BEVEZETÉS Alpfoglmk: pont, egyenes, sík, illeszkedik. P, Q e, f S, R ε Térelemek kölcsönös helyzete Pont-egyenes: Egy pont vgy illeszkedik egy egyenesre, vgy nem eleme z egyenesnek, zz nem illeszkedő. P Q P e; Q e Két egyenes: Két egyenes metsző, h pontosn egy közös pontjuk vn: e M e e f = M f Két egyenes párhuzmos, h egy síkbn vnnk, és nem metszik egymást: (Jele: e f) e f e, f ε S e f = Két egyenes kitérő, h nincsenek egy síkbn: e f 1
Pont és sík: Egy pont vgy illeszkedik egy síkr, vgy nem eleme síknk, zz nem illeszkedő. Q S P P S; Q S Egyenes és sík: Egy egyenes vgy illeszkedik síkr, vgy síkot egy pontbn metszi, vgy nincs síkkl közös pontj, zz z egyenes és sík párhuzmosk. g S e f e ε S; g S; f S = Két sík: Két sík metsző, h pontosn egy közös egyenesük vn. R S R S = e Két egyenes párhuzmos, h nem metszik egymást. R S 2
Alpállítások Axiómák Vnnk olyn állítások geometriábn, melyeket bizonyítás nélkül fogdunk el. Az ilyen állításokt lptételeknek, xiómáknk nevezzük. Axiómák: 1. Két pontr egyetlen egyenes illeszkedik. 2. H három pont nem illeszkedik egy egyenesre, kkor három pontr egyetlen sík illeszkedik. 3. H egy egyenes két pontj illeszkedik egy síkr, kkor z egyenes illeszkedik síkr. 4. Egy egyenesre és egy, nem z egyenesen lévő pontr, egyetlen sík illeszkedik. 5. Két metsző egyenesre egyetlen sík illeszkedik. 6. Egy dott pontr egyetlen olyn egyenes olyn egyenes illeszkedik, mely egy dott egyenessel párhuzmos. Szksz, távolság Az egyenest egy pontj két félegyenesre bontj. Az egyenesnek két pontj közötti részét szksznk nevezzük. B P e A A, illetve B szksz két végpontj. Két szksz összehsonlíthtó. Kijelölhetünk két pontot, melyek távolságát egységnek tekintjük. Így bármely A, B pontokhoz rendelhető egy nemnegtív vlós szám, mely méri két pont távolságát. Jele: d (A, B). (d: distnti = távolság) A távolság mérőszámától elvárjuk z lábbikt: 1. Az egymásr illeszkedő pontok távolság legyen null, zz h A = B, kkor d (A, B)=0. 2. Elvárjuk, hogy z AB távolság egyezzen meg BA távolságávl: d (A, B)=d (B, A). 3. Három pont esetén kettő-kettő távolságár teljesüljön z un. háromszög egyenlőtlenség: d(a, B) + d(b, C) d(a, C). Az egyenlőség bbn z esetben áll fenn, h három pont egy egyenesre illeszkedik. C d (A,C) d (C,B) A B C A d (A,B) B 3
TÉRELEMEK TÁVOLSÁGA Pont és egyenes: Pontnk z egyenestől vló távolságán nnk szksznk hosszát értjük, mely pontból z egyenesre bocsátott merőlegesen pont és z egyenes között vn. P e d(p, e) = d(p, P ) P Két párhuzmos egyenes: Két párhuzmos egyenes távolság nnk szksznk hossz, mely z egyik egyenes vlmely pontjából másik egyenesre bocsátott merőlegesen két egyenes között vn. P d(, b) = d(p, P ) b P Def: Egy P pontból z S síkr bocsátott merőleges egyenesnek síkon lévő P pontját (tlppontját) P pontnk z S síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Pont és sík távolság: A pontnk és pontnk síkon lévő merőleges vetületének hossz keresett távolság. P d(p, S) = d(p, P ) P S 4
Egy sík, és síkkl párhuzmos egyenes távolság: Ez távolság megegyezik z egyenes egyik pontjánk síktól vló távolságávl. P e d(e, S) = d(p, P ) P S Kétpárhuzmos sík távolság: Ez távolság megegyezik vlmelyik sík egy tetszőleges pontjánk másik síktól mért távolságávl. d(s, R) = d(p, P ) S P R P Két kitérő egyenes távolság: Két kitérő egyenes távolság nnk szksznk hossz, mely két kitérő egyenes mindegyikét metsző, és mindkét egyenesre merőleges egyenesen két kitérő egyenes között vn. P e d(e, f) = d(p, P ) P e f 5
SZÖGEK Egy pontbók kiinduló két félegyenes rájuk illeszkedő síkot két részre bontj. Ezeket részeket szögeknek nevezzük. A két félegyenes két szöget hoz létre. Amelyikkel dolgozunk, zt körívvel jelöljük. P szögtrtomány szögcsúcs szögszár A szögeket görög bc kisbetűivel jelöljük. Szögek mérése: A szögeket fokokbn és rdiánokbn mérhetjük. A teljesszög z szög, melynél két félegyenes egybeesik, és szögtrtomány teljes sík. 1 teljesszög 360-d része. Rdián ívmérték: egysége z szög, melyhez mint középponti szöghöz kör sugrávl egyenlő hosszúságú körív trtozik. 1 rd 57 17 1 = π 180 1 = 60 π rd = 180 1 = 60 r i = r O 1 rd 6
A szögek csoportosítás: Nullszög: két félegyenes egybeesik. Hegyesszög: 0 < < 90 Derékszög: = 90 Konvex (domború) szögek Tompszög: 90 < < 180 Egyenesszög: = 180 Homorúszög: 180 < < 360 Konkáv (homorú) szögek Teljesszög: = 360 Egyenesszög: z szög, melynek szári egy egyenest lkotnk: Nevezetes szögpárok H két konvex, vgy két konkáv szög szári párhuzmosk és páronként egyenlő irányúk, kkor zokt egyállású szögeknek nevezzük. Az egyállású szögek egyenlők. H két konvex, vgy két konkáv szög szári párhuzmosk, és páronként ellentétes irányúk, kkor zokt váltószögeknek nevezzük. A váltószögek egyenlők. 7
H váltószögek szári egybeesnek, kkor zokt csúcsszögeknek nevezzük. Társszögeknek nevezünk két konvex szöget, h szárik párhuzmosk, egy-egy száruk irány megegyezik, egy-egy száruk irány pedig ellentétes. H z zonos irányú szögszár közös, kkor mellékszögeknek nevezzük szögeket. A társszögek 180 -r egészítik ki egymást, ezért kiegészítő szögek. β Társszögek β Mellékszögek A merőleges szárú konvex szögek szári páronként merőlegesek egymásr. Ezek szögpárok vgy egyenlők, vgy pedig 180 -r egészítik ki egymást. 180-8
Forgásszögek Egy szög két szárát megkülönböztethetjük: h z egyik szárt kiinduló szárnk tekintjük, és bból kiindulv másik szárt közös végpont körül forgtjuk, z így kpott szöget forgásszögnek nevezzük. A forgásszög irányított, így ngyságávl és irányávl djuk meg. H síkr tekintünk, és szög kiinduló szárát másik szárb z órmuttó járásávl ellentétes forgtássl vihetjük át, kkor szöget pozitívnk, ellenkező esetben szöget negtívnk nevezzük. b (, b) = + f β (e, f) = β e A forgásszög 360 -nál ngyobb is lehet. 9
Térelemek hjlásszöge Def: Két kitérő egyenes hjlásszögének nevezzük tér egy tetszőleges pontján átmenő, velük párhuzmos egyenesek hjlásszögét. f e P e e e, f f f Def: Egy egyenes és egy sík kkor merőleges egymásr, h z egyenes merőleges sík minden egyenesére. Tétel: H egy egyenes merőleges sík két egymást metsző egyenesére, kkor sík minden egyenesére, zz síkr is merőleges. H egy egyenes nem merőleges z S síkr, kkor két pontjánk merőleges vetületére illeszkedő e egyenest z e egyenesnek z S síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Def: H egy egyenes nem merőleges síkr, kkor z egyenes és sík hjlásszöge z szög, melyet z egyenes síkon lévő merőleges vetületével bezár. Egy síknk, és vele párhuzmos egyenesnek hjlásszöge 0. P Q e e P Q Def: Két metsző sík hjlásszögének meghtározásához legyen P két sík metszésvonlánk egy tetszőleges pontj. P-ben két sík mindegyikén egy-egy merőlegest állítunk metszésvonlr. A két sík hjlásszöge megegyezik ennek két egyenesnek hjlásszögével. 10
