A fa ordók geometriájáról Érdekesnek ígérkezik a címbeli témán elmolyolni egy keveset. Itt, bár vannak, nem nagyon kell keresni az elméleti mélységeket, iszen ez csak egy ujjgyakorlat lesz. A könyvekben lapozgatva azt láttam, ogy leginkább az alábbi árom dongaalak - fajta fordul elő, közelítésként: a koszinusz -, a parabola - és a körív - darab szerinti. Ezeket mutatom meg együtt egy példán, az 1. ábrán. 1.1 y ( m ) f(x)=/4+1/4*cos(pi*x/) f(x)=(1-1/4*x*x) f(x)=(-9/8+sqrt((17/8)^()-x*x)) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0. 0. 0.1 x ( m ) -1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0. -0. -0.1 0.1 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 1. ábra Jól látszik, ogy a példabeli görbék csak kevéssé térnek el egymástól. Először ezek egyenletét írjuk fel. I. A ordódonga alakjának koszinusz - görbével való közelítése Erre a dongagörbe - fajtára [ 1 ] - ben bukkantam rá. Ott nem pont úgy dolgoztak vele, mint én itt. Az alkalmazott jelöléseket a. ábrán mutatom meg. A ordó sugara egy y x = r + R r cos α x ( 1 ) ( ) ( ) ( ) alakú függvénnyel írató le, aol:
. ábra x, r y R. ( ) Az α( x ) argumentum megatározásáoz az alábbi arányosságot alkalmazzuk: α x =, / / innen: x α =. ( ) Most ( 1 ) és ( ) - mal: x ( ) = + ( ) cos. y x r R r ( 4 ) Az ábrázolási példáoz választott adatok: R = 1 m; r = / 4 m; = m. ( A ) Majd ( 4 ) és ( A ) - val: x y ( x) = / 4 + 1/ 4 cos ( m ). ( 5 ) Az ( 5 ) függvény grafikonja a. ábrán szemlélető.
1.1 y ( m ) f(x)=/4+1/4*cos(pi*x/) r(t)=1/cos(t) r(t)=-1/cos(t) f(x)=0.75 1 Koszinusz - függvény 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0. 0. 0.1-1. -1. -1.1-1 -0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0. -0. -0.1 0.1 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 1. x ( m ) -0.1. ábra II. A ordódonga alakjának parabola - görbével való közelítése Ez a téma részletesen kidolgozva megtalálató [ ] - ben is. A. ábra jelöléseivel a másodfokú parabola egyenlete: ( ), y x = R k x ( 6 ) aol k egy megatározandó állandó. Megatározásáoz azt a feltételt asználjuk fel, ogy y x = = r ; ( 7 ) most ( 6 ) és ( 7 ) - tel: r = R k innen: R r k = ;, ( 8 ) ( 9 )
4 ezután ( 6 ) és ( 9 ) - cel: x y ( x) = R 4 ( R r). ( 10 ) Most ( 10 ) és ( A ) - val számszerűen: 1 y ( x) = 1 x ( m ). ( 11 ) 4 A ( 11 ) függvény grafikonja a 4. ábrán szemlélető. 1.1 y ( m ) f(x)=(1-1/4*x*x) r(t)=1/cos(t) r(t)=-1/cos(t) f(x)=0.75 1 Parabola 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0. 0. 0.1-1. -1.1-1 -0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0. -0. -0.1 0.1 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. x ( m ) 4. ábra III. A ordódonga alakjának körívvel való közelítése Először megatározzuk a körív ρ sugarát. Eez tekintsük az 5. ábrát is! Pitagorász tételével kapjuk, ogy ( f ) ρ = ρ +, ( 1 ) aol: f = R r. ( 1 )
5 5. ábra Most ( 1 ) - t kifejtve és rendezve: ρ = ρ f ρ + f +, f f, ρ = + f + f ρ = = + f 8 f, teát: f ρ = + 8 f. ( 14 ) Majd ( 1 ) és ( 14 ) - gyel: ρ = R r. + 8 R r ( ) ( 15 ) Most felírjuk a kör egyenletét. Eez tekintsük a 6. ábrát is! A donga - körív egy kiválasztott P pontjára Pitagorász - tétellel, elagyva a P indexet: X + Y = ρ Y = ρ X ; ( 16 ) ámde a 6. ábra szerint is fennállnak az alábbi összefüggések:
6 6. ábra X = x, Y = y + a, a = ρ R, ( 17 ) így ( 16 ) és ( 17 ) - tel kapjuk, ogy ( y + a) = ρ x y + a = ρ x y = ρ x a = ρ x ( ρ R), teát: ( ) ( ) y x = ρ x ρ R. ( 18 ) Most ( A ), ( 15 ) és ( 18 ) - cal: ( ) y x 17 9 x (m). = 8 8 ( 19 ) A ( 19 ) függvény grafikonja a 7. ábrán szemlélető.
