Szent István Egyetem (Hidrodinamika) Dr. Seres István
Hidrosztatika Ideális folyadékok áramlása Viszkózus folyadékok áramlása Felületi feszültség fft.szie.hu 2
Hidrosztatika Nyomás: p F A Mértékegysége: Pascal (Pa) 1 Pascal = 1 N/m 2 1 bar 1 atm 10 5 Pa = 100 kpa fft.szie.hu 3
Hidrosztatika Pascal törvény: Ideális folyadékban a nyomás gyengítetlenül terjed. F 1 A 1 p F A 2 2 F 1 F 2 A 1 A 2 Hidraulikus eszközök! fft.szie.hu 4
Hidrosztatikai nyomás: A folyadék saját súlyából származó nyomása: p F V g A ny A G A mg Ahg A A gh A Marianna árok mélyén (11 000 m) a nyomás: 1000 10 11000 = 1100 10 5 Pa = 1100 atm. h fft.szie.hu 5
Hidrosztatikai nyomás következménye: Archimédesz törvény: F 1 =p 1 A = ( g h 1 ) A F 2 =p 2 A = ( g h 2 ) A F e = F 2 F 1 = g (h 2 -h 1 ) A h 2 F 1 h 1 A F 2 Mivel (h 2 -h 1 ) A = V be F fel = V be g fft.szie.hu 6
Ideális folyadék áramlása Kontinuitási (folytonossági) törvény: Miért keskenyedik el a vízcsapból kifolyó vízsugár? fft.szie.hu 7
Miért keskenyedik el a vízcsapból kifolyó vízsugár? v t A A t idő alatt átfolyó térfogat egy henger térfogata: V = alapterület * magasság = A v t fft.szie.hu 8
Kontinuitási törvény: Miért keskenyedik el a vízcsapból kifolyó vízsugár? A 1 v 1 t = A 2 v 2 t fft.szie.hu 9
A 2 v 2 t = A 1 v 1 t /:t A 1 v 1 = A 2 v 2 Kontinuitási (folytonossági) törvény: Áramló ideális folyadék esetén a keresztmetszet és az áramlási sebesség szorzata állandó: A v = állandó Gyakorlati alkalmazás: locsolócső fúvókák fft.szie.hu 10
Kontinuitási (folytonossági) törvény: Hol áramlik gyorsabban a vér, az ütőérben vagy a kapillárisban? fft.szie.hu 11
azaz p p 1 2 Bernoulli törvény: 1 2 v gh fft.szie.hu 12 2 állandó 2 2 1 v1 gh 1 p2 v2 gh ahol:- az áramló közeg sűrűsége, - p a közegben mérhető nyomás, - v a közeg áramlási sebessége, - h az áramló közeg tömegközéppontjának a helyzeti energia nulla szintje feletti magassága. 1 2 2
Bernoulli törvény: hidrodinamikai paradoxon p 1 2 1 2 2 2 1 v1 p2 v2 p 1 < p 2 p 1 = p 2 p 1 > p 2? d 1 v 1 p 1 v 2 d 2 p 2 fft.szie.hu 13
Bernoulli törvény: hidrodinamikai paradoxon p 1 2 1 2 2 2 1 v1 p2 v2 Ha v 1 < v 2 p 1 > p 2! Ha megnő a közeg áramlási sebessége, akkor lecsökken a nyomása! fft.szie.hu 14
Bernoulli törvény: hidrodinamikai paradoxon Ha megnő a folyadék áramlási sebessége, akkor lecsökken a nyomása! Gyakorlati példák, alkalmazások: Lefele fordított tölcsérből nem tudom kifújni a pingponglabdát (órai kísérlet) porlasztó parfümszóró sebességmérő (Prandtl cső, Pitot cső) nagy sebességű közeg szívó hatása (viharban a háztető) Repülőgépre ható emelő erő (dinamikai felhajtóerő) fft.szie.hu 15
Bernoulli törvény: Prandtl cső fft.szie.hu 16
Bernoulli törvény: Pitot cső fft.szie.hu 17
Bernoulli törvény: Pitot cső Műszaki összefoglaló Hossz (a pitot cső nélkül): 14.1m (46ft 3in) Fesztáv (beleértve a rakétaindító síneket): 8.4 m (27ft 6in) Magasság: 4.5 m (14ft 8in) Maximális felszálló súly: 14 tonna fft.szie.hu 18
Ideális folyadék áramlása A Bernoulli törvény következménye: Toricelli törvény: A lyukon kifolyó víz sebessége: h v v 2gh fft.szie.hu 19
Viszkózus közegek: Viszkozitás: folyadék belső súrlódási együttható Jele: h (éta görög betű) SI mértékegysége: Pas (pascal- szekundum) fft.szie.hu 20
Viszkózus közeg: Közegellenállási erő (viszkózus közegben mozgó testre ható erő): F = c h A v Ahol c az alaktényező, h a viszkozitás, A a homlokfelület, v a haladási sebesség Szabálytalan testekre c csak méréssel Szabályos test (pl. gömb) c számolható fft.szie.hu 21
Viszkózus közeg: Stokes törvény: viszkózus közegben mozgó gömb alakú testre ható közegellenállási erő: F 6Rhv ahol R a gömb sugara, h a viszkozitás, v a haladási sebesség. A törvény csak akkor igaz, ha nincsenek örvények a golyó mozgása közben! fft.szie.hu 22
Viszkózus közeg: Lamináris áramlás: nincsenek örvények az áramlási térben Turbulens áramlás: van örvényképződés Reynolds szám: Re Ha Re < Re krit, akkor nincsenek örvények! (golyó esetén Re krit = 1) R h v fft.szie.hu 23
