1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma, terjedelme, mediánja, módusza, alsó- és felső kvartilise, átlaga? Rajzold fel a minta alapján szerkeszthető hisztogrammot. A minta minimuma 1, maximuma 7, terjedelme 6. Módusza (ebből van a legtöbb). A 19 mintának a mediánja (10. elem): 3. Alsó kvartilise a 4-5. elem átlaga azaz. Felső kvartilise a 14-15. elem átlaga, azaz 3,5. Átlaga,94. Hisztogrammot mindenkinek a fantáziájára bízom.. feladat. Eloszlásról a következőt tudom. Elemszáma 11, minimuma 3, terjedelme 4, módusza és mediánja 5, alsó kvartilise 3,5, felső kvartilise 5. Rajzold fel vázlatosan az eloszlás hisztogrammját. Tegyük fel, hogy a minták növekvő sorba vannak rendezve (a mediánhoz úgyis kell). Az eloszlás legkisebb eleme 3, ez legyen az 1. elem. A legnagyobb (utolsó) elem 7. A mediánja a 6. elem, ami 5. Az alsó kvartilise a 3-4 elemek átlaga, így a 3. elem 3, a 4. elem 4. A felső kvartilis a 8-9 elemek átlaga, mindkettő 5. Ezek után biztos, hogy a. elem 3-as, a 7. elem meg 5-ös. Legtöbb 5-ösből van. Ez már teljesül. Az 5. elem 4 vagy 5, a 10. elem 5-7, leginkább 6. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 3 4 5 5 5 7 3. feladat. Egy tenyésztett, 34 egyedből álló kutyapopulációban a kutyák átlagos hossza 64.5 cm, szórásuk. cm. Milyen kétoldali 75%-os konfidencia intervallumba esik a kutyák hossza? s A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /, df ). A t eloszlásnál ne feledjük, hogy 75% n konfidenciaintervallumnál nézzük, azaz a 1,5%-os valószínűségnél kell az inverzét megnézni (szabadsági fok 33). Ez 1,57. Így a 75%-os kétoldali konfidencia intervallum 64.5 ± 0.6 cm.
4. feladat: Egy tanulócsoporttal egy tesztet elvégeztettek a félév elején, s a félév végén, hogy lássák mennyit fejlődött a csoport. Feltételezzük, hogy a pontszámok normális eloszlásúak. 5%- os szignifikanciaszint mellett eredményesnek mondható-e az okítás? 1 91 94 97 95 3 75 80 4 78 75 5 76 79 6 70 75 7 65 51 8 75 63 9 55 9 10 8 89 11 77 71 1 73 87 Mindenekelőtt ki kell számolnunk a tesztek eredményeinek változását. Ezt követően a különbségekre kell tesztelni, hogy azok várhatóértéke 0-e. Ez lényegében egy párosított mintájú t próba. 1 91 94 3 97 95-3 75 80 5 4 78 75-3 5 76 79 3 6 70 75 5 7 65 51-14 8 75 63-1 9 55 9 37 10 8 89 7 11 77 71-6 1 73 87 14 H0: Az okításnak nincs hatása, a pontszám különbség = 0. H1: Az okításnak van hatása, a pontszámkülönbség 0. α=0,05 d 3.08 Próbastatisztika t = = = 0.800 s 13.34 1 d Kritikus érték t =,59 Mivel a érték nagyobb, mint a próbastatisztika, így a nullhipotézist α=0,05 szignifikanciaszint mellett elfogadjuk. Azaz az okításnak nincs szignifikáns hatása.
6. feladat: M&M cukorkák szín szerinti megoszlását vizsgáltuk. Felbontottunk egy dobozt, s egybeöntve megszámoltuk, hogy hány kék, narancs, sárga, zöld, piros és barna cukorka van bennük. Egyenlő arányban van bennük minden színből? Kék Narancs Sárga Zöld Barna Piros 5 8 0 19 1 31 H0: A cukorkák szín szerinti eloszlása egyenletes eloszlást követ. H1: A cukorkák szín szerint nem egyenletesen oszlanak el. α=0,05 Összesen 104 cukorka volt a dobozban. Ha egyenletesen lennének elosztva, akkor minden színből 17.3 darab lenne a dobozban. χ ( f F ) i i = = F i ( 5 17.3) ( 8 17.3) ( 0 17.3) ( 19 17.3) ( 1 17.3) ( 31 17.3) = + + + + + 17.3 17.3 17.3 17.3 17.3 17.3 = 5,93 Kritikus érték χ = 11,07 Mivel a érték kisebb, mint a próbastatisztika, így a nullhipotézist α=0,05 szignifikanciaszint mellett elvetjük. Azaz a M&M cukorkák szín szerinti eloszlása nem egyenletes (nem azonos mennyiségű van minden dobozban minden szinből). =
7. feladat: Félév végén a biometria gyakorlat vezetők összesítik a hallgatóik jegyeit. Feltételezve, hogy az egyes csoportokba véletlenül lettek beosztva a hallgatók, van-e különbség az egyes tanárok osztályzása között (azaz hasonlóan osztályoznak, vagy van aki szigorúbb/megengedőbb)? 5 5 5 5 5 5 4 4 5 5 4 3 4 4 4 3 4 4 3 H0: Az egyes tanulócsoportok között különbség nincs. H1: Legalább egy tanulócsport jegyei eltérnek a többitől. α=0,05 A legkisebb rangot a -es jegy kapja. A 3 darab 3-as átlagos rangja 3. A 8 darab 4-es átlagos rangja 8,5; míg az 5-ösöké 16,5. Az egyes csoportokban a rangok a következőképpen alakulnak: 16.5 16.5 16.5 16.5 16.5 16.5 1 8.5 8.5 16.5 16.5 8.5 3 8.5 8.5 8.5 3 8.5 8.5 3 Rangösszeg 47.5 66.5 51 45 k R + 1 i= 1 ni 0 1 5 5 5 5 3 ( t 3 3 3 i ti) 3 3+ 8 8+ 8 8 3 3 1 i 1 47.5 66.5 51 45 H = 3( N + 1) = + + + 63 = 6.8 N N ( ) C = 1 = 1 = 0.87 N N 0 0 H 6.8 Hkorrigált = = = 71.9 C 0.87 χ = ( α k ) /, 1 9.35 Mivel a tesztstatisztika nagyobb a értéknél, így a nullhipotézist 1-α szignifikanciaszinten elvetjük, azaz van különbség az osztályzásban. Gyakorló feladatok 1. feladat. Mi a mintának a minimuma, maximuma, terjedelme, mediánja, módusza, alsó- és felső kvartilise, átlaga? Rajzold fel a minta alapján szerkeszthető hisztogrammot. Minta 1: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5 Minta :, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 Minta 3:,, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7. feladat. Eloszlásról a következőt tudom. Elemszáma 14, minimuma 3, terjedelme 5, módusza és mediánja 5, alsó kvartilise 4, felső kvartilise 6. Rajzold fel vázlatosan az eloszlás hisztogrammját.
3. feladat. Mi a kétoldali 90%-os konfidencia intervalluma a 56 elemből álló, 33,5 átlagú és 5,9 szórású eloszlásnak. 4. feladat. Mi a kétoldali 99%-os konfidencia intervalluma a 100 elemből álló, 50 átlagú és 1 szórású eloszlásnak. 5. feladat. Egy sportosztály tanulóinak pulzusát megmérték 00 méter futás előtt, s után. A 1 tanulónak átlagosan -vel lett magasabb a pulzusa, a különbség szórása 3. Változott-e a tanulók pulzusa a futástól? 6. feladat. Egy növénypopulációban a magok tömegét megmértük. Átlaguk 3,456 g, szórásuk 1,749 g (összesen 100 magot megmérve). Tudjuk, hogy a 3 grammnál nehezebb magokat a szél nem szállítja, elképzelhető-e, hogy ezen faj magjainak szállításában a szél fontos szerepet játszik? 7. feladat. Egy igen nagy rágcsálópopulációban az egyedek 0%-ának a szőrzete világos, a többié sötét. 5 egyedet csapdázva kísérletenként 647 mintát vettek és feljegyezték, hogy hány világos szőrű egyed volt a mintában. Független-e a csapdázás a bőrszíntől? világos szőrzetű egyedek a mintában megfigyelt gyakoriság 0 860 1 1090 543 3 137 4 15 5
Megoldások 1. Minta 1 Minta Minta 3 Átlag 3,69 4,67 4,00 Minimum 3 Maximum 5 7 7 Terjedelem 4 5 5 Módusz 3 3 3 Medián 4 5 3,5 Alsó kvartilis 3 3 3 Felső kvartilis 4 6 5,5. feladat. Egy lehetséges kitöltés például. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 3. feladat: 33,5 ± 1,58 4. feladat: 50 ± 3,4 d 5. feladat: A próbstatisztika t = = = 3.05 és a t =, 4, tehát a nullhipotézist sd 3 1 elvetjük, a pulzus változott (növekedett). 6. feladat: A kérdés az, hogy átlagosan 3 grammnál nehezebbek-e a magok. Ez egy egyoldali x μ 3,456 3,000 egymintás t teszt. Próbastatisztika t = n = 10 =, 60. A t érték s 1,749 (egyoldali tesztnél ugye α-nál nézve a t táblázatot, s nem α/-nél!) 1,98. A nullhipotézist el kell vetnünk, a magok átlagosan nehezebbe 3 grammnál, így a szél nem a fő terjedési módjuk. 7. feladat Binomiális eloszlásból vesszük a várt értéket szőrszíntől független csapdázás esetén. S a két eloszlást χ próbával összehasonlítom. Próbastatisztika χ =1.9. A érték χ = 11,07. A H0-t elfogadjuk. A feladatnál az 5 világost csapdázó esetben a várt egyedszám 0,84. Ezt össze kéne vonni az előző (4 világos 1 sötét) esettel.