OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője. A fény azonban nem halad minden esetben egyenes mentén: a tükröző felületekről visszaverődik, vízbe, üvegbe hatolva megtörik. Az optikai törvények megfogalmazásakor szerepet játszik a beesési merőleges fogalma. Tegyük fel, hogy egy fénysugár valamely sima felületre 1 érkezik. Állítsunk gondolatban a felületre egy merőleges egyenest abban a pontban, ahol a fénysugár a felületet éri. Ezt az egyenest nevezzük beesési merőlegesnek. Tekintsük most át a fény visszaverődésének és törésének szabályát! Tegyük fel, hogy a fény tükröző felülethez ér és visszaverődik. A beeső fénysugár és a beesési merőleges szögét jelöljük α-val, a visszavert fénysugár és a beesési merőleges szögét β-val. Az α-t a beesés szögének, a β-t a visszaverődés szögének nevezzük (1. ábra). Tegyük fel, hogy α<90, mert a kérdésfeltevésnek csak így van értelme. Foglaljuk össze a a fényvisszaverődés szabályait! Ezek: 1. ábra. 1. A beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert fénysugár egy síkban van. 2. A visszaverődés szöge egyenlő a beesés szögével: α = β. Ha a fénysugár merőleges a tükröző felületre (α =0 ), akkor visszaverődéskor a beeső fénysugár a beesési merőleges mentén verődik vissza. (Ha a fénysugár merőleges a beesési merőlegesre, tehát azaz α =90, akkor nem jön létre visszaverődés.) Ha a fénysugár két közeg határához érkezik és nem verődik vissza, illetve nem nyelődik el, akkor átlép a másik közegbe. A beeső fénysugár és a beesési merőleges szögét most is a beesés szögének, a másik közegbe hatoló fénysugarat megtört fénysugárnak, a megtört fénysugár és a beesési merőleges szögét törési szögnek nevezzük. A beesés szögét általában α 1 -gyel, a törési szöget α 2 -vel vagy α-val és β-val jelöljük (2. ábra). Foglaljuk össze a a fénytörés szabályait is! Ezek: 1. A beeső fénysugár, a beesési merőleges, valamint a megtört fénysugár egy síkban van, és a két fénysugár a beesési merőleges különböző oldalain halad. 2. A beesési merőlegessel bezárt szögek (a beesés szöge és a törés szöge) szinuszainak az aránya a fény terjedési sebességének arányával egyenlő: sin α 1 = sin α sin α 2 sin β = c 1 = n 21 c 2 1 Csak így van értelme a beesési merőleges fogalmának, nem lehet beesési merőlegesről beszélni, ha a fénysugár egy kocka élére esik. 1
Ezt az állítást Snellius Descartes-törvénynek nevezzük. Nyilvánvaló tény, hogy a felületre merőlegesen érkező fénysugár irányváltoztatás nélkül halad tovább. Az egyenlet jobb oldalán szereplő n 21 = c 1 c 2 arányt (a második közeg elsőre vonatkozó) törésmutatójának nevezzük. 2. ábra. A fénysugár légüres térben (és a levegőben is) c =3 10 8 m/s, azaz 300 000 km/s sebességgel terjed, a vízben mért sebessége c víz =2, 25 10 8 m/s, azaz 225 000 km/s. A 3. ábrán azt látjuk, hogy a levegőből a víz felszínére fénysugár érkezik, amelynek a víz felszínére merőleges egyenessel bezárt szöge (azaz a beesési szöge) α =40. Mekkora szöget zár be a vízben haladó fénysugár a beesési merőlegessel? 3. ábra. A megoldás a Snellius Descartes-törvény egyszerű alkalmazása. A víz levegőre vonatkozó törésmutatója n 21 = 3 108 = 4 2,25 10 8 3 1, 33. A Snellius Descartes-törvény szerint a beesési merőlegessel bezárt szögek szinuszainak aránya egyenlő a terjedési sebességek arányával, a törésmutatóval. sin α sin β = 4 3. Innen: sin β = 3 4 sin 40 =0, 4821. Innen pedig zsebszámológéppel számolva azt kapjuk, hogy β =28, 8 A fénysugár útja megfordítható. Kivételes esetektől eltekintve, ha az A pontból a B pontba fénysugár érkezik, akkor ugyanezen az úton a B pontból is érkezhet fénysugár az A pontba. Ezért nyilvánvaló, hogy n 21 = 1, n 12 2
