1 A kvadratrixról A kvadratrix más néven triszektrix nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/kvadratrix#mediaviewer/file:quadratrix_animation.gif Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra A kvadratrix görbe egy pontját az önmagával párhuzamosan, nagyságú sebes - séggel haladó AB egyenes, valamint a C középpont körül nagyságú szög - sebességgel forgó AC egyenes metszéspontjaként állítjuk elő, ahol. Feltétel: az A pont ugyanakkor ér C - be, mint amikor az A pont D - be ér. A mozgástani egyenletek a P indexet elhagyva a t idővel az alábbiak: A mozgás T ideig tart; eközben az A pont nagyságú utat tesz meg, míg az A pont nagyságú szögelfordulást végez. Megformulázva: ( 1 ) ( 2 )
2 ( 3 ) ( 4 ) A mozgás időtartama ( 3 ) és ( 4 ) - ből: ( 5 ) Most ( 2 ) és ( 1 ) hányadosát képezve: ( 6 ) Majd ( 5 ) - ből: ( 7 ) Ezután ( 6 ) és ( 7 ) - tel: ( 8 ) A P metszéspont ordinátája az 1. ábra szerint: Most ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 9 ) ( 10 ) Majd ( 10 ) - et végigosztva R - rel: ( 11 ) bevezetve a dimenziótlan ( 12 ) mennyiségeket, ( 11 ) és ( 12 ) - vel kapjuk, hogy ( 13 ) A ( 13 ) függvény grafikonja az 1. ábra piros vonala, amely - gel készült. Vegyük észre, hogy alakú, így értékét a L Hospital szabállyal határozhatjuk meg. Részletezve ld. [ 3 ]! :
3 tehát: ( 14 ) Ugyanez az 1. ábrát is készítő Graph szolgáltatásával: y max = 0,63662. A kvadratrix / triszektrix a szögharmadolás kapcsán is szóba kerül [ 1 ]. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra Itt feltüntettük egy tetszőleges P kvadratrixponthoz tartozó φ P és Φ P szögeket is, ahol ( 15 )
4 A P ponton át húzott vízszintes szelővel kaptuk a T pontot. A PT szakasz harmadolásával kapott Q ponton átmenő függőleges szelő a kvadratrixot az S pontban metszi. A CT egyeneshez képest a P pont Φ P, az S pont Φ S szög alatt látszik. Azt állítjuk, hogy ( * ) Az igazolás az alábbi. - rel, ( 8 ) szerint: ( 16 ) ( 17 ) A QT szakasz hossza a harmadolási feltétel szerint: innen: ( 18 ) Most ( 15 ) - ből: ( 19 ) hasonlóképpen: ( 20 ) Majd ( 16 ) és ( 19 ) - cel: ( 21 ) Ezután ( 17 ), ( 18 ), ( 20 ) és ( 21 ) - gyel: tehát: ( 22 ) a ( * ) állítással megegyezően.
5 Megjegyzések: M1. A triszektrix elnevezés is a szögharmadolásra utal. Ezt az elméletileg fontos problé - mát, illetve megoldását az i. e. V. századi HIPPIÁSZ - nak tulajdonítják v. ö.: [ 1 ], [ 2 ]! Ez a megoldás azért lényeges elméletileg, mert a szögharmadolás körzővel és vonalzóval általában nem megoldható szerkesztési feladat. M2. Gyakorlatilag érdektelenek a fentiek, hiszen megmérjük az adott szöget egy szögmérővel, elosztjuk hárommal, majd ezt az értéket felhordjuk az eredeti szög egyik és / vagy másik szárára, és ezzel készen is vagyunk a szögharmadolással. M3. A szögharmadolás a 2. ábráról is lemérhetően ténylegesen megvalósult. M4. Az eddigiekre visszatekintve megállapíthatjuk, hogy a szögharmadolás kulcsa: egy olyan függvény által leírt görbe, melyre egy ( 8 ) típusú összefüggés a jellemző, vagyis amelynél valamely szög nagysága arányos valamely szakasz hosszával. Ezt mozgástani alapon nem volt annyira nehéz felderíteni. ( Persze, ez már csak utólagos okoskodás, az eredmény ismeretében, a XXI. században.) Ja, hogy ezt a görbét elő is kell állítani? Hát, ahhoz meg szerkeszteni kell, a mozgástani származtatás szerint. Csakhogy van itt egy kis probléma 3. ábra. 3. ábra forrása: [ 2 ] Ez pedig az, hogy az ábra szerinti T pont gyakorlatilag két itt vízszintes egyenes metszéspontjaként állna elő, ami elvileg és gyakorlatilag is gondot okozhat. Ezt úgy oldhatjuk meg, hogy
6 ~ elvileg: határérték - számítást alkalmazunk, ami a ( 14 ) eredményre vezet; ~ gyakorlatilag: az elég sűrűn szerkesztett görbepontokból a görbe vége is eléggé pontosan megrajzolható, tekintettel az ismert elméleti végeredményre, illetve a rajzoló program tudására is. A 3. ábra a görbe körzővel és vonalzóval végzett szerkesztésének mikéntjét is megmu - tatja: ez az AD távolság és adódó törtrészei sorozatos felezésével, valamint a DAB derék - szög és adódó törtrészei sorozatos felezésével történik. M5. A 3. ábrán bemutatott szerkesztés azt is szemlélteti, hogy hogyan lehet egy szöget n egyenlő részre osztani, azaz Így írnak erről [ 2 ] - ben, a 3., vagyis az ottani 40. ábrára hivatkozva ld. 4. ábra! : 4. ábra M6. Az érdeklődő Olvasó az interneten még számos információt találhat témánkról. M7. Az alábbi három függelékben további finomságok várják az érdeklődő Olvasót. Irodalom: [ 1 ] Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete 3. kiadás, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986. [ 2 ] Sain Márton: Nincs királyi út! Matematikatörténet Gondolat, Budapest, 1986. [ 3 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.
7 1. FÜGGELÉK A kvadratrix érintőjének szerkesztése Írta: Hajdu Endre A kvadratrix bármely pontjában tetszőleges pontossággal megszerkeszthető az érintő. Mivel a görbe két mozgó egyenes a v sebességgel haladó e egyenes és az ω szögsebességgel forgó f egyenes közös P pontjának pályája, kézenfekvő ötlet, hogy a közös pont sebességvektorát állítsuk elő, melynek állása azonos az érintőével F1 ábra. F1 ábra A sebességvektor meghatározásához a relatív mozgások sebességtétele nyújt lehetőséget, mely szerint v a = v s + v r, ahol v a a mozgó pont abszolút sebessége, v s a szállítósebesség (a szállító alakzat azon pontjának sebessége, mely pillanatnyilag egybeesik a relatív mozgást végző ponttal), v r a relatívsebesség, mely az alakzathoz képest mozgó pont sebessége. Ha a görbe P pontját a v sebességgel haladó e egyeneshez képest relatív mozgást végző pontnak tekintjük, akkor P szállítósebessége v e s v, a relatívsebességéről csak annyit tudunk, hogy állása merőleges v s -re. Ha P-t az f egyeneshez képest tekintjük relatív mozgást végző pontnak, akkor szállítósebessége ( r PC jelöléssel) v f s r. Az ω szögsebesség meghatározása
