Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 8. PROGRAM általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KÖNYVKIADÓ, BUDAPEST
Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens Az 1. kiadást bírálta: ELÔD ISTVÁNNÉ ny. felelôs szerkesztô DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Dr. Sümegi Lászlóné, Zankó Istvánné, 1996, 2003 Mûszaki Könyvkiadó, 2003 ISBN 963 16 2989 9 Azonosító szám: CAE 042U Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Felelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki vezetô: Abonyi Ferenc Borítóterv: Bogdán Hajnal Mûszaki szerkesztô: Ihász Viktória Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves Gabriella Terjedelem: 8,22 (A/5) ív 3. kiadás Nyomta és kötötte az Oláh Nyomdaipari Kft. Felelôs vezetô: Oláh Miklós
Tartalom Bevezet s... 5 raterv... 10 1. Gondolkozz s sz molj!... 12 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 13 Kapcsol d si lehet s gek... 15 Tanmenetjavaslat... 16 Atananyag-feldolgoz s ttekint se.... 20 2. S kidomok, fel letek, testek.... 30 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 31 Kapcsol d si lehet s gek... 33 Tanmenetjavaslat... 34 Atananyag-feldolgoz s ttekint se.... 37 3. Egyenletek, egyenl tlens gek..... 43 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 45 Kapcsol d si lehet s gek... 45 Tanmenetjavaslat... 46 Atananyag-feldolgoz s ttekint se.... 48 4. Geometriai transzform ci k... 54 Kapcsol d si lehet s gek... 55 Tanmenetjavaslat... 56 Atananyag-feldolgoz s ttekint se.... 60 5. Rel ci k, f ggv nyek, sorozatok......... 71 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai.... 73 Kapcsol d si lehet s gek... 74 Tanmenetjavaslat... 75 Atananyag-feldolgoz s ttekint se.... 77 6. Kombinatorika, val sz n s g.......... 84 Tanmenetjavaslat... 85 Atananyag-feldolgoz s ttekint se.... 86 3
Bevezet s A tank nyv ltal k pviselt tan t si program a Nemzeti alaptantervre p l, annak egy lehets ges didaktikai kifejt se, kiteljes t se. Viszont az alaptanterv c lkit z sei nagyon sokf lek ppen, az ltalunk kidolgozott l ak r a tananyag tartalm ban is elt r programokkal val s that k meg. Ez rt az e programban le rtak csup n m dszertani seg dlet ig ny vel megfogalmazott javaslatoknak tekinthet k. A 8. oszt ly sz m ra a k vetkez taneszk z ket dolgoztuk ki: Matematika 1{8. Mintatanterv ANAT fejleszt si programj n alapul tanterv, amely 1. oszt lyt l 8. oszt lyig vekre bontva, tartalmilag s pedag giailag egys ges koncepci szerint p ti fel a matematikatananyagot. Aszerz k gyelembe vett k matematikatan t sunk hagyom nyait, orsz gos s nemzetk zi felm r sek eredm nyeit, a k l nb z k r lm nyek k z tt dolgoz iskol k lehet s geit ( rasz m, k pess g szerinti bont s), a k z piskol k elv r sait, a t rstant rgyak ig nyeit, valamint t bb eur pai orsz g tanterv t s vizsgak vetelm nyeit. Ez a mintatanterv k nyv form j ban, illetve lemezen egyar nt t r t smentesen kaphat. Matematika 8. tank nyv Alapszint s b v tett (emelt szint ) v ltozatban jelenik meg. Az emelt szint b v tett v ltozat tartalmazza azokat a marg n sz rke s vval jelzett kieg sz t anyagr szeket, illetve sszetettebb feladatokat is, amelyeket alapszinten m r nem c lszer az eg sz csoportban feldolgoznunk. Term szetesen a jobb k pess g tanul k alapszinten is foglalkozhatnak ezekkel az anyagr szekkel, feladatokkal. M g az alapszint tank nyv nk is b vebben s magasabb szinten t rgyalja a tananyagot, mint amit a Kerettanterv minimumszinten aj nl, hiszenakerettanterv csup n a tananyag k z s magj t tartalmazza, amelyet mindenki sz m ra tan tanunk kell. Ez a mag" alapszinten a tananyag mintegy 85%-a, emelt szinten 60{70%-a. Az oszt ly k pess g nek s a matematikai tartalom egym sra p l s nek gyelembev tel vel, a helyi tanterv alapj n a szaktan r d nti el, hogy melyik tanul csoportnak hogyan p ti fel a tananyagot. Itt jegyezz k meg, hogy a Kerettanterv ltal aj nlott tananyag sem a tant rgyak rendszer t tekintve, sem a matematikai tartalom fel p t s ben nem alkot didaktikailag s logikailag h zagmentes rendszert, a hi nyoss gokat (m g minimumszinten is) p tolniuk kellett a tank nyv szerz inek. Matematika 8. Gyakorl A tanultak feleleven t s hez, begyakorl s hoz, a hi nyok p tl s hoz, gy a biztos eszk ztud s kialak t s hoz tartalmaz feladatsorokat. 5
Matematika 7{8. Feladatgy jtem ny A j k pess g tanul inkat szoktassuk hozz a k z piskola intenz vebb munk j hoz, kem nyebb k vetelm nyeihez. Ezzel a feladatgy jtem nnyel ezt a munk t (l nyeg ben az emelt szint k pz st) k v nt k seg teni a szerz k. Matematika 8. tank nyv feladatainak megold sa Atanul k nellen rz s t seg t kiadv ny. Tartalmazza azoknak a feladatoknak a megold s t is, amelyeket a feladatgy jtem nyben nem k z lt nk. T maz r felm r feladatsorok, matematika 8. oszt ly A Mintatantervben, illetve a Programban megfogalmazott k vetelm nyeket ezekkel a feladatsorokkal konkretiz lj k a szerz k. A felm r feladatsorok els dleges c lja, hogy seg tse a szakmai munkak z ss geket a viszonylag egys ges k vetelm nyrendszer kidolgoz s ban. A tanul i p ld nyok A s B v ltozatban tartalmazz k a feladatsorokat. A szerz k mindk t v ltozatban k l n feladatokat dolgoztak ki az alapszint s az emelt szint sz m ra. A tan ri p ld nyokban a feladatsorok mellett megtal lhat k a jav t si tmutat k s az rt kel si norm k is. Olcs bb kivitelben (n gy f zetben) jelent meg az alapszint C s D, illetve az emelt szint E s F v ltozat, valamint k l n f zetben a hozz juk tartoz jav t si s rt kel si tmutat. Ezeket a f zeteket csak az iskol k rendelhetik meg, a kereskedelmi forgalomban a tanul k nem f rhetnek hozz juk. A tank nyv saprogram szerkeszt sekor egyar nt gyelembe vett k, hogy a k z piskol ba k sz l tanul k sz m ra nagyon sok iskol ban emelt szint k pz st biztos tanak,vagyis k l n csoportban tan tj k a matematik t a jobbaknak,illetve a nehezebben tanul knak. Erre a csoportbont sra egyr szt az rt van sz ks g, hogy a k z piskol ba k sz l tanul ink hasonl sz nvonal k pz st kapjanak, mint a p rhuzamos k z piskolai oszt lyokba j r tanul k, m sr szt hogy a matematik b l kev sb tehets ges tanul inknak is megtan thassuk legal bb a tantervben el rt minimumot. (A csoportbont s n h ny m dszertani k rd s vel a 7. oszt lyos program foglalkozik.) A tank nyv egyes fejezeteit gy szerkesztett k meg, hogy az alap- s az emelt szint k pz s ig nyeit egyar nt kiel g ts k. A marg n sz rke s vval jel lt emelt szint anyagr szek szervesen be p lnek a fejezet eg sz be. A tipogr ai megold s, a feladatok egys ges rendszert k vet sz moz sa s az oldalsz moz s lehet v teszi, hogy ak r egy oszt lyon bel l p rhuzamosan is haszn lhass k a tanul k az alap- s az emelt szint k nyvet. Minden fejezetben vannak olyan anyagr szek, mintap ld k s feladatok, amelyeket vagy csak az egyik, vagy csak a m sik csoportban c lszer feldolgoztatnunk. Az alapszint", illetve az emelt szint" tananyaga nem rtelmezhet egy rtelm en s mereven. A szaktan r joga s feladata a tananyag v gs megv laszt sa. V gs soron d nti el, hogy mit tan t s milyen m lys gben. Ebben a d nt s ben els sorban a csoport adotts gait, anemzeti alaptantervet s a helyi tanterv el r sait kell gyelem- 6
