Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg a két pont által alkotott szakasz felezőpontjának koordinátáit! ( pont) 7 + 1 A felezőpont első koordinátája: = 3 A felezőpont második koordinátája: 9 + 3 = 6 Tehát a felezőpont koordinátái: ( 3; 6) Összesen: pont ) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 5 = 4 ( pont) 5 Értelmezési tartomány: x 5 0 x x 5 = 4 x 5 = 16 x = 41 Összesen: pont 3) Egy pénzérmét egymás után háromszor feldobunk. Az alábbi kimenetelek közül melyiknek van a legkisebb valószínűsége és miért? a) Fej, Írás, Fej b) Fej, Fej, Fej c) Írás, Írás, Fej Pénzérme dobás esetén ugyanúgy 1 valószínűséggel dobunk fejet vagy írást. Így a feladatban közölt mindhárom eset bekövetkezési valószínűsége: 1 1 1 1 = = 0,15 1,5% Ezért mindhárom eset ugyanolyan valószínűséggel fordul elő. Nincs legkisebb. 4) Mi az alábbi függvény által felvehető legkisebb és legnagyobb érték? ( ) ( ) f x = x 4 5 ( pont) A függvény képe egy konvex állású parabola. Legnagyobb, maximális értéke nincs. A legkisebb értékét pedig az = 4 x helyen veszi föl, melynek értéke: f ( ) 4 = 5. Összesen: pont - 1 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. 5) Az alábbi exponenciális kifejezések közül melyik nagyobb? a) 1 e b) 7 π e 4 4e Ekvivalens átalakítások után megkapjuk, hogy ( ) e π π 3 3π = 3 3, valamint 7 = ( 3 ) = 3 1 = Mivel 3π < 4e és az exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért ezért az a) jelű kifejezés nagyobb. 6) Adja meg az alábbi két kör közös húrjának egyenletét! ( x ) + ( y + 6) = 64 ( x + 9) + ( y 4) = 1 π e 7 < 1, ( pont) Összesen: pont A közös húr egyenletét úgy kapjuk meg, hogy kivonjuk egymásból a körök egyenletét. I.: x 4x + 4 + y + 1y + 36 = 64 II.: x + 1x + 1+ y y + 16 = 1 I. II. x + 0y = 40 Tehát a keresett közös húr egyenlete: x + 0 y = 40 7) Anna és Bori kifestenek egy szobát. Tudjuk, hogy Anna egyedül 3 óra alatt végezne a teljes munkával, míg Borinak ez 4 órát venne igénybe. A festést Anna kezdi egyedül. Egy óra elteltével Bori csatlakozik a munkához és közösen fejezik be. Mennyi ideig dolgoznak együtt? Anna Bori Egész munka időigénye (óra) 3 4 Egy óra alatt elvégzett munka 1/3 1/4 A feladat szövege alapján felírható az alábbi egyenlet, ahol x jelöli a közösen végzett munka időtartamát. 1 1 1 1 + x + = 1 3 3 4 Rendezés után megkapjuk az x = eredményt. 7 Tehát 7 órát, azaz kerekítve 6,57 percet dolgoznak együtt. - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. ) Adja meg a 19 és az 56 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! ( pont) 19 = 6 3 és 56 = Tehát a legnagyobb közös osztó: ( 19;56) 6 = 64 Tehát a legkisebb közös többszörös: [ 19;56] 3 = 76 9) Mi az értelmezési tartománya az alábbi kifejezésnek? 3x 6 x 6 = = Összesen: pont Nevező miatt: x 6 0 x 3 Gyök miatt: 3x 6 0 x Tehát az értelmezési tartomány: x [ ; [ \{ 3 } 10) Egy szabályos 17-szög összes átlóját megrajzoljuk. Ezek közül hatot sárgára színezünk. Mekkora eséllyel lesz egy véletlenszerűen kiválasztott átló sárga színű? A szabályos sokszögek átlóinak számát az alábbi összefüggés segítségével számoljuk: n ( n 3), ahol n a csúcsok számát jelöli. 