Matematika tantárgy osztályozóvizsga, javítóvizsga, különbözeti vizsga leírása

Átírás

1 Matematika tantárgy osztályozóvizsga, javítóvizsga, különbözeti vizsga leírása Írásbeli vizsga: az adott év anyagából különböző nehézségű feladatok megoldása 90 perc elérhető pontszám 80 pont Alkalmazható eszközök az írásbeli vizsgán: függvénytáblázat szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológép körző, vonalzó, szögmérő Szóbeli vizsga: általános csoportokban: definíciók, tételek közvetlen alkalmazását igénylő feladatok megoldása/ matematika tagozaton, matematika fakultáción: definíciók, tételek kimondása, tételek bizonyítása egy adott téma alkalmazása a matematikában, más tudományokban, a hétköznapokban felkészülési idő 30 perc szóbeli felelet 15 perc elérhető pontszám 20 pont Alkalmazható eszközök a szóbeli vizsgán: szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológép körző, vonalzó, szögmérő Értékelés: Az értékelés az írásbeli és a szóbeli vizsgán elért pontszám összeadásával történik jeles 80%-100% jó 60%-79% közepes 40%-59% elégséges 25%-39% elégtelen 0%-24% Tankönyvek: Sokszínű matematika, Mozaik Kiadó Szeged A követelményekről a következő helyen is tájékozódhatsz: _2017.pdf

2 Követelmények évfolyamonként A dőlt betűs rész csak a matematika tagozatra és fakultációra vonatkozik. 9. évfolyam Halmazok Halmazok, részhalmazok, üres halmaz, halmazok egyenlősége, halmaz megadási módok Halmazműveletek: Unió, metszet, különbség és tulajdonságai Komplementer képzés és tulajdonságai, de Morgan összefüggések Véges és végtelen halmaz, véges halmaz elemeinek a száma Példa véges, megszámlálhatóan végtelen, és nem megszámlálhatóan végtelen halmazra Megszámlálhatóan végtelen halmaz fogalma; bizonyítása egyszerűbb esetekben Koordinátarendszerben ponthalmazok ábrázolása Logikai szita alkalmazása A valós számkör,(n, Z, Q, Q R),adott műveletre zárt számhalmaz Valós számok és a számegyenes kapcsolata, Intervallumok Kombinatorika Sorbarendezési, kiválasztási problémák Permutációk, variációk, kombináció (ism. nélk.), képletek is Pascal háromszög és alapvető tulajdonságai Algebra és számelmélet Alapműveletek, műveleti azonosságok (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás) Oszthatóság: osztó, többszörös, prímszám, összetett szám, relatív prím Oszthatósági szabályok: 10 hatványira, ill. 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra A számelmélet alaptétele és alkalmazása Megfogalmazás: Számelmélet alaptétele, Bizonyítás: végtelen sok prímszám van Pozitív osztók számának meghatározása Összetett oszthatósági feladatok Legnagyobb közös osztó és alkalmazásai Legkisebb közös többszörös és alkalmazásai Számok átírása 10-es alapú számrendszerből 2 alapú számrendszerbe és viszont Számok átírása 10-esből n alapú (n <= 9) számrendszerbe és viszont, összeadás, kivonás Racionális, irracionális szám fogalma, tizedestört alak, Egész kitevőjű hatványok, hatványozás azonosságai Bizonyítás: hatványozás azonosságai egész kitevőre A számok normál alakja, számolás normálalakkal Algebrai egész kifejezések Polinom fokszáma, fokszám szerinti rendezés Nevezetes azonosságok, szorzattá alakítások (a + b) 2 ; (a - b) 2 ; (a + b) 3 ; (a - b) 3 ; a 2 - b 2 ; a 3 - b 3, a n -b n, a 2n+1 +b 2n+1 szorzat alakja Algebrai törtek

