ALAPFOGALMAKTÓL AZ ÜZLETI TERVIG (Vállalkozási ismeretek kezdőknek) Készült a PHARE HU0105-03 számú projekt keretében Eger, 2004.
ALAPFOGALMAKTÓL AZ ÜZLETI TERVIG (VÁLLALKOZÁSI ISMERETEK KEZDŐKNEK) Kézikönyv a Vállalkozói készségek fejlesztése a középfokú és felsőoktatásban című PHARE HU0105-03 program Képzők képzése diákvállalkozásokat patronálók felkészítése című projekt kurzusához Eger, 2004.
VÁLLALKOZÓI KÉSZSÉGEK FEJLESZTÉSE A KÖZÉPFOKÚ ÉS FELSŐOKTATÁSBAN Szerzők: Hollóné Kacsó Erzsébet PhD Nagy Miklós dr. Román Róbert Tánczos Tamás Lektor: Dr. Zám Éva a közgazdasági tudományok kandidátusa kari főigazgató Szerkesztő: Hollóné Kacsó Erzsébet PhD Műszaki szerkesztő: Demeter László Készült: BVB Nyomda és Kiadó Kft., Eger Ügyvezető: Budavári Sándor Eszterházy Károly Főiskola Gazdaság- és társadalomtudományi Kar Gazdaságtudományi Intézet Eger, 2004. 2
Tartalomjegyzék Előszó... 9 I. Elméleti alapvetések... 11 1. Függvénytani alapismeretek... 12 2. A közgazdaságtan alapfogalmai... 22 3. Piacgazdasági alapfogalmak... 29 4. A vállalkozások piaci viselkedése... 37 5. Irodalom... 59 II. A vállalkozások gazdasági és jogi környezete... 61 II./A. Vállalkozások jogi szabályozása (tekintettel az európai uniós szabályozásra)... 62 1. Rövid történeti áttekintés... 62 2. Általános szabályok... 62 3. A gazdasági társaság alapítása... 63 3.1. A társasági szerződés (alapító okirat, alapszabály)... 63 3.2. A tag (részvényes) vagyoni hozzájárulása... 65 3.3. Az előtársaság... 65 3.4. A gazdasági társaság legfőbb szerve... 66 3.5. A gazdasági társaság ügyvezetése... 66 3.6. A gazdasági társaság működésének ellenőrzése... 68 4. A gazdasági társaságok megszűnése... 70 4.1. Általános hatályok... 70 4.2. Az átalakulás közös szabályai... 71 4.3. Gazdasági társaságok egyesülése... 71 4.4. A gazdasági társaság szétválása... 72 5. Az egyes gazdasági társaságokra vonatkozó szabályok... 72 5.1. A közkereseti társaság (kkt.)... 72 3
5.1.1. A kkt. fogalmi meghatározása... 72 5.1.2. A társaság belső jogviszonyai... 72 5.1.3. Üzletvezetés, képviselet... 72 5.1.4. A társaság legfőbb szerve... 73 5.1.5. A társaság külső jogviszonyai... 73 5.1.6. A tagsági jogviszony és a társaság megszűnése... 73 5.2. A betéti társaság (bt.)... 73 5.3. Közös vállalat... 74 5.4. A korlátolt felelősségű társaság (kft.)... 74 5.4.1. A kft. fogalmi meghatározása... 74 5.4.2. A társaság alapítása... 74 5.4.3. A taggyűlés... 75 5.4.4. Az ügyvezetők... 76 5.4.5. A társaság megszűnése... 76 5.4.6. Az egyszemélyes kft.... 76 5.5. A részvénytársaság (rt.)... 77 5.5.1. Általános szabályok... 77 5.5.2. A részvénytársaság alapítása... 77 5.5.2.1. Zártkörű alapítás... 77 5.5.2.2. Nyilvános alapítás... 78 5.5.3. A részvénytársaság szervezete... 79 5.5.3.1. A közgyűlés... 79 5.5.3.2. Az igazgatóság... 80 5.5.4. A részvénytársaság megszűnése... 80 5.5.5. Az egyszemélyes rt.... 80 6. Kapcsolódó vállalkozások az egyesülés... 80 7. Befolyásszerzés gazdasági társaságban... 81 8. Az európai uniós alapok... 81 9. Az egyéni vállalkozás általános szabályai... 81 9.1. Egyéni vállalkozás alapítása... 81 9.2. Az egyéni vállalkozói tevékenység folytatása... 82 9.3. Az egyéni cég... 83 10. Irodalom... 83 II./B. A vállalati stratégia főbb elemei... 84 1. Stratégia az üzleti életben... 84 1.1. A Design School modell... 84 1.2. A piaci vonzerő-versenyképesség mátrix... 86 1.2.1. A kritikus tényezők kijelölése... 86 1.2.2. A kritikus tényezők értékelése... 87 4
1.2.3. A stratégiai pozíció meghatározása... 87 1.2.4. A tényezők előrejelzése és a jövőbeni stratégiai pozíció megállapítása... 87 2. A termék-életgörbe elmélet lényeges hatásai a stratégiaalkotásra... 88 3. A stratégia kidolgozásának főbb lépései... 89 3.1. A stratégiai célok meghatározása... 90 3.2. A stratégiakészítés... 92 3.3. Operatív tervek készítése, azaz a célelérést biztosító akciók részletes kidolgozása... 93 3.4. A teljesítmények figyelése... 93 3.5. A stratégia eredményes végrehajtásához, ösztönző-rendszer működtetése... 93 3.6. Iteratív, vissza-csatoló/(jelző) rendszer alkalmazása... 93 4. Irodalom... 93 III. Üzleti terv... 95 1. Az üzleti terv lényege, céljai, funkciói... 96 2. Az üzleti terv lényeges részei, fő tartalmi elemei... 97 2.1. Az üzleti terv felépítését meghatározó tényezők, az üzleti terv vázlata... 97 2.2. Az üzleti terv fő tartalmi elemei... 99 2.2.1. Azonosító adatok és alapinformációk (bevezető oldal)... 99 2.2.2. Az összefoglalás... 99 2.2.3. Iparágelemzés... 100 2.2.4. A vállalkozás leírása... 101 2.2.5. Tevékenységi terv (a termelési és műszaki terv)... 102 2.2.6. A szervezeti terv... 103 2.2.7. A marketingterv... 103 2.2.8. A pénzügyi terv... 104 2.2.9. Kockázatbecslés... 104 2.2.10. Az üzleti tervhez csatolt dokumentumok... 104 3. A vállalkozások marketingje: a marketingtervezés folyamata, a marketingterv... 106 3.1. A marketingkoncepció felépítése, marketingtervezés fázisai... 106 3.2. A marketingterv fő elemei... 107 3.2.1. Helyzetelemzés: piackutatás, SWOT analízis... 107 3.2.2. Marketing-célok, marketingstratégiák... 109 3.2.3. Marketingeszközök... 109 5
3.2.3.1. A termék/szolgáltatás (Termékmarketing)... 110 3.2.3.2. Ár, árképzés... 110 3.2.3.3. Értékesítési csatornák (Disztribúció)... 111 3.2.3.4. Promóció (kommunikációs politika)... 111 3.2.3.5. Az emberi tényező... 112 3.2.3.6. A szolgáltatás tárgyi elemei... 112 3.2.3.7. A szolgáltatási folyamat... 112 4. A vállalkozások pénzügyi kalkulációi, a pénzügyi terv... 112 4.1. A pénzügyi megvalósíthatóság bemutatása... 113 4.1.1. A vállalkozás tőkeszükséglete... 113 4.1.2. A lehetséges források, finanszírozási módok... 114 4.1.3. Az eszközök és források szembeállítása, a vállalkozás mérlege... 116 4.2. A működtetés pénzügyi eredménye... 118 4.2.1. A vállalkozás árbevétele, költségei, a jövedelemterv... 118 4.2.2. A bevételek és kiadások összevetése, a pénzforgalmi terv... 120 4.3. A vállalkozásba történő befektetés megítélése... 121 4.3.1. Fedezeti pont elemzés... 121 4.3.2. Pénzügyi mutatók... 125 4.3.2.1. Jövedelmezőségi mutatók... 125 4.3.2.2. Likviditási mutatók... 128 4.3.2.3. Eladósodottsági mutatók... 128 4.3.2.4. Összefüggés a legfontosabb mutatók között... 129 4.3.3. A vállalkozás kockázatainak megítélése... 131 4.3.3.1. A vállalkozás kockázatai... 131 4.3.3.2. A kockázat és a hozam összefüggései... 132 5. Összefoglalás... 134 6. Irodalom... 136 6
Előszó Ez a könyv Phare pályázati támogatással készült a Képzők képzése című 120 órás oktatási kurzus bevezető, elméleti alapozó moduljának tananyagaként. A képzés célja, hogy felkészítse a tanár kollégákat (elsősorban középiskolai tanárokat) alapvető gazdálkodói vállalkozói ismeretek oktatására, diákvállalkozások patronálására. A kurzus gyakorlatorientált, alapvető célja a vállalkozói készségek (helyzet-felismerési, elemzési, döntési és kommunikációs készségek) fejlesztése. A gyakorlati modulokat megelőzően, a részvevők különböző jellegű előképzettségéből, differenciált igényeiből kiindulva szükségesnek tartottuk egy elméleti jellegű modul beiktatását, melynek alapvető feladata a vállalkozások indításához, működtetéséhez szükséges alapfogalmak tisztázása, de ezen túl szemléletformálás is. Ezt a könyvet elsősorban a kurzus azon résztvevőinek ajánljuk, akik nem rendelkeznek közgazdasági előképzettséggel, de szeretnének megismerkedni a modern közgazdaságtan látásmódjával, fogalomrendszerével, elemzési eszközeivel, és a vállalkozások indításához, működtetéséhez szükséges alapvető jogi-, menedzsment-, marketing-, és pénzügyi ismereteket kívánnak szerezni. A tankönyv szerkezeti felépítésére jellemző az elméleti ismeretektől a gyakorlati jellegű ismeretek felé haladás, tekintve, hogy a kurzus gyakorlati moduljainak a megalapozását szolgálja. A könyv szerkezetileg három fő részre tagolódik. Az Elméleti alapvetések bevezető rész célja a modern mikroökonómia szemléletmódjába, elemzési eszközeibe való bevezetés, például a költségek feláldozott lehetőségként való értelmezése, a számviteli és a gazdasági profit megkülönböztetése, valamint a határelemzés, mint a modern közgazdaságtan alapvető eszközének megismertetése. A bevezető rész értelemszerűen a közgazdaságtan alapfogalmainak rendszerét, kiemelten a piacgazdasági kategóriák kapcsolatrendszerét példákkal alátámasztva tartalmazza. Tekintettel arra, hogy a mélyebb közgazdaságtani elemzésekhez matematikai alapok szükségesek, ezért a bevezető fejezet leegyszerűsített, függvénytani alapismeretekkel kezdődik. Ezt a megoldást a jobb megértés érdekében választottuk, és azoknak szántuk, akik elmélyültebben szeretnének az elemzési módszerekkel megismerkedni, és törekednek a különböző tudományterületeken szerzett ismereteik szintetizálására. Azok, akik kevésbé érdeklődnek a matematikai apparátus iránt, e pár oldalt kihagyhatják. A szerző ugyanis igyekezett a közgazdasági alapösszefüggéseket oly módon feltárni és példákkal magyarázni, hogy mélyebb matematikai alapok nélkül is érthetővé váljanak. A szűken értelmezett vállalkozási témakör a könyv második részével kezdődik. A vállalkozások jogi és gazdasági környezete című rész a vállalkozások alapításának és működtetésének feltételrendszerét, a környezetelemzés fontosságát, annak a vállalkozás célrendszerére, stratégiájára gyakorolt hatást hivatott feltárni. E rész két fő fejezetre tagolódik. A vállalkozások jogi szabályozása fejezet kellő részletezettséggel és szakmai precizitással tartalmazza a gazdasági társaságok alapításának, és megszűnésének szabályait, különös tekintettel az egyes társasági formák szervezeti és működési kereteire, normáira. Kiterjed azokra a hatályos jogi rendelkezésekre, melyek az egyéni vállalkozások létrehozásával, működési struktúrájával és megszűnési módjaival kapcsolatosak. A cégeljárás alapvető normáin kívül utalás történik azokra az európai uniós irányelvekre, melyek a társasági jog harmonizálása folytán alapvető jogi jelentőséggel bírtak. 9
A vállalati stratégia főbb elemei című fejezet a környezet kihívásaira adható válaszokat igyekszik megragadni elméleti és módszertani szempontból. Tartalmazza a célok és a stratégia kapcsolatrendszerét, a stratégia alkotás jellegzetes modelljeit. A különböző modellek (SWOT-modell, piaci vonzerő-versenyképesség mátrix, termék-életgörbe) bemutatásán, értelmezésén túl, a gyakorlati alkalmazhatóságuk és a vállalkozás menedzselésének fontossága is megfogalmazódik. A tananyag további építkezésének logikája az, hogy az üzleti terv fő részeinek sorrendjében haladva vesszük végig a vállalkozási tevékenység menedzselésének főbb feladatait. Az üzleti terv összefoglaló címet viselő harmadik fejezet tehát nemcsak az üzleti terv készítésének fontosságára, fő formai és tartalmi elemeinek számbavételére szorítkozik, hanem a fő részeinek - marketingterv, pénzügyi terv, kockázatbecslés - kiemelésével ezen funkcionális tevékenységek lényeges elméleti és módszertani vonatkozásai is kiemelésre kerülnek. Ennek sorában kiemelt hangsúly kapnak a helyzetelemző módszerek, technikák, a marketingtevékenység főbb mozzanatai, valamint az üzleti tevékenység megalapozásához a vállalkozásba történő befektetések megítéléséhez nélkülözhetetlen kalkulációk, egyszerű pénzügyi számítások. A tankönyv valamennyi része tartalmazza a kapcsolódó, az alaposabb elmélyülésre lehetőséget adó szakirodalmak jegyzékét. A tankönyv a felvázolt logikai rendszerben építkezik, anyagát négy - a közgazdaságtan különböző szakterületén tevékenykedő - oktató, az oktatásban együttműködő kolléga írta. Az egyes részek eltérő stílusa az adott téma vonatkozásában elsősorban a szakmai szempontok betartásából és a szerzők egyéniségéből fakad. Az is előfordul, hogy az egyes fogalmak, elemzési eszközök egymást követő részekben más összefüggésrendszerben megismétlődnek. A szerkesztő nem törekedett sem a stílusbeli különbségek egységesítésére, sem az ismétlődések kiiktatására, mert a szakmaiság, és az egyes részek önálló feldolgozhatósága volt az elsődleges szempont, ezzel biztosítva a különböző előképzettségű és eltérő érdeklődésű olvasók (hallgatók) különböző pontokon való bekapcsolódását. Ezen tananyag szerves egységben íródott a vállalkozói készségfejlesztési modul tankönyvével, amely az elméleti ismeretekre alapozva olyan gyakorlatokat, szituációs feladatokat tartalmaz, melyek révén a vállalkozói alaptulajdonságok, készségek fejleszthetők. Ajánljuk e könyvet (könyveket) nemcsak a Képzők képzése kurzus résztvevőinek, hanem mindazoknak, akik a vállalkozások viselkedését szeretnék megismerni, vállalkozást kívánnak indítani, vagy a vállalkozásukat nagyobb hozzáértéssel, eredményesen kívánják működtetni. Figyelmükbe ajánljuk, hogy ma már a pályázatok készítéséhez is elengedhetetlen az üzleti terv fő elemeinek szakszerű ismerete, megadott szempontok szerinti összeállítása, megfelelő színvonalú prezentálása. Kívánjuk, hogy minden hallgatónk, és minden érdeklődő haszonnal forgassa e könyvet. Kérjük és várjuk észrevételeiket a könyv használhatóságával, érhetőségével, stílusával kapcsolatban. Jó tanulást, a diák- és a valóságos vállalkozások létrehozásához jó ötleteket, menedzseléséhez kellő szakmai megalapozottságot és sikereket kíván a szerzői kollektíva nevében: Eger, 2004. január a szerkesztő 10
I. Elméleti alapvetések Írta: Tánczos Tamás
I. Elméleti alapvetések A tankönyvet olvasva látni fogjuk, hogy a közgazdaságtan "sajnos" jelentős mértékben matematikai alapokon áll. A jegyzet első fejezetét képező elméleti ismeretek elsajátításához elsősorban függvénytani ismeretek szükségesek, ezért még mielőtt belemennénk a mélyebb közgazdasági összefüggések tárgyalásába, föl kell, hogy elevenítsük a függvénytan területén korábban már megszerzett alapismereteinket. Ezzel kapcsolatban megnyugtatásul szeretném előre bocsátani a következőket. Jelen helyen csak rendkívül egyszerű, a közgazdasági tanulmányokhoz mindenféleképpen nélkülözhetetlen függvénytani alapösszefüggések kerülnek tárgyalásra, a lehető legközérthetőbb nyelven. Mivel a témakör kifejtése során, a könnyebb érthetőség érdekében igyekszem elszakadni a matematika szigorú nyelvezetétől, ezért helyenként tapasztalhatnak majd kevéssé egzakt, pongyola megfogalmazásokat is, melyekért a mélyebb matematikai ismeretekkel rendelkező olvasóktól előre is elnézést kérek. Arra való tekintettel azonban, hogy jelen helyen közgazdasági és nem matematikai tanulmányokat folytatunk, úgy gondolom, hogy a közgazdasági összefüggések megértése érdekében, helyenként akár még a matematikai pontosság is feláldozható. Ennyi bevezetés után, nézzük a lényeget. 1. Függvénytani alapismeretek A tanulmányaink során előkerülő függvények, két vagy három változó számszerű értéket rendelnek egymáshoz, valamilyen matematikai egyenlet (szabályszerűség) alapján. A függvény egyenletekben a változókat mindig betűk jelölik. A függvény egyenletekben szereplő változók alapján, minden függvénynek két "részét" különítjük el. Az egyik részében a független változó, a másik részében a függő változó található. A független változót azért hívják független változónak, mert ennek, mindentől függetlenül, mi magunk adhatunk tetszőleges számszerű értéket. Ezzel szemben a függő változó, az általunk megadott értéktől függően, a matematikai egyenlet segítségével alakul ki. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a függvény egyenletébe, a független változót jelölő betű helyére tetszőleges számot írva, és elvégezve az egyenlet által leírt matematikai műveleteket, a függő változót jelölő betű helyén, egy másik számértéket kapunk. Az így kialakult szám pár, függvényszerű kapcsolatban áll egymással. Mivel a számokból végtelen sok van, ezért egymással függvényszerű kapcsolatban álló szám párokból is végtelen sok képezhető. Minden függvényben, függő változóból csak egy van. Független változóból vagy egy sincs, vagy több is van. Az egy független változóval rendelkező függvényt egyváltozós, a két független változóval rendelkező függvényt kétváltozós, a független változó nélküli függvényt konstans (állandó) függvénynek nevezzük. Ebben a fejezetben zömében egy független változóval rendelkező függvényeket tárgyalunk, elvétve előfordul majd független változó nélküli, illetve két független változóval rendelkező függvény is. Ha a függvény két független változóval rendelkezik, akkor a függvényszerű kapcsolat eredményeként, természetesen nem szám párok, hanem szám hármasok alakulnak ki. Ha a függvényben nincsen független változó, a függvényszerű kapcsolat eredményét akkor is szám párok adják. A függvény egyenletekben a függő változó mindig az egyenlet egyik oldalán, önmagában áll. A független változó (változók) az egyenlet másik oldalán helyezkedik el. Ha a független változó helyére az általunk beírt számokat egy csoportba (halmaz) gyűjtjük, akkor megkapjuk a függvény értelmezési tartományát. Ez a számhalmaz tehát azt mutatja meg, hogy a függvénynek milyen számok esetén van értelme. Ha például a független 12
változóval emberek számát akarjuk jelölni, akkor a független változót jelölő betű helyére nyilvánvalóan csak pozitív és egész szám kerülhet, mert negatív és fél ember nincsen. Ebből tehát az következik, hogy a fent említett függvénynek csak a pozitív egész számok esetén van értelme, tehát az értelmezési tartományát a pozitív egész számok adják. Az értelmezési tartományt mi magunk is meghatározhatjuk, azaz kijelölhetjük azokat a számokat, melyek esetén értelmezni szeretnénk az adott függvényt. Több független változóval rendelkező függvénynek, természetesen több értelmezési tartománya van. Ha a függvénynek nincs független változója, akkor is egy értelmezési tartománya van. Ha a függő változót jelölő betű helyén kialakult számokat egy másik halmazba gyűjtjük, akkor megkapjuk a függvény értékkészletét. Ezek a számok ugyanis, a függvény egyenletének az eredményét, azaz a keresett értékeket adják. A független változó nélküli, valamint az egy, illetve két független változóval rendelkező függvények, koordinátarendszerben ábrázolhatók. A független változó (változók) leggyakrabban a koordinátarendszer vízszintes tengelyén helyezkedik el, a függő változó pedig a függőleges tengelyen. Ez alól a közgazdaságtanban vannak kivételek, erre majd minden kivételes esetben külön fölhívom a figyelmet. Most nézzünk a fentiekben leírtakra néhány példát. y y 1. ábra x 2. ábra x A függvény egyenlete: y = 10x. A függvény egyenlete: y = 10. Ez egy egyváltozós függvény, a független változó az "x", a függő változó az "y". A függvény értelmezési tartománya 0 és 4 közé esik (0 x 4), mert a vízszintes tengelyen a függvény ebben a tartományban van ábrázolva. Az értelmezési tartomány tetszőlegesen lett így meghatározva. A függvény értékkészlete 0 és 40 közé esik (0 y 40), mert a független változónak megadott értékek, és a függvény egyenlete alapján így alakult. Ez egy konstans függvény, az értelmezési tartománya 0 és 4 közé esik (0 x 4), mely tetszőlegesen lett így meghatározva. Az értékkészletének egyetlen egy eleme van, ez a 10. 13
A függvény egyenlete: z = -0,5 (x 2 + y 2 ) + 5 3. ábra Ez egy kétváltozós függvény, a független változók az "x" és az "y", a függő változó "z". A függvény értelmezési tartománya mindkét változó esetén -5 és 5 közé esik (-5 x 5 és -5 y 5), mert tetszőlegesen így lett megadva. Az értékkészlete szintén ebbe a tartományba esik, mert a független változóknak megadott értékek és a függvény egyenlete alapján így alakult. A fentiekben leírtak mellett, fontos még a függvényekről megjegyezni a következőt: függvényről csak akkor beszélhetünk, ha az értelmezési tartomány minden eleméhez hozzá van rendelve az értékkészlet valamely eleme, de csak egy eleme. Most egy egyszerű ábrán keresztül nézzük meg, mit is jelent ez pontosan. y Az ábrán látható vonal nem függvény, mert az értelmezési tartományban 3 és 5 között, az értelmezési tartomány minden eleméhez, az értékkészletnek két eleme van hozzárendelve. A 3-hoz például 24 és 50, a 4-hez 32 és 45. 4. ábra x 14
