Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0
KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR 90%-os árengedmén! 500 Ft 750 Ft 5000 Ft 4000 Ft 6000 Ft 4400 Ft Megfelelnek-e a kirakat árcédulái a reklámfeliratnak? A hétköznapokban is gakran szükségünk van arra, hog adott szöveget pontosan értelmezzünk. A kötõszavak látszólag kis eltérése is teljesen más értelmû mondatot eredménezhet.. példa Eg utazási iroda tájékoztatójából kihagtuk a legalább és a legfeljebb szavakat. Pótoljuk a hiánzó szavakat, és értelmezzük a mondatokat! A repülõgépre... eg darab... 5 kg tömegû csomag adható fel, kézipoggászként eg... 0 kg tömegû csomag vihetõ fel az utastérbe. A repülõ indulása elõtt... eg órával be kell jelentkezni. Az utazáshoz rendelkezni kell elegendõ költõpénzzel,... napi 0 euróval. Megoldás A repülõgépre legfeljebb eg darab legfeljebb 5 kg tömegû csomag adható fel. Azaz a feladható csomag darabszáma (d) vag annál kevesebb: d, tömege (m ) pedig 5 kg vag annál kevesebb: m 5 kg. Kézipoggászként eg legfeljebb 0 kg tömegû csomag vihetõ fel az utastérbe. Azaz a kézipoggász tömege (m ) 0 kg vag annál kevesebb lehet: m 0 kg. A repülõ indulása elõtt legalább eg órával be kell jelentkezni. Azaz a bejelentkezés és a repülõ indulása közötti idõ (t) óra vag annál több: t ³ h. Az utazáshoz rendelkezni kell elegendõ költõpénzzel, legalább napi 0 euróval. Azaz a napi költõpénz (k) 0 euró vag annál több legen: k ³ 0 euró. Ábrázoljuk családonként a fiú és lán gerekek számát oszlopdiagramon!. példa Öt család fiú és lán gerekeinek számát táblázatba írtuk. Ennek alapján soroljuk fel, melek azok a családok, amelekben: a) minden gerek lán, b) van fiú gerek, c) nem igaz, hog minden gerek lán, d) nem igaz, hog van fiú gerek. Család Fiú gerekek Lán gerekek száma száma A 0 B C 0 D E 0 4 0 Megoldás a) Minden gerek lán = nincs fiú: az A és az E családban. b) Van fiú gerek: a B, C és a D családban. c) Nem igaz, hog minden gerek lán: a B, C és a D családban. d) Nem igaz, hog van fiú gerek: az A és az E családban.
Észrevehetjük, hog az a) és d), valamint a b) és c) állítások uganazokra a családokra érvénesek. Valóban, a következõ állítások uganazt jelentik: d) és a) a Van fiú gerek. kijelentés tagadása: Nem igaz, hog van fiú gerek. = Minden gerek nem fiú. = = Minden gerek lán. c) és b) a Minden gerek lán. kijelentés tagadása: Nem igaz, hog minden gerek lán. = Van olan gerek, aki nem lán. = Van fiú gerek. Ha eg kijelentés igaz, akkor a tagadása hamis, és ha eg kijelentés hamis, akkor a tagadása igaz. Eg kijelentés tagadásának a tagadása pontosan akkor igaz, mint az eredeti kijelentés. nem igaz, hog van olan = = mindre nem igaz nem igaz, hog minden = = van olan, aki nem. példa Mel képekre igazak a kijelentések? 4 a) Esik az esõ és fúj a szél. b) Esik az esõ vag fúj a szél. c) Nem esik az esõ és nem fúj a szél. d) Nem esik az esõ vag nem fúj a szél. Megoldás (a) Az. képen Esik az esõ és fúj a szél. Igaz a kijelentés. A. képen nem esik az esõ, a. képen nem fúj a szél, a 4. képen az esõ sem esik és a szél sem fúj, íg a.,. és 4. képre a kijelentés hamis. Megoldás (b) Az. képen az esõ is esik és a szél is fúj, a. képen fúj a szél, a. képen esik az esõ, íg ezekre igaz, hog Esik az esõ vag fúj a szél. A 4. képen az esõ sem esik és a szél sem fúj, erre a képre a kijelentés hamis. Megoldás (c) A Nem esik az esõ és nem fúj a szél kijelentés a 4. képre igaz, a többire hamis. Láthatjuk, hog ez a kijelentés éppen az Esik az esõ vag fúj a szél kijelentés tagadása: Nem igaz, hog esik az esõ vag fúj a szél. = = Nem esik az esõ és nem fúj a szél.
KOMBINATORIKA, HALMAZOK Megoldás (d) A. képen nem esik az esõ, a. képen nem fúj a szél, a 4. képen az esõ sem esik és a szél sem fúj, íg ezekre igaz, hog Nem esik az esõ vag nem fúj a szél. Az. képen az esõ is esik és a szél is fúj, erre a képre a kijelentés hamis. Ez a kijelentés éppen az Esik az esõ és fúj a szél kijelentés tagadása: Nem igaz, hog esik az esõ és fúj a szél = = Nem esik az esõ vag nem fúj a szél. 4. példa Mel képekre igazak a kijelentések? 4 a) Ha dél van, akkor süt a nap. b) Ha süt a nap, akkor dél van. c) Ha nincs dél, akkor nem süt a nap. d) Dél van, és nem süt a nap. dél van Þ süt a nap süt a nap Þ dél van nincs dél Þ nem süt a nap Megoldás (a) Az. képen dél van és süt a nap, a kijelentés igaz. A. és a 4. képen nincs dél, akár süt a nap, akár nem, a Ha dél van, akkor süt a nap kijelentés igaz. A. képen dél van, de nem süt a nap, a Ha dél van, akkor süt a nap kijelentés hamis. Megoldás (b) A Ha süt a nap, akkor dél van kijelentés az.,. és 4. képre igaz, a. képre hamis. Megoldás (c) A Ha nincs dél, akkor nem süt a nap kijelentés az.,. és 4. képre igaz, a. képre hamis. Megoldás (d) A Dél van, és nem süt a nap a. képre igaz, az.,. és 4. képre hamis. Ez éppen az a) kijelentés tagadása. A Ha dél van, akkor süt a nap állítás megfordítása a Ha süt a nap, akkor dél van állítás. A Ha süt a nap, akkor dél van állítás pontosan uganakkor igaz, mint a Ha NINCS dél, akkor NEM süt a nap állítás.
Az állítás és a megfordítása egszerre pontosan uganakkor igaz, mint a Dél van, akkor és csak akkor, ha süt a nap. A Ha dél van, akkor süt a nap kijelentés tagadása a Dél van ÉS NEM süt a nap kijelentés. Eg számítógépes játékban a gép a logikai készlet elemeibõl eg-eg tulajdonság alapján hozza létre az A és B halmazokat. (. ábra) A B A logikai készlet elemei: TULAJDONSÁGOK: kicsi teli piros kör nag lukas sárga háromszög kék négzet zöld A játékosnak ezeket a tulajdonságokat kell kitalálnia az alapján, hog rákattint a logikai készlet valamelik elemére, amit a gép berak a megfelelõ halmazrészbe. Például eg játék a következõ:. ábra Kérdés A gép válasza A válasz után maradt lehetõségek A B A: kicsi, teli, sárga, kék, zöld, háromszög, négzet B: kicsi, teli, sárga, kék, zöld, háromszög, négzet A B A: kicsi, teli, kék, háromszög B: sárga, zöld, négzet A B A: kék, háromszög B: zöld, négzet A B A: háromszög B: zöld Néhán válasz után lehet sejtésünk, hog melek a halmazokat meghatározó tulajdonságok. A sejtés bizonításakor minden más lehetõséget ki kell zárni.
ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 0. Legnagobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. példa Egszerûsítsük a 00 4 törtet! 00 50 55 5 7 5 7 4 6 06 5 5 7 7 Megoldás Eljárhatnánk úg, hog eg-eg számmal egszerûsítünk, és megnézzük, hog az új számlálót és nevezõt mivel lehet még egszerûsíteni. Keressük meg a legnagobb számot, amellel egszerûsíteni tudunk! Készítsük el a számok prímténezõs felbontását! 00 = 5 7; 4 = 7. Láthatjuk, hog a közös prímténezõk miatt a két számnak vannak közös osztói. A legnagobb közös osztót a közös prímténezõkbõl képezhetjük: 7 = 04. 00 5 Ezzel egszerûsítve: =. 4 6 legnagobb közös osztó DEFINÍCIÓ: Két pozitív egész szám esetén a közös osztók közül a legnagobbat a két szám legnagobb közös osztójának nevezzük. Az a és b legnagobb közös osztójának jele: (a; b). Például az elõbbi esetben (00; 4) = 04. Bebizonítható az, hog a közös osztók mindegike osztója a legnagobb közös osztónak. A legnagobb közös osztó a prímténezõs felbontásból elõállítható úg, hog a közös prímténezõket az elõforduló legkisebb hatvánon összeszorozzuk. Euklideszi algoritmus a legnagobb közös osztó keresésére: 7 5 = 9 745 + 600 0 745 = 600 + 5 0 600 = 5 5 + 900 0 5 = 900 + 5 00 900 = 4 5 + 0 Az utolsó nem 0 maradék a legnagobb közös osztó. 80. példa Keressük meg a következõ számpárok legnagobb közös osztóját: a) (7 5; 745); b) (467; 6800)! Megoldás (a) A számok prímténezõs felbontása: 75 = 5 4 ; 745 = 5. A legnagobb közös osztó tehát (75; 745) = 5 = 5.
Megoldás (b) A számok prímténezõs felbontása: 467 = 5 9; 6800 = 4 5 7. A két prímténezõs felbontásban nincs közös ténezõ. Ez azt jelenti, hog egetlen közös osztójuk van, az. Tehát (467; 6800) =. DEFINÍCIÓ: Azokat a pozitív egész számokat, meleknek a legnagobb közös osztója, relatív prímeknek nevezzük. relatív prímek Fontos látnunk, hog ha két különbözõ szám relatív prím, akkor nem feltétlenül kell prímnek lenniük, de ha prímszámok, akkor biztosan relatív prímek is. Például (5; 8) =, (; 4) =, de (; 75) =. Nemcsak két szám esetén beszélhetünk legnagobb közös osztóról, hanem három vag több szám esetén is. Például (745; 6800; 7 5) = 5 = 5 az elõzõ prímténezõs felbontások alapján.. példa Végezzük el az + 76 70 összeadást! Megoldás Közös nevezõnek választhatnánk a két nevezõ szorzatát, de nag számok esetén nehéz lenne megtalálnunk az egszerûsítés lehetõségeit, ezért próbáljuk a lehetõ legkisebb közös nevezõt elõállítani. A nevezõk prímténezõs felbontása: 76 = 7 ; 70 = 4 5. Ha az összes itt elõforduló prímténezõt (a közöseket a nagobb hatvánon) összeszorozzuk, akkor mindkét szám többszöröse áll elõ, mégpedig a legkisebb: 4 5 7 = 5 80. 5 + 7 79 Az összeadás: + = =. 7 4 5 4 5 7 5 80 76 588 94 47 49 7 7 7 70 60 80 90 45 5 5 5 DEFINÍCIÓ: Két pozitív egész szám esetén a közös többszörösök közül a legkisebb pozitív számot a két szám legkisebb közös többszörösének nevezzük. Az a és b legkisebb közös többszörösének jele: [a; b]. legkisebb közös többszörös Például az elõzõ esetben: [76; 70] = 5 80. A számok prímténezõs felbontásából a legkisebb közös többszörös elõállítható úg, hog minden elõforduló prímet összeszorzunk az elõforduló legnagobb hatvánon. 8
FÜGGVÉNYEK 9. A függvéntranszformációk rendszerezése Konkrét példákon keresztül megismerkedtünk a függvéntranszformációkkal. A következõ két oldalon mint eddig is olan függvénekrõl van szó, amelek a valós számok eg részhalmazából képeznek a valós számok halmazába. Az értelmezési tartománukat nem tüntetjük fel, mindig feltesszük, hog a szóban forgó heleken a függvének értelmezve vannak. A konkrét függvének esetében már látott függvéntranszformációk alapvetõen két csoportba sorolhatók. LEONHARD EULER (707 78) svájci matematikus, minden idõk egik legtermékenebb matematikusa. Igen sokat tett a függvénfogalom fejlesztéséért, tartalmának gazdagodásáért. Értéktranszformációk Ismerjük az f függvént a grafikonjával egütt. () Az f függvénre teljesüljön, hog f () =f() +c. Az f függvén értelmezési tartomána uganaz, mint az f függvén értelmezési tartomána. Az f grafikonja pedig úg keletkezik f grafikonjából, hog az tengel mentén c-vel eltoljuk, pozitív c esetén felfelé, pozitív iránba, negatív c esetén lefelé, negatív iránba. (89. ábra) f ( )= f( )+ c = f( ) = f( ) c c c = f( ) c 89. ábra () Legen f () = f(). f grafikonját f grafikonjából úg kapjuk, hog az tengelre tükrözzük. (90. ábra) f ( )= f ( ) = f( ) = f( ) = f( ) 90. ábra 4
() Legen c pozitív szám, és f () =c f(). f grafikonja úg kapható f grafikonjából, hog a görbe minden pontjának koordinátáját c-szeresére változtatjuk, az koordináta változatlanul hagása mellett. (9. ábra) f ( )= c f ( ) = f( ) = f( ) = f( ) 9. ábra (4) Legen f 4 () = f(). f 4 grafikonját f grafikonjából úg kapjuk, hog a görbének azt a részét, amel az tengel alatt van, azaz f negatív értékeket vesz fel, tükrözzük az tengelre. A görbének azt a részét, ahol f nemnegatív értékeket vesz fel, változatlanul hagjuk. (9. ábra) = f( ) f4 ( )= f( ) = f4( ) = f( ) 9. ábra Ennél a nég függvéntranszformációnál megfigelhetõ, hog az eredeti grafikont az tengel iránában változtattuk, azaz az eredeti függvén értékeit transzformáltuk. Ezért hívják ezeket értéktranszformációknak. Változótranszformációk (5) Legen f 5 () =f( c). f 5 grafikonját úg kapjuk, hog f grafikonját az tengel mentén c-vel eltoljuk, pozitív c esetén pozitív iránba, negatív c esetén negatív iránba. (9. ábra) LEJEUNE DIRICHLET (805 859) német matematikus alapozta meg a mai modern függvénfogalmat. f5 ( )= f ( c ) = f( ) = f( ) c c c c = f5( ) 9. ábra 5
EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK C A háromszög súlvonalai F b F a DEFINÍCIÓ: A háromszög súlvonala a csúcsot a szemközti oldal felezõpontjával összekötõ szakasz. (4. ábra) A 4. ábra s a s b B TÉTEL: A háromszög bármel két súlvonala úg metszi egmást, hog a metszéspont mindkét súlvonalat : aránban osztja két részre, a nagobbik rész másik végpontja a háromszög megfelelõ csúcsa. A F b 44. ábra P s b C O S S s a Be lehet bizonítani, hog a háromszög köré írt körének O középpontja, S súlpontja és M magasságpontja eg egenesre illeszkedik (Euler-egenes), és S az OM szakasz O-hoz közelebbi harmadoló pontja. M F a Q Feuerbach-kör Euler-egenes Bizonítható az is, hog a háromszög oldalfelezõ pontjai, a magasságok talppontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összekötõ szakaszok felezõpontjai (összesen 9 pont) eg körre illeszkednek (Feuerbach-kör). A Feuerbach-kör sugara fele akkora, mint a háromszög köré írt kör sugara. a háromszög súlpontja B Bizonítás Jelölje az ABC háromszög s a és s b súlvonalának metszéspontját S! Legen továbbá az AS szakasz felezõpontja P, a BS szakasz felezõpontja Q! (44. ábra) Az ABC háromszögben F a F b középvonal, ezért AB FF a b =, és F a F b párhuzamos AB-vel. Az ABS háromszögben PQ középvonal, ezért PQ = AB, és PQ párhuzamos AB-vel. A fenti két észrevételt összevetve kapjuk, hog F a F b = PQ, és F a F b párhuzamos PQ-val, ami azt jelenti, hog a PQF a F b négszög két szemközti oldala párhuzamos és egenlõ. Ebbõl következik, hog a PQF a F b négszög paralelogramma. A paralelogramma átlói felezik egmást, íg PS = SF a és QS =SF b. Mivel P és Q az AS illetve BS szakaszok felezõpontjai, ezért AS = SF a és BS = SF b. Ezzel tételünket bebizonítottuk. Mivel bármel két súlvonal harmadolja egmást a tételben kimondottaknak megfelelõen, ezért a súlvonalaknak a háromszög csúcsától távolabbi harmadoló pontja közös pont, erre mindhárom súlvonal illeszkedik. Íg az elõzõ tétel következméneként adódik a következõ: TÉTEL: A háromszög súlvonalai eg pontban metszik egmást. Ez a pont mindhárom súlvonalnak a háromszög megfelelõ csúcsától távolabbi harmadoló pontja. DEFINÍCIÓ: A súlvonalak metszéspontját a háromszög súlpontjának nevezzük. 4
Feladatok. Eg háromszög oldalainak hossza: a) cm, 4 cm, 5 cm; b) 6 dm, 7 dm, 0 dm; c) 7, m, 40 cm, 50 dm; d) cm, 7, cm, 48 mm. Számítsuk ki az eges esetekben a háromszög középvonalai által meghatározott háromszög oldalainak hosszát!. Eg trapéz párhuzamos oldalainak hossza: a) 4 cm és 8 cm; b) 5 dm és 7 dm; c),5 cm és 0, m; d) mm és 0,6 dm. Számítsuk ki az eges esetekben a szárak felezõpontját összekötõ szakasz hosszát!. Szerkesszünk derékszögû háromszöget, ha az átfogóval párhuzamos középvonal cm, az átfogóhoz tartozó magasság pedig cm hosszú! 4. Számítsuk ki a derékszögû háromszög köré írt kör sugarát, ha két befogójának hossza: a) cm és 4 cm; b) 5 dm és dm; c) mm és,5 cm; d) a és b! 5. Számítsuk ki a szabálos háromszög magasságának hosszát, ha súlpontja a csúcsoktól: a) 4 cm; b) 6 dm; c), m; d) d távolságra van! 6. Tükrözzük az ABC háromszöget BC oldalának F a felezõpontjára! Milen síkidomot határoz meg az eredeti és a képháromszög egesítése? Számítsuk ki a kapott síkidom átlóinak hosszát, ha a) AF a = 5 cm, BC = 8 cm; b) AF a = 6, dm, BC = 40 mm; c) AF a =, BC =! 7. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldalának és a közös csúcsból kiinduló súlvonalnak a hossza! a) a = 4, cm, b = 9, cm, s c = 6 cm; b) a = 50 mm, b = 0,7 dm, s c = 6 cm; c) a = 4 cm, b = 0,7 dm, s c = 0,06 m. 8. Bizonítsuk be, hog bármel négszögre igaz a következõ állítás: két szomszédos oldal felezõpontját összekötõ szakasz feleolan hosszú, mint a négszög egik átlójának hossza! 9. Igazoljuk, hog bármel négszög oldalfelezõ pontjai paralelogrammát határoznak meg! 0. Bizonítsuk be, hog bármel négszög középvonalai felezik egmást!. Mit állíthatunk arról a négszögrõl, amelnek középvonalai egenlõ hosszúak? Állításunkat indokoljuk!. Bizonítsuk be, hog a háromszög oldalai mint átmérõk fölé szerkesztett körök páronként vett közös szelõi eg pontban metszik egmást! Melik nevezetes pontja ez a háromszögnek?. Mutassuk meg, hog a háromszög súlvonalai hosszának összege kisebb a háromszög kerületénél, de nagobb a kerület 75%-ánál! 4. Ellenõrizzük számítógépes geometriai szerkesztõprogram segítségével az Euler-egenesre és a Feuerbach-körre vonatkozó tételeket! 5
. ábra millió fõ Év millió euró 40 4000 külföldi látogatók 0 000 külföldre utazó 0 magarok 000 0 000 a vendégforgalom bevételi egenlege 994 996 998 000 00 004 006 A vendégforgalom alakulása és bevételi egenlege. ábra. ábra férfitöbblet férfi Erdõterület (ezer hektár) 955 40 960 80 965 60 970 440 975 500 980 590 985 60 990 640 995 700 000 770 005 775 életkor 90 85 89 80 84 75 79 70 74 65 69 60 64 55 59 50 54 45 49 40 44 5 9 0 4 5 9 0 4 5 9 0 4 5 9 4 60 STATISZTIKA. Az adatok ábrázolása A statisztikai elemzésekhez összegûjtött adatokat adatsokaságnak, mintának is szoktuk nevezni. Az adatokat összegûjthetjük táblázatban, és ábrázolhatjuk diagramon. Számos ilen diagrammal találkozhatunk az újságokban, tévében. ezer hektár 600 400 00 000 800 600 400 00 0 400 00 00 00 ezer fõ 00 00 00 400 A magar népesség korfája (006) 955 960 965 970 975 980 985 990 995 000 005 Az erdõfelület nagságának változása hazánkban Az. ábra táblázata és diagramja például a magarországi erdõterület változását mutatja 955-tõl 005-ig. A különbözõ adatok változását jól követhetjük, és összehasonlíthatjuk, ha a koordináta rendszerben görbékkel ábrázoljuk. (. ábra) A diagramokról leolvasható információ sokszor csak több táblázattal, vag szöveggel lenne közölhetõ. A kép nemcsak szemléletesebb, de több információt is nújt. A következõ oszlopdiagramok a magar népesség alakulását mutatják bizonos években (. ábra). A görbék, oszlopdiagramok akkor hasznosak, ha az adatok változása, egmáshoz való viszona az érdekes. nõ nõtöbblet ezer fõ 40 0 0 0 00 00 50 00 50 +44 96 + 6 +8 9 98 7 606 7 057 élveszületések száma természetes szaporulat természetes fogás 960 970 980 990 99 99 00 00 00 004 005 006 Természetes szaporulat (ill. fogás) alakulása 9 ezer 46 ezer 5 ezer 49 ezer 5 6 6 09 halálozások száma 948 960 970 980 990 00 004 006 Az újszülöttek számának változása 6 ezer 97 ezer 4 76 7 55 95 ezer 8 6 00 ezer 650
. példa Albert 0 pontos matematika dolgozatot írt, Benõ 5 pontos fizika dolgozatot. Melikük dolgozata sikerült jobban, ha a matematika dolgozatnál 5 pontot lehetett elérni összesen, a fizika dolgozatnál pedig 50 pontot? Megoldás Hiába ért el Benõ több pontot, mint Albert, ez az összes pontszámnak csak az 50%-a, míg Albert eredméne az összes pontszámnak 80%-a, íg Albert dolgozata sikerült jobban. Sokszor elõfordul, hog a különbözõ módon mért menniségek összehasonlítása nem nújt kellõ információt, ilenkor az aránok, százalékok összehasonlítása valóságosabb képet ad. Ha az adatok az egésznek az aránában érdekesek, akkor ezek ábrázolására kördiagramot érdemes használni, ahol a kört a megfelelõ adatok aránában osztjuk fel (4. ábra). Az 5. és 6. ábra jól mutatja, hog mikor hasznosabb az oszlopdiagram, és mikor a kördiagram: A gümölcstermesztés fajtánkénti megoszlása Magarországon 57,% alma szilva õszibarack 6,% 6,%,4%,%,%,8% megg körte kajszi,6% 8,% csereszne málna szamóca 4. ábra kördiagramok ezer Ft/fõ/hó 400 50 00 50 00 50 00 50 0 0 7 osztál nõ férfi 8 osztál középfokú középiskola fõiskola egetem átlag Iskolai végzettség szerinti kereseti adatok 006-ban Magarországon 8 osztál 5,% 0 7 osztál 0,5% középfokú 8,9% egetem, fõiskola 0,8% középiskola 4,7% A foglalkoztatottak legmagasabb befejezett iskolai végzettség szerinti létszámmegoszlása 005-ben Magarországon 5. ábra 6. ábra Az eges adatok elõfordulásának számát a gakoriság mutatja, melet gakorisági diagramon, más néven hisztogramon ábrázolhatunk. Az adatok és azok gakorisága egütt gakorisági eloszlást alkot. Az adatokat gakran osztálokba soroljuk, megszámoljuk, hán adat esik az eges osztálokba, íg kapjuk az osztálok gakoriságát. gakoriság hisztogram gakorisági eloszlás A 4 évesnél idõsebb magar állampolgárok nelvtudását felmérõ vizsgálat eredméne a következõ: Nem beszél idegen nelvet 5 60 ezer fõ idegen nelvet beszél 48 ezer fõ idegen nelvet beszél 906 ezer fõ vag több idegen nelvet beszél 47 ezer fõ Emberek száma (ezer fõben) 6000 5000 4000 000 000 000 0 0 vag több 6 A beszélt nelvek száma 7. ábra
STATISZTIKA relatív gakoriság Ha az adatokat a teljes 4 évesnél idõsebb népesség aránában adjuk meg, vagis kiszámítjuk, hog a 4 évesnél idõsebbek hánad része, hán százaléka beszél 0,,, vag több nelvet, akkor az adatok relatív gakoriságát kapjuk meg, ami sokszor jobb összehasonlítást tesz lehetõvé az adatok között. Ezt is lehet ábrázolni hisztogramon. 8. ábra. példa Eg osztál matematika dolgozatot írt. Az elérhetõ maimális pontszám 50 volt. A tanulók által szerzett pontok: 8; ; 7; 4; 48; 50; ; 8; 6; 40; 4; 4; 45; 5; 4; 6; 9; 40; 4;. A tanár úg osztálzott, hog 5: 4 50; 4: 6 4; : 9 5; : 8; : 0. Adjuk meg a jegek gakorisági eloszlását és ábrázoljuk oszlopdiagramon! 9 8 7 6 5 4 0 4 5 Megoldás A gakorisági eloszlás a 9. ábrán, az oszlopdiagram a 8. ábrán látható. 9. ábra jeg gakoriság 5 4 8 5 4 Feladatok. Eg osztálban felmérést végeztek, hog a tanulók hánszor voltak színházban az elmúlt évben. Az eredmént az oszlopdiagram mutatja. Olvassuk le és írjuk táblázatba az adatok gakorisági eloszlását! tanulók száma 8 7 6 5 4 0 0 4 5 6 7 8 alkalom. Ábrázoljuk a földrészek területét és lakosságának számát oszlopdiagramon! Földrészek Terület (000 km ) Lakosság (millió fõ) Európa 0 508 7 Ázsia 44 4 969 Afrika 0 9 94 Észak-Amerika 55 Közép- és Dél-Amerika 0 566 566 Ausztrália és Óceánia 8 50 4 Antarktisz 8 Föld összesen 49 57 6555 6
. A táblázatban Magarország régióinak adatai láthatók. Készítsünk diagramokat az adatokból! Közép- Közép- Nugat- Dél- Észak- Észak- Dél- Magaro. Dunántúl Dunántúl Dunántúl Magaro. Alföld Alföld Terület (%) 07,4,,0 5, 4,4 9, 9,8 Lakosság (%) 8,,0 09,8 09,7,7 5,,4 Bruttó hazai termék (%) 4,6 0,0 0, 07,8 08,8 0,6 0,9 Munkanélküliek (%) 5, 0,5 06,9,8 9,, 4, Külföldi tõkebefektetés (%) 64,0 06,8 08,9 0, 07,7 04,7 04,6 Beruházások (%) 9,4,8, 06,9 09,5,4 08,7 4. Eg leán kosárlabdacsapat tagjainak kosárcipõket vásárol az egesület. Megmérték a lánok lábának hosszát centiméterben milliméter pontossággal, és a következõ eredméneket kapták:,; 6,; 8,0; 5,; 5,8; 4,9; 4,; 5,4; 5,9; 6,; 4,4; 4,9;,6;,4. Adjuk meg az eges méretek gakorisági eloszlását és ábrázoljuk oszlopdiagramon, ha a kosárcipõk mérettáblázata a következõ: európai méret 6,0 6,5 7,5 8,0 8,5 9,0 40,0 40,5 4,0 4,0 4,5 4,0 lábhossz (cm),5,0,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 5. Figeljük meg, hog eg nap hán órát töltünk a következõ tevékenségekkel: alvás, iskola, lecke, szórakozás, evés és egéb! Ábrázoljuk oszlopdiagramon és kördiagramon! Gûjtsük össze, hog az osztálban hánan vannak, akik átlagosan naponta 4 óránál kevesebbet alszanak, 4 6 órát, 6 8 órát, 8 óránál többet alszanak és ábrázoljuk a gakorisági eloszlást oszlopdiagramon! 6. Gûjtsük össze az adatokat, és ábrázoljuk hisztogramon, hog az osztálból hánan járnak iskolába galog, biciklivel, tömegközlekedési eszközzel és autóval! 7. Készítsünk gakorisági táblázatot, hog a történelemkönvünk elsõ leckéjének elsõ oldalán melik betûbõl hán darab van, és ábrázoljuk hisztogramon! Ez alapján melek a leggakoribb betûk a magar nelvben? Az egik játékban eg szót kell kitalálni, és lehet mondani 6 betût. Amelik betû ezek közül szerepel a szóban, azt megmutatják. Mel betûket mondanánk? Vajon miért kicsi a találat eséle? 8. Végezzünk kísérletet két érmével! Dobjuk fel egszerre a két érmét 0-szor egmás után, és jegezzük fel, hánszor fordult elõ a két érmén 0 fej, fej, fej! Ábrázoljuk oszlopdiagramon! Válasszuk ki a leggakoribb értéket! Rejtvén Eg televíziós vetélkedõben nég lehetséges válasz közül kell kiválasztani eget. A közönség segítséget nújthat a játékosnak. A kérdés a következõ volt: Kinek a vígjátéka alapján készült a M Fair Lad címû musical? A) SHAKESPEARE B) OSCAR WILDE C) G. B. SHAW D) NEIL SIMON A szavazatok diagramja, az oszlopok sorban az A, B, C, D válaszokra adott szavazatokat mutatják. Melik választ jelöljük meg? % 50 40 0 0 0 0 A B C D 6
TARTALOMJEGYZÉK 6 Kombinatorika, halmazok. Mi mit jelent a matematika nelvén?... 0. Számoljuk össze!... 5. Halmazok... 4. Halmazmûveletek... 6 5. Halmazok elemszáma, logikai szita... 6. Számegenesek, intervallumok... 6 7. Gráfok... 8 Algebra és számelmélet. Betûk használata a matematikában... 44. Hatvánozás... 48. Hatvánozás egész kitevõre... 5 4. A számok normál alakja... 55 5. Egész kifejezések (polinomok)... 58 6. Nevezetes szorzatok... 50 7. A szorzattá alakítás módszerei... 66 8. Mûveletek algebrai törtekkel... 68 9. Oszthatóság... 74 0. Legnagobb közös osztó, legkisebb közös többszörös... 80. Számrendszerek... 8 Függvének. A derékszögû koordináta-rendszer, ponthalmazok... 88. Lineáris függvének... 9. Az abszolútérték-függvén... 96 4. A másodfokú függvén... 0 5. A négzetgökfüggvén... 06 6. Lineáris törtfüggvének... 0 7. Az egészrész-, a törtrész- és az elõjelfüggvén (emelt szintû tananag)... 6 8. További példák függvénekre (emelt szintû tananag)... 0 9. A függvéntranszformációk rendszerezése... 4 Háromszögek, négszögek, sokszögek. Pontok, egenesek, síkok és ezek kölcsönös helzete... 8. Néhán alapvetõ geometriai fogalom (emlékeztetõ)... 9. A háromszögekrõl (emlékeztetõ)... 4. Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között... 5 5. Összefüggés a derékszögû háromszög oldalai között... 6 6. A négszögekrõl (emlékeztetõ)... 9 7. A sokszögekrõl... 4 8. Nevezetes ponthalmazok... 45
TARTALOMJEGYZÉK 9. A háromszög beírt köre... 49 0. A háromszög köré írt kör... 5. Thalész tétele és néhán alkalmazása... 5. Érintõnégszögek, érintõsokszögek (emelt szintû tananag)... 57 Egenletek, egenlõtlenségek, egenletrendszerek. Az egenlet, azonosság fogalma... 60. Az egenlet megoldásának grafikus módszere... 64. Egenletmegoldás az értelmezési tartomán és az értékkészlet vizsgálatával... 66 4. Egenlet megoldása szorzattá alakítással... 69 5. Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel... 7 6. Egenlõtlenségek... 77 7. Abszolút értéket tartalmazó egenletek, egenlõtlenségek... 8 8. Paraméteres egenletek (emelt szintû tananag)... 88 9. Egenletekkel megoldható feladatok I.... 9 0. Egenletekkel megoldható feladatok II.... 95. Elsõfokú kétismeretlenes egenletrendszerek... 99. Egenletrendszerekkel megoldható feladatok... 04. Lineáris többismeretlenes egenletrendszerek (emelt szintû tananag)... 09 4. Gakorlati feladatok... Egbevágósági transzformációk. A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra... 6. Tengeles tükrözés a síkban... 8. Tengelesen szimmetrikus alakzatok... 4. Középpontos tükrözés a síkban... 5 5. Középpontosan szimmetrikus alakzatok... 8 6. A középpontos tükrözés alkalmazásai... 7. Pont körüli forgatás a síkban... 6 8. A pont körüli forgatás alkalmazásai I.... 9 9. A pont körüli forgatás alkalmazásai II.... 44 0. Párhuzamos eltolás. Vektorok... 46. Mûveletek vektorokkal... 5. Alakzatok egbevágósága... 56 Statisztika. Az adatok ábrázolása... 60. Az adatok jellemzése... 64 7