Készítette: Vidra Gábor 7. modul Koordinátageometria A kör
Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztál Modulkapcsolódási pontok A kör egenlete, a kör és az egenes kölcsönös helzete. A kör érintőjének egenlete. 9 óra. évfolam Vektorok, vektorműveletek a koordinátasíkon. Korábbi tanulmánok a vektorokról, az egenes egenletéről. Egenes és kör kölcsönös helzetének ismerete.
Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 3 A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számítás, számlálás: Alakzat pontjainak koordinátái közötti kapcsolatok kiszámolása. Zsebszámológép biztos használata Menniségi következtetés: A tanulók biztos eligazodása a koordinátasíkon. Ismert adatokból logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatározása. Nagon fontos a jó vázlatrajz elkészítése, melen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni. A menniségek foltonosságának, fogalmának továbbfejlesztése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: A feladatok várható eredménének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén. Koordinátákkal adott feladatok esetén az eredmének ellenőrzése a koordináta-rendszerben. Szöveges feladatok, metakogníció: A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gökök kiválasztásának képessége. Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lénegkiemelő képesség fejlesztése. A valóság tárgainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése. Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, heltelen következtetések cáfolata. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Egszerűsítések felfedezése az ábrázolásból, az ábra és a számítás kapcsolatának elmélítése. A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldásának képessége. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.
Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató TÁMOGATÓ RENDSZER A modulhoz a következő eszközök készültek: bemutató, amel tartalmazza az elméleti anagot, a mintapéldákat és az eszközök alkalmazásához szükséges információkat; 7. kártakészlet: csoportalakításhoz (szakaszok felezőpontjait kell meghatározni); 7. kártakészlet: egszerű másodfokú egenletrendszerek megoldását kell elvégezni, és a megfelelő betűjeleket beírni a 7.3 munkalapra; 7.3 munkalap. Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igéneinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra és arra is, hog a modul anagát a heti 3 óránál nagobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni. Az utolsó, Veges feladatok fejezet sok olan gakorlófeladatot tartalmaz, amel a modul témakörébe beilleszthető. Amenniben eg adott anagrészhez tartozó feladatmenniséget kevésnek tartjuk, akkor érdemes az utolsó fejezet feladatai között is keresgélni. A modult úg állítottuk össze, hog az új anag felfedezése korábbi ismeretekre támaszkodjon, ameleket a modult megelőző vektorok, illetve egenesekről szóló modulban már megismertünk. A mintapéldák a felfedezett új tudáselemek gakorlati (koordinátageometriai) alkalmazását jelentik, ezért egrészt a bemutató segítségével, csoportmunkában javasoljuk átvenni azokat, másrészt a tanulók a megoldás során ne használják a Tanulók könvét. ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Adott középpontú és sugarú körök egenletének felírása. Kétismeretlenes másodfokú egenletből a kör középpontjának és sugarának meghatározása. Kör és egenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egenletének felírása. Alkalmazza ismereteit feladatokban. Emelt szint A kör egenletének levezetése. A kör és a kétismeretlenes másodfokú egenlet kapcsolata. Két kör kölcsönös helzetének meghatározása, metszéspontjainak felírása. Külső pontból húzott érintő egenletének felírása. Megjegzés: Az érettségi követelménrendszere nem említi törzsanagként a kör adott iránú érintőjének felírását. A modulba mégis belekerült, mert középszintű érettségin találkoztunk már ilen feladattal. A külső pontból húzható érintő egenletét csak speciális esetben kérjük (amikor az egik érintő valamelik koordinátatengellel párhuzamos).
Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 5 JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS. A kör egenlete. Feladatok megoldása 3. A köregenlet különböző alakjai. Feladatok megoldása 5. A kör és az egenes kapcsolata 6. Feladatok megoldása 7. A kör érintője 8. Feladatok megoldása 9. Veges feladatok
Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 6 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenségek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/ Gűjtemén I. A kör egenlete ( óra). Csoportalakítás Metakogníció, figelem 7. kártakészlet. A kör pontjaival kapcsolatos ismeretek (csoportmunka, mintapéldák Kooperáció, kommunikáció,. és. mintapélda megoldása) metakogníció, számolás 3. A kör egenlete (frontális tanári magarázat) Figelem, kombinatív gondolkodás. Köregenlet felírása (csoportmunka) Kooperáció, kommunikáció, 3. mintapélda metakogníció, számolás 5. Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel) Számolás, számlálás 6. feladatok közül válogatunk 6. A köregenlet és eges másodfokú egenletek kapcsolata Kooperáció, kommunikáció, 6. mintapélda metakogníció, számolás, rendszerezés 7. Feladatok megoldása Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, számolás 7. feladatokból válogatunk
Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 7 II. A kör és az egenes ( óra). A kör és az egenes kölcsönös helzete (frontális ismétlés) Rendszerezés, figelem, deduktív és induktív következtetés. A kör és az egenes viszonlagos helzetével kapcsolatos tapasztalatszerzés (csoportmunka) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, becslés, kombinatív gondolkodás 7. kártakészlet, 7.3 munkalap 3. A kör és az egenes metszéspontjainak száma 7. mintapélda. A kör és az egenes közös pontjának alkalmazása Kooperáció, kommunikáció, 8. mintapélda 5. Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel, diákkvartett is) metakogníció, becslés, ábrázolás 5. feladatok közül válogatunk 6. A kör és a koordinátatengelek kapcsolata (speciális helzetű, a Kooperáció, kommunikáció, 9. mintapélda feldolgozása koordinátatengelek által érintett körök vizsgálata; diákkvartett) metakogníció, becslés, ábrázolás 7. Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel) 3 6. feladatokból válogatunk 8. A kör eg adott pontjába húzható érintő egenletének felírása (főleg csoportmunka) Kombinatív gondolkodás, képletek alkalmazása 0. mintapélda, 7. és 8. feladat 9. Adott iránú érintő felírása 9 3. feladat
Matematika A. évfolam 7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 8 III. Veges feladatok ( óra). Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel) Figelem, példakövetés, rendszerezés, kommunikáció, kooperáció 33 57. feladatok közül válogatunk
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 9 I. A kör egenlete 7. kártakészlet csoportalakításhoz Módszertani megjegzés: Csoportalakításhoz használjuk a 7. kártakészletet. Minden tanuló kap eg kártát, amelen két pont található: ezek eg szakasz végpontjai. A feladat a szakasz felezőpontjának meghatározása. Azok kerülnek eg csoportba, akiknek a felezőpontjai megegeznek. A tanári kártákon megtaláljuk a felezőpontokat, ameleket a tanulói kárták kiosztása után a csoportoknak megfelelő asztalokra rak le a tanár. A tanulók megkeresik a saját felezőpontjuknak megfelelő asztalt. A csoportok elrendeződése után a tanulók ábrázolják a pontokat koordináta-rendszerben és meghatározzák, milen síkidomra illeszkednek az ábrázolt pontok. A kártákat úg állítottuk össze, hog a felezőpont a kör középpontja, az ábrázolt pontok mindegike uganazon a körön található. A továbbiakban a mintapéldákat és a feladatokat csoportmunkában oldják meg a tanulók. A Tanulók könvét nem használhatják, a feladatokat a bemutató segítségével vetítjük ki. Az első óra célja a kör egenletének felfedezése, ezért lehetőség szerint tartózkodjunk a megoldások közlésétől. Amenniben eg csoport rossz nomon jár vag nincs ötlete, válasszon ki eg csoporttagot, aki a többi csoportban, végső esetben a tanárnál keres segítséget, majd a saját csoportjához visszatérve iránítja a megoldást. Javasoljuk, hog a kártakészlet használata után ráhangolódásként ismételjük át a kör és az alakzat egenletének fogalmát. Ezt célszerű diákkvartett keretében megtenni, amelnek kérdései a következők lehetnek:. Válasszátok ki a kör fogalmát a következő definíciók közül! a) Eg adott ponttól egenlő távolságra levő pontok halmaza. b) Két adott ponttól egenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. c) Eg adott ponttól egenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. c). Válasszátok ki a heles meghatározást! Eg alakzat egenletén a koordináta-rendszerben a) olan görbét értünk, amel összekapcsolja az alakzat pontjait. b) olan összefüggést értünk, amelet az alakzat pontjainak koordinátái, és csak azok tesznek igazzá. c) olan szabált értünk, ami az alakzat pontjaira igaz. b)
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 0 Mintapélda Jelölje k a C(3; 5) középpontú, 0 egség sugarú kört. a) Ábrázoljuk a kört koordináta-rendszerben! b) Döntsük el a P( 7, 5), Q(5; 5), R(9; 3) és S(3; 3) pontokról, hog illeszkednek-e k-ra! Az esetek többségében az ábráról nem olvasható le pontosan az illeszkedés, ezért ellenőrzésnek használjuk a Pitagorasz-tételt! Ne felejtsük el, hog 8; 6 és 0 pitagoraszi számhármast alkotnak. P és R illeszkednek, S és Q nem illeszkedik a körre. c) Keressünk további pontokat, amelek illeszkednek k körre! Módszertani megjegzés: k egész koordinátájú pontjai: ( 7; 5), ( 5; ), ( 3; 3), (3; 5), (9, 3), (; ), (3; 5), (; ), (9; 3), (3, 5), ( 3; 3), ( 5; ). Kerekasztal módszerrel javasolt: d) Határozzuk meg, hog a kör hol metszi a tengeleket! A négzetrács adta lehetőségeket kihasználva, Pitagorasz-tétel segítségével határozzuk meg a tengelmetszetekhez tartozó távolságokat. Például az ábrán pirossal jelölt derékszögű háromszögben a nagobb befogó hossza: 0 3 9 9,5. Íg az tengellel alkotott metszéspontok: K(0,,5)és M(0;,5). Hasonlóan, a másik jelölt derékszögű háromszögben az tengelen található befogó hossza: 0 5 75 8,7. Az tengellel alkotott metszéspontok: N(,7; 0) és L( 5,7; 0).