y Az ábrán látható függvény egyenlete: y = x 2. Ez valóban függvény, mert az értelmezési tartomány minden eleméhez, az értékkészletből csak egy elem tartozik hozzá. Vegyük észre azonban, hogy az értékkészlet minden eleméhez az értelmezési x tartományból két elem, egy pozitív, és egy ugyanolyan negatív érték 5. ábra tartozik. Ettől a függvény még függvény marad, viszont ez alapján kimondhatjuk, hogy a hozzárendelés nem kölcsönösen egyértelmű. Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésről ugyanis csak akkor beszélhetünk, ha az értelmezési tartomány minden eleméhez az értékkészletből csak egy elem tartozik, és ez viszont is igaz. A kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek megfelel például, a korábban már látott, y = 10x függvény egyenlet. Függvények inverze Egy függvény inverz függvényét úgy kapjuk, hogy fölcseréljük a függő és a független változót, tehát ami az eredeti függvényben független változó volt az inverz függvényben függő lesz, ami az eredeti függvényben függő változó volt az inverz függvényben független lesz. Inverz függvénye csak azoknak a függvényeknek képezhető, melyeknél érvényesül a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés. Az inverz képzés algebrailag úgy történik, hogy az eredeti függvény egyenletét a függvényben szereplő másik változóra rendezzük át. Ez geometriailag gyakorlatilag azt jelenti, hogy az eredeti függvény képét, egy, az origóból induló 45 -os egyenesre tükrözzük. Most nézzünk erre két egyszerű példát. y x x y = 10x (0 x 4) x = 0,1y (0 y 40) 6. ábra y y x x y = 5x 2 (0 x 3,1) x = y 0,5 /5 0,5 (0 y 35) 7. ábra y 15
A fenti ábrákon jól látszik az inverz képzés algebrai és geometriai megfelelője is. Ne zavarjon meg senkit, hogy a jobb alsó ábrán az inverz függvény a mellette lévőhöz viszonyítva vízszintes irányba elnyújtottabb, ennek az az oka, hogy a koordinátarendszer tengelyein az egységek láthatóan nem egyformák. Az összetartozó pontokat kell figyelni. Függvények elmozdulása, megnyúlása Ha egy függvény egyenletéhez egy tetszőleges konstans értéket adunk hozzá, akkor a függvény képe önmagával párhuzamosan fölfelé tolódik, a konstans mértékével. Konstans érték levonása esetén, ez természetesen fordítva történik. Ha egy függvény egyenletét egy tetszőleges konstans értékkel megszorozzuk, akkor a függvény képe fölfelé megnyúlik. Konstans értékkel történő osztás esetén, ez természetesen fordítva játszódik le. Nézzünk erre egy-egy példát. A függvények egyenletei: Y: y = x 2 Y Y 1 : y = 2x 2 Y 1 Az ábrán látható, hogy az értelmezési tartomány (vízszintes tengely) egyes elemeihez, a konstanssal beszorzott függvény (y 1 ) esetén, az értékkészletből (függőleges Y tengely) nagyobb elemek tartoznak. Ez alól egy kivétel van, az "x" = 0 pont. Ez tehát a függvények közös pontja, az összes többi pontban, a X konstanssal szorzott függvény nagyobb, sőt egyre nagyobb értékeket vesz föl. A függvény tehát 8. ábra fölfelé megnyúlt. Y 9. ábra A függvények egyenletei: Y: y = x 2 Y 1 : y = x 2 + 2 Ne tévesszen meg senkit, hogy a függvények ránézésre összetartanak. Ha pontosan megnézzük az ábrát, akkor látjuk, hogy a függvények egymás fölött lévő pontjai a függvény mentén azonos távolságra vannak egymástól. Függvények iránya és sebessége A függvények irányának a meghatározását, mindig az értelmezési tartományon (általában a vízszintes tengely) pozitív irányba elindulva vizsgáljuk. Ha ebben az esetben a függvény az értékkészletből (általában a függőleges tengely) egyre nagyobb értékeket vesz fel, azaz emelkedik, akkor azt mondjuk, hogy a függvény irányát tekintve növekvő, vagy más szóval a meredeksége pozitív. Ellenkező esetben a függvény irányát tekintve csökkenő, vagy más szóval, a meredeksége negatív. A konstans függvény az értelmezési tartományt reprezentáló koordináta tengellyel párhuzamos, se nem növekvő, se nem csökkenő, tehát a meredeksége nulla. Y 1 Y x 16
A függvények sebességét a függvények íve alapján lehet a legkönnyebben eldönteni. Ha egy függvény az értelmezési tartomány (általában a vízszintes tengely) felől nézve konkáv (lekonyul), akkor azt mondjuk, hogy a függvény lassulva növekszik, vagy más szóval, csökkenő ütemben nő. Ha az értelmezési tartomány felől nézve konvex, akkor azt mondjuk, hogy a függvény gyorsulva növekszik, vagy más szóval, növekvő ütemben növekszik. A függvények irányát és sebességét, le tudjuk írni egy másik függvénnyel. A közgazdaságtanban azt a függvényt, amely egy másik függvény irányát és sebességét írja le, az eredeti függvény határfüggvényének nevezzük. A határfüggvény értelmezési tartománya mindig megegyezik az eredeti függvény értelmezési tartományával. A határ függvény értékét, geometriailag, a vizsgált pontban, az eredeti függvényhez húzott érintő meredeksége adja. Mivel az érintő egy egyenes, ezért a meredekségét könnyedén meg tudjuk határozni úgy, hogy kiválasztunk rajta két tetszőleges pontot, képezzük a két ponthoz tartozó függő változók értékeinek a különbségét, ugyanezt megtesszük a független változókkal, majd a függő változók különbségét osztjuk a független változók különbségével. Most nézzük meg ezt egy ábrán. y x y x 10. ábra Jelen esetben, a felső koordinátarendszerben lévő függvényt tekintjük a kiinduló függvénynek (egyenlete: y = -3x 2 + 32 x + 11), az alsó koordinátarendszerben pedig, a felső függvény határfüggvénye látható (egyenlete: y = -6x + 32). 17
A fentiekben már megállapítottuk, hogy egy függvény határfüggvényének értékeit, a függvényhez húzott érintő meredeksége adja. Mivel egy folytonos függvénynek végtelen sok pontja van, ezért, ha a függvény minden pontjához érintőt szeretnénk húzni, akkor végtelen sok érintőt kapnánk. Mi most csak három ponthoz húztunk érintőt, mert a lényeg így is megérthető. A origóból elindulva az első érintő (egyenlete: y = 26x + 14) a függvényt x = 1 pontban érinti, ahol a határfüggvényen leolvasható függvényérték Y = 26. Az érintő meredeksége is 26, ami egyébként az érintő egyenletéből is látszik (az "x" előtt lévő szorzótényező). A második érintő (egyenlete: y = 14x + 38) a függvényt x = 3 pontban érinti, ahol a határfüggvényen leolvasható függvényérték y = 14. Az érintő meredeksége is 14. És végül az utolsó érintő (egyenlete y = 96,3) a függvényt x = 5,3 pontban érinti, ahol a határfüggvényen leolvasható érték y = 0, és itt az érintő meredeksége is 0. A határfüggvényen megfigyelhetjük, hogy az x = 2 pontjában leolvasható érték éppen y = 20. Az iméntiekben leírtak alapján, ebből nyilvánvalóan az következik, hogy ha a fölső koordinátarendszerben lévő függvényhez x = 2 pontban húznánk egy érintőt, akkor annak a meredeksége éppen 20 lenne. A fentiek alapján láthatjuk, hogy a függvény mentén haladva a függvényhez húzott érintők meredeksége folyamatosan csökken, így a határ függvény is folyamatosan csökken, és az eredeti függvény maximumpontjában a hozzá húzott érintő meredeksége nulla, így a határ függvény értéke is nulla. Ahol az eredeti függvény csökken, ott a határ függvény a negatív tartományban jár. A fentiek alapján összességében kimondhatjuk, hogy az iménti példában, a határfüggvény addig jár a koordinátarendszer pozitív negyedében (az "y" értékek pozitív számok) amíg az eredeti függvény növekszik. A határfüggvény azért csökkenő (negatív meredekségű), mert az eredeti függvény csökkenő ütemben, vagy más szóval lassulva növekszik. Most nézzünk a függvények irányára és sebességére néhány példát (az egymás alatti ábrák összetartoznak). y y x x y y x 11. ábra x 12. ábra A bal felső ábrán, egy egyenletes (állandó) sebességgel növekvő függvény látható (egyenlete: y =10x). A függvény növekedési sebessége 10. Ez azt jelenti, hogy az "x" értékének 1 egységnyi növekedése az "y" értékében mindig 10 egységnyi növekedést idéz elő. Mivel a függvény növekszik, ezért a határfüggvény a pozitív tartományban jár. Mivel a függvény 18
növekedési sebessége egyenletes (állandó), ezért a határfüggvény konstans (egyenlete: y =10). Mivel a függvény növekedési sebessége mindig 10, ezért a határfüggvény konstans 10. A jobb felső ábrán, egy egyenletes sebességgel csökkenő függvény látható (egyenlete: y = -10x). A csökkenés sebessége 10, tehát az "x" értékének 1 egységnyi növekedése az "y" értékében mindig 10 egységnyi csökkenést eredményez. Mivel a függvény csökken, ezért a határfüggvény a negatív tartományban jár (egyenlete: y = -10). Mivel a függvény csökkenési sebessége egyenletes, ezért a határfüggvény konstans. Mivel a függvény csökkenési sebessége mindig 10 (a csökkenés gyakorlatilag negatív növekedés), ezért a határfüggvény konstans -10. (Az egymás alatti ábrák összetartoznak.) y y x x y y x 13. ábra 14. ábra x A bal felső ábrában, egy gyorsulva növekvő (növekvő ütemben növekvő) függvény látható (egyenlete: y = 5x 2 ). Ez azt jelenti, hogy ha az "x" értékét mindig 1 egységgel növeljük, akkor ez, az "y" értékében egyre nagyobb növekedést idéz elő. Ez az ábrán jól meg is figyelhető. Mivel a függvény növekszik, ezért a határfüggvény a pozitív tartományban jár (egyenlete: y = 10x). Mivel a függvény gyorsul, ezért a határfüggvény növekvő. A jobb felső ábrában, egy lassulva növekvő (csökkenő ütemben növekvő) függvény látható (egyenlete: -3x 2 + 30x). Ez azt jelenti, hogy ha az "x" értékét mindig 1 egységgel növeljük, akkor ez, az "y" értékében egyre kisebb növekedést idéz elő. Mivel a függvény növekszik, ezért a határfüggvény a pozitív tartományban jár (egyenlete: y = -6x +30). Mivel a függvény lassul, ezért a határfüggvény csökkenő. Természetesen egy függvénynek nem feltétlenül kell teljes egészében gyorsulnia vagy lassulnia. Léteznek olyan függvények, melyeken belül elkülönítünk gyorsuló és lassuló szakaszokat. Nézzünk most erre egy példát. 19
y x y 15. ábra x A felső koordinátarendszerben lévő függvény (egyenlete: y = 5x 2 (0 x 2,55) és y = -5x 2 + 51x - 65 (2,55 x 6)), egy darabig gyorsulva, majd lassulva nő, és egy pont után csökken. Az a pontot, ahol a függvény sebessége megváltozik vagy más szóval görbületet vált, a függvény inflexiós pontjának nevezzük. Jelen esetben, ez az x = 2,55; y = 32,5 pontban van. Ebben a pontban egyébként (és ez az ábrán is jól látszik) a határfüggvénynek szélsőértéke (maximuma vagy minimuma) van. A fentiekben ábrázolt határfüggvények egyenesek voltak. A lineáris (egyenes) határfüggvény azt fejezi ki, hogy az eredeti függvény vagy egyenletesen gyorsul vagy egyenletesen lassul. A határfüggvények természetesen nem csak egyenesek lehetnek. A határfüggvény íve, az eredeti függvény gyorsulásának vagy lassulásának a sebességét érzékelteti. Egy függvény ugyanis a fentiekben tárgyalt mellett, lehet még gyorsulva gyorsuló, lassulva gyorsuló, vagy gyorsulva lassuló és lassulva lassuló. Ezekkel az esetekkel itt nem foglalkozunk. Korábban már említettem, hogy a határfüggvények geometriailag az eredeti függvényhez húzott érintő meredekségéből származtathatók. Nekünk, jelen közgazdasági tanulmányaink esetén, a határfüggvények származtatásáról ennyi éppen elegendő is. Mellékesen utalnék azonban arra, hogy a gyakorlatban nyilván nem húzgálnak érintőket a vizsgált függvény pontjaihoz (ez meglehetősen nehézkes is lenne, lévén, hogy egy folytonos függvénynek végtelen sok pontja van), hanem algebrai úton határozzák meg a határfüggvény egyenletét. Ezt a módszert diferenciálszámításnak hívják, de ezzel mi itt nem foglalkozunk. Lényegét tekintve a határfüggvényekről elmondhatjuk a következőt. 20