A kvantum-kommunikáció leírása sűrűségmátrix segítségével

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A kvantum-kommunikáció leírása sűrűségmátrix segítségével"

Margit Barta
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 LOGO A kvantum-kommunikáció leírása sűrűségmátrix segítségével Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar

2 Hogyan tekinthetünk a sűrűségmátrixokra? Zaos kvantumrendszerek kvantumállapotra gyakorolt hatásának általános leírására alkalmazzuk. I. Részecske szemlélet p, II. Részrendszer szintű leírás III. Általános megközelítés

hatásának általános leírására alkalmazzuk. I.

3 A sűrűségmátrix Mi a sűrűségmátrix? Matematikai eszköz az egyszerűbb kezelhetőség érdekében Absztrakció, amellyel könnyebben leírhatuk a kvantum-za hatását Kvantum-hibaavítás lépéseit Összefonódott kvantumállapotokat Kvantum-kommunikációs protokollokat érdemes foglalkozni vele? Igen, a kvantumrendszerek leírását és irányíthatóságát nagymértékben leegyszerűsíti és könnyebbé teszi.

leírhatuk a kvantum-za hatását Kvantum-hibaavítás lépéseit Összefonódott kvantumállapotokat

4 Sűrűségmátrix I. Részecske szintű leírás

5 I. Részecske szemlélet A kvantumállapot előfordulási valószínűsége legyen p. Az állapotot a P proektorokkal mérhetük meg: k A k kimenetel valószínűsége: k = Pr = = Sűrűségmátrixokkal : k k k p ( k ) P k p p ( ) Pk tr. ( ρp ) A k kimenetel valószínűsége: k = tr, ahol ρ p sűrűségmátrix. A ρ sűrűségmátrix teles mértékben meghatározza a mérések lehetséges kimeneteleit. k

Sűrűségmátrixokkal : k k k p ( k ) P k p p ( ) Pk tr.

6 Néhány példa kvantumbitek leírására Legyen = 0, 1 valószínűséggel: Legyen = ρ = 0 0 = [ 1 0 ]. 0 = 0 0 1, 1 valószínűséggel: Legyen = ρ = 1 1 = [ 0 1 ]. 1 = i 1, 1 valószínűséggel i 1 0 i i ρ = = [ 1 i ] = i 2 i 1

0 = 0 0 1, 1 valószínűséggel: Legyen = 0 0 0 ρ = 1 1 = [ 0 1 ].

7 Az állapot p valószínűséggel legyen = 0, és 1 p valószínűségge l = 1 () ( 1 p) Ekkor ρ = p p 0 = p ( 1 ) p 0 1 = 0 1 p Mérünk 0, 1 bázisban: Pr ( 0 ) tr 0 1 ( 0 0 ) [ 1 0 p = ρ = ] 0 1 p 0 = p. Illetve, Pr 1 Kvantumbit leírása = 1 p.

0 0 + p 0 1 = 0 1 p Mérünk 0, 1 bázisban: Pr ( 0 ) tr 0 1 ( 0 0

8 Egyszerűbb leírásmód A kvantumállapotunk legyen a következő: 0 : p = 0.1 1: p = : p = : p = i 1 : p = i 1 : p = Leírható egyetlen sűrűségmátrixszal, hiszen a 0 és 1 kimeneti kvantumállapotok valószínűségeinek összege ½. 1 0 ρ 2 = 1 0 2

9 Unitér transzformációk leírása A kiindulási állapot p valószínűséggel legyen a kvantumállapot. A rendszer változását leíró transzformáció legyen U. A transzformáció utáni állapot p valószínűséggel U. A rendszer kiindulási sűrűségmátrixa: ρ = A transzformáció utáni végleges sűrűségmátrix ρ' = p. 2 APauli-transzformációkra: UU = U = I. p. ( p ) U = U U U U. ρ' = UρU.

A transzformáció utáni állapot p valószínűséggel U.

10 Unitér transzformációk leírása A rendszerünk állapota p valószínűséggel = 0, illetve 1-p valószínűséggel = 1. p 0 Ekkor: ρ =. 0 1 p Hatsunk végre egy X transzformációt az állapoton. Így: 1 p 0 ρ' = X ρx =. 0 p

11 Unitér transzformációk leírása Legyen adott = 0 és = 1, egyaránt 1 valószínűséggel. 2 I Ekkor: ρ = 2. Telesen kevert állapot Ekkor, bármilyen U unitér transzformációt követően: I I ρ ' = U U =. 2 2

12 Milyen mátrixokat használhatunk sűrűségmátrixként? A sűrűségmátrixunk legyen: ρ = p. ( ) Ekkor: tr( ρ) = p tr = p = 1 Bármilyen a vektorra: a ρ a = p a a = p a 2 0 Összefoglalva : ( ρ) Telesülön a tr =1 feltétel, illetve a ρ pozitivi tása.

13 I. Részecskeszemlélet: összefoglalás A p valószínűséggel előforduló kvantumállapot sűrűségmátrixa: ρ p. Időfelődés: ρ ρ' = UρU. Mérés: A mérést a Pk proektorral adhatuk meg, A mérés kimenetele: tr ( Pk ρ ) valószínűséggel k. A P ρp ρ ' k k rendszer mérés utáni állapota: k =. tr ( Pkρ Pk) Szükséges feltétele k: tr ( ρ ) =1, és a ρ mátrix pozitív mátrix. A feltételeket figyelembe véve, a állapot és p valószínűség mellett ρ= p.

Mérés: A mérést a Pk proektorral adhatuk meg, A mérés kimenetele: tr ( Pk ρ ) valószínűséggel k.

14 Egy-kvantumbites za fellépése

15 Kvantumza modellezése X Az X-kapu p valószínűséggel aktivizálódik. ( 1 p) ( p p p ) ρ = p X X + ( 1 p) = px ρx + Sűrűségmátrix használatának előnye: Egyszerűsített elölésmód. Komplexebb rendszer leírása állapotvektorokkal bonyolult, nehezen kezelhető. ρ

16 Kvantumza modellezése X Az ideális kimenet: X. ( ) px X + ( 1 p) ρ E ρ ρ ρ Az a és b állapotok összehasonlítása azok F(a,b) minőségén (azonosságát) keresztül: Fab (, ) ab. Azonos állapotokra = 1, Telesen eltérőekre = 0. Az a állapot és σ = p φ φ minőségének meghatározása: F ( a, σ ) a σ a.

F(a,b) minőségén (azonosságát) keresztül: Fab (, ) ab.

17 Az X kapu "minősége": XE = XpX ( ) F( X, E ) = = ( ) X ( 1 p) ( 1 p) X + = p + X X X = p + ( 0 1 / 2) ( 1 p)( X ) 2 A minőség maximális értéke = 0 bemenet mellett p, = + bemenet mellett pedig 1 lehet X 0 = 1 ; ( ) X ( ) = ( )

18 II. Részrendszer szintű leírás

19 A parciális trace meghatározása: trb a a b b a a tr b b = b b a a = 1 a a = a a. ( ) ( ) Tetszőleges mátrixokra kiteresztve: A B Parciális trace meghatározása ( ) * = α α klm = αkl k tr k l, ha B kl ml Példa: Legyen adott a b. Ekkor: ρ = tr a a b b = b b a a = a a. ( ) kl l.

kiteresztve: A B Parciális trace meghatározása ( ) * = α α klm = αkl k tr k

20 Részrendszer szintű leírás = kl α kl k l P proektor A B ( P ) ρa ( ) Pr( ) = tr, ahol ρ tr α α klm kl * ml k l ahol A ρ A az A részrendszer redukált sűrűségmátrixa. Az A rendszer mérésének kimenetelét meghatározó ellemzők az ρ sűrűségmátrix alapán telességgel megadhatóak.

21 Példa : Részrendszer szintű leírás 1 Legyen = ( ). Az első ( A) rendszer 2 redukált sűrűségmátrixa : A B ( ) ρ = tr = = = ( ) + ( 00 11) + ( ) + ( 11 11) tr tr tr tr B B B B Alice nézőpontából a 0 I és az 1 állapot előfordulási 2 valószínűsége is 1 2. A transzformált, bemért részrendszerek részecske-szinten kezelhetőek.

22 Részrendszer szemléletmód = kl α kl k l ( P ρ ) (( ) ) * ( ) αklαmn ( ) * * kl mn klm kl ml * kl ml A ( P k l ) ( ) Pr( ) = tr P I = tr P I k l m n klmn klm tr, tr klmn = α α l n P I k m = α α l P k = = P α α proektor redukált sűrűségmátrixa. * ahol ρa αklαml k l az A rész-r klm endszer

23 III. Általános obektum szemlélet

24 III: Általános obektum szemlélet Egy kvantumrendszert leíró sűrűségmátrix egy pozitív mátrix, egységnyi trace-el A p valószínűségű ρ állapot sűrűségmátrixa: p ρ. Zárt kvantumrendszer dinamikáa: ρ ρ' ρ. Teles kvantumrendszer leírása: részrendszerek tenzor-szorzatával. Részrendszer meghatározása: a teles rendszer maradék részrendszere szerint vett trace segítségével ' k ( ρ ) A P proektorral elvégzett mérés kimenetele k, tr P valószínűséggel. k A mérés utáni állapot: ρ = P ρp k k tr ( P ). kρpk = U U k

25 Sűrűségmátrix alkalmazása: A kvantum-teleportációs protokoll leírása

26 Fény teredésénél gyorsabb információcsere?

27 Fény teredésénél gyorsabb információcsere? A rendszer kezdeti állapota: Bob kezdeti redukált sűrűségmátrixa megegyezik a Bell-állapotra kapható redukált sűrűségmátrix értékével: ρ = B I 2. 2

28 Fény teredésénél gyorsabb információcsere? Alice elküldi Bobnak a kvantumbit visszaállításához szükséges klasszikus információt. Bob állapota a transzformáció ismeretét megelőzően: B + B Z + B X + B XZ Azaz : 1 valószínűséggel: B1 4 ; 1 valószínűséggel: B2 4 Z ; 1 valószínűséggel: B3 4 X ; 1 valószínűséggel: B4 4 XZ.

29 Fény teredésénél gyorsabb információcsere? Bob végleges redukált sűrűségmátrixa: ρ ' B = ( B B + ) tr... A * 2 * 2 * 2 * α αβ α αβ β α β β α β * 2 * 2 * 2 * 2 αβ β αβ β αβ α αβ α = 4 I = 2.

30 Fény teredésénél gyorsabb információcsere? Bob redukált sűrűségmátrixa azonos az Alice Alice mérése előtti és utáni sűrűségmátrixával. Bob bármilyen, a saát részrendszerén végrehatható méréssel ugyanannyi információhoz ut Alice mérését követően, mint azt megelőzően!

Hasonló dokumentumok

Kvantum-kommunikáció komplexitása I.

LOGO Kvantum-kommunikáció komplexitása I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Klasszikus információ n kvantumbitben Hány klasszikus bitnyi információ nyerhető ki n kvantumbitből? Egy