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató e) A kör eg pontjának abszcisszája ( koordinátája). Határozzuk meg a pont hiánzó ordinátáját ( koordináta)! A tengelmetszetek esetében alkalmazott módszert használjuk: megkeressük a megfelelő derékszögű háromszöget a négzetrácson. d 0 8 9,. Két pontot találtunk. F( ;,) és G( ;,). Módszertani megjegzés: A következő mintapélda megoldásakor versent is rendezhetünk a csoportok között: ki talál több pontot 3 perc alatt. Érdemes felhívni a figelmet arra is, hog az a) feladat megoldásakor ne csak az egész koordinátájú pontokra gondoljanak. Mintapélda a) Jelölje g az 5egenletű görbét. Keressünk olan pontokat, amelek illeszkednek a görbére és ábrázoljuk a megtalált pontokat koordináta-rendszerben! A 3; ; 5 pitagoraszi-számhármas (azaz igaz rá, hog 3 5 ). Ennek ismeretében az egész koordinátájú pontokat könnű megtalálni: (0; 5), (3; ), (; 3), (5; 0). A szimmetria miatt ezen pontok tükörképei a tengelekre és az origóra szintén a görbe pontjai, pl. ( 3; ) vag ( 3; ). Nem egész koordinátájú pontok a görbén például ( ; ), ( 3,5;,75) stb. A pontok eg körön helezkednek el.
Matematika A. évfolam Tanári útmutató b) Jelölje k az ( ) ( 3) 5 egenletű görbét. Keressünk olan egész koordinátájú pontokat, amelek illeszkednek a görbére és ábrázoljuk a megtalált pontokat koordinátarendszerben! Az a) feladathoz hasonlóan járunk el. A pontok most is eg körön helezkednek el. Az egész koordinátájú pontok: (3; 3), (; 6), (; 7), ( ; 8), ( 5; 7), ( 6; 6), ( 7; 3), ( 6; 0), ( 5; ), ( ; ), (; ), (; 0). Módszertani megjegzés: Próbáljuk felíratni a csoportokkal az. mintapéldában található kör pontjainak és koordinátái közötti összefüggést (a kör egenletét)! Javasoljuk, hog adjunk néhán percet a megoldásra, és amelik csoport megtalálta az egenletet, kapjon elismerést. A. mintapéldában kapott ponthalmazok körök, ameleknek egenletei: 5, illetve ( ) ( 3) 5. Az. mintapéldában található kör középpontja C(3; 5), sugara 0 egség, és a kör pontjainak koordinátáira érvénes az ( 3) ( 5) 00 összefüggés. Ezek az egenletek a körvonal minden pontjának koordinátáira érvénesek, és a körvonalra nem illeszkedő pontok koordinátái nem teszik igazzá az egenleteket. A C(u; v) középpontú, r sugarú kör egenlete: ( u) ( v) r Mintapélda 3 Írjuk fel az A( 6; ) és B(; ) végpontú AB szakasz Thalész-körének egenletét! A köregenlethez a középpont koordinátáira és a sugárra van szükség. a b a b F. A középpont az AB szakasz felezőpontja: ; F( ;) A sugár az AB szakasz hosszának a fele, és ( a b ) ( a ) 6 36 0 AB b.
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 3 Az ( ) ( ) u v r köregenletbe behelettesítve az u ; v és r 5értéke- ket: [ ( ) ] ( ) 5, ahonnan a megoldás: ( ) ( ) 5. Feladatok. Írd fel az AB szakasz Thalész-körének egenletét, ha a szakasz végpontjai: a) A( 6; 0), B(0; 0); b) A(; 6), B( ; 6); c) A(6; ), B( ; ). a) A középpont C( 3; 0) felezőpont, a sugár az AB távolság fele: 3 egség. A köregen- let: ( 3) 9 ; b) ( ) 5 ; c) ( ) (,5) 7, 5.. Eg rádióadó hele a koordináta-rendszerben a P(5; ) pont, és az adás 3 egség sugarú körben fogható. Döntsd el az alábbi pontokról ábrázolás nélkül, hog azokban fogható-e a rádióadás? A( 8; ), B(0; 7), C( 0; 0), D(0; 8), E(6; ), F(6; ), G( ; 6). Fogható az A, B, D, E, F pontokban, nem fogható a C és a G pontban. 3. Írd fel annak a körnek az egenletét, amelik az ( ) ( ) 0 körrel koncentrikus, és a) kétszer akkora sugarú; b) áthalad az A(3; 5) ponton! a) A kör egenletéből leolvassuk a középpontot: ( ; ) és a sugarat: 0. Kettővel szorozva az új sugár 0 80, ezért a keresett kör egenlete: ( ) ( ) 80. b) A sugár a középpont és az A pont távolsága: 06. A keresett kör egenlete: ( ) ( ) 06.
Matematika A. évfolam Tanári útmutató. Írd fel az ábrán látható négzetbe, illetve köré írható körök egenleteit! a) C ( 0;3) ; a beleírható kör esetén r 3; ( 3) 9 ( 3) 8 r 3 ; ;, a köré írható kör esetén b) C (,5;,5 ); a beleírható kör esetén r,5; (,5) (,5 ) 0, 5, a köré írható kör esetén,5 ; (,5 ) (,5 ) 0, 5 r ; c) C ( ; ) ; a beleírható kör esetén r ; ( ) ( ) 6, a köré írható kör esetén ; ( ) ( ) 3 r. 5. Eg négzet három oldalegenesének egenlete: 5 ; 7; 3. a) Írd fel a négzet csúcsainak koordinátáit! b) Írd fel a négzetbe írható kör egenletét! c) Írd fel a négzet köré írható kör egenletét! a) Két megoldást találunk. Az egik négzet csúcsai: (3; 7), (3; 5), (5; 7), (5; 5), a másik négzet csúcsai: (3; 7), (3; 5), ( 9; 7), ( 9; 5).
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 5 b) A körök sugara 6 egség, középpontjai (9; ), illetve ( 3; ). Az egenletek: ( 9) ( ) 36, illetve ( 3) ( ) 36. c) A köré írható körök sugara 6 egség, középpontjai szintén (9; ), illetve ( 3; ). Az egenletek: ( 9) ( ) 7, illetve ( 3) ( ) 7. Módszertani megjegzés: Javasoljuk, hog a következő feladat a) és c) részét a tanulók csoportmunkában, a másik részfeladatot pedig önállóan oldják meg (esetleg házi feladatként). 6. Írd fel annak a körnek az egenletét, amelnek középpontja a C pont, és érinti az e egenest! a) C ( 0; 0), e : 6 ; b) ( ; ), e : 3 C ; c) C ( 3; ), e : 3 7 ; d) ( 6; ), e : 3 6 C. A megoldáshoz a tanulók készítsenek ábrát. Az a) és b) feladatban a sugár leolvasható az ábráról, azonban a c) és a d) esetében a C pont, valamint a C ponton áthaladó, e-re merőleges egenes és e metszéspontjának távolsága a sugár. a) 36 ; b) ( ) ( ) 6 ; c) ( 3) ( ) 5 ; d) ( 6) ( ) 00. A kör egenletének különböző alakjai Módszertani megjegzés: A mintapéldák semmilen új ismeretet nem igénelnek, viszont a tanulókat problémamegoldás során rávezetik az új ismeretek alkalmazására. Javasoljuk, hog a tanulók ne a Tanulók könvét használják, hanem bemutató segítségével, csoportban dolgozzák fel a mintapéldák feladatait. A kör egenletét az előzőektől eltérő algebrai alakban is felírhatjuk. Például az ( ) ( 5) 9 kör egenlete felírható négzetre emelés és rendezés után az 0 0 0 alakban is. Az algebrai átalakítások továbbra is uganannak a körnek az egenletét adják. Például: 3 3 30 60 0 5 0 0 Szokás az ilen módon megadott köregenletet a kör általános egenletének nevezni. Mintapélda
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 6 Párosítsuk össze az uganazt a kört leíró köregenleteket! A. ( ) 5. 0 7 36 30 9 9 B.. 0 0 3 C. ( ) 3 5 3. 0 3 D. ( ) ( ) 00 5 8. 0 9 8 Elvégezzük a hatvánozást és megvizsgáljuk, kell-e az eredménként kapott kifejezést tovább alakítani, hog megegezzen a jobb oldali oszlop valamelik kifejezésével. ( ) 0 9 8 5 6 8 5 5 / ; 0; 3 / 0 3 ( ) 0; 7 36 30 9 9 9 / 0 9 7 3 0 / 9 5 3 5 3 5 ( ) ( ) 0. 0 3 / 0 0 6 00 / 00 5 0 6 6 00 5 8 Íg az egmásnak megfelelő párok: A ; B 3; C ; D. Észrevehetjük, hog a kör egenlete kétismeretlenes, másodfokú egenlet, de nem minden kétismeretlenes másodfokú egenlet kör egenlete. Tudnunk kell eldönteni eg másodfokú, kétismeretlenes egenletről, hog az köregenlet-e vag sem, és a köregenletből tudnunk kell meghatározni a kör középpontját és sugarát. A kör egenletének általános alakja: 0 D C B A A, ahol 0 A. Vegük észre, hog ebben az egenletben az és tag egütthatója egenlő, és nincs benne -os tag. Csak az ilen alakú egenlet lehet kör egenlete!
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 7 Mintapélda 5 Határozzuk meg a következő körök középpontját és sugarát! a) 0 6 5 0 b) 0 c) 0 d) 7 3,5 0 Az egenlet bal oldalán teljes négzetet tartalmazó kifejezéseket alakítunk ki. a) 0 6 5 kifejezésben 0 ( 5) 0 5. Hasonlóan: 6 ( 3) 6 9 5 az ( ) 3 az ( ) kifejezésben található, hiszen kifejezés része:. Ennek megfelelően az egenlet bal oldalát átalakítjuk: 0 6 5 0 Átrendezve: ( 5) ( 3) 9 A kör egenlete: ( ) ( ) u v r ( 5) 5 ( 3) 9 5 0 / 9 Ezeket összehasonlítva u 5, v 3 és r 9 adódik, ahonnan a kör középpontja C( 5; 3), sugara 7 egség. b) A teljes négzetté alakítás előtt az egenletet -vel osztjuk, hog az és az kifejezések egütthatója legen. Elvégezzük a teljes négzetté alakítást: 0 A köregenlettel ezt összevetve, a középpont: C ; 0, a sugár egség. c) Elvégezzük a teljes négzetté alakításokat: 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 6 6 nem lehet eg valós szám négzete (íg a sugáré sem), ezért az egenlet nem köregenlet. (Eg üres alakzat egenlete.)
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 8 d) Átalakítás után 7 3,5 ( 3,5) 3,5 ( ) 3, 5 ( 3,5) ( ) 3,5 3,5 ( 3,5) ( ), vagis ( 3,5) ( ) 0. Ez azt jelenti, hog a kör sugara nulla: csak a (3,5; ) koordinátájú pont elégíti ki az egenletet. Mintapélda 6 Válasszuk ki az alábbi egenletekből a köregenleteket! a) 0 9 0 b) 8 8 9 0 c) 0 d) 3 0 a) ( 5) 6, köregenlet; b) 3, nem köregenlet; c) nem köregenlet; d) ( 6) ( 8) 00, köregenlet. Feladatok Módszertani megjegzés: Javasoljuk, hog a feladatokat csoportmunkában oldják meg a tanulók. Minden csoporttag eg-eg részfeladat megoldásával járul hozzá a csoport eredménéhez. Kijelölhetünk feladatokat, mintha feladatlapot oldana meg a csoport, és a füzeteket szúrópróbaszerűen ellenőrizzük az óra végén. Használhatunk diákkvartett módszert is, de ekkor adjunk időt arra is, hog a gerekek egmást ellenőrizzék a csoporton belül. 7. Melik köregenlethez melik középpont tartozik? A. ( 6) ( ) 0 ; B. 5 5 0,5 0 ; C. 6 0 ; D. 7 3 0 ;. (,5;,5) ;. ( 3; ) ; 3. ( ; ) A 3; B ; C ; D. 7 3 6 ;. ;. 8. Melik pont nem lesz egik körnek sem a középpontja? A. 6 0 0 ; B. 3 0 0 ;
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 9 C. 0 ; D. 9 9 6 0 ; 0 ;. ; 0 3. ( ;,5 ) ; 3. ( 8 ; 5) ;. ( ; ) A 3; B ; D ; a. pont egik körnek sem a középpontja.. 9. Határozd meg a következő egenletekkel megadott körök középpontját, sugarát! a) 6 89 0 ; b),5 5 3,85 0 ; c) 8 8 0 ; d) 3 3 8 0. a) C ( ;3); r 8 ; b) C (,5;,5) ; r ; c) ( ; ) ; r, 5 C ; d) 0 C ; ; r. 3 3 3 Módszertani megjegzés: A következő feladatokat vezessük vissza síkgeometriai feladatra, hiszen a szerkesztés menetét követve egszerűen megoldhatóak. 0. Ábrázold a koordináta-rendszerben a következő egenletekkel megadott köröket! a) 3 0; b) 8 0 5 0 c) 5 5 0 60 96 0; d) 0 0 0 0 595 0. a) C ( ;,5 ), r, 5 ; b) C ( ; 5), r 6 ; c) ( 0,; 3,), r, 6 d) ( 5,5; 3,5), r 8, 5 C. C ;. A k kör két pontja A( ; ) és ( 6; 7) B, és középpontja illeszkedik a 6 egenesre. Válaszd ki, hog a következő egenletek közül melik lehet k egenlete? A. 6 0 ; B. 8 6 0 ; C. 8 5 0 ; D. 8 6 5 0. C. a k kör egenlete. A kör középpontját az AB szakasz felezőmerőlegesének és az e egenesnek a metszéspontja adja.
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 0 ( b a b a ) ( ; 8) ; AB AB a b a b F ; F, ami az f egenes normálvektora, a felezőpont: ( ; 3), a kör suga- Ebből az egenes egenlete: : 5 ra pl. az AC távolság: 5 egség. k egenlete: ( ) ( ) 5, négzetre emelés és összevonás után a C. egenletet kapjuk.. f, e és f metszéspontja: C ( ; ) Módszertani megjegzés: A következő feladatokhoz készítsenek a tanulók ábrát a koordinátarendszerben. Ehhez hasonló egszerű feladatokat találunk a modul végén levő, Veges feladatok részben is.. Írd fel annak a körnek az egenletét, amelnek érintője az egenes, azon az érintési pont a P( 5; ) pont, és a sugara 7 egség. Az egenletet összeg alakban add meg! Az ábra elkészítése után leolvasható a középpont: ( 5; 3) C, a kör egenlete: ( 5) ( 3) 9, a négzetre emelés és rendezés után a megoldás: 0 6 5 0. 3. Írd fel annak az egenesnek az egenletét, amel felezi a 0 0 egenletű kör területét, és illeszkedik az A(; 5) pontra!
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató A kör egenletét átalakítva az ( 5) ( 7) 60 egenletet kapjuk, ahonnan a középpont: C( 5; 7). Az AC átmérő egenese felezi a kör területét. ( 7; ) CA az iránvektor, amiből a keresett egenes egenlete: 7.. Az ABC háromszög átfogójának két végpontja: A és B. A harmadik csúcsról tudjuk, hog valamelik koordinátatengelre illeszkedik. Határozd meg a háromszög harmadik csúcsát! (Ügelj a megoldások számára is!) a) A ( 7; 7), B( ; ) ; b) ( ; 6), B( ; 6) A ; c) A ( 5; ), B( 5; 6) ; d) ( ; 6), B( 6; ) A. a) Az AB szakasz Thalész-körének egenlete: ( 3) ( ) 5, amelnek tengelmetszetei: (0; 0), ( 6; 0) és (0; 8). b) Az AB szakasz Thalész-körének egenlete: ( 6) 00, amelnek tengelmetszetei: (6; 0), ( ; 0), (0; 8) és (0; 8). c) Az AB szakasz Thalész-körének egenlete: ( 5) ( ) 6, amelnek tengelmetszetei: ( 3 5; 0) és ( 3 5; 0). d) Az AB szakasz Thalész-körének egenlete: ( ) ( ) 0, amelnek tengelmetszetei: (0; 0), (0; ) és (8; 0).
Matematika A. évfolam Tanári útmutató II. A kör és az egenes A kör és az egenes kölcsönös helzete Az egenesek metszéspontját a koordináta-rendszerben úg határoztuk meg, hog megoldottuk az egenleteikből álló egenletrendszert. Akkor említettük, hog ez a módszer általános esetben, bármel két alakzat metszéspontjának kiszámításához, íg kör és egenes esetében is használható. Eg kör és eg egenes metszéspontját úg határozzuk meg, hog megoldjuk az egenleteikből álló egenletrendszert. Természetesen ennek a másodfokú, kétismeretlenes egenletrendszernek nincs mindig megoldása. A megoldás során az is kiderül, hog milen a kör és az egenes kölcsönös helzete. Ha az egenletrendszernek nincs megoldása, akkor az egenesnek és a körnek nincs közös pontja, eg megoldás esetén érintő, két megoldás esetén metsző az egenes. 7. kártakészlet és 7.3 munkalap Módszertani megjegzés: A téma feldolgozását tapasztalatszerzéssel kezdjük. Egszerű köregenletek és egenesegenletek által meghatározott egenletrendszer megoldásait kell elvégeznie a tanulónak. Minden tanuló húz - kártát a 7. kártakészletből, amelen három kör-egenes pár található (a. kártát a csoport leggakorlottabb tagjának ajánljuk). Két dolgot kell megállapítani a megoldás során:. Mi dönti el a megoldás folamata során, hog hán metszéspontja van a körnek és az egenesnek?. Milen a kör és az egenes kölcsönös helzete: A kárta betűjelét a csoport mun-
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 3 kalapjának megfelelő helére írja. A 7.3 munkalap szabálos háromszög alakú (amelet a tanár előre kivág a mellékelt dokumentum nomtatása után). Az A eseteknél nincs közös pont, az érintő esetek B, a metsző esetek mind C jelűek a helesen kitöltött munkalapon. Javasoljuk, hog óra végén házi feladatnak uganezeket a feladatokat adjuk fel, de a tanulók cseréljenek egmással kártát. Módszertani megjegzés: Amenniben szükséges, ismételjék át a másodfokú egenlet megoldóképletének és diszkriminánsának fogalmát, használatát! Mintapélda 7 Határozzuk meg az ( ) ( 5) 0 és az 5 egenes közös pontjainak számát! Megoldjuk a két egenletből álló egenletrendszert, pl. behelettesítő módszerrel. Az egenes egenletéből 5 behelettesítjük:, íg a ( 5) ( ) [( 5) 5] 0 ( ) ( ) 0 kifejezést helére a köregenletbe, a négzetre emelések után: 0 5 6 0 másodfokú egenlet adódik.
Matematika A. évfolam Tanári útmutató A metszéspontok száma attól függ, hog ennek a másodfokú egenletnek hán megoldása van. A megoldások számát a diszkrimináns dönti el: ( ) 5 ( 6) 336 D. Mivel a diszkrimináns pozitív, az egenletnek két megoldása van, vagis az egenes (két pontban) metszi a kört. Mintapélda 8 Az ( ) ( ) 5 egenletű körnek mel pontjai vannak egenlő távolságra az A(8; ) és a B( 0; ) pontoktól? A keresett pontok az AB szakasz felezőmerőlegesének és a körnek a metszéspontjai. A szakasz felezőpontja F ( 9; ), f normálvektora az AB ( ; 6) felezőmerőleges egenes egenlete: f :. 3 A kör és f metszéspontjának kiszámításához az f egenletéből és a kör egenletéből álló egenletrendszert kell megoldani. Célszerű az egenes egenletéből -et kifejezni, mert íg egész egütthatókkal számolhatunk : f : 3 3. Ezt beírjuk a kör egenletébe:. A ( 3 ) ( ) 5 ( 3 ) ( ) 5. Négzetre emelés és rendezés következik, majd megoldjuk a kapott másodfokú egenletet: 9 66 5 0 0 70 00 0 / :0 7 0 0 7 ± 9 0 7 ± 3, 5;. Két metszéspontot kaptunk. Mindkettőhöz kiszámítjuk a hiánzó abszcisszát: 3 ( 5) 3 ( ) 6 3. A keresett pontok: ( 3; 5) és (6; )., illetve
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 5 Feladatok Módszertani megjegzés: Igaz-hamis kérdések következnek, ameleket diákkvartett keretében javasolnuk feldolgozni. Ajánlott a bemutató használata.. Az ( ) ( ) 6 Hamis, az tengelt érinti.. Az ( 5) ( ) 36 kört érinti az tengel. kört érinti az 8 egenes. Igaz. 3. Az 8kört érinti az 6 egenes. ( 6 ) 8 6 9 0 ( 3) 0 kört. Az állítás igaz.. Az ( 3) ( 3) 9 egenletű kör mindkét koordinátatengelt érinti. Igaz., az egenes érinti a A következő feladatok megoldását csoportmunkában javasoljuk, ezért találunk a feladatokban a) d) pontokat. Érdemes felhívni a gerekek figelmét a csoporton belüli munkamegosztásra! 5. Határozd meg a kör és egenes kölcsönös helzetét az alábbi feladatokban! Ha az egenes metsző vag érintő, akkor határozd meg az érintési, illetve a metszéspontokat is! a) ( ) ( ) 5 és ; b) ( 3) ( 5) 00 és 7 ; c) 6 0 és ; d) ( 6) ( 9) 69 és 3. Módszertani megjegzés: A d) feladatot a csoport leghaladóbb diákjának adjuk. a) A másodfokú egenlet: 7 0. Nincs megoldása, nincs közös pont. b) A másodfokú egenlet: ( 5) 0. Eg megoldás van, az érintési pont: ( 7; 5). c) A másodfokú egenlet: 6 0. Metsző, a metszéspontok: ( 3; 7) és (; ). 3 d) A másodfokú egenlet behelettesítése után: 6 7 0. Metsző egenes, a metszéspontok: (; 3) és (9; 9).
