SZEMCSÉS ANYAGOK TERMÉSZETES BOLTOZÓDÁSA

Szent István Egyetem SZEMCSÉS ANYAGOK TERMÉSZETES BOLTOZÓDÁSA Doktori (Ph.D.) értekezés Keppler István Gödöllő 2006.

Adoktoriiskola megnevezése: tudományága: vezetője: Témavezető: Műszaki Tudományi Doktori Iskola Agrárműszaki Tudomány Dr. Szendrő Péter egyetemi tanár, az MTA doktora Szent István Egyetem, Gépészmérnöki Kar Mechanikai és Géptani Intézet Gödöllő Dr.M.CsizmadiaBéla egyetemi tanár, a műszaki tudomány kandidátusa Szent István Egyetem, Gépészmérnöki Kar Mechanikai és Géptani Intézet Gödöllő...... Az iskolavezető jóváhagyása A témavezető jóváhagyása

Tartalom BEVEZETÉS 1 1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS 5 1.1. Szemcsés halmazok kontinuum modellje.......... 5 1.2. Anyag- és tönkremeneteli jellemzők............ 8 1.2.1. Anyagjellemzők.................. 9 1.2.2. Tönkremeneteli jellemzők............. 10 Nyírási tönkremenetel............... 10 Tönkremenetel kéttengelyű feszültségállapotban. 11 1.3. Feszültségviszonyok szemcsés halmazokban........ 12 1.3.1. Feszültségek asilóban............... 13 Janssenmodellje.................. 13 Enstad modellje................... 17 Csizmadiamodellje................. 18 1.3.2. Feszültségek agaratban.............. 20 Jenikemodellje................... 20 Enstad modellje................... 23 1.3.3. Feszültségek amodellsilóban........... 26 1.4. Boltozódás......................... 29 1.4.1. Jenike modellje................... 31 1.4.2. Enstad modellje................... 35 1.4.3. Drescher kísérletivizsgálatai............ 40 I

TARTALOM 1.4.4. Onoés Yamadamodellje.............. 41 2. KÍSÉRLETI VIZSGÁLATOK 47 2.1. Anyagjellemzőkmérése................... 47 2.1.1. Anyag és tönkremeneteli jellemzők mérőeszközei. 48 Nyírókészülék................... 48 Valódi triaxiális berendezés............ 51 2.1.2. Anyag- és tönkremeneteli jellemzőkmérése.... 53 Anyagállandók meghatározása........... 53 Nyírási tönkremenetel vizsgálata.......... 56 Tönkremenetel kéttengelyű feszültségállapotban. 58 2.2. A boltozódásifolyamatkísérletivizsgálata......... 61 2.2.1. Boltozódásvizsgáló berendezés.......... 61 2.2.2. Boltozat kialakulás és tönkremenetel........ 63 3. A TERMÉSZETES BOLTOZÓDÁS MODELLJE 69 3.1. Boltozódás lapos fenekű tartályokban........... 70 3.1.1. Atermészetes boltozatkialakulása......... 71 3.1.2. A természetes boltozat összeomlása........ 75 3.1.3. Boltozódási algoritmus............... 83 3.2. Boltozódásgaratban..................... 85 4. ÖSSZEFOGLALÁS 103 4.1. A kutatási tevékenység összefoglalása........... 103 4.2. Új tudományos eredmények................ 104 5. SUMMARY 107 5.1. Summary of the research activity.............. 107 5.2. Newscientificresults.................... 108 IRODALOM 111 II

Ábrák jegyzéke 1.1. Rugalmas test egy kontinuumelemmel............ 6 1.2. Nyírási tönkremenetel.................... 11 1.3. a Δy vastagságú szelet egyensúlya Janssen szerint..... 15 1.4. Csizmadiasilómodellje.................... 19 1.5. a dy vastagságú szelet egyensúlya a garatban, Jenike szerint. 21 1.6. Egy anyagréteg egyensúlya a garatban, Enstad szerint... 25 1.7. Drescher modellsilójánakméretei.............. 27 1.8. Feszültségek amodellsilóban................ 28 1.9. Boltozat agaratban...................... 32 1.10. Folyásifaktorértékei..................... 34 1.11. Tönkremeneteli határgörbék gipsz esetén.......... 35 1.12. Ono és Yamadaboltozódásimodellje............ 42 1.13. Az A és R tartományokpereme............... 44 2.1. Nyíródoboz vázlata...................... 48 2.2. Nyíródoboz mechanikai modellje.............. 50 2.3. Csúsztatófeszültség eloszlás a nyíródoboz középvonalában. 50 2.4. A valódi triaxiális berendezés vázlata............ 52 2.5. Triaxiálisvizsgálat...................... 54 2.6. Gipsz por látszólagos rugalmassági modulusának függése a por tömörödésétől..................... 55 2.7. Gipsz por Poisson tényezőjének függése a por tömörödésétől. 56 III

ÁBRÁK JEGYZÉKE 2.8. 3% nedvességtartalmúhomokcsúsztatófeszültség elmozdulásdiagramja........................ 57 2.9. Belső súrlódás és kohézió mérése nyíródobozzal...... 58 2.10. Kéttengelyű feszültségállapothoz tartozó tönkremeneteli határgörbefelvétele....................... 59 2.11. 3% nedvességtartalmú homok kéttengelyű feszültségállapothoz tartozó tönkremeneteli határfeszültségének mérése. 59 2.12. Kéttengelyű feszültségállapothoz tartozó tönkremeneteli határfeszültségmérése..................... 60 2.13. 3% nedvességtartalmú homok kéttengelyű feszültségállapothoztartozóhatárfeszültsége................ 61 2.14. Boltozódásvizsgáló berendezés............... 62 2.15. Különböző kifolyónyílás méretekhez tartozó természetes boltozatokalakja....................... 64 2.16. Fényképfelvételek a boltozat létrejöttéről és tönkremeneteléről............................. 66 2.17. 70 mm-es kiömlőnyílásnál megjelenő első stabil boltozat alakja............................. 67 2.18. 120 mm-es kiömlőnyíláshoz tartozó boltozat alakja..... 67 3.1. Modellsiló rajza...................... 71 3.2. Fajlagos első főfeszültség a modellsiló nyitott kiömlőnyílásafelett........................... 74 3.3. A kéttengelyű feszültségállapothoz tartozó kritikus nyomófeszültség és a főfeszültségek viszonya.......... 76 3.4. A hidrosztatikus feszültséggel osztott harmadik főfeszültségek eloszlása a boltív mentén, talpponttól a tetőpontig.. 77 3.5. A boltozat tönkremenetelét előidéző repedések a talppont környezetéből indulnak................. 78 3.6. A nyírókészülékben elhelyezett anyagmintára ható erők munkája.............................. 80 3.7. Természetes boltozat kialakulása lapos fenekű tartályban.. 86 3.8. Silómodellgarattal...................... 87 IV

ÁBRÁK JEGYZÉKE 3.9. Fajlagos feszültségek a modellsiló szimmetriatengelyében zárt ésnyitottkifolyónyílásesetén.............. 88 3.10. Fajlagos harmadik főfeszültségek a modellsiló kifolyónyílásánál............................ 89 3.11. Fajlagos harmadik főfeszültségek a modellsiló fala mentén, nyitottkifolyónyílásnál................. 90 3.12. Az előtömörítő feszültség és a garatban mért minimális feszültség hányadosa a kifolyónyílás-méret függvényében.. 93 3.13. A feszültséghányados értékek és a tönkrementeli határgörbeviszonyagipszesetén................... 94 3.14. A garat falánál számított maximális és minimális fajlagos alakváltozási energiasűrűség................. 95 3.15. Kritikuskifolyónyílásmért ésszámítottértékei....... 97 3.16. A feszültséghányados értékének kapcsolata a töltet és silófal közötti súrlódási tényezővel............... 98 3.17. A feszültséghányados értékének kapcsolata a töltet látszólagos rugalmassági modulusával............... 99 3.18. A feszültséghányados értékének kapcsolata a töltet Poissontényezőjével......................... 100 3.19. A töltetmagasság növelésének hatása a szemcsés halmaz boltozódási tulajdonságaira................. 101 V

