L I N EÁR I S ALG E B RA

WETTL FERENC L I N EÁR I S ALG E B RA azoknak, akik érteni is szeretnék 2011 Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Copyright

Kulcsszavak: Lineáris algebra, vektorok, lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, lineáris leképezések Rövid ismertetés: A könyv a szerző mérnökhallgatók számára tartott előadásainak tapasztalataira építve a lineáris algebra több témáját újszerű módon tárgyalja A fogalmakhoz és tételekhez a szokásos helyett igyekszik motiválhatóbb, természetesebb utakat találni, és ezzel érthetőbbé tenni az Olvasó számára Különösen azokra a témákra koncentrál, melyek ismerete a modern mérnöki, természettudományos és közgazdasági alkalmazások megértéséhez szükséges A könyv jelen változata az első oktatási eredmények nyomán folyamatosan változik

Támogatás: Készült a TÁMOP 412 08/2/A/KMR-2009-0028 számú pályázat Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében Készült: a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Szakmai felelős vezető: dr Ferenczi Miklós Projektmenedzser: dr Ádám Katalin A projekt webcíme: http://tankonyvtarttkbmehu Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert Copyright: Wettl Ferenc, BME TTK, 2011 E mű a Creative Commons (CC BY-NC-ND 30) Nevezd meg! Ne add el! Ne változtasd! 30 Magyarország Licenc szerint használható A copyright terminusai: kizárólag a Budapesti Műszaki Egyetem Természettudományi Karának és a Szerző nevének feltüntetésével idézhető, kizárólag szerződéskötés nyomán használható kereskedelmi célra, nem módosítható és nem készíthető belőle átdolgozás

Tartalomjegyzék Bevezetés 17 A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 I A lineáris algebra forrásai 25 1 Vektorok 29 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 29 Irányított szakasz, kötött és szabad vektor 29 Vektor magadása egy irányított szakasszal 30 Vektor megadása hossz és irány segítségével 31 Vektorműveletek a 2- és 3-dimenziós térben 31 A lineáris kombináció definíciója 33 Lineáris függetlenség 35 Speciális lineáris kombinációk 36 Távolság, szög, orientáció 39 Skaláris szorzás 39 Hosszúság és szög 40 Pithagorász-tétel 40 Két fontos egyenlőtlenség 41 Egységvektorral való szorzás és a merőleges vetítés 42 Merőlegesség és orientáció 43 Vektori szorzás 44 Parallelepipedon térfogata, és előjeles térfogata 47 Vegyes szorzat 47 Vektorok koordinátás alakban 50 Descartes-féle koordinátarendszer 50 Műveletek koordinátás alakban megadott vektorokkal 51 A derékszögű koordinátarendszer 53 Az R n halmaz 55 R n vektorainak összeadása és skalárral szorzása 55 Lineáris kombináció, lineáris függetlenség, lineáris összefüggőség 57 Skaláris szorzás R n -ben 59 Távolság és szög R n -ben 60 Korrelációs együttható 62 Bitvektorok 63 Kódvektorok, kódok 63 Vektorműveletek Z n m-ben 64

6 2 Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 69 Egyenes és sík egyenletei 69 Alakzatok és egyenletek 69 Síkbeli egyenes egyenletei 71 Síkbeli pont egyenletei 74 A 3-dimenziós tér síkjainak egyenletei 75 Térbeli egyenes egyenletei 77 Térbeli pont egyenletei 80 Egyenletek R n -ben 81 A lineáris egyenletrendszer és két modellje 84 Lineáris egyenlet és egyenletrendszer 84 Ekvivalens lineáris egyenletrendszerek 86 Mátrixok 87 Egyenletrendszer mátrixa és bővített mátrixa 88 Sormodell: hipersíkok metszete 89 Oszlopmodell: vektor előállítása lineáris kombinációként 92 Megoldás kiküszöböléssel 95 Elemi sorműveletek 95 Lépcsős alak 95 Gauss-módszer 96 Redukált lépcsős alak 100 Gauss Jordan-módszer 101 A redukált lépcsős alak egyértelműsége 103 Szimultán egyenletrendszerek 104 Kiküszöbölés Z p -ben * 106 Megoldás a gyakorlatban 109 A kiküszöbölés műveletigénye 109 Numerikusan instabil egyenletrendszerek 109 Részleges főelemkiválasztás 111 Skálázás 113 Iteratív módszerek 114 Jacobi-iteráció 115 Gauss Seidel-iteráció 116 Az iterációk konvergenciája 117 3 Megoldhatóság és a megoldások tere 121 Homogén és inhomogén egyenletrendszerek megoldásai 121 Kötött változók száma, mátrix rangja 121 Egyenletrendszer megoldhatóságának feltétele 123 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai 125 Altér 126 Kifeszített altér 128 Az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásai 130 Lineáris függetlenség és összefüggőség 132 Alterek tulajdonságai és az egyenletrendszerek 135 Sor- és oszloptér 135 Bázis 136 Vektor egy bázisra vonatkozó koordinátás alakja 138 Dimenzió és rang 140 Elemi bázistranszformáció * 143 A lineáris algebra alaptétele 147 A sortér és a nulltér merőlegessége 147 Kiegészítő altér 148 A lineáris egyenletrendszer megoldásainak jellemzése 151 Megoldások 155 II Mátrixok algebrája és geometriája 161

7 4 Mátrixműveletek definíciói 165 Táblázatok 165 Táblázatok összeadása 165 Táblázat szorzása számmal 166 Táblázatok szorzása 166 Lineáris helyettesítés 167 Elemenkénti mátrixműveletek 170 Alapfogalmak, jelölések 170 Elemenkénti mátrixműveletek 172 Mátrixok lineáris kombinációi 173 Mátrixszorzás 175 Skaláris szorzat és diadikus szorzat mátrixszorzatos alakja 176 Lineáris egyenletrendszer mátrixszorzatos alakja 177 Lineáris helyettesítés mátrixszorzatos alakja 178 Szorzás vektorral 179 Szorzás standard egységvektorral 179 A báziscsere mátrixszorzatos alakja 180 Bázisfelbontás * 182 Egységmátrix, elemi mátrixok 183 Mátrixműveletek Z m -ben * 185 Blokkmátrixok 185 Műveletek blokkmátrixokkal 185 Vektorokra particionált mátrixok 187 Lineáris egyenletrendszer megoldásának blokkmátrix alakja * 190 5 Mátrixműveletek tulajdonságai 195 Az alapműveletek algebrai tulajdonságai 195 Az összeadás és a skalárral való szorzás tulajdonságai 195 A szorzás tulajdonságai 196 Mátrix hatványozása 198 A transzponálás tulajdonságai 200 Mátrix inverze 201 Az inverz 201 Elemi mátrixok inverze 204 Az inverz kiszámítása 205 Az inverz tulajdonságai 207 Az invertálhatóság és az egyenletrendszerek megoldhatósága 209 Invertálhatóság, bázis, báziscsere 212 Műveletek speciális mátrixokkal 216 Diagonális mátrixok 216 Permutációs mátrixok és kígyók 216 Háromszögmátrixok 218 Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixok 219 Mátrix és diád összegének inverze * 220 Gyorsszorzás * 222 Az LU-felbontás 225 Az LU-felbontás használata egyenletrendszer megoldására 226 Mátrix invertálása LU-felbontással 227 Az LU-felbontás kiszámítása 228 PLU-felbontás 230 Az LU-felbontás a gyakorlatban 233 Megoldások 235

8 6 Determináns 239 Parallelogramma előjeles területe 239 térfogata 240 Parallelepipedon előjeles A determináns, mint sorvektorainak függvénye 241 A determináns definíciója 241 A determináns értékének kiszámítása 243 Mátrixműveletek és determináns 246 Mikor 0 a determináns értéke 248 A determináns, mint elemeinek függvénye 254 Kígyók determinánsa 254 Permutációs mátrix determinánsa * 256 Előjeles aldetermináns 258 Determináns kifejtése 261 Cramer-szabály és a mátrix inverze 262 Blokkmátrixok determinánsa * 266 Vandermonde-determináns 267 Megoldások 273 7 Mátrixleképezések és geometriájuk 279 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 279 A mátrixleképezés fogalma 279 Műveletek mátrixleképezések között 280 Mátrixleképezések tulajdonságai 281 A mátrixleképezés hatásának szemléltetései 282 Lineáris leképezés 285 Lineáris leképezések alaptulajdonságai 288 Lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban 289 Hasonlóság 290 Tartományok képe és mértékük változása 292 Többváltozós függvények differenciálása * 293 2- és 3-dimenziós geometriai transzformációk mátrixa 301 Forgatás 301 Merőleges vetítés 304 Tükrözés 306 Vetítés 306 Eltolás 307 Merőleges vetítés és a legjobb közelítés 308 Merőleges vetítés R n egy alterére 308 Melyik mátrix merőleges vetítés mátrixa? 309 Altértől való távolság 310 Egyenletrendszer optimális megoldása 312 A pszeudoinverz fogalma * 313 A pszeudoinverz tulajdonságai * 317 A pszeudoinverz és a minimális abszolút értékű optimális megoldás * 318 Lineáris és polinomiális regresszió 320 Ortonormált bázis, ortogonális mátrixok 324 Ortogonális és ortonormált bázis 324 Ortogonális mátrixok 326 Ortogonális mátrixok geometriája 328 A 2- és 3-dimenziós tér ortogonális transzformációi 329 Givens-forgatás, Householder-tükrözés * 331 Gram Schmidt-ortogonalizáció * 333 A QR-felbontás * 334 Egyenletrendszer optimális megoldása QR-felbontással * 338 Komplex és véges test feletti terek * 342

9 Komplex vektorok skaláris szorzata 342 Önadjungált mátrixok 344 Távolság és a merőleges vetítés komplex terekben 345 Unitér mátrixok 345 Fourier-mátrixok 345 Diszkrét Fourier-transzformáció 348 Periodikus összetevők szűrése 350 Gyors Fourier-transzformáció 352 Vektorok konvolúciója 355 Megoldások 355 III Mátrixok sajátságai 359 8 Sajátérték, diagonalizálás 363 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 363 A sajátérték és a sajátvektor fogalma 363 Karakterisztikus polinom 365 A valós 2 2-es mátrixok sajátaltereinek jellemzése 367 Mátrix összes sajátértékének és sajátvektorának meghatározása 368 A karakterisztikus egyenlet komplex gyökei 371 A karakterisztikus egyenlet többszörös gyökei: az algebrai és a geometriai multiplicitás 372 Speciális mátrixok sajátértékei 373 Sajátértékek és a mátrix hatványai 374 Hasonlóság, diagonalizálhatóság 377 Lineáris transzformációk sajátértékei 377 Hasonló mátrixok sajátértékei 378 Mátrixok diagonalizálása 379 Sajátértékek multiplicitása és a diagonalizálhatóság * 382 Mátrixok hatványai és egyéb függvényei 385 Mátrixok ortogonális diagonalizálása 386 Kvadratikus formák 388 Homogén másodfokú polinomok mátrixszorzatos alakja 389 Főtengelytétel 390 Kvadratikus formák és mátrixok definitsége 391 Kúpszeletek osztályozása 393 Definitség és sajátértékek 393 Szélsőérték 393 Szélsőérték az egységgömbön 393 9 Szinguláris érték 395 Szinguláris érték, szinguláris vektor, SVD 395 Szinguláris érték 395 Szinguláris felbontás 396 A szinguláris értékek és a szinguláris felbontás meghatározása 399 Szinguláris érték szerinti felbontás létezése 401 Bal és jobb szinguláris vektorok 402 Szimmetrikus és önadjungált mátrixok szinguláris felbontása 402 Polárfelbontás 402 Pszeudoinverz 402 Információtömörítés 402

10 10 Jordan-féle normálalak 405 Schur-felbontás 405 Általánosított sajátvektorok és a Jordan-blokk 405 Jordan normálalak 409 A Jordan-alak egyértelműsége 411 A Jordan-bázis konstrukciója 415 Mátrixfüggvények 420 A Jordan normálalak használata a differenciálegyenletrendszerek megoldásában 421 11 Nemnegatív mátrixok 423 Mátrixok összehasonlítása 423 Pozitív mátrixok 424 Nemnegatív mátrixok 427 Irreducibilis mátrixok 431 Megoldások 434 A Függelék 437 Lebegőpontos számábrázolás 437 A lebegőpontos számábrázolás 437 Műveletek lebegőpontos számokkal 439 Algoritmusok műveletigénye: flop és flops 440 Komplex számok 442 Testek, gyűrűk 442 Prímelemű testek 445 Aritmetika véges halmazon 445 Polinomok 447 B Lineáris algebra dióhéjban 449 Irodalomjegyzék 451 Tárgymutató 453

Listák Tételek, állítások, következmények 12 Parallelogramma-módszer 32 15 A vektorműveletek tulajdonságai 33 17 Vektorral párhuzamos vektorok 34 18 Két vektorral egy síkba eső vektorok 34 19 Térbeli vektorok 35 111 Síkbeli vektor felbontása 36 112 Térbeli vektor felbontása 36 113 Két ponton átmenő egyenes jellemzése 36 114 Intervallum pontjainak jellemzése 37 117 Mikor 0 a skaláris szorzat? 39 118 A skaláris szorzás műveleti tulajdonságai 40 119 Pithagorász-tétel 40 121 Cauchy Bunyakovszkij Schwarz-egyenlőtlenség 41 122 Háromszög-egyenlőtlenség 41 123 Egységvektorral való szorzás geometriai jelentése 42 124 Vektor felbontása merőleges összetevőkre 42 129 Mikor 0 a vektori szorzat? 46 130 Vektori szorzat abszolút értékének geometriai jelentése 46 131 Vektori szorzás műveleti tulajdonságai 46 135 Ekvivalencia reláció 49 138 Vektorműveletek koordinátás alakja 52 140 Skaláris szorzat ortonormált koordinátarendszerben 53 141 Vektori szorzat ortonormált koordinátarendszerben 54 144 Az összeadás és skalárral szorzás tulajdonságai 56 146 Lineáris függetlenség 57 147 Lineáris összefüggőség 59 148 A skaláris szorzás tulajdonságai 59 151 Cauchy Bunyakovszkij Schwarz-egyenlőtlenség 61 152 Háromszög-egyenlőtlenség R n -ben 61 153 Skaláris szorzat és abszolút érték R n -ben 62 25 Síkbeli egyenes explicit vektoregyenlete 71 26 Síkbeli egyenes implicit vektoregyenlete 72 27 Síkbeli egyenes explicit egyenletrendszere 72 28 Síkbeli egyenes (implicit) egyenlete 72 210 Sík explicit vektoregyenlete 75 211 Sík implicit vektoregyenlete 75 212 Sík explicit egyenletrendszere 76 213 Sík implicit egyenlete 76 215 Térbeli egyenes explicit vektoregyenlete 77 216 Térbeli egyenes explicit egyenletrendszere 78 217 Térbeli egyenes implicit egyenletrendszere 78 229 Ekvivalens átalakítások 86 234 Sormodell 92 236 Oszlopmodell 93 242 Lépcsős alakra hozás 98 250 A redukált lépcsős alak egyértelmű 103 256 A kiküszöbölés műveletigénye 109 265 Elégséges feltétel az iterációk konvergenciájára 118 31 Főelemek oszlopai 121 34 Kötött és szabad változók száma 122 36 A megoldhatóság mátrixrangos feltétele 123 37 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldhatósága 124 39 Megoldások lineáris kombinációja 125 311 Alterek összege 127 313 Megoldások altere 128 316 A kifeszített altér altér 129 318 Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldásai 130 320 Inhomogén egyenletrendszer megoldhatósága 131 322 Lineáris függetlenség eldöntése 132 324 Elemi sorműveletek hatása a sor- és oszlopvektorokra 135 325 Mátrix lépcsős alakjának vektorai 136 329 Bázis ekvivalens definíciói 138 331 Bázis-tétel 140 334 Dimenzió = rang 141 337 Dimenziótétel 142 338 Elemi bázistranszformáció 144 341 A sortér és a nulltér merőlegessége 148

12 342 Kiegészítő alterek tulajdonságai 149 343 A merőleges kiegészítő altér tulajdonságai 150 344 A lineáris algebra alaptétele 151 345 A négy kitüntetett altér 151 346 Lineáris egyenletrendszer megoldásai 151 417 Mátrixszorzás és lineáris kombináció 179 418 Mátrix elemeinek, sor- és oszlopvektorainak előállítása 179 422 Koordináták változása a bázis cseréjénél 182 423 Bázisfelbontás 182 429 Elemi sorműveletek mátrixszorzással 185 430 Műveletek blokkmátrixokkal 185 434 A szorzat oszlopai és sorai 189 436 A megoldás felírása blokkmátrixokkal 190 437 A nulltér bázisa 191 51 Összeadás és skalárral szorzás tulajdonságai 195 54 Mátrixszorzás algebrai tulajdonságai 196 55 Hatványozás azonosságai 199 58 Transzponálás tulajdonságai 200 513 Sorművelet inverzének mátrixa 204 514 Az inverz egyértelműsége 205 515 Az inverz létezéséhez elég egy feltétel 205 517 2 2-es mátrix inverze 207 518 Az inverz alaptulajdonságai 207 520 Az invertálhatóság és az egyenletrendszerek 209 524 Invertálhatóság és bázis 212 525 Az áttérés mátrixának inverze 212 528 Műveletek diagonális mátrixokkal 216 532 Műveletek permutációs mátrixokkal 217 535 Műveletek háromszögmátrixokkal 219 538 Műveletek (ferdén) szimmetrikus mátrixokkal 219 539 Felbontás szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix összegére 219 540 A T A és AA T szimmetrikus 220 541 Sherman Morrison-formula 220 549 Az LU-felbontás létezése és egyértelműsége 229 62 Nullvektort tartalmazó determináns 243 63 Elemi sorműveletek determinánson 243 64 Elemi mátrixok determinánsa 244 65 Permutációs mátrix determinánsa 244 66 Háromszögmátrix determinánsa 244 68 Determinánsok szorzásszabálya 247 610 Transzponált determinánsa 247 612 Zérus értékű determináns 248 614 Egyenletrendszer megoldhatósága és a determináns 249 615 Felbontás kígyók determinánsainak összegére 255 616 Permutációs mátrix determinánsa 257 618 Determinánsfüggvény létezése 257 621 Determináns rendjének csökkentése 259 623 Determinánsok kifejtési tétele 261 625 Cramer-szabály 263 627 Mátrix inverzének elemei 264 629 Determinánsok szorzata blokkmátrixban 266 630 2 2-es blokkmátrix determinánsa 267 633 Vandermonde-determináns értéke 269 72 Mátrixleképezések alapműveletei 280 73 Inverz mátrixleképezések 281 74 A lineáris kombinációt megőrző leképezések 281 79 Síkbeli forgatás, tükrözés, vetítés 286 710 Lineáris leképezés mátrixa 286 712 Lineáris leképezések alaptulajdonságai 288 713 Lineáris leképezés mátrixai közti kapcsolat 290 716 Hasonló mátrixok hatása 291 717 Hasonlóságra invariáns tulajdonságok 291 718 Tartomány mértékének változása lineáris transzformációban 293 720 Jacobi-mátrix 294 723 Láncszabály 297 725 A forgatás mátrixa 301 728 Tengely körüli forgatás Rodrigues-formula 302 731 Egyenesre való merőleges vetítés mátrixa 304 732 Síkra való merőleges vetítés mátrixa 305 734 Síkbeli tükrözés mátrixa 306 735 Síkra való tükrözés mátrixa 306 737 Altérre való vetítés mátrixa 308 739 Merőleges vetítés mátrixai 309 741 Legjobb közelítés tétele 311 742 Vektor felbontása összetevőkre 311 744 Egyenletrendszer optimális megoldása 312 747 Pszeudoinverz létezése és egyértelműsége 315 748 A pszeudoinverz kiszámítása 315 750 Penrose-tétel 317 751 A + A és AA + merőleges vetítés 318 752 Optimális megoldás pszeudoinverzzel 318 755 Lineáris regresszió 321 756 Linearizálható regressziós modellek 321 758 Ortogonális vektorok függetlensége 324 759 Legjobb közelítés ONB esetén 325 763 Szemiortogonális mátrixok ekvivalens definíciói 327 764 Ortogonális mátrixok ekvivalens definíciói 327 766 Ortogonális mátrixhoz tartozó mátrixleképezés 328 767 Ortogonális mátrixok tulajdonságai 329 768 329 770 Egy vektor tükrözése egy másikba 332 772 Gram Schmidt-ortogonalizáció 333 775 QR-felbontás 336 778 Legkisebb négyzetek QR-felbontással 339 782 Az adjungált tulajdonságai 343 783 A komplex skaláris szorzás tulajdonságai 343 785 Fourier-összeg helyettesítési értékei 345 786 A Fourier-mátrixok tulajdonságai 347

13 788 A DFT tulajdonságai 350 791 Gyors Fourier-transzformáció 353 84 A sajátvektorok alterei 364 88 Háromszögmátrixok sajátértékei 367 89 Determináns, nyom és a sajátértékek 367 811 2 2-es szimmetrikus mátrixok sajátalterei 368 816 Speciális mátrixok sajátértéke 373 817 Mátrix invertálhatósága és a 0 sajátérték 374 818 Mátrix hatványainak sajátértékei és sajátvektorai 374 819 Mátrix hatványainak hatása 375 822 Sajátérékhez kapcsolódó invariánsok 378 824 Diagonalizálhatóság szükséges és elégséges feltétele 379 826 Különböző sajátértékek sajátvektorai 380 827 Különböző sajátértékek és diagonalizálhatóság 381 829 Algebrai és geometriai multiplicitás kapcsolata 382 830 Diagonalizálhatóság és a geometriai multiplicitás 383 834 Szimmetrikus mátrix sajátalterei 386 835 Valós spektráltétel 386 838 Főtengelytétel 390 842 Definitség meghatározása a sajátértékekből 393 96 A szinguláris értékek tulajdonságai 401 106 Jordan normálalak 409 108 A Jordan-alak egyértelműsége 412 1013Exponenciális függvény kiszámítása 420 111 Perron-tétel: pozitív sajátérték és sajátvektor 424 112 Perron-tétel: egyszeres és domináns sajátérték 425 113 Perron Frobenius-tétel gyenge változat 427 114 Collatz Wielandt-tétel 428 115 Nemnegatív mátrixok spektrálsugarának becslése 429 118 Perron Frobenius-tétel erős változat 432 21 Mátrix rangja 449 22 Invertálható négyzetes mátrixok 450 Definíciók Irányított szakasz, kötött vektor 29 Vektor 30 Zérusvektor 30 Vektor hossza 31 Vektorok szöge 31 11 Két vektor összege háromszögmódszer 31 13 Vektorok különbsége 32 14 Vektor szorzása skalárral 33 16 Lineáris kombináció 33 110 Vektorok függetlensége 35 115 Két vektor skaláris szorzata 39 Egységvektor 42 126 Vektori szorzat 45 133 Vegyes szorzat 48 Vektor koordinátás alakja 2D-ben 50 Vektor koordinátás alakja 3D-ben 50 55 143 Vektorműveletek R n -ben 55 149 Abszolút érték, szög, merőlegesség, távolság 60 Korrelációs együttható 62 154 Kód 64 23 Alakzat (implicit) egyenletrendszere 70 24 Alakzat (explicit) egyenletrendszere 71 221 Lineáris egyenlet 84 225 Lineáris egyenletrendszer 85 226 Lineáris egyenletrendszer megoldása 86 228 Ekvivalens egyenletrendszerek 86 237 Elemi sorműveletek 95 238 Lépcsős alak 95 245 Redukált lépcsős alak 100 rref függvény 104 251 Szimultán egyenletrendszerek 104 264 Soronként domináns főátlójú mátrix 118 32 Mátrix rangja 122 310 Altér 126 314 Nulltér 128 315 Kifeszített altér 128 319 Sortér, oszloptér 131 326 Bázis 136 332 Dimenzió 141 335 Vektorrendszer rangja 142 Merőleges altér és merőleges kiegészítő altér 148 Kiegészítő altér 148 41 Lineáris helyettesítés 167 44 Mátrixok egyenlősége 171 45 Adott típusú mátrixok tere 171 46 Mátrixok összege, különbsége 172 48 Zérusmátrix 172 49 Mátrix szorzása skalárral 172 411 Mátrixok szorzása 175 413 Diadikus szorzat 176 421 Áttérés mátrixa 181 425 Egységmátrix 183 426 Elemi mátrixok 184 59 Mátrix inverze 203 530 Permutációs mátrix, kígyó 217 534 Háromszögmátrix 218 536 Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixok 219 545 LU-felbontás 226 550 PLU-felbontás 231 239 61 Determináns 241 619 Előjeles aldetermináns 258 632 Vandermonde-determináns 268 279

14 77 Lineáris leképezés 285 715 Hasonlóság 290 Lineáris leképezés rangja 292 Lineáris leképezés determinánsa 292 719 Differenciálhatóság 294 Altérre való merőleges vetület 308 Optimális megoldás 312 Normálegyenlet-rendszer 312 745 A Moore Penrose-féle pszeudoinverz 314 Regressziós egyenes 321 Ortogonális és ortonormált bázis 324 761 Ortogonális és szemiortogonális mátrix 326 Givens-forgatás 331 Householder-tükrözés 331 QR-felbontás 334 780 Komplex mátrix adjungáltja 342 781 Komplex vektorok skaláris szorzata 343 344 Komplex vektorok hossza, távolsága, szöge, merőlegessége 345 345 787 Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) 349 352 82 Sajátérték, sajátvektor 364 85 Sajátaltér 364 365 820 Lineáris transzformáció sajátértéke, sajátvektora 377 823 Diagonalizálhatóság 379 833 Ortogonális diagonalizálhatóság 386 389 840 Kvadratikus formák és mátrixok definitsége 391 91 Szinguláris érték 396 Szinguláris felbontás 398 398 101 Általánosított sajátvektor 406 103 Jordan-blokk 407 1012Mátrix exponenciális függvénye 420 425 116 Reducibilis és irreducibilis mátrixok 431 11 Lebegőpontos számok 438 16 Test 442 110 Z m 446 Kidolgozott példák 116 Skaláris szorzat kiszámítása a definíció alapján 39 120 Skaláris szorzat kiszámítása 41 125 Merőleges összetevőkre bontás 43 127 Vektori szorzat meghatározása 45 128 i, j, k vektori szorzata 45 132 Parallelepipedon térfogata 47 134 Vegyes szorzat 48 136 Vektorok koordinátái 50 137 Pontok koordinátái 51 139 Skaláris szorzás koordinátarendszerben 52 142 Parallelogramma területe 54 145 57 150 Vektorok szöge és távolsága 61 155 BCD-kód 64 156 Lineáris kombináció Z n m-ben 64 157 One time pad a tökéletes titkosítás 65 158 Paritásbit 66 159 Ellenőrző összeg 66 21 Az x + y = 1 egyenlet 69 22 Az x 2 + y 2 = 1 egyenlet 69 29 Síkbeli egyenes egyenletei 74 214 Sík egyenletei 76 218 Térbeli egyenes egyenletrendszerei 79 219 Egyenes és sík explicit vektoregyenlete 81 220 Hipersík egyenlete 81 222 Lineáris egyenlet 84 223 Lineáris egyenlet azonos átalakítása 84 224 Lineáris egyenletrendszerek 85 227 Egyenletrendszer egy megoldása 86 230 Mátrix használata a megoldáshoz 88 231 Sormodell két kétismeretlenes egyenlettel 89 232 Ha 0 lesz a bal oldal 90 233 Sormodell három háromismeretlenes egyenlettel 90 235 A megoldás lépései az oszlopmodellben 93 239 Lépcsős alak 96 240 Gauss-módszer, egy megoldás 96 241 Gauss-módszer, végtelen sok megoldás 97 243 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldása 99 244 Síkok metszésvonalának meghatározása 99 246 Redukált lépcsős alak 100 247 Redukált lépcsős alakra hozás 101 248 Gauss Jordan-módszer, egy megoldás 101 249 Gauss Jordan-módszer, végtelen sok megoldás 102 252 Szimultán egyenletrendszer megoldása 105 253 Szimultán egyenletrendszer bővített mátrixa 105 254 Egyenletrendszer Z 2 fölött 106 255 Egyenletrendszer Z 5 fölött 107 257 Instabil egyenletrendszer 110 258 Gauss-módszer lebegőpontos számokkal 111 259 Részleges főelemkiválasztás 112 260 Sor szorzása 113 261 Jacobi-iteráció 115 262 Gauss Seidel-iteráció 116 263 Divergens iteráció 117 33 Mátrix rangjának kiszámítása 122 35 Kötött és szabad változók száma 122 38 Egyenletrendszer megoldásainak száma 124

15 312 Altér 128 317 Nulltér 129 321 Kifeszített altér vektorai 131 323 Vektorok lineáris függetlenségének eldöntése 132 327 Altér bázisának meghatározása 137 328 Vektor felírása a bázisvektorok lineáris kombinációjaként 137 330 Vektor koordinátás alakja a B bázisban 139 333 Mátrix transzponáltja 141 336 Dimenzió kiszámítása 142 339 Egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval 145 340 Vektorokra merőleges altér 147 347 Lineáris egyenletrendszer sortérbe eső megoldása 152 42 Lineáris helyettesítések kompozíciója 168 43 Mátrixok és elemeik 170 47 Mátrixok összege, különbsége 172 410 Mátrixok lineáris kombinációja 173 412 Mátrixok szorzása 175 414 Skaláris és diadikus szorzat 176 415 Egyenletrendszer mátrixszorzatos alakja 177 416 Szimultán egyenletrendszer mátrixszorzatos alakja 178 419 Áttérés a standard bázisra 180 420 Báziscsere 180 424 Bázisfelbontás 182 427 Elemi mátrixok 184 428 Mátrix balról szorzása elemi mátrixszal 184 431 Műveletek blokkmátrixokkal 186 432 2 2-es blokkmátrixok 187 433 Szorzat előállítása diádok összegeként 188 435 Nulltér bázisa 190 52 Egyszerűsítés mátrixszal 196 53 Nullosztó 196 56 Mátrix hatványozása 199 57 Polinom helyettesítési értéke 200 510 Mátrix inverze 203 511 Szinguláris mátrix 203 512 I A inverze nilpotens A esetén 204 516 Az inverz kiszámítása 206 519 Inverz tulajdonságainak alkalmazása 208 521 Egyenletrendszer megoldása mátrixinvertálással 210 522 Mátrixegyenlet megoldása mátrixinvertálással 211 523 Mátrix elemi mátrixok szorzatára bontása 211 526 Az áttérés mátrixának inverze 213 527 Műveletek diagonális mátrixokkal 216 529 Sorok permutációja mátrixszorzással 216 531 Kígyók 217 533 Permutációs mátrix inverze 218 537 Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixok 219 542 Inverz változása 221 543 Inverz változása számpéldán 221 544 Gauss-kiküszöbölés mátrixszorzással 225 546 Egyenletrendszer megoldása LU-felbontással 226 547 Mátrix invertálása LU-felbontással 227 551 PLU-felbontás előállítása 232 67 Determináns kiszámítása háromszög alakra hozással 245 69 Determináns kiszámolása PLU-felbontásból 247 611 Determináns kiszámítása elemi oszlopműveletekkel 248 613 Zérus értékű determinánsok 249 617 Inverziók száma és a determináns 257 620 Előjeles aldetermináns 258 622 Determináns rendjének csökkentése 260 624 Kifejtési tétel 262 626 Cramer-szabály 263 628 Mátrix inverze 265 631 Interpoláció másodfokú polinomokra 267 71 Vektori szorzással definiált mátrixleképezés 280 75 Mátrixleképezés ábrázolása az egységrács képével 283 76 Mátrixleképezés ábrázolása az egységkör képével 284 78 A deriválás és az integrálás lineáris leképezés 286 711 287 714 Lineáris leképezés mátrixa másik bázisban 290 721 Jacobi-mátrix kiszámítása 295 722 Függvényérték becslése Jacobi-mátrixszal 296 724 Láncszabály 297 726 Forgatás egy tetszőleges pont körül 301 727 Koordinátatengely körüli forgatás a térben 302 729 Forgatás mátrixa 303 730 A forgatás mátrixának inverze 304 733 Síkra eső merőleges vetület kiszámítása 305 736 306 738 Merőleges vetület kiszámítása 309 740 310 743 311 746 Néhány pszeudoinverz 314 749 A pszeudoinverz kiszámítása 316 753 Egyenletrendszer optimális megoldása 319 754 Egyenletrendszer optimális megoldása 320 757 322 760 Egy pont síkra való merőleges vetülete 326 762 Ortogonális mátrixok 326 765 Ortogonális mátrixok inverze 328 769 Forgatás tengelye és szöge 330 771 Householder-tükrözés 332 773 Gram Schmidt-ortogonalizáció 334 774 QR-felbontás kiszámítása 335 776 QR-felbontás Givens-forgatásokkal 336 777 QR-felbontás Hauseholder-tükrözéssel 338

16 779 Egyenletrendszer optimális megoldása 339 784 Önadjungált mátrixok 345 789 DFT kiszámítása 350 790 Magas frekvenciájú összetevők szűrése 351 81 Jó bázis tükrözéshez 363 83 Sajátérték, sajátvektor 364 86 Sajátaltér bázisának meghatározása 365 87 Karakterisztikus polinom felírása 366 810 2 2-es mátrixok sajátvektorainak ábrázolása 367 812 Az összes sajátérték és sajátvektor meghatározása 369 813 Magasabbfokú karakterisztikus egyenlet 370 814 Komplex sajátértékek és komplex elemű sajátvektorok 371 815 Sajátérték algebrai és geometriai multiplicitása 372 821 Lineáris transzformáció sajátértéke, sajátaltere 377 825 Mátrix diagonalizálása 380 828 Diagonalizálhatóság megállapítása 382 831 Lineáris transzformáció diagonalizálása 384 832 Mátrixok nagy kitevős hatványai 385 836 387 837 Másodfokú polinom mátrixszorzatos alakja 389 839 Főtengely-transzformáció 391 841 Definitség meghatározása a sajátértékekből 392 92 Szinguláris értékek 396 93 Szinguláris felbontások 398 94 Szinguláris értékek meghatározása 399 95 Szinguláris felbontás 400 102 Jordan-lánc konstrukciója 406 104 Jordan-lánchoz tartozó Jordan-blokk 407 105 Jordan-láncok és Jordan-blokkok kapcsolata 408 107 Normálalakok 411 109 Jordan-blokkok mérete 413 1010Jordan-blokkok mérete 414 1011Jordan-bázis előállítása 417 1014Mátrix exponenciális függvénye 420 117 431 12 Lebegőpontos számok értéke 438 13 Lebegőpontos számok halmaza 438 14 Alapműveletek lebegőpontos számokkal 439 15 Flop és flops 440 17 Műveletek paritásokka 445 18 XOR és AND 445 19 Számolás az órán 445 111 Számolás Z m -ben 446 112 Művelettábla 447 113 Osztás, reciprok 447

Bevezetés Két motiváló emlékem Néhány éve, az akkor legkiválóbb mérnökhallgatómat megkérdeztem, hogy mi a véleménye a szemeszter anyagáról Néhány óvatos, tartózkodó mondat után egy váratlan, és akkor számomra teljesen érthetetlen mondattal lepett meg A lineáris algebrát nem lehet érteni Hiába próbálkoztam azzal, hogy minden dolgozatát maximális pontszámmal írta meg, még a nehéz, gondolkodtató, bizonyítást kérő kérdésekre is tudott válaszolni Semmi magyarázattal nem tudta feloldani ezt az ellentmondást, csak makacsul megismételte állítását, és a végén még annyit tett hozzá, az analízist lehet érteni, az szép Mire gondolhatott? Hamar én is úgy gondoltam, igaza lehet Például a függvény határértékének vagy folytonosságának Cauchy-féle definíciója igen nehéz sok diák számára, pedig már középiskolában is tanulták Nehéz, de valami fogalma mégis minden hallgatónak van róla Akár tudja, akár nem a definíciót, akár jók, akár zavarosak az elképzelései, többnyire tudja miről van szó De nincs ez így például a determinánssal Aki megtanulta azt, hogy vedd az első sor elemeit, és mindegyiket szorozd meg a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal (egy rekurzív módon definiált fogalom!), az ezzel elélhet, megoldhat feladatokat, de úgy érzi, nem ért ebből semmit És mit gondol, ha azt látja, hogy ezt az érthetetlen fogalmat használva egy rejtélyesnek tűnő szabállyal (Cramer-szabály) meg tudja oldani azt az egyenletrendszert, amit már az általános iskolában is meg tudott? Csak akkor értette is, hogy mit miért csinál! A másik történet 30 éves Fiatal oktatóként kérdőre vontam az egyik mérnöki kar dékánját, hogy az oktatási reformjában miért csökkentette a matematikaórák számát! Azt válaszolta, hogy mert szükségünk van időre, hogy megtaníthassuk a diákokat gondolkodni Közbevetésemre, hogy a matematika épp ezt teszi, röviden csak annyit mondott, hogy a matematika csak kaptafákat ad nekik, gondolkodni mi tanítjuk őket Kinek készül ez a könyv és miért Ez a könyv főiskolai és egyetemi BSc és MSc szintű lineáris algebra kurzusaihoz és részben az azt megelőző félévek vektorgeometriát is tartalmazó kurzusaihoz készült Szem-

18 lineáris algebra léletében eltér a Magyarországon megjelent hasonló témájú tankönyvektől Megírását és a sok tekintetben újfajta megközelítést az alábbi tények indukálták: A felsőoktatás reformjának hatásaként a hallgatók mind hozott tudásukat, mind matematikai képességeiket tekintve heterogénebbek, mint korábban A felsőfokú oktatás változó szemlélete nagyobb hangsúlyt fektet az alkalmazásokra, mind a tananyag összeállításában, mind azoknak a képességeknek a kifejlesztésében, amelyek a megszerzett tudás alkalmazásához szükségesek A matematika felsőfokú oktatásával foglalkozó nemzetközi kutatások eredményei, a számítógép használatának elterjedése új oktatási szemlélet kialakítását kívánják A könyvben követett elvek Didaktikai célszerűség A könyv megírásakor fő célunk az volt, hogy a lineáris algebra absztrakt fogalmait a lehető legegyszerűbben, legérthetőbben vezessük be Sosem a legáltalánosabb megfogalmazás, a legaxiomatikusabb felépítés, a matematikailag legtömörebb tárgyalásmód megtalálása volt a cél, hanem a didaktikai célszerűség, a tananyag minél hatékonyabb tanulhatóságának elérése Moduláris szerkesztés A könyv anyagát igyekeztünk modulárisan, apró egységekre bontva megszerkeszteni, ezzel nem csak az áttekinthetőségét növelni, de a többcélú, különböző szintű, különböző időtartamú kurzusokhoz való alkalmasságát is megkönnyíteni Alapfogalmak korai bevezetése Tapasztalataink szerint nem elég hatékonyak a lineáris algebra alapfogalmainak megértetésében azok a kurzusok, melyek a kurzus elejét az egyszerű mátrix- és determinánsszámítási, egyenletrendszer-megoldási, sajátérték-számítási technikákkal töltik, majd a kurzus végén a hallgatók nyakába öntik a lineáris függetlenség, test feletti vektortér, altér, bázis, lineáris leképezés fogalmakat De nem jobb a hatásfoka a fordított felépítésű kurzusoknak sem, melyek az általános fogalmakkal és eredményekkel kezdik, melyekből a végén könnyedén kipottyan pl az egyenletrendszerek elmélete Az a határozott véleményünk, hogy (az absztrakt gondolkodásban kiválóak szűk csoportját leszámítva) a hallgatók gyorsabban és mélyebb ismeretekhez jutnak, ha az absztakt fogalmakkal konkrét esetekben már korábban megismerkednek, és az absztrakt fogalomalkotás valóban absztrakció, és nem kinyilatkoztatás útján történik A lineáris algebra legtöbb fontos, e könyvben tárgyalt fogalmával az első

TARTALOMJEGYZÉK 19 fejezetekben találkozik az olvasó, az általános fogalomalkotás csak ezt követi Fokozatosság A könyv egészen elemi az első fejezetekben középiskolás szintig visszanyúló tárgyalásmóddal kezdődik, melyet egyre összetettebb, nehezebb anyagrészek, és fokozatosan egyre tömörebb tárgyalásmód követ Többirányú megközelítés A lineáris algebrai ismeretek, hasonlóan egyéb ismeretekhez, több különböző módon is feldolgozhatók Bár e könyv semmiképp sem sorolható a formális definíció-tétel-bizonyítás ciklusokra épülő tankönyvek közé, gerincét a klasszikus megközelítés adja, mely a definíciók és tételek, valamint a köztük lévő összefüggések precíz megfogalmazására, az algoritmikus ismeretek mintapéldákon való bemutatására, és a tudásnak feladatok megoldásán való elmélyítésére épül Emellett több újkeletű technikát is segítségül hívunk Ezek egy részének felsőfokú matematika tankönyvben való alkalmazása hazánkban nem gyakori Fogalmi és procedurális gondolkodás Elsőként az absztrakt összefüggések megértését segítő elemi, konkretizáló, szemléltető példák használatát említjük Ezek első sorban a procedurális gondolkodásban erősebb, a valami fajta kézzelfoghatóságot igénylő hallgatóknak készültek Az absztrakt, fogalmi gondolkodásban otthonos olvasó számára ezek többnyire egyszerű trivialitások, az előbb jelzett hallgatók számára viszont a megértés első lépését jelenthetik Vizuális, geometriai megközelítés A második technika a mérnökhallgatók közt érthetően erős, de korunk kultúrájára egyébként is jellemző vizuális gondolkodásra, és ennek matematikai megfelelőjére, a geometriai intuícióra épít Szerencsére erre egy lineáris algebra könyv különösen alkalmas a téma számtalan geometriai kapcsolata okán Könyvünk a geometriai tartalom megismertetése mellett a vizualizáció egyéb lehetőségeit is igénybe veszi (összefüggések absztrakt ábrázolása, dinamikus geometriai programok a könyvet kísérő weboldalon, ) Algoritmikus megközelítés Részben a számítógépes kultúra elterjedtsége, részben az alkalmazásokban való fontossága miatt könyvünk fontos szerepet szán egyes témák algoritmikus megközelítésének Alkalmazások A harmadik technika az alkalmazások bemutatásához kapcsolódik, ami nem csak matematikán kívüli alkalmazást jelent A könyvben szereplő alkalmazások nem csak a megtanult anyag felhasználási lehetőségeit tekinti át, ami a lineáris algebra tanulásának moti-

20 lineáris algebra váló tényezője is lehet, de sok helyütt a megértést a matematikai fogalmak megértését segíti, sőt a matematikai fogalomalkotásban, és az absztrakciós készség mélyítésében is szerepet játszik Számítógép használata A negyedik eszköz a számítógép bevonása az oktatásba Az életszerűbb problémákkal való foglalkozáshoz, valóságos alkalmazások megértéséhez ma már nélkülözhetetlen a számítógépes eszközök használata Ezek ráadásul oktatási segédeszközként is használhatók (pl szemléltetés, vizualizáció), és több numerikus példa vizsgálatát is lehetővé teszik A diákok számára kínált szoftverek kiválasztásában fontos szempont volt a szabad elérhetőség és az ingyenesség Bár a számítógép hasznos segédeszköz, a könyv számítógépet nem használó kurzusokhoz is teljes értékű Kitekintések Egy ismeret elsajátítását nagyban segíti, ha több szálon kapcsolódik már korábban megszerzett ismeretekhez A matematika sokak számára idegen terület, mely elvontsága miatt nehezen kapcsolódik bármi máshoz A könyv szövegét a margón apró kitekintő megjegyzések kísérik, melyek a közvetlen alkalmazásokon túli egyéb kapcsolatokat igyekeznek létrehozni Ilyenek például a történeti megjegyzések, életrajzok, a lineáris algebra fogalmaira vonatkozó etimológiai magyarázatok, lineáris algebrai számítógépes programokhoz kapcsolódó ismeretek, programkódok, de ide tartoznak a további tanulmányokat motiváló, a matematika más területeire kitekintő megjegyzések is E kitekintéseket néhol internetes linkek erősítik Feladatok Didaktikai célból a könyv sok kidolgozott mintapéldát tartalmaz A feladatokat a könyv többcélú felhasználása érdekében nehézség és tartalom szerint osztályoztuk A feladat sorszámát a felső indexbe tett az A betűre emlékeztető háromszög jelzi, ha alkalmazási feladatról van szó (pl 211 ), és a számítógép monitorára emlékeztető négyzet jelzi a számítógéppel megoldható feladatokat (pl 212 ) A fontosnak ítélt feladatokat egy díszpont (pl 213 ), a nehéz, több időt és némi matematikai képességet igénylő feladatokat csillag jelzi (pl 215 ) Végül az elemi rutinfeladatokat, egészen egyszerű néha a képletbehelyettesítés szintjén lévő alapfeladatokat, amelyek megoldása minden hallgatótól elvárható, egy bíztatásnak szánt karakter jelzi (pl 219 ) Reményeink szerint ezek a matematika iránt kevesebb fogékonyságot mutató hallgatókat is sikerélményhez juttathatják Angol szótár Mára a legtöbb szakterületen való előrelépés feltétele az angol szakkifejezések ismerete A további tanulmányokhoz számtalan forrás érhető el angol nyelven, ezért fontosnak tartottuk, hogy e könyvben használt fontosabb szakszavakat angolul is megadjuk

TARTALOMJEGYZÉK 21 A könyv felépítése A könyv részei A könyv első részét a lineáris algebra két fő forrásának tanulmányozására szántuk E két forrás jól jellemezhető egy-egy alapfogalommal: a vektorral és a lineáris egyenletrendszerrel Egyikük geometriai, másikuk algebrai jellegű E fogalmakat az Olvasó korábbi tanulmányaiból már ismeri E részben ezekből kiindulva, de a lineáris vektortér absztrakt fogalmának ismerete és a mátrixműveletek bevezetése nélkül közel jutunk a lineáris algebra mélyebb fogalmaihoz A könyv második része a Mátrixok algebrája és geometriája címet viseli Megszívlelve a Linear Algebra Curriculum Study Group ajánlásait 1 1, e rész az első lineáris algebra kurzus középpontjába helyezi a mátrix fogalmát, de a legtöbb könyvvel ellentétben a mátrixok algebrája mellé helyezi a mátrixok hatásának geometriai vizsgálatát is Ez néhány későbbi fogalom szemléletesebbé tételében is segít, de fontos több modern alkalmazás miatt is (pl komputer grafika) E részben vezetjük be a determináns fogalmát is, mivel annak egyértelműen geometriai motivációt adunk A könyv harmadik részének kulcsfogalma a sajátérték, amit a cím a mátrix sajátságai szójátékkal jelez E részben nem csak a mátrixok diagonalizálása, vagy Jordan-féle normálalakja szerepel, de ide vettük a szinguláris értéket is, melynek fontossága az alkalmazásokban rohamosan növekszik A szokásostól eltérő tartalmi megoldások Kiemelünk néhány témát, melynek tárgyalásában eltérünk a bevezető lineáris algebra könyvek többségétől 1 A vektorok geometriai-fizikai bevezetését fontosnak tartottuk szemben az egyszerűbb, de a kevésbé motivált koordinátás bevezetéssel 2 Az egyenes és sík egyenletei/egyenletrendszerei osztályozásában a szokásosak helyett (paraméteres, normál) az implicit és explicit elnevezéseket használjuk, ami sokkal szorosabbá teszi e geometriai alakzatok és a lineáris egyenletrendszerek és azok megoldásai közti kapcsolatot Nevezetesen természetessé válik az egyenletrendszer implicit alak, egyenletrendszer megoldása explicit alak párosítás 3 Az R n alterének fogalmát sokkal előbb bevezetjük, mint a vektortér fogalmát Fontosnak tartjuk annak megmutatását egészen elemi szinten, hogy egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alteret alkotnak, és hogy az inhomogén egyenletrendszer megoldásait ennek eltolása adja 4 Egészen elemi szinten olyan fogalmakat is tárgyalunk, mint az alterek merőlegessége és direkt összege, hogy megértsük az egyenletrendszer megoldásainak szerkezetét 5 Az első rész végén eljutunk a lineáris algebra alaptételének kimon-

22 lineáris algebra dásáig (a mátrix sortere és nulltere merőleges kiegészítő alterei egymásnak) 6 Az alterek szemléltetésére egy teljesen új módszert, a levéldiagrammokat használjuk 7 A mátrixok szorzását motivált módon vezetjük be, úgy, mint ami a valósok közti szorzás számtáblázatokra való természetes általánosításából adódik 8 Csak a magyar nyelvű tankönyvirodalomban újszerű, hogy miután az egyenletrendszerek megoldása az elemi sorműveletekre épül, a mátrixműveletek tárgyalásában fontos szerep jut az elemi mátrixoknak, és az elemi sorműveletek bizonyos sorozatát magában őrző LU-felbontásnak 9 A determinánsok tárgyalásában is fontosnak tekintettük, hogy e fogalomnak ne valami érthetetlen, égből pottyant definícióját adjuk A parallelepipedon előjeles térfogatán keresztül való szemléletes bevezetés e cél elérésére kiváló, ráadásul szerencsés módon a felsőbb matematika modern definíciójához vezet 10 A determinánsok tárgyalásában új a fejezet két alfejeztre osztása Az első a determinánst, mint sorvektorainak függvényét tárgyalja Itt szerepel a determináns definíciója, és kiszámításának a gyakorlatban is használt elemi technikája A másik alfejezet a determinánst, mint elemeinek függvényét vizsgálja Ez a kifejtési tételt és az ún elemi szorzatok összegeként való előállítást az általunk ismert könyveknél egyszerűbb módon teszi érthetővé és emészthetővé 11 A mátrixleképezések geometriája tartalmas fejezet, melyben a forgatás és vetítés transzformációiból messzire jutunk (legkisebb négyzetek módszere, Gram Schmidt-eljárás, ortogonális mátrixok) E fejezet igen sok része opcionális, egy első kurzusból kihagyható 12 Ebben a fejezetben tárgyaljuk a pszeudoinverz fogalmát, amelynek egészen elemi, egyszerű és szemléletes definícióját adjuk, mellyel másutt nem találkoztunk 13 A sajátérték-sajátvektor fogalmának tárgyalása nem tér el a hagyományostól, de mindjárt az első pillanattól nagy hangsúlyt helyezünk a sajátaltér fogalmára is, melynek megértése nélkül nem lehet e témában sokra jutni 14 Bár egy első lineáris algebra kurzusba nem fér el, de kiemelten fontos helyet kap a szinguláris érték és az SVD is E fogalmakat is egészen elemi és természetes módon, két olyan ortonormált bázis meghatározásával vezetjük be, melyek egyikének képe a másik elemeinek skalárszorosaiból áll Ez a sajátérték fogalmának természetes általánosítása

TARTALOMJEGYZÉK 23 Szoftverek Lineáris algebra kurzusokhoz többnyire kétféle szoftver valemelyikét használják: MATLAB-típusú vagy komputer algebra rendszert Egy kurzus alatt elegendő egyetlen szoftver használata Mátrix alapú nyelvek A lineáris algebra a programnyelvek felől legtermészetesebb módon valamely mátrix alapú numerikus matematikai szoftveren keresztül közelíthető meg A MATLAB-nak és a hozzá hasonló nyelveknek e területen meghatározó szerepük van, ezért a továbbiakban mátrix alapú nyelveken csak ezeket értjük E nyelvek közül négyet emelünk ki A mintaadó és egyúttal a legelterjedtebb közöttük a MATLAB, mely egy másik, O-Matrix nevű programmal az üzleti szoftverek közé tartozik A több, főként francia kutatóintézet és egyetem (pl École Polytechnique, École Centrale Paris, INRIA) valamint cég (pl a nagy francia autógyárak) konzorciuma által támogatott SciLab és a GNU szoftverek közé tartozó Octave nyílt forráskódú ingyenes szoftverek E szoftverek mindegyike igen megbízható, nagy tudású, mindegyik komoly referenciákat szerzett valódi műszaki, pénzügyi és tudományos számítások elvégzésével, ezért nyugodt szívvel ajánlható oktatási célokra is Körültekintő mérlegelés után az Octave mellett döntöttünk, annak ingyenessége és a MATLAB-bal való nagyobb kompatibilitása miatt, így a könyvünkben szereplő mátrix alapú nyelven írt kódok ebben készültek Komputer algebra rendszerek A komputer algebra rendszerek (Computer Algebra Systems, rövidítve CAS) oktatásban való használhatósága ma már nem kérdés Legismertebb ilyen rendszerek a Maple és a Mathematica Mindkét rendszer igen nagy tudású, képességeik messze felülmúlják azt, amire egy lineáris algebra kurzusnak szüksége lehet Mivel e szoftverek beszerzése nem olcsó, itt is érdemes az ingyen elérhető lehetőségeket keresni Egy friss fejlesztés a Sage nevű program Ennek egyik előnye, hogy saját programnyelv helyett egy széles körben elterjedt és könnyen tanulható nyelvre, a Pythontra épül További jellemzői: felhasználói felületének egy web-es kereső, melyen keresztül számtalan egyéb computer algebra program is elérhető Mindez gyors fejlődést és nagy lehetőségeket kínál A fent felsorolt szoftverek bármelyike ajánlható lineáris algebra kurzushoz Könyvünk CAS-kódjai a Sage-rendszert használják A támogatás oka a rendszer ingyenessége és nagy tudása mellett az, hogy mivel webes keresőkben futhat, ezért nem csak saját gépről, hanem az Interneten keresztül valamely szerverről, így akár netbookon, vagy okostelefonon is használható, és ezzel igen rugalmas hozzáférést biztosít

24 lineáris algebra Jelölések Képlet oldal megjegyzés proj b a 42 a vektor b-re eső vetülete a b 39 a és b skaláris szorzata a b 45 a és b vektori szorzata (a, b) 31 a és b szöge (a, b) 44 a és b irányított szöge := definiáló egyenlőség i, i imaginárius egység, és az i változó e, e az e szám, és az e változó C, R, Q, Z komplex, valós, racionális, illetve egész számok Z m 446 modulo m vett maradékosztályok F p = Z p 447 a modulo p (p prím) vett maradékosztályok, a prímelemű test a 31 az a vektor abszolút értéke a 31 az a vektor normája a ij, a i,j 170 az A mátrix i-edik sorának, j-edik oszlopának eleme a i 170 az A mátrix i-edik sorvektora a j, a j 170 az A mátrix j-edik oszlopvektora (v) B, [v] B 139 a v vektor B bázisra vonatkozó koordinátás alakja [L] B az L lineáris leképezés B bázisra vonatkozó mátrixa A, A az A lineáris leképezés és annak A mátrixa a standard bázisban A jelölések kiválasztásánál azt az elvet követtük, hogy a fontosabb jelölések esetén a nemzetközi angol nyelvű matematikai szakirodalomban elterjedt jelölések valamelyikét követtük Ez a lebegőpontos számok írására is vonatkozik, tehát nem a magyar irodai szabványt követjük, így nem tizedesvesszőt, hanem tizedespontot használunk

I rész A lineáris algebra forrásai

27 A lineáris algebra két fő forrásának egyike a geometria, másika az algebra vidékéről ered Mindkét forrás jól jellemezhető egy-egy elemi fogalommal: az egyik a vektor, a másik a lineáris egyenletrendszer E könyv első része e két fogalmat vizsgálja egészen elemi, középiskolai szintről indulva A lineáris algebra mélyebb fogalmai már itt fölbukkannak, de csak nagyon egyszerű és a legkevésbé absztrakt formájukban Az első rész végére látni fogjuk, hogy e két forrás már ezen a bevezető szinten szétválaszthatatlanul egyetlen folyammá válik

1 Vektorok Általánosan elterjedt nézet szerint a természeti jelenségek leírásakor sok összefüggést számszerű adatokkal, ún skalárokkal vagy skalármenynyiségekkel fejezünk ki, míg mások leírásához a számadat mellett egy irány megadása is szükséges, és ez utóbbiakat nevezzük vektoroknak A valóság ennél sokkal színesebb: a téridő 4-dimenziós vektoraitól, a bitvektorokon, a gazdasági számítások többszázezer-dimenziós, vagy az internetkeresők által kezelt sokmillió-dimenziós vektorain át a matematika különböző területein gyümölcsöző absztrakt vektorfogalomig széles a skála Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben E szakaszban a vektor szemléletes, geometriai fogalmával ismerkedünk A vektorok összeadásán és skalárral való szorzásán keresztül két kulcsfogalomig a lineáris kombináció és a lineáris függetlenség fogalmáig jutunk Irányított szakasz, kötött és szabad vektor Tekintsünk egy sárkányrepülőt repülés közben Számtalan skalár- és vektormennyiség írja le állapotát A földtől való távolság, a légnyomás, a légellenállási együttható vagy az emelkedés szöge skalármennyiségek, míg vektormennyiségek a sebesség- és gyorsulásvektor, a szárnyra ható felhajtóerő, a gravitációs erő, a szél ereje vagy az elmozdulást leíró vektor A vektor fogalma kapcsolatban van az irányított szakasz fogalmával Irányított szakaszon olyan szakaszt értünk, melynek végpontjain megadunk egy sorrendet, azaz kijelöljük, hogy melyik a kezdő- és melyik a végpontja Más szóhasználatban az irányított szakaszt szokás kötött vektornak is nevezni Az A kezdőpontú és B végpontú irányított szakaszt AB jelöli Több jelenség leírására a kötött vektor alkalmas Természetes példa az elmozdulásvektor, mely megadja, hogy egy tárgy a tér mely pont- Skalár, skaláris: a lépcső, létra jelentésű latin scalae (scālae) szóból ered E szó származéka a skála szó is, mely jól őrzi az eredeti jelentést A skalár vagy skaláris szót a matematikában szám vagy számszerű értelemben használjuk, például olyankor, amikor egy mennyiségről azt akarjuk hangsúlyozni, hogy irány nélküli, azaz nem vektor jellegű

30 lineáris algebra jából melyik pontjába jutott Másik példa kötött vektorra a rugalmas testen alakváltozást okozó erőt leíró vektor (11 ábra) Alkalmazásokban gyakran előfordul, hogy egy jelenség különböző irányított szakaszokkal is ugyanúgy leírható Például ha egy tárgy mozgását egy olyan irányított szakasszal jellemezzük, melynek hossza az időegység alatt megtett út hosszával egyenlő, iránya pedig a mozgás irányát jelzi, akkor mindegy hogy a tér melyik pontjából indítjuk e szakaszt, a mozgást ugyanúgy leírja (12 ábra) Ekkor tehát nem a két pont, hanem azok viszonya a kérdés, vagyis például hogy az egyik pont a másiktól milyen távolságra, és milyen irányban van Az, hogy a két pont pontosan hol van, nem lényeges Ekkor bármely két irányított szakasz, mely párhuzamosan egymásba tolható, ugyanazt a viszonyt fejezi ki Az így kapott fogalmat a fizikában szabad vektornak nevezik Ez a fogalom a lineáris algebra vektor-fogalmának egyik forrása A vektor fogalma az irányított szakaszéból származtatható, annak a feltételnek a hozzáadásával, hogy két irányított szakasz pontosan akkor reprezentálja ugyanazt a vektort, ha párhuzamosan egymásba tolhatók (ld 13 ábra) Vektorok jelölésére félkövér kisbetűket használunk, pl x, u, v, stb A műszaki és fizikai szakirodalomban a félkövér nagy betű is előfordul, pl az F erő, a B indukció is vektormennyiségek (a) (b) 11 ábra: Kötött vektorok: (a) elmozdulásvektor (lábnyomokkal), (b) rugalmas testen alakváltozást okozó erő vektora 12 ábra: Példa szabad vektorra Vektor: a hordozó, vivő, utazó jelentésű latin vector szóból származik A tudomány más területein hordozó anyag, az élettanban vírushordozó értelemben használják Vektor magadása egy irányított szakasszal Egy vektor megadható egy irányított szakasszal, azaz két pont és a köztük lévő sorrend kijelölésével Valójában ennyi adat felesleges, hisz egy irányított szakasz önmagával párhuzamosan eltolva ugyanazt a vektort adja meg, ezért például kiköthető, hogy a kezdőpont a sík (tér) egy előre kijelölt rögzített pontja legyen Ezt a közös kezdőpontot nevezzük origónak Egy origóból induló irányított szakaszt egyértelműen definiálja a végpontja, így a vektorok megadásához elég egyetlen pont, a végpont megadása Ezzel a sík vagy tér pontjai és vektorai közt kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíthetünk (14 ábra) Az origóból egy P pontba húzott irányított OP szakaszt a ponthoz tartozó helyvektornak is szokás nevezni Világos, hogy minden vektor reprezentánsai közt pontosan egy helyvektor van A későbbiekben gyakran fogunk egy ponthalmazt úgy jellemezni, hogy az origóból a ponthalmaz pontjaiba mutató vektorokat jellemezzük Amikor vektorok végpontjairól beszélünk, mindig a vektorokat megadó, az origóból indított irányított szakaszok végpontjaira gondolunk Az olyan vektort, melynek kezdő és végpontja egybeesik, zérusvektornak vagy nullvektornak nevezzük A zérusvektort általában félkövér zérussal, azaz 0-val jelöljük A pontok és vektorok közti megfeleltetésben a zérusvektornak az origó felel meg 13 ábra: Ugyanazt a vektort reprezentáló irányított szakaszok Vektorok jelölése: Műszaki, fizikai szövegek szedésének tipográfiai szabályait az ISO 31-11 szabvány írja le Eszerint a vektorok félkövér betűkkel szedendők Kézírásban aláhúzással, vagy fölé írt nyíllal szokás jelezni a vektort (pl x, u, v ), de körültekintő jelölésrendszer és jegyzetelés esetén elhagyhatók a jelzések Felsőbb matematikai művek nem használják e szabványt, mondván, kiderül a szövegből, hogy vektort jelölnek-e a betűk (x, u, v ) O OP P 14 ábra: A sík pontjai és vektorai közti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés: egy P pontnak az OP vektor felel meg, az origónak a nullvektor