be vennie. gy m r a k l nb z alapszinten tanul oszt lyokban sem lesz ugyanaz a tananyag. Gyeng bb csoportban, vagy ha nem biztos tunk heti 4 r t a matematikaoktat sra, ak r a tank nyvi anyag 20{30%- t is el kell hagynunk, m g jobb k pess g csoportban megk zel thetj k az emelt szintet. (A szelekt l ssal, a b v t ssel, illetve az trendez ssel kapcsolatos javaslatainkat a tananyag feldolgoz s nak t rgyal sakor fogalmazzuk meg.) Atananyag feldolgoz s t taglal fejezeteink tekintik t a k vetelm nyeket (esetenk nt a fejlett orsz gok gyakorlat t, illetve oktat si hagyom nyainkat) is. Ezeket a javaslatokat vess k ssze oktat si s nevel si c lkit z seinkkel, nem utols sorban a tanul k tov bbtanul si sz nd k val s a k z piskol k elv r saival. Mindezeket gyelembe v ve dolgozhatjuk ki saj t k vetelm nyrendszer nket. A tank nyv megszerkeszt se sor n az tlagos oszt ly" jellegzetess geit vett k gyelembe. P ld ul akombinatorika az rt ker lt a k nyv v g re, mert ha az oszt ly adotts gai vagy id hi ny miatt nem jutunk el az alapos feldolgoz s hoz, akkor is teljes thetj k a minim lis oktat si s nevel si c lkit z seinket. Az tlagost l l nyegesen elt r tanul csoportokn l viszont indokolt lehet a tananyag m s sorrendben t rt n t rgyal sa. Emelt szint k pz s eset n a k vetkez m dos t sokat gondoljuk v gig: a kombinatorika, val sz n s g, statisztika (6. fejezet) ker lj n el r bb, elej re, hogykell m lys gben foglalkozhassunk vele ak r v az algebrai ismereteket az v elej n magasabb szinten foglaljuk ssze, ez az 1. fejezet, valamint a 3. fejezet egy r sz nek sszedolgoz s val rhet el (egy ttal megalapozhatjuk a sz nvonalas folyamatos ism tl st ebben a t mak rben) nagyobb s lyt fektet nk a s kgeometriai t telekre, a bizony t sokra, aszerkeszt si probl m k s sszetettebb t rgeometriai feladatok megold s ra, mint az alapszinten. Az tlagosn l l nyegesen gyeng bb csoportban: a f ggv nyeket, sorozatokat (5. fejezet) nem t rgyaljuk elk l n lt egys gben, hanem (reduk ltan) az 1., illetve a (szint n ler vid tett) 3. fejezet anyag val sszevonva dolgozzuk f l a geometriai szerkeszt si s bizony t si feladatok rov s ra a legfontosabb ter let-, felsz n- s t rfogatsz m t sokat, a legelemibb szerkeszt seket s a geometriai transzform ci k v grehajt s t gyakoroltatjuk (a szakk pz s k vetelm nyeinek megfelel szinten) a 6. fejezet feladataib l n h ny egyszer t v k zben megoldunk, a t mak rrel nem foglalkozunk r szletesen. Minden t mak rh z a kor bbiakhoz hasonl f lk sz" tanmenetjavaslat (tulajdonk ppen programv zlat) tartozik. Ha a tananyag-feldolgoz s jellege ezt megk v nta, akkor az emelt szint s az alapszint oktat s sz m ra m s-m s programot dolgoztak ki a szerz k. Ennek ellen re adapt lnunk kell a kiv lasztott tanmenetet gy, hogy saj t oszt lyunk sz nvonal nak optim lisan megfeleljen. A tanmenetjavaslatok ut n t telesen ttekintj k a tananyag feldolgoz s t, a m dszertani fog sokat s az anyagr sszel kapcsolatos r szletes k vetelm nyeket. Felm r seink s 7
vizsg lataink alapj n felh vjuk a gyelmet az esetleges tipikus tanul si hib kra. Esetenk nt bemutatunk a tank nyv t l elt r feldolgoz st is. A tank nyv egyes alfejezetei a k vetkez egys gekb l llnak (ezek sorrendje a didaktikai feladathoz igazod an v ltoz ): el k sz t, feleleven t feladatsorok kidolgozott mintap ld k (sokszor a t telek s bizony t sok kiv lt s ra", m s esetben a legfontosabb alkalmaz sok ismertet s re) gyakorl feladatok, a dierenci lt folyamatos ism tl s feladatig ny t is gyelembe v ve sszefoglal s, amelyben a t mak rh z tartoz den ci kat, t teleket, elm leti ismereteket gy jt tt k ssze. Term szetesen a konkr t tanul csoporthoz s saj t didaktikai elk pzel seinkhez igazodva v laszthatunk, hogy mit s milyen sorrendben haszn lunk fel az egyes alfejezetekb l. A tank nyv fejezeteinek fel p t se az ttekinthet s get is szolg lja. A tan r n p ld ul az ismereteket legt bbsz r egyes feladatok megold s hoz kapcsol dva c lszer feleleven teni. Ha ily m don p ten nk fel a k nyvet, akkor nemcsak nagyon megk tn nk a koll g k kez t, hanem a gyermek sz m ra is megnehez ten nk a tanul st. A fejezetekhez egy alap- s egy emelt szint tud spr ba csatlakozik, amely minta lehet a tan r sz m ra, s els sorban atanul n rt kel s hez ny jt tmutat st. V ltoztat s n lk li meg rat s t nem javasoljuk m r csak az rt sem, mert a tanul k nagy r sze a (m sok lta adott) megold sok megtanul s val k sz lne fel" a dolgozatra. Az egyes t mak r kh z tartoz gyakorl - s fejt r feladatok egy r sz t egyar nt feldolgoztathatjuk a t mak r anyag nak rendszerez sekor, a folyamatos ism tl s keret ben, illetve az v v gi sszefoglal s sor n. A dierenci l s sz ks gess g re s lehet s geire k l n felh vjuk a gyelmet. Dierenci lhatunk: a tananyag tartalm ban (l sd p ld ul a kieg sz t anyagr szeket) a tananyag-feldolgoz s m lys g ben, a feladatok sszetetts g ben az alkalmazott munkaform ban, m dszerekben a k vetelm nyek ter n s az ellen rz sben, rt kel sben. A k l nb z sz nvonalon ll tanul csoportok teljes tm nye annyira elt rhet egym st l, hogy a feladatok feldolgoztat s nak m dj hoz (egy ni munka, csoportmunka) m r csak kiv telesen adhatunk ltal nosan rv nyes javaslatokat. A munkaform k, m dszerek helyes megv laszt sa a tan r egy nis g t l, az egyes tanul k k pess g t l, illetve a tanul csoport sz nvonal t l s be ll t d s t l is f gg. Ha kev sb vagyunk k pesek a fokozott gyelemmegoszt sra, akkor j l gondoljuk meg, hogy az adott anyagr sz feldolgoz s n l c lszer -e p ld ul a csoportmunk t v lasztanunk. Azoknak a tanul knak, akik nem boldogulnak egyed l a munk val, hat konyabb lehet a tan r-di k dial gus, a r vezet s, mint a k nyvb l, munkaf zetb l val n ll tanul s. Az ellen rz sn l s az rt kel sn l (a k l nb z felm r feladatsorok megv laszt s n k v l) p ld ul gy is dierenci lhatunk, hogy a j k pess g tanul knak megadjuk az eredm nyt s a pontoz si tmutat t, a t bbit r juk b zzuk (teh t csak ir ny tjuk nellen- 8
