OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5 6 = 3 Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 1-vel; így a következő egyenlethez jutunk: 9 + 10 = 4 8 % Innen rendezés után Ez racionális szám, és kielégíti az egyenletet. = &4% 4 pont ')*#+ A megoldás kielégíti az egyenletet megállapítást behelyettesítéssel ellenőrzés, illetve ekvivalens lépésekre vagy zsebszámológéppel való számolásra hivatkozás esetén fogadjuk el.,,-.. ) Egy trapéz egyik alapja 4&8 cm, a többi három oldala 3& cm hosszúságú. Mekkora a trapéz területe? Mekkorák a szögei? 31 0 } {{ } } / 31 418 / 0 {{ } 31 A feltételek szerinti trapéz szimmetrikus ábra). Ezért az ábrán -szel jelölt szakaszok hossza: A trapéz területe 6 78= 9 +: ; 3 ; = 4&8 3& 9 pont = 0&8 cm% Az ábrán vonalkázással jelölt háromszögből Pitagorasz tételével 3 + 0&8 = 3& % Innen a trapéz magassága 3 = 49&6 53&1 cm)% 6 Behelyettesítés után 51&4 cm. 1
A trapéz hegyesszöge a bevonalkázással jelölt háromszögből kiszámítható, például: cos = 0&8 % 3& = 0&5 Innen 575&5. A trapéz tompaszögeinek nagysága: 180 5104&48 % 1 ) Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 30-cal kisebb, mint a következő három tag összege. Az első hat tag összege 60. Melyik ez a sorozat? A feladat első feltétele szerint 9 + 9 3 + 30 = 9 4 + 9 5 + 9 6 % Az elemeket 9 1 -gyel és -vel kifejezve a következő egyenlethez juthatunk: + + 30 = 3 + 4 + 5 % Az egyenlet alakja összevonás után: 3 3 + 30 = 3 1 % Innen A feladat második feltétel szerint = 10 3 % 9 + 9 3 + 9 4 + 9 5 + 9 6 = 60; 9 1 -gyel és -vel kifejezve: + + 3 + 4 + 5 = 60% Az összevonás után vagy 6 15 = 60 5 = 0% Ebbe az egyenletbe fent kapott értékét helyettesítve kapjuk: 5 ; 10 3 = 0; innen 9 1 = 5 3. A keresett sorozat első eleme tehát 5 10, differenciája ; és ez megfelel a feladat feltételeinek. A válasz 3 3 és a szövegben történő ellenőrzés:) 13 pont ')*#+A feladat más jelölésekkel rövidebben is megoldható. A tanuló bármely helyes megoldás esetén a teljes pontszámot kapja meg.
,. ) Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái 3; ), 6; 0) és 0; 8). Határozza meg a háromszög magasságpontjának koordinátáit! / 0; 8) / 3; ) / 0 6; 0) egyenletébe behelyettesítve 3 egyenlete: Jelölje a háromszög csúcspontjait rendre,,. A háromszög magasságvonalai a csúcsból a szemközti oldalra bocsátott merőlegesek. Metszéspontjuk a magasságpont. Kiszámításához elegendő két magasságvonal egyenletét, pl. 3 -ét és 3 -ét felírnunk. Az 3 egyenes normálvektora = = 9; ). + = 0 + 0 Felhasználva, hogy a magasság a ponton áthalad, az egyenes 9 = 16 % * pont 1) Az 3 normálvektora = = 3; 6). + = 6 % Felhasználva, hogy ez az egyenes illeszkedik a pontra, 3 egyenlete: ) Az pont koordinátáit a 9 = 16 + = 6 egyenletrendszer megoldása adja. Ez A magasságpont koordinátái tehát = 1 és = 3&5% 3 pont 1; 3&5) % ')*# + 1. Az pont az 3 egyenlete: 3 4 = 17 segítségével is megkapható.. A *-gal jelölt egyértelmű ábra elkészítése esetén is megadható. 14 pont ) Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét! 41 447 + 3475 + 748 3418 ) ; 4 48 347 5418 + 450 ) % Felhasználjuk, hogy 41 = 43& 47 = 343& 475 = 543& 48 = 4& 418 = 34& 48 = 443& és 450 = 54% 4 pont Ezeket az értékeket behelyettesítve a kifejezés alakja ) ; majd összevonás után 443 143 + 1543 + 14 4 9 4 16 ; 43 943 15 4 + 104 ) & 3 pont ) 743 + 54 743 4) % 5 3
A szorzás eredménye 743) 54) = 97 %. ) Egy labdarúgótornán összesen 156 mérkőzést játszottak a csapatok. Hány csapat vett részt a tornán, ha minden csapat minden csapattal kétszer játszott? csapat vett részt a bajnokságban, mindegyik kétszer játszott a többi 1) csapattal. Így összesen 1) mérkőzést játszottak. A játszmák fenti száma tartalmazza az csapat -vel, a csapat -val játszik esetet is; ezáltal tehát figyelembe vettük, hogy minden csapat minden csapattal kétszer játszott.) Ezért a feltétel szerint 1) = 156% 1 Innen az másodfokú egyenlethez juthatunk. Ennek megoldásai 156 = 0 1 = 13 és = 1 % Az utóbbi nem megoldása a feladatnak. Tehát 13 csapat vett részt a bajnokságban. Ez az érték megfelel a feladat feltételeinek ellenőrzés). 9 pont ) Bizonyítsa be a szinusztételt! * *#$ A tétel kimondásáért és a teljes hegyes-, tompa-, derékszögű) háromszög esetére is érvényes bizonyításáért 1 4