Gubancok. Hajnal Péter. SZTE, Bolyai Intézet



Hasonló dokumentumok
Síkgráfok. 1. Részgráfok, topológikus részgráfok, minorok

Síkgráfok (négyszín-tétel, Kuratowski-tétel, Euler-formula)

Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29.

Diszkrét matematika 2.

Síkbarajzolható gráfok Április 26.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Síkgráfok Előadó: Hajnal Péter

Diszkrét matematika 2.

Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei

Diszkrét matematika 2.

A különböz lerajzolásokhoz különböz metszési szám tartozik: x(k 5, λ) = 5,

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Síkbarajzolható gráfok, duális gráf

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Diszkrét matematika 2.C szakirány

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Hogyan óvjuk meg értékes festményeinket?

Diszkrét matematika 2.

Szabályos gráfok paraméterei

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Gráfelmélet jegyzet 2. előadás

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

2. csoport, 8. tétel: Gráfok

HAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út

HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel

Schnyder-címkézések és alkalmazásaik

10. előadás. Konvex halmazok

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

Diszkrét matematika II. feladatok

10. Előadás P[M E ] = H

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Geometria 1 normál szint

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna

Geometria 1 normál szint

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom

Matematika. Számonkérés. Írásbeli vizsga januárban. 1. konzultáció. Irodalom

KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K

Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Ramsey-féle problémák

Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára

Formális nyelvek - 9.

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára

Játsszunk Zarankiewicz-csel!

Diszkrét matematika 2.C szakirány

22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.

11. előadás. Konvex poliéderek

1. gyakorlat ( ), Bevezető analízis 1., ősz (Besenyei Ádám csoportja)

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Gráfok színezése. BSc Szakdolgozat

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Alapfogalmak II. Def.: Egy gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely pontjába eljuthatunk egy úton.

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások. 1. ábra.

Kártyázzunk véges geometriával

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Alapfogalmak. Ha a gráf valamely két csúcsát egynél több él köti össze, akkor azt többszörös élnek nevezzük.

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet

Séta, út, vonal, kör

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Gráf csúcsainak színezése. The Four-Color Theorem 4 szín tétel Appel és Haken bebizonyították, hogy minden térkép legfeljebb 4 színnel kiszínezhető.

Logika és számításelmélet. 11. előadás

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.

Analízis I. Vizsgatételsor

Halmazrendszerek alapvető extremális problémái. 1. Sperner-rendszerek és Sperner-tétel

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.

A híres Riemann-sejtés

Papp Dorottya. Gráfok favastagsága

24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Gráfelméleti feladatok. c f

Diszkrét matematika I.

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

Algoritmuselmélet 7. előadás

Iván Szabolcs október 6.

Gráfok csúcsszínezései

Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára. Ramsey-gráfok

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Algoritmuselmélet 11. előadás

3. Gráfok színezései

Antimagic gráfok. Szakdolgozat. Írta: Herczeg Bonifác. Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Átírás:

Gubancok SZTE, Bolyai Intézet 2010

Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút.

Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. H 1,H 2,H 3,K 1,K 2,K 3

Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. H 1,H 2,H 3,K 1,K 2,K 3 Tervezhető-e kilenc út a házak és kutak közt,

Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. H 1,H 2,H 3,K 1,K 2,K 3 Tervezhető-e kilenc út a házak és kutak közt, H 1 K 1,H 1 K 2,H 1 K 3,H 2 K 1,H 2 K 2,H 2 K 3,H 3 K 1,H 3 K 2,H 3 K 3

Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. H 1,H 2,H 3,K 1,K 2,K 3 Tervezhető-e kilenc út a házak és kutak közt, H 1 K 1,H 1 K 2,H 1 K 3,H 2 K 1,H 2 K 2,H 2 K 3,H 3 K 1,H 3 K 2,H 3 K 3 hogy az utak csak közös végpontjukban találkozzanak?

Kezdeti észrevétel HA TERVEZHETŐ, AKKOR a bizonyítás egyszerű: fel kell mutatni egy tervrajzot

Kezdeti észrevétel HA TERVEZHETŐ, AKKOR a bizonyítás egyszerű: fel kell mutatni egy tervrajzot Csak rövid a bizonyítás! Hogy hogyan találjuk meg a tervrajzot, arról nem szóltunk.

Kezdeti észrevétel HA NEM TERVEZHETŐ, AKKOR A bizonyítás:???

Részfeladat Tervezzük meg a H 1 K 1,K 1 H 2,H 2 K 2,K 2 H 3,H 3 K 3,K 3 H 1 utakat.

Részfeladat Tervezzük meg a H 1 K 1,K 1 H 2,H 2 K 2,K 2 H 3,H 3 K 3,K 3 H 1 utakat. Vegyünk fel házakat/kutakat. Tervezzünk utakat.

Részfeladatmegoldása (folytatás) Tervezzük meg a H 1 K 1,K 1 H 2,H 2 K 2,K 2 H 3,H 3 K 3,K 3 H 1 utakat. Vegyünk fel házakat/kutakat. Tervezzünk utakat.

Részfeladat MÁSIK megoldása Egy másik jó tervrajz:

Lényeges (könnyen elhihető, nehezen bizonyítható) észrevétel Lényegében egyetlen megoldás van.

Lényeges (könnyen elhihető, nehezen bizonyítható) észrevétel Lényegében egyetlen megoldás van. Minden megoldás egyenértékű a következő STANDARD megoldással/lerajzolással:

Lényeges (könnyen elhihető, nehezen bizonyítható) észrevétel Lényegében egyetlen megoldás van. Minden megoldás egyenértékű a következő STANDARD megoldással/lerajzolással:

A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás.

A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás. INDIREKT bizonyítás.

A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás. INDIREKT bizonyítás. FELTEHETŐ, hogy a rész standard lerajzolásával kezdünk és próbáljuk a hiányzó három élt berajzolni.

A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás. INDIREKT bizonyítás. FELTEHETŐ, hogy a rész standard lerajzolásával kezdünk és próbáljuk a hiányzó három élt berajzolni. BELÜLre nem fér el két hiányzó él. KÍVÜLre sem.

A három ház- három kút feladat megoldása Válasz: NINCS megfelelő lerajzolás. INDIREKT bizonyítás. FELTEHETŐ, hogy a rész standard lerajzolásával kezdünk és próbáljuk a hiányzó három élt berajzolni. BELÜLre nem fér el két hiányzó él. KÍVÜLre sem. ELLENTMONDÁS.

A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz

A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf)

A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf) e = {u,v} olvasata: az u és v csúcsok szomszédosak e összeköti u-t és v-t u-nak v szomszédja u és v az e él két végpontja

A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf) e = {u,v} olvasata: az u és v csúcsok szomszédosak e összeköti u-t és v-t u-nak v szomszédja u és v az e él két végpontja Lerajzolás: csúcsok helyett pontok, élek helyett élgörbék

A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf) e = {u,v} olvasata: az u és v csúcsok szomszédosak e összeköti u-t és v-t u-nak v szomszédja u és v az e él két végpontja Lerajzolás: csúcsok helyett pontok, élek helyett élgörbék Szép lerajzolás: élgörbék nem metszik át egymást

A gráfelmélet nyelve Csúcsok (V ): Egy véges halmaz Élek (E): Csúcspárok halmaza ( egyszerű gráf) e = {u,v} olvasata: az u és v csúcsok szomszédosak e összeköti u-t és v-t u-nak v szomszédja u és v az e él két végpontja Lerajzolás: csúcsok helyett pontok, élek helyett élgörbék Szép lerajzolás: élgörbék nem metszik át egymást Síkgráf: gráf, ami lerajzolható szépen

A gráfelmélet nyelve (folytatás) Kör egy gráfban: olyan része a gráfnak, ami lerajzolható úgy, hogy a megfelelő élgörbék egy egyszerű körvonallá olvadnak össze.

A gráfelmélet nyelve (folytatás) Kör egy gráfban: olyan része a gráfnak, ami lerajzolható úgy, hogy a megfelelő élgörbék egy egyszerű körvonallá olvadnak össze. Körgráf: egy kör és más semmi.

A gráfelmélet nyelve (folytatás) Kör egy gráfban: olyan része a gráfnak, ami lerajzolható úgy, hogy a megfelelő élgörbék egy egyszerű körvonallá olvadnak össze. Körgráf: egy kör és más semmi. Jelölés: C n (n pontú/élű gráf)

A gráfelmélet nyelve (folytatás) Jelölés: C n (n pontú/élű gráf)

Egy gráfelméleti tétel Euler tétele G egyszerű síkgráf. Ekkor E < 3 V.

Egy másik gráfelméleti tétel Fáry tétele (Fáry tétele) G egyszerű síkgráf. Ekkor G lerajzolható úgy is, hogy minden élgörbéje EGYENES SZAKASZ.

Conway-lerajzolás Definíció G egy lerajzolása Conway-lerajzolás, ha

Conway-lerajzolás Definíció G egy lerajzolása Conway-lerajzolás, ha összefutó élpárok élgörbéi nem talákoznak (csak a közös végpontjukban),

Conway-lerajzolás Definíció G egy lerajzolása Conway-lerajzolás, ha összefutó élpárok élgörbéi nem talákoznak (csak a közös végpontjukban), nem összefutó élpárok élgörbéi pontosan egyszer átmetszik egymást.

Conway-lerajzolás Definíció G egy lerajzolása Conway-lerajzolás, ha összefutó élpárok élgörbéi nem talákoznak (csak a közös végpontjukban), nem összefutó élpárok élgörbéi pontosan egyszer átmetszik egymást.

Gubancok Definíció G egyszerű gráf gubanc/thrackle, ha van Conway-lerajzolása.

Gubancok-e a körgráfok?

Gubancok-e a körgráfok? C 3 gubanc:

Gubancok-e a körgráfok? C 3 gubanc: C 5,C 7,C 9,C 11,... gubanc

Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) C 4

Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) C 4 NEM gubanc.

Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) C 4 NEM gubanc. C 6?

Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) C 4 NEM gubanc. C 6? IGEN.

Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) Tétel C l akkor és csak akkor gubanc, ha l NEM 4.

Gubancok-e a körgráfok? (folyatás) Tétel C l akkor és csak akkor gubanc, ha l NEM 4. BIZONYÍTÁS:Ha C l gubanc akkor C l+2 is az:

Betoldás Egy G gráf és gubanc lerajzolása:

Betoldás (folyatás) A G gráf egy e élének (piros) kijelölése:

Betoldás (folyatás) e felosztása két új ponttal.

Betoldás (folyatás) A toldott gráf gubanc lerajzolása:

Ághajtás Egy G gráf és gubanc lerajzolása:

Ághajtás (folyatás) A G gráfból egy ág (piros e él) kihajtása:

Ághajtás (folytatás) Az ághajtott gráf gubanc lerajzolása:

Lovász László, Pach János, Szegedy Márió tétele A következő gráf nem gubanc.

Lovász László, Pach János, Szegedy Márió tétele A következő gráf nem gubanc. Meglepően nehéz.

Conway-sejtés Conway sejtése Legyen G egy gubanc. Ekkor E V.

Conway-sejtés Conway sejtése Legyen G egy gubanc. Ekkor E V. Miért gondolkozzak rajta?

Conway-sejtés Conway sejtése Legyen G egy gubanc. Ekkor E V. Miért gondolkozzak rajta? Első korrekt megoldó jutalma: 1000$ + világhír

Egyenes-gubancok Definíció Egy gubanc egyenes-gubanc, ha van olyan gubanc lerajzolása, ahol minden élgörbe egyenes.

Egyenes-gubancok Definíció Egy gubanc egyenes-gubanc, ha van olyan gubanc lerajzolása, ahol minden élgörbe egyenes. C 2l+1 egyenes-gubanc.

Egyenes-gubancok Definíció Egy gubanc egyenes-gubanc, ha van olyan gubanc lerajzolása, ahol minden élgörbe egyenes. C 2l+1 egyenes-gubanc. C 6 NEM egyenes-gubanc.

Egyenes-gubancokra igaz a Conway-sejtés Lemma Egy egyenes-gubanc minden legalább 3 fokú csúcsának van 1 fokú szomszédja.

Egyenes-gubancokra igaz a Conway-sejtés Lemma Egy egyenes-gubanc minden legalább 3 fokú csúcsának van 1 fokú szomszédja. Lemma átfogalmazva Egy egyenes-gubancban van 1 fokú csúcs vagy minden fokszám legfeljebb 2.

Egyenes-gubancokra igaz a Conway-sejtés Lemma Egy egyenes-gubanc minden legalább 3 fokú csúcsának van 1 fokú szomszédja. Lemma átfogalmazva Egy egyenes-gubancban van 1 fokú csúcs vagy minden fokszám legfeljebb 2. A SEJTÉS BIZONYÍTÁSA EGYENES GUBANCOKRA: Lemma alapján a pontszámra vonatkozó teljes indukció.

Legjobb felső becslés gubancok élszámára Tétel (Lovász László Pach János Szegedy Márió, G. Cairns Y. Nikolayevsky, R. Fulek Pach János) Ha G egy gubanc, akkor E 1.428... V.

Hajrá Az 1000$-os díj még mindig érvényes.

Köszönöm a figyelmet.