PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 16.

Átírás

1 PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 09. február 6. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 09. február 6. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Fenti chatbotkód használati útmutató: messengerben koppints bal fent a fejed ikonjára, majd a messenger kódodra, ezután a kód beolvasása gombra! Beszélgess Bettivel, a chatbottal és találj hozzád illő jól fizető munkát! (m.me/diakmunka)

2 I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt!. Tekintsük a következő két halmazt: A = ;4;5;; és B = ;4;5;7;;5 felsorolásával adja meg A B és B\ A halmazokat!. Elemei A B= 4;5; B\ A= ;7;5. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 9 = Összesen: pont 9 = 9 Az eponenciális függvény szigorúan monoton nő, tehát az azonos alapok elhagyhatók. = Összesen: pont. Egy forgáskúp alapjának átmérője 6 cm hosszú, magassága 4 cm. Számítsa ki a kúp térfogatát! Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg! d r =, tehát r = cm. r m V =, behelyettesítve: 4 = 7,70cm Összesen: pont 4. Egy öttagú társaságban mindenki öleléssel köszönt mindenkit. Hány ölelés maradt még hátra, ha eddig hatot számoltunk össze? ( ) n n Összes ölelések száma (n főre): Behelyettesítve: 54 = 0 Tehát 0 6 = 4 ölelés van még hátra. Összesen: pont 5. Egy háromszög két oldala és 5 egység hosszúságú, az általuk közre zárt szög 60. Mekkora a háromszög harmadik oldala? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg! - -

3 Írjuk fel a koszinusztételt: Behelyettesítve: c c a b ab = + cos = + 5 5cos60 c= 4 5 = 9 Tehát c = 9 = 4, 6 egység. Összesen: pont 6. Az ábrán egy ;4 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki, hogy az alábbiak közül melyik hozzárendelési szabály tartozik a függvényhez! A: a( ) = ( + ) + B: b( ) = ( + ) + C: c( ) = ( + ) D: d ( ) Helyes válasz: B: b( ) ( ) ( ) = + = Milyen számjegye(ke)t jelölhet az X, ha az alábbi négyjegyű szám osztható 5-tel? 8X ( pont) Egy szám akkor osztható 5-tel, ha osztható -mal és 5-tel is. Akkor lesz osztható -mal, ha a számjegyeinek összege osztható -mal. Akkor lesz 5-tel osztható, ha 0-ra vagy 5-re végződik =, ez nem osztható -mal, tehát nem megoldás = 8, ami osztható -mal. Tehát az X helyére az 5-ös számjegy kerül. 8. Tagadja a következő ítéletet! Van olyan holló, ami nem fekete. Minden holló fekete. Összesen: pont - -

4 9. Adja meg az A ( ;6 ) és ( ;4 ) felezőpontját! A( a ; a ) és ( ; ) B koordinátájú pontok által meghatározott szakasz B b b pontok által meghatározott szakasz felezőpontja: a + b ; a + F b + ( ) 6+ 4 Behelyettesítve: = = 0 és y = = 5. F 0;5 Tehát a keresett pont koordinátái: ( ) Összesen: pont 0. Egy kék és egy zöld dobókockával egyszerre dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy a dobott számok összege nem nagyobb mint 4? Válaszát négy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (4 pont) 6 db kedvező eset van: Összes eset száma: 6 A klasszikus valószínűségi modell alapján: kedvező esetek 6 P = = = 0,667 összes eset 6 Tehát 0,667 a keresett valószínűség.. Oldja meg az alábbi egyenlőséget a ; intervallumon! cos = Összesen: 4 pont ( pont) megoldásunk van: I. = + k, k II. 5 = + l, l Ezek közül az intervallumon értelmezett megoldások: = és = Összesen: pont - 4 -

5 . Egy számtani sorozat első tagja, ötödik tagja 9. Számítsa ki a sorozat első tíz tagjának összegét! (4 pont) A számtani sorozatok n-edik tagjának képlete: ( ) a = a + n d. n Az ötödik tagra alkalmazva: a5 = 9 = a+ 4d Az első tagot behelyettesítve az egyenletbe megkapjuk a differenciát. 9 = + 4d d = 4 a + a a+ a+ ( n ) d n Az első n tag összege: Sn = n = n Tehát S 0 = 0 = 0. Összesen: 4 pont Maimális elérhető pontszám: 0 pont - 5 -

6 II/A. rész: Az alábbi három példa megoldása kötelező volt!. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) b) = (6 pont) 4cos + 8sin + = 0 (6 pont) a) A hatványozás azonosságai alapján elvégezzük az átalakításokat. ( ) ( ) 4 = = + = Egy oldalra rendezzük az egyenletet. ( ) + = 0 Új ismeretlent vezetünk be: = a a + a = 0 A másodfokú egyenletet megoldva a két gyök: a = és a =. Mivel 0, így a = nem vezet valós megoldáshoz. 0 = = Az eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt az azonos alapok elhagyhatók. Tehát = 0. cos + sin = felhasználva átalakítjuk az egyenletet: b) A trigonometrikus Pitagorasz-tételt ( ) 4 4sin 8sin =. a vezetünk be a sin helyére és rendezzük az egyenletet. Új ismeretlent ( ) 4a 8a 5 = 0. A másodfokú egyenlet megoldóképletébe behelyettesítve megoldjuk az egyenletet, melynek két gyöke: 5 a = és a = Az 5 nem megoldása az egyenletnek, mivel sin. Megoldjuk a sin = egyenletet. 7 = + k és = + l, ahol k, l 6 6 Ellenőrzés Összesen: pont 4. Az ABC derékszögű háromszög hosszabbik befogója dm, a rövidebb befogóhoz tartozó átfogóra eső merőleges vetület pedig 4,4 dm hosszú. a) Mekkora a háromszög átfogójához tartozó magasság és az ismeretlen befogó hossza? (5 pont) b) Számítsa ki a háromszög köré írható körének a területét! Válaszát A DEF háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz, a körülírt köre cm -ben adja meg! ( pont) 5 dm területű. c) Milyen hosszúságúak a DEF háromszög befogói? Válaszát cm-ben adja meg! (4 pont) a) Az ismert befogóra felírjuk a befogótételt.

7 ( c ) c 4, 4 = c 4, 4c = 0 A másodfokú egyenletet megoldva a két gyök: c = 40 dm és c = 5,6 dm Ebből csak a c = 40 dm jó megoldás, mivel az átfogó hossza nem lehet negatív. A Pitagorasz tételt felírva megkapjuk a másik befogót. B 4,4 P a + = 40 a a = 4 m A magasságtétel segítségével kiszámoljuk a magasságot. C A 4,4 ( 40 4,4) = m m = 9, Tehát az ismeretlen befogó a = 4 dm, a magasság pedig m = 9, dm. Alternatív megoldás: Felírjuk a magasságtételt az ABC -re: m 4,4 m 4,4 = = Illetve a Pitagorasz-tételt CPA -re: = + m Az első egyenletből kifejezett m -et a második egyenletbe behelyettesítve egy másodfokú egyenletet kapunk: 0 = + 4, 4 Az egyenlet két gyöke az = 5,6 és az = 40, amiből csak az első lesz jó megoldás. A kapott eredményt visszahelyettesítve megkapjuk a magasságot. m = 4,4 5,6 = 9, Az ismeretlen befogót pedig a befogótétel segítségével számoljuk ki. a = 4,4 ( 4,4 + 5,6) = 4 Tehát az ismeretlen befogó a = 4 dm, a magasság pedig m = 9, dm. b) A Thálesz-tétel alapján a háromszög köré írható körének átmérője ( d ) az átfogó lesz. d r = = 0 dm. A kör területe: Átváltva: T = r = 0 = 56,64 dm. 56,67 dm = 566,7 cm. c) Az r = 5 egyenletet rendezve megkapjuk, hogy a DEF sugara 5 dm. 5 Ebből az arányossági tényező: = = 0,5. 0 A hasonlóság szerint a befogók hossza: 4 0,5 = 6 dm és 0,5 = 8 dm. Átváltva cm-re: a DEF befogói 60 és 80 cm hosszúak. Összesen: pont 5. Anna és Balázs fel szeretnék újítani a lakásukat, ezért úgy döntenek, hogy bankba teszik a megtakarításukat. a) Egy nagyon kedvező ajánlatot találnak, így végül kétszázezer forintot helyeznek el a bankban havi 7%-os kamatozással. Hány év elteltével kell kivenniük pénzüket, ha a felújításra legalább forintot szánnak és a kamatot minden hónap végén írják jóvá? (5 pont) - 7 -

8 b) Amíg sorban állnak a bankban, Anna egy fejtörőt ad fel Balázsnak: Gondoltam 6 pozitív egész számra. Ezek átlaga 4, mediánjuk 5, a móduszuk pedig 6. Számolja ki, mely számokra gondolt Anna! (7 pont) a) Jelöljük az eltelt hónapok számát n-nel! n A kamatos kamat képletét felírva: 00000, Rendezzük az egyenlőtlenséget:,07 n 5 Vegyük mindkét oldalnak 0-es alapú logaritmusát: lg,07 n lg 5. Logaritmus azonosságot alkalmazva, majd az egyenlőtlenséget rendezve: lg5 n lg, 07. n,79 Mivel a kamatot a hónap végén írják jóvá, ezért felfelé kerekítve 4 hónap, azaz év múlva vehetik ki a pénzt a bankból. Ellenőrzés b) Jelöljük a számokat növekvő sorrendben ; ;...; 6 -nak. Anna páros számú számra gondolt, így a medián a középső két elem átlaga lesz. + 4 = 5. Ez nem lehet két darab 5-ös, mivel melléjük már csak két hatost lehetne tenni, de így nem a hatos lenne a módusz. Hatosnál nagyobb szám se szerepelhet (pl. 7 és ), mivel ekkor szintén nem lehet 6 a módusz. Tehát a két középső elem egy 6-os és egy 4-es. Mindenképpen szerepelnie kell még legalább egy hatosnak, hogy az legyen a leggyakoribb szám. 5 = Az eddig ismert számokkal írjuk fel az átlagot: = = 8 és 0, 4, valamint 6 6. A feltételeknek egyetlen számhármas felel meg: Tehát a hat szám:,, 4, 6, 6, 6 Összesen: pont II/B. rész: Az alábbi három példa közül kettőt kellett megoldani! Maimális elérhető pontszám: 6 pont 6. Az óvodai farsangi mulatságon felfordított négyzet alapú csonkagúla formájú tálkákban tálalják fel a pudingot. A hosszabbik alapél 4 cm, a rövidebbik cm hosszú, az oldalélek hossza pedig 0 cm. Egy adag puding a tálka 75 %-át tölti ki. a) A pudingot 0 literes edényekben szállítják. Legalább hány darab ilyen edényt kell vásárolnia az óvodának, ha csoport van összesen és minden csoportnak hat adag puding jut? (9 pont) A farsangi Ki mit tud? -on 6 fiú és 6 lány szerepel. b) Hányféleképpen állítható össze a produkciók sorrendje, ha a fiúk és lányok felváltva követik egymást a színpadon? ( pont) Az egyik csoportban 7 lány és fiú van. c) Ha véletlenszerűen kiválasztunk 5 gyereket, mennyi a valószínűsége, hogy közülük legfeljebb fiú van? Válaszát négy tizedesjegy pontossággal adja meg! (5 pont) - 8 -

9 a) I. megoldás: Az átlós keresztmetszettel egy trapézt kapunk, melynek a párhuzamos oldalai a csonkagúla alapjainak átlói, szárai pedig a csonkagúla oldalélei. Az a oldalhosszúságú négyzet átlója a Tehát a két párhuzamos oldal hossza: = 6,97 cm 4 =,94 cm A magasságot berajzolva az így keletkezett derékszögű háromszögre egy Pitagorasz-tétel írható fel. 4 0 M = + = 7 = 5,9 cm Innen ugyanúgy folytatjuk, mint az I. megoldásban. (5 pont) Az egyenletet rendezve: M = 00 7 = 8 = 7 = 5, 9 cm. A csonkagúla alaplapjának és fedőlapjának területe: = 44 cm és 4 = 576 cm. A csonkagúla térfogatának képletébe behelyettesítünk. ( + + ) ( ) = M T Tt t V V = = = 67 7 = 777,95 cm. A térfogat 75% -a literbe átváltva: 777,95 0,75 =, 46 cm =, dm =, liter A tizenkét csoport mindegyike hat tálat kap., 6 = 95,976 liter 95,976 = 4,8, tehát legalább 5 edényre van szükség. 0 II. megoldás: A magasságot a tengelymetszetből kapott trapézból számoljuk, ahol a trapéz párhuzamos oldalai egyenlőek a csonkagúla alap- és fedőlapjának oldalaival, az oldalélek pedig a csonkagúla oldallapjainak magassága. A csonkagúla oldallapja egy trapéz, ahol a magasságot behúzva felírható a Pitagorasz-tétel. 4 0 = m + m = 00 6 = 64 = 8 A csonkagúla tengelymetszetére behúzva a magasságot egy újabb Pitagorasz-tétel írható fel: 4 8 = M + M = 64 6 = 8 = 0 M 0 4 m M 8 8

10 b) Először sorba állítjuk a fiúkat, ezt 6! féleképpen tehetjük meg. A lányok szintén 6! féleképpen állíthatók sorba. Ezután a lányokat berakjuk a fiúk közé, ezt kétféleképpen tehetjük meg, vagy lány az első szereplő vagy fiú. Tehát az összes eset száma: 6! 6! = c) I. megoldás: 0 A csoportban összesen 0 gyerek van, ebből 5-öt 5 féleképpen tudunk kiválasztani. Komplementer eseménnyel számolunk, azaz 4 vagy 5 fiút választunk ki. 7 4 fiú, lány: = fiú, 0 lány: = A komplementer valószínűség: P = = 0, P= P= 0,9057 II. megoldás: Nem komplementerrel számolunk. Az egyes események egymást páronként kizárják, így összeadás van közöttük P = = = 0,9057. (5 pont) Összesen:7 pont 7. Egy 4 fős baráti társaság nyári utazást szervez és szavazással szeretnék eldönteni, hogy hova menjenek (egy ember több helyszínre is szavazhat). Az olasz tengerparti kirándulásra összesen 6-an tették fel a kezüket, a holland városnézésre 0-en jelentkeztek, a svájci hegyi túrára pedig 7 ember szavazott (ebbe beleszámolták azokat is, akik esetleg két vagy három lehetőségre is szavaztak). Három embernek mindegy volt, hogy Olaszországba vagy Hollandiába mennek, tehát csak erre a kettőre szavaztak, ugyanígy gondolkodva hárman adtak le szavazatot a tengerparti útra és a hegyi túrára is, egy fő pedig az olasz tengeren kívül mindkét útra leadta a voksát. -en teljesen döntésképtelenek voltak, így mindhárom utazásra feltették a kezüket. a) Hányan tartózkodtak a szavazástól? (5 pont) b) Balázs nagyon szerencsés, ezért 00-ból 78-szor eltalálja, hogy ki mire szavazott. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a társaság pontosan kétharmadának találja ki a szavazatát? (6 pont) A szavazás eredményeképpen az olasz tengerpartra utazik a társaság nyáron. Az alábbi kördiagramon ábrázolták, hogy ki milyen járművel szeretne eljutni oda. (Mindenki csak egy járművet választhatott.) A diagram elkészítése után azonban ember megváltoztatta a szavazatát, autó helyett inkább ők is repülővel utaznának. c) Készítse el az új kördiagramot! (6 pont) - 0 -

