HŐÁTVITEL SZILÍCIUM MIKROGÉPÉSZETI SZERKEZETEKBEN

HŐÁTVITEL SZILÍCIUM MIKROGÉPÉSZETI SZERKEZETEKBEN PhD ÉRTEKEZÉS FÜRJES PÉTER TÉMAVEZETŐ: Dr. BÁRSONY ISTVÁN BUDAPEST 23.

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK... 1 1. BEVEZETÉS... 3 1.1. Motiváció... 3 1.2. Alkalmazott mintastruktúrák alkalmazási lehetőségek... 4 1.2.1. Pellisztor típusú gázérzékelő szenzorhálózat... 4 1.2.2. Áramlási irányra érzékeny kalorimetrikus típusú áramlásmérő... 4 1.2.3. Pórusos szilícium alapú nedvességérzékelő... 4 2. A HŐÁTVITEL FOLYAMATAINAK ELMÉLETI ALAPJAI... 5 2.1. Alapfogalmak... 5 2.2. Transzportfolyamatok általános leírása... 6 2.3. Tömegtranszport, tömegáramlás leírása... 7 2.4. A transzportfolyamatokat leíró egyenletek megoldásainak egyértelműsége... 8 3. A HŐÁTVITEL ALAPVETŐ FORMÁI... 9 3.1. Hővezetés... 9 3.1.1. A hővezetés leírása... 1 3.1.2. Hőellenállás, kontakt hőellenállás... 11 3.2. Konvekció, hőátadás áramló közeg felé... 12 3.2.1. A konvekció leírása... 12 3.2.2. A termikus és hidraulikai határréteg... 14 3.2.3. A konvektív folyamatok hasonlósága... 18 3.3. Sugárzásos hőátvitel... 19 4. TRANSZPORTFOLYAMATOK MODELLEZÉSÉNEK MÓDSZEREI... 21 4.1. Termikus rendszerek hőáramhálózatos modelljei... 21 4.1.1. A hálózatos modellezés alapelvei... 21 4.1.2. A hálózat felépítése és alapelemei... 21 4.2. Termikus szerkezetek kompakt modelljei... 24 4.2.1. Szerkezetek jellemzése... 24 4.2.2. Tranziens vizsgálat... 27 4.3. Véges elemek módszerének alkalmazása anyagszerkezeti modell-szimulációkban... 29 4.3.1. A véges elem módszerek alapgondolata... 29 4.3.2. Hővezetési problémák megfogalmazása véges elemek alkalmazásával... 3 4.4. CFD (Computational Fluid Dinamics) Termohidraulikai problémák megoldása... 31 4.4.1. A CFD alapjai... 31 4.4.2. A véges térfogatok módszerének alkalmazása transzportfolyamatok modellezésére... 32 4.5. Áramkörök viselkedésének vizsgálatára alkalmas modellek... 34 5. PONTSZERŰ HŐFORRÁSOK TERMIKUS ÉS MECHANIKAI JELLEMZŐI ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOTBAN... 36 5.1. Mikrofűtőtestek előállítása és alkalmazásai... 36 5.1.1. Szenzorstruktúrák... 36 5.1.2. Fűtőtest előállítása mikromechanikai technikákkal... 38 5.3. Mikrofűtőtestek termikus tulajdonságainak vizsgálata... 39 5.3.1. Mikrofűtőtestek teljesítmény-disszipációjának modelljei... 39 5.3.2. A fűtőtest hőmérséklet-teljesítmény kalibrációja... 42 5.2. Mikrofűtőtestek megvalósításának termomechanikai problémái... 45 5.3. Hőforrások termikus leírásának lehetőségei... 47 6. HŐFORRÁSOK DINAMIKUS VISELKEDÉSÉNEK LEÍRÁSA... 48 6.1. Tranziens termikus folyamatok vizsgálata... 48 6.1.1. Mikrofűtőtestek viselkedése tranziens hőterhelés hatására... 48 6.1.2. A struktúra termikus tranziens viselkedésének elemzése... 52 6.2. Mikrofűtőtestek hőáramhálózatos modelljeinek analízise... 54 6.2.1. Termikus viselkedés modellezése hőáramhálózatos modellekkel... 54 6.2.2. A mikrofűtőtest kompakt termikus modellje... 6 6.2.3. A hőáramhálózatos modell alkalmazhatóságának ellenőrzése kísérleti módszerekkel... 63 7. KÜLÖNLEGES RÉTEGSTRUKTÚRÁK TERMIKUS VISELKEDÉSE... 71 7.1. Fűtőtesten leválasztott aktív katalizátor réteg vizsgálata... 71 1

7.1.1. Szenzorstruktúra... 71 7.1.2. Az eszköz megváltozott termikus tulajdonságainak vizsgálata állandósult állapot 72 7.1.3. Az eszköz megváltozott termikus tulajdonságainak vizsgálata dinamikus állapot. 74 7.1.4. Szerkezeti jellemzők vizsgálata a tapasztalt fázisviszonyok alapján... 77 7.2. Pórusos szilícium réteg alkalmazása páratartalomra érzékeny dielektrikumként... 81 7.2.1. A nedvességérzékelő megvalósítása pórusos szilícium aktív réteggel... 81 7.2.2. A pórusos szilícium elektromos jellemzői... 82 7.2.3. A pórusos szilícium mechanikai jellemzői... 84 7.2.4. A pórusos szilícium termikus tulajdonságai... 86 7.2.5. Adszorpciós-deszorpciós jelenségek a pórusos rétegben... 87 8. HŐÁTADÁSON ALAPULÓ FOLYAMATOK MIKROSZERKEZETEKBEN... 93 8.1. Mikrofűtőtest körül kialakuló áramlás és hőátvitel... 94 8.1.1. Mikrocsatornában kialakuló áramlások jellemzői... 94 8.1.2. CFD szimulációs programok alkalmazása konvekciós folyamatok leírására... 96 8.1.3. Konvektív folyamatok leírása hőáramhálózatos modellekkel... 99 9. AZ EREDMÉNYEK ALKALMAZÁSA A GYAKORLATBAN... 15 9.1. Mikroméretű pellisztor típusú gázérzékelő szenzor... 15 9.1.1. Mérési elvek, megvalósított eszközök... 15 9.1.2. A megvalósított pellisztor funkcionális viselkedése... 17 9.2. Kapacitív nedvességérzékelő szenzor integrált fűtőtesttel... 18 9.2.1. A kapacitív nedvességérzékelő működése, kialakítási technológiája... 18 9.2.2. A nedvességérzékelő funkcionális és termikus jellemzői... 11 9.3. Irányérzékeny áramlásmérő szenzor... 113 9.3.1. Az irányérzékeny áramlásmérő szerkezet kidolgozása és megvalósítása... 113 1. ÖSSZEFOGLALÁS... 117 11. FÜGGELÉK... 119 11.1. Kompakt termikus modellek CTM... 119 11.1.1. SUNRED... 119 11.1.2. THERMODEL és T3STER-MASTER... 12 11.2. Áramkörszimulációs programok... 122 11.2.1. SPICE - Simulation Program for Integrated Circuits Emphasis... 122 11.2.2. TRANZ-TRAN... 124 11.2.3. TINA (Toolkit for Interactive Network Analysis)... 124 11.3. Termikus rendszerek nem-lineáris viselkedése... 124 11.5. A száraz levegő fizikai jellemzői 1 bar nyomáson... 125 11.6. Mikroméretű pellisztor típusú gázérzékelő szenzor előállításának lépései... 126 11.7. Kapacitív nedvességérzékelő szenzor előállításának lépései... 127 11.8. Irányérzékeny kalorimetrikus áramlásmérő szenzor előállításának lépései... 128 11.9. A dolgozatban felhasznált rövidítések és jelölések... 129 11.1. Biográfia... 13 11.11. Saját közlemények... 131 11.11.1. Nemzetközi folyóiratokban megjelent közlemények... 131 11.11.2. Szabadalom... 131 11.11.3. Konferencia-kiadványokban megjelent értekezések... 131 11.11.4. Szóbeli előadások... 132 12. IRODALOMJEGYZÉK... 133 13. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS... 138 2

1. BEVEZETÉS 1.1. Motiváció Az integrálható, emelt hőmérsékleten működő mikroméretű eszközök alkalmazási lehetőségeinek feltérképezéséhez elengedhetetlen a termikus és áramlástani transzportfolyamatok beható ismerete. Makrorendszerek esetén ezen folyamatok leírása jórészt megoldottnak számít, az eredmények ellenőrzése modellszámítások segítségével illetve kísérletileg is lehetséges. A mikrorendszerekben végbemenő folyamatok vizsgálata ezzel szemben számos kérdést vet fel a makroméretekben alkalmazott módszerek érvényességét és ellenőrizhetőségét illetően. Kutatásaimat ezen problémák megoldása motiválta. Megvizsgáltam a makroméretekben alkalmazott hőtani, áramlástani és termomechanikai modellek használhatóságát a mikroméretű struktúrák leírása esetén, beleértve a számítások bemenő paramétereiként használt anyagállandókat is. Mikrogépészeti eljárásokkal előállított, néhány 1µm-es méretekkel rendelkező struktúrák segítségével vizsgáltam a folyamatok gyakorlati lefolyását. A szilícium alapú mikrostruktúrák ezen célra történő alkalmazását alátámasztja, hogy előállításuk a szilícium mikromegmunkálási eljárásainak segítségével reprodukálhatóan megvalósítható. Mindemellett a szilícium a világ egyik legnagyobb mértékben kutatott anyaga, főleg félvezetőtechnikai vonatkozásokban, de a mikrogépészet szempontjából szerkezeti anyagként is. A felépített modellek érvényességének, valamint az általuk meghatározott eredmények alkalmazhatóságának ellenőrzése érdekében méréseket végeztem a struktúrák termikus és áramlási tulajdonságait illetőleg, amely mérések analitikai és funkcionális teszteket foglaltak magukba. Külön problémát és kihívást jelentett a hőmérsékletmérés megvalósítása, figyelembe véve a tesztstruktúrák minimális méreteit. A vizsgált szerkezetek alapvető elemei a termikusan szigetelt pórusos szilícium, illetve eltávolítása esetén levegő (felfüggesztett struktúra) szigetelő réteg alkalmazásával megvalósított mikrohőforrások, amelyek felépítésüket tekintve fűthető ellenállást tartalmazó komplex rétegszerkezetek a gyakorlati alkalmazás specifikumainak megfelelően. A gyakorlati felhasználásukat tekintve szenzorként működő szerkezetek és a bennük lejátszódó folyamatok pontos leírása és előrelátó tervezése körültekintő szimulációk és vizsgálatok kivitelezésével lehetséges. A vizsgált eszközök magas hőmérsékleten történő alkalmazása a szerkezetek termikus tulajdonságainak, a bennük és környezetükben lezajló folyamatok, illetve ezek vizsgálati módszereinek áttekintésén túl fontossá teszi a korszerű és unikálisan alkalmazott anyagtechnológiák ismeretét is. Munkámat a következő pontokban összegezném: 1. Modelleztem és vizsgáltam a pontszerű, vagy lokalizált hőforrások (mikrofűtőtestek) termikus és mechanikus viselkedését, a lejátszódó folyamatok és tulajdonságok azonosítása érdekében. 2. Mikroméretű forrás termikus emissziójának vizsgálatával a struktúra dinamikus és sztatikus viselkedését jellemeztem. 3. A mikroszerkezeten kialakított réteg-struktúra megváltozott tulajdonságai alapján magyaráztam a szerkezet és a felvitt rétegek között, illetve a rétegekben lejátszódó transzportfolyamatokat és a gyakorlati alkalmazás során bekövetkező katalízis végbemenetelének körülményeit. 4. Megvizsgáltam egy kialakított rétegstruktúra termikus tulajdonságainak a pórusos szerkezetben zajló adszorpciós deszopciós folyamatokra gyakorolt hatását, és a gyakorlati alkalmazást is figyelembe véve kialakítottam a folyamatok gyorsaságát leginkább biztosító struktúrát. 5. Modelleztem és vizsgáltam a gázáramlásba helyezett hőforrás környezetében lejátszódó áramlási folyamatokat, javaslatot téve a makroszkopikus modellek módosítására, valamint a gyakorlati alkalmazás szempontjából megfelelő geometriai struktúra kialakítására. 6. A korábbi vizsgálatok során megállapított jellemzők és ismeretek alapján részt vettem a szenzorstruktúrák megvalósításában, és bizonyítottam a szerkezetek működőképességét. 3

1.2. Alkalmazott mintastruktúrák alkalmazási lehetőségek Az eredmények három érzékelőstruktúra kialakításánál voltak a tervezés segítségére, mely során a termikus és áramlástani vizsgálatok a gyakorlati megvalósítás elengedhetetlen feltételeivé váltak. A következőkben az eszközmegvalósítás szempontjából alapvető fontosságú kérdések köré csoportosítva mutatom be a vizsgálatokat, megvilágítva ezzel az elvégzett kutatások gyakorlati jelentőségét is: 1.2.1. Pellisztor típusú gázérzékelő szenzorhálózat Az emelt hőmérsékleten lejátszódó katalitikus oxidáció során felszabaduló égéshő detektálásán alapuló szenzor tervezésében fontos szerepet játszik a termikus jellemzők beható ismerete. A hődisszipáció minimalizálása az éghető gázok alsó robbanási határérték feletti koncentrációi mérésének elengedhetetlen feltétele. Ennek érdekében a mikroméretű fűtőtestekben és környezetükben lejátszódó hőmérsékleti jelenségeket vizsgáltam elméleti modellek és gyakorlati mérési módszerek hőmérséklet in situ, kontaktus nélküli detektálása, infravörös sugárzási tulajdonságok meghatározása fázisillesztett módszer alapján. A gázdetektálási érzékenység növelése érdekében a katalizátoranyag felé történő és benne lejátszódó hőtranszport-jelenségeket vizsgáltam. 1.2.2. Áramlási irányra érzékeny kalorimetrikus típusú áramlásmérő Az irány és áramlási sebesség érzékeny szenzorstruktúra geometriai idealizálását szem előtt tartva vizsgáltam a kalorimetrikus típusú áramlásmérő eszközökben lejátszódó termikus és áramlástani folyamatokat. 1.2.3. Pórusos szilícium alapú nedvességérzékelő A nedvességérzékelő struktúra fejlesztése során, a megfelelő érzékenység, reagálási idő és a minimális hődisszipáció megvalósítása érdekében végeztem a kiváló termikus szigetelést lehetővé tevő tokozás és a kifűtési rendszer tökéletesítését célzó vizsgálatokat. 1.1. ábra: Mikromechanikai technikával előállított szerkezet (pellisztor struktúra) pásztázó elektronmikroszkópos felvétele. Az említett struktúrák, elemek beható vizsgálatának eredményeképpen a megvalósítandó eszközök optimalizálása, tökéletesítése is megvalósítható. Ezzel a kutatás és az eszköztervezés szoros kapcsolata valósul meg, amely a fejlesztések elengedhetetlen része. Az eredmények alapján megvalósított eszközöket és működésüket a 9. fejezet mutatja be részletesen. 4

2. A HŐÁTVITEL FOLYAMATAINAK ELMÉLETI ALAPJAI 2.1. Alapfogalmak Az anyagok szilárd testek, folyadékok és gázok fizikai állapotát elementáris szinten a molekuláris, atomi szerkezet, annak mozgásai, állapotai határozzák meg. Természetesen a makroszkópikus vizsgálatok során ezen jellemzők nagy részét nem deríthetjük fel, azonban a jelenségek megértéséhez alapvető hátteret jelentenek. A folyamatok magyarázatát a vizsgált szerkezetek makroszkópikus állapotának, állapotjellemzőinek megváltozásain keresztül azonosíthatjuk, de ezeken keresztül az atomi szinten lejátszódó jelenségekre is következtethetünk. Természetesen a dolgozatomban megjelenő szerkezetek viselkedését habár azok a megszokott méretek tartományát talán alulról súrolják makroszinten elemeztem, így a fenomenológikus, viszonylag könnyen azonosítható jelenségek magyarázatára koncentráltam. Mivel a vizsgált szerkezetek funkcionális szempontból a magas, illetve emelt (1-1 C) hőmérsékleten lejátszódó folyamatokhoz kapcsolódnak előzetesen tekintsük át a szükséges termikus és anyagtranszport jelenségek leírására szolgáló mennyiségeket és folyamatreprezentációkat. A termikus jelenségek egyértelműen energiaközlés, energiaforgalom mellett mennek végbe, tehát az anyagok, szerkezetek energiájának megváltozását okozzák. Az anyagok makroszkópikus energiaállapotát a belső energia jellemzi, amely extenzív állapothatározó és az az egyes molekulák, atomok energiatartalmának összegeként írható fel, amelyben a legnagyobb járulékokat a mozgási, forgási és rezgési energiák adják. További energiatagokat elektronok energiája, nukleonok kötési energiája, kémiai és fizikai kötési energiák (d., e., f., g.) általában állandó tagként, potenciális energiaként vehetjük figyelembe, amennyiben a kémiai reakciókat kizárjuk és a hőmérséklet sem extrém magas. Mivel a sokrészecske rendszerek leírása során legtöbbször a belső energia megváltozása játszik fontos szerepet, a különbségképzés során ezek a tagok eltűnnek. Az egyes részecskék energiája a következő energia-összetevőkből épül fel: [2.1, 2.2]: a. A részecskék transzlációs kinetikus energiája (gázok esetén). b. A részecskék, illetve az alkotó atomok rezgőmozgásából származó energia, amely a forgási energiához hasonlóan kvantált. c. A részecskék forgási energiája (többatomos gázok és folyadékok esetén), amely többek között ütközések és elektromágneses sugárzás abszorpciója során is megváltozhat. Ezen energiaszintek kvantáltak, hiszen az impulzusnyomaték csak diszkrét értéket vehet fel. Ezen energia-összetevő csökkenése elektromágneses nagy hullámhosszú infravörös sugárzás mellett mehet végbe. d. Az elektronok energiája, amely az alkotó atomok gerjesztettségi állapotától függ, és a fentiekhez hasonlóan kvantált. A vegyértékelektronok energiájának változásán keresztül a részecskék mozgási energiája és változhat, az energia-átmenetet elektromágneses sugárzás abszorpciója illetve emissziója kíséri. Szerkezetek termikus viselkedésének leírásakor az elektronenergiákat általában a belső energia állandó részeként vesszük figyelembe. e. A nukleonok kötési energiája magenergia. f. Kémiai kötési energiák, ám mivel a kémiai kötések felszakítása a legritkább esetben cél a termikus folyamatok vizsgálata során, ezt az összetevőt is a belső energia állandó részeként tartjuk számon. g. A részecskék között működő fizikai kötések energiája, melyet az egyes részecskék energiájának részeként vehetünk figyelembe. A belső energia változásához hozzájáruló összetevők a legtöbb esetben a részecskék mozgási energiájából származó tagok. Természetesen a belső energia az anyag energiaállapotát nem jellemzi teljes körűen. A különböző anyagok eltérő molekuláris, atomi szerkezetét, felépítését, jellemzőit nem hagyhatjuk figyelmen kívül. Az extenzív belső energia mellet egy intenzív állapothatározó, a hőmérséklet jellemzi az anyag termikus állapotát. A testek belső energiájának megváltozása állandó térfogat mellett: du = mcv dt = CdT (2.1.) 5

ahol C a test hőkapacitása, c v az állandó térfogaton vett fajhő, U a belső energia és T a hőmérséklet. (A jelölések összefoglaló táblázata a Függelékben található.) A fajhő természetesen anyagonként eltérő és ráadásul hőmérsékletfüggő, bár a vizsgálatok tárgyát képező hőmérséklethatárok között ez a hőmérsékletfüggés általában figyelmen kívül hagyható. Tehát a belső energia a következő módon írható fel: T U = U + mc dt v (2.2.) T ahol U a test T hőmérsékleten vett belső energiája. Az elhanyagolható térfogatváltozással járó folyamatokat figyelembe véve tehát főleg szilárd testekre és folyadékokra gondolva az anyag termikus folyamataiban szerepet játszó energiatartalom a belső energia, fő megközelítési mód ennek megváltozásának vizsgálata. Meg kell jegyezni, hogy térfogatváltozással járó folyamatok tehát főleg gázok esetén a teljes energiatartalmat a belső energia helyett az entalpiával jellemezzük, amely az anyagon végzett mechanikai munkát is figyelembe veszi. Egy rendszer állapotát az igen nagy számú részecskéi mikroállapotának összessége alakítja ki. Hogy milyen makroállapot alakul ki, azt a mikroállapotok kombinációjának kialakulási valószínűsége határozza meg. A kisebb valószínűségű állapotok fennmaradási ideje rövid, és a rendszer a nagyobb valószínűségű állapotok felé halad, mégpedig annál gyorsabban, minél nagyobb az inhomogenitás a rendszerben. Egy adott rendszer várható állapotait a termodinamikai valószínűségeikkel jellemezhetjük, amelyet az entrópia ír le. Termikus kölcsönhatás során az energiaközléssel arányos entrópiaváltozás jön létre: δq ds = (2.3.) T ahol S az entrópia, Q a hőenergia. A valóságban a tökéletes hőszigetelés hiánya miatt a spontán kiegyenlítődési folyamatok során a nagyobb valószínűségű állapotok valósulnak meg, így ezek a kiegyenlítődési folyamatok irreverzibilisek. A TS energiát a belső energia entrópia növekedésre fordítódó részeként aposztrofálhatjuk, a hőenergia mint energiaközlési mód jelenik meg. 2.2. Transzportfolyamatok általános leírása A kontinuumokban az intenzív állapothatározók (hőmérséklet, nyomás, koncentráció, sűrűség ) inhomogenitása esetén kiegyenlítődési folyamatok indulnak, amelyek során extenzív mennyiségek (energia, tömeg, töltés ) transzportja valósul meg. A transzportjelenségek mikroszkopikus szinten a részecskék mozgásán illetve kölcsönhatásán keresztül valósulnak meg. A kiegyenlítődés sebessége annál nagyobb, minél számottevőbb az anyagban kialakult inhomogenitás. A folyamatok leírása során az extenzív mennyiségek áramának illetve az intenzív mennyiségek térbeli eloszlásának jellemzésére kell koncentrálnunk. [2.3-2.5] A vizsgálatok során általában olyan folytonos anyagszerkezetet tételezünk fel, amelynek jellemzői folytonosan változnak, a mennyiségek helyfüggvénye négyszeresen differenciálható. Egy adott extenzív mennyiség térfogati sűrűségének változását vizsgálva adott térfogatban a következő egyenlet írható fel: ρ ( ) ( r t) r, t dv = d ρ, dv = fdv qda (2.4.) dt t V ahol ( r,t) V V A ρ a mennyiség sűrűsége a hely és az idő függvényében, V az adott térfogat, A a térfogatott körülvevő zárt felület kifelé mutató normálisvektorral, t az idő, f a térfogatban megjelenő források (illetve nyelők) erőssége, q a mennyiség áramsűrűsége, amely abban az esetben pozitív, ha a térfogatból kifelé irányul. A Gauss-Osztrogradszkij tétel felhasználásával, 6

valamint annak figyelembevételével, hogy bármilyen kis térfogatra igaz a fenti egyenlet, a következő mérlegegyenlethez jutunk: ρ = t f q (2.5.) A térfogatban az adott extenzív mennyiség sűrűségét tehát a források és a felületen átáramló áramsűrűség határozzák meg. Az áram termodinamikai hajtóerejeként a vizsgált mennyiséghez tartozó intenzív határozó inhomogenitását, illetve az azt jellemző gradienst határozhatjuk meg. Tapasztalatok alapján Fourier, Hagen, Poiseuille, Fick, Ohm vázolták fel a közöttük lévő összefüggést, amit Fourier-törvényeként ismerünk: q = Lgradϕ (2.6.) ahol L a kinetikus vezetési együttható, ϕ pedig az adott intenzív állapothatározó. A fent vázolt egyenlet érvényes makroszkopikus tömegáramlás, molekuláris diffúzió, elektromos és hővezetés esetén is, a megfelelő megszorítások mellett. Meg kell említenünk, hogy egy adott intenzív állapothatározó inhomogenitása több extenzív mennyiséggel jellemezhető szubsztancia áramát is létrehozhatja, amely kereszteffektus hatását Onsager írta le, de tapasztalati úton több esetben azonosították (pl. Peltier). A szállítási folyamatokat kísérő áramlás két mechanizmus útján is végbemehet: konduktív és konvektív módon. Az első az inhomogén térjellemzőkhöz tartozó extenzív mennyiségek kiegyenlítési áramlását takarja, de amennyiben a rendszert felépítő anyagrész maga is makroszkopikus mozgásban van, az áramló anyag térfogat-egységenkénti szubsztanciaszállítását is figyelembe kell vennünk. Így a teljes áramsűrűség: q = Lgradϕ + ρv (2.7.) ahol v az adott közeg közepes áramlási sebessége. Tiszta vezetési áram csak akkor alakul ki, ha a vizsgált anyagrész részecskéi makroszkopikus nyugalomban vannak és sugárzási kölcsönhatásban is csak a felületük vesz részt. Ennek általában a szilárd testek felelnek meg. Folyadékokban és gázokban általában járulékos hőátviteli folyamatokra is számítani kell, amelyeket csak erős kikötések mellett kis mértékű inhomogenitás, és áramlási képesség hanyagolhatunk el. 2.3. Tömegtranszport, tömegáramlás leírása Vizsgálataim közvetlen célja a szerkezetekben végbemenő termikus transzportfolyamatok feltérképezése. Mivel az áramló közegek ezen folyamatokra is mérvadó hatást gyakorolnak, a tömegáramlási folyamatok tisztázása is elkerülhetetlen. Gyakorlati szempontból ez a kialakuló sebességtér meghatározását jelenti. Induljunk ki extenzív mennyiségként az impulzusból ( m v ), amihez tartozó intenzív állapotjelző az impulzussűrűség ( ρ v ). Amennyiben nem lép fel az adott térfogatban kémiai reakció, tehát forrás és nyelő nem szerepel a folyamatban, a konduktív tömegáramot a diffúziót és a közeg viszkozitását is elhanyagoljuk. A (2.5.) egyenlet átalakításával az Euler-féle mozgásegyenletet kapjuk: 2 v v + t t 2 1 p ( v v) + g = ρ r (2.8.) ahol p a nyomás, g pedig a nehézségi erőtérben fellépő térerő. Amennyiben a viszkozitást is figyelembe vesszük, a newtoni közegmodell alkalmazásával juthatunk el a lamináris vagyis réteges áramlások homogén sűrűség, nem keveredő rétegek esetén alkalmazható Navier- Stokes egyenlethez: 7

v + t 2 v t 2 2 1 p η v ( v v) + g = ρ r ρ r 2 (2.9.) ahol η a dinamikai, ρ η pedig a kinematikai viszkozitás. Az impulzusváltozást okozó és csillapító erők arányának amelyet a Reynolds-szám jellemez egy határon túli növekedése után az áramlás keveredővé, turbulenssé válik. Ekkor a közeg lokális sebessége véletlenszerűen ingadozik, az állandósult áramlás kvázistacionárius. Vizsgálataim során feltételeztem és ellenőriztem, hogy a szerkezetekben kialakuló áramlás lamináris, így a turbulens áramlások leírására alkalmas Reynolds-féle egyenlet megoldásával ezúttal nem foglalkozom. [2.6, 2.7] 2.4. A transzportfolyamatokat leíró egyenletek megoldásainak egyértelműsége A transzportegyenletek egyértelmű megoldásához a kezdeti és határfeltételek figyelembe vétele szükséges. Az első a kezdeti időpillanat eloszlásfüggvényeinek ismeretét feltételezi, a második pedig a rendszer és környezete közötti kölcsönhatások mibenlétét, jellemzőt írja le. Ezen kölcsönhatások modellezésének módjai: a. Elsőfajú vagy Dirichlet határfeltétel alkalmazása során az egyenletek megoldásainak illesztése a keresett függvény határfelületeken felvett értékeinek figyelembe vételét jelenti. Termikus jelenségek esetén a hőmérséklet megadásával gyakorlatilag leírjuk azt a kényszert, amelyet a környezet érvényesít a rendszerrel szemben. Meg kell azonban jegyezni, hogy szigorúan véve ez a határfeltétel csak akkor teljesül, ha a környezet hőkapacitása végtelen nagy és a felületi csatolás is tökéletes. b. Másodfajú vagy Neumann határfeltétel alkalmazható abban az esetben, amennyiben a határfelületeken a keresett változó normális irányú gradiense ismert. Ez termikus transzportfolyamatok esetén a felületi áramsűrűség meghatározását jelenti, alkalmazása állandó forrás feltételezése esetén szokásos. Szélsőséges esetét jelenti a zérus áramsűrűség, vagyis a tökéletes hőszigetelés feltételezése. c. Harmadfajú vagy vegyes határfeltétel alkalmazása válik szükségessé, amennyiben az adott változó határfelületen vett gradiensét a rendszer és környezete között kialakuló kölcsönhatások befolyásolják. Hőátviteli folyamatok esetén az érintkezési problémák során találkozunk ezzel a leírási móddal. A harmadfajú határfeltétel a következő módon írható fel: T λ = α( r, t, Tk, Tr,...)( Tk Tr ) (2.1.) n f ahol λ hővezetési tényező, T k illetve T r a környezet illetve a rendszer hőmérséklete, α pedig hőátadási tényező, amely az intenzív állapothatározók értékének egységnyi különbsége mellett a felületen áthaladó áramsűrűséget jellemzi. Megjegyzendő, hogy az összefüggés hősugárzási és konvektív hőátvitel leírásakor is alkalmazható. 8

3. A HŐÁTVITEL ALAPVETŐ FORMÁI A vizsgálatok alapvető célja, hogy azonosítsuk a különböző mikromechanikai megmunkálással előállított eszközökben létrejövő hőátviteli folyamatokat. Ezeket a szerkezeteket szilícium alapanyagból állítottuk elő, különböző megmunkálási módokkal, amik magukba foglalják a tömbi szilícium háromdimenziós megmunkálását, szerkezeti átalakítását például porózus szerkezet kialakítását és rétegleválasztási eljárások alkalmazását is. A szerkezetekben lejátszódó termikus folyamatok leírása a szilárd testekben illetve határfelületükön és a körülöttük található közegben esetünkben levegőben végbemenő transzportfolyamatok azonosítását foglalja magába [3.1-3.3]: A szilárd anyagokban, illetve rétegszerkezetekben kialakuló alapvető hőátviteli folyamat a hővezetés. Nyugvó folyadékban és gázban is létrejöhet ez a transzport, de szigorúan véve már kis hőmérsékleti inhomogenitás esetén is figyelembe kell vennünk a konvekció hatását. A határfelületeken végbemenő folyamatokat, a hőátadást a termikus kölcsönhatások mibenléte határozza meg. Amennyiben a szilárd anyag áramló közeggel van kölcsönhatásban, akkor a meghatározó jelenség a konvekció. Ebben az esetben az eltérő hőmérsékletű részek elmozdulnak egymáshoz képest, és az energiaszállítás a tömegtranszporttal párhuzamosan zajlik. A szilárd test határfelületén természetesen hősugárzással is történik energiatranszport a test hőmérséklete és anyaga által meghatározott mértékben. A kibocsátott energia elektromágneses sugárzás formájában terjed, és másik test felületére érve ott részben elnyelődik. A test környezetében illetve benne kialakuló hőátviteli folyamatokat az 2.1. ábra szemlélteti. hőátadás: konvekció és hősugárzás T2 hőforrás hővezetés T1 3.1. Hővezetés hőátadás: konvekció és hősugárzás 3.1. ábra: Hőátviteli folyamatok szilárd testben és környezetében A hővezetés szilárd testekben, folyadékokban és gázokban egyaránt tapasztalható, amennyiben hőmérséklet-inhomogenitás fedezhető fel bennük. Alacsony nyomású gázok jelentenek kivételt ez alól, ahol a részecskék szabad úthossza meghaladja a hőleadó és hőfelvevő felületek távolságát. Ebben az esetben a részecskék ütközése a transzportfolyamatban nem játszik szerepet. Ettől eltérő esetekben a konvencionálisan értelmezett hővezetés jelensége felismerhető, gázok és folyadékok esetén a hőátvitel a részecskék ütközése révén megy végbe. Ebben az esetben a (λ) hővezetési tényező nagysága a nyomáshullámok terjedési sebességével hozható összefüggésbe, nagyságrendjét különböző anyagokban a 3.1. táblázat mutatja: Mérsékelt nyomású gázok Nagy nyomású gázok és folyadékok Nem fémes szilárd anyagok Fémek Hőszigetelő anyagok Pórusos anyagok λ.1.3 W/mK.1 1 W/mK.1 3 W/mK 2 4 W/mK.2 1 W/mK.3.17 W/mK 3.1. táblázat: Különböző anyagok hővezetési tényezői 9

A szilárd anyagokban lejátszódó hővezetési jelenséget nagyban meghatározza a vizsgált test szerkezete és összetétele. Nemfémes szilárd anyagokban a részecskék longitudinális rezgőmozgásának csatolása révén terjed az energia a magasabb hőmérsékletű térrészek felől az alacsonyabb hőmérsékletűek felé a nagyobb energiájú mozgást végző részecskékről az alacsonyabb energiájúak felé. A kötések orientációja miatt a vezetési együttható irányfüggő (anizotrópia), amorf anyagok esetén pedig még a hőmérséklettől is erősen függ a fellépő szerkezeti átalakulások miatt. Általában elmondható, hogy nemfémes anyagok között a kristályosak hővezetési tényezője nagyobb, mint az amorf szerkezetűeké. A legjobb hővezető képességgel bíró anyagcsoport a fémeké. Itt az energiatranszportban az elektronok szerepe a legfontosabb, így a hőmérséklet növekedésével az elektromos vezetőképességhez hasonlóan a hővezető képesség is némileg csökken. Meg kell említenünk még a pórusos szerkezetű anyagokat is, hiszen az ezekben lejátszódó hővezetési mechanizmusok jellemzői nagymértékben függnek a porozitástól, a pórusok szerkezetétől, orientációjától, méretétől és az azokat kitöltő anyag tulajdonságaitól. A későbbiek során a pórusos szilícium szerkezetek termikus tulajdonságait is vizsgálom. 3.1.1. A hővezetés leírása Tisztán vezetési jelenségek vizsgálata során, az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy az anyag homogén és izotróp. Termikus probléma lévén a megfelelő intenzív állapotjellemző a hőmérséklet, amely egyértékű és folytonos, hely és időfüggő mennyiség, így az izotermikus felületek nem metszik egymást. Extenzív mennyiségként a belső energiát véve, c v és ρ hőmérséklet-függetlenségét feltételezve adódik a következő egyenlet: U ρ U = c v ρ( T T ) + (3.1.) V ahol ρ U a belső energia térfogati sűrűsége, c v az állandó térfogaton vett fajhő, ρ a sűrűség, T a hőmérséklet, U a belső energia, U a kezdeti belső energia, V pedig az adott térfogat. A vezetési hőáramsűrűséget a Fourier-egyenlet írja le: q = λ T (3.2.) ahol q a hőáramsűrűség, λ pedig az anyag hővezetési együtthatója. A fenti összefüggések és a (2.5.) egyenlet felhasználásával juthatunk el a hőmérsékleti mezőt leíró formulákhoz: T ρ cv + cv ( T T ) + ( λ T ) = t t f ρ (3.3.) Amennyiben azt is feltételezzük, hogy a sűrűség állandó és a hővezetési tényező hőmérséklet-független, az egyenlet a következő módon egyszerűsödik: T av 2 t T f = c ρ v (3.4.) ahol λ a v = c ρ v, a szilárd test hődiffuzivitási együtthatója. Látható, hogy forrásmentes esetben még egyszerűbb kifejezés adódik. Bonyolultabb esetekben, amikor a vizsgált anyagrész mozgását is figyelembe vesszük, a probléma leírása során szintén a termodinamika I. főtételéből kell kiindulnunk. Itt feltételezzük a térrész térfogatának és felületének izobár módon történő időbeni változását, azonban az egyszerűbb megoldás kedvéért az anyagrészt Newtoni közegként kezeljük. Így adódik a hővezetés általános differenciálegyenlete: 1

T p ρ c p + v T = λ T ) + f + Tβ + v p + D t t ( (3.5.) ahol c p az izobár fajhő, v a közeg sebessége, β az anyag köbös hőtágulási tényezője, p a nyomásnak megfelelő mennyiség, D a dinamikai viszkozitás miatti energia-disszipáció. Az egyenlet bal oldala jelöli az izobár folyamat során felvett hőmennyiséget, a jobb oldal pedig a jól ismert hővezetéssel felvett hőáramot, a hőforrás-sűrűséget, az izobár és a tényleges folyamat energiaforgalmának különbségét és a súrlódási disszipációt. Megjegyzendő, hogy a gyakorlatban a jobb oldal két utolsó tagját a legtöbb esetben elhanyagoljuk, és a fentebb megtett kikötések alkalmazásával a (3.5.) egyenletből is visszakapható a (3.4.) a mozgó közegre vonatkozó résszel kiegészítve: T t + v T a p 2 T f = c ρ p (3.6.) Természetesen az itt megjelenő állandókat izobár folyamatokra kell vonatkoztatni. 3.1.2. Hőellenállás, kontakt hőellenállás Számos gyakorlati alkalmazás esetén van szükség olyan szilárd testekben végbemenő hővezetés leírására, ahol a hővezetési tényező állandónak tekinthető. Ez akkor helyes közelítés, ha a hőmérséklet viszonylag kis tartományban változik. A következő egyszerű struktúra az állandó keresztmetszetű vezető hasáb sok esetben alkalmazható a bonyolultabb esetek építőköveként, így leírása nagyban segíti további munkánkat.. Q T2 3.2. ábra: Állandó keresztmetszetű hasáb hővezetése Ebben az esetben a hőáram a teljes keresztmetszetre a következő módon írható fel: l T1 A = q λ A = Q A ( T 2 T1) l (3.7.) ahol Q a keresztmetszeten átáramlott hő, A a hasáb keresztmetszete, l pedig a hossza, T 2 > T 1. Ekkor a hőmérséklet lineárisan csökken a hasáb két szélső felülete T 2 és T 1 hőmérsékletek között. Megfigyelhető, hogy a hőáramsűrűség és a hőmérséklet-különbség között lineáris az összefüggés, ami analóg az elektromos áramvezetés egyenleteivel. Megjegyzendő, hogy a vezetési egyenletek alaki hasonlósága miatt ez nem lehet meglepő, a hőáramnak az elektromos áram, a feszültségnek (elektromos potenciálnak) a hőmérséklet feleltethető meg. Ennek megfelelően bevezethető egy ellenállás típusú mennyiség (R) a hővezetés esetén is, ami az adott geometriájú vezető hőellenállását, illetve hővezető képességének reciprokát jellemzi: 1 Q = T R (3.8.) A hőellenállás abban az esetben értelmezhető minden további nélkül, amennyiben a határoló felületek izotermikusak. Természetesen az elektromos vezetéssel analóg módon ebben az esetben is értelmezhető a hővezetési utak soros és párhuzamos kapcsolása, azonban pontos számítások esetén az egyes ellenállás-szakaszok több ponton történő 11

érintkezése problémát okozhat. A sorba kapcsolt hővezető rétegek kapcsolódása nem minden esetben tökéletes, így az érintkező felületek hőmérséklete sem azonos. Ekkor a felületek különböző pontjaiban eltérő hőmérsékletprofillal találjuk magunkat szemben. A felületek közötti résben a hő terjedése a kitöltő közeg hővezetésével vagy sugárzással terjedhet. A két felület közötti hőközlés tehát függ a rés nagyságától, a kitöltő anyag hővezető képességétől, de az összeszorítás érősségétől is. Ebben az esetben egy fiktív hőátadási tényező illetve kontakt hőellenállás definiálható: a q = T = 1 AR (3.9.) ahol a T az érintkezési felületek extrapolált hőmérsékletkülönbsége. Ennek azonban leginkább nagy hővezető képességű anyagok érintkezése esetén van jelentősége. Egyszerűbb szerkezetek esetén a fentebb felvázolt megoldási mód a hővezetés leírására jól alkalmazható, és a későbbiekben a hőáram-hálózatos modellek segítségével összetett szerkezetek leírásával is megismerkedünk. 3.2. Konvekció, hőátadás áramló közeg felé Áramló közegbe helyezett test felülete és az adott közeg között is hőáram indul meg, amennyiben hőmérsékletkülönbség áll fenn közöttük. Az áramló közegben kialakuló hőáram felépítésében azonban már nem csak a hővezetés játszik szerepet, hanem a mozgó részecskék segítségével létrejövő energiatranszport is. A részecskék a felülettől felvett energiát elszállítják, és a tér egy másik pontján adják át egy másik testnek. [3.4] A vizsgált test körül kétféle áramlás okozta hőszállítás alakulhat ki: a hőmérsékletinhomogenitások miatt kialakuló sűrűség-gradiens indukálta természetes konvekció és a mesterséges áramlásokban létrejövő kényszerített konvekció. Az áramlásba helyezett szilárd test felületén a felületet nedvesítő közeg részecskéi gyakorlatilag mozdulatlanok, a felülettől távolodva a közeg viszkozitásától függően az áramlási sebesség növekszik. A testtől viszonylag kis távolságban már megközelíti a v f sebességet, ami a felülettől végtelen távolságban érvényes áramlási sebesség. Azt a réteget, ahol még érvényesül a felület fékező hatása hidrodinamikai (hidraulikai) határrétegnek nevezzük, ennek vastagsága δ h. Amennyiben az áramló közeg és a vizsgált test hőmérséklete eltérő, a felülettől távolodva a közeg hőmérséklete fokozatosan veszi fel a végtelen távolságban jellemző T f értéket. Azt a réteget, amelyben még érvényesül a test hőmérsékleti hatása termikus határrétegnek nevezzük, és vastagságát δ t -vel jelöljük. A sebesség és a hőmérséklet változását a felülettől távolodva a 3.3. ábra mutatja. Mivel a hőtranszport a határrétegen keresztül megy végbe, annak tulajdonságai ezen keresztül a közeg illetve a test áramlástani és termikus jellemzői is nagy szerepet játszanak a jelenségek kialakulásában. 3.2.1. A konvekció leírása A konvektív hőáram kialakulásában tehát számos paraméter játszik szerepet. Mindezek figyelembevétele igen bonyolult problémákhoz vezet, amelyek analitikus vagy numerikus megoldása jórészt csak első és másodfajú határfeltételek alkalmazása esetén lehetséges. Komoly nehézséget jelent, ha a felületen tapasztalható hőáram és így a felületi hőmérséklet is az áramló közeg és a test között kialakuló kölcsönhatás eredményeként jön létre. Ha az áramló közegben kialakuló sebesség- és hőmérsékletmező leírását kívánjuk megoldani, ismét vissza kell térnünk a (2.5.) lokális mérlegegyenlethez. Extenzív mennyiségként az entalpiát (h=u+pv), intenzív állapothatározóként pedig az entalpiasűrűséget (ρ h =c P ρt) kell választanunk. Természetesen mindezen egyszerűsítésekhez fel kell tennünk, hogy a nyomás, a sűrűség, az izobár fajhő valamint a közeg hővezetési együtthatója állandónak tekinthető. 12

3.3. ábra: A termikus és hidraulikai határréteg A hőáramsűrűséget egy vezetési és egy konvektív tagra bontva, és a fenti összefüggéseket figyelembe véve a mérlegegyenlet a következő módon alakul: T + T v + v T = a P 2 t f T + c P ρ (3.1.) ahol, T a hőmérséklet, v a közeg sebessége, a P a korábban említett hődiffuzivitási együttható, ρ a sűrűség, c p az izobár fajhő, f pedig a forráserősség. Amennyiben nincs tömegforrás, felírható a Reynolds-féle lokális tömegmérleg egyenlet, a kontinuitási egyenlet ρ + ρv = t (3.11.) amely állandó sűrűség esetén a v = (3.12) összefüggéssé egyszerűsödik, és így a fenti (3.1.) egyenlet a Fourier-Kirchoff-féle differenciálegyenletként írható át: T + v T = a P 2 t f T + c P ρ (3.13.) A konvekción alapuló problémák leírásához a Fourier-Kirchoff-egyenlet, a kontinuitási egyenlet és a Navier-Stokes egyenlet megoldását kell előállítanunk, azonban a legtöbb reális esetben ez még numerikus módszerek segítségével is igen bonyolult. Ebben az esetben harmadfajú határfeltételek alkalmazása esetén a kölcsönhatás jellemzésére általában egy hőátadási tényezőt (α) kell bevezetnünk, amely összegezve írja le a bonyolult összefüggések mibenlétét, meghatározása azonban a legtöbb esetben csak kísérleti módszerek segítségével lehetséges: = T k λ T f T n α (3.14.) f 13

A Nusselt-féle hőátadási egyenletből kifejezhető hőátadási tényező leírásában T k, illetve T f a közeg hőmérséklete a felülettől végtelen távolságban, illetve a felület közelében, λ pedig a közeg hővezetési tényezője. T n f a közegben a felület közelében fellépő hőmérsékleti gradiens normális irányú komponense. A hőátadási tényező kiszámítása, ahogy korábban már említettem csak nagyon kisszámú esetben lehetséges a folyamatot leíró egyenletek alapján. A határrétegek viselkedésének vizsgálatán keresztül a hőátadási folyamatok minőségi leírását kaphatjuk, egyes esetekben számszerűen helyes eredményre is juthatunk. A leggyakrabban alkalmazott módszerek azonban a kísérleti eredmények értékelésén alapulnak. Néhány halmazállapot változással nem járó folyamat (α) hőátadási tényezője: Mérsékelt nyomású gázok szabad áramlása Mérsékelt nyomású gázok kényszerített áramlása Víz szabad áramlása Víz kényszerített áramlása Viszkózus folyadékok kényszerített áramlása α 3 2 W/m 2 K 1 1 W/m 2 K 1 6 W/m 2 K 5 1 W/m 2 K 5 5 W/m 2 K 3.2. táblázat: Különböző anyagok hőátadási tényezői A probléma leírásának bonyolultságára jellemző, hogy a hőátadási tényező függ a közeg sűrűségétől, fajhőjétől, hővezetési tényezőjétől, köbös hőtágulási tényezőjétől és viszkozitásától, a vizsgált térrészben felszabaduló energiától, a nehézségi gyorsulás értékétől, a közegben mérhető hőmérsékletkülönbségektől, a geometriától és a termikus és hidraulikai határfeltételektől. Épp ezért is a Nusselt-féle hőátadási egyenlet tartalmát tekintve különbözik a harmadfajú peremfeltétel egyenleteitől, ebben a megközelítésben a felszínről hővezetéssel távozó hő a közegben fellépő hőmérsékletkülönbséggel arányos. 3.2.2. A termikus és hidraulikai határréteg Az áramlások hidraulikai és termikus leírása során figyelembe kell venni, hogy a közeg a határoló felületeken mintegy megtapad és a fékeződés során kialakul egy vékony határréteg, amelyben a sebesség és hőmérséklet nem a zavartalan áramlásra jellemző értékeket veszi fel. Itt a sebesség és a hőmérséklet monoton módon változik a sebesség zérus értékétől és a felületre jellemző hőmérséklettől az áramló közegben mérhető értékekig. A határrétegek vastagságának definiálására számos konvenció alakult ki (3.3. ábra). Meg kell jegyezni azonban, hogy a termikus és a hidraulikai határréteg vastagsága nem egyezik meg. Az egyszerűbb tárgyalás miatt a határrétegek kezdetét most a felület belépő élére definiáljuk, a hidraulikai, illetve termikus visszahatást pedig elhanyagoljuk. Ha egy sík fal melletti áramlásra jellemző határrétegek vastagságát szeretnénk megbecsülni, a faltól távolodva célravezető a sebesség és a hőmérséklet lineáris változásának feltételezése. A hidraulikai határréteg vastagságának becsült értékéhez az impulzus-egyenletet, a temikus határréteg vastagságának számításához pedig a hőmérleget és a Fourier-egyenletet kell felírnunk. Az x tengellyel párhuzamos w sebességű áramlásban kialakuló határrétegek becsült vastagsága: δ δ h t ( X ) = 12X 2 = 3.464 w X / ν 3.464X ν w X / 3 ν a X Re ( X ) = = 3 x, illetve 3.464X, ahol Re Pr X λ a = c p ρ (3.15.) ahol X a belépő éltől számított távolság, w a zavartalan áramlás sebessége, ν a kinematikai viszkozitás, Re a Reynolds-szám, λ, c p, ρ a közeg hővezetési tényezője, állandó nyomáson vett 14

