Érdekességek az elemi matematika köréből

Érdekességek az elemi matematika köréből Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 17

Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve 3813. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 2 / 17

Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve 3813. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható a házból 100 lakos úgy, hogy életkoraik összege nem kevesebb, mint 3100. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 2 / 17

Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 3 / 17

Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 3 / 17

Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike. Állítás A 100 legidősebb lakos életkorának összege nem lehet kevesebb 3100-nál. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 3 / 17

Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike. Állítás A 100 legidősebb lakos életkorának összege nem lehet kevesebb 3100-nál. Bizonyítás Indirekt tegyük fel, hogy az életkoruk összege kevesebb, mint 3100. Ez azt jelenti, hogy közülük a legfiatalabb életkora kevesebb, mint 31. Ekkor a kimaradó 23 lakos életkora is kevesebb 31-nél (külön-külön), vagyis az életkoraik összege kevesebb, mint 23 31 = 713. Ezekből kapjuk, hogy a 123 lakos életkorának összege kevesebb, mint 713 + 3100 = 3813, ami ellentmondásban van a feladat föltételével. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 3 / 17

Haj-jaj Anatómia: az embereknek kevesebb, mint 200000 hajszála van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 4 / 17

Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 5 / 17

Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 5 / 17

Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 5 / 17

Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: 200000 csoport. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 5 / 17

Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb. 423751 (2007.01.01.) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: 200000 csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 5 / 17

Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 6 / 17

Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. Mutassuk meg, hogy legalább a hét egyik napján, legalább 2 feladatot meg kell oldania, ha a határidőt tartani akarja. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 6 / 17

Skatulya elv (Pigeonhole-, Dirichlet-principle) Ha m testet osztunk szét n csoportba, és m > n k, k N, akkor legalább (k + 1) test kerül az egyik csoportba. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 7 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. A 4 szám paritását vizsgálva 3 b a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású 3 b a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan legalább 2 különbség páros L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan legalább 2 különbség páros A szorzat osztható 3-mal és 4-gyal, azaz 12-vel. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 8 / 17

Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 9 / 17

Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11. Bizonyítsuk be, hogy legalább 2 kék csúcs egy átló mentén, ellentétesen helyezkedik el. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 9 / 17

Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 10 / 17

Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 10 / 17

Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 10 / 17

Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 10 / 17

Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 10 / 17

Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 10 / 17

Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. Véve azon átmérőket, melyek legalább egyik vége piros, legföljebb 9 ilyet találunk. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 10 / 17

Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. Véve azon átmérőket, melyek legalább egyik vége piros, legföljebb 9 ilyet találunk. Van legalább 1 átmérő, amin nincs piros csúcs. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 10 / 17

Számrejtvény Keressük meg a kifejezés értékét, ha különböző betű különböző számjegyet jelöl, azonos betűk ugyanazt a számjegyet rejtik: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 11 / 17

Számrejtvény Keressük meg a kifejezés értékét, ha különböző betű különböző számjegyet jelöl, azonos betűk ugyanazt a számjegyet rejtik: D I R I C H L E T P R I N C I P L E L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 11 / 17

Az elkent" irracionálisok α Q, m, n Z L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 12 / 17

Az elkent" irracionálisok Bizonyítsuk be, hogy ε > 0 esetén α Q, m, n Z n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 12 / 17

Megoldás - naná, hogy skatulya elvvel Legyen M > 1/ε, és osszuk föl a (0; 1) intervallumot M egyenlő részre. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 13 / 17

{1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 14 / 17

{1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 14 / 17

{1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 14 / 17

{1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 14 / 17

{1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek {n 1 α} {n 2 α} < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 14 / 17

{1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek {n 1 α} {n 2 α} < ε. {n 1 α} = n 1 α [n 1 α] L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 14 / 17

{1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek {n 1 α} {n 2 α} < ε. {n 1 α} = n 1 α [n 1 α] (n 1 n 2 )α ([n 1 α] + [n 2 α]) = n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 14 / 17

Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 15 / 17

Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 15 / 17

Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 15 / 17

Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 15 / 17

Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második,... L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 15 / 17

Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második,... Megmutatjuk, hogy a (0; 1)-be eső valós számokat nem tudjuk sorozatba szedni. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 15 / 17

Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második,... Megmutatjuk, hogy a (0; 1)-be eső valós számokat nem tudjuk sorozatba szedni. Indirekt módon tegyük föl, hogy sorozatba rendezhetőek. Írjuk mindegyik számot tizedestört alakba úgy, hogy mindig a végtelen sok tizedesjegyű kifejtést választjuk, például (0, 5 = 0, 4999...). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 15 / 17

a ij {0, 1,..., 9} x 1 = 0, a 11 a 12 a 13..., x 2 = 0, a 21 a 22 a 23...,... L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 16 / 17

a ij {0, 1,..., 9} x 1 = 0, a 11 a 12 a 13..., x 2 = 0, a 21 a 22 a 23...,... y = 0, b 1 b 2 b 3... b n = { 1, ha ann 1; 2, ha a nn = 1. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 16 / 17

a ij {0, 1,..., 9} x 1 = 0, a 11 a 12 a 13..., x 2 = 0, a 21 a 22 a 23...,... y = 0, b 1 b 2 b 3... b n = { 1, ha ann 1; 2, ha a nn = 1. Föltételezésünkkel ellentétben y (0; 1), azaz mégsem mindegyik számot soroltuk föl. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 16 / 17

Búcsú Tanulság: skatulyázni jó L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 17 / 17

Búcsú Tanulság: skatulyázni jó de azért óvatosan L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 17 / 17

Búcsú Tanulság: skatulyázni jó de azért óvatosan Köszönöm a figyelmet! L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 17 / 17