H két sík párhuzmos, kkor hjlásszögük 0. P Tétel: H tér egy pontjából merőlegest bocsátunk egy síkr és nnk egy e egyenesére, kkor két tlppontr illeszkedő egyenes is merőleges z e egyenesre. 11
A TERÜLET FOGALMA Minden síkbeli lkzthoz hozzárendelhetünk egy pozitív számot, melyet z lkzt területének nevezünk. Az említett hozzárendelés egyértelműen elvégezhető úgy, hogy teljesüljön z lábbi két feltétel: z egybevágó lkztok területe egyenlő h egy lkzt véges sok (közös belső pont nélküli) lkzt egyesítéséből áll, kkor területe egyenlő z őt lkotó lkztok területének összegével. Az egységnyi oldlhosszúságú négyzet területe z 1 területegység. Def: A terület síkidom kiterjedését, ngyságát jellemző pozitív vlós szám, mely zt dj meg, hogy keresett terület hányszoros z egységnek válsztott síkidom (egységnégyzet) területének. Ez definíció csk z egyenes vonlkkl htárolt síkidomok esetében lklmzhtó közvetlenül. A TÉRFOGAT FOGALMA Minden poliéderhez hozzárendelhetünk egy pozitív számot, melyet poliéder tétfogtánk nevezünk. Az említett hozzárendelés egyértelműen elvégezhető úgy, hogy teljesüljön z lábbi két feltétel: z egybevágó poliéderek térfogt egyenlő h egy poliéder véges sok (közös belső pont nélküli) poliéder egyesítéséből áll, kkor térfogt egyenlő z őt lkotó poliéderek térfogtánk összegével. Az egységnyi élhosszúságú kock térfogt 1 térfogtegység. Def: A térfogt térbeli lkztok, testek kiterjedését, (űrtrtlmát) jellemző pozitív vlós szám, mely zt dj meg, hogy keresett térfogt hányszoros z egységnek válsztott test (kock) térfogtánk. Ez definíció csk síklpokkl htárolt testek esetében lklmzhtó közvetlenül. 12
Ponthlmzok Az zonos tuljdonságú pontok lkotnk ponthlmzokt. A ponthlmzokkl geometri fogllkozik. Tétel: Egy szksz felezőmerőlegese zoknk pontoknk hlmz, melyek szksz két végpontjától egyenlő távolságr vnnk. A síkbn: szkszt felező, és szkszr merőleges egyenes. A térben: szkszt felező, és szkszr merőleges sík. B A Def: A körvonl olyn pontok hlmz síkbn, melyek z S sík egy megdott O pontjától megdott r távolságr vnnk. k körvonl = {P OP = r; OεS, PεS rεr R } Def: A körlp z S sík egy dott O pontjától megdott r távolságnál nem ngyobb távolságr lévő síkbeli pontok hlmz. k körlp = {P OP r; OεS, PεS rεr R } körvonl körlp Def: A kör érintője olyn egyenes, mely körrel közös síkbn vn, és körrel pontosn egy közös pontj vn. O r 13
Def: A gömbfelület olyn pontok hlmz térben, melyek egy megdott O ponttól megdott r távolságr vnnk. G gömbfelület = {P OP = r; rεr R } Def: A gömbtest egy dott O ponttól megdott r távolságnál nem ngyobb távolságr lévő síkbeli pontok hlmz. G gömbtest = {P OP r; rεr R } Def: A gömb érintő egyenese olyn egyenes, melynek gömbfelülettel pontosn egy közös pontj vn. Def: A gömb érintősíkj olyn sík, melynek gömbfelülettel pontosn egy közös pontj vn. Tétel: A gömb érintő egyenese merőleges z érintési ponthoz húzott gömbsugárr. Tétel: A gömb érintősíkj merőleges z érintési ponthoz húzott gömbsugárr. Tétel: Egy konvex szöget felező félegyenes zoknk szögtrtománybeli pontoknk hlmz síkbn, melyek egyenlő távolságr vnnk szög két szárától. Tétel: A síkon zoknk pontoknk hlmz, melyekből egy AB szksz derékszögben látszik, z AB átmérőjű kör, kivéve szksz két végpontját. (Ez Thlesz-tétel és megfordítás.) A B 14
Tétel: A síkon zoknk pontoknk hlmz, melyekből egy dott szksz dott szögben látszik, két szimmetrikus körív. (0 < < 180 ) Az dott szksz két szimmetrikus körív közös húrj. Az A és B pontok nem trtoznk látószögkörívhez. B A 15
A körrel kpcsoltos ismeretek Def: A körvonl olyn pontok hlmz síkbn, melyek z S sík egy megdott O pontjától megdott r távolságr vnnk. A megdott r távolság kör sugr. k körvonl = {P OP = r; OεS, PεS rεr R } A kör kerülete: K = 2rπ. A kör területe: T = r 2 π. A kör és egyenes kölcsönös helyzete: o o o lehet metsző, ekkor két közös pontjuk vn, lehet érintő, ekkor egy közös pontjuk vn lehet kitérő, ekkor nincs közös pontjuk. metsző/szelő M 2 érintő M 1 kitérő E E A kör húrj körvonl két tetszőleges pontját összekötő szksz. A legngyobb húr z átmérő, mely átmegy kör középpontján és hossz sugár kétszerese: d = 2r. d = 2r A körvonlt két pontj két körívre bontj. A körlemezt két sugár két körcikkre, egy húr pedig két körszeletre drbolj. O r r O h i körív körcikk körszelet 16
Def: A körben középponti szög csúcs kör középpontj, két szár pedig kör két sugr. A középponti szög szári között egy-egy körív vn: z szöghöz i körív trtozik. Tétel: Egy körben középponti szögek ngysági és hozzájuk trtozó körívek hosszi egyenesen rányosk. Tétel: Egy körben középponti szögek ngysági és hozzájuk trtozó körcikkek területei egyenesen rányosk. O O r r i t i = 2rπ rπ = t 360 180 = r2 π 180 Def: A kör kerületi szögének nevezzük mindzokt konvex szögeket, melyeknek csúcs kör kerületén vn, és két száruk vgy egy-egy húrt trtlmz, vgy pedig egyik száruk húrt trtlmz, másik pedig egy érintőre illeszkedik. A kerületi és középponti szögek tétele: Tétel: Egy körben z zonos ívekhez trtozó középponti és kerületi szögek rány: 2:1, zz ω = 2. Kerületi szögek tétele: Tétel: Egy körben z ugynhhoz z ívhez trtozó kerületi szögek egyenlők. ω i 17 i
Körhöz húzott érintő- és szelőszkszok tétele: Tétel: A körhöz egy külső pontból húzott érintőszkszok mértni közepe nnk két szksznk, melyek külső pontr illeszkedő bármely szelőn ponttól körrel lkotott metszéspontokig terjednek. Tétel: H egy körhöz egy külső pontból tetszőleges szelőket húzunk, kkor z egyes szelőkön P ponttól körrel lkotott metszéspontokig terjedő szkszok szorzt állndó. P q e A Q E h h r h R B 1. PE = PA PB 2. PA PB = PQ PR 1. e = ( + h) 2. ( + h) = q (q + r) 18
Háromszögek Egy háromszöget három független dt egyértelműen meghtároz. A háromszög lpjelölése: C b γ A c β B A háromszögek megdásánk lpesetei: 1. dott háromszög három oldl 2. dott háromszög két oldl és z áltluk bezárt szög 3. dott háromszög két oldl, és hosszbb oldlll szemközti szög 4. dott háromszög egy oldl és rjt fekvő két szög. Összefüggések háromszög oldli között: A háromszög bármely két oldlánk összege legyen ngyobb hrmdik oldlnál: + b > c; b + c > ; + c > b. A háromszög bármely oldl ngyobb, mint másik két oldl különbségének bszolút értéke: c > b ; > b c ; b > c. Összefüggés derékszögű háromszög oldli között: PITAGORASZ-TÉTEL: Tétel: Bármely derékszögű háromszögben két befogó négyzetének összege egyenlő z átfogó négyzetével. A tétel megfordítás: Tétel: H egy háromszög két oldlánk négyzetösszege egyenlő hrmdik oldl négyzetével, kkor háromszög derékszögű. c 2 + b 2 = c 2 19 b
Összefüggések háromszög szögei között: Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180. Def: A háromszög belső szögeinek mellékszögeit háromszög külső szögeinek nevezzük. Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő nem mellette lévő belső szögek összegével. Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360. + β + γ = 180 γ = β + γ; β = + γ; γ = + β γ + β + γ = 360. β β Összefüggések háromszög oldli és szögei között: Tétel: H egy háromszögnek vn két egyenlő oldl, kkor velük szemközti szögek is egyenlőek. Tétel: H egy háromszög két szöge egyenlő, kkor velük szemközti oldlk is egyenlő hosszúk. 1. H = b, = β = b = β 2. H = β, = b Tétel: Bármely háromszögben két oldl közül hosszbb oldlll szemközt ngyobb szög vn, ( rövidebb oldlll szemben kisebb szög vn). Tétel: Bármely háromszögben két szög közül ngyobb szöggel szemközt hosszbb oldl vn, ( kisebb szöggel szemben rövidebb oldl vn). 1. H < b, < β < b < β 2. H < β, < b 20
A háromszögek csoportosítás Szbályos, vgy egyenlő oldlú háromszög: minden szöge 60. 60 Egyenlő szárú háromszög: vn két egyenlő hosszúságú oldl és vn két egyenlő szöge. A háromszög lehet hegyesszögű, derékszögű és tompszögű. β β b b:lp; : szárk; : lpon fekvő szögek; β: szárszög b Hegyesszögű háromszög: minden szöge hegyesszög Tompszögű háromszög: egy tompszöge vn, másik kettő hegyesszög. Derékszögű háromszög: egy derékszöge vn, másik kettő hegyesszög. c hegyesszögű háromszög tompszögű háromszög b derékszögű háromszög,b két befogó, c z átfogó 21
A háromszög területének meghtározás C T = m 2 = b m b 2 = c m c 2 γ Héron-képlet: b T = s(s )(s b)(s c) m c hol s = +b+c 2 = k, zz s félkerület. 2 β T = b sin γ 2 = b c sin 2 = c sin β 2 A c B T = ρ k = ρ s, hol ρ háromszögbe írhtó kör sugr. 2 ρ 22
A háromszögek nevezetes vonli és körei 1. Oldlfelező merőleges: háromszög oldlszkszink felezőmerőlegesei. Tétel: A háromszög három oldlánk felezőmerőlegese egy pontbn metszi egymást. Ez pont háromszög köré írhtó kör középpontj. Hegyesszögű háromszög esetén ez pont háromszögön belül vn, tompszögű háromszög esetén pedig háromszögön kívül tlálhtó. Derékszügű háromszög esetén kör középpontj z átfogó felezőpontj. 2. Mgsságvonl: A háromszög mgsságvonlánk csúcsból szemközti oldl egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük. Ennek zt szkszát, melyik háromszög csúcs és szemközti oldl egyenese között vn, háromszög mgsságánk nevezzük. Tompszögű háromszög esetén ez szksz háromszögön kívül is hldht. Egy háromszögnek három mgsságvonl vn. m m Tétel: A háromszög mgsságvonli egy pontbn metszik egymást. Ezt pontot szokták mgsságpontnk is nevezni. Hegyesszögű háromszög esetén mgsságpont háromszögön belül vn, tompszögű háromszögnél pedig háromszögön kívül. Derékszögű háromszög esetén ez pont derékszögű csúcspont. 3. Belső és külső szögfelezők: A háromszög belső szögeinek szögfelező félegyeneseit háromszög szögfelezőinek nevezzük. A külső szögek szögfelezőit külső szögfelezőknek mondjuk. Minden háromszögnek három szögfelezője és három külső szögfelezője vn. Az egymás melletti belső éskülső szögfelezők merőlegesek egymásr. Tétel: A háromszög három szögfelezője egy pontbn metszi egymást. Ez pont háromszögbe beírt kör középpontj. 23
Tétel: A háromszög egy belső és nem mellette lévő két külső szögének szögfelezöi is egy pontbn metszik egymást. Ez pont háromszög hozzáírt körének középpontj. 4. Középvonl: A háromszög két oldlánk felezőpontját összekötő szkszt háromszög középvonlánk nevezzük. A háromszögnek három középvonl vn. Tétel: A háromszög bármely középvonl párhuzmos háromszög hrmdik oldlávl és hossz fele hrmdik oldl hosszánk. C AB F 1 F 2 F 1 F 2 AB 2 = F 1F 2 A B 5. Súlyvonl: A háromszög egyik csúcsát szemközti oldl felezőpontjávl összekötő szksz háromszög súlyvonl. A háromszögnek három súlyvonl vn. Tétel: A háromszög súlyvonli egy pontbn, súlypontbn metszik egymást. A súlypont súlyvonlt 2 : 1 ránybn osztj két részre. (A hosszbb szksz vn csúcs felé.) S 24
A háromszögekkel kpcsoltos további tételek Szögfelező tétel: Tétel: Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője szemközti oldlt szomszédos oldlk rányábn osztj két részre. C b x x y = b c y A c B Mgsságtétel: Tétel: Bármely derékszögű háromszögben z átfogóhoz trtozó mgsság mértni közepe z átfogó két szeletének. Befogótétel: Tétel: Bármely derékszögű háromszögben z egyik befogó mértni közepe z átfogón lévő merőleges vetületének és z átfogónk. p 1. m 2 = p q m = p q m c q 2. 2 = p c = p c b 2 = q c b = q c b Szinusztétel: Tétel: Bármely háromszögben két oldl rány megegyezik szemközti szögek szinuszink rányávl. C b c = sin sin β sin γ b γ A c β B 25
Koszinusztétel: Tétel: Bármely háromszögben z egyik oldl négyzetét megkpjuk, h másik két oldl négyzetének összegéből kivonjuk két oldl és közbezárt szög koszinuszánk kétszeres szorztát. c 2 = 2 + b 2 2b cos γ b 2 = 2 + c 2 2c cos β 2 = b 2 + c 2 2bc cos Összefüggés háromszög egyik oldl, szemközti szöge és köré írt körének sugr között: sin =, sin β = b c, sin γ =. 2r 2r 2r r Hegyesszögek szögfüggvényei derékszögű háromszögben A hsonló derékszögű háromszögek oldlink rányávl vló számolás nnyir fontos, hogy z egyes rányok önálló elnevezést kptk. Def: A derékszögű háromszögben z szög szinuszánk nevezzük z hegyesszöggel szemközti befogónk és z átfogónk z rányát. Def: A derékszögű háromszögben z szög koszinuszánk nevezzük z hegyesszög melletti befogónk és z átfogónk z rányát. Def: A derékszögű háromszögben z hegyesszög tngensének nevezzük z hegyesszöggel szemközti befogónk és z hegyesszög melletti befogónk z rányát. Def: A derékszögű háromszögben z hegyesszög kotngensének nevezzük z hegyesszög melletti befogónk és z hegyesszöggel szemközti befogónk z rányát. c sin = c cos = b c tg = b ctg = b b sec = c b cosec = c 26
Sokszögek A sokszöget zárt töröttvonl htárolj. Az egymáshoz cstlkozó szkszokt oldlknk, cstlkozási pontokt csúcsoknk nevezzük. A síkbeli egyszerű sokszögvonl két síkidomr vágj síkot, ezek közül korlátost nevezzük sokszöglpnk, egyszerűbben sokszögnek. F e E Az n oldlú sokszögnek n csúcs és n oldl vn. A f ζ ε δ d D Def: A sokszög kerülete sökszöget htároló töröttvonl hossz. β B b γ C c Def: Azokt sökszögeket, (lkztokt) nevezzük konvexeknek, melyek két pontjukkl együtt két pontot összekötő szksz minden pontját is trtlmzz. Def: Azokt sokszögeket, (lkztokt) nevezzük konkávnk, melyeknek vn olyn pontpárj, melyeket összekötő szksz nem minden pontj vn sokszögön belül. Azz zok z lkztok konkávok, melyek nem konvexek. konvex konkáv Def: A két nem szomszádos csúcsot összekötő szkszt átlónk nevezzük. átló Tétel: Az n oldlú konvex sokszög bármely csúcsából (n 3) drb átló húzhtó. Tétel: Az n oldlú konvex sokszög átlóink szám: n(n 3). 2 Tétel: Az n oldlú konvex sokszög belső szögeinek összege: n 180 360, zz (n 2) 180. 27
Szbályos sokszögek Szbályos sokszögeknek nevezzük zokt sokszögeket, melyeknek minden oldl egyenlő hosszúságú és minden szöge egyenlő ngyságú. Minden szbályos sokszögnél tlálunk szimmetriát: minden szbályos sokszög tengelyesen szimmetrikus. Az n oldlú szbályos sokszögnek n drb szimmetritengelye vn. H n páros, zz n = 2k lkú, kkor szimmetritengelyek kétfélék: n drb olyn 2 szimmetritengely vn, mely szemközti csúcsokr illeszkedő egyenes ez felezi csúcsoknál lévő szöget; n 2 felezőmerőlegesei. drb szimmetritengely pedig szemközti oldlk H n pártln, zz n = 2k + 1 lkú, kkor z összes n drb szimmetritengely egyegy oldl felezőmerőlegese, másik metszéspontnál pedig szemközti csúcsr illeszkedik. Vn olyn pont, melyre minden szimmetritengely illszkedik: ezt pontot szbályos sokszög középpontjánk nevezzük. A szbályos sokszög középpontjából rzrolhtunk egy olyn kört, mely átmegy sokszög minden csúcsán. Ezt kört szbályos sokszög köré írt körnek nevezzük. Az kör, melynek középpontj megegyezik sokszög középpontjávl és átmegy minden oldlánk felezőpontján, szbályos sokszög beírt körének nevezzük: ez kör szbályos sokszög minden oldlát érinti. Minden szbályos sokszög forgásszimmetrikus. H z n oldlú szbályos sokszöget középpontj körül 360 n képe önmg. szöggel, vgy nnk egész számú többszörösével, 360 n k, (kεz) szöggel elforgtjuk, kkor H z n páros, kkor 180 -os elforgtásr is forgásszimmetrikus, zz középpontosn is szimmetrikus. 28
H z n oldlú szbályos sokszög középpontját összekötjük sokszög csúcsivl, kkor n drb egybevágó, egyenlő szárú háromszöget kpunk. O ρ ω r A szbályos n-szög kerülete, területe: K = n T = n 1 2 ρ = n 1 2 r2 sin ω = 1 4 n 2 ctg ω 2 29
Négyszögek A négyszögeknek négy oldluk, négy csúcsuk vn. Def: A négyszögek középvonl két szemközti oldl felezőpontját összekötő szksz. A négyszögnek két középvonl vn. PARALELOGRAMMA Def: Egy négyszög prlelogrmm, h két-két szemközti oldl párhuzmos. Tuljdonsági: szemközti oldli egyenlők szemközti szögei egyenlők szomszédos szögeinek összege 180 z átlók metszéspontjár középpontosn szimmetrikus b β b β A párhuzmos oldlk közötti merőleges szkszt z ehhez z oldlhoz trtozó mgsságnk nevezzük. m k 1 k 2 m b b A prlelogrmm középvonl párhuzmos másik két oldlpárrl es egyenlő hosszúságú zokkl. K = 2 + 2b = 2( + b) T = m = b m b = b sin = b sin β, mivel sin β = sin, mert = 180 β. Speciális prlelogrmmák: tégllp négyzet rombusz 30
TRAPÉZ Def: Egy négyszög trpéz, h vn egy párhuzmos oldlpárj. A párhuzmos oldlk trpéz lpji, másik két oldl trpéz szári. c d b, c: lpok b, d: szárk m A trpéz mgsság z lpok egymástól vló távolság. A két szár felezőpontját összekötő szksz trpéz egyik középvonl, mely párhuzmos z c lpokkl és zok számtn közepe: k 2 k K = + b + c + d T c m k m 2 Speciális trpézok: Szimmetrikus trpéz: z lpon fekvő két szög egyenlő; kört lehet köré írni, így húrtrpéznk is nevezzük. Derékszögű trpéz: z egyik szár merőleges z lpr. ROMBUSZ Def: A rombusz olyn négyszög, melynek minden oldl egyenlő hosszúságú. e f 31
Tuljdonsági: átlói merőlegesen felezik egymást; átlóir tengelyesen szimmetrikus; z átlók metszéspontjár középpontosn szimmetrikus. A párhuzmos oldlk közötti szkszt z ehhez z oldlpárhoz trtozó mgsságnk nevezzük. A rombusz oldli páronként párhuzmosk, így rendelkezik prlelogrmm tuljdonságivl is. K = 4 T m e f 2 2 sin DELTOID Def: Az olyn négyszöget, melynek két-két szomszédos oldl egyenlő, deltoidnk nevezzük. b b konvex konkáv Az egyenlő oldlk metszéspontjánál keletkező csúcsokt összekötő átló deltoid szimmetritengelye, és ez z átló merőlegesen felezi másik átlót. H minden szöge kisebb, mint 180, kkor konvex deltoidnk nevezzük, egyébként konkáv deltoidnk mondjuk. K = 2 + 2b = 2( + b) T e f 2 b sin b Tégllp: Def: A tégllp olyn négyszög, melynek minden szöge egyenlő, zz minden szöge derékszög. b 32
Tuljdonsági: tégllp rendelkezik prlelogrmm tuljdonságivl; tégllp átlói egyenlő hosszúságúk; z átlók metszéspontjár középpontosn szimmetrikus; középvonlir tengelyesen szimmetrikus K = 2 + 2b = 2( + b) T = b Négyzet: Def: A négyzet olyn négyszög, melynek minden oldl és minden szöge egyenlő. K = 4 T = 2 Tuljdonsági: négyzet átlói merőlegesen felezik egymást és egyenlő hosszúságúk; z átlók metszéspontjár négyzet középpontosn szimmetrikus ezt pontot négyzet középpontjánk nevezzük; négy szimmetritengelye vn: két átló és két középvonl. 33
Húrnégyszögek Def: A húrnégyszög olyn négyszög, melynek minden oldl ugynnnk körnek egy egy húrj. Tétel: Bármely húrnégyszög két szemközti szögének z összege 180. Megfordítás: H egy négyszög szemközti szögeimek összege 180, kkor z húrnégyszög. Tétel: Egy négyszög kkor és csk kkor húrnégyszög, h szemközti szögeinek összege 180. + γ = 180. γ Érintőnégyszögek Def: Egy érintőnégyszög olyn négyszög, melynek minden oldl ugynzon kör egy egy érintője. Tétel: Bármely érintőnégyszögben két két szemközti oldl hosszúságánk z összege egyenlő. Megfordítás: H egy konvex négyszögben két két szemközti oldl hosszúságánk z összege egyenlő, kkor négyszög érintőnégyszög. Tétel: Egy konvex négyszög kkor és cskis kkor érintőnégyszög, h két két szemközti oldlánk z összege egyenlő. d + c = b + d b c 34
Geometrii szerkesztések Az egyélű vonlzóvl és körzővel elvégeszhető szerkesztéseket Euklideszi szerkesztésnek mondjuk. Az Eulideszi szerkesztés megengedett lépései: 1. A vonlzót két dott ponthoz illesztve meghúzhtjuk két pontr illeszkedő egyenest. 2. Két dott pont távolságát körzőnyílásb vehetjük. 3. Adott pont körül dott sugárrl kört rjzolhtunk. 4. Két egyenes metszéspontját meghtározhtjuk. 5. Egyenes és kör metszéspontjit meghtározhtjuk. 6. Két kör metszéspontjit meghtározhtjuk. Párhuzmos és merőleges egyenesek derékszögű vonlzókkl is szerkeszthetők, de derékszögű vonlzó lklmzás már nem Euklideszi szerkesztés. Alpszerkesztések: szögmásolás, szögfelezés szkszfelező merőleges szerkesztése merőleges egyenesek szerkesztése párhuzmos egyenesek szerkesztése. O O O B A f e f e f e e f A szerkesztések végén diszkussziót végzünk, mi szerkesztés feltételeinek vizsgáltát jelenti. 35
GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK Def: A geometrii trnszformáció olyn függvény, melynek értelmezési trtomány és értékkészlete is ponthlmz. Két (vgy több) geometrii trnszformációnk z egymás utáni elvégzését két (vgy több) trnszformáció szorztánk nevezzük. Jele: g ο f = g [ f(p)] Def: Egy geometrii trnszformációnál z olyn pontot, melynek képe önmg, fixpontnk nevezzük. Az olyn egyenest, melynek képe (pontonként is) önmg, kkor fixegyenesnek nevezzük. H egy lkzt képe önmg, kkor invriáns lkztnk mondjuk. H egy invriáns lkzt minden pontj fixpont, kkor zt fixlkztnk nevezzük. TÁVOLSÁGTARTÓ TRANSZFORMÁCIÓK Def: Távolságtrtó (egybevágósági) trnszformációknk nevezzük zokt trnszformációkt, melyeknél bármely szksz képének hossz megegyezik szksz hosszávl. IDENTITÁS Def: Olyn trnszformáció, mely minden ponthoz önmgát rendeli, zz minden pontj fixpont. TÜKRÖZÉS EGYENESRE (Tengelyes tükrözés) Def: Adott síkon t tengely. H P pont illeszkedik tengelyre, kkor P pont képe önmg. H Q pont nem illeszkedik tengelyre, kkor képpontot Q-ból t tengelyre bocsátott merőlegesen, tengely ellentétes oldlán, tengelytől ugynkkor távolságr kpjuk, mint Q pont. P = P Q QT = Q T T Q t 36
Tuljdonsági: távolságtrtó egyenes képe egyenes szögtrtó tengely fixegyenes (zz minden pontj fixpont) körüljárási irány megváltozik TÜKRÖZÉS SÍKRA Def: Megdunk egy S síkot. H P pont illeszkedik síkr, kkor képe önmg. H Q pont nem illeszkedik síkr, kkor Q képpont z S síkr bocsátott merőlegesen, z S sík ellentétes oldlán, z S síktól ugynkkor távolságr vn, mint Q pont. Q P = P QT = Q T S T Q 37
PONT KÖRÜLI ELFORGATÁS A SÍKON Def: Megdjuk sík egy O pontját (z elforgtás középpontját), vlmint ngyságávl és irányávl z elforgtás szögét: H P pont illeszkedik z O pontr, kkor képe önmg: z O pont fixpont. H Q pont nem illeszkedik z O pontr, kkor képe z dott síkon z Q pont, melyre fennáll: OQ = OQ és QOQ szög ngyság és irány megegyezik megdott szöggel. Q Q Tuljdonsági: O távolságtrtó egyenes képe egyenes szögtrtó z O pont fixpont körüljárási irány nem változik meg H = +/- 180 kkor középpontos tükrözésről beszélünk. (Ezért középpontos tükrözés nem önálló trnszformáció, hnem pont körüli forgtás speciális esete.) A A 38
TENGELY KÖRÜLI FORGATÁS Def: Megdunk egy t tengelyt és tengelyre merőleges síkbn ngyságávl és irányávl z elforgtás szögét. H P pont illeszkedik t tengelyre, kkor képe önmg, zz fixpont. H Q pont nem illeszkedik t tengelyre, kkor képe zon z S síkon vn, mely merőleges t tengelyre és illeszkedik Q pontr. H z S sík és t tengely metszéspontját O-vl jelöljük, kkor Q pont képe z S síknk z Q pontj, melyre fennáll: OQ = OQ és QOQ szög ngyságávl és irányávl megegyezik megdott szöggel. P=P S Q Q t ELTOLÁS Def: Meg kell dnunk egy v vektort. Legyen v = AB. Tetszőleges P ponthoz zt P pontot rendeljük, melyre fennáll: AB = PP. B P A P Tuljdonsági: távolságtrtó szögtrtó párhuzmosságtrtó nincs fixpont; (h v 0 ; h v = 0, kkor identitás) 39
EGYBEVÁGÓSÁG Def: Egybevágónk nevezünk két lkztot, h vn olyn távolságtrtó trnszformáció, mely z egyik lkztot másikb viszi át. Jele: Alkztok egybevágóság: Két kör egybevágó, h sugrik megegyeznek. Két háromszög egybevágó, h következő feltételek egyike teljesül: 1. Oldlik hossz páronként megegyezik. 2. Két két oldluk hossz páronként megegyezik és z áltluk közbezárt szögek megegyeznek. 3. Egy egy oldluk hossz és z zokon fevő két két szög páronként egyenlő. 4. Két két oldluk hossz páronként egyenlő és két két oldl közül hosszbbl szemközti szögek egyenlőek. Két sokszög egybrvágó, h rájuk következő feltételek egyike teljesül: 1. Megfelelő oldlik hossz és megfelelő átlóik hossz páronként egyenlő. 2. Megfelelő oldlik hossz és megfelelő szögeik páronként egyenlőek. SZIMMETRIKUS ALAKZATOK Def: Egy síkbeli lkzt tengelyesen szimmetrikus, h z lkzt síkjábn létezik olyn tengely, melyre vontkozó tükrözésnél z lkzt képe önmg. Def: Egy lkzt középpontosn szimmetrikus, h létezik olyn pont, melyre vontkozó tükrözésnél z lkzt képe önmg. Def: Egy lkzt forgásszimmetrikus, h létezik olyn forgtás, mely z lkztot önmgáb viszi át. Def: Egy lkzt síkszimmetrikus, h létezik olyn sík, melyre vontkozó tükrözésnél z lkzt képe önmg. 40
Tengelyesen szimmetrikus síkidomok: Egyenlő oldlú háromszög: mind három oldlfelező merőlegese szimmetritengely. Egyenlő szárú háromszög: z lp felezőmerőlegese szimmetritengely (ez felezi szárszöget is). Tégllp: két középvonlár tengelyesen szimmetrikus. Négyzet: négy szimmetritengelye vn: két átló és két középvonl. Rombusz: két átló szimmetritengely. Deltoid: z egyenlő oldlk közös pontjánál keletkező csúcsokt összekötő átló szimmetritengely. Egyenlő szárú trpéz: z lpok felezőpontját összekötő egyenes szimmetritengely. Páros, illetve pártln oldlszámú szbályos sokszög: szimmetrifeltételeket szbályos sokszögeknél olvshtjuk. Kör: minden átmérőjére tengelyesen szimmetrikus. 41
Középpontosn szimmetrikus síkidomok: Prlelogrmm Tégllp z átlók metszéspontjár középpontosn Rombusz szimmetrikusk Négyzet Páros oldlszámú szbályos sokszög Kör: középpontjár középpntosn szimmetrikus 42
HASONLÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Középpontos hsonlósági trnszformáció Def: Megdunk egy pontot, középpontos hsonlósági trnszformáció középpontját (legyen ez z O pont) és egy λ vlós számot: λ 0. Vlmely ponthoz következő módon rendeljük képét: H P = O, kkor P pont képe önmg. H Q O, kkor Q pont képe z OQ egyenesnek olyn Q pontj, melyre OQ = λ OQ, mégpedig h λ > 0, kkor Q pont z OQ félegyenesen vn; h λ < 0, kkor Q z OQ egyenes Q-t nem trtlmzó félegyenesén vn. λ = 2 Q Q O A λ számot középpontos hsonlóság rányánk nevezzük. H λ = 1 identitás. H λ = 1 középpontos tükrözés. (H λ > 1 ngyítás; h 0 < λ < 1 kicsinyítés) Tuljdonsági: A megdott O pont fixpont. Egyenesnek középpontos hsonlósági trnszformációvl kpott képe z eredeti egyenessel párhuzmos egyenes. H z egyenes illeszkedik hsonlóság középpontjár, kkor képe önmg. Szögtrtó Aránytrtó: Bármely szksz képének és z eredeti szksznk z rány állndó. 43
Hsonlósági trnszformáció Def: A középpontos hsonlóság és z egybevágósági trnszformáció szorztát (egymás utáni végrehjtását) hsonlósági trnszformációnk nevezzük. A középpontos hsonlóságrányát hsonlósági trnszformáció rányánk nevezzük. Tuljdonsági: Egyenes képe egyenes. Szögtrtó. Aránytrtó. H vlmely trnszformáció minden szksznk hosszát λ szorosár változttj (λ > 0), kkor z hsonlósági trnszformáció. Def: Hsonlónk nevezünk két lkztot, h vn olyn hsonlósági trnszformáció, mely z egyik lkztot másikb viszi át. Jele: ~ Alkztok hsonlóság: Bármely két kör hsonló: λ = R r, illetve λ = r R. Két háromszög hsonló, h következő feltételek egyike teljesül: 1. Megfelelő oldlik hosszánk rány egyenlő: = b b = c c 2. Két két oldlhosszuk rány egyenlő, és z ezek áltl közrefogott szögek egyenlők: = b és γ = γ b 3. Két két oldlhosszuk rány egyenlő, és e két két oldl közül hosszbb oldlkkl szemközti szögek egyenlők: = b b és h > b, kkor = 4. Két két szögük páronként egyenlő: = és β = β. Két sokszög hsonló, h következő feltételek egyike teljesül: 1. Megfelelő oldlik és megfelelő átlóik hosszánk rány egyenlő. 2. Megfelelő oldlik rány egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlők. 44
Hsonló síkidomok területének rány, hsonló testek térfogtánk rány Tétel: Hsonló síkidomok területének rány hsonlóság rányánk négyzetével egyenlő. ABC ~A B C t t λ = c c λ2 = t t A c B A c B Tétel: Hsonló testek térfogtánk rány hsonlóság rányánk köbével egyenlő. λ = λ3 = V V V V 45
Párhuzmos szelők tétele: Tétel: H egy szög szárát párhuzmos egyenesekkel metsszük, kkor z egyik száron keletkező szkszok rány egyenlő másik száron keletkező megfelelő szkszok rányávl. Megfordítás: H két egyenes egy szög száriból olyn szkszokt vág le, melyek rány mindkét száron egyenlő, kkor két egyenes párhuzmos. Párhuzmos szelőszkszok tétele: Tétel: Egy szög szárit metsző párhuzmosokból szárk áltl kimetszett szkszok rány megegyezik párhuzmosok áltl z egyik szárból kimetszett szkszok rányávl. f B e f e AA : BB = OA: OB A OA: AB = OA : A B O A B 46
Térmértn Hengerszerű testek Def. Hengerszerű testeknek nevezzük zokt testeket, melyeket úgy kphtunk, hogy egy síkidom htároló vonlán önmgávl párhuzmosn körülvezetünk egy olyn egyenest, melynek egyetlen közös pontj vn z lplp síkjávl, és kpott plástot z eredeti síkidomml párhuzmos síkkl elmetsszük. Minden hengerszerű test lplpj és fedőlpj párhuzmos és egybevágó síkidom. Ezekkel egybevágó z lplp síkjávl párhuzmos minden síkmetszet. m Az lplp és fedőlp síkjánk távolságát hengerszerű test mgsságánk nevezzük. A körülvezetett egyenesnek z lplp és fedőlp közötti szkszát test lkotójánk mondjuk. A hengerszerű test minden lkotój zonos hosszúságú. H hengerszerű test lpj sokszög, kkor hsábnk mondjuk. H hengerszerű test lpj kör, kkor körhengernek vgy röviden hengernek nevezzük. H körülvezetett egyenes merőleges z lplp síkjár, kkor egyenes hengerszerű testnek mondjuk, ellenkező esetben ferde hengerszerű testről beszélünk. Az egyenes hsábok közül zokt, melyeknek z lpj szbályos sokszög, szbályos hsáboknk, vgy oszlopoknk mondjuk. Az egyenes körhengert forgáshengernek is mondjuk. Tétel: Bármely hengerszerű test térfogtát megdj z lpterületének és mgsságánk szorzt: 47
V = T M Az egyenes hengerszerű test plástj síkb kiteríthető. Az egyenes hengerszerű test felszíne: A = 2 T + P = 2 T + k M Tégltest: b b C c V = b c A = 2( b + b c + c) Kock esetén: V = 3 és A = 6 2 Henger: m m 2rπ 2r r V = r 2 π m A = 2 r 2 π + 2 r π m = 2 r π (r + m) 48
Kúpszerű testek Def: Kúpszerű testeknek zokt testeket nevezzük, melyeket úgy kphtunk, hogy egy síkidom htároló vonlán körülvezetünk egy egyenest, mely állndón illeszkedik egy dott pontr, síkidom síkján kívüli csúcspontr. A síkidomot kúpszerű test lplpjánk nevezzük. M A csúcsnk z lplp síkjától vló távolság test mgsság. A csúcsot és z lplp htároló vonlánk egyik pontját összekötő szksz kúpszerű test egyik lkotój. Azokt kúpszerű testeket, melyeknek lplpj sokszög, gúláknk nevezzük, melyeknek kör, zokt pedig kúpoknk. A forgáskúp minden lkotój egyenlő hosszúságú. Az ilyen kúpot egyenes kúpnk is mondjuk. Azt kúpot, melynek nem minden lkotój egyenlő hosszúságú, ferde kúpnk nevezzük A gúl csúcsát és gúl lplpjánk egyik csúcspontját összekötő szksz gúl egyik oldléle. H egy gúl lplpj szbályos sokszög és minden oldléle egyenlő hosszúságú, kkor zt szbályos gúlánk nevezzük. Bizonyíthtó, hogy h egy gúl minden oldléle egyenlő, kkor gúl lplpj egy körbe írhtó sokszög, és kör középpontj gúl csúcspontjánk z lpon lévő merőleges vetülete. Tétel: Bármely T lpterületű és M mgsságú kúpszerű test térfogt: V = T M 3. Bármely kúpszerű test plástj síkb kiteríthető. A kúpszerű test felszíne: A = T + P A gúlák plástj háromszögekből áll; z egyenes kúp plástj kiterítve egy körcikk. (Ferde kúp felszíne számunkr ismeretlen síkidom.) A forgáskúp felszíne: A = r 2 π + r π A = T lp + P P = k 2 49 r
Csonkgúl, csonkkúp Def: H egy kúpszerű testet z lplpjávl párhuzmos síkkl elmetsszük, kkor felső rész és z eredeti test egy C középpontú középpontos hsonlósági trnszformációvl egymásb átvihető, felső rész egy kúpszerű test, z lsó rész pedig csonkkúpszerű test lesz. H z eredeti test gúl volt, kkor csonkgúlánk nevezzük, h pedig kúp volt, kkor csonkkúpot kpunk. A párhuzmos síkokbn lévő lpokt lplpnk és fedőlpnk nevezzük. Területük T, illetve t. A csonkgúl plástj trpézokból áll; csonkkúp plástj körgyűrűcikk. Az eredeti teljes kúp lkotóink csonkkúpplástr illeszkedő szkszát csonkkúp lkotóink nevezzük. A szbályos csonkgúl szbályos gúlából szármzik. H csonkkúp egyenes kúpból szármzik, kkor egyenes csonkkúpnk mondjuk. Ennek minden lkotój egyenlő hosszú, tengelye merőleges z lpkörök síkjár. (Egy szimmetrikus trpéz szimmetri tengelye körüli forgtásávl is előállíthtó.) z egyenes csonkkúp tengelymetszete szimmetrikus trpéz. A csonkkúpszerű test mgsság z lplp síkjánk és fedőlp síkjánk távolság. Tétel: H csonkgúl lplpjink területe T és t, vlmint mgsság M, kkor térfogt: M V T Tt t 3 Tétel: H kör lplpú csonkkúp lplpjink sugr R és r, vlmint mgsság M, kkor térfogt:. M V 3 R 2 Rr r 2 Tétel: H csonkkúp lplpjánk sugr R, fedőlpjánk sugr r, lkotój, kkor felszíne:. 2 2 A R r R r. 50
A gömb Def: A gömbfelület olyn pontok hlmz térben, melyek egy megdott O ponttól megdott r távolságr vnnk. G gömbfelület = {P OP = r; rεr + } Def: A gömbtest egy dott O ponttól megdott r távolságnál nem ngyobb távolságr lévő síkbeli pontok hlmz. Tétel: Az r sugrú gömb térfogt: Tétel: Az r sugrú gömb felszíne: G gömbtest = {P OP r; rεr R } V = 4π 3 r3. A = 4 r 2 π. 51
Vektorok Def: A térben/síkon egy dott hosszúságú, dott állású és dott irányú szkszokt vektoroknk nevezzük. A vektor jellemzői: kezdőpontj, végpontj, hossz, zz bszolútértéke, állás és irány. B AB = A Def: H két vektorhoz tlálhtó olyn egyenes, mely mindkettővel párhuzmos, kkor ezeket párhuzmos vektoroknk, vgy egyállású vektoroknk nevezzük. Két vektort egyenlőnek tekintünk, h bstolútértékük egyenlő, párhuzmosk és zonos irányításúk; két vektor egyenlő, h vn olyn eltorlás, mellyel fedésbe hozhtók. A nullvektor hossz 0, irány tetszőleges. H dott z vektor, kkor vektort z ellentett vektoránk nevezzük. Ez vektor z vektorrl egyenlő hosszúságú, zzl párhuzmos, de ellentétes irányú. + ( ) = 0. Def: Azokt vektorokt nevezzük egysíkú vektoroknk, melyekhez létezik olyn sík, mellyekkel párhuzmosk. Műveletek vektorokkl 1. Vektorok összegzése Def: Adott ugynbbn síkbn z és b vektor. A sík egy tetszőleges pontjából felmérjük z egyik vektort, mjd ennek végpontjából kiindulv másik vektort. A két vektor összege z vektor, melyet úgy kpunk, hogy z első vektor kezdőpontjából másik vektor végpontjáb muttó vektort megrjzoljuk. Az eljárás kettőnél több vektorr is lklmzhtó. Két vektor összegzése elvégezhető z un. prlelogrmm módszerrel is, h két vektor nem párhuzmos. b b P Műveleti tuljdonságok: Kommuttív művelet: + b = b + Asszocitív művelet: ( + b ) + c = + (b + c ) 52
2. Két vektor különbsége: Def: Az b különbségen z + ( b ) vektorösszeget értjük, zz z vektorhoz hozzádjuk b vektor ellentettjét, zz b vektort. b b b 3. Vektor szorzás egy számml, zz sklárrl: Def: Adott z vektor és egy λ vlós szám. H z nem nullvektor, kkor λ olyn vektor, melynek bszolutértéke λ és irány pozitív λ esetén megegyezik z irányávl, negtív λ esetén z vektor irányávl ellentétes; λ = 0 esetén λ nullvektor, zz irány tetszőleges. H = 0, kkor λ = 0, zz nullvektort kpunk λ-tól függetlenül. (Amikor vektorok és számok együtt szerepelnek egy feldtbn, kkor számot sklárnk szoktuk nevezni.) Műveleti tuljdonságok: A sklárrl vló szorzás kommuttív: λ = λ A szorzás sklárokr nézve sszocitív: λμ = λ(μ ) Az összegből vektortényező kiemelhető: λ + μ = (λ + μ) A vektorösszeg tgonként szorozhtó sklárrl: λ( + b ) = λ + λb. 4. Két vektor skláris szorzt: Def: Az és b skláris szorztán z b = b cos γ vlós számot értjük, hol γ két vektor áltl bezárt szög. (0 γ 180 ) Műveleti tuljdonságok: Kommuttív: b = b Az összedásr nézve disztributív: ( + b ) c = c + b c Skláris szorztokr fennáll: : λ( b ) = (λ )b = (λb ) Egy vektor önmgávl vló skláris szorztát vektor négyzetének nevezzük: 2 = 2 Két vektor skláris szorzt kkor és csk kkor pozitív, h egyik sem zérusvektor, és hjlásszögük (0 γ < 90 ) Két vektor skláris szorzt kkor és csk kkornegtív, h egyik sem zérusvektor, és hjlásszögük (90 < γ 180 ) Tétel: Két vektor skláris szorzt kkor és cskis kkor 0, h két vektor merőleges egymásr. 5. Vektor felbontás összetevőkre: Tétel: H dott z és vele egyállású b vektor 0, kkor z vektorból b vektor előállíthtó sklárrl történő szorzássl. 53
Azonos irányú és b vektorok esetén: b = b. Ellentétes irányú irányú és b vektorok esetén: b = b. 1 b 5 = 2 b = 5 2 b Tétel: H dott z és b nem egyállású vektorok, kkor bármely, velük egysíkú v vektor egyértelműen felbonthtó z dott vektorokkl egyállású összetevőkre, zz egyértelműen felírhtó v = + βb lkbn, hol, β εr. Itt és b bázisvektorok, és βb pedig komponensek. Az dott és b vektorokkl, vlmint z és β vlós számokkl képezhetjük v = + βb vektort. Az így kpott v vektort z és b vektorok lineáris kombinációjánk nevezzük. 54
Vektorok koordinátsíkon Def: H dott egy O vontkozttási pont, kkor egy tetszőleges P pont egyértelműen meghtározhtó vontkozttási pontból induló vektorrl. Az ilyen vektort P pont helyvektoránk nevezzük. H Descrtes-féle koordinátrendszer pozitív x irányú i és pozitív yirányú j egységvektorit tekintjük bázisvektoroknk, kkor v vektor felírhtó v = xi + yj lkbn, hol x és y egyértelműen meghtározott vlós számok. Az (x; y) rendezett számpárt v vektor koordinátáink nevezzük z i, j bázisrendszerben. y P (x; y) v v = xi + yj j i x 55
Koordinát geometri Geometrii problémákt koordinát-síkon oldunk meg lgebri módszerekkel. y P (x; y) Bármely pont megdhtó koordinátrendszer origójából induló helyvektorrl. v OP = v = xi + yj j O i x Egy vektor bszolútértékének meghtározás: y 2 = 1 2 + 2 2 j O i 1 x Vektorok összegének koordinátái: y ( 1 ; 2 ) b b (b 1 ; b 2 ) + b + b ( 1 + b 1; 2 + b 2 ) j O i x Helyvektorok összegének koordinátáit z egyes helyvektorok megfelelő koordinátáink összege dj meg. 56
Két vektorok különbségének koordinátái: y ( 1 ; 2 ) b b b (b 1 ; b 2 ) b ( 1 b 1; 2 b 2 ) j O i x Helyvektorok különbségének koordinátáit z egyes helyvektorok megfelelő koordinátáink különbsége dj meg. Egy vektor sklárszorosánk koordinátái: y λ ( 1 ; 2 ) λ (λ 1 ; λ 2 ) j O i x Helyvektorok sklárszorosánk koordinátáit z egyes helyvektorok megfelelő koordinátáink sklárszoros dj meg. Koordinátáivl megdott két vektor skláris szorztánk meghtározás: Legyen dott: ( 1; 2 ) és b (b 1 ; b 2 ) b = 1 b 1 + 2 b 2. Két vektor skláris szorzt egyenlő megfelelő koordináták szorztink összegével. Szksz hossz: y B b BA = b b BA = ( 1 b 1 ) 2 + ( 2 b 2 ) 2 j O i x A 57
Szksz felezőpontj: y B (b 1, b 2 ) F (f 1 ; f 2 ) b F (f 1 ; f 2 ) f 1 = 1+b 1 2 ; f 2 = 2+b 2 2 j O i x A ( 1 ; 2 ) Szksz dott rányú osztópontj: y b B (b 1, b 2 ) m P (p 1 ; p 2 ) n P (p 1 ; p 2 ) p 1 = m 1+nb 1 ; p n+m 2 = m 2+nb 2 n+m j O i x A ( 1 ; 2 ) Szksz hrmdolópontj: y j O i b B (b 1, b 2 ) 1 H (h 1 ; h 2 ) x 2 H (h 1 ; h 2 ) h 1 = 1+2b 1 3 A ( 1 ; 2 ) ; h 2 = 2+2b 2 3 Ez hrmdolópont B ponthoz vn közelebb. A másik, A ponthoz közelebbi hrmdolópont koordinátái: h 1 = 2 1+b 1 3 ; h 2 = 2 2+b 2. 3 58
A háromszög súlypontj: y C (c 1 ; c 2 ) A ( 1 ; 2 ) S (s 1 ; s 2 ) s 1 = 1+b 1 +c 1 ; s 3 2 = 2+b 2 +c 2 3 j O i S (s 1 ; s 2 ) B (b 1 ; b 2 ) x 59
Az egyenes helyzetét jellemző dtok: Két különböző pont egyértelműen meghtároz egy egyenest. H z egyenesnek csk egy pontját djuk meg, kkor nincs egyértlműen meghtározv. Még egy másik dtát is meg kell dni z egyértelműséghez. Ez z dt lehet: egy vektor, mely párhuzmos z dott egyenessel; egy vektor, mely merőleges z dott egyenesre; egy szög, mely z egyenesnek vlmely koordinát-tengellyel bezárt szöge; z egyértelműen meghtározott hjlásszög vlmely megfelelő szögfüggvénye. Def: Egy egyenes irányvektor z egyenessel egyállású bármely vektor, mely nem zérusvektor. y P 0 e v (v 1 ; v 2 ) v j O i x Def: Egy egyenes normálvektor z egyenesre merőleges bármely vektor, mely nem zérusvektor, és mely z egyenes síkjábn z (x; y) síkbn vn. y n P 0 e n (n 1 ; n 2 ) = n (A, B) j O i x Def: Egy egyenes irányszögének nevezzük koordinát-síkon z egyenes és z x tengely pozitív irány áltl bezárt szögét. Def: A koordinát-síkon z egyenes irányszögének tngensét (h létezik) z egyenes iránytngensének nevezzük. y y tg = m P 0 e P 0 e m j O i x 60 j O i 1 x
Összefüggés z egyenes irányvektor, normálvektor és iránytngense között: n y v (v 1 ; v 2 ) n (A, B) v (v 1 ; v 2 ) = v ( B; A) j O i v e x n (A, B) = n (v 2 ; v 1 ) m = tg = v 2 v 1 = A B Az m iránytngensű egyenes egy irányvektor v (1; m), egy normálvektor n (m, 1). Két egyenes párhuzmosságánk és merőlegességének feltételei: H két egyenes párhuzmos, kkor irányvektorik egyállásúk: v e = c v f normálvektorik egyállásúk: n e = c n f irányszögeik egyenlők: e = f iránytngenseik (h léteznek) egyenlők: m e = m f Fordítv is fennáll, zz h két egyenes esetén z egyik irányvektor másik irányvektoránk (0-tól különböző) konstnsszoros, két egyenes esetén z egyik normálvektor másik normálvektoránk (0-tól különböző) konstnsszoros, két egyenes irányszöge egyenlő, két egyenes iránytngenseik (h léteznek) egyenlők, kkor két egyenes párhuzmos. H két egyenes merőleges, kkor irányvektorik is merőlegesek egymásr, ezért zok skláris szorzt 0: v e v f = 0, normálvektorik is merőlegesek egymásr, ezért zok skláris szorzt 0: n e n f = 0, iránytngenseik (h léteznek) egymásnk ellenkező előjelű reciprokji:m e = 1. m f Tétel: Iránytngenssel rendelkező egyenesek kkor és cskis kkor merőlegesek egymásr, h iránytngenseik egymásnk ellenkező előjelű reciprokji. 61
Az egyenes egyenlete: v = P 0 (x x 0 ; y y 0 ) y P 0 (x 0 ; y 0 ) e n (A, B) n v = 0, mert merőlegesek. n (A, B) P (x; y) Az egyenes egyenlete normálvektor koordinátáivl felírv: j O i x Ax + By = Ax 0 + By 0. Az egyenes egyenlete z irányvektor koordinátáivl felírv: v 2 x v 1 y = v 2 x 0 v 1 y 0. Két egyenes metszéspontj: y e M Két egyenes metszéspontjánk meghtározását két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldás dj. j O i f x Pont és egyenes távolság: y e e: Ax + By + C = 0 P 0 (x 0 ; y 0 ) P 0 (x 0 ; y 0 ) d (P 0, e) = Ax 0+By 0 +C A 2 +B 2 j O i x 62
A kör egyenlete: y P (x, y) C (u, v) Bármely körnek z egyenlete másodfokú, kétismeretlenes egyenlet: (x u) 2 + (y v) 2 = r 2 v j O i Nem minden másodfokú kétismeretlenes egyenlet lehet kör. A másodfokú, kétismeretlenes egyenlet áltlános lkj: A következő feltételeknek kell teljesülnie: u Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. Nem lehet benne xy-os tg: C = 0. Az x 2 és y 2 együtthtóink zonosknk kell lenniük: A = B, de nem lehet 0 z értékük. Teljes négyzetté történő lkítás során z (x u) 2 + (y v) 2 = r 2 lkr rendezve z egyenletet, jobb oldlon pozitív számot kell kpnunk: r 2 > 0. A kör és egyenes, illetve két kör kpcsolt: x Az egymást metsző kör és egyenes, illetve két metsző kör közös pontjink meghtározásához olyn koordinát számpárokt kell keresnünk, melyek kielégítik mindkét lkzt egyenletét, zz zdott egyenlet-rendszert kell megoldni. metsző/szelő D > 0 M 2 érintő D = 0 M 1 E kitérő D < 0 Kitérő: D < 0 Érintő: D = 0 Metsző: D > 0 63
Trigonometri A hegyesszög szögfüggvényei (derékszögű háromszögben): Def: A derékszögű háromszögben z szög szinuszánk nevezzük z hegyesszöggel szemközti befogónk és z átfogónk z rányát. Def: A derékszögű háromszögben z szög koszinuszánk nevezzük z hegyesszög melletti befogónk és z átfogónk z rányát. Def: A derékszögű háromszögben z hegyesszög tngensének nevezzük z hegyesszöggel szemközti befogónk és z hegyesszög melletti befogónk z rányát. Def: A derékszögű háromszögben z hegyesszög kotngens ének nevezzük z hegyesszög melletti befogónk és z hegyesszöggel szemközti befogónk z rányát. c sin = c cos = b c tg = b ctg = b b sec = c b cosec = c Pótszögek szögfüggvényei: Egy szög szinusz egyenlő pótszögének koszinuszávl: sin = cos(90 ). Egy szög tngense egyenlő pótszögének kotngensével: tg = ctg(90 ). Nevezetes szögek szögfüggvényei: 2 2 60 30 3 1 1 sin 30 = 1 2 cos 30 = 3 2 tg 30 = 3 3 ctg 30 = 3 sin 60 = 3 2 cos 60 = 1 2 tg 60 = 3 ctg 60 = 3 3 64
1 1 2 45 sin 45 = 2 2 cos 45 = 2 2 tg 45 = 1 ctg 45 = 1 Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között: (c sin ) 2 + (c cos ) 2 = c 2 c = c sin b = c cos c 2 sin 2 + c 2 cos 2 = c 2 /: c 2 sin 2 + cos 2 = 1 sin cos tg ctg sin = - 1 cos 2 tg 1 + tg 2 1 1 + ctg 2 cos = 1 sin 2-1 1 + tg 2 ctg 1 + ctg 2 tg = sin 1 sin 2 1 cos 2 cos - 1 ctg ctg = 1 sin 2 sin cos 1 cos 2 1 tg - tg 1 + tg 2 1 1 + ctg 2 1 ctg 65
A szögfüggvények áltlános értelmezése Def: Az szög szinusz koordinát-síkon z i vektortól szöggel elforgtott egységvektor második koordinátáj. Def: Az szög koszinusz koordinát-síkon z i vektortól szöggel elforgtott egységvektor első koordinátáj. e 1 y e = (cos )i + (sin )j sin cos 1 x Def: Az szög tngense szög szinuszánk és koszinuszánk hánydos, h ennek hánydosnk vn értelme, zz cos 0. Def: Az szög kotngense szög koszinuszánk és szinuszánk hánydos, h ennek hánydosnk vn értelme, zz sin 0. tg = sin cos, h cos 0; cos ctg =, h sin 0. sin 1 y β e tg 1 tg β x 66
ctg β 1 y ctg β e 1 x Összefüggések szögfüggvényértékek között: sin = sin( + k 360 ) cos = cos( + k 360 ) tg = tg ( + k 180 ) ctg = ctg ( + k 180 ) k Z A szinusz és koszinusz szögfüggvényértékek 360 -onként, tngens és kotngens szögfüggvényértékek 180 -onként periódikusn ismétlődnek. 67