8 végett egyszerűség kedvéért legyen AC =1 és a kvadratrix befutásához szükséges időtartam T=1. Ekkor vt = 1, ωt = π/2, v/ω = 2/π 0,6366. A fentiekkel v f r s r v 571r 2 1, f, r 0,75. vr párhuzamos az f egyenessel. A relatív mozgások fenti sebességképletének értelmében a v P vektor végpontja a két relatív sebességvektor egyenesének M metszéspontja. A P-beli érintő a PM egyenes. Az ábrával kapcsolatban még megemlítendő, hogy a sebességvektorok ábrázolásához használt hosszegység fele a távolságegységnek. Az A pontbeli érintő megszerkesztése a fentiek alapján alig igényel magyarázatot; a két szállítósebesség egybeesik az AC, ill. AB egyenessel. Sopron, 2014. 12. 16. 2. FÜGGELÉK A kvadratrix érintőjének számítása A görbe egy tetszőleges P pontjában az érintő egyenlete, középiskolai tanulmányaink alapján: ( 23 ) ahol az érintő x tengellyel bezárt szöge a P pontban. A közvetlen feladat tehát meghatározása. Ehhez tekintsük a F2 / 1. ábrát is! Itt azt látjuk, hogy a görbe egy P pont - jában az érintő mentén elhelyezkedő v a sebességvektort felbontottuk egy vízszintes v x és egy függőleges v y összetevőre. Eszerint írhatjuk a P indexet már nem kiírva, hogy ( 24 ) Könnyebbség kedvéért ideírjuk a korábbi eredményeket is: ( 1 ) ( 2 ) ( 9 ) ( 25 )
9 F2 / 1. ábra Most ( 24 ) - hez ( 1 ) - ből: ( 26 ) Majd ( 24 ) - hez ( 9 ) - ből, ( 2 ) és ( 26 ) - tal is: ( 27 ) ezután ( 24 ), ( 25 ), ( 26 ) és ( 27 ) szerint: tehát: ( 29 )
10 innen: ( 30 ) Most határozzuk meg az érintő hajlásszögét a görbe két szélső pontjában! a.) ( 29 ) szerint: ( 31 / 1 ) ez egyezik a Graph rajzoló szoftver által kiadott f (x = 0) =1.570796 ( 31 / 2 ) értékkel. Majd ( 30 ) alapján: ( 31 / 3 ) b.) ( 29 ) alapján: ( 32 / 1 ) tehát határozatlan alakú kifejezés. Ennek feloldására alkalmazzuk a L Hospital - szabályt! tehát: ( 32 / 2 ) A Graph szoftver szerint numerikusan: f ( x = 0.99955 ) = 0.000471. ( 32 / 3 )
11 Számpélda Adatok: ( A ) Eredmények: ( E 1 ) ( E 2 ) ( E 3 ) ( E 4 ) ( E 5 ) ( E 6 ) ( E 7 ) A Graph szoftver szolgáltatásaival: x = 0.4, y = 0.435926, f (x ) = 0.713435. ( E 8 ) Az ( E 8 ) eredmény egyezik a megfelelő ( E 1 ), ( E 3 ), ( E 6 ) eredményekkel. A P pontbeli érintő egyenlete: tehát: ( E 9 ) A Graph szerinti eredmény: y = 0.713435 x + 0.150551. ( E 10 ) Az ( E 9 ) eredmény egyezik a megfelelő ( E 10 ) - zel.
12 3. FÜGGELÉK Egy rokon feladatról Hajdu Endre vetette fel az ötletet, hogy mi van akkor, ha a haladó mozgást végző egyenes a transzlációs gyorsulása is, meg a forgó mozgást végző egyenes β rotációs gyorsulása is állandó. Most ezt a kérdést válaszoljuk meg. A két összetevő mozgás időfüggvényei, hasonló kezdeti feltételekkel: ( 33 ) ( 34 ) Képezve e két egyenlet hányadosát: ( 35 ) Ilyet már korábban is láttunk. De nézelődjünk tovább! A mozgás időtartamára ( 33 ) és ( 34 ) - ből: ( 36 ) ( 37 ) most ( 36 ) és ( 37 ) egyenlőségéből: ( 38 ) A P metszéspont pályagörbéjének egyenlete mint korábban is : ( 39 ) majd ( 35 ) és ( 39 ) - cel: ( 40 ) továbbá ( 38 ) és ( 40 ) - nel: ( 41 ) A ( 41 ) egyenlet megegyezik a ( 10 ) egyenlettel, vagyis mondhatjuk, hogy e mozgás pályagörbéje is kvadratrix. Ennek az a magyarázata, hogy mindkét mozgásgeometriai feladatra igaz, hogy a két összetevő mozgás törvénye ugyanolyan: az előbbinél lineáris, az utóbbinál másodfokú parabola jellegű.
13 Sződliget, 2014. 12. 18. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár