2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság Utolsó módosítás: 2015. március 10.
Kezdeti érték nélküli problémák (1) 1 A fél-végtelen közeg a Az x=0 pontban a tartományban helyezkedik el. peremfeltétel teljesüljön. A téregyenlet: A peremfeltétel legyen (Fourier): Célszerű komplex alakban írni:
Kezdeti érték nélküli problémák (2) 2 Keressük a megoldást alakban. Behelyettesítés után a paraméterekre: Innen:
Kezdeti érték nélküli problémák (3) 3 Ezzel a hőmérséklet eloszlásra kapott függvény valós része: A korlátosságot csak a negatív előjellel vett függvény elégíti ki, így a hőmérséklet eloszlás:
Kezdeti érték nélküli problémák (4) 4 Hőmérsékleti hullámok A rezgések amplitúdója a mélységgel exponenciálisan csökken (Fourier I. törvénye): A hőmérsékletingadozásoknak a talajban fáziseltolódásuk van (Fourier II. törvénye):
Kezdeti érték nélküli problémák (5) 5 A hőmérsékletingadozás talajba való behatolásának mélysége a felületi hőmérsékletingadozás periódusától függ: Következmény: kisebb periódusidő, kisebb hőmérsékletingadozás behatolási mélység. A és periódusidők esetén az azonos csillapodási arány a az és értékeknél: Így: Fourier III. törvénye
Kezdeti érték nélküli problémák (6) 6 Pl. az évi és napi hőingadozások esetén a behatolási mélységek viszonya: A hőmérséklet maximumának késése A x mélységbeli fáziskéséshez tartozó idő:
Kezdeti érték nélküli problémák (7) 7 Mérési adatokból a hőmérséklet a mélység függvényében: A diffúzivitás az adatokból: Mélység (m) Amplitúdó ( ) 0 19,5 1 11,5 2 6,8 3 4,2 4 2,6 Így a késés:
Entrópia mérleg (1) A belső energia mérleg forrásmentes esetben: 8 ahol A Gibbs-reláció értelmében: Így: Továbbá:
Entrópia mérleg (2) 9 Behelyettesítés után: Átalakítva: Végül az entrópia mérlegegyenlete Ahol az entrópiaprodukció pozitív definit:
Kereszteffektusok (1) 10 Peltier-effektus Seebeck-effektus Soret-effektus Dufour-effektus diffúziós potenciál elektromos diffúzió termo-mechanikai effektus mechano-kalorikus effektus
Kereszteffektusok (2) 11 Onsager (1931) Termodinamikai erők az intenzív mennyiségek gradiensei: Termodinamikai áramok: A vezetési együtthatókra fenn áll: Az entrópiaprodukció teljesítve a termodinamika II. főtétele elvárásait:
Elektromos transzport (1) 12 Jelölje a fajlagos töltéssűrűséget. Ezzel a töltésmérleg: A fejlődő Joule-hő miatt a belsőenergia mérleg (a termikus effektusok elhagyása mellett): Az elektron tömegére vonatkoztatott töltés: Az elektronok tömegtörtje: Ezekkel:
Elektromos transzport (2) 13 A Gibbs-reláció: ahol elektronok kémiai potenciálja. Behelyettesítve és átrendezve: Az entrópiamérleg:
Elektromos transzport (3) 14 Az entrópiaáram-sűrűség: Az entrópia-produkció: Az áram-erő kapcsolat: A második tag elhanyagolásával az Ohm-törvény áll elő: vagy Az entrópia-produkció:
Elektromos transzport (4) 15 Külső H mágneses tér jelenléte esetén az r ellenállás másodrendű tenzor lesz a tér által okozott anizotrópia miatt. Az Onsager-Casimir reciprocitás reláció (axiál-vektorokra érvényes, antiszimmetrikus vezetési mátrix): Ha az áramok és gradiensek az x-y síkban vannak, a mágneses tér z irányú, ekkor az ellenállás tenzor: Izoterm Hall-effektus, kvantum Hall-effektus
Termoelektromosság (1) 16 A belső energia mérlege: Korábbról: Behelyettesítés után:
Termoelektromosság (2) 17 Entrópiaáram-sűrűség: Az entrópia produkció: Az entrópia- és elektromos áramok kifejezései:
Termoelektromosság (3) 18 Vezetési együtthatók Hővezetési együttható: Peltier-együttható: Seebeck-együttható: Elektromos vezetőképesség: ellenállás:
Termoelektromosság (4) 19 Így: (második Kelvin reláció) Peltier-effektus: a kezdeti mellett áram hatására hőáram indul meg. Seebeck-effektus: mellett a hőmérsékletkülönbség potenciálkülönbséget hoz létre.
Termoelektromosság (5) 20 Thomson-hő (Seebeck- és Peltier-effektusok együttes jelenléte): a belső energia mérleg egyenletébe történő helyettesítéssel, figyelembe véve, hogy
Termoelektromosság (6) 21 Állandó hőmérséklet esetén csak a Joule-hő és a Peltier-effektus járul hozzá a disszipációhoz. Hőmérséklet különbség esetén egy további tag, a Thomson-hő is megjelenik. Thomson-együttható:, amely a -vel
Termoelektromosság (7) 22 Termo-elektromos generátorok hatásfoka Az l hosszúságú vezető y=0 pontjában, az y=l pontjában hőmérséklet van. A elhanyagolásával: A Seebeck-effektus és a Joule-hő figyelembe vételével a hasznos felületi elektromos teljesítmény-sűrűség:
Termoelektromosság (8) 23 A teljes energiaáram-sűrűség a belső energia áramával és a második Kelvin reláció figyelembe vételéve: A hatásfok:
Termoelektromosság (9) 24 A Carnot-körfolyamat hatásfoka: Ezzel: Bevezetve a jelölést:
Termoelektromosság (10) 25 Az maximuma: Így a maximális hatásfok: