1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú merev rudat, úgy, hogy egyik vége a két egyenes A 0 metszéspontjára illeszkedik. Ezután a rudat mozgásba hozzuk: A végpontja az a egyenesen, B végpontja a b egyenesen halad, amíg tud. Írjuk le a rúd mozgását! Az 1. ábrán feltüntettük a rúd végpontjainak s A és s B elmozdulását, v A és v B sebességét, valamint φ szögelfordulását és ω szögsebességét is. Az 1. ábra alapján közvetlenül felírhatók az alábbi összefüggések. ( 1 ) innen pedig: ( 2 ) A szögsebesség kifejezése ( 1 ) idő szerinti differenciálásával: ( 3 ) mivel ( 4 )
2 így ( 3 ) és ( 4 ) szerint: innen pedig: ( 5 ) Felhasználva, hogy itt ( 5 ) és ( 6 ) - tal: ( 6 ) ( 7 ) Most ( 1 ) és ( 7 ) szerint: tehát: ( 8 ) A ( 2 ) és ( 8 ) képletek adják a rúd szögelfordulásának és szögsebességének kifejezését az s A elmozdulás függvényében. Ismét az 1. ábra alapján írhatjuk, hogy innen: Most ( 1 ), ( 6 ) és ( 9 ) - cel: ( 9 ) ( 10 ) A v A sebesség v A skalárja ( 9 ) idő szerinti differenciálásával: ( 11 ) majd ( 1 ), ( 4 ) és ( 11 ) - gyel:
3 ( 12 ) ezután ( 8 ) és ( 12 ) - vel: tehát: ( 13 ) A ( 10 ) és ( 13 ) képletek a B rúdvégpont elmozdulását és sebességének skalárját adják meg az s A elmozdulás függvényében. Megjegyzések: M1. A v B mennyiség kiszámítása közvetlenül ( 10 ) idő szerinti differenciálásával így alakul: mint ( 13 ) - nál.
4 M2. E feladat lehetőséget ad egy érdekes és fontos tétel bemutatására is. Az 1. ábra alapján: innen: ( 14 ) Ezt az idő szerint differenciálva: ( 15 ) ezután ( 5 ) és ( 15 ) - tel: tehát: ( 16 ) Utóbbit átrendezve: ( 17 ) Szavakban: a síkmozgást végző egyenes merev rúd pontjai sebességeinek tengelyirányú ( rúdirányú ) komponensei egymással egyenlő ( ) nagyságúak v.ö.: [ 1 ]. Ezt szemlélteti a 2. ábra is. 2. ábra A mondottak szerint az 1. ábrán v B nyila a rajzolttal ellentétesre választandó!
5 A C pont a rúd pillanatnyi forgáspontja, momentán centruma. A rúd egyes pontjai sebes - ségének nagysága az ettől mért távolsággal arányos mennyiségek: ( 18 ) M3. Az A pont v A sebességének v A nagyságát tetszőlegesen felvehetjük; pl.: Ekkor ha t = 0 - nál s A = 0 : ( 19 ) ( 20 ) A mozgás során is az AB = d kapcsolat fennáll. Azután a rúd megáll, hiszen nyújthatatlan. Minthogy a négyzetgyökös mennyiségeinkre kirótt feltétel, hogy a gyökjel alatt nem - negatív szám állhat csak, így kell, hogy ( 21 ) Megemlítjük, hogy a ( 16 ) - ból is következően: A mozgás T időtartama ( 20 ) és ( 21 ) szerint: ( 22 ) ( 23 ) M4. Írjuk át a ( 13 ) képletet egy másik alakba, ( 1 ) és ( 2 ) - vel is! tehát: ( 24 ) Ezt más képletekkel is megtehetjük ld. alább! M5. Egy számpéldán mutatjuk be képleteink működését. Adatok: α = 45, d = 1 m, v A = 0,1 m / s. ( A ) A szögelfordulás függvénye ( 2 ) - vel és ( A ) - val:
6 ( S1 ) Az ( S1 ) függvényt a 3. ábra mutatja. 3. ábra A B rúdvégi elmozdulás függvénye ( 2 ) és ( 9 ) szerint:. ( 25 ) Most ( 25 ) és ( A ) - val: ( S2 ) Az ( S2 ) függvényt az 4. ábra mutatja.
7 4. ábra A rúd szögsebességének függvénye ( 2 ) és ( 5 ) - tel: ( 26 ) Majd ( 26 ) és ( A ) - val:. ( S3 ) Az ( S3 ) függvényt a 5. ábra mutatja.
8 5. ábra A B rúdvégi sebesség függvénye ( 24 ) és ( A ) - val: ( S4 ) Az ( S4 ) függvényt a 6. ábra mutatja. Némiképpen meglepő fejlemény, hogy a B rúdvég a mozgás vége felé már nem balról jobbra, hanem jobbról balra mozog, vagyis v B előjelet váltott menet közben. Megemlítjük, hogy ( 2 ) és ( 16 ) szerint: ( 27 ) Most ( 27 ) és ( A ) - val: ( S5 ) Az ( S5 ) függvényt a 7. ábra mutatja.
9 6. ábra 7. ábra
10 Látjuk, hogy a 6. és a 7. ábra megegyezik, vagyis v B kétféle függvénye ugyanazt adja. A két különbözőnek látszó függvény azonos átalakításokkal egy alakra hozható. Most rakjuk össze magunkban a mozgás folyamatát, grafikonjainkat is segítségül hívva! Ehhez tekintsük a 8. ábrát is! 8. ábra Itt az 1 másodpercenként adódó rúd - helyzeteket tüntettük fel. A teljes mozgás időtartama ( 23 ) szerint: ( S6 ) M6. Amíg a v A sebesség nagyságáról, addig a v B sebesség skaláris értékéről beszéltünk. Láttuk, hogy v A nem vált előjelet, tehát nagysága vektorának abszolút értéke és skalárja megegyezik.
11 M7. A 8. ábra készítéséhez felhasználtuk a B végponti x - koordináta időfüggvényét is, ami az 1. ábráról leolvashatóan a ( 19 ) szerinti esetben az alábbi: ( 28 ) M8. Most határozzuk meg a momentán centrum pályáját is! Ehhez térjünk vissza a 2. ábrához! Vegyünk fel egy A 0 kezdőpontú, a b egyenessel egy - beeső x - tengelyű A 0 x y derékszögű koordináta - rendszert! A C momentán centrum koordinátáira közvetlenül írhatjuk, hogy ( 29 ) ( 30 ) ( 29 ) és ( 30 ) négyzetösszegének képzésével: ( 31 ) Eszerint a C momentán centrum egy A 0 középpontú, R = d / sinα sugarú köríven mozog. Az ( A ) adatokkal készült a 9. ábra. 9. ábra
12 M9. [ 1 ] - ben megvizsgálják az α = 90 speciális esetet. Itt megemlítik, hogy eredmé - nyeik abban az esetben is érvényesek, amikor az A és B pontok egyenes pályája nem derékszögben hajlik egymáshoz. Az eredmények között vannak az alábbiak is: ~ az álló pólusgörbe kör, melynek sugara itteni jelöléseinkkel d, középpontja pedig az a és b egyenesek metszéspontja; ~ a mozgó pólusgörbe is kör, melynek sugara R = d / 2, középpontja pedig az AB szakasz felezőpontjában van. Mi a 9. ábrán az álló pólusgörbét rajzoltuk meg. Ezen gördül le belülről az r = d / ( 2 sinα ) sugarú mozgó pólusgörbe, a merev rúd mozgása során. M10. A 10. ábrán egy másik felvétellel éltünk: α = 26,6. Azt is láthatjuk, hogy a mozgás kezdetén ( piros kör ), a mozgás folyamán ( lila és sárga kör ), valamint a mozgás végén ( bordó kör ) hol helyezkedik el a mozgó póluskör a ( kék ) álló póluskörön. A mozgó rúd A 2 B 2 helyzetében: v A2 = d ω 2, v B2 = 0. 10. ábra M11. A mozgó póluskör néhány adatának meghatározása a 11. ábra szerint is lehetséges.
13 11. ábra A szögek megjelölésénél felhasználtuk az ugyanazon köríven nyugvó kerületi és közép - ponti szögek között fennálló kapcsolatot is. A 11. ábráról leolvashatók az ( 32 ) ( 33 ) ( 34 ) összefüggések, ahol felhasználtuk az ( 5 ), ( 29 ) és ( 30 ) képleteket is. Továbbá a pólusvándorlás sebességére ( 5 ) és ( 31 ) - gyel írhatjuk, hogy ( 35 ) M12. A 9. és 11. ábrákat összehasonlítva látható, hogy a C momentán centrum mozgása az általánosabb esetben is egy negyed kör íve mentén történik, a C 0 kezdő és a C 1 végpontok között. M13. Javasoljuk az érdeklődő Olvasónak az α = 90 speciális eset önálló feldolgozását! M14. A fentiek alapján feladatunkat így is megfogalmazhatjuk: ~ adott: α, d, s A, illetve v A ; ~ keresett: φ, ω, s B, v B, T, R, r, u.
14 M15. Látjuk, hogy az egymással α szöget bezáró a és b egyeneseken mozgó A és B vég - pontú, d = AB hosszúságú merev rúd mozgása leírható úgy is, hogy egy R = d / sinα sugarú körív belsejében csúszás nélkül legördül egy r = R / 2 sugarú kör, melynek d hosz - szúságú húrja a merev egyenes rúd tengelye. Ekkor az A és B pontok egyenesbevezetése valósul meg. Az így megoldott egyenesbevezetési problémát Cardano problémájának, a mondott pólusgörbéket pedig kardánköröknek is nevezik [ 1 ]. M16. Hosszas keresés után találtam rá az itteni, α 90 esetére vonatkozó feladat megoldására az általam elért szakirodalomban [ 2 ]. Hasonló részfeladat feladását és egyes részmegoldások közlését találtam meg [ 3 ] - ban. Mindezeket az után, hogy lénye - gében végeztem ezzel a dolgozattal. Az ebből kimaradt, fontosnak vélt kérdések megbe - szélésére várhatóan egy kiegészítésben kerül sor. Irodalom: [ 1 ] Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966., 79-82. o. [ 2 ] Karl Wolf: Lehrbuch der Technischen Mechanik starrer Systeme Verlag von Julius Springer, Wien, 1931., 205-206. o. [ 3 ] Lawrence E. Goodman ~ William H. Warner: Dynamics Dover Publication Inc., Mineola, New York, 2001., 272-273. o. Sződliget, 2016. 03. 27. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár