Alapvizsga 014. MATEMATIKA 10.A Megoldókulcs I. rész A megoldásra 5 perc áll rendelkezésre 1. Adja meg az ábrán látható függvény hozzárendelési szabályát! Határozza meg a szélsőértékét és helyét! Adja meg a függvény értékkészletét a[-;4] intervallumon! (5 pont) Megoldás: f(x)= 1 x + Maximum értéke: y= Maximum helye: x= É.T.: {yεr 1 y } ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Írja át kettesből tízes számrendszerbe a 101010x számot, majd döntse el, hogy az x változó milyen helyettesítési értéke mellett osztható a szám -tal? Indokoljon! (5 pont) Megoldás: A szám tízes számrendszerben: 4+1+4+x=84+x Kettes számrendszerben az X helyén csak 0 vagy 1 lehet. Egy szám akkor osztható hattal, ha kettővel és hárommal osztható. Kettővel oszthatóság miatt x nem lehet 1, viszont 0 lehet, ez pedig -mal való oszthatóság szempontjából is megfelelő (84+0=84 osztható -mal). Tehát x=o -. Milyen számot kell beírni p helyére, hogy igaz legyen az alábbi egyenlőség? (x 5) x 10x+p x 5 = x 5 ( pont) Megoldás: A nevezővel átszorozva kapjuk: x²-10x+p=(x-5)(x-5) x²-10x+p=x²-10x+5 ahonnan p=5 (szebb lenne, ha felismerné az azonosságot, ahonnan egyszerűsítene (x-5)-tel )-------------------------------------------------
4; Hány átlója van annak a szabályos sokszögnek, melynek egy belső szöge 7,5? (4 pont) Megoldás: Az n oldalú szabályos sokszög egy belső szöge α = (n ) 180 n Tehát 7,5 = (n ) 180 n 7,5n=180n-0 ebből n=1 Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma n (n ) azaz 104 = 1 1 5; Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a racionális számok halmazán! Megoldás: Mivel a tört számlálója negatív, x-5 0 kell legyen, de a kikötés miatt x-5 0 (x 5), így x-5<0, azaz x<5 a megoldása az egyenlőtlenségnek. x 5 0 ( pont) - ; Írja fel egy gyökjel segítségével a következő kifejezéseket! a; x x b; x x (4 pont) Megoldás: a; x x = x x = x x = x 5 b, x x = x x = x 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------ 7; Márciusban egy adott héten öt reggelen mérték meg a hőmérsékletet. Az öt adat átlaga 1, mediánja 0 volt. Adjon meg egy ilyen lehetséges adathalmazt! ( pont) Megoldás: Mediánja 0, tehát kell két negatív és két pozitív adat a 0 mellé. A két negatív szám mellé úgy kell választani két pozítívat, hogy az átlaguk 1, azaz összegük 5 legyen. Például:-, -1; 0; 1; 7
II. RÉSZ A II/ A és B rész megoldására összesen 55 perc áll rendelkezésre II/A rész Mindkét feladat megoldása kötelező! 8; Zoli a háromszög alakú kiskertjüket rajzolta le arányosan kicsinyítve egy papírra. A derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, a köré írt kör sugara 8,5 cm lett. Mekkora a másik befogója? Mekkora a kiskert területe, ha a rajz az eredeti kert 1:0 arányú kicsinyített mása? Zoli a kiskertjét ketté akarja választani egy kerítéssel, mely a derékszögű háromszög alakú kert rövidebb befogójával párhuzamos, és a hosszabb befogót : arányú részekre osztja úgy, hogy a rövidebb rész a derékszögű sarok felé esik. Mennyi drótkerítést kell vennie, ha a kerítés rögzítéséhez a két végére plusz 40-40 centit számol? (1) Megoldás: Legyen a megadott befogó a, a másik befogó b, az átfogó c. (Rajz) A Thalész-tétel alapján az átfogó a kör átmérőjével egyenlő, azaz c=r=17cm. A Pitagorasz-tétel felhasználásával 8²+b²=17², amiből b²=5, azaz b=. A kicsinyítés arányából a kert oldalainak hossza a =8 0=100cm=1m, b = 0=50cm=,5m, (c =17 0=550cm=5,5m.) A derékszögű háromszög területe T = a b = 1,5 A kerítés oszlopa a hosszabb, tehát a,5 méteres befogót,5 5 osztja, úgy, hogy a derékszögű sarok felé a 9 méteres rész esik. = 15m = 9, és,5 5 Jelölje a kerítés hosszát a plusz 40 centik nélkül x: Ekkor a párhuzamos szelőszakaszok tételéből: = 1,5 m hosszúságú részekre x = 1 1,5,5 amiből x=7,m. Ehhez hozzáadva kétszer a 40 cm-t (=0,4m) kapjuk, hogy a kerítéshez8 m hosszú dróthálót kell vennie. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9; Anna és Panna matek házi feladatot csinálnak. Anna a következő feladatot kapta: Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! 9=x²+x. Mikor kész lett a feladattal, Panna megállapította:az én egyenletem megoldásai, pont a te gyökeid reciprokai! Írjon fel általános alakjában egy egyenletet, amely lehetett Panna feladata. Anna a dolgozatra készülve újra átnézte az órán megoldott feladatokat, és az egyik egyenletnél azt vette észre, hogy elmosódott az x-es tag szorzója, ráadásul a megoldás nagy része is, mikor padtársa véletlenül ráborította az innivalóját. A feladat végére nézve látta, hogy annak csak egy megoldása van. Milyen szám lehetett az x szorzója az egyenletben, ha azt most p-vel jelölve az eredeti egyenlet így nézett ki: 4x²+px+5=0? (1)
Megoldás: Az egyenletet 0-ra rendezve kapjuk, hogy Anna egyenletének x²+x-9=0 megoldásai: x 1; = ± 4 ( 9) ahonnan x₁=1, x₂=- Panna megoldásai tehát 1 és -⅓. = ± +108 = ±1 A gyöktényezős alak felhasználásával Panna egyenlete lehet például ha a=1 et választjuk 1(x-1)(x-⅓)=0, melynek általános alakja x 4 x + 1 = 0 Mivel az egyenletnek egy megoldása van, így a diszkriminánsa D=0 tehát b²-4ac=0 Behelyettesítve p²-4 4 5=0 amiből p²=400, tehát p =0 azaz p=±0. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- II/B rész A két feladat közül csak az egyiket kell megoldani! 10. A tízedik évfolyam alapvizsgára felkészítő dolgozatánál 75 pont volt a maximum. Az egyik csoportban a következő eredmények születtek: 5, 47,, 71, 41, 5, 1,, 8, 1,, 47, 9, 41,. a; Írjon fel gyakorisági táblázatot a jegyekre, ha a ponthatárok a következők voltak: 0-18: elégtelen, 19-9: elégséges, 0-44: közepes, 45-59: jó, 0-75: jeles. b;adja meg a jegyek átlagát, mediánját, móduszát! c; Mekkora a pontok terjedelme? d; Készítsen kördiagramot a jegyek eloszlásáról! e; Hányféle sorrendben oszthatja ki a tanár a dolgozatokat, ha először az elégtelen, majd az elégséges, közepes, jó és végül a jeles dolgozatokat osztja ki, de az azonos érdemjegyű dolgozatok maguk közt bárhogy keveredhetnek? f; A dolgozat egyik kérdése teszt-jellegű feladat volt. 5 kérdésre kellett válaszolniuk a diákoknak, mindegyiknél - válasz lehetőség (1; ; X) közül kellett választaniuk. Ha valaki nem a tanultak alapján, hanem pusztán a véletlenre bízva akarta volna kitölteni a tesztet, hányféleképpen tehette volna ezt meg ezt meg? (17 pont) Megoldás: a; jegyek elégtelen elégséges közepes jó jeles gyakoriság 1 4 b; A jegyek átlaga: 1 1+ +4 + 4+ 5 = 55 =,,7 mediánja: 4 módusza: 5
c; A pontok terjedelme: 71-1=55 d; jegyek elégtelen elégséges közepes jó jeles gyakoriság 1 4 relatív gyakoriság 1 4 középponti szög 4 48 9 48 144 Ábra a körcikkek elnevezésével e; A dolgozatokat 1!! 4!!!=1 4 70= =910 féle sorrendben oszthatja ki. f; A válaszokra 5 = 4 féle lehetősége lenne. 11. A tízedik évfolyamosok közül néhányan a közszolgálati munkájuk részeként eltakarították a város főteréről a március -dikei ünnepség után a Petőfi szobor lábához leszúrt papír zászlók maradványait. Bendegúz meg akarta örvendeztetni kistestvérét, és hazavitte neki, amit gyűjtött. Otthon szétválogatva őket, az alábbiakat állapította meg. A zászlók között csak olyan volt, ami teljesen ép. Összesen 17 zászló volt gyűrött, szakadt, 10-nek pedig törött volt a pálcikája. zászlót talált, mely szakadt is volt és a pálcikája is el volt törve, 7-et, aminek törött volt a pálcikája és gyűrött volt, és 8-at, ami szakadt és gyűrött volt. olyan zászlót vitt haza, melynek mindhárom hibája megvolt. a; Ábrázolja az adatokat Venn-diagramon! b; Hány zászlónak volt pontosan két hibája? c; Hány zászló volt csak gyűrött? d; Ha tudjuk, hogy a hazavitt zászlók harmada volt kézzel festett, a maradék felénél néggyel kevesebb pedig ceruzával színezett, a többi gyárilag színesre nyomtatott. A zászlók hány százaléka volt gyári nyomású? e; Ha a hazahozott zászlókat mind egy szatyorba teszi, és onnan egyesével, véletlenszerűen húzza elő azokat sorban, hányat kell kihúznia, hogy a kihúzottak között biztosan legyen ceruzával színezett? (Indokoljon is!) f; Bendegúz kistestvére megállapította: Minden kézzel festett zászló gyűrött. Tagadja az állítást! g;a fenti állításból következik, hogy ha egy zászló kézzel festett, akkor gyűrött. Fordítsa meg az állítást, és a megfordításról döntse el, hogy igaz-e! (17 pont) Megoldás: a; Helyes halmazábra 4 pont b; 4+5+0=9 zászlónak volt pontosan két hibája c; 5 zászló volt csak gyűrött d; Összesen +7+4++5+5+=0 zászlót vitt haza Bendegúz.
Ennek harmada: 0:=10 volt kézzel festett a maradék (0-10=) 0 felénél néggyel kevesebb: 0:-4= ceruzával színezett. 0-(10+)=14 zászló volt gyári színezésű. Ez a0-nak 14 100 = 4, (vagy 4,7) %-a. 0 e; A 0 zászlóból ceruzával színezett, 4 pedig nem. A legrosszabb esetben először kihúzza az összes olyat, ami nem ceruzával színezett (4), de 5-dikre már mindenképpen ceruzásat kell húznia, hiszen nincs már más a szatyorban. Tehát 5-öt kell kihúznia. f; A mondat tagadása: Van olyan kézzel festett zászló, ami nem gyűrött. g; A mondat megfordítása: Ha egy zászló gyűrött, akkor kézzel festett. Ez nem igaz, mert több gyűrött zászló van (17), mint kézzel festett (10).