Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok"

Oszkár Bakos
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok Recski András Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

3 A végtelen sokféle szabályos sokszög közül csak hárommal lehet a síkot parkettázni vagy csempézni.

6 Paolo Uccello ( ) Mozaikpadló (1425 körül), Szent Márkszékesegyház, Velence

7 M. C. Escher ( ) Zwaartekracht (1952)

9 M. C. Escher ( ) Zwaartekracht (1952)

10 Luca Pacioli De Divina Proportione 1509

11 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül szabályos poliéderek 17. szd. analítikus geometria 19. szd. eleje konvex poliéderek 19. szd. közepe gráfok színezése 19. szd. vége rúdszerkezetek, villamos hálózatok, Boole-algebrák 20. szd. eleje 2-izomorfia, matroidok 20. szd. közepe lineáris programozás

szd. vége rúdszerkezetek, villamos hálózatok, Boole-algebrák 20. szd.

12 Mióta ismerjük a dualitás elvét?

13 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül szabályos poliéderek

15 A szokásos bizonyításban

16 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül szabályos poliéderek 17. szd. analítikus geometria

17 R. Descartes,

18 Mikor merıleges két egyenes?

19 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül szabályos poliéderek 17. szd. analítikus geometria 19. szd. eleje konvex poliéderek

20 S. A. J. Lhuilier,

21 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül szabályos poliéderek 17. szd. analítikus geometria 19. szd. eleje konvex poliéderek 19. szd. közepe gráfok színezése

23 Heawood példája arra, hogy Kempe bizonyítása hibás volt (1890) Robin Wilson, Four Colors Suffice: How the Map Problem was Solved, Princeton University Press, 2002 (Notices of the AMS, February 2004)

24 Kölcsönösen egyértelmő megfeleltetés A gráf lapja a duálisban pontnak felel meg. Az él a duálisban is élnek felel meg. A kör a duálisban vágásnak felel meg. A feszítı fa a duálisban egy feszítı fa komplementerének felel meg.

25 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül szabályos poliéderek 17. szd. analítikus geometria 19. szd. eleje konvex poliéderek 19. szd. közepe gráfok színezése 19. szd. vége rúdszerkezetek, villamos hálózatok, Boole-algebrák

26 Luigi Cremona ( )

29 Gustav Kirchhoff,

30 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül szabályos poliéderek 17. szd. analítikus geometria 19. szd. eleje konvex poliéderek 19. szd. közepe gráfok színezése 19. szd. vége rúdszerkezetek, villamos hálózatok, Boole-algebrák 20. szd. eleje 2-izomorfia, matroidok 20. szd. közepe lineáris programozás

31 R 2 R 4 U 1 R 3 U 5 Fig. 1 Fig A 2 kivezetéső alkatrészeket (például az ellenállásokat, a feszültségforrásokat) egy gráf éleivel modellezzük.

32 R 2 R 4 U 1 R 3 U 5 Fig. 1 Fig A 2 kivezetéső alkatrészeket (például az ellenállásokat, a feszültségforrásokat) egy gráf éleivel modellezzük, a feszültségeik és áramaik közti kapcsolatokat a gráf köreivel, ill. vágásaival írjuk le.

33 R 2 R 4 U 1 R 3 U 5 Fig. 1 Fig i 3 = (R 4 u 1 +R 2 u 5 ) / (R 2 R 3 +R 2 R 4 +R 3 R 4 )

34 Kirchhoff, A hálózat gráfjának a körei mentén a feszültségek (elıjeles) összege zérus. A hálózat gráfjának a vágásai mentén az áramerısségek (elıjeles) összege zérus.

35 Kirchhoff, 1847

36 Kirchhoff, A hálózat gráfjának a körei mentén a feszültségek (elıjeles) összege zérus. A hálózat gráfjának vágásai mentén az áramerısségek (elıjeles) összege zérus.

37 A villamos hálózatok dualitási elve A G gráf helyett vegyük a G* duális gráfot A feszültségforrások helyett vegyünk áramforrásokat és megfordítva Az ellenállások helyett vegyük a reciprok ellenállásokat A kapacitások helyett vegyünk induktivitásokat és megfordítva

38 Így egy N hálózat helyett egy duális N* hálózatot kapunk N* akkor és csak akkor oldható meg egyértelmően, ha N egyértelmően megoldható. Ha N és N* tartalmaznak kondenzátorokat és/vagy tekercseket, akkor a két hálózat szabadsági fokainak a száma megegyezik.

39 A villamos hálózatok dualitási elve A G gráf helyett vegyük a G* duális gráfot A feszültségforrások helyett vegyünk áramforrásokat és megfordítva Az ellenállások helyett vegyük a reciprok ellenállásokat A kapacitások helyett vegyünk induktivitásokat és megfordítva

40 A villamos hálózatok dualitási elve A G gráf helyett vegyük a G* duális gráfot A feszültségforrások helyett vegyünk áramforrásokat és megfordítva Az ellenállások helyett vegyük a reciprok ellenállásokat A kapacitások helyett vegyünk induktivitásokat és megfordítva Minden u bető helyett vegyünk i betőt az egyenletekben és megfordítva

41 Mi a síkbarajzolható irányított gráf duálisa?

42 Mi a síkbarajzolható irányított gráf duálisa?

43 Síkbarajzolható G gráf G* duális gráf Feszültségforrás Áramforrás Ellenállás Tekercs Kondenzátor Áramforrás Feszültségforrás Reciprok ellenállás Kondenzátor Tekercs

44 A klasszikus eredmény általánosítása Kirchhoff idejében csak 2-lábú alkatrészek voltak. Ha egy hálózat feszültség- és áramforrások, és ellenállások mellett komplexebb alkatrészeket is tartalmaz (pl. ideális transzformátorokat, girátorokat, mőveleti erısítıket), akkor mi mondható?

45 Síkbarajzolható G gráf G* duális gráf Feszültségforrás Áramforrás Ellenállás Tekercs Kondenzátor Lineáris sokkapu Áramforrás Feszültségforrás Reciprok ellenállás Kondenzátor Tekercs?

46 Lineáris n-kapu A u + B i = 0 ahol u = (u 1, u 2,..., u n ) T, i = (i 1, i 2,..., i n ) T és (A B) egy n X 2n mérető, n rangú mátrix vagyis n darab független egyenlet kapcsolja össze a 2n darab ismeretlent

47 1. példa Ideális transzformátorok u 2 = k u 1, i 1 = k i 2

48 1. példa Ideális transzformátorok u 2 = k u 1, i 1 = k i 2 k k

49 Egy mátrix duálisa (E A) altér (-A T E) az altér ortogonális komplementere R. Descartes,

50 Egy mátrix duálisa (E A) (-A T E) Vagyis ha az elsı mátrix kxn es és a sorai függetlenek, akkor az n-dimenziós térnek egy k-dimenziós alterét határozzák meg; a második mátrix (n-k)xn es és a sorai az elsı altér ortogonális komplementerét határozzák meg.

51 Egy mátrix(-szal reprezentált matroid) duálisa (E A) (-A T E) Vagyis ha az elsı mátrix kxn es és a sorai függetlenek, akkor az n-dimenziós térnek egy k-dimenziós alterét határozzák meg; a második mátrix (n-k)xn es és a sorai az elsı altér ortogonális komplementerét határozzák meg.

52 1. példa Ideális transzformátorok u 2 = k u 1, i 1 = k i 2 k k

53 1. példa Ideális transzformátorok u 2 = k u 1, i 1 = k i 2 k k 1 k k -1

54 1. példa Ideális transzformátorok u 2 = k u 1, i 1 = k i 2 k k 1 k k -1 u 1 = - k u 2, i 2 = k i 1

55 1. példa Ideális transzformátorok u 2 = k u 1, i 1 = k i 2 u 1 = - k u 2, i 2 = k i 1

56 1. példa Ideális transzformátorok u 2 = k u 1, i 1 = k i 2 u 1 = - k u 2, i 2 = k i 1

57 Síkbarajzolható G gráf G* duális gráf Feszültségforrás Áramforrás Ellenállás Tekercs Kondenzátor Lineáris sokkapu Áramforrás Feszültségforrás Reciprok ellenállás Kondenzátor Tekercs?

58 Síkbarajzolható G gráf G* duális gráf Feszültségforrás Áramforrás Ellenállás Tekercs Kondenzátor Lineáris sokkapu Áramforrás Feszültségforrás Reciprok ellenállás Kondenzátor Tekercs Cseréljük fel u és i szerepét, vagy képezzük a matroidelméleti duálist?

59 Síkbarajzolható G gráf G* duális gráf Feszültségforrás Áramforrás Ellenállás Tekercs Kondenzátor Lineáris sokkapu Áramforrás Feszültségforrás Reciprok ellenállás Kondenzátor Tekercs?

60 Masao Iri R., A kétféle eljárásnak (u és i felcserélése vagy matroidelméleti duális képzése) ugyanaz a hatása?

61 Masao Iri R., A kétféle eljárásnak (u és i felcserélése vagy matroidelméleti duális képzése) ugyanaz a hatása reciprok alkatrészek esetén, de általában nem.

62 Reciprok n-kapuk Az Au+Bi=0 (*) egyenletrendszerrel megadott n-kapu teljesíti a reciprocitási feltételt, ha u 1T i 2 = u 2T i 1 teljesül bármely két olyan (u 1, i 1 ) és (u 2, i 2 ) vektorra, mely kielégíti a (*) egyenletet

63 2. példa Feszültségvezérelt feszültségforrás (VCVS) u 2 = k u 1, i 1 = 0 u és i felcserélése duális matroid képzése i 2 = k i 1, u 1 = 0 u 1 = k u 2, i 2 = 0 CCCS VCVS

64 Masao Iri R., A kétféle eljárásnak (u és i felcserélése vagy matroidelméleti duális képzése) ugyanaz a hatása reciprok alkatrészek esetén, de általában nem. Tehát a villamosságtanban kétféle áramfeszültség szimmetria létezik.

65 n-kapukat és (áram- és/vagy feszültségforrásokat összekapcsolva kapunk egy áramkört vagy n-kapukat összekapcsolva kapunk (egyetlen nagy) N-kaput.

67 n-kapukat és (áram- és/vagy feszültségforrásokat összekapcsolva kapunk egy áramkört vagy n-kapukat összekapcsolva kapunk (egyetlen nagy) N-kaput. terminal solvability

68 Az elızıkhöz hasonlóan itt is kétféle áramfeszültség szimmetria található.

69 Köszönöm a figyelmet recski@cs.bme.hu

Hasonló dokumentumok

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a