11 Busz Repülőgép Autó Vonat a) Az adatokat felírva: O = 6, H = 0, S = 7. A feladat szövege alapján: ( O H ) \ S =, ( O S ) \ H =, ( H S ) \ O =, O H S = Ezután kiszámoljuk a metszetek számosságát. O H = + = 5 O S = + = 5 H S = + = (A Venn-diagram helyes felrajzolásáért is jár a pont.) S Szita-formulába behelyettesítve: =. A 4-ből csak ember vett részt a szavazáson 4 =. Tehát ember tartózkodott. eltalálja = 0, 78 P= P nem találja el = 0,. b) P ( ), ekkor ( ) 4 = 6 ember szavazatát kell eltalálnia Binomiális eloszlással számolva: P( X = 6) = 0, 78 0, = 0, Tehát 0,0758 a keresett valószínűség. c) Egy főhöz tartozó szög nagysága: = A repülőgépre a kördiagramban ( ) = 65 marad. = fő szavazott eredetileg a repülős utazásra. O 8 4 H - -

12 60 = 4 4 fő pedig az autos útra. 5 A váltás után fő szavazott a repülőre, fő az autóra. 5 = 95 és 5 = 0. Helyes diagram felrajzolása, feliratozása. Busz Repülőgép Autó Vonat 8. Adott egy szakasz, amelynek végpontjai az A( ;0) és a ( 6;8) B pont. Összesen:7 pont a) Számítsa ki, hogy az y tengely mely pontjaiból látszik derékszögben az AB szakasz! A C ( ;,5) koordinátájú pont az A és B ponttal egy háromszöget alkot. (8 pont) b) Adja meg a B csúcsnál levő szög nagyságát! (5 pont) c) Igazolja, hogy a S ( 00;6) pont illeszkedik a BC egyenesre! (4 pont) a) Ha az AB szakaszra, mint átmérőre egy kört írunk, akkor a Thalész-tétel miatt a kör minden pontjából (a szakasz végpontjait kivéve) derékszög alatt látszik a szakasz. Tehát a megoldás a szakasz Thalész-körének és az y tengely közös pontjai. (Akkor is jár a pont, ha a gondolatmenet csak a megoldásból derül ki.) AB szakasz felezőpontja lesz a kör középpontja. + ( 6) 0+ 8 F ; F( 4;4) A és F pontok távolsága a sugár. ( ( )) ( ) AF = = 0 Ezekből a kör egyenlete: ( ) ( y ) = 0 A kör és az y tengely közös pontjait egyenletrendszer segítségével számoljuk ki. - -

13 = 0 ( + 4) + ( y 4) = 0 Behelyettesítjük az -et, majd 0-ra rendezzük a másodfokú egyenletet. 4 + y 8y + 6 = 0 y 8y + = 0 Az egyenlet két gyöke: y = 6 és y =. Tehát a két pont: ( 0;6) P és ( 0;) Q. y b) BC és BA vektor: BC ( 9;4,5) és ( 4; 8) Kiszámoljuk a két vektor hosszát: BC = 9 + 4,5 = 0, 5 = 0,06 ( ) BA. BA = = 80 = 8,94 A skaláris szorzat képletébe behelyettesítve: ,5( 8) = 0,068,94cos 0 = 89,964 cos Tehát 0 = cos = +, k k. Mivel egy háromszög belső szöge, így az egyetlen megoldás a = 90. Alternatív megoldás: Mindhárom vektor hosszát kiszámoljuk, ezzel megkapjuk a háromszög oldalait. a = BC = + = = 9 4,5 0, 5 0, 06 ( ) c = BA = + = = b ,94 = AC = 5 +,5 = 8, 5 =, 46 ( pont) A háromszög három oldalára felírjuk a koszinusztételt: ( ) ( ) ( ) 8, 5 = 0, , 5 80 cos - -

14 0 = 80 cos cos = 0 Mivel egy háromszög belső szöge, így az egyetlen megoldás a = 90. y c) Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha az egyenes egyenletébe behelyettesítve fennáll az egyenlőség. v 6 ;,5 8 = v 9; 4,5 = v ;. BC egyenes irányvektora: ( ( ) ) ( ) ( ) Ezt 90 -kal elforgatva megkapjuk a normálvektort: n ( ; ) Ebből felírható az egyenes egyenlete: y= Behelyettesítjük S koordinátáit az egyenletbe: 00 6 = 00 =. A két oldal egyenlő, tehát a pont rajta van az egyenesen. Összesen: 7 pont A szerezhető maimális pontszám: 4 pont A próbaérettségi során szerezhető maimális pontszám: 00 pont - 4 -