Viszkózus közeg: szedimentáció Az olajban süllyedő golyóra mozgás közben három erő hat: lefele a gravitációs erő : G = g V g felfele a felhajtó erő : F f = o V g felfele a Stokes-féle közegellenállási erő : F s = 6 R h v F s F f G fft.szie.hu 24
Viszkózus közeg: szedimentáció A sebesség egy exponenciális függvény szerint beáll egy állandó értékre F s F f G v v m fft.szie.hu 25 t
Viszkózus közeg: szedimentáció Láttuk, hogy a test gyakorlatilag egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, a golyóra ható erők eredője nulla, Azaz: g V g = o V g + 6 R h v m F s F f G fft.szie.hu 26
Viszkózus közeg: szedimentáció g V g = o V g + 6 R h v m Mivel a golyó térfogatára: V fft.szie.hu 27 4 3 R 3 Ezt behelyettesítve, R-el, 2-vel és -vel osztva és rendezve: h 2 9 ( )R g o s / t 2 g F s F f G
szedimentációs feladat: 10 cm magas vízzel teli üvegedénybe egy marék homokot szórunk. A víz zavarossá válik, majd 3 perc alatt kitisztul. Mekkora a homokszemcsék átlagos átmérője? Adatok: víz = 100 kg/m 3, homok = 2500 kg/m 3, h = 0,001 Pas, s = 10 cm = 0,1 m, t = 3 perc = 180 s. fft.szie.hu 28
szedimentációs feladat megoldása: Adatok: víz = 100 kg/m 3, homok = 2500 kg/m 3, h = 0,001 Pas, s = 10 cm = 0,1 m, t = 3 perc = 180 s. 2 2 ( g f )R h,innét 9 s / t 2 9hs 90,0010,1 R =1,67 10 2( )t 2(2500 1000) 180-9 g f R = 4,1 10-5 m = 0,041 mm. fft.szie.hu 29
Viszkózus közeg áramlása: Csőben áramló súrlódó folyadékban a folyadék sebessége ne azonos a teljes keresztmetszeten: Parabolikus sebességprofil: v(r) p 4hL (R 2 r 2 ) fft.szie.hu 30
Viszkózus közeg áramlása: Hagen-Poiseuille törvény: A csövön időegység alatt átáramló folyadék térfogata (folyadékhozam): Q V p R 4 t 8hL fft.szie.hu 31
Viszkózus közeg áramlása: Hagen-Poiseuille törvény: Q V p R 4 t 8hL A törvény igaz, ha lamináris az áramlás, vagyis ha Re < Re krit. = 1160. fft.szie.hu 32
Felületi feszültség A nedvesítő folyadék konvex görbült szintje (meniszkusza) alacsonyabb a kapilláris belsejében, mint a falnál (pl. üveg víz). Nem-nedvesítő folyadéknál a görbület konkáv, a folyadékszint magasabb (pl. üveg Hg). belső Gyakorlati jelentősége nagy, pl: a talaj vízháztartásának szabályozásában, porózus anyagok nedvesedése (falak, itatóspapír) fft.szie.hu 33
Felületi feszültség Felületi molekulára az eredő erő nem nulla, és a folyadék belseje felé mutat Felületi feszültség (felületnöveléshez munka kell) Belső molekulára az eredő erő nulla fft.szie.hu 34
Felületi feszültség Definíció: Egységnyi felületnöveléshez szükséges munkavégzés W A Mértékegysége: J/m 2 = N/m fft.szie.hu 35
Felületi feszültség drót Munka = erő x elmozdulás hártya W A F x x csúszka x Innét: F fft.szie.hu 36
Felületi feszültség F 2R Egyensúly: F = G F V 2R g n G fft.szie.hu 37
Felületi feszültség mérése: (relatív mérés desztillált vízhez viszonyítunk) szorító gumicső pumpa a n a v n fft.szie.hu 38 v bejelölések kapilláris Ahol a sűrűség, n a cseppszám, a felületi feszültség. a index- alkohol v index desztillált víz a v csap körlap vízcsepp 1. ábra. A sztalagmométer állvá ny puff er üvegpohár
Felületi feszültség mérése: (relatív mérés desztillált vízhez viszonyítunk) szorító gumicső csap pumpa Mérés menete: Kicsepegtetem a deszt. vizet Kicsepegtetem az alkoholt Számolom a cseppszámokat Behelyettesítek a képletbe bejelölések kapilláris körlap állvá ny puf fer vízcsep p üvegpohár 1. ábra. A sztalagmométer fft.szie.hu 39
Felületi feszültség mérése: (relatív mérés desztillált vízhez viszonyítunk) szorító gumicső csap pumpa Adatok: Sűrűség: Desztillált víz: 998 kg/m 3, Izobutil alkohol: 808 kg/m 3, bejelölések kapilláris körlap állvá ny puf fer vízcsep p üvegpohár 1. ábra. A sztalagmométer Desztillált víz felületi fesz.: 0,0729 N/m fft.szie.hu 40
Felületi feszültség: Folyadék felszín illeszkedése az edény falához Illeszkedési szög: Nedvesítő folyadék: 0º Nem nedvesítő folyadék: 180º fft.szie.hu 41
Felületi feszültség: Kapilláris emelkedés: F = G 2R cos (R 2 h)g 2 h cos gr fft.szie.hu 42
Felületi feszültség: Milyen magasra nőhet egy fa? Hogyan jutnak vízhez a növények? fft.szie.hu 43