A biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével Abonyi-Tóth Zsolt, 2005-2006 készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi Norbert tananyagainak a felhasználásával

Miért fontos a valószínűségszámítás és a statisztika? Mert el szeretnénk dönteni, hogy egy-egy konkrét esetben szerencsénk volt-e, pechünk volt-e, vagy épp a várható módon történt minden. o Ahogy odaértünk a megállóba, fél percen belül jött a busz. o Öt percet kellett várnunk a megállóban a buszra. Mert el szeretnénk dönteni, miért mennyit érdemes kockáztatni. o Minden második telefonáló 500 Ft-os könyvutalványt kap. A szerencsés nyertes pedig millió forinttal lesz gazdagabb. A hívás díja 800 Ft + ÁFA. o Melyik az a légitársaság, amelyikkel a legolcsóbban jutok el Londonba úgy, hogy nem késem le a koncertet?

Mert el szeretnénk dönteni, elhiggyünk-e valamit, amit olvasunk, vagy hogy észrevegyük, hol van benne a hiba. o A megkérdezettek 40%-a egyetért az Önkormányzat döntésével, 45%-a ellenzi azt, 0%-uk pedig nem nyilatkozott a kérdésről. o Az intelligenciatesztek során a gyerekek minden megyében jobb eredményt értek el az országos átlagnál. o A vizsgálati eredmények nem állnak ellentmondásban azzal a feltételezéssel, hogy az új és a hagyományos módszer esetén azonos a gyógyulási arány. Mert a vizsgálataink alapján olyan állításokat szeretnénk megfogalmazni, amelyek megfelelnek a valóságnak. o Hatásosabb-e az éppen tesztelt új gyógyszer? o Javítja-e a cukorbeteg kutyák állapotát a vizsgált táplálék-kiegészítő? o A májenzimszintek vizsgálatával előre megadható, hogy az állat reagál-e a gyógyszeres kezelésre?

Valószínűségszámítás Sok egyformán valószínű kimenetel esetén a kimenetelek számától függ egy esemény valószínűsége. kedvező esetek / összes esetek (néha nem éppen kedvező ) Példák: kockadobás : 6 szám, mind egyformán valószínű mindnek 6 a valószínűsége két kocka: 6 6 = 36 számpár mindegyiknek 36 a valószínűsége két kockán a két szám összege 0, annak 36 3 a valószínűsége (4+6, 5+5, 6+4) o Miért van a 4+6 és a 6+4 így is, úgy is, és az 5+5 csak egyszer?! tételhúzás (I. rész 9, II rész 8 tétel): 9 8 = 72 pár minden párnak a valósz. 72

Valószínűségi modellek Modellnek nevezzük azoknak a feltételezéseknek az együttesét, amelyek a keretet adják egy valószínűségszámítási vagy statisztikai probléma megoldásához, vagyis amelyeken a számolások alapulnak. Ezeket gyakran csak hallgatólagosan feltételezzük (azonban helyesebb, ha kimondjuk). Példa: Mennyi a valószínűsége, hogy egy pénzérmével egymás után négy fejet dobunk? Hallgatólagos feltételezések: az érme szabályos, azaz a fej valószínűsége minden egyes dobásnál 2 az egyes dobások eredménye egymástól független A feltételezéseken alapuló megoldás: 2 2 2 2 = 6

Példa: Mennyi a valószínűsége, hogy négy nővér közül először a legidősebb megy férjhez, másodszor a második legidősebb, és így tovább? Hallgatólagos feltételezés: minden lehetséges sorrend egyformán valószínű A feltételezésen alapuló megoldás: 24 Realisztikus? Elfogadható? Ha már megvan a modell, a számítások nem nehezek (egy matematikus is segíthet), nehezebb egy valósághű modellt találni (abban a matematikus sem sokat tud segíteni).

A legfontosabb modell-típusok (hallgatólagos feltételezések) A klasszikus valószínűségi modell Feltesszük, hogy van néhány véges sok olyan esemény (atom, kimenetel, elemi esemény), amelyekből a kísérlettel kapcsolatos összes esemény felépíthető, feltesszük továbbá, hogy ezek mind egyenlően valószínűek. Lásd a fenti példákat (kockadobás, tételhúzás, sorrend). Gyakran szimmetria-megfontolások alapján választjuk ezt a modellt. Itt az esetek összeszámlálására a kombinatorika módszereit és eredményeit használjuk: klasszikus ~ elemi ~ kombinatorikus valószínűségszámítás.

A tapasztalati (empirikus) valószínűségi modell Sokszor megfigyeljük a történést vagy sokszor megismételjük a kísérletet, és az egyes eseményekhez a megfigyelt relatív gyakoriságuk szerint rendelünk hozzá valószínűségeket. Szubjektív valószínűségek Ha sem a klasszikus modell nem használható (mert semmi okunk nincs feltételezni, hogy egyenlő valószínűségű elemi események lennének a vizsgált folyamatban), sem pedig ismételt megfigyelésre nincs módunk (ilyen helyzetek például: tőzsdei döntések, állás elnyerésének, háború kitörésének esélyei stb.) akkor jobb híján kiindulhatunk az esélyek szubjektív megítéléséből is.