vagyis n 21 n 21 =1. A vákuumra vonatkozó törésmutatót abszolút törésmutatónak nevezzük. Afényalevegőben megközelítően ugyanolyan sebességgel terjed, mint a vákuumban, ezért a levegő abszolút törésmutatóját a legtöbb problémában l-nek tekintjük: c vákuum = n (levegő, vákuum) =1. c levegő A geometriai optika egyszerű törvényeit néhány további konkrét probléma megoldásával szemléltetjük. A fénysugár a levegőben is c =3 10 8 m/s sebességgel terjed, a vízben mért sebesség pedig c víz =2, 25 10 8 m/s. A 4. ábrán a víz felszíne alatt egy kis lámpát látunk. A lámpa által kibocsátott, víz felszínére érkező fénysugár beesési szöge α víz =45. Mekkora α lev. szöget zár be a vízből kilépő, a levegőben haladó fénysugár a felszínre merőleges egyenessel (vagyis mekkora a fénysugár kilépési szöge)? A megoldás a Snellius Descartes-törvény szerint sin α víz = c víz 2, 25 108 = sin α lev. c lev. 3 10 8 = 3 4. 4. ábra. Így tehát sin α lev. =0, 9428, ezért α lev. =70, 52. A víz felszíne alatt egy kis lámpa vékony fénysugarat bocsát ki. A fénysugár iránya változtatható. Jelöljük a fényforrásból kiinduló fénysugár függőlegessel bezárt szögét α víz -zel! Ez megegyezik a felszínre érkező fénysugár beesési szögével. Számítsuk ki a kilépés α lev. szögét, vagyis határozzuk meg, hogy milyen irányban halad tovább a víz és levegő határára érkező fénysugár: ha a) α víz =20,b) α víz =40,c)α víz =60? A megoldásra rátérve, a Snellius és Descartes sin α lev. = 4 törvényt alkalmazzuk: Az első esetben sin α víz 3 sin α lev. sin 20 = 4 3, ezért α lev. =27, 13. A második esetben sin α lev. sin 40 = 4 3, ezért α lev. =58, 9. 3
A harmadik esetben azonban a törvény nem alkalmazható, ez abból látszik, hogy a sin α lev. sin 60 = 4 3 egyenletből az következik, hogy sin α lev. = 1, 15, ez azonban nem lehetséges. Ebben az esetben a fényforrásból a víz felszínére érkező fénysugár nem lép ki, hanem a víz felszínét mintegy tükörként érzékeli, a víz felszínéről visszaverődik (5. ábra). Ezt a jelenséget teljes visszaverődésnek nevezik. Határozzuk meg azt az átmentileg α h szöget, amelynél ha nagyobb szögben érkezik fénysugár a víz 5. ábra. felszínére, akkor nem lép ki a vízből,hanem teljes visszaverődés lép fel. Világos, hogy azt kell megvizsgálni, hogy milyen α h esetén éri el a kilépés szöge a 90 -os mértéket: sin 90 = 4 sin α h 3 = n, innen víz esetén a teljes visszaverődés határszögére α h =48, 6. (Ha a vízbőlalevegővel értintkező felszíne felé a beesési merőlegessel 48,6 -nál nagyobb szögben érkezik a fénysugár, akkor teljes visszaverődés lép fel, ha kisebb szögben, akkor kilép a fénysugár és a Snellius Descartes-törvénynek megfelelően megtörik. Határesetben, vagyis amikor a beesés szöge pontosan α h, úgy képzelhetjük, hogy a fénysugár a víz felszínén siklik. A jelenség azonban geometriai optika módszereivel valójában nem vizsgálható. Tiszta vizű tó felszíne alatt a P pontban egy búvár kémleli a víz felszínét. Határozzuk meg, hogy milyen irányban látja a búvár a tóparti ház ablakában a lámpa fényét! A horizont fölött 40 -kal látszik egy csillag. Hol, azaz milyen irányban látja a búvár a csillagot? A megoldás lényeges eleme a teljes visszaverődés felismerése. Ha a búvár lámpájának fényét vizsgáljuk, az a fénysugár, amely a víz felszínéhez a teljes visszaverődés határszögéhez közeli szöggel érkezik, az majdnem a víz felszínén halad és az alacsony parti ház ablakán bevilágít. A fénysugár azonban megfordítható. A világító ablakból induló fénysugár a víz felszínével közel párhuzamosan érkezik a beesési merőlegeshez. A búvár a parti ház fényét a függőlegessel közel α h irányban észleli. A házat, a parti fákat a szürkületben egy α h =48, 6 félnyílásszögű kúp palástjának belső oldalára fordítva látja (6. ábra). Ez azt jelenti, hogy számára a teljes horizont a kúp palástján van, a félgömb-szerű égbolt pedig a kúp belsejében van. Nagyon fontos: a búvár mindent lát a víztükör fölött. Minden tárgyról (amelyet nem árnyékol más tárgy) fénysugár érkezik a búvárhoz. A távoli csillagról érkező fénysugarak 60 -os beesési szöggel érkeznek a víz felületére. 2 A törés szöge ezért 40,5, hiszen sin 60 sin 40,5 = 4 3 2 Mindegyik fénysugár, hiszen a csillag messze van, a fénysugarak párhuzamosaknak tekinthetők.. Összegezve tehát: 4
6. ábra. a búvár úgy látja, hogy a parti ház ablakából érkező fény a függőlegessel 48,6 -os irányból érkezik, a csillagról érkező fény a függőlegessel 40,5 -os szöget zár be. Tiszta vízű úszómedence felszíne alatt a medence szélének közelében h =2m mélységben valamely P pontban egy pénzdarab csillog. Hol, azaz milyen mélységben látja a medence peremén egy megfigyelő a pénzdarabot? A megoldáshoz vegyük szemügyre a 0. ábrát! A szemlélő abban a P látja a pénzdarab képét, ahol a szemébe jutó fénysugarak visszafelé meghosszabbításai metszik egymást. Ez a pont a felszín alatt h mélységben van. A megfigyelő szemébe jut a függőlegesen felfelé haladó fénysugár, és minden ehhez közel haladó fénysugár is. Vizsgáljuk meg az ábrán a víz felszínére merőlegesen induló fénysugarat, amely a megfigyelő szemébe érkezik. Ugyancsak a szemébe jut az a β szögben induló fénysugár! Ez a fénysugár a beesési merőlegestől x távolságban és α szögben törik. Az ábrán látható két háromszögben tg β = x h, tg α = x h. Mivel azonban kis szögek tangense és szinusza közelítőleg egyenlő 3, ezért sin β = x h, sin α = x h. Osszuk el most a két egyenletet egymással és vegyük figyelembe a Snellius Descartes-törvényt! Ekkor sin α sin β = h h = n. Mivel n =4/3 és h =2m, ezért h =1, 5 m. Ha tehát egy 2 méter mély úszómedence szélén állunk, és a medence fenekét szemléljük, akkor úgy látjuk, hogy a víz nem is olyan mély. Az a 170 cm magas ember, aki úgy látja, hogy másfél méter mély vízben annak ellenére biztonságban van, hogy nem tud úszni, meglepődik majd, ha bugrik a vízbe, ugyanis összecsapnak a feje felett a hullámok. Ha fényképezőgéppel felülről fényképezzük a medence alját, akkor a távolságot kisebbre kell állítanunk, mintha üres medence padlóját fényképeznénk. Hasonló a helyzet akkor, amikor (vékony üvegből készült) 3 Ha a szöget radiánban mérjük, akkor egy koordinátarendszerben ábrázolva a szinuszfüggvényt és a tangensfüggvényt, akkor azt látjuk, hogy a két függvény grafikonja az origóban érinti a szögfelezőt: ha α kis szög, akkor sin α α tg α, továbbá sin α<α< tg α. A közelítő egyenlőség pontosabb megfogalmazását és mélyebb értelmét majd megvizsgáljuk. 5
7. ábra. akváriumon nézünk keresztül. A 20 cm vastag vízréteg 15 cm vastagnak látszik. Az üveg abszolút (tehát vákuumra vonatkozó) törésmutatója n ü =3/2. Téglatest alakú üvegkád d =1cm vastagsága üveglemezből készült. A kádba h =3cm vastag vízréteget töltöttünk. A kád alsó lapján alul egy P pontból a függőlegessel α =30 bezáró irányban egy fénysugár indul és áthatol a kád fenekén majd a vízrétegen. Milyen irányban halad ez a fénysugár a levegőben? Határozzuk meg a beesési merőlegesek távolságát! (8. ábra). A megoldáshoz vezető első lépés: ismerjük a víz levegőre vonatkozó és az üveg levegőre vonatkozó törésmutatóját: c lev = n ü-lev = 3 c ü 2, c lev = n v-lev = 4 c v 3. Osszuk el a két egyenlet egymással: c víz = n ü-v = 9 c üv 8. Az üveg vízre vonatkozó törésmutatójára azért volt szükség, mert a feladatban a fénysugár üveg és víz 8. ábra. határán törik először. A fény kétszer törik meg, a Snellius Descaretes-törvényt írjuk fel mindkét törésre: sin β sin α = c víz = 9 c üv 8, sin γ sin β = c lev = 4 c víz 3. 6
Mivel α =30 ezért az első egyenletből β =34, 22, és a második egyenlet alapján γ =48, 57. Az ábráról látható, hogy x = d tg α =0, 57, 7 cm és a két beesési merőleges távolsága y = h tg β = 2, 04 cm. 7