát bemutató számérték. Minden termék piaca rendelkezik bizonyos időközönkénti áradatokkal, melyek lehetnek éves, havi, heti, napi vagy akár nagyobb frekvenciájú adatok. Ebből kiindulva a volatilitás alapvetően t-1 és t időpontok között bekövetkezett árváltozás mérésére szolgál (Policy Response, 2011). Az ármozgások elemzése annál részletesebb, annál pontosabb minél nagyobb frekvenciájú adatok állnak a rendelkezésünkre. A volatilitásra kapott értékeink nagyságából tudunk következtetni arra, hogy az árfolyam milyen kilengéseket mutatott az elemzett periódusban. Ha nagy a volatilitás, akkor a termék árfolyama nagy kilengéseken ment keresztül, ha pedig alacsony, akkor alacsony kilengéseken ment keresztül. Másik megfogalmazásban: egy befektetés kockázatának mérőszáma a volatilitás, a várható vagy múltbeli hozamok változékonyságát jelenti. A volatilitás a tőzsde világában az árfolyamok (egészen pontosan a hozamok, pl. napi hozamok) változékonyságát jelenti. A volatilitás alapvetően nem a mozgás irányára, hanem változékonyságára utal. Az alacsony volatilitás azt jelzi, hogy a trend stabil, a megnövekedő volatilitás pedig a trend törékenységét jelzi, vagyis akár trendfordulót vetíthet előre. A volatilitás mérését Tothova (Tothova, 2011) tanulmányában két típusra bontja: 1)Történelmi volatilitás: múltbéli periódus alatt megfigyelt ármozgásokat ír le, valamint a kereslet-kínálatra gyakorolt hatását. 2)Implicit volatilitás: a piac várakozásai alapján becsüli a termék jövőbeni volatilitását, hogy milyen oszcillált lesz az. A történelmi volatilitás A volatilitás jövőbeli alakulásának előrejelzésére a legegyszerűbb és legelterjedtebb módszer az úgynevezett historikus volatilitás számítása. Ennek során feltételezzük, hogy a múltbéli adatokból számított volatilitás a jövőben is jellemző lesz, azaz a volatilitás időben nem változik. E szerint az értékelési eljárás szerint a volatilitás a folytonosan számított hozam szórása éves szinten. Azaz kiszámoljuk a napi hozamokat, majd meghatározzuk ezek szórását 8

9 (1) ahol: N a minta elemszáma ri a termék logaritmizált hozama az i. időpontban Si a termék ára az i. időpontban. A szórást természetesen ugyanúgy éves szinten kell megadni, mint a hozamokat, ezért a megkapott napi szórást éves szintre arányosítjuk. Ami a képletben (1) is látszik. A képlet napi árak vizsgálatára vonatkozik, így az utolsó eleme a az egy éven belüli tőzsdei napok számára utal. Amennyiben heti vagy havi adatokkal dolgozunk, úgy -vel illetve -vel kell szoroznunk az egyenletben (Gilbert és Morgan, 2010b). Fontos megjegyezni, hogy különböző időegység használata során különböző volatilitás-értékeket kapunk. Ennek oka, hogy a kisebb időegységek részletesebb információt adnak az árfolyam változékonyságáról. A gyakorlati alkalmazás során gyakran adják azt a tanácsot, hogy a historikus volatilitás számítása során ugyanannyi időre tekintsünk vissza a múltba, mint amekkora időtávra a számított értéket fel kívánjuk használni. Azaz ha a volatilitást egy egyéves opció árazásához akarjuk felhasználni, akkor egy egyéves múltbeli adatsort használjunk fel a historikus volatilitás meghatározásához. A historikus volatilitás hibája, hogy számításához a múltra kell támaszkodnunk. Empirikus árvolatilitási tanulmányok Az árvolatilítás leíró statisztikai és empirikus módszerekkel történő elemzése hosszú évekre nyúlik vissza. Számos kutató vizsgálódott különböző szektorokban, országokban, időszakokban, gazdagítva ez által a szakirodalmak sorát, valamint megkönnyítve ez által más kutatók munkáját.. 4.táblázat: Empirikus árvolatilitási tanulmányok tapasztalatainak összefoglalója Szerző Tapasztalat Kilima és társai (2004) Tanzánia régióiban eltérő volatilitás a kukoricaárakban. Dél-Afrika fő termesztett növényeiből a búza Jordaan és társai (2007) és a szójabab termesztése kevésbé kockázatos az időben állandó variancia miatt. 9

10 Gilbert és Morgan (2010) Rezitis és Stavropoulos (2010) Monika Tothova (2011) Thorne (2012) 1970 és 1980 körül nagyobb volatilitás az élelmiszerárakban, mint az utóbbi időben. Price spike hatása a vártnál kisebb. Volatilitás kockázati tényező Múlt eseményei hatással vannak a jelen varianciájára. Az ír burgonya árakban jelenleg alacsonyabb volatilitás, mint korábban. EU országainak búza árvolatilitása eltérő. Nem várt kormányzati beavatkozások növelik a volatilitást. Figiel és társai (2012) Maitre d Hôtel és társai (2012 Forrás: Szabó, Láthatjuk, hogy vannak kiugró értékek ( spike ). A búza és a kukorica volatilitás értékei eltérőek, kivéve a 2011-es évet, ahol az árak szinte egyformán változtak. Láthatjuk, hogy a volatilitás értékek mindkét termék esetén magasak. 3.ábra: Az évenkénti árvolatilitás alakulása a román gazdaságban a búza és a kukorica esetén Forrás: Román Statisztikai Hivatal adatai alapján A relatív szórás és a historikus volatilitás értékei alapján elmondhatjuk, hogy a termelői oldalon nagy az árak volatilitása, amely kockázati tényezőként jelenik meg a termelési döntéseik meghozatalakor. Az elemzésből kiderül, hogy a mezőgazdaságnak az elmúlt időszakban egyre jelentősebb áringadozással kell szembenéznie, amely tovább növeli a termelők kockázatát. Összehasonlítás 10

