8. előadás Kúpszeletek
Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 = r2.
Kör Ha a középpont az origó, akkor a kör egyenlete X2 + Y2 = r2.
Kör Paraméteres egyenletrendszer: X = a + r cost Y = b + r sint
Kör Tétel: Minden kör egyenlete A(X2 + Y2) + BX + CY + D = 0 alakban írható, ahol A 0. A megfordítás nem igaz. Viszont igaz a következő: Tétel: Ha A 0, akkor az A(X2 + Y2) + BX + CY + D = 0 kör, pont, vagy az üres halmaz egyenlete.
Kör Bizonyítás: Az egyenletet A-val elosztva, majd rendezve az (X-a)2 + (Y-b)2 = c alakot kapjuk. Ez kör egyenlete, ha c>0, pont egyenlete, ha c=0, ha pedig c<0,akkor nincs olyan pont, melynek koordinátái kielégítik az egyenletet. (Bizonyos szempontból célszerű ekkor képzetes kör egyenletének nevezni.)
Kör Tétel: Ha a Pi(xi,yi) i=1,2,3, pontok nincsenek egy egyenesen, akkor a rajtuk átmenő kör egyenlete x12+y12 x1 y1 1 x22+y22 x2 y2 1 x32+y32 x3 y3 1 X2+Y2 X Y 1 = 0.
Kör Bizonyítás: A determinánst az első sor szerint kifejtve a kapott egyenlet A(X2 + Y2) + BX + CY + D = 0 alakú, ahol A 0, mert x1 y1 1 A = x2 y 2 1 x3 y3 1
Kör Ezért az egyenlet kör, pont, vagy az üres halmaz egyenlete. Viszont X = xi és Y = yi helyettesítésre a determináns értéke 0, hiszen két sora megegyezik. Vagyis az egyenlet olyan alakzatot ad meg, amely tartalmazza a Pi pontokat. Tehát csak a három ponton átmenő kör egyenlete lehet.
Kúpszeletek Ellipszis, hiperbola, parabola. Mindhárom görbe előállítható forgáskúp síkmetszeteként.
Parabola Definíció: Egy rögzített ponttól (fókusz) és egy azon át nem menő rögzített egyenes-től (vezéregyenes) egyenlő távolságra lévő pontok halmazát parabolának nevezzük. A fókusz és a vezéregyenes távolsága a parabola paramétere.
Parabola Tétel: Alkalmasan választott koordinátarendszerben a parabola egyenlete Y2 = 2pX.
Parabola Bizonyítás: Legyen a fókusz F(p/2,0), a vezéregyenes egyenlete pedig X = -p/2. Ha egy tetszőleges P(X,Y) pontból a vezéregyenesre állított merőleges talppontja T, akkor P pontosan akkor van a parabolán, ha PT2 = PF2, azaz ha (X - (-p/2))2 = (X - p/2)2 + Y2. Ezt rendezve kapjuk, hogy Y2 = 2pX. Következmény: Minden parabola hasonló.
Parabola Tétel: Ha a parabola csúcspontjának koordinátái C(u,v), tengelye párhuzamos az X tengellyel, akkor egyenlete (Y - v)2 = 2p(X u).
Parabola Bizonyítás: Toljuk el a koordinátarendszert úgy, hogy az új origó a régi (u,v) pont legyen. Az új koordinátarendszerben az egyenlet Y 2 = 2pX. A transzformációs képletek szerint: X = X u és Y = Y v, amiből azonnal adódik az egyenlet.
Parabola Tétel: Ha A 0, akkor az X = AY2 + BY + C és az Y = AX2 + BX + C egyenletek parabolák egyenletei. Bizonyítás: Egyszerű átrendezéssel kapjuk, hogy (Y - v)2 = 2p(X u), vagy azt, hogy (X - v)2 = 2p(Y u).
Ellipszis, hiperbola Definíció: Az ellipszis azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól (fókuszok) mért távolságaik összege állandó. Definíció: A hiperbola azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól (fókuszok) mért távolságaik különbségének abszolútértéke állandó.
Ellipszis, hiperbola Jelölje a definícióban szereplő állandót 2a, a fókuszok távolsága pedig legyen 2c. Ellipszis esetén a>c, hiperbolánál pedig a<c teljesül a háromszög-egyenlőtlenség miatt.
Ellipszis, hiperbola Vegyünk fel egy koordinátarendszert úgy, hogy F1(-c,0) és F2(c,0) legyen. Legyen továbbá tetszőlges P(X,Y) pont esetén PFi = ri.
Ellipszis, hiperbola Az F1 és F2 fókuszú, 2a állandójú ellipszis és hiperbola egyenletét egyszerre írjuk fel. Ellipszis esetén a>c, hiperbolánál pedig a<c. P pontosan akkor van rajta az ellipszisen, illetve a hiperbolán, ha r1 + r2 = 2a, illetve r1 - r2 = 2a. A háromszög-egyenlőtlenség miatt az ellipszis pontjaira r1 - r2 2c < 2a, hiperbolánál pedig r1 + r2 2c > 2a teljesül.
Ellipszis, hiperbola Ezért az r1 + r2-2a = 0 r1 - r2-2a = 0 -r1 + r2-2a = 0 egyenlőségek közül az első teljesül, ha P rajta van az ellipszisen, de nem teljesül, ha P a hiperbolán van. A második, illetve a harmadik pedig teljesül a hiperbola pontjaira, de nem teljesül az ellipszis pontjaira.
Ellipszis, hiperbola Mivel r1 + r2 + 2a = 0 a sík egyetlen pontjára sem teljesül, (r1+r2-2a)(r1-r2-2a)(-r1+r2-2a)(r1+r2+2a)= 0 az ellipszis, illetve a hiperbola egyenlete, attól függően, hogy a>c, vagy a<c. Átalakítások után az egyenlet: ((r1+r2)2-4a2)((r1-r2)2-4a2) = 0,
Ellipszis, hiperbola azaz (r12+r22-4a2)2 - (2r1r2)2 = 0, vagyis (r12 - r22)2 8a2(r12+r22)2 + 16a4 = 0. Tudjuk, hogy r12 = (X + c)2 + Y2 és r 22 = (X - c)2 + Y2, ezeket behelyettesítve:
Ellipszis, hiperbola (a2 c2)x2 + a2y2 = (a2 c2)a2 X2/a2 +Y2 /(a2 c2) = 1
Ellipszis, hiperbola Hiperbola esetén a2 + b2 = c2, ellipszisnél pedig b2 + c2 = a2, tehát a2 c2 = ±b2. A kanonikus egyenletek tehát: Ellipszis: X2/a2 +Y2 /b2 = 1 Hiperbola: X2/a2 -Y2 /b2 = 1
Ellipszis, hiperbola Tétel: Ha az ellipszis, illetve a hiperbola középpontjának koordinátái C(u,v), a fókuszokat összekötő egyenes pedig párhuzamos az X tengellyel, akkor a görbék egyenlete (X u)2/a2 + (Y v)2 /b2 = 1.
SZÜNET
Kúpszeletek A kúpszeletek kúp szeletei. Parabola:
Kúpszeletek Hiperbola:
Kúpszeletek Ellipszis: PF1 + PF2 = PA1 + PA2 = A1A2
Kúpszeletek Ellipszis:
Hiperbola Miért hiperbola az Y = 1/X függvény képe? XY = 1. Forgassuk el a koordinátarendszert 45º-kal! X = X cosφ Y sinφ Y = X sinφ + Y cosφ XY = X Y (cos2 45º - sin2 45º)
Koordináta-transzformáció Ha síkban φ szöggel elforgatjuk a bázisvektorokat, akkor a képletek: x = xcosφ + ysinφ ill. x = x cosφ y sinφ y = xsinφ + ycosφ y = x sinφ + y cosφ
Hiperbola X = X cosφ Y sinφ Y = X sinφ + Y cosφ 1 = XY = X Y (cos2 45º - sin2 45º) + X 2(cos45º sin2 45º) - Y 2(cos45º sin2 45º) = X 2 - Y 2
Másodrendű görbék Az AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0 típusú egyenlettel megadott alakzatokat másodrendű görbéknek nevezzük, ha A,B és C közül legalább az egyik nemnulla. A kúpszeletek tehát másodrendű görbék. Ennek lényegében a megfordítása is igaz:
Másodrendű görbék Tétel: Minden másodrendű görbe a következők egyike: 2. ellipszis, 3. kör, 4. pont, 5. üres halmaz, 6. parabola, 7. egyenes, 8. párhuzamos egyenespár, 9. hiperbola, 10. metsző egyenespár.
Másodrendű görbék Ezek mind elő is fordulnak, pl: 2. ellipszis: 3. kör: 4. pont: 5. üres halmaz: 6. parabola: 7. egyenes: 8. párhuzamos egyenespár: 9. hiperbola: 10.metsző egyenespár: X2 + 2Y2 = 1 X2 + Y2 = 1 X2 + Y2 = 0 X2 + Y2 = -1 X2 + Y = 0 X2 = 0 X2 + X = 0 X2 - Y2 = 1 X2 - Y2 = 0
Másodrendű görbék A tételt nem bizonyítjuk. (Majd akkor, amikor projektív geometriát tanulunk.) Részletes bizonyítás a Hajós könyvben. Vázlat: a koordinátarendszert elforgatjuk olyan szöggel, hogy az elforgatás után X Y együtthatója 0 legyen. Ezután teljes négyzetté egészítünk (ez a koordinátarendszer eltolásának felel meg).