A Barabási-Albert-féle gráfmodell és egyéb véletlen gráfok Papp Pál András
Gráfok, hálózatok modelljei Rengeteg gráfokkal modellezhető terület: Pl: Internet, kapcsolati hálók, elektromos hálózatok, stb. Különböző modellek: Erdős-Rényi modell Watts-Strogatz modell Barabási-féle webgráf
Valós gráfok jellemzői Smallworld tulajdonság rövid átlagos úthossz Általában a csúcsok számában logaritmikus Magas klaszterezettség (clustering) Globális: zárt hármasok (tripletek) száma Lokális: csúcs szomszédjai közt futó élek és lehetséges élek aránya Megfelelő fokszámeloszlás
Erdős-Rényi modell Két különböző konstrukciót is jelöl: G(n, p) modell: n pont, minden él p valószínűséggel egymástól függetlenül G(n, M) modell: minden n pontú, M élű gráf azonos valószínűséggel
Erdős-Rényi modell G(n, p) modell Élek várható száma: G(n, M) modell Élek száma: pontosan M Egy adott e élű gráf valószínűsége: Minden M élű gráf valószínűsége: Élek egymástól függetlenek Élek egymástól nem függetlenek
Erdős-Rényi modell Néhány példa összetettebb tulajdonságra: Ha n p<1, akkor majdnem biztosan minden komponens mérete O(logn) alatt marad Ha a gráfban izolált pont Ha biztosan összefüggő lesz, akkor majdnem biztosan lesz, akkor a gráf majdnem
Erdős-Rényi modell Határ (threshold): Azt mondjuk, hogy egy p 0 =p 0 (n) függvény határ egy T tulajdonságra, ha p=p(n) esetén P(T) 0, ha p/p 0 0 P(T) 1, ha p/p 0 Például T= a gráf tartalmaz kört p 0 (n)=1/n határ T= a gráf összefüggő p 0 (n)=ln(n)/n határ
Erdős-Rényi modell Monoton tulajdonságok: Egy T gráftulajdonság monoton, ha olyan G(V, E 1 ) és G (V, E 2 ) gráfra, amelyre E 1 E 2, fennáll a következő: T teljesül G-re T teljesül G -re Tétel (Bollobás & Thomason): Ha T nemtriviális monoton gráftulajdonság, akkor létezik p 0 (n) határ a G(n, p) gráfokra.
Watts-Strogatz modell Kiindulási állapot: körgyűrű (ring lattice) Minden csúcs mindkét irányban a K/2 legközelebbi szomszédjával összekötve Majd: Minden él nagyobb sorszámú végpontját b valószínűséggel cseréljük Azonos valószínűséggel választunk azon végpontok között, melyekkel a gráf egyszerű marad
Watts-Strogatz modell Small-world tulajdonság Átlagos úthossz: b = 0 -ra: b 1 esetben: Klaszterezettség (clustering) b = 0 -ra: b 1 esetben:
Korlátozott véletlengráf folyamatok Restricted random graph process -ek Rucinski & Wormald: Egyenletes választás azon élek közül, amelyekkel a fokszám d alatt marad Erdős, Suen & Winkler: Egyenletes választás azon élek közül, amelyekkel nem keletkezik háromszög
Fokszámeloszlások Erdős-Rényi: Binomiális (Poisson) Watts-Strogatz: δ K / binomiális
Fokszámeloszlások Valós példákban: Csomópontok (hub-ok) Nagyon sok levél, kis fokszámú csúcs Néhány példa: Internet (webgráf) Hivatkozási gráf tudományos cikkeknél Szociális hálók (pl. filmszínészek) Nyugat-USA elektromos hálózata
Fokszámeloszlások Hatványeloszlás Legyen γ>1 valós szám. Annak a valószínűsége, hogy egy csúcs foka k: Tehát egy megfelelő c konstansra:
Fokszámeloszlások Példa kitevők: Internet (webgráf): γ 2.1 Hivatkozási gráf: γ 3 Filmszínészek: γ 2.3 Elektromos hálózat: γ 4
Barabási-Albert féle gráfmodell Két alapgondolat Folyamatos növekedés A folyamatnak nincs egy kitüntetett végállapota, újabb és újabb csúcsokat adunk a gráfhoz Preferenciális kapcsolódás (preferential attachment) Az új csúcsot annál nagyobb valószínűséggel kötjük egy régi v csúcshoz, minél nagyobb v fokszáma
Barabási-Albert féle gráfmodell Kiindulási állapot: Kezdeti véletlen gráf m 0 csúccsal Folyamatosan újabb csúcsok keletkeznek Az új csúcsot megjelenésekor összekötjük m darab, már jelenlévő csúccsal. Ha az i-edik csúcs fokszáma k i, akkor annak a valószínűsége, hogy összekötjük vele:
Barabási-Albert féle gráfmodell Skálafüggetlenség A modell során a fokszámeloszlás nem változik meg az idő múlásával 0,018 0,016 0,014 0,012 0,01 0,008 0,006 60000 70000 80000 90000 0,004 0,002 0 0 5 10 15 20 25 30
Barabási-Albert féle gráfmodell Skálafüggetlenség A modell során a fokszámeloszlás nem változik meg az idő múlásával 1,2 1 0,8 0,6 0,4 60000 70000 80000 90000 0,2 0 0 5 10 15 20 25 30
Barabási-Albert féle gráfmodell Tulajdonságai: Átlagos úthossz: Klaszterezettség: Robusztusság (a hubok egyaránt erősségek és gyengeségek)
Barabási-Albert féle gráfmodell Az alapösszetevők nélkül Növekedés nélkül: Egy idő után elveszti a skálafüggetlen tulajdonságát, végül teljes gráf lesz Preferenciális kapcsolódás nélkül: Azonos valószínűséggel minden csúcshoz
Barabási-Albert féle gráfmodell Egyéb kiegészítések Csúcsok törlése időnként A modellben jelenleg lineáris preferenciát használtunk, és az ezzel kapott eloszlás: Így ha γ 3, akkor a modellen módosítani kell!
Valós gráfpéldák 0,4 0,35 0,3 Asztrofizika kollaborációs gráf Email hálózat Wikipedia szerkesztői hálózat 0,25 0,2 Astrophysics Email Wiki 0,15 0,1 0,05 0 0 5 10 15 20 25 30
Valós gráfpéldák 0,6 Amazon termékek kapcsolatai Pennsylvania közlekedési térképe 0,5 0,4 0,3 Amazon Pennsylvania 0,2 0,1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Források Barabási, Albert-László, and Réka Albert. "Emergence of scaling in random networks." science 286.5439 (1999): 509-512. Janson, Svante, Tomasz Luczak, and Andrzej Rucinski. Random graphs. Vol. 45. John Wiley & Sons, 2011. Barabási, Albert-László, Réka Albert, and Hawoong Jeong. "Mean-field theory for scale-free random networks." Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 272.1 (1999): 173-187. Barabási, Albert-László, Réka Albert, and Hawoong Jeong. "Scale-free characteristics of random networks: the topology of the world-wide web." Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 281.1 (2000): 69-77. Hein, Dipl-Inform Oliver, Dipl-Wirtsch-Ing Michael Schwind, and Wolfgang König. "Scale-free networks." Wirtschaftsinformatik 48.4 (2006): 267-275. Wikipedia szócikkek (Erdős Rényi model, Watts and Strogatz model, Barabási Albert model, Scale-free network, Preferential attachment, Clustering coefficient)
A Barabási-Albert-féle gráfmodell és egyéb véletlen gráfok Papp Pál András