PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 18.

Átírás

1 PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 07. február 8. Studium Generale Középszintű próbaérettségi megoldókulcs MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ

2 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Hányféleképpen tud egy nyolcfős baráti társaság leülni egy körasztalhoz? ( pont) A feladatot a ciklikus permutáció képletével oldjuk meg. Ez alapján a lehetőségek száma 8! Ezt kiszámolva megkapjuk az eredményt, miszerint a lehetőségek száma 7! = ( pont) Összesen: pont ) Írja fel halmazműveletekkel az ábrán besatírozott területet! ( pont) A besatírozott terület felírható például: A B C \ A C B \ A C. Minden más ekvivalens felírás elfogadható. - - vagy ( pont) Összesen: pont ) Egy cukrászda különleges, többízű tortája úgy van felosztva, hogy a teljes torta része csokis, a maradék rész -e epres, a többi pedig feketeerdő ízesítésű. Andris találomra vesz 4 el egy szeletet a még érintetlen tortából. Mekkora a valószínűsége, hogy feketeerdő ízűt vesz el? A teljes tortát vesszük egésznek. Ha ennek az része csokis, az azt jelenti hogy rész epres vagy feketeerdő ízű. része lesz a teljes tortának epres, ennek alapján része lesz a teljes tortának 4 6 feketeerdő ízesítésű. Ez az arány megfelel a valószínűségnek is, tehát P. 6 Összesen: pont 4) Adja meg az ábrán látható gráf fokszámainak összegét! Rajzoljon be az alábbi gráfba úgy egy élt, hogy az E-ből B-be vezető út él hosszúságú legyen! ( pont) A gráf fokszámainak összege: 8. Kétféle él is eleget tesz a feltételnek. Az éleket vagy a CE vagy az AE csúcspontokkal lehet megadni. B B A C C F D E Összesen: pont A

3 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. 5) Egy kabát árát egy leárazás keretein belül csökkentették 5%-kal, majd az akció végeztével 5%-kal emelték. Jelenleg 685 Forintért árusítja a bolt a kabátot. Számítsa ki, mennyi volt eredetileg a kabát ára! A kabát eredeti árát jelöljük x -szel. x 0,5 0,5 685 x0,85,5 685 Az egyenletet rendezve megkapjuk, hogy x 4000 Ft ( pont) 0,85,5 0,9775 Összesen: pont 6) Számológép használata nélkül határozza meg a két kifejezés közötti relációt! Számításait részletezze! log log A 8 log log log B A 9 9 B 8 A pontos értékek alapján megállapítható a reláció, miszerint A > B. Összesen: pont 7) Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét! a) 8; = 4 b) Két prímszám összege mindig páros. c) Azok a számok, melyek oszthatóak -vel és 6-tal, oszthatóak -vel is. a) 8; = 4 Hamis, mert a legnagyobb közös osztójuk a 4. b) Két prímszám összege mindig páros. Hamis, mert ha az egyik prímszám a, akkor az összeg páratlan lesz. c) Azok a számok, melyek oszthatóak -vel és 6-tal, oszthatóak -vel is. Hamis, mert a -vel való oszthatóság szabálya, hogy a szám -mal és 4-gyel is osztható legyen. Összesen: pont 8) Számítsa ki a szög nagyságát! Egy tizedesjegyre kerekítsen! A szöget a szinusz-tétel alkalmazásával tudjuk kiszámolni. Ez alapján felírható egy egyenlet, miszerint sin sin8 8 ( pont) Az egyenletet megoldva megkapjuk a megoldást, miszerint = 46,. B A 8 cm 8 cm C Összesen: pont - -

4 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. 9) Oldja meg a következő egyenletet a negatív számok halmazán! x 7 Válaszát indokolja! ( pont) I. eset: x x 7 x =0 x II. eset: x 7 x = 4 0) Egyszerűsítse az alábbi kifejezést, ha a; b; c 0; b és b! abc b c ab c : bb a b bb abc ab c abc ab c a b : b c a b b c b b abc b a b abc ab b c b b c a Összesen: pont Összesen: pont ) Boglárka pénztárcájában a hónap második napján 000 Ft található. Tudjuk, hogy minden nap felére csökken pénztárcájában az összeg. Hány forint marad a tárcájában a hatodik napon? ( pont) Mértani sorozatot alkalmazunk: a 000 és q 4 a Ft (Akkor is jár a maximális pontszám, ha a tanuló 4-szer egymás után leoszt -vel.) Összesen: pont ) Adja meg egy olyan másodfokú függvény hozzárendelési szabályát, melynek két zérushelye az x és az x 4! ( pont) Bármilyen másodfokú függvény megfelel, mely eleget tesz az y ax x 4 alakú egyenletnek, ahol a. Egy lehetséges megoldás például: f x x x 4 x 6x 8 ( x ). ( pont) Összesen: pont Maximális elérhető pontszám: 0 pont - -

5 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. II/A. rész: Az alábbi három példa megoldása kötelező volt! ) a) Egy színház földszinti nézőterének első sora székből áll. Minden sorban az előtte lévőnél székkel több található. A földszinti nézőtéren összesen 50 szék van. Hány széksort számolhatunk a földszinten? (8 pont) b) Péter saját darabot tervez, mely költségeinek fedezésére 0 januárjában betette a bankba félretett pénzét. A bank minden év utolsó napján jóváírja az éves 8%-os kamatot. Péter 07. február 8-án Forintot vett ki bankszámlájáról (a bankszámla egyenlege ezek után 0 Ft lett). Mekkora összeget tett be eredetileg a bankba? Eredményét egészre kerekítve adja meg! (4 pont) a) Számtani sorozattal oldjuk meg a feladatot. A színház földszintjén lévő székek számát fel tudjuk írni: Sn 50, valamint tudjuk még, hogy a és d A sorozat összegképletét felhasználva felírhatjuk az alábbi egyenletet: a an 50 n 50 a a n d n Az adatokat behelyettesítve megkapjuk: n 50 n ( pont) 50 n n n n 50 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletébe való behelyettesítéssel két megoldást kapunk: n 0 és n 5 ÉT, így csak egy megoldásunk lesz. ( pont) Így tehát megkaptuk, hogy a színház földszinti nézőterén összesen 0 sor található. b) Mértani sorozatként értelmezzük a feladatot. Az eredetileg behelyezett összeget jelöljük x-szel. 0 januárja óta összesen 5-ször történt kamatjóváírás. A kamatos kamat képletét felhasználva felírható az egyenlet, miszerint 5 x, x 78 Ft Tehát Péter eredetileg 7 8 forintot helyezett el a bankban. 4) Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) 4cos x 7sin x 8 x 4 b) Összesen: pont (7 pont) a) (5 pont) 4cos x 7sin x 8 4 sin x 7sin x 8 4 4sin x 7sin x 8 4sin x 7sin x 4 0

6 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. sin x a 4a 7a 4 0 ( pont) Behelyettesítve a másodfokú megoldóképletbe: a 4R f a sin x 4 4 x 0, 57 k k x,8889 l l (Amennyiben a vizsgázó a periódust, vagy az egész számokra való kikötést lehagyja, fél pont adható. A megoldások fokban való megadásáért maximum pont adható.) x 4 x b) x Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt. x x =0 Ellenőrzés Összesen: pont - 5 -

7 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. 5) Adott a koordináta-rendszerben négy egyenes, melyek egy ABCD négyszöget határoznak meg. I. f egyenes párhuzamos az x tengellyel II. g egyenes: yx III. f és h egyenesek metszéspontja A 5;4, h egyenes meredeksége 4 IV. g és i egyenesek metszéspontja C 0; és BC ; a) Határozza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit és a hiányzó egyenesek egyenleteit! Ábrázolja a négyszöget a koordináta-rendszerben! (8 pont) b) Adja meg az x 4x y y 0 egyenletű kör középpontjának az origótól vett távolságát és a kör sugarának hosszát! (4 pont) a) Az I. és III. állítás segítségével felrajzolható az f x egyenes, melynek egyenlete y =4. Az f és g egyenes metszéspontját jelölő D csúcsra felírható az egyenlet: y 4 4 x x,5 D,5; 4 yx A III. állítás alapján felrajzolhatjuk a h x egyenest, melynek egyenlete: hx 4x b y= 4x 6 h5 45 b 4b 6 A B csúcs meghatározásához a IV. állítást használjuk. 0 b b B ; 4 ( pont) b b 4 Az i x egyenes egyenlete felírható az általános y mx b alakkal (a meredekség és a tengelymetszet is leolvasható), ez alapján az egyenlet Ábra felrajzolása. b) A kör egyenletét átalakítjuk: x y y x. ( pont) 5 ( pont) Innen leolvashatóak a kör középpontjának koordinátái és a sugár hossza. K ; r = 5 egység A középpont és az origó távolságának meghatározására a két pont közti távolság képletét használjuk. Ez alapján: 0 0 5,4 egység Összesen: pont Maximális elérhető pontszám: 6 pont - 6 -

8 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. II/B. rész: Az alábbi három példa közül kettőt kellett megoldani! 6) Az alábbi diagramon egy iskolában készített kimutatás látható, mely során azt mérték fel, hogy a teljes iskola létszámát tekintve havonta átlagosan hányan hiányoztak. Hiányzók száma Hiányzók száma a) Átlagosan hányan hiányoztak havonta az év során? b) Az első félévre nézve (ami januárral bezárólag ér véget) számítsa ki az adatok szórását az éves átlagot figyelembe véve! Szövegesen értelmezze a kapott eredményt! (5 pont) A következő táblázat az érettségizők matematika érettségi pontszámainak gyakoriságát mutatja. Pontszám Gyakoriság 6 Relatív gyakoriság c) Számítsa ki az adatok relatív gyakoriságát! d) Adja meg a pontszámok móduszát és mediánját! ( pont) e) Készítsen oszlopdiagramot az érettségi eredmények adataiból! (4 pont) a) b) Y 47,6 fő 0 0 ( pont) A teljes tanévet nézve havonta átlagosan 47,6 fő hiányzott. 47, , , , , , 77, 04 6,64 fő 5 Az első félévet tekintve az átlagos hiányzási számtól átlagosan 6,64 fővel tért el a hiányzók száma. c) A gyakoriságok alapján megállapíthatjuk, hogy összesen 5 diák érettségi eredményét látjuk. Pontszám Gyakoriság 6-7 -

9 Gyakoriság Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. Relatív gyakoriság (A vizsgázó cellánként 0,5 pontot kapjon. Amennyiben a tört nevezőjét elszámolja, de azt leszámítva konzekvensen írja végig a relatív gyakoriságokat, pont adható.) d) Módusz (leggyakoribb adat): 94 pont e) 5 Medián (sorbarendezést követően középső adat): 94 pont Matematika érettségi pontszámok Pontszám 7) (4 pont) (A vizsgázó a tengelyek helyes megjelöléséért - pontot kap, míg az adatok helyes ábrázolásáért pontot) Összesen: 7 pont a) Egy szabályos konvex sokszög átlóinak száma 0. Számítsa ki a sokszög oldalainak számát! (4 pont) b) Adja meg a szabályos tizenkétszög egy belső szögének nagyságát! ( pont) István, az asztalos mester olyan asztalt készít, melynek lábai szabályos hatszög alapú hasábok. A hasáb alapjának területe 40 cm, magassága 50 cm. István egy azonos magasságú, henger alakú farönkből faragja ki az asztal egy lábát, melynek alapköre a hatszög körülírható körének nagyságával egyenlő. c) A farönk hány százaléka lesz hulladék? Ha a hulladékelszállítás költsége 40 Ft 50 cm -ként, mennyit fog István ezért fizetni? Válaszait egészre kerekítse! ( pont) a) Az átlók számának képletéből visszavezethető az oldalak száma. nn 0 n n 40 0 n n 5 ÉT =8 ( pont) Mivel a sokszög oldalainak száma nem lehet negatív, így csak egy megoldásunk van. Tehát a konvex sokszögünk oldalainak száma 8. Matematika érettségi pontszámok b) Tehát a szabályos tizenkétszög egy belső szöge 50 -os. c) A szabályos sokszög területképletét használjuk a megoldáshoz

10 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. n R sin T, ahol T 40; n 6; 60 ( pont) 6 R sin R,9 cm ( pont) Más megoldásmenet: A hasáb alapja 6 db szabályos háromszögből áll. Egy szabályos háromszög területe 40 6,67 cm. 6 A háromszög általános területképletét használjuk, ahol a szabályos háromszög oldala a. am a 6,67. ma a A háromszög magasságát átírhatjuk: tg 60 ma a a a, a,9 cm,ami megegyezik a körülírható kör sugarával. Vhasáb cm 4, 5 cm felesleg Vfarönk, , 5 cm 4, 5 0,74 7 % 74,5 4, 5 4,85 4, Ft ( pont) 50 Tehát összesen a farönk 7%-a lesz hulladék, aminek elszállítása 0 47 Ft-ba kerül. Összesen: 7 pont 8) a) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget, amennyiben x 0;4! (8 pont) x - 7 x+ >0 x - b) Az értelmezési tartományból kiválasztunk egy természetes számot. Mi a valószínűsége, hogy az általunk kiválasztott szám megoldása az egyenlőtlenségnek? c) Átlagosan egy osztályban a diákok 46%-a tudja helyesen megoldani a feladatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 0 diákot kiválasztva legfeljebb diák nem tudta megoldani a feladatot? (6 pont) a) Kikötés: x Egy tört akkor és csak akkor nagyobb, mint 0, ha a számláló és a nevező előjele azonos. Külön vizsgáljuk az előjeleket. A számlálót egyenlővé tesszük 0-val, így megállapítjuk a zérushelyeit. x 7x 0 x ; x ( pont) Mivel a parabolánk konvex, így tudhatjuk, hogy a két zérushely között vesz fel negatív értékeket. (Ez a megállapítás behelyettesítéssel is belátható.) A nevező x helyen vált előjelet

11 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 07. február 8. Egy táblázatba felírjuk a számláló és nevező előjeleinek változásait. (Abban az esetben is jár a maximális pontszám, ha nem táblázatba foglalva írja le az eseteket.) 0 0; ; ; ;4 4 Számláló Nevező nem ért Tört nem ért A táblázat alapján leolvasható, hogy a tört a feladat által megadott értelmezési tartományt tekintve két intervallumban vesz fel pozitív értéket. Tehát a törtünk az alábbi tartományban pozitív: x ; ;4. b) kedvező A valószínűség klasszikus képletét használjuk, azaz P. összes A kedvező eseteket behelyettesítéssel vagy az a) rész alapján megállapíthatjuk. Az egyenlőtlenségünket az x ;4 számok elégítik ki. Így a kedvező esetek száma. Az összes eset számának megállapításakor figyelembe kell vennünk, hogy kikötöttük, hogy x. Ez alapján az összes esetünk 4. ( x 0;;;4 ) A valószínűségünk tehát 4 = 0,5 50%. c) A feladat megoldásához a binomiális eloszlás képletét kell használnunk. A diákok 46%-a tudja megoldani a feladatot, így tudjuk, hogy 54%-uk nem tudja megoldani. Ha legfeljebb egyikük 0 vagy fő nem tudja megoldani. Ezek egymást kizáró események, így a valószínűségeket összeadjuk. ( pont) P ,54 0, 46 0,54 0, 46 0,0054 0,54% 0 ( pont) 0,0054 annak a valószínűsége, hogy legfeljebb diák nem tudja megoldani a feladatot. Összesen: 7 pont Maximális elérhető pontszám: 4 pont A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: 00 pont - 0 -