Kombinatorika Véges sok objektum (nem mindig egy halmaz elemei, néha egyenlők is lehetnek közöttük!) közül bizonyosak kiválasztása és/vagy sorba rendezése. Mindig gondolhatjuk úgy, hogy az objektumok természetes számok (hiszen megszámozhatjuk őket). Permutáció (csak sorba rendezés, az összes objektumot felhasználjuk) Ismétlés nélküli a permutáció, ha az objektumok mind különbözők. Ismétléses a permutáció, ha az objektumok között vannak azonosak. Példák: Az, 2, 3, 4, 5 számok egy permutációja: 2,, 5, 3, 4 (ismétlés nélküli) Az,, 2, 3, 4, 4 számok egy permutációja:, 2, 4,, 3, 4 (ismétléses)

Kombináció (csak kiválasztás, sorba rendezés nélkül) Ismétlés nélküli a kombináció, ha minden objektumot csak egyszer választhatunk ki. Ismétléses a kombináció, ha ugyanazt az objektumot többször is kiválaszthatjuk. Példák: az, 2,..., 0 számok egy harmadosztályú ismétlés nélküli kombinációja:, 5, 8 o az, 5, 8, az, 8, 5, az 5,, 8, az 5, 8,, a 8,, 5 és a 8, 5, ugyanaz a kombináció (mert ugyanazok a számok vannak kiválasztva) egy ötödosztályú ismétléses kombinációja: 3, 3, 6, 6, 9 o ugyanaz pl. a 3, 6, 9, 6, 3 is (ugyanazok a számok, mind ugyanannyiszor)

Variáció (kiválasztás és a kiválasztottak sorba rendezése, vagy sorban egymás utáni kiválasztás) Ismétlés nélküli a variáció, ha minden objektumot csak egyszer választhatunk. Ismétléses a variáció, ha ugyanazt az objektumot többször is kiválaszthatjuk. Példák: az, 2,..., 0 számok egy harmadosztályú ismétlés nélküli variációja:, 5, 8 o az, 5, 8, az, 8, 5, az 5,, 8, az 5, 8,, a 8,, 5 és a 8, 5, mind különböző variációk (bár a kiválasztás ugyanaz, a sorba rendezés más) egy ötödosztályú ismétléses variációja: 3, 3, 6, 6, 9 o a 3, 6, 9, 6, 3 nem azonos vele (ugyanazok a számok, de más a sorrend) FIGYELEM! Az angol szóhasználat más, ott a variációkat is permutációnak nevezik, és nem említik az ismétléses változatokat.

Állítás: n elem összes ismétlés nélküli permutációinak száma P n = n! Bizonyítás: (intuitív, matematikailag nem teljesen precíz a következőkre is ugyanez érvényes): Az első elem számára n hely közül választhatunk, a második elem számára bármelyiket is választottuk elsőre a megmaradó n- hely közül,... végül az n-ik elem számára már csak egyetlen szabad hely marad. Állítás: n elem összes ismétléses permutációinak száma, ha az elemek között n azonos, n 2 n! szintén azonos, de az előzőektől különböző, stb. található: Pn, n2, L, n = k n! n! K n! Bizonyítás: Ha mind az n elem különbözne, akkor n! számú permutációjuk volna. Azonban most mindazok a permutációk megegyeznek, ahol azonos elemek egymás között vannak permutálva, ezek száma pedig n! n 2!. 2 k

Állítás: n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma: V n, k = n! ( n k)! Bizonyítás: Az első helyre az n elem bármelyikét választhatjuk, a második helyre a megmaradó n- elem bármelyikét,... végül a k-ik helyre (n k+) elem közül választhatunk. Állítás: n elem összes k-adosztályú ismétléses variációinak száma: V = i n, k n k Bizonyítás: Ha sorban egymás után k-szor választunk, és az ismételhetőség miatt mind a k alkalommal mind az n elem választható, akkor az összes lehetőségek száma nn n=n k. Nyilvánvaló, hogy P n = V n, n. A zsebszámológépeken (mert a nyelvük angol) V n, k helyett Pn,k sőt, még gyakrabban npk vagy npr szerepel.

Állítás: n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma C n, k = n! ( n k)! k! Bizonyítás: V n, k = Cn, kpk, hiszen a variáció azt jelenti, hogy kiválasztunk k elemet és sorba rendezzük őket. A zsebszámológépeken C, helyett keressünk nck -t vagy ncr -t! nk

Állítás: C n, k = Pk, n k Bizonyítás: Modellezzük az n elem közül k darab kiválasztását úgy, hogy sorban felírjuk az n elemet, és mindegyik alá + vagy jelet írunk, aszerint, hogy választjuk, vagy nem. Tehát k db + jelet és (n k) db jelet használunk. Például: 2 3 4 (n ) n + + + Láthatóan egy ilyen jelsorozat kölcsönösen egyértelműen megfelel egy kiválasztásnak (a megfeleltetés oda-vissza egyértelmű). C n, k a lehetséges kiválasztások, Pk, n k a jelsorozatok száma, tehát egyenlők.

Állítás: n elem összes k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma i C n, k = Cn+ k, k Bizonyítás vázlata: Minden ismétléses kombinációnak megfeleltetünk egy k db jelből és n db jelből álló jelsorozatot, például ha n = 5 (az elemek, 2, 3, 4, 5) és k = 8, akkor 224445 ~ 2234444 ~ 44444444 ~ stb. Ez kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, tehát ugyanannyian kell, hogy legyenek.

Binomiális együtthatók Egy másik megszokott jelölés és elnevezés a binomiális együttható C, -ra: nk n k (olvasd: n alatt a k ), Az elnevezés hátterében a binomiális tétel áll: n n ( a+ b) = k= 0 n a k k b n k

Számítógép Excel n!= FAKT(n) P = VARIÁCIÓK(n;n) n V n, k C n, k R = VARIÁCIÓK(n;k) = KOMBINÁCIÓK(n;k) n!= factorial(n) P = factorial(n) n V n, k C n, k = factorial(n)/factorial(n-k) = factorial(n)/(factorial(n-k)*factorial(k))