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 6 Módszertani megjegzés: A következő két feladat uganazokat a számolásokat igénli, de az első egszerűbb (az érintőre merőleges egenes leolvasható az ábráról). 6. Eg kör áthalad az (; ) ponton, és egik érintőjének egenlete az e : 0. Az e egenes 3 abszcisszájú pontja az érintési pont. Írd fel a kör általános egenletét (az egenlet nem tartalmaz teljes négzetet)! Az érintési pont: A( 3; 0), abból e-re merőleges egenest állítunk, melnek egenlete: g : 3. A kör középpontja ezen is, és az AB húr felezőmerőlegesén is megtalálható, ezért ezek metszéspontja a középpont. AB ( b a b a ) AB( ; 8) ; F ( ; 6). Ezekből felírjuk f egenletét: álló egenletrendszert: C ( 3; 5) a kör egenlete ( 3) ( 5) 5, és AB felezőpontja 3. Megoldjuk az f és g egenleteiből, a kör sugara egenlő az AC távolsággal: 5 egség. Íg, átalakítva 6 0 9 0. 7. Eg kör áthalad a (6; ) ponton, és egik érintőjének egenlete e : 3. Az e egenes 3 ordinátájú pontja az érintési pont. Írd fel a kör általános egenletét! Az érintési pont (e egenletébe 3 behelettesítéséből): A(; 3). A kör középpontja rajta van az érintőre az érintési pontban állított merőleges egenesen: g-n. e normálvektora (3; ), amelet 90 -kal elforgatva kapjuk a g egenes normálvektorát: ( ; 3). Az egenes egenlete: g : 3 7. Az A(; 3) és az adott B(6; ) pont által meghatározott húr felezőmerőlegesének egenlete f : 7 33. f és g egenleteiből álló egenletrendszer megoldása adja a kör
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 7 középpontját: C( ; 5). A kör sugara egenlő az AC távolsággal: ( a c ) ( a ) 0 AC c. A kör egenlete ( ) ( 5) 00, átalakítva 0 7 0. Módszertani megjegzés: A következő két feladatnak lénegében uganaz a megoldási módszere. Javasoljuk az a) feladatrészeket ellenőrzés párban módszerrel megoldani, a b) feladatrészeket önálló munkára (például házi feladatnak) kijelölni. A feladatokat vektor elforgatásával is meg lehet oldani. 8. Eg egenlőszárú háromszög alapjának két csúcsa A és B, az alaphoz tartozó magasságvonal hossza m egség. Határozd meg a háromszög harmadik csúcsának koordinátáit! a) A ( ; 3 ), B( 3; 3 ), m 5 ; b) ( 3 ; 5), B( 3; ), m A. A harmadik csúcs az AB szakasz felezőmerőlegesének (f) és az AB felezőpontja mint középpont által meghatározott, m sugarú k körnek a metszéspontja. a) K ( ; 0), ( ; 6) f : 3 k : AB és ( ) 5. Megoldva az egenletrendszert, két csúcspont adódik: C ( 5; ) és ( ) C 7;. b) K ( 0; ), ( 6 ; 6) f : k : AB és ( ) 8. Megoldva az egenletrendszert, két csúcspont adódik: C ( ; ) és ( 0) C ;. 9. Eg rombusz egik átlójának végpontjai: A és C. A másik átló hossza d egség. Határozd meg a másik két csúcs koordinátáit! a) A ( 5 ; ), C( 7; ), d 5 ; b) ( 5 ; ), C( 7; 5), d 0 A.
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 8 A hiánzó csúcsok az AC szakasz felezőmerőlegesének (f) és az AC-nek a felezőpontja d mint középpont által meghatározott, sugarú körnek (k) a metszéspontjai. b) K ( ; ), ( ; 6) f : 3 k : AC és ( ) ( ) 0. Megoldva az egenletrendszert, a két hiánzó csúcspont: B ( ; 5) és ( 3; 3) D. b) K ( ; 0,5), AC ( ; 9) f : 8 6 és k : ( ) ( 0,5) 5. Megoldva az egenletrendszert, a két hiánzó csúcspont: B ( ;,5) és ( ; 3,5) D. Módszertani megjegzés: A következő feladatot a nag számolási igén miatt javasolt csoportmunkában feladni. Eg hasonló példát találunk a Veges feladatok témakörben, a modul végén is. 0. A derékszögű háromszög egik befogójának csúcsai: (0; 5) és (, 3) a köré írt kör sugara 0 egség. Határozd meg a háromszög hiánzó csúcsát! A megoldás stratégiáját úg dolgozzuk ki, hog azt visszavezetjük síkgeometriai esetre. Vázlatot készítünk a köréírt kör sugara az A és a C csúcsok ismeretében a BC befogó szerkeszthető: az AC-re állított merőleges egenesen az A ponttól a B pont r távolságban van. A feladatnak nég megoldása van. Legen A(0; 5), C(, 3). Mindkét pontban merőlegest állítunk az AC szakaszra, és felírjuk az A, illetve C köré írható, 0 sugarú körök egenletét. A háromszög harmadik csúcsa az egenesek és a körök metszéspontjaként adódik.
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 9 ( ; 8) AC az egenesek normálvektora, íg e : 0 és e : 0. A körök egenletei: ( 5) 60 k : és k : ( ) ( 3) 60. Megoldva az e, k, illetve az e, k egenletrendszereket, kapjuk a nég derékszögű háromszög hiánzó csúcsát: B (8; 9), B (; ), B 3 ( 8; ) és B ( ; 7).. Eg egenlőszárú háromszög alapjának két csúcsa A(; 5) és B(0; ), a harmadik csúcs az 6 90 0 egenletű körön található. a) Melek a háromszög harmadik csúcsának koordinátái? b) Határozd meg a háromszög(ek) súlpontját! c) Határozd meg a háromszög alapjának hosszát! d) Mekkora a háromszög(ek) területe? a) Az AB felezőpontja: F ( 6; 3), felezőmerőlegesének egenlete: f : 9. Ezt behelettesítjük a kör egenletébe. Rendezés után kapjuk az 0 9 0 másodfokú egenletet, amelnek megoldásai és 9. Íg két pontot kapunk harmadik csúcsnak: C ( 9; 9) és ( ; 7) C. b) Az ABC háromszög súlpontja: 0 9 5 9 S ; S 3 3. Az ABC háromszög súlpontja: ( 7; 5) 0 5 7 3 S ; S ;. 3 3 3 3 c) AB ( b a ) ( b a ) 80 8, 9 egség.
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 30 d) A háromszög magassága: FC 5, ezért az ABC háromszög területe 80 5 30. FC 5, ezért az ABC 80 5 háromszög területe 50 t.e... Határozd meg, hog mekkora területű körszeleteket vág le az 00 egenletű körből a 0 egenletű egenes! A két egenletből álló egenletrendszerből kapjuk az 8 0 egenletet, amelből a két metszéspont: A ( 0; 0) és B ( 6; 8). Az α szög III. 6 síknegedbe eső részének tangense, ahonnan az 8 a szögrész 36,87, az egész α szög ennél 90 -kal nagobb: kb. 6,9. 6,9 Az α szögű körszelet területe: 0 π 0 sin6,9 70, 76 t.e., a másik körszelet területe ezt a kör területére egészíti ki: 0 π 70,76 3, 360 t.e.. A kör érintője Eges körrel kapcsolatos koordinátageometriai feladatokban bonolult lenne visszavezetni a megoldást az elemi geometriában megtanult ismereteinkre, ezért ilen esetekben ezt nem is érdemes megpróbálni. Módszertani megjegzés: Ilen a következő feladat is, amivel a mintapéldában foglalkozunk: adott a kör két nem párhuzamos érintője (e és f) és eg pont (P), ami illeszkedik a körre. Szerkesszük meg a kört! A feladatot hasonlóság segítségével oldjuk meg. A kör középpontja illeszkedik az érintők által alkotott szög felezőjére. (Jelölje A az érintők metszéspontját.) Szerkesztünk eg tetszőleges, az érintőket érintő k kört a szögfelező eg tetszőleges K pontja köré, amelet elmetszünk az AP egenessel. A k kör és az AP egenes metszéspontjai, valamint a K pont által meghatározott egenesekkel (g és h) párhuzamosokat húzunk a P ponton keresztül, és ezeknek a szögfe-
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 3 lezővel alkotott metszéspontjai adják a keresett körök középpontjait (C és C ). Ezek után a körök (k és k ) können megszerkeszthetők. A fenti megoldást meglehetősen problémás koordinátageometriai módszerekre átültetni. Olan feladatok következnek, ameleknél a megoldási terv elkészítésekor és végrehajtásakor célszerűbb a koordinátageometriai ismereteinkre támaszkodni. Mintapélda 9 Írjuk fel annak a körnek az egenletét, amelik érinti mindkét koordinátatengelt, és áthalad az (, 8) ponton! Módszertani megjegzés: Javasoljuk, hog a mintapéldát csoportmunkában oldjuk meg, tanári kérdésekkel iránítva (esetleg diákkvartett formájában). A kérdések (utasítások) lehetnek például a következők:. Vázoljuk fel, hog a keresett kör hogan helezkedik el a koordináta-rendszerben!. A köregenlet felírásához u, v és r értékét kell meghatározni. Ebben a feladatban milen kapcsolat van a keresett értékek között? u r és v r. 3. Írjuk fel a kör egenletetét, és alakítsuk át úg, hog csak r legen benne ismeretlen! ( ) ( ) r r r.. Milen információt nem használtunk még fel a megoldás során? Hog a P pont illeszkedik a körre. 5. Mit jelent az, hog eg pont illeszkedik eg alakzatra?
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 3 Koordinátái igazzá teszik az egenletét. 6. Végezzük el a behelettesítést! Milen egenletet kaptunk? Oldjátok meg! r-re másodfokút: r 8r 65 0, a megoldások 3 és 5. 7. Írjuk fel a körök egenleteit! ( 3) ( 3) 69 és ( 5) ( 5) 5. Kiindulunk az ( ) ( ) u v r köregenletből és abból, hog a keresett kör elhelezkedése következtében milen kapcsolatok találhatók az ismeretlen u, v és r között. A vázlat elkészítése után leolvashatók a következő összefüggések: u r és v r (hiszen r > 0, de v < 0) Ezeket a köregenletbe helettesítve az az ( r) ( r) r egenletté egszerűsödik. Mivel a megadott pont illeszkedik a körre, koordinátáit behelettesítve igazzá válik a kör egenlete: ( ) ( ) r 8 r r. ebben már csak r az ismeretlen, vagis r-re másodfokú egenletet kapunk. Elvégezzük a négzetreemelést és az összevonást: r r r, 6 6r r r 8r 65 0 8 ± 8 65 8 ± 8 r / r r 3 r 5 A megoldások: ( 3) ( 3) 69 és ( 5) ( 5) 5. A megoldás során a köregenletet egszerűsítettük mindaddig, amíg egetlen ismeretlent tartalmazó egenletet kaptunk. A következőkben is ezt a módszert követjük a feladatok megoldása során.
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 33 Feladatok Módszertani megjegzés: Jobban haladó csoportoknál a csoport tagjainak célszerű a következő hasonló jellegű feladatokból - részfeladatot feladni. Például 0/a, /a,. és 3. Ha a csoporttagok nem boldogulnak a saját feladatukkal, akkor szakértői mozaik módszert alkalmazva összegűlnek az azonos feladatot végzők, és egütt keresik a megoldást. Fontos, hog minden csoporttag megismerje a többiek példáinak a megoldását is. 3. Írd fel annak a körnek az egenletét, amelik érinti mindkét koordinátatengelt, és áthalad az a) A(8; ); b) B( ; ); c) C( 8; 9) ponton! a) ( 3) ( 3) 69 és ( 5) ( 5) 5 ; b) ( 0) ( 0) 00 és ( ) ( ) ; c) ( 5) ( 5) 5 és ( 9) ( 9) 8.. Írd fel annak a körnek az egenletét, amelik áthalad az (; ) ponton, a sugara 5 egség és érinti az a) tengelt; b) tengelt! a) v r 5, csak u marad ismeretlen: ( ) ( 5) 5 u, ahonnan u ; u 5, a megoldások: ( 3) ( 5) 5 ( 5) ( 5) 5. b) u r 5, csak v marad ismeretlen: ( 5) ( ) 5 3, illetve v, ahonnan v ; v 5, a megoldások: ( 5) ( 5) 5, illetve ( 5) ( ) 5. 5. Írd fel annak a körnek az egenletét, amel áthalad a (3, ) ponton, középpontja az egenesre illeszkedik és érinti az tengelt! r v és v u miatt a köregenlet alakja: ( ) ( ) ( ) u u u. Behelettesítve a megadott pont koordinátáit ( ) ( ) ( ) u u 0u 5 0. Megoldása u 5. A keresett kör egenlete: ( 5) ( 0) 00. 3 u u adódik, ahonnan
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 3 6. Írd fel annak a körnek az egenletét, amel áthalad a (6, ) ponton, középpontja az egenesre illeszkedik és érinti az tengelt! v miatt a köregenlet alakja: ( u) ( u ) ( u ) v r, és u. behelettesítve a megadott pont koordinátáit ( ) ( ) ( ) u 0u 36 0. Megoldásai 8 és. u u 6 u adódik, ahonnan A keresett körök egenlete: ( 8) ( 37) 369 és ( ) ( 5) 5. Mintapélda 0 Írjuk fel az ( 3) ( ) 5 egenletű körnek az (, ) pontra illeszkedő érintőjét! Módszertani megjegzés: A mintapélda feldolgozását csoportmunkában, a bemutató segítségével, projektorral kivetítve javasoljuk. Direkt eredménközlés helett amenniben szükséges a megoldás lépéseire utaló rávezető kérdésekkel segítsük a tanulók munkáját:. Hol helezkedik el az adott pont a körhöz képest?. Milen tulajdonsága van a kör eg pontjába húzott érintőnek? Készítsetek vázlatot! 3. Milen adatok kellenek az egenes egenletének felírásához?. (Mi lesz a sugár vektora?) Melik egenesegenletet célszerű használni? Jelölje P az (, ) pontot! Behelettesítéssel ellenőrizzük, hog a P illeszkedik-e a körre: ( 3) ( ) 6 9 5, vagis P a körvonal eg pontja. A kör középpontja: C( 3; ), sugara 5 egség. Elkészítjük a vázlatot, berajzoljuk az érintőt, valamint az érintési pontba húzott sugár vektorát (r CP ). Az érintő merőleges a sugárra, ezért r az érintő normálvektora. r ( p c p ) n e : P ; c CP r(; 3). ( ; 3) ( ; ) A B A B 3 3 0 0
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 35 Az érintő egenlete e : 3 6. Feladatok 7. Írd fel a k kör P pontjába húzható érintőjének egenletét! a) k : ( ) ( 3) 5, P( 5; ) ; b) : ( ) ( 3) 00, P( 7; 3) k ; c) k : 8 7 0, P( 8; ) d) k : 8 35 0, P( ; ) a) 3 9 ; b) 3 37 ; c) 5 9; d) 3 3. 8. Írd fel az 69 egenletű kör 5 abszcisszájú pontjaiba húzható érintők egenletét! 5 értéket behelettesítünk a köregenletbe, ezáltal megkapjuk az érintési pontok koordinátáit: ( 5 ; ) és ( ; ) ( 5 ; ) és ( ; ) 5. A kör középpontja az origó, ezért a sugarak vektorai 5. Az érintők egenletei: 5 69, illetve 5 69. Módszertani megjegzés: A középszintű érettségi követelménrendszer csak a kör eg adott pontjába húzott érintő egenletének felírását követeli meg. Azonban érdemes foglalkozni eg adott egenessel párhuzamos, illetve egszerűbb esetekben a külső pontból húzott érintő egenletének felírásával is. Ezeket elsősorban a matematika iránt fogékonabb diákoknak ajánljuk, mert megoldásuk eg-eg ötletet kíván. A feladatok többféle módon is megoldhatók, az egik az m b alakú egenlet alkalmazása. Mivel az érintővel kapcsolatos feladatok megoldásakor ez általában célravezető módszer és a diszkrimináns vizsgálatát is ismételjük a segítségével, mi is ezt heleztük előtérbe.
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 36 9. Írd fel az 5 egenletű kör 3 0 egenletű egenessel párhuzamos érintőinek egenletét! Keressük az érintőt m b alakban, hiszen a meredekségét meghatározhatjuk a megadott egenes meredekségéből. Párhuzamos egenesek meredeksége egenlő, az 3 3 adott egenesé pedig miatt, az egenes egenletéből csak a b értéke isme- retlen: 3 b. Ezt behelettesítve a köregenletbe másodfokú egenlet adódik, amelnek eg megoldása van (érintő: eg közös pontja van a körrel). 5 b 6b 00 0, ( b) 5 ( 6b 00) 0 0b 0000 ± 6, 5 D b,. A keresett érintők egenletei: 3 5 3 5 és. 30. Határozd meg az 6egenletű körnek azokat az érintőit, amelek a ( 0; ) P ponton haladnak keresztül. Az egik érintő egenlete leolvasható:. A másik érintő hajlásszöge meghatározható az ábrán jelölt egbevágó derékszögű háromszögekből: tg α α, 8. Ebből a PE érintő me- 0 redeksége tg(,8 ) 0, 95. Az iránténezős egenletet használva 0, 95 b, és P koordinátái igazzá teszik ezt az egenletet. b 5, 5, íg a PE érintő egenlete kerekítésekkel: 0,95 5, 5. Megjegzés: A meredekség pontosabban meghatározható a tgα tg α összefüg- tg α gés alkalmazásával: 0 m. Íg az érintő pontos egenlete: 0 6.
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 37 3. Határozd meg az ( 5) ( 3) 9 ( ; 5) P ponton haladnak keresztül. A kör középpontja (5; 3), sugara 3 egség. P a körön kívül van. Az egik érintő egenlete leolvasható:. A másik érintő hajlásszögére az ábrán jelölt derékszögű háromszögekből következtethetünk. 3 tg α α 0,56 ; β 90 α 8, 88 8 m tgβ,5,5 7,3, a keresett e érintő egenlete: egenletű körnek azokat az érintőit, amelek a Módszertani megjegzés: A meredekség pontosan meghatározható a tg tgα tg α α összefüggés alkalmazásával, amelnek ismerete emelt szinten követelmén (de a függvéntáblázatban megtalálható): 8 55 tg α ; m tgβ tg ( 90 α) ctg α (,5). Íg az érintő pontos egenle- 55 8 te: 55 8 350.
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 38 Veges feladatok 3. Adott az ( ) ( ) 36 egenletű kör. a) Döntsd el az alábbi pontokról, hog a kör belső vag külső pontjai, vag a körvonalra illeszkednek-e: ( ; ), B( 7; 3), C( ; 5) A! b) Add meg a körnek azokat a pontjait, amelek abszcisszája! a) A kör középpontja a K(; ), és r 6 egség. Az adott pontok távolságát kell kiszámítani a középponttól. Ezek: KA 6 5, < r, ezért az A belső pont; KB 3 <r, ezért a B belső pont; KC 5 > r, ezért a C külső pont. behelettesítése után az ( ) 36 8 és. A keresett pontok: ( ; 8), ( ; ) b) egenletet kapjuk, amelnek megoldásai. 33. Mekkora a sugara annak a körnek, amel az 6 0 egenletű körrel koncentrikus, és átmeg a P(; 3) ponton? A kör egenletét átalakítva megkapjuk a kör középpontját: ( 7) ( 3) 6 ( 7; 3), C. A keresett sugár éppen a CP távolság: CP 36 6 egség. 3. Eg négzet szemközti csúcsai: A ( 5; 3) és C ( 9; 5) kör egenletét! A keresett kör az AC szakasz Thalész-köre. A felezőpont: F ( ; ) r FC 65. A kör egenlete: ( ) ( ) 65.. Írd fel a négzet köré írható, a sugár:
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 39 35. Eg négzet szomszédos csúcsai: A ( 3; ) és B ( 5; 0) kör egenletét! Ügelj a megoldások számára!. Két négzetet kapunk megoldásnak. Az AB( 8; ) -t 90 és 90 -kal elforgatva, valamint a B pontba tolva megkapjuk a négzetek eg-eg újabb csúcsát, amelek A-val alkotott szakaszainak Thalész-körei lesznek a megoldások. C ( ; 8), C ( 7; 8) 3 ( ; 3), K ( ; 5) 0, a középpontok: K, a sugár: r K B K B 3. A megoldások: ( ) 3 és ( ) ( 5) 3 3.. Írd fel a négzet köré írható. OK k f 90, ahol f a b, b a, OK ; r. k f 90 A konkrét adatok figelembevételével ( ; ) ( ); ( ; ); ( ; ) 90 ; 90 ( ; 3 ); K ( ; 5 ) 0 K. f ; ; A keresett körök egenlete: ( ) 3 ( ) ( 5) 3. 3 és Megjegzés: Ez a megoldási módszer mindig alkalmazható, ha eg négzet két szomszédos csúcsa, vag eg téglalap két szomszédos csúcsa az oldalak aránával adott, és a köré írt kör egenletét keressük. 36. Írd fel az ábrán látható kör és egenes e- genletét, majd számítással határozd meg a metszéspontjukat!
Matematika A. évfolam Tanári útmutató 0 A kör egenlete: ( ) ( 6) 6 0, az egenesé 5. Innen -et kifejezve:, ezt behelettesítve a köregenletbe: ( ) ( 6) 6, átalakítás és rendezés után: 5 68 68 0. Ennek megoldásai 0, és 3,, a metszéspontok: ( 0,8; 0,) és ( 3,5; 3,). 37. Írd fel annak a körnek az általános egenletét, amelnek érintője az 5 egenletű egenes, a sugara 6 egség és középpontja illeszkedik az 3 8 egenletű egenesre! Az ábra elkészítése után a középpont abszcisszája egszerűen meghatározható. Két megoldást kapunk. g :, h :, ezeknek az adott egenessel alkotott metszéspontjai adják a körök középpontját: C ( 3) és C ( ; ) ; ( ) ( 3) 36. A körök egenletei:, átalakítva: 6 6 0, illetve ( ) ( ) 36, átalakítva: 86 0. 38. Eg téglalap rövidebb oldalának csúcsai A(; ) és B( ; 0). A hosszabb oldal hoszsza a rövidebb oldal hosszának másfélszerese. Határozd meg a téglalap köré írható kör egenletét! A megadott oldal vektorát az A pont körül 90 -kal mindkét iránban elforgatjuk, és szorozzuk,5-tel. Ezeket a vektorokat (például) a B pontba tolva megkapjuk a két téglalap harmadik csúcsát (C és C ). A téglalapok köré írt körök megegeznek az AC, illetve AC szakaszok Thalész-köreivel.
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató Felezőpontokkal számolva K (,5; ), illetve K (,5; ). A körök sugarait két pont távolságának képletéből határozzuk meg: AC 8 65, a sugarak hossza 65 6,5. A keresett körök egenletei: k : (,5) ( ) 6, 5, illetve : (,5 ) ( ) 6, 5 k. 39. Milen messze van az 8 6 9 0 egenletű kör középpontja a 3 8 egenletű egenestől? A kör középpontjából az egenesre állított merőlegesből kimetszett szakasz hossza a keresett távolság. Átalakítjuk a köregenletet: ( ) ( 3) 6, a középpontja: C ( ; 3). Felírjuk a C ponton áthaladó, adott egenesre merőleges e egenes egenletét, meghatározzuk a két egenes metszéspontját és kiszámítjuk a metszéspont távolságát C-től. Az adott egenes normálvektora (3; ), ezt pl. 90 -kal elforgatva kapjuk e normálvektorát: (; 3). Az e egenes egenlete: 3. Megoldva az egenletrendszert, a metszéspont (; ), amelnek C-től való távolsága 5 7, egség. 0. Eg derékszögű háromszög egik befogójának végpontjai A( ; ) és C(; ), a másik befogó hossza AC hosszának háromszorosa. Írd fel a derékszögű háromszög köré írt körének egenletét!
Matematika A. évfolam Tanári útmutató ( ; 3) AC 90 -os elforgatottjának háromszorosát és ennek a vektornak az ellentettjét a C pontba tolva megkapjuk a háromszög harmadik csúcsát: ( 9; 6) C ( ; ) B ( 0; 5) ( 9; 6) C ( ; ) B ( 8; 7) A keresett körök AB, illetve AB szakaszok Thalész-körei. A középpontok felezőpontok: K (,5; 3,5), K (,5;,5) AB AB 30 r 3,5., a körök sugara: A körök egenletei: (,5) ( 3,5) 3, 5 és (,5) (,5) 3, 5. Megjegzés: Uganezt a két kört kapjuk, ha az elforgatott vektorokat az A pontba toljuk és CB 3, illetve CB Thalész-köreit írjuk fel.. Eg derékszögű háromszög átfogójának egik végpontja az A( 5; 3) pont, derékszögű csúcsa a C(, 6). A háromszög harmadik csúcsa az tengelen van. Határozd meg a háromszög köré írható kör egenletét! Felírjuk az AC szakaszra merőleges a egenes egenletét és kiszámítjuk az tengellel alkotott metszéspontját (B). A derékszögű háromszög köré írt kör éppen az AB Thalész-köre. AC( 9; 3) ( ; 6) n a : C 0 6, B ( 6; 0) 30 F ( 0,5;,5 ), AB AB r 3, 5. 9 3 5 a : 3 8 A kör egenlete: ( 0,5) (,5 ) 3, 5.. Eg kör egenlete 6 8 8,75 0. Adott eg négzet két szomszédos csúcsa: A( 8; 5) és B( 3; 6), és a négzetnek van olan pontja, amel az I.
7. modul: Koordinátageometria A kör Tanári útmutató 3 síknegedben található. Határozd meg annak az egenesnek az egenletét, amelik a négzetnek és a körnek is felezi a területét! A keresett egenes áthalad a kör és a négzet középpontján. A kör egenletét átalakítva ( 3) ( ) 6, 5, ahonnan a középpontja K( 3; ). A négzet harmadik csúcsa ( BA -t 90 -kal való elforgatás után B pontba toljuk, íg végpontja megadja a négzet C csúcsának koordinátáit): C(8; ). A négzet középpontja az AC átló felezőpontja: F ( 0; ) Az FK egenes felezi mindkét síkidom területét, egenlete:. 3. Az derékszögű háromszög egik befogójának csúcsai: (; 5) és (, ), az átfogója 30 egség. Határozd meg a háromszög hiánzó csúcsának koordinátáit! Elemi geometriai ismereteinket felhasználva, a másik befogó egenesét megkapjuk, ha mindkét pontban merőlegest állítunk az AC szakaszra. Felírjuk az A, illetve a C köré írható, 30 sugarú körök egenletét. A háromszög harmadik csúcsa az egenesek és a körök metszéspontjaként adódik. ( ; 6) AC az egenesek normálvektora, íg e : 3 7 és e : 3 3. A körök egenletei: : ( ) ( 5) 30 k és ( ) ( ) 30 k :. Megoldva az egenletrendszereket, kapjuk a nég derékszögű háromszög hiánzó csúcsát: ( ; 8), B ( 3; ), B ( 7; ), B ( 5; ) B 3.
Matematika A. évfolam Tanári útmutató. Eg háromszög csúcsai A( 3; 9), B( 5; 7), C( ; ) kör egenletét! A háromszög köré írható kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Az oldalfelező pontok: F ( ; 0) és G ( ; ), az oldalvektorok AC ( ; ), AB( 8; 6), az egenesek f b : 7 38 és :. Az egenletrendszert megoldva, a kör középpontja: ( 5; 3) K, sugara r KB 0 egség (az ábráról leolvasható). A kör egenlete: ( 5) ( 3) 00 f c.. Írd fel a háromszög köré írható 5. Eg számítógép monitorán olan kört akarunk ábrázolni, amel három adott ponton halad keresztül. A pontok koordinátái: A ( 5; 38), B( 6; 65), C( 905; 83). Határozd meg a három ponton áthaladó kör egenletét! A monitoron a koordináta-rendszer kezdőpontját a bal alsó sarokhoz rögzítjük. A keresett kör az ABC háromszög köré írható kör, amelnek középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. A BC oldal felezőpontja és oldalvektora: ( 758; 567) : ( 9; 68) n( 7; ) BC, ahonnan f BC : 7 3038. :3 Az AB oldalra hasonlóan: G ( 576,5; 57,5), AB ( 69; 67) n( 3; 89) f AB F,, ahonnan : 3 89 5937. A két egenes metszéspontja az egenletrendszert megoldva adódik: K ( 70; 83), a sugár 95 egség. A kör egenlete: ( 70) ( 83) 3805. 6. A PQRS négszög csúcsai: P(3; ), Q(; 3), R( 6; ) és S( 5; 5). Igaz-e, hog a PQRS négszög húrnégszög?