Dr. Gubán Miklós PhD * Gubán Dorottya ** Ifj. Gubán Miklós *** KÜLÖNBÖZİ MÉRİMŐSZEREK MÉRÉSI EREDMÉNYEINEK FELDOLGOZÁSA EGY ÚJ MÓDSZERREL Korábban Santa Clarában (CA, USA, SEMISTRY) kifejlesztettünk egy nagy programrendszerhez kapcsolódó felismerı módszert és algoritmust (publikálva FACSS 98 Austin, Texas). Ez az algoritmus azonban a technika fejlıdése miatt az elmúlt években felülvizsgálatra szorult. Emellett a megadott algoritmus eddig nem rendelkezett explicit matematikai modellel. A felvetıdött probléma a következı volt: nagy tömegő adat érkezik, sokféle, különbözı beállítással rendelkezı berendezésbıl. Fel kell ismerni az egyes mérési módokból eredı adatcsoportokat, a késıbbi elemzés céljából. Cikkünkben elıször megadjuk az új felismerési módszer nagyvonalú algoritmusát. Ez a módszer tartalmazza az új felismerési algoritmushoz tartozó módosított színezési algoritmust. Cikkük második részében felírjuk a színezési feladat matematikai modelljét, mely egy nem lineáris optimalizálási probléma lesz. Ezután megmutatjuk, hogy a MS Excel Solver makrójával hogyan lehet megoldani a modellhez tartozó feladatot. A modell vizsgálata után megmutatjuk a korábban kidolgozott algoritmus javított változatát. A cikk harmadik részében néhány érdekes példán keresztül megmutatjuk, hogy a módosított algoritmus hogyan viselkedik bizonyos szituációkban. Ezt egy általunk kifejlesztett demonstrációs program segítségével fogjuk bemutatni. BEVEZETÉS 1. ábra A mérés folyamata * BGF Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar Salgótarjáni Intézete, intézetigazgató-helyettes, fıiskolai docens. ** BME Vegyészmérnöki Kar, egyetemi hallgató. *** BGF Pénzügyi és Számviteli Fıiskolai Kar Salgótarjáni Intézete, fıiskolai hallgató. 59
Korábban Santa Clarában (CA, USA, SEMISTRY) kifejlesztettünk egy nagy programrendszerhez kapcsolódó felismerı módszert és algoritmust [2,3]. Ez az algoritmus azonban a technika fejlıdése miatt az elmúlt években felülvizsgálatra szorult. A problémát a sokoldalú parametrizálhatóság okozza. Elıadásunkban egy módosított új algoritmust mutatunk be, mely a korábbi gráfszinezéses módszeren alapul. A felvetıdött probléma a következı volt: nagytömegő adat érkezik, sokféle, különbözı beállítással rendelkezı berendezésbıl. Korábban egyszerőbb mérési eredmények miatt könnyebb volt az egyes mőszerekbıl érkezı adat felismerése, azonban a bonyolult parametrizálhatóság miatt már nem mőszerfelismerést kell végrehajtani, hanem mérési módszer felismerést. Ez jelentısen lelassította és pontatlanná tette a korábban [2,3,4]-ban megadott módszerünket. A hatékonyság érdekében az alapgondolatot kellett megváltoztatni. I. AZ ÚJ FELISMERÉSI ALGORITMUS Az algoritmus alapvetı módosítása abban áll, hogy most mérési szabványokra és nem mőszerekre csoportosítunk. 1. Minden mérési sorozatból kiválasztunk egy ún. standardot. Ez megoldható, hiszen azonosítókkal felismerhetı. 2. Ezután izotóponként külön-külön elvégezzük a csoportosítást. Meghatározzuk a legtermészetesebbnek tőnı csoportokat. A csoportosítást egy új módosított gráfszínezéses klaszterezı algoritmussal végezzük el. Ez egy korlátozás és szétválasztás elvén mőködı heurisztikus algoritmus. 3. A kapott csoportokat összevetjük és az egyes izotópok és mérések csoportjait összehasonlítjuk, majd az adott mérést abba a csoportba helyezzük, amelyikben a leggyakrabban fordul elı (más szóval amelyikhez legjobban hasonlít ). Ez utóbbi a fogalmat pontosítjuk majd ebben a cikkben. Ha új csoport jön létre, akkor az új csoport paramétereit a felismerés után kézi úton megadhatjuk. 