rz, n rt kel tev kenys g ket). A gyeng bb tanul kkal v gighaladunk a megold s menet n, felh vjuk a gyelm ket a t pushib kra, megmutatjuk ezek kik sz b l s nek lehet s geit. Vagyis ezek a tanul k az ellen rz s, rt kel s k zben is tanulnak, jabb ismeretek, kapcsolatok birtok ba jutnak. A tananyag feldolgoz sa sor n s a m dszerek megv laszt sakor vegy k gyelembe, hogy az ismeretszerz s eddigi f zisaira azindukci volt a jellemz, amelyben konkr t jelens gek meggyel s b l jutottak el a gyerekek ltal nosabb sszef gg sek felismer s hez. A 8. oszt lyban (legal bbis az emelt szint k pz s keret ben s a fokozatoss g elv t szem el tt tartva) esetenk nt v laszthatjuk a dedukt v utat is, vagyis a fogalom de- ni l sa, a t telek kimond sa s bizony t sa ut n ker l sor az alkalmaz sra. Ugyanis a 13-14 ves gyerek { letkori saj ts gait tekintve { m r alkalmas a dedukt v k vetkeztet sekre. Megjegyezz k, hogy a dedukci akkor lehet igaz n eredm nyes, ha kor bban elegend szeml leti, tapasztalati anyagot halmozott fel a tanul. A tanul k megfelel mennyis g alapismerettel rendelkeznek, s rtelmi szintj k is lehet v teszi e gondolkod si m veletek v gz s t. Els rend feladatunk az absztrah l s (elvonatkoztat s), az ltal nos t s s az anal gia fejleszt se, b r a t bbi gondolkod si m velet (a specializ l s, az anal zis, a szint zis, a konkretiz l s, a rendez s, a rendszerez s stb.) fejleszt s t sem hanyagolhatjuk el. Az absztrah l s a fogalomalkot sban n lk l zhetetlen. Elv rhatjuk a tanul t l, hogy a vizsg lt objektumra, fogalomra jellemz l nyeges jegyeket emelje ki, tekintsen el a l nyegtelen { a fogalomra nem jellemz { saj toss gokt l. ltal nos t ssal a sz mstrukt r k b v t sekor, a geometriai fogalomrendszerek fel p t se sor n, a line ris f ggv ny rtelmez sekor stb. tal lkozik a tanul. Esetleg az oszthat s gi szab lyok, egyes geometriai t telek ltal nos bizony t s t is megk vetelhetj k (a k z piskol ba k sz l kt l, illetve a k z piskolai tagozatra j r kt l). K l nb z sz veges feladatok megold sa, illetve a megold s diszkusszi ja is ltal nos t st ig nyel, erre p ld ul a k vetkez k rd sekkel vezethetj k r a tanul t: Mit mondhatunk m g el a feladatr l? Milyen egy b kapcsolatokat tal lunk az adatok k z tt? Hogyan v ltozik a megold s, ha v ltoztatjuk az adatok m reteit, m r sz mait? Az anal gia is n lk l zhetetlen a fogalomalkot shoz (p ld ul a s k- s t rbeli alakzatok hasonlatoss g nak vizsg lat ban), de a feladatok megold s ban is. Ez rt javasoljuk, hogy ha a tanul nak nem siker l egy feladatot megoldania, tegy nk fel a k vetkez kh z hasonl k rd seket (szoktassuk r a tanul kat is a k rd sfeltev sre): Tal lkoztunk-e m r hasonl feladattal? El fordultak-e abban is ilyen adatok? Milyen kapcsolatot tal ltunk abban a feladatban az adatok k z tt? Atov bbiakban glob lisan ttekintj k a tananyag lehets ges fel p t s t k l nb z heti rasz mok eset n, majd a tank nyv hat fejezet t k vetve tant rgy-pedag giai szemsz gb l elemezz k a tananyagot. Az egyes fejezetek bevezet r sz ben elhelyezz k az anyagr szt az ltal nos iskolai matematikaoktat s eg sz ben, megfogalmazzuk az ltal nos didaktikai feladatokat, a 9
feldolgoz s csom pontjait", a dierenci l s javasolt szempontjait s a glob lis k vetelm nyeket. Minden t mak rh z tanmenetjavaslatok tartoznak, amelyek gyelembe veszik a k l nb z rakereteket s a k l nb z k pess g s ir nyults g tanul csoportok lehet s geit. raterv A matematika heti rasz m t az iskol k a helyi tanterv kben r gz tik. Az ssz rasz m k t r szb l tev dik ssze, a k telez rakeretb l" s a kieg sz t rakeretb l". 8. oszt lyban a k telez rakeret heti 25 r j b l 3 ra ( vi 108 ra) jut a matematik ra. A kieg sz t rakeret hetenk nt 7,5 ra, tov bbi heti 2,5 ra j r egy ni foglalkoz sra. Ebb l legal bb heti 1 r t sz m thatunk a matematikatanul ssal kapcsolatos speci lis feladatok megold s ra, akorrepet l sra, a felz rk ztat sra, a kieg sz t anyagr szek megtan t s ra, a tehets ggondoz sra, a versenyekre val felk sz t sre (ez egyben felk sz ti a tanul kat a k z piskol ra is). Az tlagos k pess g tanul knak a tanterv ltal el rt tananyagot csak heti 4 r ban tan thatjuk meg. Ennyi id f lt tlen l sz ks ges ahhoz, hogy p toljuk az esetleges hi nyoss gokat, megnyugtat m don rendszerezz k, lez rjuk s begyakoroltassuk az ltal nos iskolai tananyagot, s felk sz ts k tanul inkat a k z piskol k magasabb k vetelm nyeire. Enn l kevesebb rasz m mellett hi nyos s bizonytalan lesz az tlagos k pess g vagy az ann l gyeng bb tanul ink matematikatud sa, de a tehets ges di kjainknak is neh zs get fog okozni a k z piskolai tananyag. A k l nb z helyi tantervek alapj n a k vetkez v ltozatokat vegy k gyelembe: Reduk lt program Az iskola helyi tanterve csak a heti 3 r t ( vi 108 r t) biztos tja a matematikatan t s sz m ra. Ebben az esetben cs kkenten nk kell a tananyag mennyis g t, m gink bb a feldolgoz s sz nvonal t. Nem jut kell id a gyakorl sra s az ism tl sre, rendszerez sre. A reduk lt program azokban az oszt lyokban jelenthet nagyon s lyos gondot, amelyekben valamilyen okb l tov bb cs kken az rasz m, illetve m r kor bban is reduk lt program szerint tanultak a tanul k. Alapszint program A helyi tanterv a 3 k telez ra mellett legal bb heti 0,5 kieg sz t r t (k thetenk nt +1 r t, vagy egy f l ven t heti 4 r t) r el. Ezt az vi 18 r t a gyakorl sra s a felz rk ztat sra ford thatjuk. Megjegyezz k, hogy tlagos k pess g oszt lyban az alapszint program szerinti heti 3,5 r ban m r t l zs foltnak rezhetj k a tananyagot. K l n sen akkor, ha az el z vekr l is felhalmoz dtak ad ss gaink". Ezt a zs folts got k r ltekint szelekt l ssal cs kkenthetj k. 10
Csak akkor juthat elegend id a gyakorl sra, ism tl sre, rendszerez sre, ha az iskola biztos tja a heti 1 kieg sz t r t. Emelt szint program Az iskola a 3 k telez ra mellett legal bb heti 1 kieg sz t r t biztos t a tehets ggondoz sra s a kieg sz t anyagr szek feldolgoz s ra. Az emelt szint k pz sben az vi 144 ra csak akkor elegend, vagyis egyes kieg sz t fejezetekkel csak akkor tudunk r szletesen foglalkozni, ha az alapszint anyagr szek feldolgoz sa sor n id t nyer nk p ld ul gy, hogy a kor bban tanultak ism tl s re s gyakorl s ra m rnemkell sok id t ford tanunk, illetve ha tanul ink az j anyagot r videbb id alatt k pesek elsaj t tani. Ugyanakkor fontos, hogy a tanultakat j l begyakorolj k a tanul k, ez rt a tananyag mennyis g nek n vel s t ne er szakoljuk. Elsaj t t s ra biztos tsunk kell id t. Ink bb kevesebbet tan tsunk, de azt m lyebben s alaposabban tan tsuk meg. 3 ra/h t 3,5 ra/h t 4 ra/h t 1. Sz mtan, algebra { rendszerez s, b v t s 24 ra 26 ra 24 ra 2. S kidomok, testek, Pitagorasz-t tel 25 ra 28 ra 32 ra 3. Egyenlet, egyenl tlens g 11 ra 18 ra 18 ra 4. Geometriai transzform ci k, hasonl s g 14 ra 14 ra 24 ra 5. Rel ci k, f ggv nyek, sorozatok 16 ra 20 ra 20 ra 6. Kombinatorika, val sz n s g 4 ra 4 ra 8 ra 7. v v gi sszefoglal s 6 ra 8 ra 8 ra Felm r sek rat sa s jav t sa 8 ra 8 ra 10 ra sszesen 108 ra 126 ra 144 ra Nyolcadik oszt lyban indokolt lehet a min s t dolgozatok sz m nak n vel se, hiszen fontos, hogy a tanul k (a sz l k s a tan r is) megb zhat k pet kapjanak tud sszintj kr l. 11