VI

JELÖLÉSEK a állandó A állandó A alakváltozási tenzor A I alakváltozási tenzor első skalárinvariánsa b állandó B siló szélessége c kohézió C konstans c 0 a siló oldalfalának merevsége C rugalmas együtthatók tenzora d állandó D k kritikus nyílásméret E rugalmassági modulus e állandó F állandó F F folyási függvény f f folyási faktor F I feszültségi tenzor első skalárinvariánsa F K kéttengelyű feszültségállapotban az anyagmintára felvihető maximális terhelő erő F max háromtengelyű feszültségállapothoz tartozó maximális terhelő erő F feszültségi tenzor G csúsztató rugalmassági modulus g nehézségi gyorsulás H a siló magassága h a garat magassága K Janssen konstans VII

JELÖLÉSEK K 0 nyugalmi talajnyomás tényező K 1 konstans Janssen modelljében m konstans σ y számításához, téglatest alakú silóra m =1, hengeres silóra m =2 n felületelem normálvektora N konstans Jenike modelljében p 0 felületelemre ható külső erő q állandó q kontinuumelemre ható térfogati erő r távolság a garat csúcsától R távolság a garat csúcsától a garat tetőpontjáig s a siló oldalfala mentén mért távolság T a szemcsés anyaggal kitöltött tartomány u fajlagos alakváltozási energia u K kritikus energiasűrűség u elmozdulásvektor X konstans Enstad modelljében X b konstans Enstad modelljében Y konstans Enstad modelljében Y b konstans Enstad modelljében α garat félkúpszöge α K kritikus félkúpszög γ fajsúly γ = ρg ζ a boltozat középvonala és a garat falának normálvektora által közrezárt szög κ konstans K számításához, aktív állapotban κ=1, passzív állapotban κ =2 λ konstans, K számításához μ silófal és szemcsehalmaz közötti súrlódási együttható ν Poisson tényező ρ sűrűség τ nm csúsztatófeszültség az n normálvektorú felületelemen, m irányban σ 1 legnagyobb főfeszültség σ 1,a legnagyobb főfeszültség a garat fala mellett σ 3 legkisebb főfeszültség σ K kéttengelyű feszültségállapothoz tartozó tönkremeneteli határfeszültség VIII

σ +min az összetömörített anyag által szakadás nélkül elviselt húzófeszültség értéke σ n n irányú normálfeszültség σ t σ K meghatározása során alkalmazott előtömörítő feszültség φ belső súrlódási szög φ w silófal szemcsehalmaz súrlódási félkúpszög Φ feszültségfüggvény ω konstans közötti IX

X

BEVEZETÉS Amezőgazdaság, az élelmiszeripar, a gyógyszeripar, valamint az építészet területén dolgozó mérnökök gyakran találkoznak a szemcsés anyaghalmazok különleges mechanikai tulajdonságaiból eredő problémákkal. Szemcsés anyaghalmazok bizonyos körülmények között szilárd anyagokhoz hasonlóan viselkednek. Teherviselésre képesek, megőrzik alakjukat. Más körülmények között ugyanaz a szemcsehalmaz, amely korábban szilárd testként volt modellezhető, folyadékhoz hasonló tulajdonságokat mutat. Silóban tárolhatjuk, amelyből gravitációs ürítéssel eltávolíthatjuk. Bizonyos feltételek teljesülése esetén ugyanez a halmaz ismét szilárd testként kezd viselkedni, képessé válik a felette lévő anyagtömeg súlyából adódó terhelések elviselésére, a tárolóból történőkiáramlásamegszűnik, mivel a nyílás felett boltozat jön létre. Aműszaki élet sok területén felvetődő jelentős probléma a szemcsés halmazok természetes boltozódása. 1. definíció. Természetes boltozódásnak nevezi a szakirodalom azt a jelenséget, amely során a szemcsés halmazban a terhelések hatására kialakul egy anyagréteg, amely képes a felette lévő anyagtömeg súlyából eredőterhelések elviselésére. Dolgozatomban megmutatom, hogy a természetes boltozódás jelenségét helyesebb a teljes szemcsehalmazra vonatkozó egyensúlyi állapotként kezelnünk, ezért a későbbiekben megadom a természetes boltozódás egy új definícióját. 1

BEVEZETÉS Bizonyos esetekben a szerkezeteket úgy kell kialakítani, hogy a boltozat ne jöjjön létre. A természetes boltozat megjelenése ugyanis egyrészt akadályozza a szemcsés anyaghalmazok áramlását (pl. a tároló kiürítését), másrészt a boltozatok megjelenése jelentős mértékben módosítjaa halmazbeli feszültségviszonyokat. A feszültségviszonyok módosulása pedig a tároló falának többletterhelését, esetleg a tároló károsodását, tönkremenetelét okozhatja. Más esetekben a kialakuló természetes boltozat teherhordó szerkezetként vehető figyelembe, azaz itt a viszonyokat úgy célszerű kialakítani, hogy a boltozat létrejöjjön. Ilyen esetekkel a bányászatban valamint föld alatti építmények (alagutak, csővezetékek) terhelésviszonyainak vizsgálata során találkozhatunk. A szemcsés anyagok mechanikájának területén végzett elméleti vizsgálatok olyan erőteljes közelítéseket és elhanyagolásokat hordoznak magukban, hogy az ezekből származó becslések és a mérési eredmények között jelentős az eltérés 1. Jelen munka célja a szemcsés anyaghalmazok természetes boltozódásának olyan új modelljét létrehozni, amelynek felhasználásával a jelenséggel kapcsolatos előrejelzéseink, becsléseink a mérésekkel meghatározható értékekhez közelebb álló eredményekre vezetnek. Ennek elérése érdekében: I. Dolgozatomban bemutatom a szemcsés halmazok kontinuum modelljében felhasznált anyag- és tönkremeneteli jellemzőket. II. Összefoglalom a szemcsés halmazokban kialakuló feszültségviszonyok, valamint a természetes boltozódás jelenségének modellezésével kapcsolatos eddigi eredményeket. III. Bemutatom a szemcsés halmazok anyagtulajdonságainakvalaminta boltozódás jelenségének vizsgálatára szolgáló kísérleti módszereket. 1 Például silóknál a boltozódás szempontjából kritikus nyílásméret elméleti úton becsült, és mérésekkel meghatározott értéke között az eltérés gyakran a kétszeres értéket is meghaladja [9]. 2

IV. Bemutatom az általam létrehozott új boltozódásvizsgáló berendezést valamint a triaxiális berendezésen általam végzett módosításokat. V. A boltozódással kapcsolatos kísérleti vizsgálataim alapján bevezetek egy új boltozat kialakulási és tönkremeneteli modellt. VI. Bemutatomaboltozatkialakulás és tönkremenetel numerikusszimulációjában az új modell felhasználásával elért eredményeimet. 3

4

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS Szemcsés anyaghalmazokkal kapcsolatos vizsgálatok során a mechanikai modell megválasztása jelenti a legnehezebb feladatot. Bármennyire is időnként úgy viselkednek a szemcsés halmazok, mint a folyékony halmazállapotú anyagok, bizonyos tulajdonságaik modellezésére a folyadékmechanika nem alkalmas. Ugyanez igaz a szilárd testek mechanikájának műszaki gyakorlatban megszokott módszereire is. A későbbiekben látni fogjuk, hogy a szilárd testek mechanikájának megszokott eszközein túlmutató további meggondolásokat kell alkalmaznunk egyes jelenségek leírására. 1.1. Szemcsés halmazok kontinuum modellje A szakirodalmi források az anyagmodell alapján két fő csoportra oszthatók. Túlnyomó többségük a klasszikus kontinuummechanika eszközrendszerét alkalmazva folytatja vizsgálatait. Másik kisebb részük az egyes szemcsék mozgásegyenleteit felírva, a szemcsék közötti kölcsönhatásokat leírva próbálja modellezni a szemcsehalmaz viselkedését. Ez az úgynevezett diszkrét elemes modell manapság egyre több kutatásban teret nyer, eredményei azonban jelenleg néhány alapvető jelenség szimulációjára korlátozódnak. Nemzetközi szinten is kiemelkedő eredményeket ért el ezen a területen Bagi [4]. Az irodalmi források különösen [34] alapján véleményem szerint a diszkrét elemes módszer jelenlegi állapotában nem alkalmas a természetes 5

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS boltozódás folyamatának általános vizsgálatára. Amennyiben a műszaki gyakorlat számára könnyen alkalmazható, ismert fogalmakon alapuló eljárást kívánunk kifejleszteni, célszerű a klasszikus kontinuum modell alkalmazása. Dolgozatomban én is ezt az utat kívánom követni. Kontinuum modell alkalmazása esetén a halmaz szerkezetére semmilyen feltevést nem teszünk, hanem annak sajátságait mérésekkel meghatározott anyagi állandók segítségével jellemezzük. Feltételezzük, hogy a szemcsés halmaz folytonosan tölti ki a rendelkezésére álló térfogatot 1.A szemcsehalmazra jellemző mechanikai mennyiségeket folytonos függvények segítségével adjuk meg. A halmaz állapotának leírására is folytonos függvényeket alkalmazunk, az állapotváltozást pedig differenciálegyenletek alakjában írjuk fel. z dv da n p 0 f A p x y A u 1.1. ábra. Rugalmas test egy kontinuumelemmel. A kontinuumelemre ható térfogati erő f, egy felületelemre ható külsőerő p 0. A legegyszerűbb és a boltozódással foglalkozó szakirodalmi forrá- 1 Ez a kikötés maga után vonja, hogy a kontinuumelemek méretét legalább olyan nagynak kell feltételeznünk, hogy a halmaz finomszerkezetének hatásai kiátlagolódjanak, és legfeljebb akkorának, hogy a differenciálegyenletek felírása során végrehajtott határátmenetek még elfogadható közelítését jelentsék a valóságban lejátszódó jelenségeknek. 6

1.1. SZEMCSÉS HALMAZOK KONTINUUM MODELLJE sok által leggyakrabban használt modell a homogén, izotróp, lineárisan rugalmas anyagmodell. Az így modellezett szemcsehalmaz állapotát az F (x, y, z) feszültségi tenzormező, az A(x, y, z) alakváltozási tenzormező és az u(x, y, z) elmozdulási vektormező határozza meg. Szilárd testek rugalmas deformációjának lineáris közelítésben történő modellezése esetén a test bármely pontjában a feszültségi és az alakváltozási tenzormező közötti kapcsolatot legáltalánosabb formában egy negyedrendű tenzor, C segítségével írhatjuk fel. C összetevői a test rugalmas együtthatói, értékük elméletileg a test minden egyes pontjában, minden időpillanatban más és más lehet. A szemcsehalmaz mechanikai állapotára jellemző mennyiségek kapcsolatát és a kontinuum környezetével való kölcsönhatását a rugalmasságtani egyenletek és azok peremfeltételei írják le (1.1. ábra): F +f = 0, (1.1) 1 (u + u) 2 = A, (1.2) C A = F, (1.3) u Au = u 0, (1.4) F n Ap = p 0. (1.5) A fenti egyenletrendszer analitikus úton történő egzakt megoldása a gyakorlati problémák túlnyomó többségénél és a mi esetünkben is reménytelen feladat. Alagutak környezetében kialakuló feszültségviszonyok analitikus úton történő tárgyalása során [31] komplex változók alkalmazásával kialakított módszere alkalmazható a legnagyobb hatékonysággal. Ennek a módszernek is erősen korlátozott azonban az alkalmazhatósága. [46] jelentős eredményeket ért el ezen a területen. Természetes boltozatok vizsgálata során azonban nem ismert a boltozat alakja, így a komplex változós módszer sem alkalmazható erre az esetre. A gyakorlatban közelítő megoldásokat keresünk numerikus módsze- 7

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS rekkel. Különösen a végeselem módszer ad kiválóan használható numerikus eljárást, amelyet a későbbiekben fel is fogunk használni a boltozódási jelenség vizsgálatára. 1.2. Anyag- és tönkremeneteli jellemzők A szemcsés halmazok kontinuum modelljében az anyagegyenletek teremtenek kapcsolatot a feszültségi tenzormező F (x, y, z) és az alakváltozási tenzormező A(x, y, z) között. Az (1.3) összefüggésben jelennek meg azok a mennyiségek, amelyek a test anyagától függő tulajdonságokat kifejezik, ezeket szokás anyagjellemzőnek nevezni. A testek anyagától függő tulajdonságokat háromféleképpen határozhatjuk meg [41]: deduktív módon, elméleti megfontolások alapján, induktív úton, elsősorban kísérletekre támaszkodva, reológiai modellek segítségével. Dolgozatomban a szemcsés anyagok mechanikai viselkedésének leírásához szükséges anyagjellemzőket kísérleti úton kívánom meghatározni. A tönkremenetelt a gépészmérnöki gyakorlatban úgy definiáljuk, mint a szerkezet valamely méretének egy megengedett értéket meghaladó változását. Egy szemcsés anyaghalmaz tönkremenetele jóval bonyolultabb folyamat, mint egy acél próbatest maradó alakváltozása. Maga a tönkremenetel fogalmasem olyan egyértelmű ilyen anyagok esetén, mint a műszaki gyakorlatban általában használt anyagoknál. 2. definíció. Szemcsés anyaghalmaz tönkremenetelének nevezem azt a jelenséget, amely során a halmaz anyagjellemzői olyan mértékben megváltoznak (esetenként értelmezhetetlenné válnak), hogy ennek következtében ahalmazmechanikai viselkedése jelentős mértékben módosul. 8

1.2. ANYAG- ÉS TÖNKREMENETELI JELLEMZŐK 3. definíció. Tönkremeneteli jellemzőnek nevezem azokat a mennyiségeket, melyek a szemcsés halmaz tönkremeneteli tulajdonságait egyértelműen meghatározzák. A szemcsehalmazok tönkremeneteli tulajdonságait ugyancsak kísérletekre támaszkodva vizsgálom. 1.2.1. Anyagjellemzők Homogén, izotróp, lineárisan rugalmas szilárd test esetén a C negyedrendű tenzor helyett elég két független rugalmas együtthatót például a ν Poisson tényezőt és a G csúsztató rugalmassági modulust alkalmaznunk [32]. Ekkor a feszültségi és alakváltozási tenzormező kapcsolatát kifejező egyenlet az általános Hooke-törvényre egyszerűsödik: A = 1 ( F ν ) 2G 1+ν F IE, vagy megfordítva (1.6) ( F = 2G A+ ν ) 1 2ν A IE. (1.7) ahol F I a feszültségi tenzor-, A I pedig az alakváltozási tenzor első skalárinvariánsa. A G csúsztató rugalmassági modulus és az E rugalmassági modulus közötti kapcsolatot az ismert G = E összefüggés fejezi ki. 2(1+ν) Az általános Hooke-törvényben szereplő, a szemcsés halmazra jellemző ν Poisson tényező ésg csúsztató rugalmassági modulus méréséről a későbbiekben lesz szó. A lineárisan rugalmas anyagmodell a lehető legegyszerűbb, a műszaki mechanika más területein sikerrel alkalmazott közelítés. A természetes boltozódás vizsgálatával foglalkozó kutatók döntő többsége is lineárisan rugalmas, homogén, izotróp anyagmodellt alkalmaz. 9

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS 1.2.2. Tönkremeneteli jellemzők A gépészmérnöki gyakorlatban ahol az esetek döntő többségében acélvagy ahhoz hasonló mechanikai tulajdonságú anyagokkal találkozunk a tönkremenetel fogalmát a legtöbbször úgy definiálják, mint a szerkezet valamely méretének egy megengedett értéket meghaladó változását. A vizsgált anyagokból megfelelő gondossággal kiválasztott próbatestek szakítóvizsgálatával meghatározott kritikus feszültségek és a valódi terhelésbőladódó esetlegtöbbtengelyűigénybevételekáltal létrehozott terhelések között pedig a redukált feszültség fogalmának alkalmazásával teremtenek kapcsolatot. A szakítóvizsgálatból nyert kritikus feszültség és az anyagra megengedhető maximális redukált feszültség összehasonlítására tönkremeneteli kritériumokat alkalmaznak. Ezek közül a legegyszerűbb a Mohr féle hipotézis, amely a feszültségállapotra jellemző Mohr körök és az ún. tönkremeneteli határgörbék között vizsgál egyszerű geometriai kapcsolatokat. A Mohr féle kritériumnál léteznek jóval több fizikai alapot tartalmazó (pl. torzítási munkák azonosságát vizsgáló) tönkremeneteli kritériumok is. Az egyes törési elméletek között a végeredményt tekintve a legtöbb esetben nem túl nagy az eltérés, ezért gyakran megelégednek a Mohr féle törési elmélet felhasználásával kapott eredményekkel. A szemcsés anyaghalmazok tönkremenetele azonban az előbbinél sokkal összetettebb folyamat. Nyírási tönkremenetel 4. definíció. A szemcsehalmaz egy elemi tartományában akkor következik be nyírási tönkremenetel, ha található a tartományon átmenő olyan n normálisú sík, amelyiken a nyírófeszültségek túllépik a σ n normálfeszültség értékének egy meghatározott hányadát (Mohr Coulomb-féle tönkremeneteli kritérium): τ nm σ n tan φ, (1.8) 10

1.2. ANYAG- ÉS TÖNKREMENETELI JELLEMZŐK ahol φ a halmaz belső súrlódási szöge. Amennyiben a szemcsehalmazon belüli c kohézió is létezik, az előbbi összefüggés módosul: τ nm σ n tan φ+c. (1.9) Tönkremeneteli határgörbe τ c φ σ 3 σ 2 σ 1 σ Mohr kör 1.2. ábra. Nyírási tönkremenetel. A nyírási tönkremenetelhez tartozó Mohr-körök burkológörbéjét tönkremeneteli határgörbének nevezzük. Az 1.2. ábrán vázolt tönkremeneteli határgörbe linearitása természetesen csak közelítés. Ennek a közelítésnek a jóságát méréseinknek kell eldönteniük, mint ahogy a tönkremeneteli határgörbe φ és c paramétereinek meghatározása is mérések útján történik. Tönkremenetel kéttengelyű feszültségállapotban Szemcsés anyagok tönkremeneteli tulajdonságai nem csak tömörítő erőktől, hanem a feszültségállapottól is függenek. Szemcsés anyaghalmazok 11

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS kéttengelyű feszültségállapotban a háromtengelyűhöz tartozó értéknél csak jóval kisebb nyomófeszültséget képesek elviselni. 5. definíció. Kéttengelyű feszültségállapothoz tartozó tönkremenetelről beszélünk abban az esetben, amikor a kéttengelyű feszültségállapotban levő anyaghalmaz a rá ható terhelések következtében elveszíti terhelhetőségét. Kéttengelyű feszültségállapothoz tartozó határfeszültségnek nevezzük azt a nyomófeszültséget, amelynek hatására a kéttengelyű feszültségállapotban levő anyaghalmaz elveszíti terhelhetőségét A természetes boltozatok szabad felületének környezetében a szemcsés anyag kéttengelyű feszültségállapotban van. Szükséges tehát, hogy a kéttengelyű feszültségállapothoz tartozó tönkremeneteli jellemzőket meghatározzuk, és a boltozódási folyamat során a boltív peremének mechanikai tulajdonságait a kéttengelyű feszültségállapot figyelembevételével vizsgáljuk. * Az itt felsorolt anyag- és tönkremeneteli jellemzőket mérésekkel kell meghatároznunk. A mérőeszközöket, mérési módszereket, valamint mérési eredményeimet a későbbiekben ismertetem. 1.3. Feszültségviszonyok szemcsés halmazokban A természetes boltozódás jelenségének vizsgálatához elengedhetetlenül fontos a szemcsés anyaghalmazokban kialakuló feszültségviszonyok tisztázása. A feszültségviszonyok pontos ismerete nélkül nem adható becslés a természetes boltozatok várható alakjára, a boltozatban kialakuló feszültségviszonyokra, a boltozat által átívelhető maximális nyílásméretre. A feszültségviszonyok nyomonkövetésére szolgáló elsődleges információ forrásunk a feszültségek mérések útján történő meghatározása lehetne. Silónyomás méréssel sok szerző foglalkozott Janssen cikkének megjelenése óta [18]. A méréssel kapcsolatban néhány probléma napjainkig sem 12

1.3. FESZÜLTSÉGVISZONYOK SZEMCSÉS HALMAZOKBAN került megoldásra. Stroppel [40] foglalkozik a silónyomás mérésnek azzal az érdekes problémájával, hogy a silófalhoz rögzített nyomásmérő érzékelő elmozdulásának igen kis értéke is jelentősen befolyásolja a mért nyomásértéket. [45] a kísérleti eredmények és a silónyomás modellek összehasonlítását kísérli meg. Sajnálatos módon a szemcsehalmazbeli feszültségviszonyok mérésére jelenleg nem áll a kutatók rendelkezésére kellő pontosságú eredményeket szolgáltató eszköz. Nagy feszültség (nyomás) értékek mérése többékevésbé elfogadható pontossággal megoldható a halmazba helyezett különféle nyomás érzékelők segítségével. Ezek az érzékelők azonban egyrészt jelentős mértékben módosíthatják a környezetükben kialakult nyomásviszonyokat, másrészt elsősorban a szemcsés anyaghalmazok belső súrlódásának következtében sokszor jelentős hibával terhelten működnek. A szemcsehalmazbeli feszültségviszonyok mérésére optikai feszültség analízist is felhasználhatunk [1]. A szemcsés halmaznak optikailag érzékeny anyagszemcsékből kell állnia, és a szemcsék közötti részt olajjal kell kitölteni. A szemcsék közötti olaj miatt a boltozódás vizsgálatokhoz használt nyitott kifolyónyílású tartályban elhelyezett anyaghalmaz feszültségviszonyainak optikai úton történő vizsgálata nem kivitelezhető. Egyedül természetes boltozattal átívelhetőkritikusnyílásméret meghatározására van lehetőségünk, és minden, a továbbiakban következő feltételezés helyességét csupán ennek a mennyiségnek a mérésével dönthetjük el. 1.3.1. Feszültségek a silóban Janssen modellje Az ideális folyadékokkal ellentétben a szemcsés anyaghalmazok képesek nyírófeszültségekfelvételére. A falsúrlódás miatt a töltet tömegét részben a 13

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS siló fala hordozza, ezért a függőleges feszültségösszetevő értéke nem lineárisan növekszik a mélység függvényében. Ennek a változásnak a jellegét Janssen vizsgálta elsőként. A XIX. század végén alkotta meg Janssen a silókban kialakuló nyomásviszonyokat leíró differenciálegyenletét [18]. Annak ellenére, hogy az elmúlt több, mint száz év alatt az elmélet jónéhány hiányosságára rámutattak a témával foglakozó kutatók, az Európai Únió szabványgyűjteményében (EUROCODE 1, Part IV.: Actions in silos and tanks) megfogalmazottak tulajdonképpen Janssen 1895-ben elért eredményeinek alkalmazásai [49]. 6. definíció. Janssen féle feltételek: I. A szemcsés anyag homogén, izotróp lineárisan rugalmas kontinuumként modellezhető, II. a terhelés az anyag önsúlyából származik, III. a szemcsehalmaz megcsúszása a fal mellett következik be, IV. a függőleges (σ y ) feszültség értéke egy adott magasságban állandó (1.3. ábra), V. a σx σ y hányados az y mentén állandó, VI. az anyaghalmaz sík-alakváltozási állapotban van, VII. a silófal végtelen merevségű, VIII. E és ν a feszültségviszonyokra nincs hatással, IX. a halmazban kijelölt Δy magasságú töltetrész merev testként mozog a silóban. 14

1.3. FESZÜLTSÉGVISZONYOK SZEMCSÉS HALMAZOKBAN 1. tétel. A Janssen féle feltételek teljesülése esetén a silóban tárolt szemcsés halmazban kialakuló σ y függőleges feszültségek meghatározhatók a σ y = Bρg 2K összefüggés segítségével [18]. x (1 e 2K B y ) (1.10) σ y σ x τ xy Δy σ x τ xy σ y +Δσ y ρg y B 1.3. ábra. a Δy vastagságú szelet egyensúlya Janssen szerint. Bizonyítás. Az 1.3. ábrán vázolt, z irányban egységnyi méretű szelet egyensúlyát kifejező egyenlet: Bσ y B(σ y +Δσ y )+BρgΔy 2Δyτ xy =0. (1.11) BΔy-nal végigosztva, elvégezve a Δy 0 határátmenetet, majd egyszerűsítve a dσ y dy +2τ xy ρg =0 (1.12) B 15

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS differenciálegyenlet adódik. Mivel τ xy = μσ x = μk 1 σ x (a III. és az V. feltételt felhasználva), ezért írható, hogy τ xy = Kσ y, (1.13) ezzel dσ y dy +2K B σ y ρg =0. (1.14) A differenciálegyenlet megoldása: σ y = Bρg 2K (1 e 2K B y ). (1.15) 7. definíció. Az előbbi bizonyításban szereplő, σ x és σ y közötti kapcsolatot kifejező K állandót a szakirodalom Janssen konstansnak nevezi. A Janssen kontans kezelése nem egységes az irodalomban. Néhány szerző ugyanis a K 1 = K értéket nevezi Janssen konstansnak. μ Janssen modelljét [47] és [9] is finomította. Módszereik és eredményeik a lényeget tekintve nem sokban különböznek az előzőekben leírtaktól. Felírható a silónyomásmagasságtólfüggő változására egy általánosabb összefüggés is, mely hengeres silóra is alkalmazható [43]: σ y = Bρg ( ) 1 e m2k B y, (1.16) m2k ahol m =1adja az előbbiekben tárgyalt esetet, m =2pedig a hengeres silóra vonatkozó megoldást. 16

1.3. FESZÜLTSÉGVISZONYOK SZEMCSÉS HALMAZOKBAN Enstad modellje [10] a párhuzamos falú részben található szemcsés anyaghalmazban kialakuló feszültségállapot modellezésére a [18]-ben leírt módszert használja. Ezt azonban kiegészíti azzal, hogy meghatározza a K konstans értékét, bizonyos feltételezések mellett. Amennyiben a szemcsés anyag a silófal mentén mindenütt megcsúszási határhelyzetben van, akkor a Janssen konstans [10] szerint a K = 1+sinφ cos 2λ 1 sin φ cos 2λ (1.17) összefüggéssel számítható, ahol λ = 1 2 (φ w +ω), (1.18) sin ω = sin φ w sin φ. (1.19) A szemcsehalmazban ébredő függőleges (y) irányú feszültségek pedig meghatározhatók az (1.10) Janssen-féle egyenlettel. 8. definíció. Aktív Rankine féle állapotnak nevezzük azt az esetet, amikor a szemcsés anyaghalmaz minden pontjában a csúszás határállapotában van [23]. 9. definíció. Passzív állapotról beszélünk abban az esetben, amikor a szemcsés halmaz képes a rá ható erőkkel szemben ellenállás kifejtésére. [9] szerint a Janssen egyenletben szereplő K konstans értéke a siló függőleges falakkal határolt tartományában: K = 1 κ sin φ 1+κ sin φ tan φ w, (1.20) 17

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS a kúpos szakaszon pedig K = 1 κ sin φ cos 2φ w 1+κ sin φ Itt κ =1aktív, κ = 1 passzív feszültségi állapot esetén. tan φ w. (1.21) Csizmadia modellje Önsúlyával terhelt, függőleges falak közé helyezett szemcsés anyaghalmazban kialakuló feszültségek meghatározásának általánosabb módszerét vizsgálja [8]. 10. definíció. Csizmadia féle feltételek: I. A szemcsehalmaz homogén, izotróp kontinuum. II. A terhelés csak az anyaghalmaz önsúlyából származik. III. Az anyagtulajdonságok lineáris függvénnyel modellezhetők. IV. A halmaz belső súrlódása és kohéziója valamint a fal és a szemcsehalmaz közötti súrlódás nem hagyható figyelmen kívül. V. A silófal megtámasztása rugalmas (C felület) (1.4. ábra). VI. A szemcsehalmaz a fal mellett csúszási határhelyzetben van. VII. A siló alján nincs súrlódás (D felület). VIII. A halmaz síkalakváltozási állapotban van. IX. A felső részen σ y = állandó (B felület). 18

1.3. FESZÜLTSÉGVISZONYOK SZEMCSÉS HALMAZOKBAN B z B A C H D y 1.4. ábra. Csizmadia silómodellje. 1. állítás. A Csizmadia féle feltételek teljesülése esetén a modellsilóban kialakuló feszültségviszonyok leírhatók egy Φ(y, z) feszültségfüggvény segítségével, melyre: σ y = 2 Φ z 2 ; σ z = 2 Φ y 2 +ρgz; τ yz = 2 Φ y z, (1.22) σ x = ν(σ y +σ z ). (1.23) 4 Φ y +2 4 Φ 4 y 2 z + 4 Φ =0. (1.24) 2 z4 Csizmadia a silóban kialakuló feszültségviszonyok vizsgálatát a (1.24) biharmonikus egyenlet megoldására vezette vissza. A peremfeltételekre és 19