4. Ezután vesszük a teljes mérési anyagot és elvégezzük a megfelelı kalibrálást a csoporthoz rendelt paraméterek alapján, amely után a mérési outputok elıállíthatók és az adatok átadhatók a végsı feldolgozó rendszerekbe. Az új módszer elınyei közé tartozik, hogy egyrészt nagyon jó biztonsággal ismeri fel a mérési csoportokat, valamin gyorsabb a korábbinál és néhány kritikus esetet pontosabban kezel, mint a korábbi algoritmus (a kiegészítı minimális szomszédos elem távolság minimális csoporttávolság módszerrel). II. A PROBLÉMA NAGYVONALÚ MEGFOGALMAZÁSA Adott egy n csúcspontú teljes gráf. Jelölje a D mátrix d eleme ( i 1, K n; j = 1, Kn) = a gráfban az i és j csúcspontok között vezetı él hosszát. A mátrix elemeire a következı feltételek teljesülnek: 0 d d ii = 0 d = d ji. emellett i, j-t hasonlóbbnak tekintjük, mint k, j-t, ha d <. (2) d kj Soroljuk egy elıre adott c számú csoportba a csúcsokat (színezzük meg a csúcsokat c színnel) úgy, hogy egy csoportba az egymáshoz hasonló elemek kerüljenek. (1) 60
Határozzuk meg a gráf csúcspontjainak azt a legtermészetesebb csoportosítást, mely csoportokban a lévı elemek legjobban hasonlítanak egymásra. A problémát két fázisban oldjuk meg: 1. fázis. A csoportok számát (c) végigfuttatjuk 2-tıl n 1-ig. Minden lépésben meghatározzuk a minimális élhosszt. Ezt összehasonlítjuk az elızı lépés élhosszával és ahol ez az érték a legnagyobb különbséget mutatja, az lesz a természetes csoport. 2. fázis (színezés). Egy adott c értékre megkeressük az optimális színezést és azt az élhosszt, mely a teljes gráfból bekerült a színezett gráfba. II.1. A színezés matematikai modellje Változók Jelölje az X mátrix x elemének( i = 1, K n; j = 1, Kn) 1 értéke, hogy az i és j csúcspontok kö- edik csúcspont színszámát ( ) zötti élet figyelembe vettük, 0 jelentse, hogy az élet elhagytuk. Jelölje az y vektor y i komponense az i- i = 1K,,c, ahol c jelenti az adott színnel való színezés színszámát. Tegyük fel, hogy c < n. (3) Itt jegyezzük meg, hogy lehetne a színek számát 0-val kezdeni, de ekkor a színezési algoritmustól eltérnénk, ahol a 0 a színezetlen csúcspontot jelenti. Feltételrendszer Ekkor fennállnak az alábbi összefüggések: y i 1K,, c { } ( i 1, Kn) Ha x jelöli az i és j csúcspont közt vezetı élt, akkor A célfüggvény =. (4) ( y y ) { 0,1} x = sgn i j. (5) Több különbözı célfüggvény definiálható, ezek közül a gráfszínezéses algoritmushoz tartozó célfüggvényt tekintjük: f n n ( ) = d sgn( y y ) X max. (6) i= 1 j= i+ 1 Hogy a (4) feltétel és (6) célfüggvény elegendı annak biztosítására, hogy pontosan c színnel történjen a színezés, a következı tétel bizonyítja. Tétel Legyen a felhasználható színek száma c. Ekkor csak olyan színezés lehet optimális, amely mind a c színt felhasználja. Bizonyítás Elegendı csak azt megmutatni, hogy ha van k (< c) színnel színezés, akkor van k + 1 színnel jobb célfüggvény értékő színezés. i j 61
Tegyük fel, hogy c színő színezés esetén van k (< c) színnel optimális színezés. Ekkor a színezendı G gráf nem lehet teljes gráf, hiszen k < c < n miatt van legalább két csúcspont (i, j csúcspontok) mely azonos színő. Ez viszont azt jelenti, hogy köztük nem vezet él. Vegyük hozzá a G gráfhoz azt az élet, mely a két csúcspont között vezet: G = GU{ }. (7) Ekkor x = 1 lesz és e ( X ) = f ( X) + d f ( X) f >. (8) Színezzük meg az i vagy a j csúcspontot az eddig nem használt színek valamelyikével (pl. k+1 -gyel). Ez lehetséges megoldás és a célfüggvény érték nagyobb lesz. Ez ellentmond a feltevésünknek, hogy optimális volt a k színnel való színezés. A csúcspontok színértéke a 1 és c közül kerülhetnek ki: A teljes modell Egy gráf adott számú színnel történı megszínezésének matematikai modellje y i 1K,, c i =1, Kn f { } ( ) n n ( ) = d sgn( y y ) X max. i= 1 j= i+ 1 i j (9) II.2. A színezés nagyvonalú algoritmusa A módszer [1]-ben található módszerre épül alapvetıen, annak egy igényeink szerint módosított változata. Az alapalgoritmus két fı részbıl épül fel. I. Kezdı színezés 1. Egy új él hozzáadása után színezés c színnel, heurisztikus algoritmus segítségével. 