1. Gondolkozz s sz molj! Ha intuit ve meg rtett nk n h ny egyszer ll t st, akkor igen hasznos ezeket folyamatosan, megszak t s n lk l tgondolni, k lcs n s kapcsolataikat latolgatni, s k z l k min l t bbet, amennyit csak lehets ges, egyszerre felfogni. Ily m don biztosabb v lik tud sunk, s jelent sen n vekszik befogad k szs g nk." (P lya Gy rgy) A 8. oszt lyos tank nyv els fejezete a sz mtan, algebra kor bban tanult ismereteit dolgozza fel s eg sz ti ki, l nyeg ben lefedve" a tanterv ezzel kapcsolatos k vetelm nyrendszer t. Olyan ismereteket, amelyekkel az el z vekben m r sokat foglalkoztak a tanul k. Megsejtettek t teleket (m veleti tulajdons gok, a hatv nyoz s azonoss gai, oszthat s gi szab lyok stb.), konkr t esetekben sejt seiket igazolt k is, sszef gg seket kerestek k l nb z anyagr szek k z tt. Felm r seink azt mutatj k, hogy a tanul k egy r sz n l nagyon sok olyan ismeret hi nyzik, amely n lk l sem 8. oszt lyban, sem a k z piskol ban matematikai tev kenys g nem folytathat. Ilyenek p ld ul: a sz mfogalom, r sbeli m veletek, m veletek negat v sz mokkal s t rtekkel, m veleti tulajdons gok alkalmaz sa, m veleti sorrend, z r jelek haszn lata, hatv nyoz s, az oszthat s ggal kapcsolatos alapismeretek, ar ny, ar nyoss g, sz zal ksz m t s, egyszer sz veges feladatok rtelmez se s megold sa. Az ltal nos iskolai tananyag s k vetelm nyek szintj n a sz mtan (aritmetika), az algebra, a f ggv nyek-sorozatok t mak r sem didaktikailag, sem tartalmilag nem v laszthat el lesen egym st l. Ez rt a tank nyv 1., 3. s 5. fejezet ben feldolgozott anyagr szek t rgyal sa (sorrendj ben, tartalm ban, hangs lyaiban, k vetelm nyeiben) sokf lek ppen oldhat meg. A tank nyv szerz i (a felm r sek s a k s rletek alapj n) az rt d nt ttek a tank nyvben adott fel p t s mellett, mert az tlagos vagy az tlagost l nem t ls gosan elt r oszt lyokban gy megoldhat k az aktu lis didaktikai feladatok. Az alternat v programok kidolgoz s hoz a b v tett tank nyv kieg sz t fejezeteiben adunk javaslatokat. Didaktikai feladataink: 1. A halmazelm let elemeir l tanultak tudatos t sa. Emelt szinten: ismerked s a halmazelm leti jel l sekkel. (A reduk lt programban nem jut r id.) 2. A kor bban tanult aritmetikai s sz melm leti ismeretanyag felsz nre hoz sa, begyakoroltat sa, elm ly t se, ahi nyoss gok kik sz b l se. 3. A sz mol g p rutinszer haszn lat nak begyakoroltat sa. 4. Tartalmi b v t s. Vagyis gy ism tel nk, hogy k zben jat is tan tunk. Alapszinten p ld ul a 10 negat v eg sz kitev j hatv nyainak rtelmez s t, a0 s1k z es sz mok norm lalakj t, a sz mok n gyzet nek s n gyzetgy k nek meghat roz s t. Emelt szinten: a 0 s a negat v eg sz kitev j hatv ny ltal nos rtelmez s t, a racion lis sz mok tizedest rt alakj t, n h ny nevezetes azonoss got. 5. j kapcsolatok felfedeztet se". P ld ul: az elem s ellentettj nek sszege 0, azaz az sszead sra n zve a neutr lis elem az elem s reciprok nak szorzata 1, azaz a szorz sra n zve a neutr lis elem. 6. Atanult ismeretek (p ld ul a sz zal ksz m t s) gyakorlati alkalmaz sa. 12
Term szetesen ezek a c lok csak dierenci ltan val s that k meg. A dierenci l s az egyes t mak r k kiv laszt s ban, a t rgyal s m lys g ben, illetve a t mak rre ford tott rasz mban is t kr z dhet. A gyeng bb k pess g csoportokban, f k ppen ha csak heti 3 ra ll rendelkez s nkre, meg kell el gedn nk az alapm veletek, a n gyzetre emel s s a n gyzetgy kvon s gyakoroltat s val, a sz mol g p haszn lat nak megtan t s val, egyszer bb k vetkeztet si feladatok megold s val. T rekedj nk arra, hogy azok a tanul ink, akik k z piskol ban tanulnak vagy oda k sz lnek, teljes eg sz ben tanulj k meg s gyakorolj k be a fejezetbe tartoz tananyagot. Ezt csak akkor rhetj k el, haakor bbi vekben m r j l elsaj t tott s begyakorolt anyagr szekre kevesebb id t ford tunk ann l, mint amit a tanmenetjavaslat el r, s az gy felszabadult id t az j ismeretek megtanul s ra, gyakorl s ra s az j sszef gg sek felismertet s re ford tjuk. A tananyag-feldolgoz s csom pontjai 1. A halmazelm let alapjaib l annyit tan tunk, amennyi a k s bbiek sor n a fogalomrendszerek kialak t s hoz, a m veletek s a sz melm let tan t s hoz n lk l zhetetlen. ( rv nyes l a halmazelm let eszk zjellege.) A reduk lt programban tov bbra is csak eszk zjelleggel haszn ljuk a halmazokr l tanultakat. A fogalmak tudatos t s ra nem jut id. Emelt szinten, de jobb csoportban alapszinten is, a kor bbi vekben tanult halmazelm leti ismereteket ltal nos thatjuk, s megfogalmaztathatjuk a halmazm veletek den ci j t, felismertethetj k a logikai m veletekkel val kapcsolat t. Esetleg bevezethetj k a halmazelm leti jel l seket is. 2. A hatv nyoz s tan t sa sor n nem l p nk t l a 7. oszt lyban tanultakon. sszefoglaljuk, rendszerezz k, ltal nos tjuk az eddigi ismereteket, kapcsolatba hozzuk azokat a sz melm lettel, a m veletekkel s az algebrai kifejez sekkel. Jobb csoportban: konkr t feladatok megoldat s val el k sz thetj k a hatv nyoz s azonoss gainak a tan t s t, illetve a negat v eg sz kitev j hatv ny rtelmez s t. Esetleg ltal nos thatj k is a tanul k a felismert sszef gg seket. 3. Feleleven tj k az egyn l nagyobb sz mok norm lalakj r l tanultakat. Jobb csoportban alapszinten is: sz m t sokat is v geztethet nk a norm lalakkal, foglalkozhatunk a 0 s 1 k z es sz mok norm lalakj nak rtelmez s vel, s megtan thatjuk, hogy a sz mol g p seg ts g vel hogyan sz molhatunk a norm lalakkal. 4. A sz melm let alapjainak tan t s n l hangs lyozzuk annak eszk zjelleg t (legnagyobb k z s oszt { t rtek egyszer s t se, legkisebb k z s t bbsz r s { t rtek b v t se). Jobb csoportban elemezz k a t telek szerkezet t, tudatos tjuk a bizony t sok sz ks gszer s g t. 13
5. Az eg sz sz mokkal s t rtekkel v gzett m veletek gyakoroltat sa most is fontos feladat (az algebra alapja a szil rd aritmetikai eszk ztud s). Ugyanakkor a term szetes sz mokkal, illetve a tizedest rtekkel v gzett r sbeli m veletek sulykoltat sa helyett a zsebsz mol g p rutinszer haszn lat nak a megtan t sa ker l el t rbe. 6. A racion lis sz mok fogalm nak kialak t s n l megmutatjuk a term szetes, az eg sz, a t rt, a racion lis sz mok k zti halmaz, r szhalmaz viszonyt. Tudatos thatjuk, hogy vannak nem racion lis sz mok is. Jobb csoportban ttekinthetj k a racion lis sz mk r fel p t s t: A term szetes sz mok fogalm t, v ges halmazok sz moss gak nt, absztrakci val alak tottuk ki. A negat v sz mok t a term szetes sz mk r b v t sek nt, konstrukci- val. (Minden a sz mhoz konstru lunk egy olyan a 0 sz mot, a sz m ellentettj t, amelyre igaz, hogy a + a 0 = 0.) Az 1.41. feladat megold sa sor n indokoltathatjuk az eg sz sz mok bevezet s nek sz ks gess g t. A racion lis sz mok halmaz hoz gy jutottunk el, hogy az eg szek halmaz t b v tett k oly m don, hogy bevezett k aszorz s inverz t. Az is t nj k ki ebb l a t rgyal sm db l, hogy a sz mstrukt r kat gy b v tj k, hogy az eredeti sz mk rben megismert m veleti tulajdons gok tov bbra is rv nyben maradjanak. 7. Ar ny, ar nyoss g, sz zal ksz m t s mint a racion lis sz mokkal v gzett m veletek gyakorlati alkalmaz sa. A tanul k jelent s h nyad nak gondot okoz az ehhez a t mak rh z tartoz feladatok megold sa. Ez rt tartjuk fontosnak, hogy itt ism t feleleven ts k ezeket az ismereteket, tudatos tsuk kapcsolatukat m s anyagr szekkel. 8. A m veletek s a hatv nyoz s gyakorl s hoz kapcsol dva (a fokozatoss g s a differenci l s elv t szem el tt tartva) foglalkozunk az algebrai kifejez sekkel, valamint az egyenletek s egyenl tlens gek megold s val. sszegy jtj k s rendszerezz k (ha 7. oszt lyban nem tudtuk kell en feldolgozni, akkor kieg sz tj k) azokat az ismereteket, amelyeket a tanul k az algebrai kifejez sek t mak rb l tanultak. Pontos tjuk az egynem, k l nnem, eg sz kifejez s, egytag, t bbtag fogalmakat. Ellen rizz k, hogy felismerik-e az egynem algebrai kifejez seket, v gre tudj k-e hajtani az sszevon st, a z r jelek felbont s t (ezen bel l a t bbtag kifejez s szorz s t egytag kifejez ssel), valamint a kiemel st. K pesek-e ezt az algebrai eszk ztud st alkalmazni a line ris egyenletek megold s ban. A reduk lt programban nem f lt tlen l kell foglalkoznunk a kiemel ssel. Emelt szinten rtelmezhetj k az algebrai t rtkifejez s fogalm t, meghat roztathatjuk az rtelmez si tartom ny t, helyettes t si rt k t. Megismerkedhetnek a tanul k a t bbtag kifejez s t bbtag kifejez ssel t rt n szorz s val, esetek nt egyes nevezetes szorzatokkal. s ennek speci lis 9. A hatv nyoz sr l s a sz mok norm lalakj r l tanultak alkalmaz s val a sz mok n gyzet nek s n gyzetgy k nek rtelmez se, ezek meghat roz sa t bl zat vagy sz mol g p seg ts g vel. 14
Kapcsol d si lehet s gek Az els fejezet a kor bbi vek aritmetikai anyag nak ism tl se, szint zise, kev s j anyaggal kieg sz tve. Ez rt mag t l rtet d en az eg sz fejezet feldolgoz s ra jellemz lehet a komplexit s, az egym st l l tsz lag t vol l v " t mak r k k zti sszef gg sek kiemel se. Halmazok, logika A kapcsol d st az els alfejezet, valamint a Matematika 7{8. Feladatgy jtem ny els fejezet nek feladatsoraival val s thatjuk meg. Halmazelm leti eszk z ket alkalmazhatunk a sz mhalmazok egym shoz val viszony nak ttekint s re (B1.02., B1.03., B1.25.), illetve oszthat s gi probl m k (1.24., 1.33., 1.91., B1.04.) megold s ra. Algebra Az algebrai kifejez sekr l tanultakat az 1. fejezet egyik n ll alfejezet ben, az egyenletekr l, egyenl tlens gekr l tanultakat pedig a 3. fejezetben foglalja ssze s eg sz ti ki a tank nyv. Ennek ellen re a sz mstrukt r k ttekint sekor c lszer a megfelel egyenletek, egyenl tlens gek megold s t, illetve az algebrai kifejez sek helyettes t si rt k nek meghat roz s t is gyakoroltatni (1.09., 1.22., 1.61{1.63., 1.68., 1.89., B1.20{B1.24.). F ggv nyek, sorozatok Az egyenes s ford tott ar nyoss gi k vetkeztet seket n ll alfejezetben ism telj k t. A sz mok n gyzete s n gyzetgy ke fogalm nak kialak t s hoz hasznos lehet a megfelel f ggv nyek rtelmez se s vizsg lata. Ha a f ggv nytranszform ci val nem k v nunk m lyebben foglalkozni, akkor az 5. fejezetet esetleg ssze p thetj k az 1. (vagy a 3.) fejezettel. Ezt a megold st az 5. fejezetben r szletezz k. Geometria A geometriai sz m t si feladatok legal bb annyira kapcsol dnak a sz mtan, algebra t mak rh z, mint a geometri hoz. Ez rt c lszer itt is kapcsolatot teremteni a k t anyagr sz k z tt (tank nyv 1.13., 1.14., 1.30., 1.56. e), 1.90., 1.92{1.93., 1.97., 1.98. feladatgy jtem ny 2.2.04{05., 2.3.30{32., 2.4.06{08., 2.5.15., 2.7.16{20., 2.8.29{31. feladat). Kombinatorika, statisztika P ld ul a sz mok oszt inak t bbsz r seinek meghat roz sa sor n alkalmazhatunk kombinatorikai gondolatmeneteket. A racion lis sz mokkal v gzett m veleteket s a sz zal ksz m t st gyakoroltathatjuk statisztikai probl m k megold s ban is. 15
Tanmenetjavaslat ra Aktu lis tananyag Feladatok Folyamatos ism tl s, koncentr ci 1{2. Halmazelm leti alapismeretek. Tk. 1.01{1.06. Sz melm let, oszthat s g. Matematikai logika: legal bb, legfeljebb, pontosan, s, vagy, Soksz gek. Adott tulajdons g ponthalmazok. ({ 2.) Reduk lt programban nem sz nunk r k l n r kat. Ezeket az ismereteket eszk zjelleggel alkalmazzuk a t bbi anyagr sz t rgyal sakor. Emelt szinten a k vetkez fogalmak rtelmez se (den ci k, jel l sek): halmaz, elem, eleme mint nem deni lt alapfogalmak res halmaz, halmaz r szhalmaza halmazok kieg sz t halmaza, k z s r sze (metszete), egyes tettje (uni ja), k l nbs ge. Mgy. 1.01{1.08., 1.13{1.15., 1.21{1.27. Tk. B1.01{ B1.04. Mgy. 1.09{1.12., 1.16{1.19. Fgy. 1.1.01{19. 3. Term szetes sz mok. M veletek, m veletek sorrendje, m veleti tulajdons gok. Elnevez sek: tag, t nyez, sszeg, k l nbs g, h nyados, szorzat, kisebb tend, kivonand, osztand, oszt. Sz veges feladatok. Tk. 1.07{1.14. Mgy. 2.01{2.15. Fgy. 2.1.01{13., 2.2.08{12., 5.1.01{41. Ter let, ker let, hasonl soksz gek. Kombinatorika. Emelt szinten: Nem t zes alap sz mrendszerek. 2.1.20{25. 4{5. Ismerked s a sz mol g ppel. Tk. 1.15{1.16. ({ 1.) Reduk lt programban egyszer s sszetett sz mfeladatok gyakorl s ra helyezz k a hangs lyt. ({ 1.) Emelt szinten az egy b anyagr szek feldolgoz sa sor n gyakoroltatjuk a sz mol g p haszn lat t. M veletek racion lis sz mokkal a m veletek sorrendje, a z r jel szerepe a m veletekben. Kombinatorika. Mgy. 2.16{2.17. 6{7. Hatv nyoz s. Jobb csoportban alapszinten is: Sz mol s hatv nyokkal: azonos alap hatv nyok szorz sa, oszt sa szorzat, h nyados hatv nyoz sa hatv ny hatv nya. M veletek. Algebrai kifejez sek. Egyenletek, egyenl tlens gek: azonos alap, illetve azonos kitev j hatv nyok egyenl s ge. A sz mol g p haszn lata. Tk. 1.17{1.26. Mgy. 2.18{2.30. Fgy. 2.3.01{12. (+ 1.) Emelt szinten: 0 s negat v eg sz kitev j hatv nyok. Tk. B1.09{ B1.19. Mgy. 2.42{2.46. Fgy. 2.3.20{22. 16
ra Aktu lis tananyag Feladatok Folyamatos ism tl s, koncentr ci 8{9. Gyeng bb csoportban: 1-n l nagyobb sz mok norm lalakja. 10 pozit v eg sz kitev j hatv nyai. (+ 1.) Reduk lt programban j anyag, t bb id t ford tunk r. Jobb csoportban alapszinten is: Sz mok norm lalakja. 10 eg sz kitev j hatv nyai. Sz mol s (sz mol g ppel is) norm lalakban adott sz mokkal. Hatv nyoz s, m veletek hatv nyokkal. Fizikai mennyis gek. M rt kegys gek tv lt sa. A sz mol g p haszn lat nak gyakorl sa. 10{11. Oszt, t bbsz r s. Pr msz m, sszetett sz m, pr mt nyez s felbont s. Oszthat s gra vonatkoz t telek. Legnagyobb k z s oszt, legkisebb k z s t bbsz r s. Hatv nyoz s, m veletek hatv nyokkal. T rtek egyszer s t se, b v t se. Marad kos oszt s. Halmazok. Kombinatorika. Sorozatok. Algebrai kifejez sek. A sz mol g p haszn lat nak gyakorl sa. Ter let, t rfogat. 12{13. Eg sz sz mok. Ellentett, abszol t rt k. M veletek k l nb z el jel sz mokkal. Negat v sz mok p ros, illetve p ratlan kitev s hatv nyai. ({ 1.) Emelt szinten a m veleteket els sorban n ll dierenci- lt otthoni munk ban gyakoroltatjuk be, ez rt a t mak r tan rai feldolgoz s ra kevesebb id t sz nunk. M veletek, m veleti tulajdons gok. Z r jelek haszn lata. Hatv nyoz s. Algebrai kifejez sek. Egyenletek, egyenl tlens gek. A sz mol g p haszn lat nak gyakorl sa. Tk. 1.27{1.29. Mgy. 2.31{2.41., 7.04., 7.06{7.10. Tk. B1.05{ B1.08. Mgy. 2.47{2.51., 7.05. Fgy. 2.3.15{32. Tk. 1.30{1.40. Mgy. 2.52{2.70. Fgy. 2.6.01{23., 6.1.02. Tk. 1.41{1.52. Mgy. 2.71{2.75. Fgy. 2.2.15{18., 2.7.01{03., 2.7.24{26., 2.7.30{31., 2.7.43., 2.8.07{10. 17
ra Aktu lis tananyag Feladatok Folyamatos ism tl s, koncentr ci 14{16. Aracion lis sz m, irracion lis sz m, val s sz m fogalma m veletek t rtekkel: egyszer s t s, b v t s. T rtr sz, eg szr sz kisz m t sa, szorz s, oszt s t rttel. Pr mt nyez s felbont s. Legnagyobb k z s oszt, legkisebb k z s t bbsz r s. M veletek hatv nyokkal. Ar nyoss g, k vetkeztet sek. Egyenletek, egyenl tlens gek. Algebrai kifejez sek helyettes t si rt kei. A sz mol g p haszn lat nak gyakorl sa. ({ 1.) Emelt szinten a m veletek gyakorl sa n ll munka. A racion lis sz m tizedest rt alakja. V ges, v gtelen szakaszos s nem szakaszos tizedest rtek. V ges vagy v gtelen szakaszos tizedest rtek t rtalakja. 17{18. Ar ny, ar nyos k vetkeztet sek, ar nyp r. H nyados, ar ny, t rt kapcsolata. Ar nyos oszt s. Egyenes s ford tott ar nyoss g. Sz zal ksz m t s. Alap, sz zal k rt k, sz zal kl b fogalma, kapcsolatuk az ar nnyal. T bbsz r s" sz zal ksz m t si feladatok. M veletek racion lis sz mokkal. T rtr sz, eg szr sz kisz m t sa. Sz veges feladatok. Ter let-, ker let-, felsz n-, t rfogatsz m t s. Soksz g bels sz geinek sszege. Fizikai, k miai sz m t sok. M rt kv lt s. Egyenletek, egyenl tlens gek. Algebrai kifejez sek helyettes t si rt kei. A sz mol g p haszn lata. 19{21. Az algebrai kifejez sekr l tanultak ism tl se, sszefoglal sa s gyakorl sa. Egy tthat, v ltoz. Algebrai eg szek helyettes t si rt k nek meghat roz sa. Egynem, k l nnem kifejez sek. sszevon s. T bbtag kifejez sek szorz sa egytag kifejez ssel. alak t s kiemel ssel, z r jelbont s. Szorzatt M veletek racion lis sz mokkal. M veleti tulajdons gok, m veletek sorrendje, z r jelek haszn lata. Hatv nyoz s. Sz veges feladatok. Geometriai sz m t sok. A sz mol g p haszn lat nak gyakorl sa. Emelt szinten: Algebrai t rtek fogalma, tartom nya, helyettes t si rt k nek kisz m t sa. rtelmez si T btag kifejez s szorz sa t bbtag kifejez ssel, nevezetes azonoss gok. Tk. 1.53{1.68. B1.20{B1.29. Mgy. 2.76{2.90., 2.93{2.100. Fgy. 2.1.14{19., 2.2.01{07., 2.2.19{23., 2.7.27{29., 2.8.06., 2.8.13{17. Tk. 1.69{1.76. Mgy. 2.91{2.92., 2.101{2.116. Fgy. 2.4.01{19., 2.5.01{22., 2.8.37. Tk. 1.77{1.87. Mgy. 3.01{3.46. Fgy. 2.7.01{53. Tk. B1.30{ B1.41. Mgy. 3.47{3.65. Fgy. 2.7.51{53. 18
ra Aktu lis tananyag Feladatok Folyamatos ism tl s, koncentr ci 22{24. Gyeng bb csoportban { reduk lt program szerint: Sz mok (eg szek, tizedest rtek) n gyzet nek rtelmez se, meghat roz sa t bl zat vagy sz mol g p seg ts g vel. 1 s 100 k z es sz mok n gyzetgy ke t bl zatb l vagy sz mol g ppel. Jobb csoportban alapszinten is: Szorzat, h nyados n gyzete. Norm lalakkal adott sz mok n gyzet nek meghat roz sa. Tetsz leges nem negat v (eg sz, tizedest rt) sz m n gyzetgy k nek rtelmez se, meghat roz sa t bl zat vagy ( s) sz mol g p seg ts g vel. Szorzat, h nyados n gyzetgy ke. Hatv nyoz s, m veletek hatv nyokkal, norm lalak. Sz mok t rzst nyez kre bont sa, oszthat s gi szab lyok. Racion lis s irracion lis sz mok. Kerek tett rt k, pontos rt k. Algebrai kifejez sek helyettes t si rt ke. Egyenletek, egyenl tlens gek. ll t sok logikai rt ke. Ter let-, felsz n-, t rfogatsz m t s. Emelt szinten: A sz mok n gyzetgy k r l tanultak kieg sz t se. 25{26. Diagnosztikus rt kel s. Gyakorl feladatok. A (dierenci lt) folyamatos ism tl s megszervez se. Hatv nyoz s, norm lalak. Oszt, t bbsz r s, oszthat s g. Racion lis s irracion lis sz mok. Sz mok n gyzete, n gyzetgy ke. Algebrai kifejez sek, egyenletek, egyenl tlens gek. A sz mol g p haszn lat nak gyakorl sa. Tk. 1.88{1.89. 1.92{1.95. Tk. 1.90{1.91. 1.96{1.98. Mgy. 2.117{2.121. 2.122{2.126. Tk. B1.42{B1.43. Tk. 1.99. B1.44{B1.75., B1.76. Mgy. 7.01{7.03. Reduk lt program Csup n a halmazelm leti ismeretek tudatos t sa marad el. Emelt szint Az els fejezet feldolgoz s ra sz nt id t csak akkor cs kkents k, ha tanul inknak ez nem okoz gondot. Ebben a t mak rben a biztos eszk ztud st f lt tlen l el kell rn nk. Ink bb a kieg sz t anyagr szek egy r sz t hagyjuk el. 19
A tananyag-feldolgoz s ttekint se Mit tanultunk a halmazokr l? Els sorban a halmazok megad s ra, jel l s kre, a vel k v gzett m veletekre kell koncentr lnunk, nem feledve, hogy a halmazelm let alapjait eszk zjelleggel tan tjuk, s ezen a szinten elemi eszk ztud sk nt minden tanul t l meg is k vetelhetj k. A k z piskolai dedukt v fel p t snek itt rakhatjuk le az alapj t, ez rt fontos annak tudatos t sa, hogy: mit jelent a halmaz", elem", eleme", s hogy ezek alapfogalmak, teh t nem deni lhat k egy halmazt akkor adtunk meg egy rtelm en, ha b rmely dologr l, fogalomr l stb. el tudjuk d nteni, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem egy halmazba annak minden eleme egyszer s csakis egyszer tartozhat bele. Javasoljuk, hogy (konkr t feladatokban) mutassuk meg a halmazm veletek s a matematikai logika m veleteinek kapcsolat t. AVenn-diagram mellett adjunk p ld t m s br zol sra is. Megjegyezz k, hogy ennek a koroszt lynak a fejlett orsz gok t bbs g ben megtan tj k a halmazelm leti jel l seket. Jobb k pess g csoport eset n mi is d nthet nk gy. A b v tett tank nyv megfelel alfejezet re (13{16. oldal), illetve a Matematika 7{ 8. Feladatgy jtem ny 1.1. fejezet re t maszkodva ilyen szinten is feldolgozhatjuk ezt az anyagr szt. (A feladatgy jtem ny 1.2. fejezet nek feladataival b rmilyen t mak r t rgyal s hoz kapcsol dva sz nezhetj k az r t.) Term szetes sz mok Nehezen tanul gyerekek eset ben f leg a m veletek rtelmez s re s v grehajt s ra, a m veleti tulajdons gokra, az elnevez sekre, a z r jelek haszn lat ra, a m veletek sorrendj re kell hangs lyt helyezn nk. Felm r seink szerint m r az egyszer sz veges feladatok rtelmez se s megold sa is gondot okoz sok tanul nak. Ez rt eg sz vben folyamatosan oldassunk meg ilyen (p ld ul a 1.10.