17 (17 3) Egy szabályos 17-szögnek = 119 átlója van. 6 Mivel 6 sárga átló van, ezért a keresett valószínűség: P = 0,05. 119 11) Egy számtani sorozat első eleme 6, az első 13 elem összege pedig 347-tel egyenlő. Adja meg a sorozat differenciáját! ( pont) A számtani sorozat összegképletét kell alkalmaznunk: a1 + ( a1 + ( n 1) d ) 6 + ( 6 + 1d ) S n = n 13 = 347 Az egyenletet rendezve a d = 3 megoldásra jutunk. Összesen: pont - 3 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. 1) Egy 6 méterre álló torony csúcsát 46 -os látószögben látjuk. Milyen magas a torony? B A szemlélődő, a torony talapzata és csúcsa egy derékszögű háromszöget alkot, melynek egyik befogója 6 méter hosszú. C A tangens szögfüggvényt alkalmazva az alábbi összefüggést kapjuk: h tg46 = h = 6, 9, ahol h jelöli a torony magasságát. 6 Tehát 6,9 méter magas a torony. h 90 6m 46 46 Maximális elérhető pontszám: 30 pont A - 4 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. II/A. rész: Az alábbi három példa megoldása kötelező volt! 13) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) x 3 = x 6x + 4 ( pont) b) cos sin x x = sin x (4 pont) cos x a) I. x 3 0 x 3 x 3 = x 6x + 4 x 7x + 7 = 0 ( pont) D = 49 56 = 7 Tehát az egyenletnek ezen az ágon nincs megoldása. II. x 3 < 0 x < 3 3 x = x 6x + 4 x 5x + 1 = 0 5 ± 17 x 1, = 4 5 ± 17 Tehát az egyenletnek lehetséges megoldása lesz: x1, = 4 b) π Kikötés: cos x 0 x + k π, ahol k Z. sin x cos x + sin x = cos x 1 = tg x π x = + l 4 π, ahol l Z. Összesen: 1 pont - 5 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. 14) Egy egyetemi kosárlabda csapatban felmérték a játékosok magasságát. Az adatok centiméterben mérve a következők lettek: 17; 19; 17; 169; 199; 17; 179; 165; 11; 0; 03; 190. a) Adja meg és értelmezze a magasságok terjedelmét, móduszát és mediánját! (5 pont) b) Számolja ki a négy nevezetes középérték közül a legkisebb és a legnagyobb érték számtani átlagát! A kapott eredményt kerekítse egy tizedesjegyre! (7 pont) a) Terjedelem: 11 165 = 46, azaz a legmagasabb és legalacsonyabb játékosok között 46 cm a különbség. Módusz: 17, azaz a leggyakrabban előforduló magasság 17 cm. ( pont) 17 + 190 Medián: = 1, 5, azaz a játékosok egyik fele 1,5 cm-nél magasabb, másik fele 1,5 cm-nél alacsonyabb. ( pont) b) A négy nevezetes átlag közül a legkisebb a harmonikus, a legnagyobb pedig a négyzetes. ( pont) Harmonikus átlag: 1 = 16,74 ( pont) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + 17 19 17 169 199 179 165 11 0 03 190 Négyzetes átlag: 17 + 19 + 17 + 169 + 199 + 17 + 179 + 165 + 11 + 0 + 03 + 190 1 = = 1,514 ( pont) A két középérték számtani közepe pedig: 16,74 + 1, 514 = 17,4957 17,5 Összesen: 1 pont - 6 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. 15) Az alábbi másodfokú függvényt a valós számok halmazán értelmezzük: f ( x) = p( x + 16) + 4( p + 4) + x( x 3) a) Mely p paraméter érték mellett lesz a függvénynek egyetlen zérushelye? (6 pont) b) Milyen értéket kell adnunk p paraméternek, hogy a függvény görbéje ne metssze az x tengelyt? (6 pont) a) A feladatban megadott függvény képletében felbontjuk a zárójeleket, és rendezzük a tagokat az ismert ax + bx+ c alak szerint. f x = x + x p 6 + 4 p + ( pont) ( ) ( ) ( ) A függvénynek csak akkor lesz egyetlen zérushelye, ha a diszkrimináns nullával egyenlő. ( p ) ( p ) 6 3 + = 0 31p + 140 p + 9 = 0 ( pont) 140 ± 19 70 ± 3 p1, = = p 1 = 3,7; p = 0,0 6 31 b) Ahhoz, hogy a függvény görbéje ne metssze az x tengelyt, a diszkriminánsnak negatív értéket kell felvennie. ( p ) ( p ) 6 3 + < 0 0 < 31p + 140 p + 9 Tehát a megoldás: p < 3,7 vagy p > 0,0 (4 pont) Összesen: 1 pont Maximális elérhető pontszám: 36 pont - 7 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. II/B. rész: Az alábbi három példa közül kettőt kellett megoldani! 16) Egy egyenes alapján álló körkúpba vizet töltöttünk. A vízszint a kúp magasságának felénél áll. A kúp alapkörének átmérője 3 cm, magassága pedig 30 cm. a) Készítsen ábrát a kúpról! ( pont) b) Hány százalékát teszi ki a kúpban álló víz térfogata a kúp teljes térfogatának? (6 pont) c) A zárt kúpot felállítjuk a csúcsára. Ekkor milyen magasan áll a vízszint? A kapott eredményt kerekítse két tizedesjegyre! (9 pont) a) C 30 cm D E A 16 cm ( pont) b) A vízszint a kúp magasságának felénél áll, így DE szakasz pontosan ABC háromszög középvonala, tehát cm hosszú. A víztömeg térfogatát úgy kaphatjuk meg, hogy a teljes kúp térfogatából levonjuk azon kis kúp térfogatát, amely csak levegőt tartalmaz. (Hasonló módon lehet direkt módon a vízzel telt csonkakúp térfogatát is számolni.) 16 π 30 π 15 V víz = V nagykúp V kiskúp = = 40π 3 3 A százalékos arány tehát: 40 π 7 = = 0,75 7,5% 560π Egy másik lehetséges megoldási menetet jelent az arányok felhasználása. Tudjuk, hogy a kis és 1 nagy kúp magasságának aránya λ =. 3 1 Innen tudjuk, hogy térfogataik aránya λ =. Tehát a csonkakúp térfogata a nagy kúp térfogatának 7 a. c) A csúcsára állított kúp esetén a víztömeg forgáskúp alakot ölt, amely forgáskúp hasonló az eredetihez. Jelölje x azt az arányszámot, amellyel igazzá válik az alábbi egyenlet: ( pont) ( x 16) π ( x 30) 40π = 3 B x = 3 7 A kúp magassága 30 cm, így ezt meg kell szoroznunk a kapott arányszámmal. Tehát a csúcsára állított kúpban a víz 7 3 30, 69 cm magasan áll. ( pont) Összesen: 17 pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. 17) Egy 60 fős középiskolai közösséget vizsgálunk. Tudjuk, hogy a csoport kétharmada lány. A fiúk 1 ember kivételével nem szeretik a matekot. A lányoknak csupán az egynegyede nem szereti a matekot, a többiek imádják. Azon tanulók, akik nem szeretik a matekot, középszinten tesznek belőle érettségi vizsgát. A matekot kedvelő fiúk fele középszinten, a másik fele pedig emelt szinten szeretne érettségizni. A matekot szerető lányok egyharmada tervez középszintű vizsgát tenni, a többiek emeltre mennek. a) Összesen hány tanuló fog középszinten érettségizni matekból? ( pont) b) Mekkora eséllyel megy egy véletlenszerűen kiválasztott fiú emelt szintű matematika érettségire? (4 pont) c) Mekkora eséllyel lesz egy véletlenszerűen kiválasztott tanuló középszinten érettségiző lány? (4 pont) d) Véletlenszerűen választunk két diákot a közösségből. Mekkora az esély arra, hogy mindketten szeretik a matekot, de középszinten érettségiznek? (4 pont) e) A százalékos arányokat tekintve a fiúk vagy a lányok szeretik jobban a matekot? a) A lányok közül tízen, a fiúk közül pedig ketten nem szeretik a matekot, illetve a matekot kedvelők közül 10 lány és 9 fiú tesz középszintű érettségi vizsgát: 10 + + 10 + 9 = 31, tehát összesen 31 tanuló fog érettségizni matekból. b) A fiúk összesen húszan vannak, ebből kilencen mennek emelt szintű érettségire: ( pont) kedvező 9 P ( B ) = = = 0, 45 45% összes 0 ( pont) c) A tanulók összesen hatvanan vannak. A középszinten érettségiző lányok száma húsz: ( pont) kedvező 0 P ( C ) = = = 1 0, 3333 33, 33% összes 60 3 ( pont) d) A matekot kedvelő, de középszinten érettségiző diákok száma 19. Ezért egy tanuló esetén ez az 19 esély:. Azonban a második választás függ az elsőtől, valamint itt is teljesülnie kell a 60 feltételnek, de egy diákot már választottunk: ( pont) 19 1 57 P ( D ) = 0, 0966 9, 66% 60 59 590 ( pont) e) 30 3 A százalékos arány a lányoknál: = 0,75 40 4 = 75 % A százalékos arány a fiúknál: 1 = 9 = 0,90 90 % 0 10 Tehát a fiúknál nagyobb a százalékos arány. Összesen: 17 pont - 9 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. 1) 013. január elsején beteszünk a bankba 10 millió forintot,,5 %-os évi kamatra. Terveink szerint 01 szeptemberében fogjuk egy összegben kivenni a pénzt. Az első kamat folyósítása a 013-as év utolsó napján esedékes. A kamatot csak arra az évre írják jóvá, amely során a lekötött pénz kamatokkal együtt végig a bankban maradt. a) Mennyi pénzt fog termelni a befektetett összeg végső kivételig? (4 pont) b) Amennyiben 017 márciusában mégis kivennénk a kamatokból származó többletet, mennyi pénzt tudnánk kivenni az eredetileg rögzített, végső kivételkor? ( pont) c) Legalább hány évig kellene a bankban hagynunk a pénzt, hogy egy 5 millió forintos lakásra elegendő összeg gyűljön össze? (5 pont) a) Vegyük figyelembe, hogy a 01-es kamatot nem írja jóvá a bank, mert szeptemberben vettük ki az összeget, ezért csak évnyi kamattal kell számolni: ( pont) A pénz által termelt összeg: 10000000 1, 05 10000000 = 906043. Tehát a keresett összeg: 9 06 043 Ft. ( pont) b) Amennyiben 017 márciusában kivesszük a kamatokból származó többletet, a bankban bent marad a 10 millió forint. A kérdés az, hogy ha a banki feltételek változatlansága mellett ez után vesszük ki 01 szeptemberében az összeget, akkor mennyi pénzt kapunk kézhez: (4 pont) A 017-es év végi kamatjóváírás törlődik, így leghamarabb 01 végén termel újra a pénzünk: 3 10000000 1, 05 = 17791, 5 1 77 91 Ft (4 pont) c) A feladat szövege alapján az alábbi exponenciális egyenlet írható föl: n 10000000 1, 05 = 5000000,5 = n 11,3 log 1, 05 Ilyen esetekben a kapott eredményt felfelé kerekítjük, hiszen az eredmény egészrészéhez tartozó év (11) után még nincs elég pénzünk, szükség van az összeg átlépéséhez a 1. évi kamatra is, tehát legalább 1 évig kellene a bankban hagynunk a pénzt. Összesen: 17 pont Maximális elérhető pontszám: 34 pont A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: 100 pont - 10 -