2. Ha van c színnel színezés, akkor megjegyezve ezt a színezést I.1. ponttól folytatjuk. II. Optimális színezés 1. Ha nincs c színnel színezés, akkor optimális színezı algoritmussal megszínezzük a csúcsokat. 2. Ha van c színő, akkor megjegyezve ezt a színezést folytatjuk az I.1. ponttól. 3. Ha nincs, akkor a megjegyzett színezés lesz az optimális színezés Az optimális színezés végén javító algoritmus a természetesebb csoportosítás érdekében. A fenti algoritmusra kidolgoztunk egy demonstrációs alkalmazást, mely Delphiben készült Windows operációs rendszer alá. A program fı funkciói: rajzoló rutin; színezı rutin; egyszerő karakterfelismerı rutin, karakterszerkesztıvel. (Egy egyszerő alkalmazási példa.) II.3. A színezéses algoritmus és az Excel megoldás összehasonlítása egy egyszerő példán keresztül A fenti (9) modellt megoldhatjuk az MS Excel Solverjével. Az alábbiakban összehasonlításul megmutatjuk egy egyszerő feladaton keresztül. 62
Tekintsük a következı távolságmátrixot: 1. ábra A mintafeladat D távolságmátrixa Színezzük meg három színnel a fenti teljes gráf csúcspontjait. A gráfszínezéses algoritmus az alábbi három klasztert találja meg: 2. ábra Az optimális színezés A 2. ábrából jól látható, hogy három csoport esetén az 1, 2, 3 pontok kerültek egy klaszterbe ( piros, baloldalt, fent), a 4, 5, 6 a kék (jobboldalt, fent) klaszterbe és a 7, 8 a fekete (középen, lent) klaszterbe. A leghosszabb fel nem használt él hossza 35 lett, tehát a minimális felhasznált 247 lett. Az egyes csoportokban látható Ci feliratú körök a csoportok középpontját jelzik. Az Excel modellje 3. ábra Az Excel tábla 63
A cellák tartalma: a második sor (A2:AB2) tartalmazza a távolságadatokat, az AD1:AD8 a csúcspontok színeit, a harmadik sor (A3:AB3) a célfüggvény komponenseit. Például a K3 tartalma: =ABS(ELİJEL(($AD2-$AD6)), a többi ennek megfelelıen alakul. a AC3 a célfüggvény értékét: =SZUM(A3:AB3). Az elsı sor csak a könnyebb tájékozódást biztosítja. 4. ábra A 3. sor celláinak tartalma (pl. K3) 5. ábra A célcella tartalma (AC3) Solver beállításai 6. ábra A Solver paraméterei 64
7. ábra A Solver beállításai Megjegyzés. A Solver beállításakor két eset lehetséges: ha a színeket 1 és c közül választjuk, akkor a 6. ábrán látható beállításokat kell venni. ha 0 és c 1 közül választunk, akkor a 3-at a mintafeladatban 2-re kell állítani és elhagyható a 3. feltétel, de ekkor a Solver beállítása panelen kell a Nemnegatív feltételezése jelölıdobozt bejelölni. Solverrel megoldva Jól látható, hogy itt is 247 a minimális távolság. A három klaszter jött létre (a megoldásra az Excel 2007-et használtam). Ezeket leolvashatjuk az AD oszlopban. Zöld színő az 1,2,3 pont, piros a 4,5,6 és sárga a 7,8. A be nem került éleket a harmadik sorban feketével láthatjuk. 8. ábra A Solver megoldása III. NÉHÁNY ÉRDEKES ESET FUTÁSI EREDMÉNYE Az alábbiakban néhány klasszikus, valamint az eredeti probléma szempontjából fontos esetet vizsgálunk meg. Ezek vizsgálata ezért is fontos, mert a csoportosítás jósága határozza meg a módszer használhatóságát. 65
2 színnel 9.ábra 3 színnel 7 színnel A 9. ábrán látható egymásba fonódó csoportokat vizsgáltunk. A példánál csak a 7 szín felhasználása adja meg a közelítıleg természetesnek tekintett csoportosítást. Lánchatás A módszer (mint azt egy késıbbi példában is megmutatjuk) alapvetıen nem a hosszú láncok felismerését végzi el hatékonyan, hanem inkább a tömböket kezeli nagyon jól (nekünk ilyen algoritmusra volt szükségünk). 10. ábra Lánchatás I. Jól felismerhetı két csoport jelent meg. Méréseink ilyen jellegő adatokat keres. Jól látható a természetes csoportosítás és a természetesnek tőnı középpont is. 66
11. ábra Lánchatás II. Ha az elemek megfelelı távolságban vannak és természetes csoportjaik megfelelı hosszúságúak, akkor jól kialakítja azokat a csoportokat is, amelyek láncban vannak. Különösen érdekes a jobboldali lánc. Az alábbi példa azonban mutatja a Completing linkage-hez hasonló jellegzetességet. Három csoportot tekint jónak, azonban a C1, és a C2 nem a természetesnek tőnı csoportok. Ennek ellenére ez az csoportosítás, ha a szempontjaink megfelelıek, mégis jó. 12. ábra Lánchatás III. A heurisztikus algoritmusok egyik jellemzıje, hogy a megoldás függ az elemek sorrendjétıl. Az alábbi példában látszik, hogy a rombusz közepébe helyezett pont esetén az elemek sorszámától függ a végeredmény: 67
Hajló ívek 13. ábra Rombusz közepén egy elem Ebben az esetben három klasztert ismer fel a módszer, azonban ez a három csoport nem a természetesnek tőnı csoportok. Ha a gyakorlati feladatoknál ez az eset fordul elı általában, akkor mindenféleképpen el kell gondolkodni másik módszer alkalmazásán. Mi is megvizsgáltuk, hogy ez az eset elıfordul-e, eredményeink alapján szerencsére ez nem áll elı. Ez mindenesetre mutatja, hogy az egyes módszerek alkalmazása elıtt célszerő nagyvonalúan megismerni a módszer csoportosítási elveit. 13. ábra 3 kifelé hajó közeli ív problémája Végezetül egy további feladat a csoportok középpontjának meghatározása. Erre több lehetıség is kínálkozik. A módszerünkben egy súlyozott középpont keresést alkalmaztunk. Ez azért jó, mert ez a középpont a leggyakoribb mérési eredményekhez áll közel és így ehhez könnyő beállítani a paramétereket. Emellett jól mutatja a mérésre jellemzı értékeket. 14. ábra Sőrőség 68
IV. A MÓDSZER ALKALMAZÁSA AZ EREDETI PROBLÉMÁRA Egy valódi (természetesen jelentısen szőkített) adatsoron lefuttattuk a felismerı algoritmust. A mintában az alábbi adatokat vettük figyelembe: kiválasztottunk 43 standardot, különbözı mérésbıl, különbözı intenzitásút, különbözı idıtartammal, 3 mőszer 7 mérési változattal. egy izotópot vizsgáltunk, az adatokat transzformáltuk (ahogy korábban). Az alábbi lista a futás eredményét mutatja: 15. ábra A csoportosítás outputja A lista szerint 7 mérésbıl származtak az adatok. ÖSSZEFOGLALÁS Az általunk megadott új mérés-felismerési algoritmus a hozzátartozó színezési algoritmussal hatékonyan oldja meg a korábban már nehézkesnek tőnı mőszer-felismerési problémát. A felismerési módszer alapvetıen eltér a korábbitól, emellett a színezési algoritmus is hatékonyabbá és természetessé vált. Mindezek mellett a matematikai modell lehetıséget ad további más eszközökkel történı megoldásra, valamint az algoritmus elméleti vizsgálatára is. Összességében egy jól mőködı módszert kaptunk. 69
IRODALOMJEGYZÉK [1] HANSEN, P. & DELATTRE, K. (1976) Cluster Analysis by Graph Coloring Faculté Universitaire Catholique Mons. [2] GUBAN, M. FUCSKO, J. & RADI, GY. (1998) Efficient Information Handling System for ICP/MS and Other Analytical Instruments FACSS Conference October 11-16, 1998, Austin Texas. [3] GUBAN, M. (1999) Graph Theoretic Algorithms for Cluster Analysis and Application for Recognition of Analytical Instruments, The 5 th International Conference on Engineering of Modern Electric Systems Computer Sience and Control System Session, University of Oradea May 27-29, 1999, Oradea. [4] GUBÁN M. (1999) Mőszerfelismerés Cluster Analízissel. Nógrád megyei II. Informatikai konferencia, 1999. szeptember 15. Balassagyarmat. [5] GUBÁN M. (2000) ICP-MS eszközök felismerése gráfszínezéses Cluster Analízis módszerrel. Az elemzési módszerek és a gazdasági környezet harmonizációja konferencia, 2000. június 29. BGF PSZFK, Budapest. 70