7 1.1 1 y f(x)=sqrt(sqr(17/8)-sqr(x))-9/8 r(t)=1/cos(t) r(t)=-1/cos(t) f(x)=0.75 Körív 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0. 0. 0.1 x -1. -1.1-1 -0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0. -0. -0.1 0.1 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. -0.1 7. ábra Eddig a donga alakjával foglalkoztunk. Most megatározzuk az adott donga - alakú ordó térfogatát. A forgástest térfogatát megadó általános képlet [ 1 ], [ ], [ ] : V y x dx ( ) = ; ( 0 ) azonban a szimmetria miatt elegendő a félordó térfogat - képletével dolgoznunk, majd a kapott eredmény kétszeresét vennünk:. 0 ( ) V = y x dx ( 1 ) A térfogat - eredményre egy további ellenőrzést ad az alábbi reláció: enger enger V < V < V r < V < R. ( ) r ordó R ordó 1. A koszinusz - görbe dongájú ordó térfogatának megatározása Most ( 4 ) és ( 1 ) - gyel: 0 x Vcos = r + ( R r) cos dx. ( )
8 Most az x u( x) = ( 4 ) elyettesítéssel ( 4 ) és ( 4 ) szerint adódik, ogy y ( u) = r + ( R r) cos u( x), u ( x = 0) = 0, u x = =, dx = du. ( 5 ) Majd ( ) és ( 5 ) - tel: cos ( ) ( 6 ) 0 V = r + R r cos u du I. Az I atározott integrál kiszámítása az alábbiak szerinti. ( ) ( ) ( ) I = r R r cos u du r r R r cosu R r cos u + = + + du = 0 0 ( ) ( ) = r du + r R r cos u du + R r cos u du = 0 0 0 ( ) ( ) = r du + r R r cos u du + R r cos u du = 0 0 0 ( ) ( ) r I1 r R r I R r I = + +, teát: ( ) ( ) I = r I1 + r R r I + R r I, 1 =, = cos, = cos. 0 0 0 I du I u du I u du ( 7 ) Az I i ( i : 1,, ) integrálokoz [ ] táblázatából vesszük ki a primitív függvényeket:
9 I [ ] 1 = du = u = 0 = ; 0 0 I [ ] = cos u du = sin u = sin sin 0 = 1 0 = 1 ; 0 0 1 1 1 1 I = cos u du = u + sin ( u) 0 sin sin ( 0) 4 = + = 0 0 4 1 = + ( sin ( ) sin ( 0 )) =. 4 4 4 ( 8 ) Ezután ( 7 ) és ( 8 ) - cal: I = r + r ( R r) + ( R r) = 4 = r + r R r + ( R R r + r ) = 4 = r + + r R + R, 4 4 teát: I r r R = + + R ; 4 4 ( 9 ) majd ( 6 ) és ( 9 ) - cel: Vcos = r + r R + R = 4 r + ( 4 ) r R + R, 4 4 teát: Vcos = 4 r + ( 4 ) r R + R. ( 0 ) Most áttérünk a sugarakról a könnyebben mérető átmérőkre az d r =, D R = ( 1 )
10 képletekkel. Ekkor ( 0 ) és ( 1 ) - gyel: Vcos = 4 ( 4 ) 4 d + d D + D = = ( 8) d + ( 8 ) d D + D, 8 teát: Vcos = ( 8) d + ( 8 ) d D + D. 8 ( ) Számpélda Most ( A ) és ( 0 ) szerint: 9 Vcos = ( m ) 4 + ( 4 ) 1+ 1 ( m ) = 5, 064176 m 5, 06 ( m ), 16 4 teát: Vcos 5, 06 m. ( E cos - 1 ) Ugyanezt numerikus integrálással elvégezve 8. ábra: 8. ábra Vcos 5, 06 m. ( E cos - )
11 Ez megegyezik ( E cos - 1 ) - gyel. Most ( ) szerint is ellenőrizve: r < Vordó < R, Vordó,cos 5, 06 ( m ), 9 < r = ( m ) ( m),54 ( m ), 16 R = 1 ( m ) ( m) 6, 8 ( m ),,54 m < 5,06 m 6,8 m. Ez is teljesül.. A parabola - dongájú ordó térfogatának megatározása Most ( 10 ) és ( 1 ) - gyel: x Vpar = R 4 ( R r) dx = J, 0 ( ) 4 x x x J = R 4 ( R r) dx = R 8 R ( R r) + 16 ( R r) dx = 0 0 R ( R r) ( R r) 4 8 16 4 0 0 0 = R dx x dx + x dx = ( ) 5 R R r x ( R r) x = R [ x] 8 16 0 + 4 5 0 0 ( ) ( ) 5 8 R R r 16 R r 4 = R + = R R ( R r) + ( R r) = 8 5 10 1 1 R R ( R r) ( R r) R R R r ( R R r r ) 5 5 = + = + + + = 1 1 1 8 R R r r R 5 5 5 15 = 8 R + 4 R r + r, 15 = + + + = + = R r 4 15 15 + r = teát: J = 8 R + 4 R r + r ; 0 ( 4 )
1 majd ( ) és ( 4 ) - gyel: Vpar = 8 R + 4 R r + r. 15 ( 5 ) Ezután ( 1 ) és ( 5 ) - tel: Vpar = D D d d. 15 + + 4 ( 6 ) Ezt a képletet [ ] - ben is levezetik. Számpélda Most ( A ) és ( 5 ) szerint: ( m ) 9 = 8 1 4 1 ( m ) 5,145757 ( m ) 5,145 ( m ), 15 + + = 4 16 V par teát: Vpar 5,145 m. ( E par - 1 ) Ugyanezt numerikus integrálással elvégezve 9. ábra: 9. ábra
1 Vpar 5,145 m. ( E par - ) Ez megegyezik ( E par - 1 ) - gyel. Most ( ) szerint is ellenőrizve: r < Vordó < R, Vordó, par 5,145 ( m ), 9 < r = ( m ) ( m),54 ( m ), 16 R = 1 ( m ) ( m) 6, 8 ( m ),,54 m < 5,145 m 6, 8 m. Ez is teljesül.. A körív - dongájú ordó térfogatának megatározása Most ( 18 ) és ( 1 ) - gyel: 0 ( ) Vkör = x R ρ ρ dx = K, ( 7 ) aol: K x R x R dx 0 ( ) ( ) = ρ ρ ρ + ρ = ( ) ( ) = ρ + ρ R dx x dx ρ R ρ x dx = 0 0 0 x 1 x ( R) [ x] ( R) x x arcsin 0 0 0 = ρ + ρ ρ ρ + ρ = ρ ρ + ρ arcsin = 8 ρ 1 1 = ρ + ρ ρ ( R) ( R) = ρ + ( ρ R) ( ρ R) ρ + ρ arcsin, 1 ρ teát:
14 K = ρ + ( ρ R) ( ρ R) ρ + ρ arcsin. 1 ρ ( 8 ) Most ( 7 ) és ( 8 ) - cal: Vkör = ρ + ( ρ R) ( ρ R) ρ + ρ arcsin = 1 ρ teát: V arcsin 1 ρ 1 1 1 1, ρ ρ ρ ρ ρ R R = ρ + + arcsin 1 ρ 1 1 1 1. ρ ρ ρ ρ ρ R R kör = ρ + + ( 9 ) Számpélda Most ( A ) és ( 15 ) - tel: 17 R 1 8 9 8 ρ = (m), 1 = 1 = 1 = ; = =. 8 17 17 17 17 ρ ρ 17 8 8 ( B ) Majd ( 9 ) és ( B ) - vel: 8 arcsin 17 9 1 8 9 8 V (m) (m ) 1 1 17 kör = + + = 8 17 17 17 17 8 17 = teát: 5,769658 m,
15 Vkör 5,77 m. ( E kör - 1 ) Ugyanezt numerikus integrálással elvégezve 10. ábra: 10. ábra Vkör 5,77 m. ( E kör - ) Ez megegyezik ( E kör - 1 ) - gyel. Most ( ) szerint is ellenőrizve: r < Vordó < R, Vordó, kör 5,77 ( m ), 9 < r = ( m ) ( m),54 ( m ), 16 R = 1 ( m ) ( m) 6, 8 ( m ), Ez is teljesül.,54 m < 5,77 m 6, 8 m.
16 Megjegyzések: M1. A számpélda - térfogatok összegyűjtve: Vcos 5, 06 m, Vpar 5,145 m, ( C ) Vkör 5,77 m. Eszerint a körrel való közelítéssel kapjuk a legnagyobb térfogatot; v. ö.: 1. ábra. A legnagyobb és a legkisebb térfogat százalékos eltérése: 5,77 m 5,06 m δ V = 100 =,0 %, ( D ) 5,77 m ami nem nagy érték. M. A térfogatszámítás során árom lépcsőt jártunk be: ~ integrálás primitív függvénnyel, ~ integrálás numerikusan, ~ ellenőrzés a közrefogó engerek térfogatával. Ez elsőre talán túlzásnak tűnet. Hogy nem az, azt maga az élet mutatja meg minden - kinek. Például a primitív függvénnyel való számolás közben elkövetett ibát valószí - nűleg felderítetjük a numerikus integrálással, majd mindkettőt ellenőrzi akár csak nagyságrendileg is a közrefogásos lépés. Minden ellenőrzés aranyat ér! Ugyanis a napi munkában valószínűtlen, ogy valaki majd megmondja nekünk a elyes ered - ményt. Aoz neki is valami asonló utat kell bejárnia. M. Nem került szóba, ogy a donga - alakok közelítése mennyire megalapozott, fizikailag. Eez jól kellene ismernünk a fa ordógyártás tecnológiáját, melynek alapján fizikai modell(eke)t kellene alkotnunk, azzal alapozva meg a dongaválasztást. Ez még odébb van. M4. Olvastuk, ogy a fa ordóknál fontos az egységnyi térfogatra jutó nedvesített fe - lület is; minél kisebb a ordó, annál nagyobb a fajlagos felülete, s annál intenzívebb a beoldódás ttp://u.wikipedia.org/wiki/p%c%a1linkaf%c5%91z%c%a9s. M5. Eredményeinket dl - pontossággal adtuk meg; ez még értékes mennyiség leet. M6. Találtunk témánkban régebbi írásokat is, de ezek szövege ma már alig értető; pl.: ttp://erdeszetilapok.oszk.u/00054/pdf/el_19_1_51-61.pdf M7. Magyarul meglepően kevés elyen találtunk témánkba vágó képleteket. Főként kézikönyvekben, részletes levezetés nélkül, kivéve [ ] - t. Érdekes a 11. ábrán látató szöveg, melynek forrása: ttp://www.gyogyszeresztortenet.u/letolt/gyakorlati_gyogyszereszet_1.pdf.
17 Az itt közölt képlet, a mi jelöléseinkkel: 11. ábra R + r V =, ( 40 ) Ez egy olyan elyettesítő enger térfogatát adja meg, melynek sugara a ordó középső és alsó / felső sugarainak súlyozott számtani átlaga. Alkalmazzuk ( 40 ) - et, ( A ) - val! Ekkor kapjuk, ogy 1+ / 4 V = m 5,796 m. ( 40 / 1 ) Ez nagyobb a koszinuszos térfogatnál, de kisebb a másik kettőnél. Egészen jó! Továbbá egyszerűbb a ( 40 ) képlet alkalmazása, mint a fentebb levezetetteké. M8. Megemlítjük, ogy a elyettesítő engert gyakran alkalmazzuk a farönkök térfogatának közelítő megatározására is, persze másfajta módon.
18 M9. A 11. ábrán mérőedényt is látunk, mellyel a gyakorlatban elegendő pontossággal megatározatjuk a ordóban lévő folyadék térfogatát. M10. A [ 4 ] zsebkönyvben is a parabola dongájú ordó térfogat - számítási képletét adják meg, nem említve a donga alakját. Az [ 5 ] zsebkönyvben is a körív dongájú ordó térfogatának számítására a következő közelítő képletet adják meg, a fenti jelölésekkel: Vkör ( D + d ). ( 41 ) 1 Ez felteetően úgy állt elő, ogy ( 9 ) - ben sorbafejtést és elanyagolásokat alkal - maztak. Láttuk, ogy a körív - donga esetéez tartozó térfogat a legnagyobb a fentiek közül, így az elanyagolásokkal is asználató térfogat - közelítést kapatunk. Nézzük meg, így van - e! ( 41 ) - re alkalmazva ( A ) - t: V kör + m 5,669 m. ( 41 / 1 ) 1 Ez jóval nagyobb, mint az 5,77 m - es pontos érték! Hoppá! Ezt nem árt tudni! A [ 6 ], [ 7 ] kézikönyvekben a ( 41 ) és a ( 4 / ) szerinti képletek is szerepelnek, a donga - alak megadásával. M11. A 1. ábra egy gönci ordót mutat. Gönci ordó forrás: ttp://vinopedia.u/gonci-ordo 1. ábra
19 M1. Fentiek megírása után még nézelődtem egy keveset az interneten, és ismerős képletekre bukkantam, itt: ttp://www.matematik.uni-dortmund.de/~klinker/paper/gauss_klinker.pdf. Innen származik a 1. ábra is. 1. ábra Ez azért érdekes, mert megmutatják, ogy az ellipszis ívdarabnak a nagytengelye körüli megforgatásával előálló ordótest térfogatát a ( 41 ) képlet jobb oldala pontosan adja meg, azaz Vell = ( D + d ). ( 41 / ) 1 Ezt sem árt tudni! Ez azt is jelenteti, ogy a ( 41 ) képlettel kapcsolatos feltevésem elytelen: nem a kör - dongájú ordó pontos térfogat - képletének közelítő alakjá - val, anem az ellipszis - dongájú ordó pontos térfogat - képletének a kör dongájú ordóra való közelítő alkalmazásával van itt dolgunk. A sugarakkal felírt ( 41 / ) képletet egyébként a Kepler - féle ordószabályként emlegetik. Ezután ugyanitt levezetik a ( 9 ) képletünket kicsit más alakban felírva, majd bemutatnak egy összeasonlító táblázatot, a ( 9 ) és ( 41 ) képletekkel való számítás eredményeire. Végül megállapítják, ogy a körív - donga esetére a Kepler - szabályt alkalmazni nem alaptalan. Mindezt azért részleteztük, mert örömünkre szolgál, ogy van olyan része e világnak, aol ezekkel a mellékesnek tűnő kérdésekkel alaposabban foglalkoznak. M1. Joannes Kepler (1571 ~ 160 ), a íres német matematikus, csillagász és optikus talán kevésbé ismert műve A borosordók új térfogatméréséről (1615) ; ld.: ttp://u.wikipedia.org/wiki/joannes_kepler. Nem véletlen, ogy eredménye itt is szóba került. M14. Egy további közelítő képletet találatunk a körív dongájú ordó térfogatára [ ] - ban. Erről azonban könnyű kimutatni, ogy megegyezik ( 40 ) - nel.
0 A ordódonga - alakok egyenlete: Az eredmények összefoglalása x ycos ( x) = r + ( R r) cos ;... x y par ( x) = R 4 ( R r) ;... ykör ( x) = ρ x ( ρ R), R r ρ =. + 8 ( R r) ( 4 ) A ordótérfogatok képletei: Vcos = ( 8) ( 8 ), 8 d + d D + D... Vpar = D + D d + d, 15 4... arcsin D 1 D ρ Vkör = ρ 1 + 1 1 1 + ρ ρ ρ ρ ρ D d ρ = +. 4 4 ( D d ) ( 4 ) Látjuk, ogy a parabola - közelítés eredményei az egyszerűbbek. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Végül megemlítem, ogy egy még sosem látott képletet is találtam 14. ábra. Forrása: ttp://erdeszetilapok.oszk.u/0107/pdf/el_195_04_69-81.pdf
1 14. ábra Remélem, áttekintésünk nem volt aszontalan! Irodalom: [ 1 ] Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok A. V*. Határozott integrál ( Első rész ) Tankönyvkiadó, Budapest, 197., 194. o. [ ] Reiman István: Matematika Typotex, Budapest, 011., 54. o. [ ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 196. [ 4 ] Szerk. Fogarasi Miály: Mélyépítő művezetők és tecnikusok zsebkönyve. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1960., 48. o. [ 5 ] Szerk. Hir Alajos: Építők zsebkönyve 4. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980., 15. o. [ 6 ] Szerk. Palotás László: Mérnöki kézikönyv I. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981., 76. o. [ 7 ] Szerk. Boldizsár Tibor: Bányászati kézikönyv I. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1956., 46. o. Sződliget, 014. február 8. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár