Matematika A. évfolyam. modul Gazdasági matematika Készítette: Lövey Éva
Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató A modul célja Időkeret Ajálott korosztály Modulkapcsolódási potok A felőttkorba lépő taulók gazdasági ismereteiek bővítése a tault matematikai fogalmak segítségével. 4 óra. évfolyam Tágabb köryezetbe: A mideapi életbe, vásárlásál, hitelfelvételél, bakszámla yitásakor, újság olvasásakor a hallott fogalmak értelmezése. Lehetőségek összehasolítása. Hétközapi szituációk. Gazdasági számítási feladatok és külöböző összegzések gyors elvégzése. Szűkebb köryezetbe: A mértai sorozat elemei, mit kamatos kamat. A mértai sorozat elemeiek összege mit halmozódó betétállomáy, vagy járadék tagjai. A képességfejlesztés fókuszai Megjegyzés: Ajálott megelőző tevékeységek: Sorozatok, százalékszámítás. Számolás, számlálás, számítás: Képlet alapjá a képletbe szereplő ismeretle kifejezés kiszámítása. Szöveges feladatok, metakogíció: A valóságból merített szöveges feladatok alapjá felismeri az alkalmazadó eljárást, képletet. A megkapott végeredméy értelmezése. Szövegbe előforduló tartalmi összefüggések megkeresése. Eek a modulak az ayaga em tartozik az érettségi követelméyek közé. A mideapi életbe való köyebb eligazodás segítségére készült a 18 éves korosztályak. Taári dötése múlik, hogy foglalkozak-e vele.
Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató 3 AJÁNLÁS Az utolsó órát a diákokak kellee tartai, természetese a taár iráyítása mellett. Kutatómukára lee szükség, házi feladat lee felkészüli, az órá beszámolva a kutatás eredméyéről az osztálytársakak. A következő kutatási témákat javasoljuk úgy, hogy ökét vállalkozók dolgozzák ki ezeket: - Mit tartalmaz egy kokrét áru és bak eseté a THM? A műszaki áruházlácok hirdetési újságjaiból kiderül, hogy az üzletek szerződést kötek egy-egy bakkal, amely külöböző hitelkostrukciókat ajál a vásárlókak. A hirdetési újságokba a THM ige széles skálá mozog, még tájékoztatásak sem elég. Odaírják, hogy kokrét hitel eseté teljes felvilágosítást yújt az ügyitézőjük. Ez lee a diák feladata: válasszo ki egy árut, és e yugodjo addig, amíg ki em deríti (ehhez joga va!), hogy itt milye kamattal számol a bak, milye gyakra tőkésíteek, milye járulékos költségek vaak még, magyarul: miből jö itt össze a THM? - Va 1 millió forituk. Két évig ics rá szükségük. Keresse meg a diák a legkedvezőbb betéti lehetőséget. Lehet betét, de akár államkötvéy is. Számítsa ki, meyi pézük lesz év múlva. - Sürgős szükségem va 100 000 Ft szabad felhaszálású hitelre. Nézze utáa, milye feltételek mellett, hogy lehet a legkedvezőbbe hozzájuti. Több bak ajálatát hasolítsa össze. Utóbbi két feladatál agyo haszos az Iteret haszálata. - Továbbtauli szádékozókak: Nézze utáa, azo a területe, ahol szádéka szerit majd elhelyezkedik, kb. meyi a kezdőfizetés, és a távlati lehetőségek. Majd a diákhitel holapjá a hitelkalkulátorral számíttassa ki, hogy külöböző összegű hitelek felvétele eseté mikorra törlesztheti a kölcsöt és milye törlesztőrészletekkel. - Ha midezekre ics fogadókészség a csoportál, akkor jöhet a modulvázlatba meghatározott IV. rész. A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA 1. óra: Betétek, EBKM. óra: Járadék 3. óra: Áruvásárlási kölcsö, THM, devizahitel 4. óra Hitelek, diákhitel
Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató 4 ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Sorozatok Középszit Ismerje a számsorozat fogalmát és haszálja a külöböző megadási módjait. Tudjo olya feladatokat megoldai a számtai és mértai sorozatok témaköréből, ahol a számtai, illetve mértai sorozat fogalmát és az a -re, illetve az S -re voatkozó összefüggéseket kell haszáli. Tudja a kamatos kamatra voatkozó képletet haszáli, s abból bármelyik ismeretle adatot kiszámoli. Emelt szit Sorozat jellemzése (korlátosság, mootoitás) a kovergecia szemléletes fogalma. Egyszerű rekurzív képlettel megadott sorozatok. Bizoyítsa a számtai és a mértai sorozat általáos tagjára voatkozó összefüggéseket, valamit az összegképleteket. Ismerje a végtele mértai sor fogalmát, összegét. Tudjo gyűjtőjáradékot és törlesztőrészletet számoli. Godolkodási módszerek Legye képes a tauló adott szövegbe rejlő matematikai problémákat észrevei, szükség eseté matematikai modellt alkoti, a modell alapjá számításokat végezi, és a kapott eredméyeket értelmezi.
Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató 5 MODULVÁZLAT Lépések, tevékeységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjteméy I. Betétek, EBKM 1. Tőkésítés, kamatperiódus 1. mitapélda;. feladat. EBKM fogalma, számítása Kommuikáció, kombiatív godolkodás, potos fogalmazás Iteret+ www.pszaf.hu, vagy., 3. mitapélda és 3. feladat 3. Halmozódó betét kamata, gyűjtőjáradék Redszerzés, meyiségi következtetés 4. mitapélda; 4. feladat II. Járadék 1. Járadék fogalma 5. mitapélda. Számítási feladat Redszerzés, logikus godolkodás 6. mitapélda; 5. és 6. feladat III. Kölcsöök, THM, diákhitel 1. THM fogalma Kommuikáció, kombiatív godolkodás, potos fogalmazás 6. mitapélda. Áruvásárlási kölcsö 7. mitapélda 3. Árfolyam, deviza alapú hitelek Redszerzés, meyiségi következtetés 10., 11. mitapélda
Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató 6 IV. Hitelek, diákhitel 1. Személyi kölcsö Redszerezés 8. mitapélda. Diákhitel (csoportos feldolgozás) Szövegértés, kommuikáció, logikus godolkodás Iteret+ www.diakhitel.hu A. és B. feladatlapok
. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 I. Betétek Mitapélda 1 Számítsuk ki, mekkora éves kamatot jelet az, ha a bakba tett 00 000 Ft-ot évi 6%-kal a) hathavota (azaz évete kétszer), b) kéthavota, c) havota tőkésítik. A feti tőkésítési gyakoriságot kamatperiódusak evezik. Legye a tőke A = 00000 Ft. a) Ha egy bak évete kétszer tőkésít, az azt jeleti, hogy az éves kamat felét két alkalommal hozzáírja a tőkéhez. Tehát a 6% felét, 3% kamatot hozzáadak az A tőkéhez, 6, így két tőkésítés utá A 0 06 + = A 103 1, = 1, 0609 A -ra ő a tőke. Ez megfelel 6,09%-os éves kamatak. b) Ha a bak évete 6-szor tőkésít, azt jeleti, hogy az éves kamat hatodrészét 6 alkalommal hozzáírja a tőkéhez. Tehát a 6% hatodát, 1% kamatot hozzáadak az A tőké- 06 hez, így 6 tőkésítés utá A 6 1 + = A 101, 1, 0615A -ra ő a tőke. 6 Ez évi 6,15%-os kamatak felel meg. c) Ha a bak évete -szer tőkésít, az azt jeleti, hogy az éves kamat tizekettedrészét adják hozzá tizekét alkalommal az aktuális tőkéhez. Tehát kamatperiódus utá a 06 tőke A 1 + = A 1005, 1, 06168A. Ez 6,168%-os kamatak felel meg. Számukra ez a legkedvezőbb megoldás. Megjegyzés: Látható, hogy számításuk eredméye függetle attól, hogy mekkora az A tőke. Általáosa: Ha a bak p%-os évi kamat mellett évi alkalommal tőkésít, akkor az iduló tőke p 1+ -szeresére ő.
8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Módszertai megjegyzés: A példák adatait megpróbáltuk valós baki ajálatok alapjá számítai. A következő mitapéldához a bakfelügyelet összehasolító táblázatáak adatait haszáltuk úgy, hogy két bak szolgáltatásai közül csak azt vettük figyelembe, melyek összegsávjába esik az 1 millió forit. Időigéyesebb, de érdekesebb, ha a bakfelügyelet holapjáról a diákokkal közöse mazsolázuk a lehetőségek közül. www.pszaf.hu (Pézügyi Szervezetek Állami Felügyelete) Mitapélda Azt tervezzük, hogy beteszük a bakba 007. jauár 1-jé 1 millió foritot, és éve át em yúluk hozzá. A következő baki ajálatok közül választhattuk 007-be. Segíts dötei! Kamatláb( bruttó) % / EBKM % Elevezés Sávhatárok 1 hóapos hóapos 3 hóapos 6 hóapos 1 éves Miimálisa leköthető összeg (Ft) Betétlejárat előtti felmodáskor alkalmazott kamatláb Kamatprémium Kamatcsúcs betét 1 000 000 999 999 X 6,34/6,49 X X X 1 000 000 00 Ft 00 Ft Határidős hozambetét 1 000 000-tól 5,15/5, 5,15/5, 5,0/5,7 5,0/5,7 5,0/5,7 1 000 000 00% 5 Família betétszámla 1 000 000 Ft 9 999 999 Ft X X X X 6,00/6,17 50 000 A következőket lehet még tudi a feti betétekről: A határidős hozambetét a lejárat utá em kamatozik. A Família betétszámla havi kamatjóváírású. Mi is az az EBKM? Az egységesített betéti kamatláb mutató egyike azokak a mutatószámokak, amelyek segíteek beüket a külöböző baki ajálatok összehasolításába. Ahogy a boltokba kötelesek feltüteti mide mosóporál, hogy abból a mosóporból meyibe kerüle 1 kg, ugyaígy a bakok is megadják, milye éves kamat adódik a betétjeikél, hogy a külöböző időpotokba törtéő tőkésítések elleére is össze tudjuk hasolítai az egyes betéti kamatokat. Tehát az EBKM azt adja meg, hogy mekkora valamely betét téyleges éves hozama. Ezt köteles mide bak azoos elvek alapjá kiszámítai.
. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 A Kamatcsúcs betét eseté úgy tuduk két éve át takarékoskodi, ha kéthavota újra és újra lekötjük hóapra. Bár erről em szól a hirdetméy, a kamatjóváírás is valószíűleg kéthavota törtéik meg. Ilyekor az éves kamat 1 év alatt az 1 millió forituk 6 0634 1000 000 1 + 1065099, 1000 000 = 1065099 Ft-ra ő. 6 1 = részével számolak, így 6 Ez az összeg az 1 millió forituk 6,51%-os övekedését jelzi az első évbe, ami agyo hasolít a táblázatukba szereplő 6,49%-hoz. Tulajdoképpe már ezek utá, külöösebb számolgatás élkül döthetük is, azt a betéti formát érdemes választauk, amelyél az EBKM a legagyobb. Az egyes lehetőségekél: Kamatcsúcs betét 6,49%, Határidős hozambetét 5,7%, Família betétszámla 6,17%, vagyis az első lekötés a legkedvezőbb. Előfordulhat, hogy valamelyik szemfüles gyerek észreveszi, hogy az EBKM akkor is külöbözik az éves kamattól, ha a kamatperiódus 1 év. Eek oka a következő: a bakokak az a szokásuk, hogy az éves kamatot 360 apra adják meg. (Ez a baki év.) Ha az általuk megadott kamatot átszámítjuk apra (azaz elosztjuk 360-al, és szorozzuk -tel, az EBKM értékét kapjuk meg. Mitapélda 3 Számítsuk ki, mekkora összeghez jutuk két év elteltével a feti legjobb ajálat eseté! A téyleges összeg kiszámításához figyelembe kell vei, hogy betétük kamata utá kamatadót kell fizeti. A kamatadó mértéke a midekori kamat 0%-a, így a két hóap 0634 elteltével az A összeg utá A kamatot íráak jóvá (tőkésíteéek), de eek 6 0%-át rögtö az államak utalják, így számláko csak a kamat 80%-a, azaz 0634 0634 A 08 = 08 A kamat jeleik meg. Tehát 1 millió forituk 4 hóap, 6 6 0634 azaz kamatperiódus alatt 1000 000 8 13484 Ft-ra ő. 6
10 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ A továbbiakba úgy tekitjük, mitha a megadott kamat mértéke az adózás utái kamat lee, azaz a meghirdetett kamat 80%-ával számolák. Mitapélda 4 Ha a bak évi %-ot ígér havi tőkésítéssel, az azt jeleti, hogy mide hóap végé az aktuális betét utá az éves kamat tizeketted részéyi kamatot fizetek. A kamatot havota írják jóvá (és tőkésítik). Ez azt jeleti, hogy mide hóap végé az éppe bakba levő pézük 1%-át hozzáadják a betéthez, ettől kezdve a kamat is kamatozik. Havota 0 000 Ft-ot tuduk félretei, és ezt mide hóap elejé a számlákra tesszük. Olya bakot választottuk, amelyik (ha éve belül em yúluk a pézükhöz) évi % kamatot fizet. Célszerű egy táblázatot készítei a hóap eleji és év végi helyzetükről. Hóap elejé Hóap végé 1. 0 000 0 000 1, 01. 0 000 101, + 0 000 0000 101, + 0000 1, 01 3. 0000 101, + 0000 101, + 0000 3 0000 101, + 0000 101, + 0000 1, 01 4. 3 0000 101, +... + 0000 101, + 0 000 4 0000 101, +... + 0000 101, + 0000 1, 01 Észrevehetjük, hogy a 4. hóap végé egy olya mértai sorozat első 4 eleméek összegét kapjuk, melyél a = 0000 1, 01 és q =1, 01. 1 Tehát a 4 hóap leteltével felvehető összeg: 4 101, 1 S 4 = 0000 101, 544864. 101, 1 Két év elteltével 544 864 Ft-uk lesz a bakba. A feti típusú takarékosságot gyűjtőjáradékak evezzük: redszeres időközökét (pl. havota, évete) azoos összeget fizetük be, és az a számláko kamatozva gyűlik.
. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 11 Feladatok 1. Az újságba ezt olvashattuk: Nyolc ap alatt elkapkodták a magábefektetők a CIB 006. augusztus elejé, 3 milliárd forit értékbe piacra dobott, hároméves futamidejű, a futamidő alatt összese 4 százalékos kamatot fizető CIB Classic 009A kötvéyét. Mekkora évi kamatak felel meg ez? q 3 q = = 1, 4 3 1, 4 1, 0743 Tehát évi 7,43%-os kamatak felel meg.. Dötsd el, az a), b) és c) esetekbe alábbi lehetőségek közül mikor, meyit kapuk kézhez 1 év utá, ha a bakba tett pézük százezer forit! (A kamatadót most e vedd figyelembe!) a) Évi 6% kamat eseté, havi kamatperiódussal. b) Évi 6,3%, ha a tőkésítés kéthavota törtéik. c) Évi 6,4% kamat, ha évete kétszer tőkésíteek. a) Havi kamat 5% lesz, így pézük 1 év múlva100 000 1005, 106168 Ft. b) Kéthavota a kamat 6, 3 = 105, % lesz (mivel az év folyamá 6-szor tőkésíteek), így 6 1 év múlva 100 000 10105, 6 106468 Ft lesz a számláko. c) Félévete a kamat 3,% lesz, így egy év utá 100 000 103, 10650 Ft-ot vehetük fel. 3. Számítsd ki az EBKM értékét, ha az éves kamat 4,8%, és a kamatperiódus a) 1 hóap; b) 3 hóap; c) 4 hóap. 4, 8% a) Most évi alkalommal tőkésíteek, tehát a kamat alkalmakét = 4%, így 4 az egy évre számított övekedés 1 + = 1004, 1, 04907, ilyekor az EBKM 100 4,907%.
MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 4, 8% b) Most évi 4 alkalommal tőkésíteek, tehát a kamat alkalmakét = 1, %, így az 4 4 1, 4 egy évre számított övekedés 1 + = 10, 1, 04887, ilyekor az EBKM 100 4,887%. 4, 8% c) Most évi 3 alkalommal tőkésíteek, tehát a kamat alkalmakét = 16, %, így az 3 3 16, 3 egy évre számított övekedés 1 + = 1016, 1, 04877, ilyekor az EBKM 100 4,877%. 4. Egy életbiztosítással kombiált megtakarítási számlára 10 éve át mide év elejé 150 000 Ft-ot fizetük be. Ebből 0 000 Ft az éves biztosítás díja. Ezek általába évete változó kamatozású számlák, de az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy évi 6% kamatot fizetek. A 10 év elteltével meyi péz felett redelkezük a számlá? A számlára befizetett összegből csak 1 000 Ft a megtakarítás, hisze 0 000 Ft a biztosításuk éves díja. Év elejé Év végé 1. 1 000 1 000 1, 06. 1 000 106, + 1 000 1 000 106, + 1 000 1, 06 3. 1 000 106, + 1 000 106, + 1000 3 1 000 106, + 1 000 106, + 1 000 1, 06 10. 9 1 000 106 +... + 1 000 106, + 1 000 10 1 000 106, +... + 1 000 106, + 1 000 1, 06 A 10. év végé felvehető összeg egy mértai sorozat első 10 eleméek összege, ahol 10 106, 1 a1 = 1 000 106,, q = 106, = 10 S10 = 1 000 106, 18164 Ft. 06 Tíz év elteltével a számláko 1 816 4 Ft lesz.
. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 13 II. Járadék Takarékoskodi em csak azért lehet, hogy valami vágyott dologra összegyűjtsük a pézt, haem hogy később, azoos időközökbe amikor szükségük va rá fölvegyük. Ilyekor járadékot biztosítuk magukak. Mitapélda 5 Egy idős házaspár elhatározza, hogy yaralójuk eladásából származó 5 millió foritjukat bakba teszik évi 9%-os kamatra, és amíg pézük tart, mide évbe a kamat tőkésítése utá kiveszek 500 000 Ft-ot, hogy abból utazzaak. A kamatot mide év végé írják jóvá. Meyi pézük marad a 10. év végé? Év elejé Év végé 1. 5 000 000 5 000 000 1, 09 500 000. 5 000 000 109, 500 000 5000000 109, 500 000 109, 500000 3. 5000000 109, 500 000 109, 500000 3 5000000 109, 500 000 109, 500 000 109, 500000 9 10. 5 000 000 1, 09 S 9 10 5 000 000 1, 09 S10 Az év végé kamatozik a pézük, ezért az év elejé levő vagyoukat megszorozzuk p 9 1 + = 1+ = 109, -dal, majd kivouk belőle 500000 Ft-ot. 100 100 Észrevehetjük, hogy a levot összegek egy mértai sorozat tagjai, melyek első tagja a = 500000 1, kvóciese pedig q = 1, 09. Számítsuk ki, mekkora összeggel redelkezik az idős házaspár a tizedik év végé: 10 10 10 1,09 1 5000000 1,09 S 10 = 5000000 1,09 500000 11836818 7596465 = 1,09 1 = 4 40354. Láthatjuk, hogy a tizedik év végé még majdem az eredeti összeg áll a redelkezésükre. (Eltekitettük az iflációtól és a kamatadótól, ezért ez az ideális, szép eredméy.)
14 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mitapélda 6 Számítsuk ki, hogy az előző példába szereplő összeg évi 500 000 Ft kivétele eseté háy évre elegedő az idős házaspárak. Az előző feladatba szereplő képletet haszálhatjuk most is, csak úgy, hogy a 10 év helyett év szerepelje midig. A redelkezésre álló összeg év elteltével: ( ) Ö = 5000 000 10 S = 5000 000 109, 109, 1 500 000. 109, 1 Amíg va péz a számlájuko, addig ez a külöbség pozitív, tehát az ( ) 0 Ö egyelőtleséget kell megoldauk. 5000 000 109, 109, 1 500 000 0 109, 1 10 109, 9 109, 109, 1 0 09 ( 109, 1) 01, 109, 1 1,09 1, 09 0 + 1 0 1 10 / : 500 000 / 09 / 1 / 10 Mivel az x a lg x függvéy szigorúa ő, vehetjük midkét oldal logaritmusát: lg1,09 lg1 mivel lg10 = 1, ezért lg 1,09 1 / : lg1,09 > 0 1 6,7. lg1,09 Ez azt jeleti, hogy a telek árából idealizált körülméyek között 6 éve át tudak utazi.
. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 15 Feladatok 5. Egymillió foritot beteszük a bakba, majd a következő évtől mide év elejé kiveszük 100 000 Ft-ot. Az évi 9,6%-os kamatot mide év végé tőkésítik. Meyi pézük marad a 11. év elejé? A megmaradó péz: 1000000 1, 096 10 S10, ahol 10 1,096 1 a 1 = 100 00 q = 1,096, S10 = 100 000 1563493. 1,096 1 Tehát az összeg a 11. év elejé kb. 1000 000 1,096 1563 493 500953 1563 493 937 460 Ft, eyi marad a bakba. 10 6. 00 000 Ft kölcsöt vettük fel a bakból, évi %-os kamatra. Ha mide hóap elejé 15 000 Ft-ot tuduk törlesztei, meyi idő alatt fizetjük viszsza a hitelt? Ha az éves kamat %, a havi kamat 1% lesz, melyet a hóap végé tőkésít a bak. A törlesztett összeg mértai sorozat összegekét határozható meg. S egy olya mértai sorozat első eleméek összege, ahol a = 15000 és q = 101. 1, A kölcsöt akkor törlesztettük, ha 00000 1,01 S ahol 1,01 1 S = 15000. 01 15 1,01 1 00000 1,01 15000 0. Ie: lg 13 14, 01 lg1,01 38. Tehát 15 hóap alatt ki tudjuk fizeti a kölcsöt.
16 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ III. Kölcsöök, THM, diákhitel Egy üzletlác hirdetésébe a következőket olvashatjuk: A fűyírót megvásárolhatja havi részletre is, 0% kamat, THM: 5,8%. A fűyíró ára (ha készpézzel fizetük) 48000 Ft, a havi törlesztőrészlet 4000 Ft mi is lehet hát akkor a THM? A THM, azaz teljes hiteldíjmutató is egyike azokak a mutatókak, ami segít ekük abba, hogy eligazodjuk a külöböző bakok ajálatai között. A THM az összes olya költséget tartalmazza, ami egy év alatt felmerül a kölcsö törlesztése kapcsá. Ilye lehet például a baki kamato kívül a hitelbírálati díj, a folyósítási jutalék, a kezelési költség stb. Ha lakást vásároluk, beszámít a THM-be a megvásároladó igatla értékbecslési díja is. Feti, fűyírós példákba valószíűleg fizetük kell valami okból (például hitelbírálat díjkét) 48000 058 = 784 Ft-ot. Még valószíűbb, hogy ez 800 Ft lesz, mivel a 800 48000 05833 kerekített értéke is 5,8%. Mitapélda 7 Kerékpárt akaruk vásároli a égyfős család mide tagjáak, és ezért személyi kölcsöt veszük fel, melyet 4 hóap múlva egy öszszegbe kell visszafizeti. Tudjuk, hogy a bak évi 15% kamatot számít fel, és a 100 000 Ft-os kölcsö kiutalásakor 1%-os kezelési költséget levoak. Számítsuk ki, mekkora a THM? Számítsuk ki, mekkora kamatot kell fizeti 4 hóapra a felvett összeg utá! 4 hóap az év ⅓ része, így a kamat 5%, a visszafizetedő összeg 100000 105, = 105000 Ft. Nézzük meg, hogy ez háyszorosa aak az összegek, amihez hozzájutottuk. Igazából csak 105000 99 000 Ft-ot kaptuk, hisze 1%-ot a kifizetéskor levotak: 1, 0606. A THM 99000 megállapításakor a jobb összehasolíthatóság kedvéért midig 1 évre számolak. Az egy évre számított kamat hatváyozódik: 1, 0606 4 1, 653. Tehát a THM itt 6,53% lesz, ami meglehetőse magas érték.
. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 17 Mitapélda 8 Vaak olya kölcsöök, melyekhez ige köyű gyorsa hozzájuti, de ige magas kamatozásúak. Ilyekor mivel a külöböző futamidők eseté külöböző kamattal számolak csak így adják meg a THM értékét: pl:thm: 5 %. Lehet azoba hitelkalkulációt kéri, ahol ha beadjuk a kért összeget és a futamidőt, kiszámítják a törlesztőrészletet. Ilyekor már megadják a THM értékét is. Egy ilye ajálatot találtuk az iterete. Nézzük meg, a kamato kívül kell-e számítauk valami egyéb költségre is a hitel felvételekor? Ha az éves kamat 3,85%, akkor havi törlesztések eseté a havi kamat eek tizekettedrésze lesz, ami éves kamatba 385 1 + 664, és ez potosa a THM-mel megegyező érték, tehát eél a kölcsöél a kamato kívül ics egyéb teher. Módszertai megjegyzés: Az alábbi mitapéldát akkor javaslom, ha az utolsó óra csoportfoglalkozásá em a diákhitellel foglalkozak. A diákhitel kamatát em így számolják, a számítási mód a feladatlap ismertetőjébe található. Rövide: apota kiszámolják az aktuális tartozás kamatát, majd ezt mide év december -é tőkésítik. Belátható, hogy ezzel a módszerrel 5 évi halmozódást számoli ige bajos, bár egy egyszerű táblázatkezelő programmal ez kiszámítható. Hamarosa leérettségiztek, és lehet, hogy lesz köztetek olya is, aki diákhitelt vesz igéybe a továbbtauláshoz. A hitelt államilag támogatott vagy ököltséges appali tagozatos képzésbe továbbtauló egyetemi hallgatók vehetik igéybe. Döthetsz, hogy háy félévre kéred a folyósítását. Egy taulmáyi félév sorá 5 havi diákhitelt folyósítaak. Akkor kezded el törlesztei a kölcsöt, amikor mukába állsz. Az első két évbe a miimálbér 6%-át kell fizeted havota mit törlesztőrészletet. A harmadik évtől kezdve a havi törlesztőrészletet úgy számítják ki, hogy a két évvel korábbi egész éves béred tizeketted ré-
18 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ széek 6%-át kell havota törlesztéskét befizeted egésze addig, amíg em fizetted vissza az adósságod. Módszertai megjegyzés: A diákhitellel kapcsolatos tudivalók elérhetők a www.diakhitel.hu oldalo. Található ott egy hitelkalkulátor is. Ez megkérdezi, háy féléve át havi milye öszszeget akar felvei a hallgató, majd megtippelteti vele a kezdő fizetését, és megjósolja, mekkora törlesztőrészletet fog fizeti, és mikorra jár le a tartozása. Mitapélda 9 Az államilag támogatott képzésbe választhatsz, hogy havota 15, 1, 5 vagy ezer foritot veszel fel. A 006/07-es taévbe az éves kamat 9,5%. Ha úgy dötesz, hogy 10 félévre veszed fel a hitelt, havi ezer foritot, és mide félévbe 1 összegbe kéred, milye tartozással zárod taulmáyidat? (Feltételezzük, hogy az 5 év folyamá a kamat változatla marad.) Az első kölcsö felvétele és a 10. félév vége között (pl. 008. október 013. júius) 57 hóap telik el. Az 1 hóapra számított kamat az éves kamat tizeketted része: 095. A félévbe felvett kölcsö 1. félév október 150 000. félév március 150 000 3. félév október 150 000 4. félév március 150 000 5. félév október 150 000 6. félév március 150 000 7. félév október 150 000 Eek kamattal övelt összege: 150000 + 1 150000 + 1 150000 + 1 150000 + 1 150000 + 1 150000 + 1 150000 + 1 57 5 45 40 33 8 1
. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 19 8. félév március 150 000 9. félév október 150 000 10. félév március 150 000 150000 + 1 150000 + 1 150000 + 1 16 9 4 A jobb oldali oszlop összege lesz a feálló tartozásuk. Észrevehetjük, hogy ha mide második sort tekitjük, azok mértai sorozat egymást követő tagjai. Ha alulról felfelé ézzük a sorozatok egymást követő tagjait, midkét sorozat eseté q = + 1, midkettő 5 tagból áll, de az októberi sorozatál o 1 000 1 9 = 150 +, míg a már- ciusiál m 150 1 = 000 + 1 4. A feálló kölcsötartozásuk tehát 5 1 1 1 1 9 4 095 095 + + So Sm 150 000 1 150 000 1 + = + + + = + 1 1 + 1 1 60 4 + 1 1 5 150 000 1 + 1 + 1 195 34. 095 + 1 1 + 5 A feti műveletsort még számológéppel sem egyszerű elvégezi. Javasoljuk a diákokak, 095 hogy először számolják ki a + 1 meyiséget (ami az egy havi kamat), majd ha azt eltárolták a memóriába, a számításuk áttekithetőbb lesz.
0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mitapélda 10 A bakokba deviza alapú hiteleket is fel lehet vei. Ez azt jeleti, hogy a felvett összeget, majd a midekori tartozást em foritba tartják yilvá, haem valamely más pézembe. A midekori törlesztőrészletet is ebbe a valutába határozzák meg. Ha a jövedelmük foritba keletkezik, módukba áll a törlesztést is foritba befizeti, de úgy, hogy az összeg idege valutára átváltva akkora legye, mit a megállapított részlet. Így fordulhat elő az, hogy a deviza alapú hitelük törlesztőrészlete azoos kamat és kezelési költség mellett is hóapról hóapra változik. A következő táblázat azt mutatja, milye ajálatot adhat egy bak egy adott összegű kölcsö fölvételére. a) Számítsuk ki, mekkora a felvett hitel! b) Számítsuk ki, a meghirdetés pillaatába meyi volt a svájci frak ára! c) Számítsuk ki, hogy ha a hitelt 10 éves futamidőre vettük fel, milye törlesztőrészletet kell fizeti 007. március 8-á, ha 1 svájci frak ára 158,53 Ft az adott bakba azo a apo! Hiteltípus Kamat % Kezelési költség/év Törlesztőrészlet a futamidő függvéyébe 1 évre fix 10 év 0 év Svájci frak alapú,49,5% (5 eft) 1 CHF (48,6 eft) 170 CHF (7,4 eft) Ft alapú forrásoldali támogatással 6,99,0% (100 eft) 58,3 eft 39 eft a) A felvett hitel összegét ki tudjuk számítai, hisze látjuk, hogy %-a 100 000 Ft. Így 100 000 maga a felvett kölcsö = 5000000 Ft. Ugyaezt az eredméyt adja a CHF 0 5000 alapú hitelajálat is: = 5000000 Ft. 05 b) A bak ajálatába az szerepel, hogy 1 CHF (svájci frak) 48,6 eft-ak felel meg, 48600 tehát 1 CHF = 161, 46 Ft. Ugyaakkor az is szerepel, hogy 170 CHF 7,4 eft- 1 7 400 ak felel meg, ebből 1CHF = 161, 18 Ft. A külöbség valószíűleg aak a ke- 170
. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 1 rekítések a hibájából adódik, hogy a törlesztés foritértékét ezer forit potossággal adták meg. c) 10 éves futamidő eseté 1 havi törlesztőrészlet 1 CHF, amiért 007. március 8-á 1 158, 53 47718Ft-ot kell fizeti. Mitapélda 11 A következő grafiko azt mutatja, hogya változott a forit árfolyama az euróéhoz képest, azaz háy foritért lehetett vásároli 1 eurót: a) Olvasd le a grafikoról, háy foritért lehetett vásároli 1 eurót 003. jauár -á, 003. május -á, 004. szeptember -á. b) Olvasd le a grafikoról, a vizsgált időszak alatt, mikor ért a legtöbbet a forit (az euróhoz képest) és mikor a legkevesebbet! a) 003. jauár -á körülbelül 36 Ft-ba került 1 euró, 003. május -á körülbelül 46 Ft-ba került 1 euró, 004. szeptember -á körülbelül 5 Ft-ba került 1 euró. b) Akkor ér a legtöbbet a forit, ha a legkevesebbe kerül 1 euró, tehát keressük a grafiko miimumhelyét, és az 003 jauárjába va. Ekkor 1 (euró) körülbelül 35 Ft-ba kerül. Akkor ér a legkevesebbet a forit, amikor a legtöbbet kell fizeti 1 -ért, ezért keressük a grafiko maximumhelyét, amit körülbelül 003 decemberébe találuk, amikor több mit 70 Ft-ot kellett fizeti 1 -ért.
MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladatok 7. Olvasd el figyelmese az alábbi hirdetméyt. Mi az, ami óvatosságra it? Va-e olya vásárlási összeg, ami eseté em tudod, mekkora az örész? ÁLTALÁNOS FELTÉTELEK: IGÉNYELHETŐ HITELÖSSZEG: ÖNRÉSZ: FUTAMIDŐ: KEZELÉSI KÖLTSÉG: 000 1 000 000 Ft 0 000 Ft-ig a termék vételáráak 0%-a, 0 001 Ft felett a termék vételáráak 0%-a 6 60 hóap a hitelösszeg %-a A hitel megítélése a Bak hitelbírálatáak függvéye. Ez a hirdetés kizárólag a figyelemfelkeltés célját szolgálja, em miősül a Bak részéről yilváos tájékoztatóak és ajálattételek. A teljes hiteldíj-mutató (THM): 0 44,3%, a választott hitelkostrukció és a futamidő függvéyébe. A hitelről szóló részletes tájékoztatást az áruházakba elhelyezett hirdetméyek adak. Számítsd ki, ha vásárolsz az adott bak által yújtott hitel segítségével egy televíziót 0000Ft-ért, milye költségekkel jár ez számodra a magasabb THM eseté? A futamidőt 1 évek válaszd, és 1 év elteltével egy összegbe fizeted be a tartozásod. 0 001-Ft ál em tudom, meyi az örész. (Szerecsére ritká kerül egy áru eyibe, gyakoribb a 99 999Ft-os ár.) A hitel felvételéek pillaatába ki kell fizetem a hitel %-át, azaz 400Ft-ot. Tételezzük fel, hogy eze felül ics egyéb járulékos költség, mert azt odaírták vola. Tehát a THM többi része a kamatból származik. Igazából csak 117600Ft-ot kaptam kölcsö, számoljuk rá erre a 44,3% kamatot, az 117600 1, 443 169614 Ft-ot kell az év végé visszafizeti. 8. Egy mezőgazdasági vállalkozó 3 millió forit kölcsöt vett fel gép vásárlására, melyet év múlva kezd el törlesztei 3 év alatt, 3 egyelő részletbe, mide év elejé. A bak a feálló tartozásra évi 18%-os kamatot számít fel. Mekkora lesz a törlesztőrészlet?
. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 3 Az első két évbe a tartozás ő, hisze em törleszt. A. év végé tartozása 3 000 000, 118 Ft-ra ő. Legye az évi törlesztőrészlet R. Év elejé Év végé 3 000 000 118, R 3 ( 00 000 118, R) 118, = 00 000 118, R 1, 18 00 000 118, R 1, 18 R 3 3 4 ( 00 000 118, R 118, R) 118, = 00 000 118, R 118, R 1, 18 00 000 118, 4 R 118, R 118, R = 0 00 000 118, 4 R 118, R 118, R = 0 4 00 000 118, Redezve az egyeletet, azt kapjuk, hogy R = 1681. 118, + 118, + 1 Tehát a vállalkozóak 3 éve át évi 1 68 1 Ft-ot kell fizetie. 9. Az 1 00 000 Ft kölcsöt évi %-os kamatra vettük fel. 1 év alatt fizetjük vissza. Mekkora a törlesztőrészlet, ha a) részletbe; b) 3 részletbe fizetjük vissza? A kamat tőkésítése midkét esetbe havota törtéik. a) Ha évi % a kamat, az havi 1%-ak felel meg. Legye a részlet R. A. hóap elejé a tartozásak 0-ak kell leie, tehát a 00 000 101, 11 ( R 101, +... + R 101, + R) = 0 egyelet megoldásakor a mértai sorozat összegképletét alkalmazva: 00 000 1,01 01 00 000 1,01 R = 1,01 1 1,01 1 R = 0 01 106 619. Tehát a törlesztőrészlet havi 106 619 Ft. b) Ha 3 részletbe fizetjük vissza a kölcsöt, az azt jeleti, hogy a fizetési gyakoriság 4 hóap, mert a felvételtől számított 3 hóap múlva fizetjük az első részletet. 00 000 1,01 8 4 ( R 1,01 + R 1,01 + R) 00 000 1,01 R = 43914. 8 4 1,01 + 1,01 + 1 Tehát a törlesztőrészlet 43 914 Ft. = 0
4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 10. Számítsd ki, az alábbi hitel eseté mekkora volt az aktuális euró-árfolyam? Háy forit lee ez a havi törlesztőrészlet 00. jauár -á, 003. jauár -á, illetve 004 decemberébe, amikor olya magas volt az euró ára? Haszáld a 11. mitapéldába található grafikot! Mit godolsz, miért alacsoyabb a törlesztőrészlet 3 hóapos kamatperiódus eseté? Mit godolsz, 0 éves futamidő eseté miért em fele akkora a törlesztőrészlet? 5 millió forit hitelösszeg 0 év futamidő 3 hóapos kamatperiódus eseté Havi törlesztő részlet: 148,58 39 140 Ft. 5 millió forit hitelösszeg 0 év futamidő 1 éves kamatperiódus eseté Havi törlesztő részlet: 149,74 39 446 Ft. 5 millió forit hitelösszeg 10 év futamidő 1 éves kamatperiódus eseté Havi törlesztő részlet: 99,83 6 97 Ft. 39140 Ha 148,58 ára 39 140 Ft, akkor 1 ára 63, 43 Ft. 148, 58 A grafikoról leolvasható, hogy 00.01.0-é 1 45 Ft. A havi törlesztőrészlet tehát 148, 58 45 3640 Ft. 003.01.0-á 1 35 Ft, a törlesztőrészlet ekkor148, 58 35 34916 Ft. Az euró-árfolyam legmagasabb 003. decemberébe volt; ekkor 148, 58 7 40 413 Ft a törlesztőrészlet. Az év folyamá léyegese csökke a tartozásuk. Ha a kamatperiódus 1 év, az év elejé aktuális tartozás utá fizetük kamatot. Ha a kamatperiódus 3 hóap, az év folyamá egyre csökkeő tartozás kamatát számítják fel. Ha 0 évig fizetjük vissza a kölcsöt, akkor a törlesztés első 10 éve utá femaradó tartozásuk további 10 évi kamatával is számoluk kell.