-hez hasonl ) feladatokat. Jobb csoportban, ha az elm lt vben nem foglalkoztunk vele r szletesen, hasznos lehet n h ny r t kombinatorikai feladatok megold s ra sz nnunk. Ebben a Matematika 7{8. Feladatgy jtem ny 5.1. fejezete s a tank nyv 6. fejezete ny jthat seg ts get. (Mi is a 6. fejezettel kapcsolatban foglalkozunk e t mak r szakmai s m dszertani k rd seivel.) Lehet s g van arra is, hogy a feladatgy jtem ny 2.1.20{25. feladatait megoldatva a nem t zes alap sz mrendszerekkel ismerkedj nk. Ha a tanul ink az elm lt vekben kell en elsaj t tott k ezeket az ismereteket, s j l begyakorolt k a m veleti elj r sokat, akkor nem kell k l n r t ford tanunk erre a t mak rre, dierenci lt otthoni munk val dolgoztathatjuk fel a feladatokat. Ebben az esetben a m veleti tulajdons gokat a racion lis sz mok ism tl se sor n tekinthetj k t. 20
Haszn ld a zsebsz mol g pet! Javasoljuk, hogy tanul ink m r az ltal nos iskola els n gy oszt ly ban ismerkedjenek A 13{16 ves koroszt lynak a tanterv meg s bar tkozzanak meg a sz mol g ppel. m r el rja a sz mol g p haszn lat nak megtan t s t. Ugyanakkor nagyon sok koll ga idegenkedik att l, hogy a gyermek ne r sban, hanem sz mol g ppel sz moljon. Ez rt gondoljuk v gig (a teljess g ig nye n lk l) azokat az ellen rveket, sz mol g p (els sorban korai) haszn lata ellen szok s felvonultatni. sz ks gesnek, hogy min l biztosabban ker lhess k el az esetleges buktat kat. amelyeket a Ezt az rt l tjuk 1. Ha a sz beli sz mol st g ppel helyettes tj k, akkor g tolhatjuk a m veletek fogalm nak kialakul s t. A gyerekben a legelemibb m veletek is valami misztikus, csak g p seg ts g vel v grehajthat elj r sk nt tudatosulnak. Ez k rosan befoly solhatja a matematikai ismeretszerz s teljes folyamat t. 2. A sz beli sz mol sra nemcsak az r sbeli sz mol s v grehajt sa sor n van sz ks g. A mindennapi letben sokszor kell fejben", kerek tett rt kekkel sz molva megbecs ln nk, majd a becs lt rt kkel sszehasonl tva ellen rizn nk az eredm nyt. Erre a k pess gre a sz mol g p alkalmaz sa mellett k l n sen sz ks g nk van. 3. A kisiskol sok k r ben v gzett felm r sek azt mutatj k, hogy akik sz ban biztosan sz molnak, azok (p ld ul sz veges feladatok megold sakor, sorozatok szab ly nak megkeres sekor, oszthat s gi k rd sek vizsg lat ban) ltal ban jobban tl tj k a probl m t, b trabban s tervszer bben pr b lkoznak, nagyobb val sz n s ggel tal lnak tletes, egyedi megold sokat. Ebb l arra k vetkeztethet nk, hogy asz mol si rutin s az rt kesebb" matematikai k pess gek fejl d se k z tt ebben az letkorban igen szoros kapcsolat van. 4. Bizonyos sz m t sok (p ld ul az algebrai kifejez sek sszevon sa, egyenletek megold sa) sokszor neh zkesebbek g ppel, mint sz ban. 5. Az r sbeli m veletek v gz se sor n szerzett ismeretek s k pess gek sem helyettes thet k teljes m rt kben a sz mol g pek haszn lata k zben kialak that rutinokkal: az r sbeli m veletek elsaj t t sa sor n tudatosabb v lik a helyi rt k, a t zes sz mrendszer fogalma, felismeri a tanul, hogy mit jelent 0-val, illetve 1-gyel szorozni, tudatosan alkalmazza a m veleti tulajdons gokat, a m velet s inverze k zti kapcsolatot az r sbeli m veletek gyakorl sakor fejl dik az algoritmusok fegyelmezett v grehajt s nak k pess ge (a tanul nak t kell l tni a sz mol s eg sz t, ugyanakkor a r szeredm nyek ismeret ben kell az egyes l p seket megtennie), erre a k pess gre pedig a k s bbi tanulm nyai sor n is sz ks ge lesz. 6. A sz mol g p haszn latakor nem tudatosul kell en a m veletv gz s helyes sorrendje. A felsorolt ellen rveket is gyelembe v ve tekints k t a sz mol g pek haszn lata tan t s nak egy lehets ges programj t. 21
1{2. oszt ly, a sz beli sz mol si rutin kialak t s nak folyamata Motiv ci s c llal, a sz m t sok megk nny t s re s ellen rz s re, m r az iskol skor legelej n is adhatunk sz mol g pet a gyerek kez be. N h ny tlet: a tanul sz ban sz molja ki a m veletsor eredm ny t, ellen rz st majd g ppel v gzi el az a bennfoglal s fogalm nak kialak t sa s gyakorl sa sor n megmondjuk a szorzat egyik t nyez j t s az eredm nyt, a tanul nak ki kell tal lni a m sik t nyez t, majd g ppel ellen rzi, hogy j l gondolkozott-e fel rjuk a m veletsor komponenseit s az eredm nyt, a tanul nak kell kital lni, hogy milyen m veletjelek llnak a sz mok k z tt, sz mol g pet a pr b lkoz sokhoz haszn lhatja a a m veleti eredm nyt sz ban becs ltetj k meg, g ppel sz m ttatjuk ki adott szab lyhoz az egym shoz tartoz rt kp rokat kis sz mokkal fejben", nagyobb sz mok eset n g ppel kerestetj k meg. 3{7. oszt ly, az alapvet aritmetikei eszk ztud s kialak t s nak id szaka Az r sbeli sz mol s gyakorlati jelent s ge l nyegesen kisebb, mint a g pi sz mol s elterjed se el tt volt. Ez rt csup n addig c lszer r sban megk vetelni a sz m t sokat, am g az r sbeli m veletek gyakorl sa a tanul k gondolkod s ra fejleszt en hathat. Nem javasoljuk, hogy nagy sz mokkal, v g n lk l gyakoroltassuk a m veleteket. A hagyom nyos rtelemben vett k szs g" helyett ink bb a rutin" kialak t sa a c lunk. (K szs gen az elj r sok maxim lisan begyakorolt, szinte mechanikus v grehajt s t rtett k. A rutin ink bb az sszef gg sek tudatos alkalmaz s t, a r vid t si lehet s gek kihaszn l s t stb. jelenti.) Sok koll ga csak akkor engedi haszn lni a sz mol g pet, ha az eg sz tanul csoport biztosan elsaj t totta az r sbeli m veleteket. Az egy rtelm tilt s helyett, c lszer bb a tilt s s enged lyez s olyan egyens ly t megkeresn nk, ami a tanul k sz m ra motiv l, megfelel az aktu lis didaktikai c lnak s a tanul k fejletts g nek. Dierenci lhatunk a tanul k felk sz lts ge szerint. P ld ul: akor bban m r begyakorolt m veletek eset n enged lyezz k a sz mol g p haszn lat t, az jonnan tanultak eset n m g nem atanul knak akkor enged lyezz k a sz mol g p haszn lat t, ha eredm nyes vizsg t" tettek az r sbeli m veletekb l. Ez a megold s viszont csak egy darabig motiv l, k s bb m r elkedvetlen theti a lemarad kat. Ez rt bizonyos id eltelte ut n mindenkinek megengedhetj k a sz mol g p haszn lat t. Dierenci lhatunk a feladat jellege szerint. P ld ul: 22 a kijel lt m veleteket r sban v geztetj k el, de az eredm nyt sz mol g ppel (esetleg t bbf le m don) ellen riztetj k az egyenl tlens g megold sa sor n nem, az ellen rz shez haszn lj k a g pet a sz zal ksz m t sos, kombinatorikai, sz melm leti, geometriai stb. sz m t sokat csak egy- vagy k tjegy sz mokkal v geztetj k sz ban vagy r sban, nagyobb sz mok eset n sz mol g ppel dolgoztatunk a sorozat n h ny elem t r sban sz moltatjuk ki, a tov bbiakat g ppel.
Ebben a szakaszban didaktikailag hasznos, ha olyan egyszer " g peket haszn lunk, amelyek nem veszik gyelembe a helyes m veleti sorrendet. A t bb m veletet, esetleg z r jelet is tartalmaz m veletsorokhoz megterveztetj k a m veletv gz s l p seit, s a sz mol g ppel l p senk nt sz m ttatjuk ki az eredm nyt. A sz mol g p alkalmaz sa lehet v teszi, hogy sok ilyen feladatot oldassunk meg gy, hogy a tanul k ne a f raszt m veletv gz sre, gyelm ket. 8. oszt ly hanem a helyes m veleti sorrend megkeres s re sszpontos ts k Az el z ekben v zolt strat gi val el rhetj k, hogy a tanul k t bbs ge legk s bb a 7. oszt ly v g re egyar nt k pes r sban s (l p senk nt lejegyezve az eredm nyt) sz mol g ppel is elv gezni a kijel lt m veleteket. Ezut n fokozatosan r t rhet nk arra, hogy a megold si tervnek megfelel teljes m veletsort az egyes r szeredm nyek lejegyz se n lk l v gezze elatanul. Atov bbl p shez mindenekel tt meg kell ismernie s meg kell rtenie saj t sz mol g p nek m k d s t s szolg ltat sait. A tank nyvnek ez az alfejezete (esetenk nt j t kos form ban) ehhez ny jthat seg ts get. Megjegyezz k, hogy ha tanul ink a kor bbi vekben nem ismert k meg s nem haszn lt k a sz mol g pet, akkor a tanmenetjavaslatban biztos tott 2 ra nem elegend ennek az anyagr sznek a feldolgoz s ra. H vjuk fel a tanul k gyelm t arra, akkor f lt tlen l vegy k gyelembe azokat a szempontokat, felh vja a gyelm ket: a g p a helyes m veleti sorrend szerint dolgozz k hogy ha saj t sz mol g pet k v nnak beszerezni, amelyekre a tank nyv is v ltsa ki a (n gyzetgy kvon s, logaritmus, szinusz stb.) f ggv nyt bla haszn lat t. Atov bbiakban rendszeresen haszn ljuk a sz mol g pet, gy a tanul k a kor bban tanultak ism tl sekor (hatv nyoz s, sz mok t rzst nyez kre bont sa), illetve az j ismeretek elsaj t t sa sor n, (p ld ul a n gyzetgy kvon s, az tlag s sz r s kisz m t sa) a sz mol g p haszn lat val kapcsolatos ismereteiket is b v thetik. Hatv nyoz s Akor bbi vekben tanultak elm ly t se a c lunk. Az elnevez sek (hatv ny, alap, kitev ) s jel l sek ismeret t, s a hatv nyok kisz m t s t minden tanul t l k vetelj k meg. Emelt szinten tanul k sz m ra hasznos lehet, ha konkr t p ld k megold s val tapasztalatot gy jtenek a hatv nyoz s azonos gainak (k z piskolai) magasabb absztrakci s szint, dedukt v ton t rt n feldolgoz s hoz is, de m r most, nyolcadik oszt lyban is kamatoztathatj k az gy megszerzett tud st: ha t rzst nyez kre bontott sz mokkal kell sz molniuk ha a sz mok norm lalakj val (esetleg sz mol g ppel) sz molnak. 23
A sz mok norm lalakja Ha id hi ny miatt 7. oszt lyban nem foglalkoztunk ezzel az anyagr sszel, akkor most 1-2 r val t bb id t sz njunk r. Az ltal nos iskol ban az egyn l nagyobb sz mok norm lalakj nak rtelmez s t minden tanul t l elv rhatjuk. A norm lalak eszk zszer alkalmaz s hoz olyan h tt rismeretekre van sz ks g, amelyek minimumszinten, k l n sen a reduk lt program szerint tanul oszt lyokban nem v rhat k el (m veletek hatv nyokkal, a negat v eg sz kitev j hatv ny rtelmez se). Ha nem foglalkozunk a negat v eg sz kiev j hatv nnyal, akkor a 0 s 1 k z es sz mokat fel rhatjuk egy 1 s 10 k z es sz m s 0,1 valamilyen pozit v eg sz kitev j hatv ny nak szorzatak nt (l sd B1.06. feladat). Ezzel el is k sz thetj k a 0 s 1 k z es sz mok norm lalakj nak rtelmez s t s haszn lat t. Jobb csoportban alapszinten is rtelmezhetj k (a helyi rt k fogalm hoz kapcsol dva) 10 negat v eg sz kitev j hatv nyait, s gy a 0 s 1 k z es sz mok norm lalakj t. A fentieket sszegezve javasoljuk, hogy az tlagos vagy ann l jobb k pess g tanul kkal rtelmeztess k tetsz leges sz m norm lalakj t, s gyakoroltassuk a norm lalakkal val sz mol st. sz lnak: 1. Megszil rd thatja a sz mfogalmat. Javaslatunk mellett (a teljess g ig nye n lk l) a k vetkez rvek 2. Megk nny ti a m rt kegys gek tv lt s t (ez rt a zika, a k mia stb. tanul sa sor n is j l alkalmazhat ). 3. Term szetes terepet" biztos t konkr t hatv nyokkal v gzett m veletekre, ezzel el k sz thetj k az absztrakt t rgyal st. 4. K nnyebb teszi a n gyzetre emel st s a n gyzetgy kvon st (l sd ott). 5. Meggyors tja s biztosabb teszi a tanul munk j t (k nnyebben lehet vele sz molni, ttekinthet bb az eredm ny, jobban sszehasonl that m s rt kekkel stb.). 6. Egyes k z piskol kban m r az els vben maxim lis begyakorlotts got v rnak el ezen at ren(k l nb z szakmai sz m t sokban is), ezt csak gy rhetj k el, ha most is haszn ljuk ezt az alakot. 7. A sz mol g p, illetve a sz m t g p ilyen alakban adja meg a nagy, illetve a kis abszol t rt k sz mokat. A 0 s a negat v eg sz kitev j hatv ny B v tett tank nyv 30{32. oldal. Ez a fejezet a k z piskol ba k sz l knek, illetve k z piskolai tagozatra j r knak aj nlott. A vizsg lataink azt mutatj k, hogy ha elegend id nk van r, akkor el rhetj k, hogy ezeknek az ismereteknek az elsaj t t sa ne jelentsen gondot tanul inknak. Az anyagr sz tan t s nak els sorban praktikus okai lehetnek. A m rt kegys gek tv lt s t, a zikai sz m t sokat sokkal magabiztosabban v gezheti norm lalakban adott sz mokkal a tanul, ehhez viszont tudnia kell 10 negat v kitev j hatv nyaival is sz molni. 24