fajhője és sűrűsége, Pr pedig a Prandtl-szám. Megvizsgálva a két egyenletet, látható, hogy a Prandtl-szám összefüggésbe hozható a hidraulikai és a termikus határréteg vastagságának arányával, mégpedig: δ t 1 = 3 δ Pr h (3.16.) A lokális és a fal vizsgált hosszára számított átlagos hőátadási tényező is kifejezhető a Nusselt-egyenlet felírásával: λ x ( x).289 Re 3 Pr α = x λ X ( x).577 Re 3 Pr α = x (3.17) A Nusselt-szám a közeg hőátadási tényezője, hőellenállása illetve a felület vizsgált hossza és a határréteg vastagságának aránya között határoz meg összefüggést. Lokális és átlagos értékei: α Nu x = = λ ( x) x.289 Re 3 Pr α Nu átl = = λ x ( X ) X.577 Re 3 Pr x (3.18) Ha a határoló felületen ébredő csúsztató feszültséget szeretnénk kapcsolatba hozni a hőátadással, megállapítható, hogy a hőátadási tényező növekedésével az áramlási veszteség is növekszik. Ez a Nusselt-szám és a súrlódási tényező (C e ) összefüggéséből kiderül: Nu átl =.5 Re 3 PrC (3.19.) x e Végül nézzük meg levegő esetén a hidraulikai és a termikus határréteg vastagságát különböző áramlási sebességek esetén a belépő éltől adott távolságban: w [cm/s] 1 8 32 x [mm] δ h δ t δ h δ t δ h δ t 1 14 mm 16 mm 4.9 mm 5.5 mm 2.5 mm 2.8 mm 8 39 mm 43 mm 14 mm 16 mm 4.9 mm 5.5 mm 32 79 mm 89 mm 39 mm 43 mm - - 3.3. táblázat: A hidraulikai és termikus határréteg vastagsága különböző áramlási sebességek esetén, a belépő éltől mért távolság függvényében levegőben 15

A becsült értékeket összehasonlítva a következő táblázatban feltüntetett, helyesnek tekintett (kísérleteken alapuló) értékekkel, mintegy 15-3%-os eltérést tapasztalhatunk: Súrlódási tényező A hidraulikai határréteg vastagsága Nusselt-szám Becsült érték Helyesnek tekintett érték Eltérés Ce 1.115 / Re Ce = 1.372 / Re 2 % = x x δ ( X ) = 3.464 ( X ) h X Re Nu =.577 Re 3 x Pr x X δ h = 5. 3 % Re =.677 x Re 3 x Pr Nu 15 % 3 [ 1 +.13 / Pr ] 2 / 1/ 4 3.4. táblázat: Az áramlás jellemzőinek becsült és helyesnek tekintett értékeinek összehasonlítása A becsült eredmények értékelésénél meg kell jegyezni, hogy a hőátadási és a súrlódási tényező a belépő éltől távolodva csökken, ami megfelel a kísérleti eredményeknek, ám a képletekből a belépő élnél számítható végtelen nagy hőátadási és súrlódási tényező természetesen nem fedi a valóságot. Itt szinguláris helyet találunk. A belépő éltől megfelelően nagy távolságban sem igazak ezek az összefüggések, hiszen itt már az áramlás turbulenssé válik, és ezen a részen a sebesség az idő függvényében is változik. A vékony határrétegben fellépő nagyobb viszkózus erő csillapítja a fluktuációkat, de mivel az áramcsövek mérete az áramlás hosszának növekedésével fluktuálni kezd, a bennük mérhető nyomás is változik. A különböző nyomású térrészek között szekunder áramlások és örvények alakulnak ki. Ezek az örvények haladásuk során kisebbekké eshetnek szét, így az áramlás ezen szakaszán kialakul a turbulens határréteg. A határréteg ott válik turbulenssé, ahol a Reynolds-szám eléri kritikus értékét, ami sík fal melletti áramlás esetén 8 1 4 5 1 5, ami az x / δ = 8 2 felel meg. Amennyiben az áramlás nem válik turbulenssé, a határréteg lamináris marad, ami az esetünkben vizsgált, mikrométeres jellemző mérettel rendelkező struktúrák esetén külön vizsgálat tárgya lesz. A stacionárius lamináris áramlásra jellemző sebesség időtől függetlenül állandó. Feltételezve, hogy esetünkben a minimális méretek miatt az áramlás lamináris, a lamináris határréteget leíró egyenletekre külön figyelmet fordítok. Ezek a már korábban megismert egyenletekből származnak a határrétegben szerepet nem játszó tagok elhanyagolásán keresztül. A határrétegre vonatkozó anyagjellemzőket a sűrűség kivételével álladónak tekintve (Boussinesq-közelítés) a következő egyenletekre jutunk: Az x illetve az y irányú Navier-Stokes egyenlet: w x wx x + w y w y 1 p = + β ρ y x = ( 1+ T ) g y w y 1 p ρ x 2 ν x + 1 2 ( + β T ) g x A hővezetés egyenlete: (3.2.) ρ c p w x T x + w y T y 2 T = λ 2 y w + η y x 2 A kontinuitási egyenlet: w x x w y + y = 16

ahol w a sebesség, ν a kinematikai viszkozitás, ρ a sűrűség, β a köbös hőtágulási együttható, T a hőmérséklet, g a nehézségi gyorsulás, p a nyomás, c p az állandó nyomáson vett fajhő, λ a hővezetési együttható, η pedig a dinamikai viszkozitás. A mikrométer nagyságrendbe eső csatornák esetében, ha az áramlási hossz nem túl rövid a részben vagy egészben zárt térben kialakuló áramlás során a csatorna falától számítva vastagodó határrétegek a csatorna középvonalában összeérhetnek. Ekkor nem különböztethetünk meg zavartalan áramlást és határréteget. Lamináris határrétegeket feltételezve a csatorna teljes hosszán lamináris áramlást kapunk a 3.4. ábra szerint. Korábban megállapítottuk, hogy végtelen kiterjedésű áramlásban csak a határrétegben tapasztalható a hőátadás miatti hőmérsékletváltozás. A mikrocsatornában kialakuló áramlási viszonyok miatt azonban a teljes keresztmetszeten tapasztalható a hőmérséklet változása. lamináris határréteg lamináris áramlás W 3.4. ábra: A határrétegek összeolvadása csatornában történő lamináris áramlás esetén A csatornában kialakuló áramlásokon túl, egyszerű esetet feltételezve, az általunk vizsgált félvezető szerkezetekben számos esetben fordul elő fűtött sík lap körüli áramlás Ezekre jellemző mennyiségek becslésére a követező formulákat használhatjuk: [3.5] Jellemző méret: L A belépő éltől vett távolság: x A zavartalan áramlás hőmérséklete: T A lap felszínének hőmérséklete: T w A zavartalan áramlás sebessége: w Nusselt-szám: αl Nu =, illetve λ αx Nu x = λ Prandtl-szám: Reynolds-szám: ηc p Pr = λ w L w Re =, illetve x Re x = ν ν (3.21.) Rayleigh-szám: Ra = 3 gl β T w νa T, ahol λ a = c p ρ ahol α a hőátadási együttható, λ a hővezetési együttható, η a dinamikai, ν pedig a kinematikai viszkozitás, c p az állandó nyomáson vett fajhő, ρ a sűrűség, β a köbös hőtágulási együttható, g pedig a nehézségi gyorsulás értéke. A felületen ébredő átlagos csúsztatófeszültség: τ = ρ w 2 C 2 e, ahol C e 1.328 = Re 17

Amennyiben a zavartalan áramlás belépő élén nincs leválás és benne turbulencia, a kritikus Reynolds-szám szokásos értéke Re = 5 1 5. A számított hőátadási tényezők pontossága: ±2% Izotermikus sík lap mentén kényszerített lamináris áramlásra jellemző értékek (a lap teljes felülete fűtött): Lokális Nusselt-szám Nu x = C ( Pr ) Re 3 x PrΦ T ahol C(Pr) =.332 3.3387 Re x PrΦ Nu x = 3 / 1+ (.468 / Pr) Átlagos Nusselt-szám Nu = C Pr Re 3 PrΦ 4 2 ( ) x T ahol C(Pr) =.664 Nu = C ( Pr ) Re 3 x PrΦ T ahol C(Pr) =.73 3.6774 Re x PrΦ Nu = 3 / 1+.468 / Pr ( ) 4 2 T T Érvényességi tartomány.6 Pr 5 és Re x < 5 1 5 Pr Re x > 1 és Re x < 5 1 5 Érvényességi tartomány.6 Pr 5 és Re x < 5 1 5 Pr = 1 és Re x < 5 1 5 Pr Re x > 1 és Re x < 5 1 5 Sík lap mentén kényszerített lamináris áramlásra jellemző értékek (a lap teljes felülete fűtött, és a hőáramsűrűség állandó): Lokális Nusselt-szám Érvényességi tartomány Nu x =.453 Re 3 x PrΦ T.6 Pr 6 és Re x < 5 1 5 3.4637 Re PrΦ Pr Re x > 1 és x T Nu x = 4 2 1/ 4 1 + 25 / Pr Re x < 5 1 5 ( ) Vízszintes, izotermikus sík lap menti természetes áramlásra jellemző értékek (a lap felső felülete fűtött, vagy az alsó felületet hűtött): Átlagos Nusselt-szám Érvényességi tartomány.25 Nu =.54Ra 1 4 Ra 1 7.33 Nu =.15Ra 1 7 Ra 1 11 Az anyagjellemzők hőmérsékletfüggése miatt alkalmazott korrekciós tényező gázok esetén: Φ T T = T w.12 3.2.3. A konvektív folyamatok hasonlósága A korábban ismertetett áramlástani jellemzőkkel szemben jogos igény, hogy más körülmények között végbemenő folyamatok során is fel lehessen használni őket. Ez az általánosítás azonban csak bizonyos kritériumok teljesülése esetén lehet érvényes. Olyan eseteket lehet csak bíztatóan kezelni, amelyek a korábbiakhoz hasonlóak, vagyis az azokat leíró differenciálegyenletek valamint határfeltételeik azonos alakúak, vagy azonos alakúra 18

hozhatóak. Meg kell jegyezni, hogy mivel a transzformáció lehetőségének feltételei lineáris függést feltételeznek a probléma leírására alkalmazott mennyiségek között (hőmérséklet, áramlási sebesség, sűrűség, geometriai jellemzők ), a szigorúan vett hasonlóság jóformán teljesíthetetlen. A legtöbb esetben egyszerűsítésekkel kell élnünk, és megelégednünk a részleges hasonlóságokkal. [3.6] A folyamatok hasonlóságának feltétele, hogy a sajátléptékben felírt, dimenzió nélküli differenciálegyenletek és azok határfeltételei azonos alakúak, a geometriák pedig hasonlóak legyenek. Bevezetve a folyamatokat leíró jellemzőkből sebesség, hőmérséklet, sűrűség, nyomás, helykoordináták származó dimenzió nélküli mennyiségeket, a folyamatokat leíró egyenletekben megjelenő dimenziónélküli együtthatók adnak információt a megfelelő esetek hasonlóságáról: Péclet-szám: w L Pé =, ahol a λ a = c p ρ Reynolds-szám: w L Re = ν Froude-szám: w 2 Lg (3.22.) Archimedes-szám: Lgβ ( T T ) w 2 w Nusselt-szám: αl λ ahol w a sebesség, L a jellemző hossz, c p az állandó nyomáson vett fajhő, ρ a sűrűség, ν a kinematikai viszkozitás, g a nehézségi gyorsulás, β a köbös hőtágulási együttható, T a hőmérséklet, λ a hővezetési együttható, α pedig a hőátadási tényező. A gyakorlatban a vizsgált folyamatok leírásánál inkább a következő, fenti együtthatókból képzett mennyiségeket használjuk: Re (Reynolds-szám), Pr = Pé / Re (Prandtl-szám), Fr (Froude-szám), Gr = Re 2 Ar (Grasshoff-szám), Ra = Gr Pr (Rayleigh-szám), Nu (Nusseltszám). Ezen jellemzők közül a Péclet, illetve a Prandtl-szám a hőmérséklet- és sebességmező viszonyára, a Reynolds-szám a tehetetlenségi és viszkózus erők viszonyára, a Froude-szám a tehetetlenségi erők és a térerő viszonyára, az Archimedes-szám a tehetetlenségi erő és a felhajtó erő viszonyára, a Nusselt-szám pedig az áramló közeg határrétegében végbemenő hőátadási folyamatokra, illetve a hőátadási tényezőre utal. 3.3. Sugárzásos hőátvitel Az általunk vizsgált jórészt magas hőmérsékleten (T>3 C) működő struktúrák alapvető tulajdonsága, hogy energiájuk egy részét sugárzással, vagyis elektromágneses sugárzás folytán adják át a környezetnek. A hőmérsékleti sugárzás során nincs szükség közvetítő közegre, a leadott energia nagysága a vizsgált test anyagi (emissziós), geometriai tulajdonságaitól és hőmérsékletétől függ. A hőátvitel szempontjából legjelentősebb a λ=.1-4µm közötti hullámhossztartomány, de a kisugárzott energia nagy része a λ<1µm hullámhossztartományba jut. A nagyobb energiatartományok atomi szempontból az elektronok pályaváltozásaira jellemzők, a kisebbek pedig nagyobb hullámhosszak tartománya az atomi rezgések energiaváltozásaiból származnak. Vizsgálataink a szilárd testek hőátviteli tulajdonságaira vonatkoznak, amelyek széles energiatartományban hullámhossztartományban sugároznak, azonban az előforduló lehetséges hőmérsékleti tartományok figyelembevételével esetünkben a néhány µm-es hullámhossztartományra koncentrálunk. [3.7] A szilárd testek sugárzási tulajdonságait az elméleti abszolút fekete testhez viszonyítva jellemezhetjük. Ennek alapvető tulajdonságai: 19