VII.2. RAJZOLGATUNK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások, párhuzamosság, merőlegesség, térelemek és egymáshoz való viszonyuk, hasonlóság. Egyszerűbb testek, tulajdonságaik. Cél A térgeometriai szemlélet fejlesztése, a térgeometriai problémákhoz szükséges modellalkotási folyamat fejlesztése, az axonometrikus rajzok egy csoportjába tartozó ábrák elkészítésének fokozatos elsajátítása. A térgeometriai ábrák értelmezéséhez szükséges térlátási képességek fejlesztése. A felszín- és térfogatszámítás előkészítése, ismerkedés a hasábok és a gúlák világával. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásához az aktívabbak, illetve gyengébb térgeometriai személettel rendelkezők részére készíthető (vagy velük készíttethető) térbeli modell (élváz) például drótból vagy műanyag, harmonikás nyakú szívószálból, illetve írásvetítő fóliából. A tanulók önállóan dolgozzanak, de tanári felügyelettel. Ha valamely kérdésnél valaki elakad, akkor a tanár adjon segítséget, rávezető kérdés vagy hasonló, de egyszerűbb feladat adásával. A munka végén érdemes meg is beszélni az elkészített rajzokat, az elkészítés miértjét, hogyanját, valamint további problémák felvetésére ösztönözni a diákokat. A megoldás során érdemes felhívni arra a figyelmet, például a 3. feladatnál, hogy a síkmetszetek elkészítésénél figyelembe kell venni a keresett sík esetében a párhuzamos síkokkal vett metszésvonalak párhuzamosságának tényét. További segítséget nyújthat a tanulóknak, ha átlátszó modellt készítünk keményebb anyagú írásvetítő fóliából, és ezen rajzoljuk meg a szükséges szakaszokat, így a térben is be tudjuk mutatni az elkészített síkrajzok eredetijét. VII.2. Rajzolgatunk 1.oldal/9
A megoldásokból prezentáció is készíthető, hogy az ábrákat bemutathassuk a diákoknak. A megoldás során érdemes folyamatosan figyelemmel kísérni, ki hogyan boldogul a feladatokkal. Mivel a megoldások ideális esetben nem tartanak túl sokáig, ezért ha valaki elakad, rögtön kapjon segítséget, különben unatkozni fog, illetve jelentősen lemarad a többiektől. Érdemes folyamatosan azt is kontrollálni, hogy az elkészült rajzok megfelelőek-e, mert egy-egy feladatban elkövetett hiba kihatással lehet a további feladatok megoldására. A fejlesztési folyamat végére lehetőleg mindenkinek el kell jutnia arra a szintre, hogy hasonló feladatokat meg tudjon oldani. Ha úgy tűnik, hogy valaki a feladatsorban felvetett problémák egyikét sem tudta megoldani, a már megoldott feladatok, kérdések megbeszélése után sem tudta a továbbiakat megválaszolni, akkor mindenképpen újabb feladatokat kell neki adni. A feladatsor folytatható a kérdések bővítésével. Azokban a feladatokban, ahol síkmetszeteket kell rajzolni, lehet további kérdésként a metszet síkidom alakját kérdezni, oldalainak hosszát kiszámíttatni, esetleg területét, kerületét, szögeinek nagyságát meghatároztatni. Lehet azt is kérdezni, hogy a síkmetszet trapéz-e, ha igen, milyen trapéz. A 3. feladat címe talán némi magyarázatra szorul: a feladatban metszeteket kell rajzolni, a cím Dürer metszeteire utal. VII.2. Rajzolgatunk 2.oldal/9
RAJZOLGATUNK Feladat sor K OCKÁZTATUNK 1. Az alábbi kérdésekben a megadott szakaszok a BCGF síkba esnek. Keressük azokat a szakaszokat, melyek egyik végpontját megadtuk és a párjukként jelölt szakaszokkal párhuzamosak. (A keresett szakaszok hiányzó végpontja az ábrán jelölt pontok közül kerül ki.) Rajzoljuk is be az egymással párhuzamos szakaszokat azonos színnel! (Az ábrán a kocka csúcsai és a megfelelő élek felezőpontjai vannak feltüntetve.) a) YZ X... b) YG X... c) YG A... d) FC D... e) FZ E... f) FZ D... 2. Keressünk a megadott szakaszokhoz minél több, velük párhuzamos szakaszt, melyek végpontjai az előző feladat ábráján szereplő pontok közül kerülnek ki! a) VZ b) XZ c) EZ d) YD VII.2. Rajzolgatunk 3.oldal/9
DÜRER NYOMÁBAN 3. Tudjuk, hogy ha egy sík két másik, egymással párhuzamos síkot metsz, akkor a metszésvonalak is párhuzamosak lesznek. Ennek ismeretében rajzoljuk be az ábrákba a megadott síkmetszeteket! (Az ábrán a kocka csúcsai és a megfelelő élek felezőpontjai vannak feltüntetve.) a) A kocka és a VZY sík metszete. b) A kocka és a HAB sík metszete. c) A kocka és a BZA sík metszete. d) A kocka és a HXB sík metszete. VII.2. Rajzolgatunk 4.oldal/9
DÚL A GÚLALÁZ 4. a) Rajzoljuk be a bal oldali ábrába az ABCDK egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát, ha K rajta van az EFGH síkon! Milyen speciális pont a K pont az EFGH négyzetben? b) Rajzoljuk le az ABCDK egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát a jobb oldali ábrába, ha magasságának hossza az m szakasz hosszával egyezik meg. Látunk-e egyenlő szárú háromszöget a síkbeli ábrázoláson? c) Pistinek egy egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát kellett rajzolnia (lásd a lenti, bal oldali ábra). Az ABK egyenlő szárú háromszöggel kezdte, majd kiegészítette hátrafelé a rajzot az ábrának megfelelően. Miért helytelen a rajza? d) Rajzoljuk meg annak az egyenlő oldalú, háromszög alapú gúlának a látszati képét, amelynek alapja az ABC háromszög, az ehhez tartozó testmagassága pedig párhuzamos és egyenlő a megadott m hosszúságú szakasszal (jobb oldali ábra). Hol lesz a gúla negyedik csúcsa? VII.2. Rajzolgatunk 5.oldal/9
MEGOLDÁSOK 1. a) YZ XV b) YG XH c) YG AV d) FC DE e) FZ EV f) FZ DX 2. a) VZ-vel párhuzamos szakaszok: HG, EF, XY, AB, DC. b) XZ-vel párhuzamos szakaszok: EG, AC. VII.2. Rajzolgatunk 6.oldal/9
c) EZ-vel párhuzamos szakasz: XC. d) YD-vel párhuzamos szakasz: FV. 3. a) A kocka és a VZY sík metszete: adottak a V, Z, Y pontok; VZ-vel párhuzamos az ABFE lapon az YX szakasz; YZ-vel párhuzamos az ADHE lapon az XV szakasz. b) A kocka és a HAB sík metszete: HA-val párhuzamos a BCGF lapon a BG szakasz; ABvel párhuzamos a CGHD lapon a GH szakasz. a) b) VII.2. Rajzolgatunk 7.oldal/9
c) A kocka és a BZA sík metszete: BZ-vel párhuzamos az ADHE lapon az AV szakasz; ABvel párhuzamos a CGHD lapon a VZ szakasz. d) A kocka és a HXB sík metszete: HX-szel párhuzamos a BCGF lapon a BZ szakasz; XBvel párhuzamos a CGHD lapon a HZ szakasz. c) d) 4. a) K pont az EFGH négyzet középpontja, mivel az alaplap középpontja felett van, azaz a belőle az alaplap síkjára bocsátott merőleges az alaplap középpontjába érkezik meg. (A négyzet középpontját természetes átlóinak metszéspontjaként is megkaphatjuk.) VII.2. Rajzolgatunk 8.oldal/9
b) Az ABCD négyzet középpontjába kell állítanunk az m hosszúságú szakasszal azonos hosszúságú szakaszt, és ennek végpontja adja meg a keresett K pontot. A síkbeli ábrázoláson nincsenek egyenlő szárú háromszögek! (Persze, ha m kisebb, azaz K-t lejjebb tesszük úgy, hogy KK = K D, akkor van.) c) Az előző feladatban mondottak miatt a rajz helytelen, az ábra teteje a helyes ábrához képest balra van eltolódva. A K csúcsnak az alapnégyzet (az ábrán paralelogramma) középpontja fölött kell lennie axonometrikus ábrázolás esetén. (Persze egy feladathoz készített vázlatnak esetleg a fenti ábra is megteszi, pláne, ha az oldalélekre ráírjuk, hogy b, b, b, b.) d) A háromoldalú gúla negyedik csúcsa az alapháromszög súlypontja fölött van. A súlyvonal a vetületben is felezőpontba kerül, tehát az ABC háromszög súlypontját kell megszerkesztenünk, és ide felmérni az m szakasszal párhuzamosan a testmagasságot. VII.2. Rajzolgatunk 9.oldal/9