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS megoldási módszerekre részletesebben itt nem térek ki [8]. A biharmonikus egyenlet megoldásáta szerző a véges differenciák módszerével kereste. Csizmadia modelljét használva lehetőség nyílik a siló oldalfal merevségének figyelembevételére, amely [25] szerint a betonénál rugalmasabb (pl. acéllemez) oldalfalú silók esetén nagy fontossággal bír. 1.3.2. Feszültségek a garatban Jenike modellje [19] vizsgálataihoz a garatban található szemcsés anyagot a függőleges falakkal határolt résznél alkalmazottakhoz hasonlóan vízszintes síkokkal bontotta szeletekre, és egy ilyen szelet egyensúlyának vizsgálatával vezette le a feszültségeloszlást meghatározó differenciálegyenletet. 2. tétel. A Janssen féle feltételek teljesülése esetén a σ y = ρgy 1+N +Cy N (1.25) összefüggés adja a garat középvonalában, függőleges irányban kialakuló feszültségeloszlást [19]. Bizonyítás. A 1.5. ábrán vázolt szelet egyensúlyát kifejező egyenlet: 2y tan ασ y 2(y+dy)(σ y +dσ y )tanα+2dy(σ n tan α+τ n ) 2yρgdy tan α=0. (1.26) Az egyenletet rendezve és a másodrendűen kicsiny mennyiségeket elhanyagolva a dσ y dy + 1 ( σ y σ n y τ ) n +ρg =0 (1.27) tan α differenciálegyenlet adódik. Helyettesítve τ n = K σ y és σ n = K tan φ w σ y értékeket Jenike a dσ y dy +N σ y +ρg =0 (1.28) y 20

1.3. FESZÜLTSÉGVISZONYOK SZEMCSÉS HALMAZOKBAN y σ y +dσ y σ n dy σ n τ n τ n σ y ρg y α x O 1.5. ábra. a dy vastagságú szelet egyensúlya a garatban, Jenike szerint. differenciálegyenletet kapja, ahol N =1 K (ctgφ w + ctgα). Ennek általános megoldása σ y = ρgy 1+N +Cy N. (1.29) 21

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS K szerepe hasonlít a K konstanséhoz, azonban K K. 11. definíció. Átmeneti tartománynak nevezem függőleges falakkal határolt rész és a garat találkozásának környezetét. C meghatározásához a függőleges és a kúpos rész közötti átmenet tartományában ismerni kell σ y értékét. A feszültségfüggvény azonban az átmeneti tartományban nem folytonos a mérések szerint [44]. A differenciálegyenlet megoldását vizsgálva Jenike megállapítja, hogy a kúpos rész bemeneti oldalán ébredő feszültségek nagysága nincs nagy hatással a kifolyónyílás környezetében keletkező feszültségekre. Végeselem módszerrel végzett számításaim szerint Jenike előbbi feltételezése nem állja meg a helyét. Vizsgálataim során azt tapasztaltam, hogy az átmeneti tartományban kialakult feszültségviszonyok kismértékű megváltozása is komoly hatással van a talppontban számított feszültségek értékére. Amennyiben csak a kúp csúcsának környezetében kialakuló feszültségviszonyokat vizsgáljuk, akkor a C =0feltételt alkalmazhatjuk. Ezzel a σ y = ρg 1+N y (1.30) összefüggést nyerjük a garat középvonalában keletkező feszültségekre. 12. definíció. Radiális megoldásnak nevezi a szakirodalom a összefüggéssel nyert feszültségeloszlást 2. σ y = ρg 1+N y (1.31) 2 Esetenként a megoldás tényleges alakja kismértékben eltér a definícióban szereplőtől, de a linearitás, és a monoton csökkenés (!) minden esetben megmarad 22

1.3. FESZÜLTSÉGVISZONYOK SZEMCSÉS HALMAZOKBAN A σ y feszültség ismeretében meghatározható a másik két feszültség: τ n = ρgk y, 1+N (1.32) ρgk σ n = y. (1+N)tanφ w (1.33) Enstad modellje A garatban kialakuló feszültségviszonyok vizsgálatához Enstad az alábbi feltételezésekkel él [10]. 13. definíció. Enstad féle feltételek: I. A szemcsés anyag a függőlegesfalakkal határolt tartománybanaktív feszültségállapotban van. II. A garatban található anyaghalmaz passzív feszültségállapotban van. III. Az azonos feszültségállapotban lévő anyagrészek a garatban olyan tartományokban helyezkednek el, amelynek határait a szimmetriatengelyen elhelyezkedő középpontú, excentrikus körök alkotják. IV. Anagyobb főfeszültség az előbbi körívekérintőjének irányában hat. 3. tétel. Az Enstad féle feltételek teljesülése esetén a garat középvonalában kialakuló feszültségviszonyokat a σ(r)= ρgy r ( X 1 + σ(r) ρgy R ) ( r ) X (1.34) X 1 R egyenlet írja le. 23

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS Bizonyítás. Az 1.6. ábrán látható szelet egyensúlyánakvizsgálatából (Enstad jelöléseivel) a következő differenciálegyenlet adódik: r dσ Xσ = ρgy r. (1.35) dr Az állítás bizonyítása a fenti differenciálegyenlet megoldásával történik. Ennek részleteire itt nem térek ki, lásd [10]. Enstad szerint passzív feszültségállapot esetén X = sin φ ( 1+ sin (2β ) p +α), 1 sin φ sin α (1.36) Y = sin α (β p +α)+sinβ p sin (β p +α) (1 sin φ)sin 2, (β p +α) (1.37) míg aktív feszültségállapotban a a differenciálegyenletben szereplő konstansok meghatározásának módja: X = sin φ ( ) sin (2βa +α) 1, (1.38) 1+sinφ sin α Y = sin α ( ) β a +α π +cosβa cos (β 2 a +α). (1.39) (1+sin φ)cos 2 (β a +α) Aktív feszültségállapot a garatban csak akkor jöhet létre [10], ha α π 2 β a. (1.40) Az (1.34) egyenletet megvizsgálva láthatjuk, hogy mivel X egy körülbelül 10 nagyságrendű szám az egyenlet első tagja fog dominálni a garat csúcsánál, a kifolyónyílás közelében. Ez azt jelenti, hogy ebben a tartományban a feszültségek értéke Enstad szerint is r-rel arányos, ugyanúgy, mint ahogyan azt Jenike modelljénél is tapasztaltuk. 24

1.3. FESZÜLTSÉGVISZONYOK SZEMCSÉS HALMAZOKBAN y σ 2 (r +Δr) ΔF β σ 2 (r +Δr) α β σ 1 σ 2 (r) β ρg dr 1 ΔF 2 r α x 1.6. ábra. Egy anyagréteg egyensúlya a garatban, Enstad szerint. O Enstad módszere tehát gyakorlati szemszögbőlnem ad számunkra többet, mint Jenike modellje, hiszen a természetes boltozat környezetében 25

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS mindkét gondolatmenet lineáris feszültségeloszlást (az úgynevezett radiális feszültségmezőt) eredményez. A radiális feszültségmező alkalmazásánál mindkét szerző abból a hibás feltételezésből indul ki, hogy a radiális feszültségmező hipotézis zárt kiömlőnyílás esetén is érvényes. Ha végeselem módszerrel megvizsgáljuk a silóban kialakult feszültségviszonyokat, akkor láthatjuk, hogy a radiális feszültségmező csak nyitott kiömlőnyílásnál jelentkezik (3.9. ábra). 1.3.3. Feszültségek a modellsilóban A [9] által boltozódási vizsgálatokra alkalmazott modellsiló adatait felhasználva meghatároztam (Janssen módszerével) a silóban függőleges irányban keletkező feszültségeket. Janssen szerint σ y = Bρg 2K (1 e 2K B y ). (1.41) A garatbeli feszültségviszonyokat pedig a Jenike által levezetett σ y = ρg 1+N y (1.42) egyenlet segítségével határoztam meg. A modellsiló (1.7. ábra) geometriai adatai: H =1.7m magas, a garat magassága h =0.7m, a siló szélessége B =1.3m, a garat félkúpszöge α = =40. A töltet anyaga gipsz, melynek fajsúlya γ=12.85 kn, a falsúrlódási szög m 3 φ w =38.2,belső súrlódása φ =54.1. Az (1.41) összefüggésben szerepel a K tényező, melynek meghatározása [9] szerint a K = 1 κ sin φ 1+κ sin φ tan φ w (1.43) 26

1.3. FESZÜLTSÉGVISZONYOK SZEMCSÉS HALMAZOKBAN s B H α h D y 1.7. ábra. Drescher modellsilójának méretei. egyenlettel határozható meg. Tételezzük fel, hogy esetünkben κ =1eset aktív állapot valósul meg, ezért K értéke: K = 1 sin 54.1 1+sin54.1 tan 38.2 =0.08. (1.44) K -t felhasználva meghatározhatjuk a függőleges irányban feltételezett σ y feszültségeloszlást (1.41) felhasználásával: σ y = 104.41 ( 1 e 0.12y). (1.45) Az így számolt feszültségeloszlás látható a 1.8. ábrán. Láthatjuk, hogy ez exponenciális tag hatása ilyen kis (y =1m) mélységben még nem számottevő. Természetesen nagy silómagasság esetén az eltérés a hidrosztatikus megoldástól igen jelentős lehet [39]. 27

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS σ y ρgh 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 σ y = Bρg 2K (1 e 2KB y ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 y [m] 1.8. ábra. Feszültségek a modellsilóban. Szaggatott vonallal a hidrosztatikus modellhez tartozó feszültség értékeket rajzoltam meg. A garatbeli feszültségeloszlásra felírt (1.42) összefüggésben szerepel az N =1 K (ctgφ w +ctgα) konstans, amelynek értéke esetünkben: N =1 0.08(ctg38.2 +ctg40 )=0.8. (1.46) N értékét felhasználva σ y = ρg y =7.14y, (1.47) 1+N ha y értékét a garatot alkotó kúp csúcsától felfelé mérjük. A fentről lefelé és lentről felfelé meghatározott feszültség értékek a függőleges falakkal határolt rész és a garat találkozási pontjánál nem ugyanazt az értéket adják. A mérések [44] szerint is létezik ez a feszültségugrás. 28

1.4. BOLTOZÓDÁS 1.4. Boltozódás A természetes boltozódás vizsgálata során a kutatók a silókkal kapcsolatos boltozódásvizsgálatoknál két lényeges kérdés megválaszolására törekednek [9] összefoglaló munkája szerint: I. Azon feszültségek meghatározására, amelyek a szemcsés anyag tömörödését okozzák. A tömörödés hatására létrejövő anyagtulajdonság változások következtében a szemcsés anyag képessé válik önsúlyának és esetleg a felette elhelyezkedő anyagréteg súlyából adódó terhelések elviselésére. II. A természetes boltozatot alkotó szemcsehalmazban keletkező feszültségek meghatározására. A feszültségek és a tönkremeneteli kritériumoknak az ismeretében kívánják meghatározni a boltív teherbírását és ebből a kritikus nyílásméretet. Itt először a boltozódási folyamat vizsgálatának általános leírását kívánom megadni, a későbbiekben részletezem az egyes szerzők munkáit. [19] és [9] feltételezik, hogy a tömörödést okozó feszültségek nagysága egyenesen arányos a siló kúpos részének csúcsától mért távolsággal (radiális feszültségmező hipotézis). Feltételezéseik szerint ez a radiális feszültségmező okozza a szemcsehalmaz olyan mértékű deformációját, melynek hatására a tönkremenetel lezajlik, a boltozat összeomlik. A tömörödés okozójának a fal mellett kialakuló legnagyobb főfeszültséget tekintik. A tömörödést okozó σ t feszültséget σ t = ρgrf(φ, α, φ w ) (1.48) alakban határozzák meg a szerzők, ahol r a garat csúcsától mért távolság. A boltívbenkialakuló feszültségek meghatározása során a szerzők előzetesen feltételezik, hogy milyen alakú az adott boltív, és ezen feltételezés felhasználásával számítják ki a boltívben ébredő feszültségeket. 29

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS A fal melletti legnagyobb főfeszültség értéke [19]: σ 1,a = ρgrg(φ w,α) (1.49) alakú. Az egyes elméletek a boltív alakjával, valamint a tönkremenetellel kapcsolatos feltételezésekben különböznek. Természetesen az egyes modellekben az f(φ, α, φ w ) és g(φ w,α) függvények alakja is különböző. A kapott σ 1,a feszültséget ezután összehasonlítják a nyíródobozos vagy atriaxiálisvizsgálatbólszármazó tönkremenetelihatárfeszültséggel, amelynek meghatározásáról a későbbiekben lesz szó. A természetes boltozat kialakulásának szükséges feltétele: ahol σ K a tönkremeneteli határfeszültség. σ 1,a σ K, (1.50) 14. definíció. Kritikus nyílásméretnek nevezzük a siló kifolyónyílásának azt a legkisebb méretét, amelynél az anyag akadálytalanul ki tud folyni a silóból. σ 1,a ismeretében a kritikus nyílásméret meghatározható: D k = 2σ 1,a sin α ρgg(α, φ w ). (1.51) Ag(α, φ w ) függvény típusa a boltozat alakjára tett feltételezésektől függ. A garatbeli radiális feszültségmező kialakulásának szükséges feltétele az anyag sűrűségének állandósága [9]. Ha a sűrűséget állandónak tekintjük a teljes vizsgálat során, akkor nincs tömörödés, azaz éppen az a hatás nem jelentkezhet, ami a fenti modell szerint a boltozódást okozza. A silóban tárolt szemcsés anyag anyagjellemzőit a garatbeli, tömörített állapotra vonatkozóan kell megadnunk. A garatbeli szemcsehalmazt sokan különálló, önkényesen kijelölt alakú és kiterjedésű boltívekre osztják, majd ezek teherbírására vonatkozó 30

1.4. BOLTOZÓDÁS feltételezésekből kívánják a kritikus kiömlőnyílás méretét meghatározni. Ennek semmilyen mechanikai alapja nincs. A garatbeli anyaghalmazban nem alakulnak ki ilyesféle egymásra támaszkodó öntartó ívek. A radiális feszültségmező hipotézis csak nyitott kifolyónyílás esetén jelent elfogadható közelítést. Jenike és Enstad a radiális feszültségmező hipotézisét alkalmazza a boltozat terhelhetőségének meghatározása során, azaz kimondatlanul a boltozódást az anyag kiáramlási folyamatának megszakadásaként modellezi. A feszültségviszonyok elemzése során viszont az anyaghalmaz mozgásából eredő határokat teljesen figyelmen kívül hagyják. A halmaz a természetes boltozatok környezetében kéttengelyű feszültségállapotban van. A tönkremenetelhez tartozó kritikus nyomófeszültség értékét egytengelyű feszültségállapotban vizsgálják. A kéttengelyű és egytengelyű feszültségállapotban mérhető kritikus nyomófeszültség értéke nem ugyanakkora. A fejezet további részében található elméleti eredmények és a mérési eredmények összehasonlítása azt mutatja, hogy a napjainkban alkalmazott az előbbiekben általánosan összefoglalt elméletek jelentős túlméretezéshez vezetnek és feltételezhetőencsak durvaközelítését jelentika valóságos folyamatoknak. 1.4.1. Jenike modellje [19] szerint a szemcsehalmaz a kifolyás során olyan öntartó boltíveket alkot, amelyek képesek az anyag kiömlésének megakadályozására. Jenike feltételezése szerint a szemcsehalmazban kialakuló boltozatnak csak a saját súlyát kell megtartania. Jenike szerint a garatban lefelé haladva a szemcsehalmazra ható nyomóerő értéke csökken. Jenike állítása nem igaz akiömlőnyílás kinyitásának pillanatában, amikor nincs anyagkiáramlás mint azt végeselem módszerrel végzett számításaim mutatják hanem csak a kiáramlási folyamat során élhetünk ilyen 31

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS feltételezéssel. Mivel a párhuzamos tartomány alján jelentkező nagy nyomás hatására az anyag tömörsége megnövekedett, elképzelhető, hogy a kifolyónyílás környezetében képes a saját súlyából adódó terhelés elviselésére. Ekkor a kifolyás megszűnik, az anyag boltozódik. D r α L 1.9. ábra. Boltozat a garatban. A boltívben ébredő maximális feszültség arányos a boltív szélességével, a maximális feszültség pedig a fal melletti érintkezési pontban ébred. Közelítőértéke: σ 1,a ρgd =2rρg sin α. (1.52) A boltozat összeomlásának feltétele Jenike szerint a σ 1,a σ K (1.53) egyenlőtlenség teljesülése. A kritikus nyílásméret meghatározásához meg kell találni r-nek azt az értékét, melyre F F (σ t )=σ K = σ 1,a =2rρg sin α (1.54) 32

1.4. BOLTOZÓDÁS teljesül. Kritikus nyílásméretnek nevezi azt a D k =2r sin α értéket, melynél az (1.53) egyenlőtlenségből egyenlőség lesz. Tehát a σ 1,a =2rρg sin α = D k ρg = σ K = F F (σ t ) (1.55) egyenlőséghez tartozó D k kritikus nyílásméretet keresi. Nehézséget okoz azonban az, hogy az F F (σ t ) folyási függvény értékének nem ismert explicit alakja, értékét általában grafikus úton szokták meghatározni. E nehézség leküzdésére Jenike bevezette a folyási faktor fogalmát. 15. definíció. Folyási faktornak nevezi Jenike a garat fala mellett keletkező legnagyobb főfeszültség (σ 1,a ) és az előtömörítő (σ t ) feszültség hányadosát: f f = σ t. (1.56) σ 1,a A folyási faktor felhasználásával az σ K = F F (σ t ); σ 1,a = 1 f f σ t (1.57) egyenletrendszert kell megoldani. Ennek közelítő megoldása általában grafikus eljárással történik. Az F F függvény grafikonját metszik el egy 1 f f meredekségű egyenessel. Az 1.10. ábrán látható diagramhoz hasonlók valamelyikének segítségével határozható meg f f értéke. Jenike a halmaz garatbeli feszültségviszonyait leíró differenciálegyenlet numerikus megoldásának felhasználásával alkotta meg az 1.10. és az ehhez hasonló jellegű, további diagramokat [44]. A silótervezéssel foglalkozó szakemberek gyakran használják ezeket az ú.n. Jenike diagramokat. Kohéziós anyagok esetén σ K =F F (σ t ) esetenként meghatározható analitikus úton is, a Warren Spring egyenlet felhasználásával [44]: [ (σt ) ] 1 σ K = A F +1 q 1, (1.58) 33

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS 40 φ w [ ] 20 1 1.5 1.6 1.8 2 2.5 4 3 0 20 40 α[ ] 1.10. ábra. Folyási faktor értékei a falsúrlódás φ w és a garat félkúpszögének α függvényében, (φ =40 ). [20]. itt A, F és q anyagra jellemző állandók. Az állandók értékei az 1.2. táblázatban láthatók néhány anyagra. A folyási függvény lineáris alakja: σ K = Mσ t +Q, (1.59) ahol M és Q anyagfüggő állandók. A tönkremeneteli határgörbék jellegzetes alakja látható az 1.11. ábrán. Az 1.11. ábrát megfigyelve szembetűnő az eltérés a lineáris és nemlineáris tönkremeneteli határgörbe között (más anyagok esetén is). Nehezen valószínűsíthető, hogy mindkét görbe elfogadható pontossággal leírná a valóságban lezajló tönkremeneteli folyamatot. Az egyes tönkremeneteli határgörbék alkalmazhatóságával kapcsolatos 34

1.4. BOLTOZÓDÁS σ K [kpa] 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 σ t [kpa] 1.11. ábra. Tönkremeneteli határgörbék gipsz esetén. [9]. információkat a szakirodalom áttanulmányozása során nem találtam. Kísérleti vizsgálataim a lineáris határgörbe alkalmazhatóságát erősítik meg. Jenike azon feltevése, amely szerint a boltívnek csupán saját súlyát kell elviselnie, valamint a boltozat alakjának önkényes, minden mechanikai alapot nélkülöző kijelölése következtében és a folyási faktor méréssel meghatározott értékében rejlő bizonytalanságok együttes hatásaként ajenike módszerével meghatározott kritikus kiömlőnyílás-méret kettő négyszerese a méréssel meghatározható értéknek. 1.4.2. Enstad modellje A boltozódás szempontjából kritikus kifolyónyílás méret Jenike módszerével történő meghatározása jelentős túlméretezéshez vezet. A túlméretezés két fő oka [10]: Jenike nem vette figyelembe annak lehetőségét, hogy a boltozatot 35

1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS alkotó szemcsehalmaz megcsúszhat a fal mentén, valamint a boltívet alkotó szemcsés anyagnak a saját súlya mellett a felette lévő anyagtömeg egy részének súlyát is meg kell tartania. Enstad e két dolgot próbálja elméletében figyelembe venni, és így kíván pontosabb modellel szolgálni a boltozódási folyamat vizsgálatához. Az Enstad által a garatbeli feszültségek eloszlására levezetett egyenlet, (lásd a 1.6. ábrát is) a σ(r)= ρgy r ( X 1 + σ(r) ρgy R ) ( r ) X (1.60) X 1 R összefüggés csak abban az esetben érvényes a feszültségekre, amelyben a szemcsés anyag szabadon áramlik kifelé a garatból, vagy ha a kifolyónyílás zárva van. A feszültségeloszlás nagymértékben megváltozik a kifolyónyílás megnyitásának pillanatában ha a szemcsehalmaz boltozódik. A boltozat kialakulásához szükséges kritikus nyílásméret meghatározásához Enstad feltételezi, hogy a garatban található szemcsés anyagban ébredő feszültség mindenütt elérte a kritikus állapothoz szükséges értéket. Ez a feltételezés véleményem szerint csak igen speciális esetben felel meg a valóságnak. Esetleg a szemcsés anyag kiömlése során elfogadható, de a tároló kinyitásának pillanatában nem. A szemcsehalmazt továbbra is ugyanolyan körívekkel határolt tartományokra osztja, mint amelyeket a feszültségeloszlás meghatározásához alkalmazott. Ez esetben azonban a tartományok a boltozatok oldalfallal érintkező részének középvonala a falra bocsátott normálvektorral ζ szöget zár be, és ez a ζ szög akkora érétket vesz fel, hogy a lehetséges legnagyobb támasztóerők jelentkezzenek a boltívek talapzatánál a megcsúszás határhelyzetében: ahol ζ = { φ ha φ ζm, ζ m ha φ>ζ m. (1.61) ζ m = π 4 α 2. (1.62) 36