3 Függvények Arányosság: egyenes, fordított, grafikus ábrázolás Függvénytani alapfogalmak: ÉT, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, ÉK Függvénytani fogalmak pontos definíciója Függvény leszűkítése, kiterjesztése Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, inverz fgv szemléletes jelentése, inverz fgv fogalma Egyszerű függvény esetén f(x)=c alapján x-t meghatározni Lineáris függvény Másodfokú függvény Abszolútérték függvény Négyzetgyök függvény Lineáris törtfüggvény Függvényábrázolás transzformációkkal:f(x)+c, f(x+c), c f(x) Grafikon alapján függvény jellemzés: ÉK, Zh, növekedés, fogyás, szélsőérték Elemi függvények transzformáltjainak ábrázolása: c f(ax+b)+d Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Alaphalmaz, megoldáshalmaz Elsőfokú egyenletek megoldása: grafikus módszer, szorzattá alakítás, mérleg-elv, ÉT, ÉK vizsgálat Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel: életkorral, számokkal, arányossággal, százalékszámítással, mozgással, együttes munkavégzéssel, geometriai számításokkal kapcsolatos feladatok Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek: grafikus módszer, helyettesítési módszer, egyenlő együtthatók módszere, új ismeretlen bevezetése Egyenlőtlenségek: elsőfokú, törtes, egyszerű egyenlőtlenség rendszer ax+b =cx+d típusú egyenletek Összetett abszolútértékes egyenlet algebrai megoldása Paraméteres elsőfokú egyenlet Elsőfokú, háromismeretlenes egyenletrendszer Geometria Bevezetés a geometriába, térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge Kitérő egyenesek szöge, távolsága Parabola fogalma Szög fogalma, nevezetes szögpárok, szakaszfelező merőleges, szögfelező Összefüggés a háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között A háromszögek nevezetes pontjai, vonalai, körei, bizonyítás, Háromszög területe, T=s r bizonyítással, Héron képlet, Pitagorasz-tétel és megfordítása, bizonyítás Thalesz-tétel, megfordítás, bizonyítás Négyszögek típusai és tulajdonságai, területei, Húrnégyszögek, érintő négyszögek tételének bizonyítása Sokszögek tulajdonságai, szabályos sokszögek területe Konvex sokszög átlóinak száma, belső, külső szögösszeg tételek bizonyítása Kör és részei Kör, körcikk, körszelet területe

4 Kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra bizonyítás, külső pontból húzott érintő szakaszok egyenlő hosszúak bizonyítás Szög mérés fokban, radiánban Középponti szög arányos a körívvel, ill. a körcikk területével Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) Geometriai transzformáció és a függvény kapcsolata Egybevágósági trfó-k definíciói Az egybevágóság fogalma Háromszögek egybevágósága, egybevágósági tételei Alakzatok egybevágósága Síkidomok, sokszögek egybevágósága Vektorok Vektorok fogalma, abszolútértéke, nullvektor, ellentett vektor, Vektorok összege, különbsége, számszorosa Statisztika Mintavétel Adatsokaságok és jellemzőik: módusz, medián, átlag, terjedelem Adatok ábrázolása: oszlopdiagram, kördiagram Adatok táblázatba rendezése Gyakorisági diagram Relatív gyakoriság Súlyozott számtani közép Átlagos abszolút eltérés Szórás

5 10. évfolyam Gondolkodási módszerek Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel Állítás és megfordítása Skatulya-elv Permutáció (ismétlés nélküli és ismétléses) Variáció (ismétlés nélküli és ismétléses) Kombináció Bizonyítási módszerek: direkt, indirekt bizonyítás Logika: negáció, konjukció, diszjunkció; logikai táblázatok; kapcsolat a halmazműveletekkel; implikáció, ekvivalencia Minden, van olyan kvantorok Gráfelméleti fogalmak: gráf, pont, él, fokszám, egyszerű gráf, összefüggő gráf, komplementer gráf, teljes gráf, út, vonal, séta, kör, Euler-vonal, Hamilton-kör; fagráfok Négyzetgyök, n-edik gyök Racionális és irracionális számok A gyökkettő irracionális szám A négyzetgyök fogalma és azonosságai Gyökös kifejezések átalakításai: tényező kihozatala a gyökjel alól, alkalmazás Tényező bevitele a gyökjel alá, alkalmazás Tört nevezőjének gyöktelenítése Az n-edik gyök fogalma és azonosságai, alkalmazása A törtkitevőjű hatvány fogalma, permanencia elv A másodfokú egyenlet A másodfokú függvény, ismétlés Egy másodfokú kifejezés teljes négyzetté alakítása Hiányos másodfokú egyenletek és megoldásuk A másodfokú egyenlet megoldóképlete, a diszkrimináns fogalma Gyöktényezős alak, törtek egyszerűsítése Viéte-formulák (gyökök és együtthatók közti összefüggés) Paraméteres másodfokú egyenletek Másodfokú egyenlőtlenségek Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek Másodfokú egyenletrendszerek Négyzetgyökös egyenletek Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok Szélsőérték-feladatok Két pozitív szám számtani és mértani középe, négyzetes, harmonikus közép, összefüggések közöttük A kör Kör részei: körív, körcikk, körszelet, körgyűrű Középponti és kerületi szögek tétele Kerületi szögek tétele, látószögkörív Húrnégyszögek definíciója, tétele Szögek ívmértéke: radián

6 Hasonlóság Párhuzamos szelők tétele és a tétel megfordítása, szakasz felosztása adott arányú részekre A szögfelező tétel Párhuzamos szelőszakaszok tétele A középpontos hasonlóság és tulajdonságai: alkalmazza a középpontos nagyítást, kicsinyítést egyszerű, gyakorlati feladatokban Hasonlósági transzformációk Hasonlóság, háromszögek hasonlósági tételei, alkalmazása feladatokban Merőleges vetítés Magasságtétel Befogótétel A körhöz külső pontból húzott érintő- és szelőszakaszok tétele, a körhöz külső pontból húzott szelőszakaszok tétele, körhöz belső pontból húzott szelőszakaszok tétele Hasonló síkidomok területének az aránya Hasonló testek térfogatának, felszínének aránya Szögfüggvények Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciója derékszögű háromszögben, alkalmazása feladatokban Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között Pótszögek szögfüggvényei, Pitagoraszi azonosság, A háromszög területe, összefüggés a háromszög oldala, szemközti szöge, köré írt kör sugara között Néhány nevezetes szög szögfüggvényeinek pontos értéke Szögfüggvények általánosítása: a szögfüggvények értelmezésének kiterjesztése tetszőleges nagyságú szögre Tulajdonságok Geometriai alkalmazások A háromszögek területére vonatkozó további képletek Trigonometrikus függvények: ábrázolás, elemzés, transzformációk Egyszerű trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása grafikusan is sinx=siny; cosx=cosy; tgx=tgy; ctgx=ctgy Másodfokúra vezető trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek megoldása szorzattá alakítással Összetett trigonometrikus egyenletek Vektorok A vektor fogalma Nullvektor, ellentett vektor Műveletek vektorokkal: összeadás, kivonás, számmal való szorzás Vektorok felbontása adott irányú összetevőkre Vektorok koordináta-rendszerben Valószínűségszámítás Események Műveletek eseményekkel Kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség A valószínűség klasszikus modellje

7 11. évfolyam Kombinatorika Sorbarendezések: permutációk, ismétléses permutációk Kiválasztás és sorbarendezés: variációk, ismétléses variációk Kiválasztás: kombinációk A Pascal-háromszög, Newton binomiális tétele Gráfok Pontok, élek, fokszám A gráf pontjainak fokszámösszege és éleinek száma közötti összefüggés Teljes gráf Konkrét szituációk szemléltetése gráfokkal Többszörös él, hurokél Séta, vonal, út, kör Összefüggő gráf, egyszerű gráf Fagráfok és tulajdonságai Hatvány, gyök, logaritmus Racionális kitevőjű (törtkitevőjű) hatványok Irracionális kitevőjű hatványok Exponenciális függvények Exponenciális egyenletek Exponenciális egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek A logaritmus fogalma A logaritmus függvény A logaritmus azonosságai: szorzat, hányados, hatvány, gyök logaritmusa Áttérés más alapra Logaritmusos egyenletek Logaritmusos egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Az exponenciális és logaritmus függvények egymás inverzei Trigonometria Két vektor skaláris szorzata, tulajdonságok Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között: A szinusztétel és alkalmazásai A koszinusztétel és alkalmazásai Trigonometrikus összefüggések és számítások Addíciós tételek Trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus egyenlőtlenségek Koordinátageometria Műveletek helyvektorok koordinátáival: összegvektor, különbségvektor koordinátái, vektor konstansszorosának koordinátái Koordinátáival adott két vektor skaláris szorzatának kiszámítása Vektor abszolútértékének kiszámítása Két pont távolsága, szakasz hossza Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjainak koordinátái

8 Szakaszt m:n arányban osztó pontjainak koordinátái Háromszög súlypontjának koordinátái Az egyenes helyzetét jellemző adatok, összefüggések ezek között (irányvektor, normálvektor, iránytangens, irányszög) Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele Különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenlete: irányvektoros, normálvektoros, iránytangenses egyenlet Egyenesek metszéspontjainak meghatározása Egyenesek hajlásszögének meghatározása A kör egyenlete Kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontjának és sugarának meghatározása Kör és egyenes metszéspontjainak meghatározása A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet kapcsolata Két kör kölcsönös helyzetének meghatározása, metszéspontjainak felírása Külső pontból húzott érintő egyenletének felírása A parabola definíciója, fókuszpontja, vezéregyenese A parabola egyenlete A parabola érintője Valószínűségszámítás Valószínűségek kiszámítása visszatevés nélküli mintavétel (hipergeometrikus eloszlás) és visszatevéses mintavétel (binomiális eloszlás) esetén Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége Feltételes valószínűség, függetlenség, függőség Geometriai valószínűség Várható érték, szórás fogalma és kiszámítása a diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén Sorozatok A sorozat fogalma, megadása, ábrázolása Korlátos és monoton sorozatok A konvergencia fogalma Konvergens sorozatok és tulajdonságaik Nevezetes sorozatok konvergenciája A végtelen mértani sor fogalma, összege Differenciálszámítás A függvények végesben vett véges, a végtelenben vett véges és a tágabb értelemben vett határértékének szemléletes fogalma A folytonosság szemléletes fogalma A függvény differencia- és differenciálhányadosának definíciója Deriválási szabályok Az (x n ) =nx n-1 összefüggés bizonyítása Alkalmazza a differenciálszámítást: - érintő egyenletének felírására, - szélsőérték-feladatok megoldására, - polinomfüggvények (monotonítás, szélsőérték, konvexitás) vizsgálatára

9 12. évfolyam Sorozatok A sorozat általános fogalma, számsorozatok A számtani sorozat: definíció, általános tag, az első n tag összege A mértani sorozat: definíció, általános tag, az első n tag összege Alkalmazások, szöveges feladatok Kamatos kamat számítások Bizonyítsa a számtani és mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggéseket, valamint az összegképletet Tudjon gyűjtőjáradékot és törlesztőrészletet számolni. Integrálszámítás Függvénygörbe alatti terület közelítése alsó és felső közelítő összegekkel (folytonos függvényekre) A határozott integrál fogalma és tulajdonságai A határozott integrál és a görbe alatti terület kapcsolata Az integrálfüggvény és a primitív függvény fogalma A Newton-Leibniz-tétel Feladatok az integrálszámítás alkalmazására Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás Síkidomok kerülete, területe Hasáb, forgáshenger, gúla, forgáskúp, csonka gúla, csonka kúp, gömb felszíne és térfogata egyszerű feladatokban Bizonyítsa a háromszög területének kiszámítására használt képleteket, továbbá ismerje és alkalmazza az alábbi összefüggéseket: T=s*r (bizonyítással) T=(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))0,5 Bizonyítsa nevezetes négyszögek és szabályos sokszögek területképleteit. Bizonyítsa a csonkagúla és csonkakúp térfogatképletét. Matematikai logika Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Értse, és egyszerű feladatokban alkalmazza a tagadás műveletet. Ismerje az és, a (megengedő) vagy logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel Tudja a ha akkor és az akkor és csak akkor típusú állítások igazságértékét megállapítani. Használja helyesen a minden és a van olyan kifejezéseket. Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Használja és alkalmazza feladatokban helyesen a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltétel fogalmát. Képes legyen egyszerű állításról eldönteni, hogy igaz vagy hamis. Ismerje az alábbi bizonyítási típusokat és tudjon példát mondani alkalmazásukra: direkt és indirekt bizonyítás, skatulyaelv, teljes indukció. Tudja megfogalmazni konkrét esetekben tételek megfordítását.

10 Statisztika Statisztikai adatok, adatrendezés Grafikonok Statisztikai közepek: számtani közép, módusz, medián Statisztikai szóródások: terjedelem, szórásnégyzet, szórás Tudja és alkalmazza a következő fogalmat: osztályba sorolás Tudja a szórást kiszámolni adott adathalmaz esetén a definició alkalmazásával vagy számológéppel Ismétlés A négy év anyaga, az érettségi követelményekről tájékozódni a következő helyen lehet: _2017.pdf