11 A következőkben néhány összehasonlítást végeztünk a romániai és a magyarországi gazdaságok között. Megfigyelhettünk egy együttmozgást az árak alakulásában, valamint láthattuk azt, hogy Románia sokkal többféle gabonafélét termeszt, mint Magyarország. 4.ábra: A búza árának alakulása Románia és Magyarország esetén euró/100kg-ban kifejezve között Forrás: Eurostat adatai alapján Láthatjuk a fenti ábrán, hogy az búza árfolyamának mozgásai többnyire megegyezőek, 1990-től kezdődően a búza árfolyama minden évben magasabb volt Romániában, mint Magyarországon re a búza 100 kilogrammonkénti ára már sokkalta kisebb mértékben tért el a két ország esetén. Itt is számtalan árcsúcsot figyelhetünk meg mindkét ország esetén. A kukorica esetén is hasonlót tapasztaltunk, hogy Romániában folyamatosan magasabb volt a kukorica árának árfolyama és is megfigyelhetünk egy egyfajta együttmozgást. Következtetések A hallgatók betekintést nyerhettek a hazai mezőgazdasági ágazatba (gabonapiac, árak alakulása), a volatilitás fogalmával való ismerkedés után magyarázó okokat kereshettek az árak volatilitásának és a spike hatások alakulására. Hipotéziseket fogalmaztunk meg, amelyeket a leíró statisztikai módszerekkel próbálunk leellenőrizni, valamint következtetéseket levonni az árak ingadozásáról. Arról, hogy még mit lehetne számolni, szó esett a modellekről, hogy a kiválasztott adatsorunk esetén pontosabb eredményekhez vezetne Robert F. Engle Nobel-díjjal értékelt ARCH és annak továbbfejlesztett GARCH modelljeivel való becslése az időben változó volatilitásnak (Engle, 1982). Láthattuk a korlátainkat is: az elemzésünk során havi adatokkal rendelkeztünk, de ahhoz hogy pontosabb eredményt kapjunk 11

12 az árváltozékonyságáról, jó lett volna napi vagy heti adatokkal rendelkezni. Közben szakirodalmat kerestünk és tanultunk meg felhasználni. Köszönetnyilvánítás Köszönet dr. Fogarasi József docens kollégámnak, aki szakmai segítséget nyújtott a közgazdasági elemzés során és akinek közreműködése által interdiszciplináris jellegű lett a kutatásunk. Hivatkozott források: [1] Cooke, B. és Robles, M.: Recent food price movements: a time series analysis - IFPRI Discussion Paper, Washington, DC, [2] Csaba László: Kérdőjelek a közgazdaságtanban és oktatásában, Közgazdasági Szemle Vol. 60 No.1, January, pp , [3] Engle Robert F.: Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica 50. pp , [4] Gilbert, C. L. és Morgan, C. W.: Has food price volatility risen, University of Trento, Italia, Department of Economics Working Papers 01/2010. [5] Polgárné Hoschek Mónika: Statisztikai idősorelemzés a tőzsdén, Doktori értekezés, Nyugat-magyarországi Egyetem, Sopron, [6] Policy Responses: Price Volatility in Food and Agricultural Markets, Policy Report including contributions by FAO, IFAD, IMF, OECD, UNCTAD, WFP, the World Bank, the WTO, IFPRI and the UN HLTF, [7] Ramanathan, R.: Bevezetés az ökonometriába alkalmazásokkal, Panem kiadó, Budapest, [8] Simonovits, A.: Szubjektív gondolatok a közgazdaságtanról, Közgazdasági Szemle Vol. 60 No.3, March, pp , [9] Szabó Lehel: Árvolatilitás alakulása a román gazdaságban, MSc dolgozat. [10] Tóthné Dr. Lőkös Klára: Leíró statisztika, GIK Kiadó, Gödöllő, [11]Tothova, M.: Main Challenges of Price Volatility in Agricultural Commodity Markets, In: Isabelle, Piot-Lepetit Robert M Barek: Methods to Analyse Agricultural Commodity Price Volatility, Springer New York Dordrecht Heidelberg London, [12] Zsembery Levente: A volatilitás előrejelzése és a visszaszámított modellek, Közgazdasági Szemle, L. évf., június ( o.) [13] [14] [15] Debrenti Edith, PhD, egyetemi adjunktus 12

13 Partiumi Keresztény Egyetem Nagyvárad, Közgazdaságtudományi Kar (Partium Christian University Oradea, Faculty of Economic Sciences) Oradea str. Primariei nr. 36 Romania, 13

14 14